安徽省合肥一六八中2015-2016学年高二上学期开学数学(理)试题 Word版含解析

2014级高二上学期入学考试试卷（理科数学）一、选择题（60分，每题5分）1. 设M 、N 是两个非空集合，定义M 与N 的差集为M －N={x|x ∈M 且x ∉N}，则M －（M －N ）等于（ ）A.NB.M ∩NC.M ∪ND.M 2.已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，则当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ）A ．42-xB ．42+xC ．2)4(+x D ． 2)4(-x3.已知函数)3(log 1),1(12)(2f x x f x x f x ，则⎩⎨⎧>-≤== （ ）A ．3B ．23C ．1D ．24.12coslog 12sinlog 22ππ+的值为 A ．－4B ．4C ．2D ．－25.若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>6.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．17.如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，BC =，1AD =，则AD AC ⋅u u u r u u u r等于（ ）A.B.D.8．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋9n 的最小值为( ) A.83 B.114 C.145 D.1769.已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 10.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．8DA第7题图11.函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,||2A πωϕ>><)的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移3π个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（ ）A.()sin 2f x x =B.()sin 2f x x =-C.()sin(2)3f x x π=- D.2()sin(2)3f x x π=+12．函数⎪⎩⎪⎨⎧<>+=0,2cos 0),1lg()(x x x x x f π图象上关于坐标原点O 对称的点有n 对，n =( )A ．3B ．4C ．5D ．无数对二、填空题（20分，每题5分）13.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为（ ）14.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为_______15.向量(2,0),(,)a b x y ==r r ，若b r 与b a -r r 的夹角等于6π，则｜b r ｜的最大值为_____16. 给出四个命题 (1)若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)=1，则△ABC 为正三角形 以上正确命题的是_______ 选择题答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12xy-1π37π12O填空题答案13: _______ 14: _______ 15: _______ 16: _______ 三、解答题：（70分）17(10分).设函数f （x ）=x 2+|x －2|－1，x ∈R.（1）判断函数f （x ）的奇偶性； （2）求函数f （x ）的最小值.18(12分).已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且tan A ＋tan B ＝2sin Ccos A.(1)求角B 的大小；(2)若a c ＋ca ＝3，求sin Asin C 的值．19(12分).设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．20.(12分)已知函数x x x f cos )3sin(2)(π+=.（Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值．21(12分).已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立. (Ⅰ)求1a ,2a 的值; (Ⅱ)设10a >,数列110{lg}na a 的前n 项和为n T ,当n 为何值时,n T 最大?并求出n T 的最大值.22(12分).已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，且a 1，2a 2，3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．2014级高二上学期入学考试试卷（数学）答案一、选择题（60分，每题5分）1. 设M 、N 是两个非空集合，定义M 与N 的差集为M －N={x|x ∈M 且x ∉N}，则M －（M －N ）等于（ ）A.NB.M ∩NC.M ∪ND.M 答案：B 2.已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，则当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ）A ．42-xB ．42+xC ．2)4(+x D ． 2)4(-x 答案：D3.已知函数)3(log 1),1(12)(2f x x f x x f x ，则⎩⎨⎧>-≤== （ ）A ．3B ．23C ．1D ．2答案：B 4.12coslog 12sinlog 22ππ+的值为 A ．－4B ．4C ．2D ．－2答案：D5.若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【标准答案】: A6.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1 D7.如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，BC =，1AD =，则AD AC ⋅u u u r u u u r等于（ ）A.B.D. B8．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋9n 的最小值为( ) A.83 B.114 C.145 D.176 A9.已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8DDCB A第7题图10.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．8B11.函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,0,||2A πωϕ>><)的部分图象如图所示，将()f x 的图象向右平移3π个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（ ）A.()sin 2f x x =B.()sin 2f x x =-C.()sin(2)3f x x π=-D.2()sin(2)3f x x π=+C12．函数⎪⎩⎪⎨⎧<>+=0,2cos 0),1lg()(x x x x x f π图象上关于坐标原点O 对称的点有n 对，n =( )A ．3B ．4C ．5D ．无数对B二、填空题（20分，每题5分）13.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷B 的人数为 （ ）1014.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为_______715. 若非零向量,a b r r 满足32a b a b ==+r r r r ,则,a b r r夹角的余弦值为_______. (文科)13- xy-1π37π12O15.向量(2,0),(,)a b x y ==r r ，若b r 与b a -r r 的夹角等于6π，则｜b r ｜的最大值为_____ (理)416. 给出四个命题 (1)若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)=1，则△ABC 为正三角形 以上正确命题的是_______ (3)\(4) 选择题答案填空题答案13: _______ 14: _______ 15: _______ 16: _______ 三、解答题：（70分）17(10分).设函数f （x ）=x 2+|x －2|－1，x ∈R. （1）判断函数f （x ）的奇偶性； （2）求函数f （x ）的最小值.f （x ）min =43. 18(12分).已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且tan A ＋tan B ＝2sin C cos A. (1)求角B 的大小；(2)若a c ＋ca ＝3，求sin Asin C 的值．∴cos B ＝12.又∵0<B<π，∴B ＝π3.∴sin Asin C ＝38.19(12分).设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数，求上述方程有实根的概率．设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥． （Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．20.(12分)已知函数x x x f cos )3sin(2)(π+=.（Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值．（Ⅰ）x x x x f cos )cos 3(sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=23)32sin(232cos 232sin 21++=++=πx x x ．所以函数f x ()的值域是]223,223[+-．（Ⅱ）由2323)32sin()(=++=πA A f ，得0)32sin(=+πA ， 又A 为锐角，所以3π=A ，又2=b ，3=c ，所以73cos322942=⨯⨯⨯-+=πa ，7=a ．由B bA a sin sin =，得73sin =B ，又a b <，从而A B <，72cos =B ． 所以，417573237221sin sin cos cos )cos(=⋅+⋅=+=-B A B A B A 21(12分).已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立.(Ⅰ)求1a ,2a 的值; (Ⅱ)设10a >,数列110{lg }na a 的前n 项和为n T ,当n 为何值时,n T 最大?并求出n T 的最大值.111)2()12()2(--⋅+==n n n a a,n=7时,T n 取得最大值,且T n 的最大值为 T 7=2lg 22172771-=+）（b b 22(12分). 设2≤a ，求x x y )2(-=在]2 ,[a 上的最大值和最小值。

2014-2015学年安徽省合肥一中、168中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求1．（4分）在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞03．（4分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．45．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．4B．6C．8D．126．（4分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=AB=AD=1，∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°，则直线AC1与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．7．（4分）椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3B．C．D．8．（4分）已知抛物线y2=4x上两个动点B、C和点A（1，2），且∠BAC=90°，则动直线BC必过定点（）A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（5，﹣2）D．（5，2）二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分9．（4分）若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，则圆C的标准方程是．10．（4分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．则异面直线OB与MD所成角余弦值为．11．（4分）已知P为棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为．12．（4分）光线由点P（2，3）射到直线x+y=﹣1上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线方程．13．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，给出下列四个命题：①如果PA⊥BC，PB⊥AC，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；②如果点P到△ABC的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心；③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1；④如果三棱锥P﹣ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共48分14．（6分）如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在线段AM上，点N在CM上，且满足=2，•=0，点N的轨迹为曲线E．求曲线E的方程．15．（8分）圆锥SO的侧面展开图为如图所示的半径为4的半圆，半圆中∠ASC=45°．①圆锥SO的体积；②在圆锥母线SC上是否存在一点E，使得SC⊥平面OEA，若存在，求此时SE～EC的值；若不存在，说明理由．16．（12分）如图ABCD为正方形，VD⊥平面ABCD，VD=AD=2，F为VA中点，E 为CD中点．①求证：DF∥平面VEB；②求平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值；③V、D、C、B四点在同一个球面上，所在球的球面面积为S，求S．17．（10分）在平面直角坐标系中，已知：A（3，0），B（0，4），O为坐标原点，以点P为圆心的圆P半径为1．①点P 坐标为P（1，2），试判断圆P与△OAB三边的交点个数；②动点P在△OAB内运动，圆P与△OAB的三边有四个交点，求P点形成区域的面积．18．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=r2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，是否存在实数r使得∠AOB始终为90°．若存在，求出r的值；若不存在，说明理由．2014-2015学年安徽省合肥一中、168中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求1．（4分）在直角坐标系中，直线x+y﹣3=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线x+y﹣3﹣0的斜率等于﹣，设此直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，又0≤θ＜π，∴θ=，故选：C．2．（4分）命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0D．对任意的x∈R，2x＞0【解答】解：∵特称命题的否定是全称命题．∴命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是：“对任意的x∈R，2x＞0”．故选：D．3．（4分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选：B．4．（4分）已知椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10B．20C．2D．4【解答】解：∵椭圆+=1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，∴a=∴|AB|+|BF 2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故选：D．5．（4分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．4B．6C．8D．12【解答】解：由三视图复原几何体，如图它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，这个几何体的体积：V==4故选：A．6．（4分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=AB=AD=1，∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°，则直线AC1与平面ABCD所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，根据条件知，A1点在底面ABCD上的射影在∠BAD平分线即AC上，设该射影为E，同样设C1在底面ABCD上的射影为F，F在AC延长线上；过E作EG⊥AB，垂足为G，并连接A1G；则A1G⊥AB，A1G=1•sin60°=，AG=1；又在Rt△AEG中，∠EAG=30°；∴，AE=；∴在Rt△A1GE中，；∴，；连接BD交AC于O，则BD⊥AC，∴；∴，AF=；∴在Rt△AC1F中，；由前面知∠C1AF是直线AC1与平面ABCD所成的角；∴cos∠C1AF=．故选：B．7．（4分）椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3B．C．D．【解答】解：设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线的距离d=；故选：D．8．（4分）已知抛物线y2=4x上两个动点B、C和点A（1，2），且∠BAC=90°，则动直线BC必过定点（）A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（5，﹣2）D．（5，2）【解答】证明：设B（，a），C（，b），而A（1，2），∴∠BAC=90°，则，由于∠BAC=90°，得（﹣1，a﹣2）•（﹣1，b﹣2）=0．整理得ab+2a+2b+20=0．而过BC的直线的斜率为：=．∴过BC的直线方程为y﹣b=（x﹣），整理得4x+ab﹣（a+b）y=0，即4x﹣（a+b）y﹣2a﹣2b﹣20=0．化为4x﹣20﹣（a+b）（y+2）=0．可得直线恒过定点（5，﹣2）．∴直线必过定点（5，﹣2）．故选：C．二.填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分9．（4分）若圆C与圆（x+2）2+（y﹣1）2=1关于原点对称，则圆C的标准方程是（x﹣2）2+（y+1）2=1．【解答】解：设圆C上任意一点P的坐标为（x，y），根据题意可得P关于原点对称的点P'在圆（x+2）2+（y﹣1）2=1上，∵P（x，y）与P'关于原点对称，得P'（﹣x，﹣y），∴由点P'在圆（x+2）2+（y﹣1）2=1上，可得（﹣x+2）2+（﹣y﹣1）2=1．化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1，即为圆C的方程．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=110．（4分）如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．则异面直线OB与MD所成角余弦值为．【解答】解：如图，取AB中点N，连接MN，又M为OA的中点，∴MN∥OB，则∠DMN为异面直线OB与MD所成角，∵底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，可得DM=，MN=，DN=．在△DMN中，cos∠DMN=．故答案为：．11．（4分）已知P为棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为2．【解答】解：由题意画出图形如图，因为=cos，是向量在上的投影，所以当P在C1位置时，投影最大，的最大值为：==2．故答案为：2．12．（4分）光线由点P（2，3）射到直线x+y=﹣1上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线方程4x﹣5y+1=0．【解答】解：设点P 关于直线x+y=﹣1的对称点为（a，b），则解得a=﹣4，b=﹣3 即对称点（﹣4，﹣3）则反射光线所在直线方程故答案为：4x﹣5y+1=013．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，给出下列四个命题：①如果PA⊥BC，PB⊥AC，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；②如果点P到△ABC的三边所在直线的距离都相等，那么点P在平面ABC内的射影是△ABC的内心；③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，那么EF=1；④如果三棱锥P﹣ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于．其中正确命题的序号是①②④．【解答】解：①过P作PH⊥底面ABC，H为垂足，若PA⊥BC，PB⊥AC，由PH⊥底面ABC，所以AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．②设PH⊥底面ABC，如果点P到△ABC的三边所在直线的距离都相等，则H是△ABC的内心，正确．③如果棱PA和BC所成的角为60°，PA=BC=2，E、F分别是棱PB、AC的中点，取AB的中点G，连接EG，FG，可得EG=FG=1，∠EGF=60°或120°，运用余弦定理可得EF=1或；不正确．④如果三棱锥P﹣ABC的各条棱长均为1，则该三棱锥在任意一个平面内的射影的面积都不大于，正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共5小题，共48分14．（6分）如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在线段AM上，点N在CM上，且满足=2，•=0，点N的轨迹为曲线E．求曲线E的方程．【解答】解：，，所以NP为线段AM的垂直平分线，|NA|=|NM|，，所以动点N的轨迹是以C（﹣1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，…..（3分）且长轴长为，焦距2c=2，所以，c=1，b2=1，曲线E的方程为．…．（6分）15．（8分）圆锥SO的侧面展开图为如图所示的半径为4的半圆，半圆中∠ASC=45°．①圆锥SO的体积；②在圆锥母线SC上是否存在一点E，使得SC⊥平面OEA，若存在，求此时SE～EC的值；若不存在，说明理由．【解答】解：①由题意，圆锥底面半径为2，高，∴…（3分）②若在圆锥母线SC上存在一点E，使得SC⊥平面OEA，∵OA⊥OC，SO⊥OA，∴AO⊥面SOC，∴AO⊥SC，则只需使SC⊥OE即可；…（5分）在Rt△SOC中可求得此时SE=3，EC=1，在圆锥母线SC上存在一点E，当SE：EC=3：1时，使得SC⊥平面OEA．…（8分）16．（12分）如图ABCD为正方形，VD⊥平面ABCD，VD=AD=2，F为VA中点，E 为CD中点．①求证：DF∥平面VEB；②求平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值；③V、D、C、B四点在同一个球面上，所在球的球面面积为S，求S．【解答】①证明：取VB的中点O，连接OE，OF，则因为F为VA中点，所以OF∥AB，OF=AB，因为E为CD中点，所以DE=CD，因为AB∥CD，所以OF∥DE，OF=DE，所以四边形OFDE是平行四边形，所以OE∥DF，因为OE⊄平面VEB，DF⊂平面VEB所以DF∥平面VEB；（4分）==，②解：△VBE中，BE=VE=，VB=2，S△VBE因为S==2，△VAD所以平面VEB与平面VAD所成二面角的余弦值为；（8分）③解：因为V、D、C、B四点在同一个球面上，所以VB是球的直径，VB=2，所以S=4π×3=12π．（12分）17．（10分）在平面直角坐标系中，已知：A（3，0），B（0，4），O为坐标原点，以点P为圆心的圆P半径为1．①点P 坐标为P（1，2），试判断圆P与△OAB三边的交点个数；②动点P在△OAB内运动，圆P与△OAB的三边有四个交点，求P点形成区域的面积．【解答】解：①直线AB的方程为4x+3y﹣12=0，P到AB的距离为=＜1，∴圆P与直线AB相交，点P坐标为P（1，2），圆P与OB相切，与OA相离，∴圆P与△OAB三边的交点个数为3个；②直线AB的方程为4x+3y﹣12=0，当x=1时，y=这样上方的平行四边形的面积为；当y=1时，x=，这样右方的平行四边形的面积为；正方形面积为1，三个扇形正好为半径为1的半圆∴最终结果为三个四边形面积之和减去半圆，即面积为．18．（12分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=r2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，是否存在实数r使得∠AOB始终为90°．若存在，求出r的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解得，∴b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲线C的方程为．…..（4分）（Ⅱ）点P（x0，y0）（x0y0≠0）在圆x2+y2=r2上，圆在点P（x0，y0）处的切线方程为，化简得．…..（5分）由消去y得①②…..（8分）若存在实数r 使得∠AOB始终为900则有，而，又，x1x2+y1y2===0，…..（10分）而时①化为，x0y0≠0，，，综上所述存在使得∠AOB始终为90°…..（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试理科数学试卷考试时间： 120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷（选择题 满分50分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．两直线20ax y a -+=和(21)0a x ay a -++=互相垂直，则a =（ ） A ．1 B ．31-C ．1或0D ．51-或31 2．已知圆22:20C x x y ++=的一条斜率为1的切线为1l ，且与1l 垂直的直线2l 平分该圆，则直线2l 的方程为（ ）A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．10x y +-=D ．10x y ++=3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（ ）AB．(12π+CD．(13π+ 4．下面说法正确的是（ ）A ．命题“01,2≥++∈∃x x R x 使得”的否定是“01,2≥++∈∀x x R x 使得” B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件C ．设,p q 为简单命题，若“q p ∨”为假命题，则“q p ⌝∧⌝”也为假命题D ．命题“若cos 1α≠，则0α≠”的为真命题5．若,αβ是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，,a a αβ⊥⊥；②存在一个平面γ，γαγβ⊥⊥，；③存在两条平行直线,,,a b a b αβ⊂⊂，且//a β，//b α；④存在两条异面直线,,,a b a α⊂,//,//b a b ββα⊂．那么可以是//αβ的充分条件有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．正三棱柱111ABC A B C -中，底面边长为2，若异面直线1AB 与1BC 所成的角为60，则该三棱柱的侧棱长为（ ）．A ．BC ．7．已知命题:p 函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ，命题:q 1ax <+对一切正实数x 均成立．如果，命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．1a > B ．12a ≤≤ C ．2a > D ．无解8．已知抛物线21y x =-上的一定点(1,0)B -和两个动点P 、Q ，当BP PQ ⊥时，点Q 的横坐标的取值范围是（ ）A ．(,3][1,)-∞-+∞B ．[3,1]-C ．33(,3][1,)(,)22-∞-+∞ D ．[1,)+∞ 9．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是( ) A ．12(,)33 B ．111(,)(,1)322 C ．2(,1)3 D ． 1(,1)210．过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，,A B 为切点，过,A B 的直线l 与x 轴、y 轴分别交于,P Q 两点，O 为坐标原点，则POQ 的面积的最小值为( )A ．12 B ．43 C ．1 D ． 23第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）11．直三棱柱111C B A ABC -的各个顶点都在同一个球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=则此球的表面积为 ．12．已知双曲线的方程为2214y x -=，点A 的坐标为(0,，B 是圆22(1x y -+=上的点，点M 在双曲线的上支上，则||||MA MB +的最小值为 ．13．一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 ．14．已知平面上点22{(,)|(2cos )(2sin )16()}P x y x y R ααα∈-+-=∈，则满足条件的点P 在平面上所组成的图形的面积为 ．15．已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l①若点(1,1)P ，线段:30(35)l x y x --=≤≤，则(,)d P l =②设l 是长为2的定线段，则集合{|(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积为4；③若(1,3)A ，(1,0)B ，(1,3)C -，(1,0)D -，线段1:l AB ，2:l CD ，则到线段1l ，2l 距离相等的点的集合12{|(,)(,)}{(,)|0}D P d P l d P l x y x ====；④若(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C -，(0,1)D ，线段1:l AB ，2:l CD ，则到线段1l ，2l 距离相等的点的集合2212{|(,)(,)}{(,)|0}D P d P l d P l x y x y ===-=．其中正确的有 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分。

2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．（5分）（2015•北京）设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂，“//m α“是“//αβ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）（2015•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A.2212128x y -= B 2212821x y -= C 22134x y -= D. 22143x y -= 3．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．13π+ B ．23π+ C ． 123π+ D. 223π+ 4．（5分）（2015秋•合肥校级期末）设1,,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（ ） ①若αβ⊥，l α⊥，则//l β ②若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ ③若l m ⊥，m n ⊥，则//l n④若m α⊥，//n β且//αβ，则m n ⊥． A ．4B ．3C ．2D ．15．（5分）（2013•泰安一模）直线2(1)10()x a y a R +++=∈的倾斜角的取值范围是（ ）A.[0,]4πB. 3[,)4ππ C.[0,](,)42πππ⋃ D. 3[,)[,)424ππππ⋃ 6．（5分）（2010•天津模拟）如果圆22()()8x a y a -+-=上总存在两个点到原点的距离为a 取值范围是（ ）A ．(3,1)(1,3)--⋃B ．()3,3- C. [1,1]- D ．(3,1][1,3)--⋃7．（5分）（2016•平度市三模）已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+．若对于所有的m R ∈，均有M N ⋂≠∅，则b 的取值范围是（ ）A ． (B ．(C ．[D ．[ 8．（5分）（2014•阜阳校级一模）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别是棱11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段D F 的长度的取值范围是（ ）A ．B ．1[,2)5C. D ． 9．（5分）（2015秋•合肥校级期末）已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．144πD ．256π10．（5分）（2010•宣武区二模）如图抛物线21:2C y px =和圆2222:()24p p C x y -+=，其中0p >，直线l 经过1C 的焦点，依次交12,C C 于,,,A B C D 四点，则AB CD的值为（ ）A ．24pB ．23pC ．22p D ．2p11．（5分）（2015秋•合肥校级期末）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两焦点为1(,0)F c -、2(,0)F c ，P 为直线2a x c=上一点，1F P 的垂直平分线恰过2F 点，则e 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ． 12．（5分）（2015秋•合肥校级期末）如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成1ACD ∆，所成二面角1A CD B --的平面角为α，则（ ）A ．1ACB α∠≥ B ．1A DB α∠≤C ．1A DB α∠≥D ．1ACB α∠≤二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）． 13．（5分）（2015秋•合肥校级期末）若命题“x R ∃∈，使得210ax ax ++≤”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．14．（5分）（2015秋•合肥校级期末）在平面直角坐标系内，已知(B -，(3,C -，且(,)H x y 是曲线221x y +=上任意一点，则BH CH的值为 ．15．（5分）（2015秋•合肥校级期末）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 ． 16．（5分）（2015秋•合肥校级期末）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积||||OP OQ 的最小值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．（10分）（2015秋•合肥校级期末）已知1:|1|23x p --≤;22:210(0)q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要非充分条件，求实数m 的取值范围． 18．（12分）（2015秋•合肥校级期末）如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90ADC DCB ∠=∠= ，1,3,2AD BC PC CD ====，PC ⊥底面ABCD ，E 为AB的中点．（1）求证：平面PDE ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线PC 与平面PDE 所成的角的正弦值．19．（12分）（2015秋•合肥校级期末）已知圆22:2430C x y x y ++-+=．（1）若不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； （2）从圆C 外一点(,)P x y 向圆引一条切线，切点为,M O 为坐标原点，且有||||PM PO =，求点P 的轨迹方程．20．（12分）（2013•长春一模）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>右焦点到直线0x y +=的距离为(0,1)M -的直线l 交椭圆于,A B 两点．（Ⅰ） 求椭圆的方程；（Ⅱ） 若直线l 交x 轴于N ，75NA NB =-，求直线l 的方程．21．（12分）（2015•金家庄区校级模拟）在多面体ABCDE 中，BC BA =，//DE BC ，AE ⊥平面BCDE ，2BC DE =，F 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：//EF 平面ACD ；（Ⅱ）若EA EB CD ==，求二面角B AD E --的正切值的大小．22．（122222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(2,1)M ，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 交椭圆C 于不同的两点,A B ． （1）求椭圆C 的方程．（2）证明：直线MA MB 、与x 轴围成一个等腰三角形．2015-2016学年安徽省合肥一中、合肥六中、北城中学联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．（5分）（2015•北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B．【点评】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．2．（5分）（2015•天津）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（5分）（2015•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组合体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．4．（5分）（2015秋•合肥校级期末）设l、m、n为不同的直线，α、β为不同的平面，有如下四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】①根据面面垂直和线面垂直的性质进行判断．②根据线面垂直的判定定理进行判断．③根据线面垂直和直线平行的性质进行判断．④根据线面平行和面面平行的性质进行判断．【解答】解：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β或l⊂β，故①错误，②若α⊥β，l⊂α，则l⊥β或l∥β，故②错误，③若l⊥m，m⊥n，则l∥n或l与n相交或l与n异面，故③错误，④若m⊥α，α∥β，则m⊥β，若n∥β，则m⊥n．故④正确，故正确的是④，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线和平面平行和垂直以及平面和平面垂直和平行的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5．（5分）（2013•泰安一模）直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，] B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）【分析】由直线的方程得斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则 0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，求得倾斜角α的取值范围．【解答】解：直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的斜率等于，由于 0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则 0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，∴≤α＜π，故选 B．【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值的范围求角的范围，得到0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，是解题的关键．6．（5分）（2010•天津模拟）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，﹣1）∪（1，3）B．（﹣3，3）C．[﹣1，1] D．（﹣3，﹣1]∪[1，3）【分析】圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距大于两圆半径之差、小于两圆半径之和．【解答】解：问题可转化为圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交，两圆圆心距d==|a|，由R﹣r＜|OO1|＜R+r得，解得：1＜|a|＜3，即a∈（﹣3，﹣1）∪（1，3）故选A．【点评】体现了转化的数学思想，将问题转化为：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8和圆x2+y2=2相交．7．（5分）（2016•平度市三模）已知M={（x，y）|x2+2y2=3}，N={（x，y）|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N≠∅，则b的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由M∩N≠∅，可得y=mx+b与x2+2y2=3有交点，联立方程，利用判别式，即可求得b 的取值范围．【解答】解：由题意，∵M∩N≠∅，∴y=mx+b与x2+2y2=3有交点直线方程代入椭圆方程，整理可得（1+2m2）x2+4mbx+2b2﹣3=0∴△=16m2b2﹣4（1+2m2）（2b2﹣3）≥0∴2b2≤3+6m2∵对所有m∈R，均有M∩N≠∅，∴2b2≤3∴﹣≤b≤故选：C．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）（2014•阜阳校级一模）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=A1A=1，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是（）A．[，1）B．[，2） C．[1，）D．[，）【分析】建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0）由于GD⊥EF，所以 x+2y﹣1=0DF===∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值是当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1；故选A．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力，空间直角坐标系，数量积等知识，是中档题．9．（5分）（2015秋•合肥校级期末）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=60°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB=×R=，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故选B．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．10．（5分）（2010•宣武区二模）如图抛物线C1：y2=2px和圆C2：+y2=，其中p＞0，直线l经过C1的焦点，依次交C1，C2于A，B，C，D四点，则•的值为（）A．B．C．D．P2【分析】设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF|=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，由此能够求出•的值．【解答】解：设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|﹣|BF|=x1+﹣=x1，同理|CD|=x2，又=|AB||CD|=x1x2=．故选A．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．11．（5分）（2015秋•合肥校级期末）椭圆的两焦点为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为直线上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，则e的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K的坐标，根据线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于﹣1，求出m2的解析式，再利用 m2≥0，得到3e4+2e2﹣1≥0，求得e的范围，再结合椭圆离心率的范围进一步e的范围．【解答】解：由题意得F1（﹣c，0）），F2（c，0），设点P（，m），则由中点公式可得线段PF1的中点K（，），∴线段PF1的斜率与 KF2的斜率之积等于﹣1，∴•=﹣1，∴m2=﹣（+c）•（﹣3c）≥0，∴a4﹣2a2c2﹣3c4≤0，∴3e4+2e2﹣1≥0，∴e2≥，或e2≤﹣1（舍去），∴e≥．又椭圆的离心率0＜e＜1，故≤e＜1，故选：D．【点评】本题考查线段的中点公式，两直线垂直的性质，以及椭圆的简单性质的应用，属于中档题．12．（5分）（2015秋•合肥校级期末）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD 折成△A1CD，所成二面角A1﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A．∠A1CB≥αB．∠A1DB≤αC．∠A1DB≥αD．∠A1CB≤α【分析】设∠ADC=θ，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1．在空间图形中，连结A1B，设A1B=t．推导出cos∠A1DB=．过A1作A1N⊥DC，过B作BM⊥DC，垂足分别为N、M．过N作NP∥MB，使四边形BPNM为平行四边形，则NP⊥DC．连结A1P，BP，∠A1NP就是二面角A1﹣CD ﹣B的平面角，∠A1NP=α．由此能推导出α≤∠A1DB．【解答】解：设∠ADC=θ，AB=2，则由题意知AD=BD=A1D=1．在空间图形中，连结A1B，设A1B=t．在△A1DB中，cos∠A1DB===．过A1作A1N⊥DC，过B作BM⊥DC，垂足分别为N、M．过N作NP∥MB，使四边形BPNM为平行四边形，则NP⊥DC．连结A1P，BP，则∠A1NP就是二面角A1﹣CD﹣B的平面角，所以∠A1NP=α．在Rt△A1ND中，DN=A1Dcos∠A1DC=cos θ，A1N=A1Dsin∠A1DC=sin θ．同理，BM=PN=sin θ，DM=cos θ，故BP=MN=2cos θ．由题意BP⊥平面A1NP，故BP⊥A1P．在Rt△A1BP中，A1P2=A1B2﹣BP2=t2﹣（2cos θ）2=t2﹣4cos2θ．在△A1NP中，cos α=cos∠A1NP=====．∴cos α﹣cos∠A1DB=cos∠A1DB+﹣cos∠A1DB=cos∠A1DB+=（1+cos∠A1DB）≥0，∴cos α≥cos∠A1DB（当θ=时取等号），∵α，∠A1DB∈[0，π]，而y=cos x在[0，π]上为递减函数，∴α≤∠A1DB．故选：A．【点评】本题主要考查空间中的立体几何，考查考生的空间想象能力及分析问题、解决问题的能力．本题可采用特殊位置法进行排除．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应位置上）．13．（5分）（2015秋•合肥校级期末）若命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为．【分析】命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，即ax2+ax+1＞0恒成立，分当a=0时和当a≠0时两种情况分别讨论满足条件的a的取值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题，∴ax2+ax+1＞0恒成立，当a=0时，1＞0恒成立，满足条件，当a≠0时，若ax2+ax+1＞0恒成立，则，解得：a∈（0，4），综上所述：a∈[0，4），故答案为：[0，4）【点评】本题考查的知识点是特称命题，恒成立问题，其中正确理解命题“∃x∈R，使得ax2+ax+1≤0”为假命题的含义是ax2+ax+1＞0恒成立，是解答的关键．14．（5分）（2015秋•合肥校级期末）在平面直角坐标系内，已知B（﹣3，3），C（3，﹣3），且H（x，y）是曲线x2+y2=1上任意一点，则•的值为．【分析】求出的坐标，计算数量积．【解答】解：=（x+3，y﹣3），=（x﹣3，y+3），∴•=（x+3）（x﹣3）+（y﹣3）（y+3）=x2﹣9+y2﹣27=1﹣36=﹣35．故答案为﹣35．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．15．（5分）（2015秋•合肥校级期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于．【分析】球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上；另一类在不过顶点A的三个面上，且均为圆弧，分别求其长度可得结果．【解答】解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则．同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为．故答案为：【点评】本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，属基础题．16．（5分）（2015秋•合肥校级期末）椭圆上任意两点P，Q，若OP ⊥OQ，则乘积|OP|•|OQ|的最小值为．【分析】由题意可设点P（acosθ，bsinθ），其中θ∈[0，]，而且点Q（acos（θ+π2），bsin（θ+π2）），即可得出结论．【解答】解：题意可设点P（acosθ，bsinθ），其中θ∈[0，]，而且点Q（acos（θ+π2），bsin（θ+π2）），即点Q（﹣asinθ，bcosθ），那么|OP|2•|OQ|2=（a2cos2θ+b2sin2θ）•（a2sin2θ+b2cos2θ）=a2b2+14sin22θ，所以当sin2θ=0时，乘积|OP|•|OQ|最小值为ab．故答案为：ab．【点评】本题考查椭圆中两线段乘积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．（10分）（2015秋•合肥校级期末）已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：∵|1﹣|≤2，∴|x﹣4|≤6，即﹣2≤x≤10，∵x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），∴[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，若￢p是￢q的必要非充分条件，即q是p的必要非充分条件，即，即，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出不等式的等价条件，利用复合命题的等价性是解决本题的关键．18．（12分）（2015秋•合肥校级期末）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．（1）求证：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．【分析】（I）点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出向量，，的坐标，根据数量积得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；（II）求出平面PDE的法向量，计算与的夹角，则直线PC与平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜＞|．【解答】解：（I）以点C为坐标原点，以直线CD，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，则C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．∴，，，∴，，∴DE⊥CA，DE⊥CP，又CP∩CA=C，AC⊂平面PAC，CP⊂平面PAC，∴DE⊥平面PAC，∵DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC．（Ⅱ），设是平面PDE的一个法向量，则，∴，令x=2，则y=1，z=2，即，∴=4，||=3，||=2，∴cos＜＞==．∴直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量在几何证明中的应用，属于中档题．19．（12分）（2015秋•合肥校级期末）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．【分析】（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由直线l不过原点，得到该直线在坐标轴上的截距不为0，设出直线l的截距式方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于a的方程，求出方程的解可得到a的值，确定出直线l的方程；（2）由切线的性质，得到三角形PCM为直角三角形，利用勾股定理得到|PC|2=|PM|2+r2，表示出|PM|2，由|PM|=|PO|，进而得到|PO|2，由设出的P的坐标和原点坐标，利用两点间的距离公式表示出|PO|，可得出|PO|2，两者相等，化简可得点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y﹣a=0，由=，得|a﹣1|=2，即a=﹣1，或a=3．∴直线方程为x+y+1=0，或x+y﹣3=0；…（6分）（2）由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，∴|PM|2=|PC|2﹣r2．又∵|PM|=|PO|，∴|PC|2﹣r2=|PO|2，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2．∴2x﹣4y+3=0即为所求．…（12分）【点评】此题考查了圆的切线方程，以及动点的轨迹方程，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线的截距式方程，切线的性质，勾股定理以及两点间的距离公式，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，常常利用切线长，圆的半径及圆心到圆外点的距离构造直角三角形来解决问题．20．（12分）（2013•长春一模）椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．【分析】（Ⅰ）根据右焦点到直线的距离为，可得，利用椭圆的离心率为，可得，从而可得，，故可求椭圆的方程；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用，可得x2﹣x0，y2），设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）∵右焦点到直线的距离为，∴∴∵椭圆的离心率为，∴∴∴∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）∵，∴x2﹣x0，y2）∴①易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立于是设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②∴③④由①③可得，代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0∴k2=1此时②为5y2+2y﹣7=0，判别式大于0∴直线l的方程为y=±x﹣1【点评】本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行解题．21．（12分）（2015•金家庄区校级模拟）在多面体ABCDE中，BC=BA，DE∥BC，AE⊥平面BCDE，BC=2DE，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ACD；（Ⅱ）若EA=EB=CD，求二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连接DG，FG，由已知得四边形DEFG是平行四边形，由此能证明EF∥平面ACD．（Ⅱ）过点B作BM垂直DE的延长线于点M，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则∠BHM 是二面角B﹣AD﹣E的平面角，由此能求出二面角B﹣AD﹣E的正切值的大小．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC中点G，连接DG，FG．因为F是AB的中点，所以FG是△ABC的中位线，则FG∥BC，FG=，所以FG∥DE，FG=DE，则四边形DEFG是平行四边形，所以EF∥DG，故EF∥平面ACD．（Ⅱ）解：过点B作BM垂直DE的延长线于点M，因为AE⊥平面BCDE，所以AE⊥BM，则BM⊥平面ADE，过M作MH⊥AD，垂足为H，连接BH，则AD⊥平面BMH，所以AD⊥BH，则∠BHM是二面角B﹣AD﹣E的平面角．设DE=a，则BC=AB=2a，在△BEM中，EM=，BE=，所以BM=．又因为△ADE∽△MDH，所以HM=，则tan∠BHM=．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22．（12分）（2015秋•合肥校级期末）如图，已知离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程．（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．【分析】（Ⅰ）先由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为和椭圆过点M（2，1），列出方程组，再由方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）由直线l∥OM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，欲证明直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．只需证明：k1+k2=0即可．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆C的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意得：，解得a2=8，b2=2，∴椭圆方程为．（Ⅱ）证明：由直线l∥OM，设l：y=，将式子代入椭圆C得：x2+2mx+2m2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m ，，设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，则，，∵k1+k2==1+m•=1+m•=0，故直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形是等腰三角形的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线与椭圆的位置关系的灵活运第21页（共21页）。

2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里．）1．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β3．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）A． 4和3 B．﹣4和3 C．﹣4和﹣3 D． 4和﹣34．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A． 28+6 B． 30+6 C． 56+12 D． 60+125．经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A． x+2y﹣6=0 B． 2x+y﹣6=0 C． x﹣2y+7=0 D． x﹣2y﹣7=06．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（）A． B． C． D． 16π7．已知0＜x＜1，0＜y＜1，则的最小值为（）A． B． C． 2 D． 88．如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2为（）A． 3：2 B． 7：5 C． 8：5 D． 9：59．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A． [，2] B． [，2] C． [，4] D． [2，4]10．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填在答题卷的相应位置．）11．直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是．12．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为．13．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为cm2．14．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知BC⊥AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D ﹣ABC的体积的最大值是．15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b经过无穷多个整点；⑤存在恰经过一个整点的直线．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．17．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．18．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．19．已知直线l：y=3x+3．（1）求点P（5，3）关于直线l的对称点P′的坐标；（2）求直线l1：x﹣y﹣2=0关于直线l的对称直线l2的方程；（3）已知点M（2，6），试在直线l上求一点N使得|NP|+|NM|的值最小．20．如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．2014-2015学年安徽省合肥168中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题卷的表格里．）1．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析： A，B，C列举所有情况，D考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．解答：解：对于A，两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交、异面都有可能，故不正确；对于B，一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故不正确；对于C，两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，故不正确；对于D，由a∥α得，经过a的平面与α相交于直线c，则a∥c，同理，设经过a的平面与β相交于直线d，则a∥d，由平行公理得：c∥d，则c∥β，又c⊂α，α∩β=b，所以c ∥b，又a∥c，所以a∥b．故选：D．点评：本题主要考查了空间线面位置关系，要求熟练掌握相应的定义和定理，注意定理成立的条件．2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β B．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥β D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．3．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）A． 4和3 B．﹣4和3 C．﹣4和﹣3 D． 4和﹣3考点：两条直线平行的判定；直线的截距式方程．专题：待定系数法．分析：由直线在y轴上的截距为，可得=，解出 n，再由直线平行可得=≠，求出 m．解答：解：由题意得=，n=﹣3，直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，∴=≠，∴m=﹣4．故选 C．点评：本题考查直线在y轴上的截距的定义，两直线平行的性质．4．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A． 28+6 B． 30+6 C． 56+12 D． 60+12考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．解答：解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底==10，S后=，S右==10，S左==6．几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故选：B．点评：本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．5．经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A． x+2y﹣6=0 B． 2x+y﹣6=0 C． x﹣2y+7=0 D． x﹣2y﹣7=0考点：直线的斜截式方程．专题：计算题．分析：设出直线方程的截距式，把经过的点P（1，4）的坐标代入得a与b的等式关系，把截距的和a+b变形后使用基本不等式求出它的最小值．解答：解：设直线的方程为+=1（a＞0，b＞0），则有+=1，∴a+b=（a+b）×1=（a+b）×（+）=5++≥5+4=9，当且仅当=，即a=3，b=6时取“=”．∴直线方程为2x+y﹣6=0．故选B．点评：本题考查直线方程的截距式，利用基本不等式求截距和的最小值，注意等号成立的条件需检验．6．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的表面积为（）A． B． C． D． 16π考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：根据正四棱锥P﹣ABCD与外接球的关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，∵底面边长为4，∴AE=，PE=6，∴侧棱长PA==，PF=2R，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF•PE，即44=2R×6，解得R=，则S=4πR2=4π（）2=，故选：B点评：本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，根据条件求出球的半径是解决本题的关键．7．已知0＜x＜1，0＜y＜1，则的最小值为（）A． B． C． 2 D． 8考点：有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用四个和式的几何意义求得答案．解答：解：根号表示点（x，y）与原点（0，0）之间的距离，根号表示点（x，y）与点（0，1）之间的距离，表示点（x，y）与点（1，0）之间的距离，表示点（x，y）与点（1，1）之间的距离，∴函数就是四个距离之和，满足条件0＜x＜1，0＜y＜1的点（x，y）位于矩形内，则距离之和的最小值就是此矩形的对角线长的2倍，等于．故选：A．点评：本题考查了函数值的求法，考查了数学转化思想方法，关键是转化为几何意义，是中档题．8．如图，在三棱柱ABC﹣A'B'C'中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB'C'F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1：V2为（）A． 3：2 B． 7：5 C． 8：5 D． 9：5考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由已知中平面EB'C'F将三棱柱分成一个棱台（体积为V1）和一个不规则几何体，（体积为V2），我们根据棱柱体积公式，和棱台的体积公式，结合组合体的体积求法，分别计算出V1，V2的表达式，即可得到答案．解答：解：设S△AEF=x，则S△ABC=S△A1B1C1=4x，S□EFBC=3xV1：V2=（4x+2x+x）：4x﹣[（4x+2x+x）]=7：5故选B点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，棱台的体积，组合体的体积，其中分析出面EB'C'F 将三棱柱分成一个棱台（体积为V1）和一个不规则几何体，（体积为V2），是解答本题的关键．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A． [，2] B． [，2] C． [，4] D． [2，4]考点：两条直线的交点坐标；函数最值的应用．专题：直线与圆．分析：可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．解答：解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴2sin（θ+）∈[，2]，故选：B．点评：本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．10．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）A． B． C． D．考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题．分析：利用方程的根，求出a，b，c的关系，求出平行线之间的距离表达式，然后求解距离的最值．解答：解：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，所以a+b=﹣1，ab=c，两条直线之间的距离d=，∴d2==，因为0≤c≤，所以≤1﹣4c≤1，即d2，所以两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是．故选C．点评：本题考查平行线之间的距离的求法，函数的最值的求法，考查计算能力．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填在答题卷的相应位置．）11．直线l：ax+（a+1）y+2=0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是{a|a＜﹣或a＞0} ．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：当a=﹣1时，符合题意；当a≠﹣1时，只需＜0或＞1即可，解不等式综合可得．解答：解：当a+1=0即a=﹣1时，直线无斜率，倾斜角为90°，满足倾斜角大于45°；当a+1≠0即a≠﹣1时，直线的斜率＜0或＞1即可解不等式可得a＜﹣1或﹣1＜a＜﹣或a＞0综上可得a的取值范围为：{a|a＜﹣或a＞0}故答案为：{a|a＜﹣或a＞0}点评：本题考查直线的倾斜角，涉及不等式的解集和分类讨论，属基础题．12．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2cm2，则原平面图形的面积为8cm2．考点：平面图形的直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：首先，根据所给的图形中∠BAD=45°，得到原图形为一个直角梯形，然后，根据高之间的关系进行求解．解答：解：根据题意，得∠BAD=45°，则原图形为一个直角梯形，上下底面的边长和BC、AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，∴原平面图形的面积为8cm2．故答案为：8cm2．点评：本题重点考查了斜二侧画法、平面图形的面积的求解方法等知识，属于中档题．解题关键是准确理解斜二侧画法的内涵，与x轴平行的线段长度保持不变，与y轴平行的线段的长度减少为原来的一半．13．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为2cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：作图题；综合题．分析：根据题意，画出图形，结合题目所给数据，求出正视图的三边的长，可求其面积．解答：解：这个正四面体的位置是AC放在桌面上，BD平行桌面，它的正视图是和几何体如图，则正视图 BD=2，DO=BO=，∴S△BOD=，故答案为：2．点评：本题考查由三视图求面积，考查空间想象能力逻辑思维能力，是中档题．14．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知BC⊥AD，BC=2，AD=6，AB+BD=AC+CD=10，则三棱锥D﹣ABC的体积的最大值是．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．分析：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E，过E作BC的垂线，垂足为F，则V=S△BCE×AD，进而可分析出当BE取最大值时，EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值，利用椭圆的几何意义及勾股定理，求出EF的最大值，可得答案．解答：解：过BC作与AD垂直的平面，交AD于E过E作BC的垂线，垂足为F，如图所示：∵BC=2，AD=6，则三棱锥D﹣ABC体积V=S△BCE×（AE+DE）=V=S△BCE×AD=וBC•EF×AD=2EF故EF取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值即BE取最大值时，三棱锥D﹣ABC的体积也取最大值在△ABD中，动点B到A，D两点的距离和为10，故B在以AD为焦点的椭圆上，此时a=5，c=3，故BE的最大值为b==4此时EF==故三棱锥D一ABC的体积的最大值是故答案为：点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中将求棱锥体积的最大值，转化为求椭圆上动点到长轴的距离最远是解答的关键．15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤（写出所有正确命题的编号）．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④如果k与b都是有理数，则直线y=kx+b经过无穷多个整点；⑤存在恰经过一个整点的直线．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：①举一例子即可说明本命题是真命题；②举一反例即可说明本命题是假命题；③假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；④根据③为真命题，把直线l的解析式y=kx上下平移即不能得到y=kx+b，所以本命题为假命题；⑤举一例子即可得到本命题为真命题．解答：解：①令y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；②若k=，b=，则直线y=x+经过（﹣1，0），所以本命题错误；设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线l方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1﹣y2=k（x1﹣x2），则（x1﹣x2，y1﹣y2）也在直线y=kx上且为整点，通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，又通过上下平移得到y=kx+b不一定成立．则③正确，④不正确；⑤令直线y=x恰经过整点（0，0），所以本命题正确．综上，命题正确的序号有：①③⑤．故答案为：①③⑤点评：此题考查学生会利用举反例的方法说明一个命题为假命题，要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明，以及考查学生对题中新定义的理解能力，是一道中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题．分析：先由EH∥FG，得到EH∥面BDC，从而得到EH∥BD．解答：证明：∵EH∥FG，EH⊄面BCD，FG⊂面BCD∴EH∥面BCD，又∵EH⊂面ABD，面BCD∩面ABD=BD，∴EH∥BD点评：本题主要考查线面平行的判定定理，是道基础题．17．如图，在△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标．考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：根据三角形的性质解A点，再解出AC的方程，进而求出BC方程，解出C点坐标．逐步解答．解答：解：点A为y=0与x﹣2y+1=0两直线的交点，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∴k AB==1．又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0，∴k AC=﹣1．∴直线AC的方程是y=﹣x﹣1．而BC与x﹣2y+1=0垂直，∴k BC=﹣2．∴直线BC的方程是y﹣2=﹣2（x﹣1）．由y=﹣x﹣1，y=﹣2x+4，解得C（5，﹣6）．∴点A和点C的坐标分别为（﹣1，0）和（5，﹣6）点评：本题可以借助图形帮助理解题意，将条件逐一转化求解，这是上策．18．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直，利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE，通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF；（2）利用（1）中的结论找到二面角P﹣AD﹣B的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定理．解答：解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在△ABG中，根据余弦定理可以算出BG=，发现AG2+BG2=AB2，可以得出AD⊥BG，又DE∥BG∴DE⊥AD，又PA=PD，可以得出AD⊥PG，而PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG，而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB，又PB∥EF，∴AD⊥EF．又EF∩DE=E，∴AD⊥平面DEF．（2）由（1）知，AD⊥平面PBG，所以∠PGB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，在△PBG中，PG=，BG=，PB=2，由余弦定理得cos∠PGB=，因此二面角P﹣AD﹣B的余弦值为．点评：本题考查立体几何中基本的线面关系，考查线面垂直的判定方法，考查二面角的求法，训练了学生基本的空间想象能力，考查学生的转化与化归思想，解三角形的基本知识和学生的运算能力，属于基本的立体几何题．19．已知直线l：y=3x+3．（1）求点P（5，3）关于直线l的对称点P′的坐标；（2）求直线l1：x﹣y﹣2=0关于直线l的对称直线l2的方程；（3）已知点M（2，6），试在直线l上求一点N使得|NP|+|NM|的值最小．考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）设点P的对称点为P'（a，b），由中点坐标公式和两直线垂直的条件列方程，解出即可；（2）首先求出两直线的交点，再由点关于直线对称的求法求出对称点，再由直线方程的形式，即可得到；（3）可由（1）的结论，连接P'M，交直线l于N，连接NP，再由三点共线的知识，即可求出N．解答：解：（1）设点P的对称点为P'（a，b），则，解得：，即点P'的坐标为（﹣4，6）；（2）解方程组得，即两直线l与l的交点坐标为因为直线l与l2关于直线l对称，所以直线l2必过点，又由（1）可知，点P（5，3）恰好在直线l上，且其关于直线l的对称点为P'（﹣4，6），所以直线l2必过点P'（﹣4，6），这样由两点式可得：，即7x+y+22=0；（3）由（1）得P'（﹣4，6），连接P'M，交直线l于N，连接NP，则|NP|+|NM|=|NP'|+|NM|=|P'M|最小，设出N（x，3x+3），则由P'，M，N共线，可得，，解得，x=1，则可得N（1，6）．点评：本题考查点关于直线对称、直线关于直线对称，以及运用：求最值，考查直线方程的知识，考查运算能力，属于中档题．20．如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（Ⅰ）根据两个点是两条边的中点，得到这条线是两条边的中位线，得到这条线平行于PC，根据线面平行的判定定理，得到线面平行．（Ⅱ）根据四个点是四条边的中点，得到中位线，根据中位线定理得到四边形是一个平行四边形，根据两条对角线垂直，得到平行四边形是一个矩形．（Ⅲ）做出辅助线，证明存在点Q到四面体PABC六条棱的中点的距离相等，根据第二问证出的四边形是矩形，根据矩形的两条对角线互相平分，又可以证出另一个矩形，得到结论．解答：证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE∥PC，∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM=QN=EG，∴Q为满足条件的点．点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查三角形中位线定理，考查平行四边形和矩形的判定及性质，本题是一个基础题．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．考点：二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）运用线面垂直的判定和性质定理即可得证CD⊥AE；（2）运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到PD⊥平面ABE；（3）过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．通过解三角形AEM，即可得到所求值．解答：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE；（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA=A∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．∴AC=AB∴PA=PC∵E是PC中点∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A∴PD⊥平面ABE；（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．设AC=a，AD==，PA=A，PD==a，AM===，在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，则tan∠AME===．点评：本题考查线面垂直的性质和判定定理及运用，考查空间二面角的求法，考查运算和推理能力，属于中档题．21。

2017级高二年级第一学期入学考试数学试卷时间：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、已知集合(){}22log 41A x x x =+->，1,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则()RA CB =（ ）A. 1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ C. (]11,0,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. ()(),12,-∞-+∞2、设()2lg 2xf x x+=-，则22x f f x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的定义域为（ ） A.()()4,00,4- B. ()()4,11,4-- C. ()()2,11,2-- D. ()()4,22,4--3、已知α为锐角，且7sin 2cos2αα=，则sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）4、设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4，若()11,2,,10i i y x i =+=，则1210,,,y y y 的均值和方差分别为（ ）A.2,4B.2,5C.1,4D.1,5 5、在数列{}n x 中，若11x =，1111n n x x +=-+，则2018x 的值为（ ） A.-1 B. 12-C. 12D.1 6、在ABC ∆中，若()sin cos cos sin sin C A B A B +=+，则ABC ∆的形状是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 7、设102m <<，若212212k k m m+≥--恒成立，则k 的取值范围为（ ） A. [)(]2,00,4- B. [)(]4,00,2- C. []4,2- D. []2,4-8、已知1sin cos 2x y ⋅=，则sin cos y x ⋅的取值范围是（ ） A. []1,1- B. 31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9、已知()122018122018f x x x x x x x x =-+-++-++++++++，若()()2321fm m fm -+=-，则满足条件的所有实数m 的和为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 10、已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且212n n S n T n +=+，则512837++a ab b b b +等于（ ） A.1922 B. 322 C. 811D. 1 11、已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为（ ）A.11B.9C.7D.512、斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…..,，在数学上，斐波那契数列以以如下被递推的方法定义：()11f =，()21f =，()()()()122,f n f n fn n n N *=-+-≥∈.这种递推方法适合研究生活中很多问题.比如：一六八中学食堂一楼到二楼有15个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有几种上楼方法？A.377B.610C.987D.1597 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、函数lgsin 2y x =的定义域为 .14、数列{}n a 前n 项和为21n-，则数列{}21n a -的前n 项和为 .15、ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足42PA PB PC AB ++=，则PAC ∆与PBC ∆的面积之比为 .16、已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前项和，若也是公差为d 的等差数列，则{}n a 的通项为 . 三、解答题17、已知函数()xf x b a =⋅（其中,a b 为常量且0a >，1a ≠）的图像过点()1,6A ,()3,24B .⑴试确定()y f x =的解析式；⑵若不等式110x xm a b ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞上恒成立，求实数m 的取值范围.18、已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =，()cos cos cos 2sin cos b B A C a B C +=.⑴若4c =，求sin A 的值； ⑵若AB边上的中线长为2，求ABC ∆的面积19、某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y （单位：万元）的数据如下表：⑴求y 关于t 的线性回归方程；⑵利用⑴中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.符：回归直线的斜率和截距的最小乘估计公式分别为：()()()121ˆni i i ni i tt y y bt t ==-⋅-=-∑∑，ˆˆay bt =-20、函数()sin 2cos2f x x x =+ ⑴求712f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； ⑵0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的取值范围； ⑶函数的性质通常指的是函数的定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性等，请你探究函数()f x 其中的三个性质（直接写出结论即可）21、某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率P 与日产量x （万件）之间满足关系：1,162,3x c xP x c ⎧≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩（36c ≤≤）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（注：次品率=次品数/生产量）⑴试将生产这种仪器元件每天的盈利额T （万元）表示为日产量x （万件）的函数； ⑵当日产量为多少时，可获得最大利润？22、已知数列{}n a 满足()()131n n n a na n N *++=∈，且13a = ⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵求数列{}n a 的前n 项和n S ； ⑶若231n n a n b n +=+，求证12511116nb b b ≤+++<一六八入学考试答案二、填空题 13、3,0,22ππ⎡⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ 14、11433n n ⋅-- 15、12 16、1724n + 三、解答题17、⑴()32xf x =⋅-------（5分）⑵11023x x m ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴1123x xm ⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1-∞上恒成立 ∴56m ≤----------（10分）18、⑴由题意得sin sin 2sin cos b A C a B C =则tan 2C =，∴sin C =则sin sin 2a C A c ==----------（6分） ⑵取AB 中点E 并延长至D ，试CE=DE ，连BD则CD =CB =cos DBC ∠=2222cos CD CB DB CB DB DBC =+-⋅⋅∠∴DB =∴4ABC DBC S S ∆∆==---------（12分）19、⑴ˆ0.5 2.3yt =+--------------（8分） ⑵ˆ 6.8y=---------------------（12分） 20、⑴122+------------（2分）⑵⎡⎣-------------（6分）⑶①定义域x R ∈②值域⎡⎣③偶函数 ④4T π=⑤在,484k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，在,8444k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦单调递减------（每个2分，写三个即可） 21、⑴①1x c ≤≤ 16P x=- ∴21192121666x x T x x x x x -⎛⎫⎛⎫=-⋅⋅-⋅⋅=⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭②x c > 23P =∴1221033T x x =⋅⋅-⋅⋅= ∴292,160,x x x c xT x c ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩------------（6分）⑵①x c > 0T =②1x c ≤≤ ()292915261512366x x T x x x -⎡⎤==--+≤-=⎢⎥--⎣⎦当且仅当3x =是等号成立∴日产量3万件时，利润最大---------------（12分） 22、⑴131n n a a n n +=+ n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，则3n n a n =⋅------（3分） ⑵利用错位相减法得1213344n n n S +-=⋅+---------------------------（6分） ⑶()1323n n n n b n +=+ 则()1123111113313n nnn n b n n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1211111113nn b b b n ⎛⎫⎛⎫+++=-⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭则12511116nb b b ≤+++<-------------------------------（12分）。

A．2+2B．1+2222C．D．1+合肥一六八中学2015—2016学年第一学期期中考试高二数学(文科)试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2.选择题和非选择题答案必须填写在答题卷上相应位置，否则不得分。

3.考试结束后，请将答题卡和答题卷一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（共60题，每题5分。

每题仅有一个正确选项。

）1.下列说法中正确的是()A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A．120°B．150°C．180°D．240°3.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）A.21+3B.18+3C.21D.184.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）2+25.已知三条不重合的直线m,n,l和两个不重合的平面α、β，有下列命题（）①若m//n,n⊂α,则m//α;②若l⊥α,m⊥β,且l⊥m,则α⊥β]B．⎢,π⎪C．[0,] (,π) D.⎢,⎪ ⎢,π⎪ππ42③若l⊥n,m⊥n,则l//m④若α⊥β,α β=m,n⊂β,n⊥m,则m⊥α.A．4B．3C．2D．16.设四面体ABCD各棱长均相等,S为AD的中点,Q为BC上异于中点和端点的任一点,则∆SQD在四面体的面BCD上的的射影可能是（）A．①B．②C．③D．④7.设a、b、c分别为⊿ABC中∠A、∠B、∠C对边的边长，则直线x sin A＋ay＋c＝0与直线bx－y sin B＋sin C＝0的位置关系（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8．直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是（）A．[0,π⎡3π⎫⎡ππ⎫⎡3π⎫4⎣4⎭⎣42⎭⎣4⎭9.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB、CD、EF、GH在原正方体中互为异面的对数为()A．1B．2C．3D．410.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为()A.1323B. C. D.332311.已知圆柱底面半径为1，高为，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示．现将轴截面ABCD绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点P，设的V长度为，则 的图象大致为（）12.如左图所示，在正四棱锥 S - ABCD 中，E 是 BC 的中点，P 点在侧面 ∆SCD 内及其边界上运动，并且总是保持 PE ⊥ AC ．则动点 P 的轨迹与 ∆SCD 组成的相关图形最有可有是右图中的（）第Ⅱ卷(90 分)二、填空题（共 20 分，每题 5 分）13.把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是 1∶4，母线长为 10 cm ，求圆锥的母线长为．14.在三棱锥 P-ABC 中，P A=PB=PC=BC,且 ∠BAC = 90 ,则 PA 与底面 ABC 所成角为.15.三棱锥 P-ABC 中，D,E 分别是 PB,PC 的中点，记三棱锥 D-ABE 的体积为V ,P-ABC1的体积为V ，则V1= .2216.光线由点 A(-1,4)射出，遇到直线 l : 2 x - 3 y - 6 = 0 后被反射，已知点 B (3,62 13) 在反射光线上，则反射光线所在的直线方程为.三、解答题（共 70 分，每题需有必要的解答过程）17.(本小题满分 10 分)四面体 ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱 AD,BC 的平面分别交四面体的棱 AB,BD,DC,CA 于点 E,F,G,H.(1)求四面体 ABCD 的体积.(2)证明:四边形EFGH是矩形.18.(本题满分10分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.(1)证明l经过定点；(2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B△，AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．19(本题满分12分)已知点P到两个定点M(－1，0)，N(1，0)距离的比为2，点N到直线PM的距离为1.求直线PN的方程．20.(本题满分12分)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD,P A=AD=1，AB=3,点F是PD的中点，点E在CD上移动.(1)求三棱锥E-PAB的体积；（2）当点E是CD的中点时，求证：EF//平面PAC;(3)求证：PE⊥AF.21(本题满分13分)如图1，直角梯形ABCD中，AD//B C,∠ABC=90，E,F分别为边AD和BC上的点，且EF//AB，AD=2A E=2A B=4FC=4．将四边形EFCD 沿EF折起成如图2的位置,使AD=AE.（1）求证：BC//平面DAE；（2）求四棱锥D-AEFB的体积.22(本题满分13分).如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED＝1，EF ∥BD．(1)设EF=λBD,是否存在实数λ,使BF∥平面ACE；(2)求证：平面EAC⊥平面BDEF(3)当EF=1BD时,求几何体ABCDEF的体积．2⎛ 1＋2k ⎫k ，0⎪，B (0，1＋2k )，…………..5’∴S ＝2|OA ||OB |＝2 4k ＋k ＋4⎪≥4，…………………………..8’2015-2016 届高二（上）期中考试试题文科数学答案一、选择题（60 分）题号答案1 2A C 3A 4A 5C 6C 7C 8B 9C 10C 11A 12A二、填空题（20 分）4013.解： 3 cm. 14. 6015.1/4. 16 13x-26y+85=0三.解答题（70 分）17【解析】(1)由该四面体的三视图可知,BD ⊥ D C,BD ⊥ A D,AD ⊥ D C,BD=DC=2,AD=1, 又 BD∩DC=D, 所以 AD ⊥平面 BDC.所以四面体 ABCD 的体积 V= × ×2×2×1= . ……………………4’(2)因为 BC ∥平面 EFGH,平面 EFGH∩平面 BDC=FG,平面 EFGH∩平面 ABC=EH,所以 BC ∥FG,BC ∥EH,所以 FG ∥EH.同理 EF ∥AD,HG ∥AD,所以 EF ∥HG,所以四边形 EFGH 是平行四边形.…………………………………7’又因为 AD ⊥平面 BDC,所以 AD ⊥BC,所以 EF ⊥FG,所以四边形 EFGH 是矩形………………………………………10’18.解：(1)直线方程变化为(x ＋2)k －(y －1)＝0，当 x ＝－2，y ＝1 时方程对任意实 数 k 恒成立，故直线过定点(－2，1)． …………….. . 3’(2)由 l 的方程得 A － ⎝ ⎭1＋2k由题知－ k ＜0，且 1＋2k ＞0，∴k ＞0，1 1⎛ 1 ⎫ ⎝ ⎭1 1当且仅当 k ＞0，4k ＝k ，即 k ＝2时，面积取最小值 4，此时直线 l 的方程是 x -2y +4＝0…….10’||PM|19．解：设点P的坐标为(x，y)，由题设有|PN|＝2，即（x＋1）2＋y2＝2·（x－1）2＋y2，………….3’整理得x2＋y2－6x＋1＝0.①…………………….6’3因为点N到PM的距离为1，MN|＝2，所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±3，3直线PM的方程为y＝±3(x＋1)．②……………8’将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0，解得x＝2±3，代入②式得点P的坐标为(2＋3，1＋3)或(2－3，－1＋3)或(2＋3，－1－3)或(2－3，1－3)，………….10’∴直线PN的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.………12’20.(12’)21【答案】（1）证： C F//DE,FB//AE,BF CF=F,AE DE=E∴面CBF//面DAE又BC⊂面CBF所以BC//平面DAE……………6’（2）取AE的中点H，连接DH EF⊥ED,EF⊥EA∴EF⊥平面DAE又DH⊂平面DAE∴EF⊥DH AE=ED=DA=2∴DH⊥AE,DH=3∴DH⊥面AEFB所以四棱锥 D - AEFB 的体积V = ⨯ 3 ⨯ 2 ⨯ 2 =∴题型 BDEF 的面积为 ( 2 + 2 2) ⨯1 ∴几何体的体积 V ABCDEF ＝2V A －BDEF ＝2× 1 S BDEF ·AO ＝ 2 ⨯ 1 ⨯ 3 2 ⨯ 2 = 2 ．1 4 33 3 ………………………13’22(1)存在 λ = 12 1 . 证明：记 AC 与 BD 的交点为 O ，则 DO ＝BO ＝ BD ，连接 EO ，2∵EF ∥BD,当 λ = 12 1 时,即 EF ＝ BD ，2∴EF ∥BO 且 EF ＝BO ，则四边形 EFBO 是平行四边形，∴BF ∥EO ，又∵ EO ⊂ 面 ACE ， BF ⊄ 面 ACE ，∴BF ∥平面 ACE ；………………………………4’(2)证明：∵ED ⊥平面 ABCD ， AC ⊂ 平面 ABCD ，∴ED ⊥AC ．∵ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，又 ED∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面 BDEF ，又 AC ⊂ 平面 EAC ，∴平面 EAC ⊥平面 BDEF ；………………………8’(3)解：∵ED ⊥平面 ABCD ，∴ED ⊥BD ，又∵EF ∥BD 且 EF ＝ 1BD ，∴BDEF 是直角梯形，2又∵ABCD 是边长为 2 的正方形，BD ＝2 2 ，EF ＝ 2 ，3 2= ，2 2由(1)知 AC ⊥平面 BDEF ，33 2…………………13’。

2015-2016学年安徽省合肥一六八中高二（上）开学数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M-N={x|x∈M且x∉N}，则M-（M-N）等于（）A.NB.M∩NC.M∪ND.M【答案】B【解析】解：M-N={x|x∈M且x∉N}是指图（1）中的阴影部分．同样M-（M-N）是指图（2）中的阴影部分．即M∩N，如果N为M的真子集，则M-（M-N）=N；若M与N的V enn图互不相交，则M-（M-N）=M．故选B．本题为新定义问题，画出基本韦恩图求解即可对新定义问题，正确理解定义是解题的关键．2.已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x）=f（x+2）恒成立，当x∈（-2，0）时，f（x）=x2，则当x∈[2，3]时，函数f（x）的解析式为（）A.x2-4B.x2+4C.（x+4）2D.（x-4）2【答案】D【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴f（x）是周期为2的周期函数，∵当x∈（-2，0）时，f（x）=x2，根据周期性，当x∈2，3]时，f（x）=f（x-4）=（x-4）2故选D根据f（x）=f（x+2）判断出函数的周期性，再根据周期性，把∈[2，3]的函数值变形到（-2，0）上来求．本题考查了函数的周期性的判断与应用，是高考必考内容．3.已知函数f（x）=＞，则f（log23）=（）A.3B.C.1D.2【答案】B【解析】解：∵2=log24＞log23＞log22=1∴f（log23）=f（log23-1）而log23-1＜1∴f（log23）=f（log23-1）==3×=故选B．先判定log23的取值范围，然后代入分段函数化简得f（log23）=f（log23-1），再判定log23-1的范围，代入解析式，利用指对数运算性质进行求解即可．本题主要考查了对数函数的运算性质，以及函数求值，同时考查了计算能力，属于基础题．4.计算log2sin+log2cos的值为（）A.-4B.4C.2D.-2【答案】D【解析】解：∵==2-2．∴原式===-2．故选：D．由于=．可得原式==，即可得出．本题考查了倍角公式、对数函数的运算性质，属于基础题．5.若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（）A.a＞b＞cB.b＞a＞cC.c＞a＞bD.b＞c＞a【答案】A【解析】解：＜＜，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选A利用估值法知a大于1，b在0与1之间，c小于0．估值法是比较大小的常用方法，属基本题．6.奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（）A.-2B.-1C.0D.1【答案】D【解析】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，∴设g（x）=f（x+2），则g（-x）=g（x），即f（-x+2）=f（x+2），∵f（x）是奇函数，∴f（-x+2）=f（x+2）=-f（x-2），即f（x+4）=-f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=-f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（1）=1，∴f（8）+f（9）=0+1=1，故选：D．根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质，得到函数的对称轴是解决本题的关键．7.如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC=BD，AD=1，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：=cos∠DAC，∵||=1，∴•=cos∠DAC=||•cos∠DAC，∵∠BAC=+∠DAC，∴cos∠DAC=sin∠BAC，•=cos∠DAC=||•cos∠DAC=||sin∠BAC，变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sin B，在△ABC中，由正弦定理得=∠•=cos∠DAC=||•cos∠DAC=||sin∠BAC，=|BC|sin B=|BC|•=，故选：B．利用平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，求解向量的数量积即可．本题考查平面向量的数量积，向量在几何中的应用，平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题8.已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5．若存在两项a m，a n使得，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2-q-2=0，∴q=2，∵存在两项a m，a n使得，∴a m a n=16a12，∴q m+n-2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时，=；m=2，n=4时，=．∴的最小值为，故选B．根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项a m，a n使得，写出m，n 之间的关系，结合基本不等式得到最小值．本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和．9.已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4-2a72+3a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（）A.1B.2C.4D.8【答案】D【解析】解：∵数列{a n}是各项不为0的等差数列，由a4-2+3a8=0，得，，，∴，解得：a7=2．则b7=a7=2．又数列{b n}是等比数列，则b2b8b11=．故选：D．由已知方程结合等差数列的性质求解a7，再利用等比数列的性质求解答案．本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的计算能力，是中档题．10.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A.3B.4C.5D.8【答案】B【解析】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：当=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．故选B．列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．本题考查循环结构框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．11.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式为（）A.f（x）=sin2xB.f（x）=-sin2xC.f（x）=sin（2x-）D.f（x）=sin（2x+）【答案】C【解析】解：依题意，知A=1，T=-=，∴T==π，ω=2；又ω+φ=2kπ+π（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴将f（x）的图象向右平移个长度单位，得y=f（x-）=sin[2（x-）+]=sin（2x-），故选：C．依题意，知A=1，T=π，从而可求ω=2；再由ω+φ=2kπ+π（k∈Z），|φ|＜可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，最后利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换即可求得将f（x）的图象向右平移个长度单位，所得图象对应的函数解析式．本题考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象的解析式的确定及图象变换，考查分析运算能力，属于中档题．12.函数，＞，＜图象上关于坐标原点O对称的点有n对，则n=（）A.3B.4C.5D.无数【答案】B【解析】解：当x＜0时，函数f（x）=cos，则关于原点对称的图象为y=-cos，x＞0，作出函数的图象如图：当x=10时，y=lg11＞1，y=-cos=1，x＞0，则由图象可知两个图象的交点个有4个，故n=4，故选：B．要求函数图象上关于坐标原点对称，则有f（-x）=-f（x），转化为方程根的个数，再用数形结合法求解．本题主要通过分段函数来考查函数奇偶性的应用，同时还考查了学生作图和数形结合的能力．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为______ ．【答案】10【解析】解：由960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n-1）30=30n-21．由451≤30n-21≤750解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故答案为：10．由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n-1）30=30n-21，由451≤30n-21≤750求得正整数n的个数，即为所求．本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．14.设x，y满足的约束条件，则z=x+2y的最大值为______ ．【答案】7【解析】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-，平移直线y=-，由图象可知当直线y=-经过点B时，直线y=-的截距最大，此时z最大．由，得，即B（3，2），此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7，故答案为：7．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.向量，，，，若与的夹角等于，则|的最大值为______ ．【答案】4【解析】解：如图，设=，=，则=，与的夹角等于，即∠OBA=，再设||=a，||=t，在△OAB中，根据余弦定理有：22=a2+t2-2at•cos，整理得：t2-at+a2-4=0，由（-a）2-4（a2-4）≥0，得：a2≤16，所以0＜a≤4．所以||的最大值为4．由已知得到的坐标，然后由数量积的对于求之．在平面直角坐标系中，标出与对应的点，构造出三角形后运用余弦定理得关于向量的模的方程，由判别式大于等于0可得||的最大值．本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了方程思想，考查了数形结合思想，是中档题．16.给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；（2）若sin A=cos B，则△ABC为直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形；（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC为正三角形，以上正确命题的是______ ．【答案】（3）（4）【解析】解：（1）若sin2A=sin2B，∵A，B∈（0，π），∴2A=2B，或2A+2B=π，解得A=B，或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，因此不正确；（2）若sin A=cos B=，∵A，B∈（0，π），∴A=-B，或A+-B=π，解得A+B=或，则△ABC为钝角三角形或直角三角形，因此不正确；（3）∵sin2A+sin2B+sin2C＜2，∴++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞-1，∴2cos2A+2cos（B+C）cos（B-C）＞0，∴cos A[-cos（B+C）-cos（B-C）]＞0，∴cos A cos B cos C＜0，因此△ABC为钝角三角形，正确；（4）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，∵cos（A-B）∈（-1，1]，cos（B-C）∈（-1，1]，cos（C-A）∈（-1，1]，可知：只有三个都等于1，又A，B，C∈（0，π），∴A-B=B-C=C-A=0，∴A=B=C，则△ABC为正三角形，正确．以上正确的命题是：（3）（4）．故答案为：（3）（4）．（1）由sin2A=sin2B，A，B∈（0，π），可得2A=2B，或2A+2B=π，即可判断出正误；（2）由sin A=cos B=，A，B∈（0，π），可得A=-B，或A+-B=π，即可判断出正误；（3）由sin2A+sin2B+sin2C＜2，利用倍角公式可得：++＜2，化为cos2A+cos2B+cos2C＞-1，再利用倍角公式、和差公式化为cos A cos B cos C＜0，即可判断出正误；（4）由cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，利用余弦函数的值域，可得A-B=B-C=C-A=0，即可判断出正误．本题考查了三角函数的值域、三角形内角和定理、倍角公式与和差公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.设函数f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值．【答案】解：（1）f（x）=，＜若f（x）奇函数，则f（-x）=-f（x）所以f（0）=-f（0），即f（0）=0．∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是R上的奇函数．又∵f（1）=1，f（-1）=3，f（1）≠f（-1），∴f（x）不是偶函数．故f（x）是非奇非偶的函数．（2）当x≥2时，f（x）=x2+x-3，为二次函数，对称轴为直线x=，则f（x）为[2，+∞）上的增函数，此时f（x）min=f（2）=3．当x＜2时，f（x）=x2-x+1，为二次函数，对称轴为直线x=则f（x）在（-∞，）上为减函数，在[，2）上为增函数，此时f（x）min=f（）=．综上，f（x）min=．【解析】本题第一问考查分段函数的奇偶性，用定义判断；第二问是求最值的题目：求最值时，先判断函数在相应定义域上的单调性，在根据单调性求出函数的最值．函数的奇偶性是高考常考的题目，而出的题目一般比较简单，常用定义法判断；函数的最值也是函数问题中常考的题目，一般先判断函数的单调性，在求最值，而学生往往忽略了判断单调性这一步．18.已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且tan A+tan B=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若+=3，求sin A sin C的值．【答案】解：（Ⅰ）已知等式变形得：+=，去分母得：sin A cos B+sin B cos A=2sin C cos B，即sin（A+B）=2sin C cos B=sin C，∵sin C≠0，∴cos B=，则B=60°；（Ⅱ）由+=3，整理得：a2+c2=3ac，∵cos B=，a2+c2=3ac，∴b2=a2+c2-2accos B=2ac，由正弦定理得：sin2B=2sin A sin C=，则sin A sin C=．【解析】（Ⅰ）已知等式左边利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后根据sin C不为0求出cos B的值，即可确定出B的度数；（Ⅱ）已知等式去分母整理后得到关系式，利用余弦定理列出关系式，把得出关系式及cos B的值代入，并利用正弦定理化简，即可求出sini A sin C的值．此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，正弦、余弦定理，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．19.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【答案】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是【解析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．20.已知函数f（x）=2sin（x+）cosx．（Ⅰ）若x∈[0，]，求f（x）的取值范围；（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A为锐角，f（A）=，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．【答案】解：（Ⅰ）===…．（4分）∵，，∴，，．∴，．…．（7分）（Ⅱ）由，得sin（2A+）=0，又A为锐角，故A=，又b=2，c=3，∴a2=4+9-2×2×3×cos=7，解得a=．…．（10分）由，得，又b＜a，从而B＜A，cos B=．∴…（14分）【解析】（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=sin（2x+）+，利用x∈[0，]，可求得2x+∈[，]，从而可求得f（x）的取值范围；（Ⅱ）依题意可求得sin（2A+）=0，A为锐角，可知A=，b=2，c=3，利用余弦定理可求得a=，继而可求得sin B及cos B的值，利用两角差的余弦可得cos（A-B）的值．本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与值域，考查正弦定理的应用，属于中档题．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a2a n=S2+S n对一切正整数n都成立．（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．【答案】解：（Ⅰ）当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得②②-①得，a2（a2-a1）=a2③若a2=0，则由①知a1=0，若a2≠0，则a2-a1=1④①④联立可得，或，综上可得，a1=0，a2=0或，或，（Ⅱ）当a1＞0，由（Ⅰ）可得，当n≥2时，，∴∴（n≥2）∴=令由（Ⅰ）可知==∴{b n}是单调递减的等差数列，公差为-lg2∴b1＞b2＞…＞b7=＞当n≥8时，＜∴数列的前7项和最大，==7-【解析】（Ⅰ）由题意，n=2时，由已知可得，a2（a2-a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a2≠0，分别可求a1，a2（Ⅱ）由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．22.已知数列{a n}满足a1=1，|a n+1-a n|=p n，n∈N*．（Ⅰ）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p=，且{a2n-1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式．【答案】解：（Ⅰ）∵数列{a n}是递增数列，∴a n+1-a n＞0，则|a n+1-a n|=p n化为：a n+1-a n=p n，分别令n=1，2可得，a2-a1=p，，即a2=1+p，，∵a1，2a2，3a3成等差数列，∴4a2=a1+3a3，即4（1+p）=1+3（p2+p+1），化简得3p2-p=0，解得或0，当p=0时，数列a n为常数数列，不符合数列{a n}是递增数列，∴；（2）由题意可得，|a n+1-a n|=，则|a2n-a2n-1|=，|a2n+2-a2n+1|=，∵数列{a2n-1}是递增数列，且{a2n}是递减数列，∴a2n+1-a2n-1＞0，且a2n+2-a2n＜0，则-（a2n+2-a2n）＞0，两不等式相加得a2n+1-a2n-1-（a2n+2-a2n）＞0，即a2n+1-a2n+2＞a2n-1-a2n，又∵|a2n-a2n-1|=＞|a2n+2-a2n+1|=，∴a2n-a2n-1＞0，即，同理可得：a2n+3-a2n+2＞a2n+1-a2n，即|a2n+3-a2n+2|＜|a2n+1-a2n|，则a2n+1-a2n=当数列{a n}的项数为偶数时，令n=2m（m∈N*），，，，…，，这2m-1个等式相加可得，==，则；当数列{a n}的项数为奇数时，令n=2m+1（m∈N*），，，…，，这2m个等式相加可得，…-…+ =-=，则，且当m=0时a1=1符合，故，综上得，为偶数为奇数．【解析】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n =1，2代入求出a 2和a 3，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{a n }是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“|a n +1-a n |=p n”、不等式的可加性，求出和a 2n +1-a 2n =，再对数列{a n }的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{a n }的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来．本题考查了等差数列的通项公式，等比数列前n 项和公式、数列的单调性，累加法求数列的通项公式，不等式的性质等，同时考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．本题设计巧妙，题型新颖，立意深刻，是一道不可多得的好题，难度很大．。

数学试卷（理科） 本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题，共50分） 选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.） 1．设复数满足，则=A．B．C．D． 2．设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的 A．充分不必要条件 B必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 执行如右图所示的程序框图,若输出的值为22，那么输入的值等于 A．6 B．7 C．8 D．9 4. 某几何体的三视图（单位：）如右图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( ) A. B. C. D. 5.已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若，则等于( )A、－14B、448C、－1024D、－16 6.若函数的图象在上恰有一个极大值和一个极小值，则的取值范围是( ) A、B、C、D、 7. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=( ) A. B. C. 3 D. 2 8. 某次联欢会要安排个歌舞类节目，个小品类节目和个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（） A． B． C． D． 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）则 A．B． C．D．(x≠-2),下列关于函数（其中a为常数）的叙述中：①a>0，函数g（x）一定有零点；②当a＝0时，函数g（x）有5个不同零点；③a∈R，使得函数g（x）有4个不同零点；④函数g（x）有6个不同零点的充要条件是0。

2015年合肥某168联合中学招生入学数学真卷（二）（时间：60分钟 满分100分）一、选择题（每题3分，共15分）1.一根蜡烛原长20㎝，点燃后每小时燃烧5㎝，则燃烧时剩下的高度h ㎝与燃烧时间t （小时）之间的关系用图表示为（ ）。

2.下列图形中，（ ）不是轴对称图形。

A.直角三角形B.五角星C.等腰三角形D.圆3.一个非零自然数A 除以一个假分数，商一定（ ）A 。

A.小于B.大于C.等于D.无法判断4.a ，b 是两个自然数，如果7a b ÷=，下列说法不正确的有（ ）。

A.a 是b 的倍数B.a 能被b 整除C.a 是b 的7倍D.a ，b 最大公约数是75.甲、乙两根同样长的绳子，甲剪去它的58，乙剪去58米，则剩下的绳子的长短关系是（ ）。

A.甲比乙长 B.甲比乙短 C.相等 D.无法比较二、填空题（每题3分，共30分）1.光明小学为学生统一编学号，设定尾数1为男生，0为女生，9913510表示“1999年入学的一年级三班的51号学生，该生为女生”，那么9731041，表示该生是（ ）年入学的，是（ ）年级（ ）班的，学号是（ ）号，该生是（ ）。

2.圆的直径由6厘米增加到10厘米，圆的面积增加了（ ）平方厘米。

3.一年级六班今天到校57人，有3人请假。

一年级六班今天出勤率是（ ）。

4.如果※表示一种运算符号，其意义2a b a b =-※，则()115.53=※※（ ）。

5.环形的内圆周长是31.4，环宽2，那么环形的面积为（ ）。

6.如图所示，将它折成一个正方体。

相交于同一顶点的三个面的点数之和最大的值是（ ）。

7.一所学校男学生与女学生的比是4∶5，女学生比男学生多（ ）%。

8.一个运输队包运输1998套玻璃茶具，运输合同规定：每套茶具运费1.6元，每损坏一套茶具，不仅不得运费，还要从总费中扣除赔偿费18元。

结果这个运输队实际得到运费3059.6元，那么，在运输过程中一共损坏了（ ）套茶具。