3.4.1 弧长和扇形的面积一、复习总结：1、 圆心角定理的推论：在_________中，如果两个圆心角、_______、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。
2、 练一练：如图，已知A 、B 、C 、D 是圆O 上的点，，请找出其余相等的几对量 ______________________________。
3、 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于___________的一半。
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是_______，900的圆周角 所对的弦是________。
推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的______也相等。
二、新课引入1、已知圆O 的半径是R ，那么圆周长C=________。
2、已知圆O 的半径是R ，那么n 0的圆心角的弧长是多少呢？3、探究：1>圆的半径是R ，把圆分成360份，每份的圆心角______度，所对的弧是_______。
2>n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长______倍。
3>n°圆心角所对的弧长=_________。
结论：在半径为R 的圆中，n°圆心角所对的弧长的公式：练一练：直径为100 cm 的圆弧的度数为，求这条弧的长（结果保留3个有效数字）__________________________________。
4、变式：R=________;_________。
练一练：1>已知半径为5cm 的圆弧长为5 cm,求这条弧所对圆心角的度数（精确到0.10）2>已知圆弧的度数为600，弧长为6.28cm 。
求圆的半径（取3.14）4、 注意：“弧相等”与“弧长相等”是不等价的。
弧相等指是两条弧的度数和长度都相等；反过来，如果两条弧的度数相等，或者两条弧的长度相等，则两条弧不一定相等。
只有在同圆或等圆中，“两条弧的度数相等”，或“两条弧的长度相等”与“两条弧相等”才是等价的。
弧长和扇形面积是数学中与圆相关的两个重要概念。
理解并掌握如何计算弧长和扇形面积对于解决与圆相关的几何问题非常重要。
在九年级数学课程中，弧长和扇形面积通常作为圆和圆的应用问题的基础知识出现。
以下是关于九年级弧长和扇形面积的讲义。
一、弧长的计算1.弧长的定义在圆中，弧由圆周上的两个点所确定。
弧长是圆周上的一部分弧对应的弧长。
弧长的单位通常是长度单位（如厘米、米）。
2.弧长的计算公式对于一个圆的弧长，可以使用以下公式进行计算：L=2πr×(θ/360°)其中，L表示弧长，r表示圆的半径，θ表示弧所对应的圆心角的度数。
3.弧的度数的计算弧所对应的圆心角的度数可以通过以下公式计算：θ=(L/2πr)×360°其中，L表示弧长，r表示圆的半径，θ表示弧所对应的圆心角的度数。
二、扇形面积的计算1.扇形的定义在圆中，扇形是由圆心、弧和两条半径构成的封闭图形。
2.扇形面积的计算公式扇形的面积可以使用以下公式进行计算：A=(θ/360°)×πr²其中，A表示扇形的面积，r表示圆的半径，θ表示扇形所对应的圆心角的度数。
3.圆的面积计算圆的面积是扇形面积的特殊情况，可以使用以下公式进行计算：A=πr²其中，A表示圆的面积，r表示圆的半径。
三、习题演练1.第一题：一个圆的半径为4 cm，计算这个圆的周长。
解答：周长= 2πr = 2 × 3.14 × 4 = 25.12 cm答案：这个圆的周长为25.12 cm。
2.第二题：一个扇形的圆心角为60°，半径为6 cm，计算这个扇形的面积。
解答：扇形的面积= (60/360) × 3.14 × 6² = 18.84 cm²答案：这个扇形的面积为18.84 cm²。
3.第三题：一个扇形的面积为12.56 cm²，半径为4 cm，计算这个扇形的圆心角。
《弧长与扇形的面积》教案1教学目标【知识与技能】理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算.【过程与方法】经历弧长公式的推导过程，进一步培养学生探究问题的能力.【情感态度】调动学生的积极性，在组织学生自主探究，相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神. 教学重点弧长公式及其运用.教学难点运用弧长公式解决实际问题.教学过程一、情境导入，初步认识如图是某城市摩天轮的示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A 、B 是圆上的两点，圆心角∠AOB =120°.你能想办法求出AB 的长度吗？【教学说明】学生根据AB 是120°是13周长可直接求出AB 的长，为下面推导出弧长公式打好基础.二、思考探究，获取新知 问题1在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧长_______.【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识，同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一组量相等，则另外两组量也分别相等，结论自然不难得出.问题2 1度的圆心角所对的弧长l =_____.问题3 半径为R 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长l =______.【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推导，学生就不容易质疑了.结论:半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 为·2360180n n r l r ππ== 注：已知公式中l 、r 、n 的其中任意两个量，可求出第三个量.三、典例精析，掌握新知例1已知圆O 的半径为30cm ，求40度的圆心角所对的弧长.(精确到0.1cm ) 解：()40302020.91801803n R l cm πππ⨯⨯===≈.答：40度的圆心角所对的弧长约为20.9cm .【教学说明】此题是直接导用公式.例2如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =15°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交点D ，若AC =6，求弧AD 的长.【分析】要求弧长，必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数，即只需求出∠ACD 的度数即可.解:连接CD .因为∠B =15°，∠BCA =90°，所以∠A =90°-∠B =90°-15°=75°.又因为CA =CD ，所以∠CDA =∠A =75°.所以∠DCA =180°-2∠A =30°.所以AD 的长=306180π⨯=π. 【教学说明】在求弧长的有关计算时，常作出该弧所对应的圆心角.例3如图为一个边长为10cm 的等边三角形，木板ABC 在水平桌面绕顶点C 沿顺时针方向旋转到△A ′B ′C 的位置.求顶点A 从开始到结束所经过的路程为多少？解：由题可知∠A ′CB ′=60°.∴∠ACA ′=120°.A 点经过的路程即为AA ′的长.等边三角形的边长为10cm .即AA ′的半径为10cm .∴AA ′的长=12010201803ππ⨯= (cm ). 答：点A 从开始到结束经过的路程为203πcm . 【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在圆的半径，问题就容易解决了.练习题：1、如课本图，是一个闹钟正面的内、外轮廓线.内轮廓线由一段圆弧和一条弦AB 组成，圆心为O ，半径为3.2cm ，圆心角∠AOB =83°，求内轮廓线的圆弧的长度.2、如课本图，一块铅球比赛场地是由一段80°的圆心角所对的圆弧和两条半径围城的，若该比赛场地的周界是34m ，求它的半径OA 长（精确到0.1m ）.四、运用新知，深化理解1.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为( ) A .6cm B .12cmC .D cm2.如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A 到点B ，甲虫沿着1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 的路线爬行，乙虫沿着路线ACB 爬行，则下列结论正确的是( )A .甲先到B 点 B .乙先到B 点C .甲乙同时到达D .无法确定3.如果一条弧长等于l ，它所在圆的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加( )A .1nB .180R πC .180l R πD .13604.(山东泰安中考)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠ABC =120°，OC =3，则BC 的长为()A .πB .2πC .3πD .5π第4题图 第5题图5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线无滑动翻滚(如图)，那么B 点从开始到结束时所走过的路径长度是______.【教学说明】在弧长公式及其运用的题目中，多是一些基础题，关键是理解公式的推导过程后，在l 、n 、r 中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了.【答案】1.A 2.C 3.B 4.B 5.43π五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾本小节的知识点.2.通过本节课的学习，你掌握了那些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】1.n °的圆心角所对的弧长180n R l π=.2.学生大胆尝试公式的变化运用. 课后作业1.教材P81页第1题.2.完成同步练习册中本课时的练习.《弧长与扇形面积》教案2教学目标知识与技能1.掌握扇形的定义.2.掌握扇形面积公式的推导过程，会运用扇形的面积进行有关计算.过程与方法经过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.情感态度经历扇形面积公式的推导过程及利用公式解决实际问题，加强合作交流，集思广益. 教学重点扇形面积公式的推导过程及用公式进行有关计算.教学难点用公式求组合图形的面积来解决实际问题.教学过程一、情境导入，初步认识如图所示是一把圆弧形状的扇子的示意图，你能求出做这把扇子用了多少纸吗？要想解决以上问题，需知道求扇形的面积的计算公式.今天我们就来学习扇形的面积.二、思考探究，获取新知1.扇形的定义圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形.【教学说明】1.强调它是一个封闭的图形；2.扇形包括两半径和弧内部的平面部分.2.扇形的面积公式同学们结合圆的面积S=πR2，完成下列各题：(1)该圆的面积可看作是_______的圆心角所在的扇形面积.(2)设圆的半径为R，1°的圆心角所在的扇形面积为______，2°的圆心角所在的扇形面积为，3°的圆心角所在的扇形面积为______，…，n°的圆心角所在的扇形面积为___.学生解答【教学说明】(1)360°(2)2360Rπ22360Rπ23360Rπ2360n Rπ因此，在半径为R的圆中，圆心角为nl 为扇形的弧长. 例1如图，⊙O 的半径为1.5cm ，圆心角∠AOB =58°，求扇形OAB 的面积(精确到 0.1c m 2).解：∵r =1.5cm ，n =58，∴22258 1.558 3.14 1.5 1.1360360()S cm π⨯⨯⨯⨯==≈ 例2已知半径为2的扇形，其弧长为43π，则这个扇形的面积为多少？ 【分析】已知扇形弧长为l ，所在圆的半径为R 时，可直接利用扇形的面积公式：S 扇形=12lR 求解.解: S 扇形=12lR =1442233ππ⨯⨯=. 【教学说明】扇形有两个面积公式，随着已知条件的不同，学生要有不同的公式选择，这样计算更简便.3.组合图形的面积计算.例3如图，把两个扇形OAB 与扇形OCD 的圆心重合叠放在一起，且∠AOB =∠COD ，连接AC .(1)求证:△AOC ≌△BOD ；(2)若OA =3cm ，OC =2cm ，AB 的长为32π，CD 的长为π，求阴影部分的面积.【教学说明】利用“边角边”证明△AOC ≌△BOD ，阴影部分是不规则图形，可先将其转化为规则图形，再计算.(1)证明:∵∠AOB =∠COD ，∴∠BOD =∠AOC .又∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOC ≌△BOD .(2)延长CD ，交OB 于点F ，设AO 交CD 于点E .∵S △AOC =S △BOD ，S 扇形EOC =S 扇形DOF ， ∴S 图形AEC =S 图形BFD .∴S 阴影=S 扇形OAB -S 扇形OCD 1315322224πππ=⨯⨯-⨯⨯=.例4、如课本图，是一条圆弧形弯道，已知OA =20m ，OC =12m ，弧CD 的长度为9πm ，求圆弧弯道的面积.【教学说明】扇形面积的学习，主要是求组合图形中的特殊部分的面积，如阴影部分等，关键是找出规则图形之间面积存在怎样的和、差、倍、分关系.练习题：1、如课本图，在圆O 中，∠AOB =120°，弦AB 的长为才cm ，求扇形OAB 的面积. 2、如课本图，分别以△ABC 的顶点A ，B ，C 为圆心，以1为半径画圆，求图中绿色部分的面积.三、运用新知，深化理解1.(甘肃兰州中考)如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A .πB .1C .2D .23π2.如图所示，一张半径为1的圆心纸片在边长为a (a ≥3)的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是( )A .a 2-πB .(4-π)a 2C .πD .4-π3.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是AB 的三等分点.如果⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的任意一点，则阴影部分的面积为_____.4.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，BC =⊙A 与BC 相切于点D ，且交AB 、AC 于M 、N 两点，则图中阴影部分的面积是______(保留π).5.如图，⊙O 的半径为R ，直径AB ⊥CD ，以B 为圆心，BC 为半径作弧CED ，求图中阴影部分的面积.【教学说明】扇形的面积公式是基础，但关键在解决一些实际问题时，它都不是单一的扇形，而是其组合图形，分解组合图形向基本可求出面积的图形转化方可求出组合图形的面积.【答案】1.C 2. D 3.3π 43π 5.解：S 阴=S 半圆OCAD +S △BCD -S 扇形BCED =22221122R R R R ππ+-= 四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.教师强调：①扇形的概念.②圆心角为n°的扇形面积S扇=213602n RlRπ= (l为扇形的弧长).③组合图形的面积.课后作业1.教材P81第2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.。
