人教新课标版数学高二选修2-1课堂达标 空间向量与垂直关系

第三页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
课堂对点训练
第四页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点一
证明线线垂直
1．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AC的中点．
第五页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
证明：BD1⊥EB1. 证明：以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D－xyz，
3．2 立体几何中的向量方法
课时作业30 空间向量与垂直关系
第三章 空间向量与立体几何
第一页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
第二页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
[目标导航] 1．能利用平面法向量证明两个平面垂直． 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明 空间中的垂直关系．
第七页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
知识点二
证明线面垂直
2．如图所示，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分别 为 AB、B1C 的中点．试用向量法判断 MN 与平面 A1BD 的位 置关系．
第八页，编辑于星期日：二十三点 二十八分。
证明：设正方体的棱长为 1，以 D 为坐标原点，DA、DC、 DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D －xyz，
第十一页，编辑于星期日：二பைடு நூலகம்三点 二十八分。
解：法一：如右图，建立空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0， 3)，C1(0,1， 3)． ∵D 为 BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)． ∴A→D＝(1,1,0)，A→A1＝(0,0， 3)，B→C＝(－2,2,0)． ∴A→D·B→C＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0， A→A1·B→C＝0×(－2)＋0×2＋ 3×0＝0.

第2课时空间向量与垂直关系1.掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法.(重点)2.能利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理空间中垂直关系的向量表示阅读教材P103～P104练习以上部分，完成下列问题.若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α斜交【解析】 ∵n ＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a ， ∴n ∥a ，∴l ⊥α. 【答案】 B[小组合作型]111BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .图3-2-8【精彩点拨】 (1)若选AB →，AC →，AA 1→为基向量，你能用基向量表示AB 1→与MN →吗？怎样证明AB 1→与MN →垂直？(2)若要建立空间直角坐标系，本题该怎样建立？你能用坐标表示向量AB 1→与MN →并证明它们垂直吗？【自主解答】 设AB 的中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，14，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1， ∵M 为BC 的中点， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0.∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤： (1)基向量法①选取三个不共线的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直. (2)坐标法①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标； ③计算两直线方向向量的数量积为0； ④由方向向量垂直得到两直线垂直.[再练一题]1.如图3-2-9，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是BC 的中点.在DD 1上是否存在一点N ，使MN ⊥DC 1？并说明理由.【导学号：37792133】图3-2-9【解】 如图所示，建立以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴的坐标系，则C 1(0,2,3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，0，D (0,0,0).设N (0,0，h )，则MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h ，DC 1→＝(0,2,3)，由MN →·DC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h ·(0,2,3)＝－4＋3h .∴当h ＝43时，MN →·DC 1→＝0，此时MN →⊥DC 1→. ∴存在N ∈DD 1，使MN ⊥DC 1.1111F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .图3-2-10【精彩点拨】 建立空间直角坐标系，得到有关向量的坐标，求出平面A 1D 1F 的法向量，然后证明AE →与法向量共线.【自主解答】 如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，A 1D 1→＝(－1,0,0)，D 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1.设平面A 1D 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·A 1D 1→＝0，n ·D 1F →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝0，12y －z ＝0，解得x ＝0，y ＝2z . 令z ＝1，则n ＝(0,2,1). 又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴n ＝2AE →.∴n ∥AE →，即AE ⊥平面A 1D 1F .1.坐标法证明线面垂直有两种思路 方法一：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； (4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0. 方法二：(1)建立空间直角坐标系； (2)将直线的方向向量用坐标表示； (3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.2.使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用方法二，否则常常选用方法一解决.[再练一题]2.如图3-2-11，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点，求证：直线PB 1⊥平面P AC .【导学号：37792134】图3-2-11【证明】 依题设，以D 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，则C (1,0,0)，P (0,0,1)，A (0，1,0)，B 1(1,1,2)，于是CA →＝(－1,1,0)，CP →＝(－1,0,1)，PB 1→＝(1,1,1)， ∴CA →·PB 1→＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0， CP →·PB 1→＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故CP →⊥PB 1→，CA →⊥PB 1→，即PB 1⊥CP ，PB 1⊥CA ， 又CP ∩CA ＝C ，且CP ⊂平面P AC ，CA ⊂平面P AC . 故直线PB 1⊥平面P AC .[探究共研型]探究 【提示】 只需求出两个平面的法向量，再看它们的法向量的数量积是否为0即可.如图3-2-12所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，证明：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .图3-2-12【精彩点拨】 要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法向量n 1，n 2，证明n 1·n 2＝0.【自主解答】 由题意得AB ，BC ，B 1B 两两垂直.以B 为原点，BA ，BC ，BB 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， 则AA 1→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1→＝(－2,2,1)，AE →＝－2,0，12. 设平面AA 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1). 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AC →＝0⇒⎩⎨⎧z 1＝0，－2x 1＋2y 1＝0.令x 1＝1，得y 1＝1.∴n 1＝(1,1,0).设平面AEC 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2). 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1→＝0，n 2·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＋z 2＝0，－2x 2＋12z 2＝0， 令z 2＝4，得x 2＝1，y 2＝－1.∴n 2＝(1，－1,4). ∵n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0. ∴n 1⊥n 2，∴平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .1.利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度.[再练一题]3.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD .【导学号：37792135】【证明】 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1,1,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝1，x ＝1，∴n 1＝(1,1，－2).同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD .1.若直线l 的方向向量a ＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，则直线l 与平面α的位置关系是( )A.l ∥αB.l ⊥αC.直线l 与平面α相交但不垂直D.无法确定【解析】 ∵μ＝14a . ∴μ∥a ，∴l ⊥α. 【答案】 B2.已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的一个单位法向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－23，－23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，23 【解析】 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，取x ＝1，则y ＝－2，z ＝2.所以n ＝(1，－2,2).由于|n |＝3，所以平面ABC 的一个单位法向量可以是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，－23. 【答案】 B3.已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，－2,3)，且α⊥β，则x ＝________.【解析】 ∵α⊥β，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝x －4＋9＝0， ∴x ＝－5. 【答案】 －54.如图3-2-13，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4.(1)求证：AC ⊥BC 1；(2)在AB 上是否存在点D ，使得AC 1⊥CD?【导学号：37792136】图3-2-13【解】 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AC ，BC ，CC 1两两垂直，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4).(1)证明：∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0.∴AC →⊥BC 1→. ∴AC ⊥BC 1.(2)假设在AB 上存在点D ，使得AC 1⊥CD ， 设AD →＝λAB →＝(－3λ，4λ，0)，其中λ∈[0,1]， 则D (3－3λ，4λ，0)， 于是CD →＝(3－3λ，4λ，0)， ∵AC 1→＝(－3,0,4)，且AC 1⊥CD ， ∴－9＋9λ＝0，得λ＝1. ∴在AB 上存在点D ， 使得AC 1⊥CD ， 且这时点D 与点B 重合.。

B1
A1
C1
MY
作业：
如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 ,
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1BZ1B的
两条对角线交点为D, B1C1的中点为M .
求证CD 平面BDM
A
则CD A1B 0, CD DM 0.
D C
CD A1B,CD DM .
0 AB ' A'C 3 1 h2, h2 2.
AB ' BC ' 0 2 h2 0. BC ' AB '
线线垂直
如图, 直三棱柱ABC A1B1C1中, ACB 900 ,
AC 1, CB 2, 侧棱AA1 1, 侧面AA1B1B的
2
au
面面夹角 ， 的夹角为 （ 0 ）， cos u v .
2
uv
2．这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照
相关定义给出的，即 0 。
2
(BE BC) BE ( 1)BE BC.
例1: 如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
MN分别在其对角线BF上,
FM
B
C
且FM AN.求证：MN // 平面EBC
N
MN、BE、BC共面.
A
D
M 平面EBC,MN // 平面EBC
评注： 向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是 存在实数对x,y使p=xa+yb. 利用共面向量定理可以证明线面平行问题。 本题用的就是向量法。
E
求证：A' F 平面BDE.

[变式训练]如图，△ABC 中，AC＝BC，D 为 AB 边 中点，PO⊥平面 ABC，垂足 O 在 CD 上，求证：AB⊥ PC. → → → 证明：设CA＝a，CB＝b，OP＝v. 由条件知，v 是平面 ABC 的法向量， 所以 v· a＝0，v· b＝0，
因为 D 为 AB 的中点， → 1 所以CD＝ (a＋b)， 2 因为 O 在 CD 上， → → λ 所以存在实数 λ，使CO＝λCD＝ (a＋b)， 2 因为 CA＝CB，所以|a|＝|b|，
1 1 1 → － a＋ b＋ c＝ 所以 AB1·MN＝(a＋c)· 2 2 4
1 1 1 － ＋ cos 60°＋ ＝0. 2 2 4 → ⊥MN → ，所以 AB ⊥MN. 所以AB 1 1
法二(坐标法)． 设 AB 中点为 O，作 OO1∥AA1. 以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，
1 M ， 4
3 ，0. 4
1 3 1 → → ＝(1，0，1)， 所以MN＝－ ， ， ，AB 1 4 4 4
→ ·AB → ＝－1＋0＋1＝0. 所以MN 1 4 4 → ⊥AB → ，所以 AB ⊥用空间向量判断空间两直线垂直的方法 1． 基向量法： (1)取三个不共线的已知向量(通常是它 们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底； (2)把两直线的方向向量用基底表示；
2．空间中直线、平面垂直关系的证明方法 (1)线线垂直．
(2)线面垂直． 方法一：根据线面垂直的判定定理转化为线线垂直； 方法二：证明直线的方向向量与平面的法向量平行． (3)面面垂直． 方法一：根据判定定理证明线面垂直； 方法二：证明两个平面的法向量垂直．
1．若平面α，β 的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b ＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为( A．10 B．－10 1 C. 2 ) 1 D．－ 2

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研一研· 问题探究、课堂更高效
→ → 而EF· AB1＝(－1，－1,1)· (0,2,2) ＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0. → → EF· AC＝(－1，－1,1)· (－2,2,0)＝2－2＋0＝0，
∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又 AB1∩AC＝A， ∴EF⊥平面 B1AC.
探究点一 证明线线垂直 问题 怎样证明两条直线互相垂直？
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答案 一般有以下三种思路证明两条直线垂直 (1)转化为向量垂直问题，即证明两直线的方向向量垂 直；
(2)证明两条直线所成的角为 90° ； (3)转化为证明线面垂直，既先证线面垂直，再运用线 面垂直的性质．
研一研· 问题探究、课堂更高效
空间直角坐标系， 则 A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设 AE＝BF＝x，
∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)． → ∴A1F＝(－x，a，－a)， → C1E＝(a，x－a，－a)． → → ∵A1F· C1E＝(－x，a，－a)· (a，x－a，－a)
＝－ax＋ax－a2＋a2＝0， → → ∴A1F⊥C1E，即 A1F⊥C1E.
例 1 如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中， AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证： AC⊥BC1.
本 专 题 栏 目 开 关
证明 ∵直三棱柱 ABC—A1B1C1 底面三边长 AC＝3， BC ＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C 两两垂直．
如图，以 C 为坐标原点，CA、CB、CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空 间直角坐标系． 则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)， → → ∵AC＝(－3,0,0)，BC1＝(0，－4,4)， → → ∴AC· BC的向量表示 空间中的垂直关系 线线垂直 线面垂直 面面垂直 若平面 α 的法向 量为 u＝ (a1， b1， c1)，平面 β 的法 向量为 v＝ (a2，

则 A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E1，12，0， M(1,1，m)．
∴A→C＝(－1,1,0)， 又 E、F 分别为 AB、BC 的中点， ∴E→F＝12A→C＝－12，12，0.
又∵B→1E＝0，－12，－1，D→1M＝(1,1，m－1)， ∵D1M⊥平面 FEB1， ∴D1M⊥EF 且 D1M⊥B1E. 即D→1M·E→F＝0，且D→1M·B→1E＝0.
空白演示
成才之路·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
空间向量与立体几何
第三章
3．2 立体几何中的向量方法
第三章
第 3 课时 向量法在空间垂直关系中的应用
课前自主预习 课堂典例讲练 方法规律总结
课堂巩固训练 课后强化作业
课程目标解读
1．能利用平面法向量证明两个平面垂直． 2．能利用直线方向向量和平面的法向量判定并证明空间中 的垂直关系．
重点难点展示
重点：用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间中的 垂直关系．
难点：向量共线、垂直与空间线、面垂直的联系．
学习要点点拨
空间中垂直关系的证明方法 1．线线垂直：(1)可以证明两直线的方向向量的数量积为 0. (2)可以证明两直线所成角为直角． 2．线面垂直：(1)根据判定定理转化为线线垂直． (2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行． 3．面面垂直：(1)根据判定定理证明线面垂直． (2)证明两个平面的法向量垂直．
∵n1∥n2，∴平面 ADE∥平面 B1C1F.
(2)∵D→A·D→1G＝(2,0,0)·(0,1，－2)＝0， ∴D→A⊥D→1G. ∵A→E·D→1G＝(0,2,1)·(0,1，－2)＝0，∴A→E⊥D→1G. ∵D→A、A→E不共线，∴D1G⊥平面 ADE. 又∵D1G⊂平面 A1D1G， ∴平面 ADE⊥平面 A1D1G.

课
题
课型 新课型
教学目标：1．能利用平面法向量证明两个平面垂直． 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系 教学重、难点：平面的法向量
利用方向向量和法向量处理线线、线面、面面间的垂直问题 教学方法：讲练结合
学习内容及过程：
认真阅读教材104页，回答下列问答：
1设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，1b ， 1c )，直线m
的方向向量为b ＝(b 1， b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a·b
＝0⇔
2设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法
向量是v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔
（ ）
3设平面β的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的
法向量是v ＝ (a 2，b 2，c 2)，则β⊥α⇔
（ ）
【例题精讲】
例1 已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是
底面上BC 边的中点，N 是侧
CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN . 教学流程：
【目标检测】
如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点．
求证：EF⊥平面B1AC.。

解析答案
1 2 3 4 5
4. 若直线 l 的方向向量为 a ＝ (2,0,1) ，平面 α 的法向量为 n ＝ ( － 4,0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为 ( D A.l与α斜交 B.l⊂α )
C.l∥α
D.l⊥α
解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0，－2)， ∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
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本课结束
题型探究
重点突破
题型一 证明线线垂直问题 例1 如图，△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直，且 AB ＝ BC ＝ BD ＝ 2 ， ∠ABC ＝ ∠DBC ＝ 120°， E ， F分别为 AC ， DC 的
中点.求证：EF⊥BC.
反思与感
解析答案
跟踪训练1
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，
解析答案
1 2 3 4 5
5. 已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a ＝ (1,1,2) ， b ＝ (x ，－
2,3)，且α⊥－ β，则x＝_____. 4 解析 ∵α⊥β，∴a· b＝0， ∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
解析答案
课堂小 结 1.利用空间向量解决立体几何问题的“三个基本步骤”：
空间中的垂直关 系线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向 设直线l的方向向 设平面α的法向量
量为a＝(a1，a2， 量为a＝(a1，b1， 为u＝(a1，b1，c1)，
a3)，直线m的方 b2，b3)，则
c1)，平面α的法向 平面β的法向量为 c2)，则 则
返回
向向量为b＝(b1， 量为u＝(a2，b2， v＝(a2，b2，c2)， l⊥m⇔a⊥b⇔a· b l⊥α⇔a∥u⇔a＝ α⊥β⇔u⊥v⇔u· v

空间线面垂直关系的向量表示 思维导航 1．两向量垂直时，它们所在的直线垂直吗？ 2．两平面的法向量垂直时，两平面垂直吗？
3 ．怎样用直线的方向向量和平面的法向量来描述线面垂
直关系？
新知导学 1 ．线线垂直：设直线 l 的方向向量为 a ＝ (a1 ， a2 ， a3) ，直 a⊥b ． 线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔________
2 ．线面垂直：设直线 l 的方向向量是 a ＝ (a1 ， b1 ， c1) ，平 a∥u ． 面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔________
3．面面垂直：若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的 法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔u⊥v．
牛刀小试
1．在棱长为1的正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E、F分别为 棱 AB 和 BC 的中点，试在棱 B1B 上找一点 M ，使得 D1M⊥平面 EFB1．
③证明平面 α 与 β 垂直时，取 α 、 β 的法向量 n1 、 n2 ，证明 n1·n2 ＝ 0 ．或取一个平面 α 的法向量 n ，在另一个平面 β 内取基 向量{e1，e2}，证明n＝λe1＋μe2．
2．三棱锥被平行于底面 ABC 的平面所截得的几何体如右 图所示，截面为 A1B1C1，∠BAC＝90° ，A1A⊥平面 ABC，A1A ＝ 3， AB＝AC＝2A1C1＝2， D 为 BC 的中点． 证明： 平面 A1AD ⊥平面 BCC1B1．
→ n2· BC＝0， －2x2＋2y2＝0， 由 得 → －y2＋ 3z2＝0. CC1＝0， n2· 3 令 y2＝1，则 x2＝1，z2＝ 3 ， 3 ∴n2＝(1,1， 3 )． ∵n1· n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2． ∴平面 A1AD⊥平面 BCC1B1．

探究 1:求平面的法向量 【例 1】
如图,已知四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的坐标系,求: (1)平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量; (2)平面 SCD 的一个法向量.
1 2
【方法指导】一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量 的步骤:①设出平面的法向量为 n=(x,y,z);②找出(求出)平面内 的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2);③根据法向量的 定义建立关于 x,y,z 的方程组 一个解,即得法向量. n·a = 0, n·b = 0; ④解方程组,取其中的
【解析】不妨设正方体的边长为 a,建立空间直角坐标系 Dxyz(如图),则 E(a,2,0),F(2,a,0),G(a,0,2). 设平面 EFG 的法向量为 n=(x,y,z), GE=(0,2,-2),
a a FE=( ,- ,0), 2 2 1 1 a a a a a
n ⊥ GE,⇒ 1 1 n ⊥ FE n·FE = x- y = 0,
2
2
2
2
(法二)以CD,CB,CE为正交基底,建立空间直角坐标系,则 E(0,0,1),D( 2,0,0),B(0, 2,0),A( 2, 2,0),M( , ,1),DE= (- 2,0,1),BE=(0,- 2,1),AM=(- 2 ,- 2 ,1). 设平面 BDE 的法向量为 n=(a,b,c),∴n⊥DE,n⊥BE, n·DE = 0, - 2a + c = 0, ∴ ∴ n·BE = 0, - 2b + c = 0, 令 c=1,则 a= 2 ,b= 2 ,n=( 2 , 2 ,1),∴n·AM=0.

第2课时 空间向量与垂直关系单元过关试卷命制学校：沙市五中命制教师：赵晓晶一、基础过关1．若平面α、β的法向量分别为u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3，1，－4)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α、β相交但不垂直D ．以上均不正确 2．若直线l 的一个方向向量为a ＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u ＝(1,1，－1)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．A 、C 均有可能3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32 4.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于 ( )A ．ACB ．BDC ．A 1D D ．A 1A5．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，－33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，－33，33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 6．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________.7．下列命题中：①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u ·v ＝0；②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u ·a ＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．正确的命题序号是________．8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．(填序号) 二、能力提升9.已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.11.如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：平面DEA ⊥平面ECA .三、探究与拓展12.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，AD ＝233AB ，E 是PC 的中点．证明：PD ⊥平面ABE .答案1．C 2.D 3.B 4.B 5.D6．－47．①②③8．①②③9.证明 设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1，以O 为坐标原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OO 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，14，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1.∵M 为BC 中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，0.∴MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34，14，AB 1→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1→＝－14＋0＋14＝0. ∴MN →⊥AB 1→，∴AB 1⊥MN .10．解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为2，则E (2,1,0)，F (1,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)．设M (2,2，m )，则EF →＝(－1,1,0)，B 1E →＝(0，－1，－2)，D 1M →＝(2,2，m －2)．∵D 1M ⊥平面EFB 1，∴D 1M ⊥EF ，D 1M ⊥B 1E ，∴D 1M →·EF →＝0且D 1M →·B 1E →＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧ －2＋2＝0，－2－2(m －2)＝0， ∴m ＝1，故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.11．证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，不妨设CA ＝2，则CE ＝2，BD ＝1，C (0,0,0)，A (3，1,0)，B (0,2,0)，E (0,0,2)，D (0,2,1)．所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0,0,2)，ED →＝(0,2，－1)．分别设面CEA 与面DEA 的法向量是n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·EA →＝0，n 1·CE →＝0，即⎩⎨⎧3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0. 解得⎩⎨⎧y 1＝－3x 1，z 1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·EA →＝0，n 2·ED →＝0， 即⎩⎨⎧ 3x 2＋y 2－2z 2＝0，2y 2－z 2＝0. 解得⎩⎨⎧x 2＝3y 2，z 2＝2y 2. 不妨取n 1＝(1，－3，0)，n 2＝(3，1,2)，因为n 1·n 2＝0，所以两个法向量相互垂直．所以平面DEA ⊥平面ECA .12．证明 ∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)、A (0,0,0)、B (1,0,0)、D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0. ∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12. ∴AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12， ∴设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)． ∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1， 显然PD →＝33n ，∴PD →∥n ， ∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .。

探究一
探究二
探究三
证明:如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1, 则 A(1,0,0),E 1,1, 2 ,A1(1,0,1),D1(0,0,1),F 0, 2 ,0 , 故������������ = 0,1, 2 , ������1 ������1 =(-1,0,0),������1 F = 0, 2 ,-1 . 方法一:设平面 A1D1F 的法向量为 n=(x,y,z), 则 n·������1 ������1=0,n·������1 F=0, 即 -������ = 0,
3 3 1 , , 0 , N 0 , 1 , 4 4 4 3 1 1 3 1 1 , , . 故 ������������ · ������������ =+ + =0. 1 4 4 4 8 8 4
3 1 , ,1 2 2
,M
.
因此������������1 ⊥ ������������,即 AB1⊥MN.
探究一
探究二
探究三
探究二利用空间向量证明线面垂直
方法一:(1)建立空间直角坐标系; (2)将直线的方向向量用坐标表示; (3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示它们的方向向量; (4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为 0; 方法二:(1)建立空间直角坐标系; (2)将直线的方向向量用坐标表示; (3)求出平面的法向量; (4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行.
1 1 1
探究一
探究二
探究三
探究三利用空间向量证明面面垂直
利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径:一是利用两个平面 垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二 是直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂 直. 【典型例题 3】在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,AA1=1,E 为 BB1 的中点,求证:平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.

§3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法知识点一 求平面的法向量已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，AB u u u r ＝(1，－2，－4)，AC →＝(1，－2，－4)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)．依题意，应有n ·AB u u u r = 0， n ·AC →= 0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0.令y ＝1，则x ＝2. ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AEu u u r是平面A 1D 1F 的法向量.证明 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则AE u u u r是平面A 1D 1F的法向量．证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， AE u u u r ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12. .D 1＝(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1(1,0,1)．1D F u u u u r ＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，A 1D 1→＝(－1,0,0)． ∵AE u u u r ·1D F u u u u r ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，12，－1＝12－12＝0， AE u u u r ·A 1D 1→＝0，∴AE u u u r ⊥A 1D 1→.又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ，∴ AE u u u r是平面A 1D 1F 的法向量．知识点二 利用向量方法证平行关系在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.证明 方法一 ∵1B C u u u u r =1A D u u u u r ，∴ B 1A D ∉∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂面ODC 1， ∴B 1C ∥面ODC 1. 方法二 ∵1B C u u u u r =11B C u u u u r +1B Bu u u u r=1B O u u u u r +1OC u u u u r +1D O u u u u r +OD u u u r =1OC u u u u r +OD u u u r .∴1B C u u u u r ，1OC u u u u r ，OD u u u r共面.又B 1C ⊄面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1.方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C(0,1,0)， O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)，1B C u u u u r＝(－1,0，－1)，OD u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1， 1OC u u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则10,0,n OD n OC ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩u u u r u u u u r得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．又 1B C u u u u r·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴1B C u u u u r⊥n ，∴B 1C ∥平面ODC 1.【反思感悟】 证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC 1内找一向量与1B C u u u u r 共线；二是说明1B C u u u u r能利用平面ODC 1内的两不共线向量线性表示，三是证明1B C u u u u r与平面的法向量垂直．如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF ＝∠CEF ＝90°，AD ＝3，EF ＝2.求证：AE ∥平面DCF.证明 如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF 和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C —xyz.设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ， 则C(0,0,0)，A(3，0，a)，B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)．AE →＝(0，b ，－a)， CB u u u r ＝(3，0,0)，BE u u u r＝(0，b,0)，所以CB u u u r ·AE →= 0，CB u u u r ·BE u u u r= 0，从而CB ⊥AE ，CB ⊥BE.所以CB ⊥平面ABE.因为CB ⊥平面DCF ， 所以平面ABE ∥平面DCF.故AE ∥平面DCF.知识点三 利用向量方法证明垂直关系在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.解建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)．设M （2，2，m ），则EF u u u r =（-1，1，0），B 1E →=（0， -1， -2）， 1D M u u u u u r=（2，2，m -2）.∵ 1D M ⊥平面EFB 1，∴ 1D M ⊥EF ，1D M ⊥B 1E ， ∴1D M u u u u u r ·EF u u u r= 0且1D M u u u u u r ·B 1E →= 0，于是-2+2=0,-2-2(m-2)=0,⎧⎨⎩∴m ＝1，故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.【反思感悟】 证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C ⊥A 1B.求证：AC 1⊥A 1B.证明 建立空间直角坐标系C 1—xyz ， 设AB ＝a ，CC 1＝b. 则A 1⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，0，B(0，a ，b)，B 1(0，a,0)，C(0,0，b)，A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，b ， C 1(0,0,0)． 于是1A B u u u u r =⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，b 1B C u u u u r=（0，- a ，b ），1AC u u u u r ＝⎝⎛⎭⎫－32a ，－a2，－b .∵B 1C ⊥A 1B ，∴ 1B C u u u u r ·1A B u u u u r ＝ －a 22＋b 2＝0,而1A C u u u u r ·1A B u u u u r ＝34a 2－14a 2－b 2＝a 22－b 2＝0∴ 1A C u u u u r ⊥1A B u u u u r即AC 1⊥A 1B. 课堂小结：1．用待定系数法求平面法向量的步骤： (1)建立适当的坐标系．(2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)．(3)求出平面内两个不共线向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．(4)根据法向量定义建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a·n ＝0b·n ＝0.(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.2．平行关系的常用证法AB u u u r ＝λCD →.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．3．垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直． 要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．一、选择题1. 已知A （3，5，2），B （-1，2，1），把AB u u u r按向量a ＝(2,1,1)平移后所得的向量是( )A ．(－4，－3,0)B ．(－4，－3，－1)C ．(－2，－1,0)D ．(－2，－2,0) 答案 BAB u u u r＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的．2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不能确定 答案 C解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直． 3．从点A(2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( )A ．(－9，－7,7)B ．(18,17，－17)C ．(9,7，－7)D ．(－14，－19,31) 答案 B解析 ，设B （x ，y ，z ），AB u u u r=（x -2，y+1，z -7）=λ（8，9，- 12），λ>0.故x -2=8λ,y+1=9λ,z -7=-12λ， 又（x -22+（y+12+（z -72 = 342， 得（17λ）2 = 342，∵λ>0,∴λ=2. ∴x = 18,y = 17,z =-17, 即B （18，17，- 17）.4．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， 则有23＝4x ＝5y ，解方程得x ＝6，y ＝152. 5．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥αC ．l αD ．l 与α斜交 答案 B解析 ∵u ＝－2a ， ∴a ∥u ，∴l ⊥α. 二、填空题6．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB 的模为1的方向向量是________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，23，23或⎝⎛⎭⎫－13，－23，－23 解析，AB u u u r =（1，2，2），|AB u u u r| = 3 . 模为1的方向向量是±||AB AB u u u r u u u r , 7．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e ＝(1,1,1)是α的法向量，M(x ，y ，z)是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________．答案 x ＋y ＋z ＝0解析 OM u u u u r·e=（x ，y ，z ）·（1，1，1）= x+y+z = 0.8．若直线a 和b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直线a 和b 的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．答案 (1,4，－5)(答案不唯一)解析 设直线a 和b 的公垂线的一个方向向量为n ＝(x ，y ，z)，a 与b 的方向向量分别为n 1，n 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ n ·n 1＝0，n ·n 2＝0，即：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝0，2x －3y －2z ＝0.解之得：y ＝4x ，z ＝－5x ，令x ＝1，则有n ＝(1,4，－5)． 三、解答题9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F.证明 如图所示建立空间直角坐标系Dxyz ， 则有D(0,0,0)、A(2,0,0)，C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(2,2,1)， F(0,0,1)，B 1(2,2,2)， 所以1FC u u u u r=（0，2，1），DA u u u r=（2，0，0），AE u u u r=（0，2，1）.（1）设n 1=（x 1 , y 1 , z 1）是平面ADE 的法向量,则n 1 ⊥ DA u u u r ， n 1⊥AEu u u r，即 1,11·2·2,DA x AE y z ⎧=⎪⎨=+⎪⎩11n n u u u r u u u r得1110,2,x z y =⎧⎨=-⎩ 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为 FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE.（2）∵11C B u u u u r=（2，0，0），设n 2 = (x 2 , y 2 , z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量. 由n 2⊥FC 1→,n 2⊥11C B u u u ur ,得21222112·20,·20,n FC y z n C B x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩u u u u r u u u ur 得得2220,2,x z y =⎧⎨=-⎩令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F.10.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AP ＝BQ ＝b (0<b<1)，截面PQEF ∥A ′D ，截面PQGH ∥AD ′.(1)证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；(2)证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；(3)若b ＝12，求D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值．解 以D 为原点，射线DA 、DC 、DD ′分别为x 、y 、z 轴的正半轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系D —xyz ，由已知得DF ＝1－b ，故A(1,0,0)，A ′(1,0,1)，D(0,0,0)，D ′(0,0,1)，P(1,0，b)，Q(1,1，b)，E(1－b,1,0)，F(1－b,0,0)，G(b,1,1)，H(b,0,1)．(1)，证明 在所建立的坐标系中,可得PQ uuu r= (0,1,0),PF u u u r= ( -b , 0, -b),PH u u u r= (b -1,0,1 -b),'AD u u u u r= ( -1,0,1),AD u u u r= ( -1,0, -1),因为'AD u u u u r ·PQ uuur = 0，'AD u u u u r ·PFu u u r = 0，所以'AD u u u u r是平面PQEF 的法向量. 因为'AD u u u u r ·PQ uuu r= 0，'AD u u u u r ·PH u u u r=0，所以'AD u u u u r是平面PQGH 的法向量.所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直.(2)证明，因为EF u u u r= (0, -1,0),所以EF u u u r ∥PQ uuu r , |EF u u u r| = |PQ uuu r |,又PF u u u r ⊥PQ uuur ,所以四边形PQEF 为矩形,同理四边形PQGH 为矩形.在所建立的坐标系中可求得|PH u u u r | =2 (1-b), |PF u u u r| = 2b,所以|PH u u u r | + |PF u u u r|=2,又|PQ uuu r| = 1,所以截面PQEF 和截面PQGH 的面积之和为2,是定值.(3)解 由(1)知'AD u u u u r＝(－1,0,1)是平面PQEF 的法向量．由P 为AA ′的中点可知，Q 、E 、F 分别为BB ′、BC 、AD 的中点．所以E （ 12，1，0,），'D E u u u u r ＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1，因此D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值等于|cos 〈AD ′→,'D E u u u ur > ＝22.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知平面α的法向量为a ＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k ＝( )A ．4 B.－4 C ．5D ．－5【解析】 ∵α⊥β，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0. ∴k ＝－5. 【答案】 D2．在菱形ABCD 中，若PA →是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )A.PA →⊥AB →B.PA →⊥CD →C.PC→⊥BD → D.PC→⊥AB → 【解析】 由题意知PA ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面上的线AB ，CD 都垂直，A ，B 正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD ⊥平面PAC ，故PC ⊥BD ，C 选项正确．【答案】 D3．已知AB→＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2，4 D ．4，407，－15【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4， 又BP ⊥平面ABC ，∴BP→⊥AB →，BP →⊥BC →， 则⎩⎨⎧（x －1）＋5y ＋6＝0，3（x －1）＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.【答案】 B4．已知点A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，点D 满足条件：DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，AD ＝BC ，则点D 的坐标为( )A ．(1，1，1)B ．(－1，－1，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D ．(1，1，1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－13，－13 【解析】 设D (x ，y ，z )，则BD→＝(x ，y －1，z )，CD →＝(x ，y ，z －1)，AD →＝(x －1，y ，z )，AC →＝(－1，0，1)，AB →＝(－1，1，0)，BC →＝(0，－1，1)．又DB ⊥AC ⇔－x ＋z ＝0 ①， DC ⊥AB ⇔－x ＋y ＝0②， AD ＝BC ⇔(x －1)2＋y 2＋z 2＝2③，联立①②③得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－13，所以点D 的坐标为(1，1，1)或⎝⎛⎭⎪⎫－13，－13，－13.故选D. 【答案】 D5．设A 是空间一定点，n 为空间内任一非零向量，满足条件AM →·n ＝0的点M 构成的图形是( )A ．圆B ．直线C ．平面D ．线段【解析】 M 构成的图形经过点A ，且是以n 为法向量的平面． 【答案】 C 二、填空题6．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2，1)与平面α平行，则z ＝________. 【导学号：18490112】【解析】 由题意知u ⊥v ，∴u ·v ＝3＋6＋z ＝0，∴z ＝－9. 【答案】 －97．已知a ＝(x ，2，－4)，b ＝(－1，y ，3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________．【解析】 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0.解得x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 【答案】 (－64，－26，－17)8．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．【解析】 ∵AB→·AP →＝0，AD →·AP →＝0， ∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确． 又AB→与AD →不平行， ∴AP→是平面ABCD 的法向量，则③正确． 由于BD→＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →＝(－1，2，－1)， ∴BD→与AP →不平行，故④错误． 【答案】 ①②③ 三、解答题9.如图3-2-15，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF .图3-2-15【证明】 以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0，0)，F (2，2，1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1.所以AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1，DF →＝(0, 2，1)，BD →＝(2，－2，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BDF 的法向量， 则n ⊥BD →，n ⊥DF →， 所以⎩⎨⎧n ·BD→＝2x －2y ＝0，n ·DF →＝2y ＋z ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝y ，z ＝－2y ，取y ＝1，得x ＝1，z ＝－ 2. 则n ＝(1，1，－2)．因为AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1.所以n ＝－ 2 AM →，得n 与AM →共线． 所以AM ⊥平面BDF .10．底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .【证明】 法一 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则B (1，0，0)，D (0，1，0)，A (0，0，0)，S (0，0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12.连接AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连接OE ，则点O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 因为AS →＝(0，0，1)，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，所以OE →＝12AS →.所以OE ∥AS . 又因为AS ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥平面ABCD . 又因为OE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABCD .法二 设平面BDE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为BD →＝(－1，1，0)，BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，12，12， 所以⎩⎨⎧n 1⊥BD →，n 1⊥BE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BD →＝－x ＋y ＝0，n 1·BE →＝－12x ＋12y ＋12z ＝0，令x ＝1，可得平面BDE 的一个法向量为n 1＝(1，1，0)． 因为AS ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为n 2＝AS →＝(0，0，1)． 因为n 1·n 2＝0，所以平面BDE ⊥平面ABCD .[能力提升]1.如图3-2-16，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )图3-2-16A ．(1，－2，4)B ．(－4，1，－2)C ．(2，－2，1)D ．(1，2，－2)【解析】 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1.故AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，1. 所以⎩⎨⎧AE→·n ＝0，AF→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y＋12z＝0，－12x＋z＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y＝－12z，x＝2z.当z＝－2时，n＝(－4，1，－2)，故选B.【答案】 B2.如图3-2-17，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()图3-2-17A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D．不存在DQ与平面A1BD垂直【解析】以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，P(0，2，0)，A1B→＝(1，0，1)，A1D→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，B1P→＝(－1，2，0)，DB1→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，－12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝x ＋z ＝0，n ·A 1D →＝y ＋12z ＝0，取z ＝－2，则x ＝2，y ＝1，所以平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(2，1，－2)．假设DQ ⊥平面A 1BD ，且B 1Q →＝λB 1P →＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则DQ →＝DB 1→＋B 1Q →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12，因为DQ→也是平面A 1BD 的法向量，所以n ＝(2，1，－2)与DQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－λ，－1＋2λ，－12共线，于是有1－λ2＝－1＋2λ1＝－12－2＝14成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ 与平面A 1BD 垂直，故选D.【答案】 D3.如图3-2-18，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝1，若E ，F 分别为PB ，AD 中点，则直线EF 与平面PBC 的位置关系________．图3-2-18【解析】 以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，∴EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，平面PBC 的一个法向量n ＝(0，1，1)，∵EF→＝－12n ，∴EF→∥n，∴EF⊥平面PBC.【答案】垂直4．如图3-2-19，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝12AD.图3-2-19(1)求证：CD⊥平面PAC；(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由. 【导学号：18490113】【解】因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．高中数学-打印版精心校对 (1)AP→＝(0，0，1)，AC →＝(1，1，0)，CD →＝(－1，1，0)， 可得AP→·CD →＝0，AC →·CD →＝0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD . 又因为AP ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC .(2)设侧棱PA 的中点是E ，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12.设平面PCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CD →＝0，n ·PD →＝0，因为CD →＝(－1，1，0)，PD →＝(0，2，－1)，所以⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，2y －z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝2，所以平面PCD 的一个法向量为n ＝(1，1，2)．所以n ·BE →＝(1，1，2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12＝0，所以n ⊥BE →. 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE ∥平面PCD .综上所述，当E 为PA 的中点时，BE ∥平面PCD .。