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计算圆的面积
R
正六边形的面积 a 1
正十二边形的面积
正 32n形的面积
a a1 1 a a2 2 a n
即 A a 1a 2 a n
1.级数的定义
一般项
unu1u2u3 un
n1
—— (常数项)无穷级数
级数的部分和
n
Snu1u2 un ui i1
部分和数列
S1 u1, S2u1u2, S3u1u2u3, ,
n0
如 果| q| 1，
当q1时, Snna 发散
当q1时, 级 数a 变 aa为 a
ln im Sn不存,在发散
a
综上所述,
aqn
n0
当|q|1时,收 当|q|1时,发
敛1 散
q
齐诺悖论——阿基里斯与乌龟
公元前5世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的 悖论：
n1
性质3 去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影 响它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).
因为部分和数列只相差一个常数.
性质4 收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.
n
证 记 级 数u n的 部 分 和 数 列 为 S n u k,
n 1
k 1
加 括 号 后 的 级 数 的 部 分 和 数 列 记 为 { A n } ,
例6 已 知 ( 1 )n 1 u n 2 , u 2 n 1 5,求 u n.
n 1
n 1
n 1
解
(u2n1u2n)8, 记 Snu 1u 2 u n，
n1
所以 ln i m S2n 8,
由性质2，
llnn iim m SS22nn1 SSln im Sn S
(1)n1un 2 ln im un0,
如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是 永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的，但奇怪的是， 这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿 呢？
如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论
就会不攻自破.
设乌龟的速度为v,则阿基里斯的速度为10v,他跑完1000米所化
的时间为100010,0在这段时间里,乌龟又爬了v10010米 0,
n 1
n 1
n 1
解 由性质3， (1)n1un 2 (u2n1u2n)2,
n1
n1
由性质2， u 2 n [u2n1(u2n1u2n)]
n1
n1
u2n1 (u2n1u2n)523,
n1
n1
所以 (u2n1 u2n) u2n1 u2n 8 ,
n1
n1
n1
注意：不能去括号
例如，( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 u 5 ) ( u 6 u 7 u 8 u 9 )
A1 S2, A2 S5, A3 S9,
性质4 收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.
续证 则 { A n } 实 际 上 是 { S n } 的 一 个 子 数 列 ,
故 由 { S n } 的 收 敛 性 可 知 { A n } 的 收 敛 性 , 且 其 极 限 不 变 .
1 n0 ( 3n
5 4n
)
n0
1 3n
5
n0
1 4n
1 1 1
5 1 1
49 6
.
34
例5 判断下列级数的敛散性：
2.123 1100 0n 15 1n
收敛；
3. 1 1 1 1 1 1
2 4 6 2n
2 n1 n
发散.
例6 已 知 ( 1 )n 1 u n 2 , u 2 n 1 5,求 u n.
n1
所以 于是
lnim S2n1 ln i m (S2nu2n) 8 ,
un
n1
ln im Sn
8.
练习：
P251 习题七
Snu 1u 2 u n,
2.级数的收敛与发散
当 n 时,如果级数 un 的部分和数列 Sn 有极限 S ,
n1
即 ln i m SnS,则 称 无 穷 级 数u n收 敛 , n 1
这 时 极 限 S叫 做 级 数un的 和 ， 并 写 成
n1
un S
n1
如 果 数 列 {S n }没 有 极 限 , 则 称 无 穷 级 数u n发 散 .
10v v
v
阿基里斯为跑完这段路又花费时间10010,此时乌龟又在他前面 10v v
10米处,……,依次类推,阿基里斯需要追赶的全部路程为
10 1 00 0 10 0
这 是 一 个 公 比 为 q 1 1 的 几 何 级 数 , 易 求 得 它 的 和 为 10
1 0 0 0 1 0 0 001 1 111，
如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是 永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的，但奇怪的是， 这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿 呢？
第一节 常数项级数的概念与性质
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分, 它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值 计算的一种工具.
一、级数的基本概念
第七章 无穷级数
齐诺悖论——阿基里斯与乌龟
公元前5世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno) 用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的 悖论：
如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄) 和乌龟之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开 始，假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远追不上乌 龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了 1000米，此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一 个100米时，乌龟仍然前于他10米，……
思考：可逆吗？
n1
n1
性质2 如 果 级 数u n、vn都 收 敛 , 则(u n vn )
n 1 n 1
n 1
也收敛,且有 （ unvn) un vn.
n1
n1
n1
由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明.
说明：
( 1 )不 能 由 (u n v n )收 敛 推 出 u n、 v n收 敛 ；
例2
讨论无穷级数
11 1
1335 (2n1)(2n1)
的收敛性. 解 un(2n1)1(2n1)12(2n112n11),
S n11 331 5 (2n1)1 (2n1)
1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 (11) 2 32 35 2 2 n 12 n 1
1 (1
1
)1 (n) ,
说明： 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.
例1 如 2 3 ( 1 )n 1 n
234
n 1
|un|1, 所u 以 n0, 级数发散；
再 ， c如 o c s 2
o c s 4
o 8 s co 2 n s
limco2sn 10,
级数发散.
2.必要条件不充分.
若 ln i u m n 0 , 级 数 却 不 一 定 收 敛 .
如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄) 和乌龟之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开 始，假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远追不上乌 龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了 1000米，此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一 个100米时，乌龟仍然前于他10米，……
2 2n1 2
级数收 , 且敛和1为 . 2
例3 讨 论 级 数ln1(1)的 敛 散 性 .
n1
n
解
un
ln(1
1) n
lnn(1)lnn,
所以
S n l2 n l1 n l3 n l2 n ln n 1 ) l (n n
lnn(1) n
所以级数发散.
例4 证明调和级数 1111 1,
n 1
n 1 n 1
( 2 )若u n收 敛 , 而 v n发 散 , 则 (u n v n )必 发 散 .
n 1
n 1
n 1
证 假设 (unvn)收敛,由vn(unvn)un,
n1
而已知 un 收敛, 由上述性质得 vn 收敛,矛盾.
n1
n1
所以 (unvn) 发散.
n1n 2 3
n
证
S2nSnn1 1n 12 2 1 n 2nn
1 2
,
假设调和级数收敛，其和为S .
于是 ln im （S2n Sn）SS 0 , 便有 01 (n), 矛盾， 级数发散.
2
二、级数的基本性质
性质1
如 果 级 数u n收 敛 ,则knu 亦 收 敛 ， 且 有
n1
n 1
kun kun .
若 级 数u n收 敛 ,则 必 有 ln i m u n0. n1
证明 unSnSn1, ln im Sn S，
ln i u m nln i (m S nS n 1)ln i m Snln i m Sn1 SS 0 .
若 级 数u n收 敛 ,则 必 有 ln i m u n0. n1
n 1
例1 讨论等比级数(几何级数)
anq aa qa2q anq1，
S na a q a2 q an q 1 a
aq 1q
n
，
当|q|1时, limqn0 n
a ln i m Sn 1q
收敛
当|q|1时,
limqn
n
ln im Sn
发散
anq aa qa2q anq (a0)
如 l n1( 1) :ln1(1)0(n), 但级数发散.
