常数项级数的概念和性质.

n 1 n 1
证
u
n 1 n 1

n
的部分和为 S n u k，
k 1
n
n
n
cu
故
的部分和为 S n cuk c u k cS n ,

lim u n lim( S n S n 1 )
n n
lim S n lim S n 1
n n
S S 0
例5. 判别 (1)
n 1

n 1
n 的敛散性. n 1
(1) n 1 n 解：由于 lim | u n | lim 1, n n n 1
n 1
称为收敛级数的余项，记为
rn S S n
rn 0. 显然 lim n
m n 1
u

m
二、级数收敛的必要条件
u n 0. 定理：若级数 u n 收敛，则必有 lim n
n 1
证 设 u n S , 则 lim S n S
n 1 n
级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个 变量的函数un = un(x), 则称级数 u n ( x) 为函数项
n 1
级数.
例1. 下列各式均为常数项级数
1 1 1 1 n ； n 2 4 2 n 1 2

n 1 2 n ;
n 1
n 2 n a x a a x a x a x , | x | 1. n 0 1 2 n n 0

sin nx sin x sin 2 x sin nx ,
n 1

x R.
2. 级数的敛散性定义 无穷级数 u n 的前n项之和：
综上所述，当公比| r |<1时, 等比级数收敛； 当公比| r |1时，等比级数发散.
1 例4. 讨论级数 的敛散性. n 1 (2n 1)(2n 1)
1 1 1 1 解： (2n 1)(2n 1) 2 2 n 1 2n 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S n 1 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n 1 2n 1
n 1 n 1 ( 1 ) 1 1 1 1 ( 1 ) ; n 1

cosn cos1 cos2 cosn .
n 1

例2. 下列各式均为函数项级数
n 1 n 1 2 n 1 n 1 ( 1 ) x 1 x x ( 1 ) x , x R. n 1

n
发散.
n 1 ar 例3. 讨论等比级数 的敛散性. n 1

解：等比级数的部分和为：
S n ar k 1
k 1 n
a ar n1 r a(1 r n ) . 1 r 1 r
n
a (1 r ) a , 当公比 | r |<1时， lim S n lim n n 1 r 1 r
S 8 S 23
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2 2
3 1 2
由数学归纳法，得
S 2k k 1 ， 2
k=0, 1, 2,
而
k
lim S 2k
k lim 1 k 2
故 lim S n 不存在，即调和级数发散. n
三、无穷级数的基本性质
1. 性质1 若c0为常数，则

n 1
un 与 cu n
n 1


有相同的敛散性，
且 cun c u n .
1 1 1 2 2n 1
1 1 1 而 lim S n lim 1 n n 2 2n 1 2

1 1 ，即该级数收敛. 故 2 n 1 ( 2n 1)(2n 1)
3. 收敛级数的余项 收敛级数 u n 的和S与其部分和Sn的差SSn
n 1
S n u k u1 u 2 u n ,
k 1
n
称为级数的部分和.
S n S 存在，则称级数 u n 收敛， 若 lim n
n 1
un S. S称为级数的和：
n 1

S n 不存在(包括为)，则称级数 若 lim n
u
n 1
故 lim u n 0, 该级数发散. n
1 例6. 证明调和级数 是发散的. n 1 n
证 调和级数的部分和有：

S1 1，
S 2 S 21 1 1 ， 2
S 4 S 22
2 1 1 1 1 1 1 1 1 ， 2 2 3 4 2 2
a 即S . 1 r
a (1 r n ) S n lim . 当公比 | r |>1时，lim n n 1 r
S n lim na 当公比 r =1时， lim n n
a, n为奇数 当公比 r = 1时，Sn= 0, n为偶数
S n不存在. , 故 lim n
§11-1 常数项级数的概念和性质
一、无穷级数的概念
1. 无穷级数的定义
设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达示
u
n 1

n
u1 u 2 u n
为一个无穷级数，简称为级数. 其中， un称为级 数的一般项或通项.
若级数
u
n 1

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n
的每一个项un均为常数，则称该