二项分布应用举例知识讲解

二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种分布，它们在实际生活中有着广泛的应用。

本文将分别介绍二项分布与泊松分布的概念及特点，并结合实际案例探讨它们在不同领域的具体应用。

一、二项分布二项分布是离散型概率分布的一种，描述了在一系列独立重复的同类试验中成功次数的概率分布。

在每次试验中，事件发生的概率保持不变且相互独立。

二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。

二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用来描述产品合格率；在医学实验中，可以用来描述药物疗效；在市场营销中，可以用来描述广告点击率等。

二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生次数的概率分布。

泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间（或单位面积、单位体积）内事件平均发生率，k表示事件发生的次数。

泊松分布常用于描述稀有事件在一定时间内发生的概率，例如在电话交换机中描述单位时间内收到的电话数、在保险业描述车辆事故发生的次数等。

三、二项分布与泊松分布的应用案例1. 电商平台广告点击率预测假设某电商平台在进行广告投放时，希望预测用户点击广告的概率。

可以利用二项分布来描述每次广告曝光后用户点击的概率，通过统计多次广告曝光和点击的数据，估计用户点击广告的整体概率。

2. 交通拥堵预测城市交通拥堵是一个复杂的问题，可以利用泊松分布来描述车辆在单位时间内通过某一路段的数量。

通过分析历史数据，可以预测未来某一时段交通流量的波动情况，从而采取相应的交通管理措施。

3. 医院急诊就诊量预测医院急诊就诊量的波动较大，可以利用泊松分布来描述单位时间内的就诊人数。

通过建立泊松分布模型，医院可以合理安排医护人员的工作时间，提高急诊服务的效率。

二项分布知识点对于很多人来说，二项分布可能是一个比较陌生的概念。

但实际上，它是概率论中非常重要的一种概率分布，常常被应用于实际问题的解决中。

一、二项分布的定义二项分布（Binomial distribution）是一种离散型概率分布，它描述的是独立重复试验中成功次数的概率分布。

其中，“独立”指的是每次试验不会受到前一次试验结果的影响，“重复”指的是试验可以进行多次，“成功”指的是每次试验成功的概率。

二项分布的数学表达式为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功的次数为k的概率，n表示试验次数，p 表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示从n次试验中选取k次成功的组合数。

二、二项分布的性质1. 期望值与方差二项分布的期望值与方差分别为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。

2. 大数定理大数定理是概率论中的一条基本定理，用于描述随机事件的平均值会随着实验次数的增加而趋于稳定。

在二项分布中，当试验次数n越大，成功概率p越小时，二项分布越趋近于正态分布。

3. 中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一条重要定理，用于描述当随机事件独立重复多次时，这些事件的和的分布趋近于正态分布。

在二项分布中，当试验次数n越大时，二项分布的形状趋近于正态分布。

三、二项分布的应用二项分布常常应用于实际生活中的问题中，例如：1. 产品合格率问题假设一个工厂制造的产品合格率为90%，每生产100个产品取样检验，成功率不变，求生产的100个产品中至少有95%产品合格的概率。

解：由于每个产品是否合格是一个二项分布，因此可以使用二项分布来求解。

令X为合格的数量，n=100，p=0.9，由于要求至少95%的合格率，因此可以计算X≥95的概率：P(X≥95) = 1 - P(X<95) = 1 - Σ i=0…94 (100 i) * 0.9^i * 0.1^(100-i) ≈ 0.021因此，生产的100个产品中至少有95%产品合格的概率为2.1%左右。

二项分布的应用二项分布是重要的离散型随机变量概率模型，在解决许多数学问题和现实生活问题中有着广泛的应用．应用二项分布解题，不仅能加深对知识的理解和掌握，而且有利于创新思维能力的培养和提高．下面举例说明．例1 证明0122()n n n n n n C C C C n *++++=∈N ．分析：本题是二项式系数的重要性质，在二项式定理一节中是运用“赋值法”证明的．这里通过构建二项分布模型，给出颇具新意的巧证．证明：记事件Ａ：“掷一均匀硬币出现正面向上”，则掷n 次硬币，即进行n 次独立重复试验中事件Ａ发生的次数Ｘ服从二项分布，即~(0.5)X B n ，．故11()01222k n k kn P X k C k n -⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，．由分布列和的性质得(0)(1)(2)()1P X P X P X P X n =+=+=++==，0112201211111111122222222n n n n nn n n n C C C C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴． 即0122n n n n n n C C C C ++++=．点评：许多与正整数n 有关的组合数求和问题，都可以通过构建二项分布模型得以创新解决．例2 抛掷两枚骰子，取其中一枚的点数为点Ｐ的横坐标，另一枚的点数为点Ｐ的纵坐标，求连续抛掷这两枚骰子三次，点Ｐ在圆2216x y +=内的次数Ｘ的分布列．分析：先求出一次试验中，点Ｐ在圆2216x y +=内的概率Ｐ，然后由题意可知~(3)X B p ，，从而求出其分布列．解：由题意可知，Ｐ点的坐标可能有6636⨯=种情况，而符合题意的点只有下列8个：(11)(12)(21)(22)(31)(13)(23)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，那么在抛掷骰子时，点P 在圆2216x y +=内的概率为82369=．由题意可知2~39X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以030327343(0)99729P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 121327294(1)99729P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21232784(2)99729P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 3033278(3)99729P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故得X 的分布列为 01 2 3点评：本题将分布列的计算与事件的概率结合起来，有利于我们提高分析、综合能力．例3 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦．已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否相互独立．（1）现因当地供电紧张，供电部门只能提供50千瓦的电力．这10台机床能够正常工作的概率为多大（2）在一个工作班的８小时内，不能正常工作的时间大约是多少分析：明确题设含义，将问题转化为二项分布模型求解． 解：（1）设10台机床中实际开动的机床数为随机变量Ｘ，由于机床类型相同，且机床的开动与否相互独立，因此~(10)X B p ，．其中p 是每台机床开动的概率，由题意121605p ==．从而101014()0121055k k kP X k C k -⎛⎫⎛⎫===⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，．根据题意，50千瓦电力可同时供给5台机床开动，因而10台机床同时开动的台数不超过5台时都可以正常工作．这一事件的概率为10928370123101010104141414(5)5555555P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭······≤． 465545101014140.9945555C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭····（2）由（1）知，在电力供应为50千瓦的条件下，机床不能正常工作的概率仅约为0．006，从而在一个工作班的8小时内，不能正常工作的时间只有大约８×60×0．006=2．88分钟，这说明，10台机床的工作基本上不受电力供应紧张的影响．点评：根据题意明确某一时刻正在工作的机床台数X服从二项分布是解题的关键，否则，就有可能造成解题的失误．。

二项分布书写格式一、引言在概率论与数理统计中，二项分布是一种非常重要的离散概率分布。

它描述了在一个固定次数的独立重复试验中，成功次数的概率分布。

二项分布在许多实际问题中都有广泛应用，如掷硬币、抽样检测等。

本文将详细介绍二项分布的书写格式，帮助读者更好地理解和应用这一重要概念。

二、二项分布的定义二项分布（Binomial Distribution）是指在n次独立重复的伯努利试验中，成功的次数X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n, p)。

其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。

三、二项分布的概率质量函数二项分布的概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）描述了随机变量X取某个特定值k的概率。

对于二项分布B(n, p)，其概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / [k!(n-k)!]这里，"!"表示阶乘，即n! = n (n-1) ... 3 2 1。

四、二项分布的性质1. 期望值：二项分布的期望值E(X)表示在n次试验中成功的平均次数，计算公式为：E(X) = n p2. 方差：二项分布的方差D(X)表示成功次数X的离散程度，计算公式为：D(X) = n p (1-p)五、二项分布的应用二项分布在实际问题中有广泛的应用，以下列举几个典型例子：1. 掷硬币：假设有一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为p=0.5。

现在进行n次独立重复的掷硬币试验，正面朝上的次数X服从参数为n 和0.5的二项分布，即X~B(n, 0.5)。

2. 抽样检测：在生产线上，产品合格的概率为p。

现在从生产线上随机抽取n个产品进行检测，合格的产品数量X服从参数为n和p的二项分布。

3. 通信中的误码率：在数字通信中，信号在传输过程中可能受到噪声干扰导致误码。

.P （A ） (2)性质：若事件 A 与 B 相互独立，则 A 与B，A 与 B ，A 与B 也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B) 如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量 X满足 P(a ＜X ≤b )＝⎛b φμ，σ(x)dx ，则称随机变量 X 服从正k专题 11.8二项分布及其应用1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用知识点一 条件概率条件概率的定义设 A ，B 为两个事件，且 P(A)＞0，称 P(B|A)＝P （AB ）为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率条件概率的性质(1)0≤P(B|A )≤1；(2)如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(B ∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)知识点二 事件的相互独立性(1)定义：设 A ，B 为两个事件，如果 P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B 相互独立.－－－－＝P(A).知识点三 独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验，其中 A i (i ＝1，2，…，n )是第 i 次试验结果，则P(A 1A 2A 3…A n )＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)…P(A n ).(2)二项分布在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，则P(X ＝k)＝C n p k (1－p )n －k (k ＝0，1，2，…，n )，此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X ～B(n ，p )，并称 p 为成功概率.知识点四 正态分布(1)正态分布的定义⎠a态分布，记为 X ～N (μ，σ2).其中 φμ，σ(x)＝ e(σ>0). 84 521 (x －μ)22πσ 2σ2(2)正态曲线的性质①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交，与 x 轴之间的面积为 1；②曲线是单峰的，它关于直线 x ＝μ 对称；③曲线在 x ＝μ 处达到峰值 1；σ 2π④当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.【知识必备】1.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P (AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为 P(A ∪B)＝P(A)＋P(B).2.若 X 服从正态分布，即 X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线 X ＝μ 对称和曲线与 x 轴之间的面积为 1.考点一条件概率【典例 1】（河北辛集中学 2019 届模拟）(1)从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 A ＝“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B ＝“取到的 2个数均为偶数”，则 P(B|A)＝()1 A. 1 B.2 C. 1D.(2)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到 15 厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为 0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为 0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( )3 6故由古典概型概率 P(B|A)＝ n （AB ）＝1.P （A ） 0.15 3 (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝P （AB ），这是求条件概率的通法.包含的基本事件数 n (AB)，得 P(B|A)＝ n （AB ）.(1)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 ，两次5 105 5 2意可得 P(A)＝ ，P(AB)＝ ，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)P （A ） 1 51 A.0.05B.0.007 5C. 1D.【答案】(1)B (2)C【解析】(1)事件 A 包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共 4 个.事件 AB 发生的结果只有(2，4)一种情形，即 n (AB)＝1.n （A ） 4(2)设事件 A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件 B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知 P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，P （AB ） 0.05 1∴P(B|A)＝ ＝ ＝ .【方法技巧】P （A ）(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n (A)，再求事件 A 与事件 B 的交事件中n （A ）【变式 1】(河北“五个一”名校联盟 2019 届二模)121闭合后都出现红灯的概率为 ，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( )11 A. B.2 C. 1 D.(2)有一批种子的发芽率为 0.9，出芽后的幼苗成活率为 0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.【答案】(1)C (2)0.72【解析】(1)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件 B ，则由题1 12 51P （AB ） 5 2 ＝ ＝ ＝ .2(2)设种子发芽为事件 A ，种子成长为幼苗为事件 B(发芽又成活为幼苗).分别为 和 .现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立.【解析】记 E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知 P(E)＝ ，P(E)＝ ，P(F)＝ ，P(F)＝ ，且事件 E 与 F ，E 与F ，E 与 F ，E 与F 都相互独立.(1)记 H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝EF ，于是 P(H)＝P(E)P(F)＝ × ＝ ，故所求的概率为 P(H)＝1－P(H)＝1－ ＝ .(2)设企业可获利润为 X(万元)，则 X 的可能取值为 0，100，120，220，因为 P(X ＝0)＝P(EF)＝ × ＝ ，P(X ＝100)＝P(EF)＝ × ＝ ＝ ，P(X ＝120)＝P(EF)＝ × ＝ ，P(X ＝220)＝P(EF)＝ × ＝ ＝ .－－ 【变式 2】（山西忻州一中 2019 届模拟）如图，已知电路中4 个开关闭合的概率都是 ，且是相互独立依题意 P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式 P(AB)＝P(B|A )· P (A)＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72.考点二相互独立事件同时发生的概率【典例 2】（湖南长郡中学 2019 届模拟）某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率2 33 5(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100万元.求该企业可获利润的分布列.2 13 33 2－ － － － 5 5－ －－－－－1 2 2 3 5 15－2 1315 15－－1 2 23 5 15－1 3 3 13 5 15 5－2 2 43 5 152 3 6 23 5 15 5故所求的分布列为XP2 15 1001 5 1204 15 2202 5【方法技巧】求相互独立事件同时发生的概率的主要方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.12的，则灯亮的概率为( )164 16 4∴灯泡不亮的概率是 × × × ＋ × × × ＋ × × × ＝ ，∴灯亮的概率是 1－ ＝ ..只)3 3 A. B. 13 1 C. D.【答案】C【解析】灯泡不亮包括两种情况：①四个开关都开，②下边的2 个都开，上边的 2 个中有一个开，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，3 1316 16考点三独立重复试验与二项分布【典例 3】（河北衡水中学 2019 届调研）九节虾的真身是虎斑虾，虾身上有一深一浅的横向纹路，煮熟后有明显的九节白色花纹，肉味鲜美某酒店购进一批九节虾，并随机抽取了40 只统计质量，得到 的结果如下表所示：质量/g数量[5,15)4 [15,25)12 [25,35)11 [35,45)8 [45,55]5(1)若购进这批九节虾 35 000 g ，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批九节虾的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率估计概率，若在本次购买的九节虾中随机挑选 4 只，记质量在[5,25)间的九节虾的数量为 X ，求 X 的分布列.【解析】(1)由表中数据可以估计每只九节虾的质量为1 40×(4×10＋12×20＋11×30＋8×40＋5×50)＝29.5(g)，因为 35 000÷29.5≈1186(，所以这批九节虾的数量约为 1186 只.(2)由表中数据知，任意挑选1只九节虾，质量在[5,25)间的概率p＝＝，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，则P(X＝0)＝⎝5⎭4＝625，P(X＝1)＝C14××⎝5⎭3＝，P(X＝2)＝C24×⎝5⎭2×⎝5⎭2＝625P(X＝3)＝C34×⎝5⎭3×＝P(X＝4)＝⎝5⎭4＝625.音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.P(X＝10)＝C13×⎝2⎭1×⎝1－2⎭2＝，P(X＝20)＝C23×⎝2⎭2×⎝1－2⎭1＝，P(X＝100)＝⎝2⎭3＝，P(X＝－200)＝⎝1－2⎭3＝.4＋122 405⎛3⎫812⎛3⎫2165625⎛2⎫⎛3⎫216，⎛2⎫3965625⎛2⎫16所以X的分布列为，X P8162512166252216625396625416625【方法技巧】独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率.【变式3】（辽宁阜新实验中学2019届质检）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分).设每次击鼓出现12(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？【解析】(1)X可能的取值为10,20,100，－200.根据题意，有⎛1⎫⎛1⎫38⎛1⎫⎛1⎫38⎛1⎫18⎛1⎫181－P(A 1A 2A 3)＝1－⎝8⎭3＝1－ ＝ .因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为 .σ所以 X 的分布列为XP103 8 203 8 1001 8 －2001 81(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 A i (i ＝1,2,3)，则 P(A 1)＝P(A 2)＝P(A 3)＝P(X ＝－200)＝8.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为⎛1⎫ 1 511 512 512511512考点四正态分布【典例 4】（ 黑龙江齐齐哈尔市实验中学 2019 届模拟）(1)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (2，σ2)，且 P(ξ<4)＝0.8，则 P(0<ξ<4)＝()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2(2)设 X ～N (1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形 ABCD 中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若 X ～N (μ，σ2)，则 P(μ－σ<X ≤μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝95.44%)A.7 539B.6 038C.7 028D.6 587【答案】(1)A (2)D【解析】(1)因为随机变量 ξ 服从正态分布 N (2， 2)，μ＝2，得对称轴为 x ＝2，P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4) ＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6.(2)∵X ～N (1，1)，∴μ＝1，σ＝1.2 7 涉2 6 4 4 8 8∵P (μ－σ<X < μ＋σ)＝68.26%，∴P (0<X <2)＝68.26% ，则 P (1<X <2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为 1－0.34 13＝0.658 7.∴向正方形 ABCD 中随机投掷 10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是 10 000×0.658 ＝6587.【方法技巧】(1)利用 3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的 μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题， 及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与 x 轴之间的面积为 1.注意下面两个结论的活用：①P (X ＜a)＝1－P (X ≥a)；②P (X ＜μ－σ)＝P (X ≥μ＋σ).【变式 4】（江苏启东中学 2019 届模拟）设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量 X ，且 X ～N (800，502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为()(参考数据：若 X ～N (μ，σ)，有 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 ，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 ，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4)A.0.977 2B.0.682 6C.0.997 4D.0.954 4【答案】A1－0.954 4【解析】∵X ～N (800，502)，∴P (700≤X ≤900)＝0.954 ，∴P (X >900)＝ ＝0.022 ，∴P (X ≤900)＝1－0.022 ＝0.977 2.。