山东省淄博市部分学校2018届高三12月摸底考试数学文试题 含答案 精品

山东省淄博市部分学校2018届高三12月摸底考试数学（文）试题本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

共6页，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用 2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4. 考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合{}2|5360A x x x =--≤，[)31B =-，，则()R AB =ðA. [-4, -3)B. [-9, -3)C. [-4, -3)∪[1, 9]D. [-9, -3)∪[l, 4]2. 若复数z 满足)2zi =，则z=12i + B.12+ 12i D.12 3. 下列说法错误的是A. 命题“200020x R x x ∃∈--=，”的否定是“220x R x x ∀∈--≠，” B. 在△ABC 中，“sinA ＞cosB ”是“△ABC 为锐角三角形”的充要条件 C. 命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0” D. 若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题4. 已知()lg lg lg x y x y +=+，则x y +的取值范围是 A. (0, 1]B. [2, +∞)C. (0, 4]D. [4, +∞)5. 已知函数()y f x =的图象如图所示，则其导函数'()y f x =的图象可 能为A B C D 6. 执行右面的程序框图，则输出的结果是 A. -1B.12C. 2D. 17. 已知向量()()2110a b =-=，，，，则向量a 在向量b 上的投影是 A. 2B. 1C. -1D. -28. 设变量x ，y 满足约束条件041x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数22z x y =+-的最小值是 A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知sin 352θθππ=∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.D. 10. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：====，则按照以上规律，若= “穿墙术”，则n= A. 35B. 48C. 63D. 8011. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()3331201711a a -+-=，()()3201520151201711a a -+-=-，则下列结论正确的是A. 20172017S =B. 20182018S =C. 20172017S =-D. 20182018S =-12. 函数()f x 和()g x 在[)t +∞，上都是增函数，且()()f t g t M ==. 若对任意k ＞M ，存在12x x <，使得12()()f x g x k ==成立，则称()g x 是()f x 在[)t +∞，上的“D 函数”. 已知2()f x x =，下列四个函数：①()g x x =；②()ln 1g x x =+；③()21x g x =-；④1()2g x x=-. 其中是()f x 在[1)+∞，上的“D 函数”的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本，则样本中还有一名学生的编号是 .14. 在区间22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，内随机取一个数x ，则事件“sin cos 2x x +≥”发生的概率 是 .15. 设数列{}n a 满足1216a a ==，，且21122n n n n na a ab a ++-+==，，则数列{}n b 的前 n 项和n S = .16. 已知定义在R 上的函数()f x 满足条件： ①对任意x ∈R ，有(2)()1f x f x ++=；②对任意不同的[]1202x x ∈，，，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦； ③函数(2)f x +的图像关于y 轴对称.若(4.5)(6.5)(7)a f b f c f ===，，，则a ，b ，c 的大小关系为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sinA ，sinB ，sinC 成等差数列. (Ⅰ)若a=2c ，求cosA 的值；(Ⅱ)设A=90°，且c=2，求△ABC 的面积.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231n n S a =-，数列{}n b 满足32log n n b a =. (Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ)设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ；，证明：12n T <.19.（本小题满分12分）今有一组数据如下表：由最小二乘法求得点()i i x y ，()126i =，，，的回归直线方程是ˆˆˆybx a =+，其中ˆ4b=-. (Ⅰ)求m 的值，并求回归直线方程；(Ⅱ)设()ˆˆˆ126i iy bx a i =+=，，，，我们称ˆi i y y -为点()i i x y ，的残差，记为ˆi e . 从所给的点()i i x y ，()126i =，，，中任取两个，求其中有且只有一个点的残差绝对值不大于1的概率.参考公式: ()()()1211111niin ni i i ni i ii x x y y b x x y y a y bx n n x x ====--====--∑∑∑∑，，，.20.（本小题满分12分）设函数()(01)x x f x ka a a a -=->≠且是定义域为R 的奇函数，3(1)2f =. (Ⅰ)若2(2)(4)0f m m f m ++->，求m 的取值范围；(Ⅱ)若22()2()x x g x a a mf x -=+-在[)1+∞，上的最小值为-2，求m 的值. 21.（本小题满分12分）2017年“双11”前夕，某市场机构随机对中国公民进行问卷调查，用于调研“双11”民众购物意愿和购物预计支出状况. 分类统计后，从有购物意愿的人中随机抽取100人作为样本，将他（她）们按照购物预计支出（单位：千元）分成8组:[0, 2)，[2, 4)，[4, 6)，…，[14, 16]，并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，样本中购物预计支出不低于1万元的人数为a.(Ⅰ) (i)求a 的值，并估算这100人购物预计支出的平均值；(ii)以样本估计总体，在有购物意愿的人群中，若至少有65%的人购物预计支出不低于x 千元，求x 的最大值.(Ⅱ) 如果参与本次问卷调查的总人数为t ，问卷调查得到下列信息： ①参与问卷调查的男女人数之比为2:3；②男士无购物意愿和有购物意愿的人数之比是1:3，女士无购物意愿和有购物意愿的人数之比为1:4；③能以90%的把握认为“双11购物意愿与性别有关”，但不能以95%的把握认为“双11购物意愿与性别有关”.根据以上数据信息，求t 所有可能取值组成的集合M.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++.独立检验临界值表：22.（本小题满分12分） 已知函数sin ()(0)xf x x x=≠. (Ⅰ)判断函数()f x 在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上的单调性；(Ⅱ)若函数()f x 在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上满足()f x a <恒成立，求实数a 的最小值.部分学校高三摸底考试 数学试题参考答案及评分说明一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. CABDD BDACC AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 13；14.71215.（文科）1n n +；（理科）2016； 16. a c b << 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题设，知sinA+sinC=2sinB ，由正弦定理，得a+c=2b …………1分又a=2c ，可得32b c =， …………3分 所以22222229414cos 32422c c c b c a A bc c +-+-===-⨯. …………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，a+c=2b ，又A=90°，由勾股定理得222b c a +=. …………6分解方程组22222a c bb c a c +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩，得83b =， …………8分所以118822233ABC S bc ∆==⨯⨯=. ……………………分18.（文科 本小题满分12分）解：(Ⅰ)在231n n S a =-中，当n=l 时，11231a a =-，得11a = ………………1 分 由231n n S a =-，得11231n n S a ++=-作差，得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a += ……………………4 分 所以数列{}n a 是首项11a =，公比为3的等比数列，所以13n n a -=. 5分21323log log 321n n n b a n -===-. ……………………6分(Ⅱ)()()111111212122121n n n c b b n n n n +⎛⎫===- ⎪---+⎝⎭………………8分所以12111111123352121n n T c c c n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭……………………10分 由于1021n >+，所以12n T <. ……………………12分 19.（文科 本小题满分12分）解：（Ⅰ）661111314006266i i i i m x x y y ==+====∑∑，，……………………2分 由知ˆ4b=-，所以()()()()2222.56890 1.575840.58342 2.5 1.50.5m -+-+-=-⨯++解得m=80 ……………………4分 因回归直线经过样本中心13802⎛⎫⎪⎝⎭，，所以4008013410662a y bx +=-=+⨯=， 所以回归直线方程是y= -4x+106. ……………………6分(Ⅱ)把点()i i x y ，记为()126i A i =，，，，由（Ⅰ）得到回归直线方程可知4106i i y x =-+.残差的绝对值不大于1的点共有3个：A 1(4, 90)，A 3(6, 83)，A 5(8, 75). ……8分 从6个点中任取两个的基本事件：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}， {A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6} 共15个 ……………………10分两个点中有且只有一个点的残差绝对值不大于1的基本事件：{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 5}，{A 3，A 4}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 5，A 6} 共9个 ……………………11分所以在任取的两个点中，有且只有一个点的残差绝对值不大于1的槪率是93155P ==. ……………………12分 20.（文科 本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，得(0)0f =，即k-1=0，解得k=1 ……………………1分 由3(1)2f =，得132a a --=，解得a=2，12a =- （舍去）……………………3 分 所以()22x x f x -=-为奇函数且是R 上的单调递增函数. ……………………4分 由2(2)(4)0f m m f m ++->，得2(2)(4)f m m f m +>- ……………………5 分 所以224m m m +>-，解得4m <-或1m >. ……………………6分(Ⅱ) 222()222(22)(22)2(22)2x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+ ……7 分令22x xt -=-，由1x ≥ 所以113222t -≥-=所以222y t mt =-+，对称轴t=m ……………………9分(1)32m ≥时，22min 222y m m =-+=-，解得m=2 ……………………10 分 (2)32m <时，min 92533224122y m m =-+=-⇒=> （舍去） …………………11分 所以m=2 …………………………………………12分 21.（文科 本小题满分12分）解：(Ⅰ) (i)因为(0.02+0.04+0.09+0.10+0.14+b+0.03+0.02)×2=l ， 解得b=0.06，所以a=(b+0.03+0.02)×2×l00=22 …………………2 分 由频率分布直方图可知，购物预计支出平均值为： 0.02×2×1+0.04×2×3+0.09×2×5+0.10×2×7+0.14×2×9+0.06×2×11+0.03×2×13+0.02×2×15=7.8所以这100人购物预计支出的平均值为7.8（千元）. …………………4分 (ii)由频率分布直方图可知，前3个小矩形的面枳为：(0.02+0.04+0.09)×2=0.30， 后4个小矩形的面积为：(0.14+0.06+0.03+0.02)×2=0.50，设x 的最大值为y ，所以y ∈[6, 8)，所以0.3+(y-6)×0.10=l-0.65，所以y=6.5，所以x 的最大值是6.5 …………………6分 (Ⅱ)设无购物意愿的男士人数为m ，无购物意愿的女士人数为n ， 由已知可以得到如下2×2列联表:其中4535m n m n =⇒=，t=4m+5n=10m ()*m n N ∈，…………………8 分 公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，可得:22(45)(43)5()(34)45143m n mn mn mK m n m n m n +-==++⨯⨯ …………………10分 因为在犯错误槪率不超过0.10的前提下，可以认为“双11”购物意愿与性别有关，但却不能以95%的把握认为“双11购物意愿与性别有关”. 所以52.706 3.841143m≤<，所以77.3916109.8526m ≤<， 因为*m n N ∈，，所以m=80，85,90，95，100，105，所以M={800，850，900，950，1000，1050} …………………12 分 22.（文科 本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2cos sin '()x x xf x x -=…………………1 分令()cos sin g x x x x =-，'()sin g x x x =-，显然当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，'()sin 0g x x x =-<，即函数()g x 在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，的单调递减，且(0)0g =，从而函数()g x 在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上恒小于零 …………………3分所以'()f x 在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上恒小于零，函数()f x 在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减. ……4分（Ⅱ）由于02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，不等式()f x a <恒成立，即sin 0x ax -<恒成立 …………6分 令()sin x x ax ϕ=-，'()cos x x a ϕ=-，且(0)0ϕ= …………………8 分 当1a ≥时，在区间02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上'()0x ϕ<，即函数()x ϕ单调递减， 所以()(0)0x ϕϕ<=，即sin 0x ax -<恒成立 …………………9分 当01a <<时，'()cos 0x x a ϕ=-=在区间02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上存在唯一解0x ， 当()00x x ∈，时，'()0x ϕ>，故()x ϕ在区间[)00x ，上单调递增，且(0)0ϕ=， 从而()x ϕ在区间()00x ，上大于零，这与sin 0x ax -<恒成立相矛盾 ………………10分 当0a ≤时，在区间02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上'()0x ϕ>，即函数()x ϕ单调递增，且(0)0ϕ=， 得sin 0x ax ->恒成立，这与sin 0x ax -<恒成立相矛盾 …………………11分 故实数a 的最小值为1. ……………………………………12分。