第24章圆第10课时弧长和扇形面积-人教版九年级数学上册讲义

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调弧长和扇形面积的计算公式这两个重点。对于难点部分，如弧度的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧长和扇形面积相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸板制作一个扇形，测量并计算其面积。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧长和扇形面积的基本概念、计算公式以及它们在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对弧长和扇形面积的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解弧长和扇形面积的基本概念。弧长是圆上两点间的弧与半径的对应圆心角的比值；扇形面积是由圆心、圆上两点和这两点间的弧所围成的图形。它们在工程、设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，计算一个半圆的弧长和面积，通过这个案例，我们可以了解弧长和扇形面积在实际中的应用，以及它们如何帮助我们解决问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《弧长和扇形面积》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在生活中是否遇到过需要计算圆的一部分长度或面积的情况？”比如，设计一个扇形花园，我们该如何计算它的面积？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索弧长和扇形面积的奥秘。

人教版数学九年级上册24.4《弧长和扇形的面积》说课稿1一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.4节《弧长和扇形的面积》是本册教材中的重要内容，它是在学生已经掌握了圆的性质、圆的周长和面积的基础上进行授课的。

本节课主要介绍了弧长的计算方法和扇形的面积计算方法，旨在让学生理解和掌握弧长和扇形面积的计算公式，并能够运用这些知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质、周长和面积的概念已经有了初步的了解。

但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，循序渐进地引导他们理解和掌握这些概念和方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握弧长和扇形的面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探索弧长和扇形面积的计算方法，培养他们的观察能力和思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们的自主学习能力和团队合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：弧长和扇形面积的计算方法。

2.教学难点：弧长和扇形面积计算公式的推导过程。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法等教学方法，结合多媒体课件和黑板等教学手段，引导学生主动参与课堂，提高他们的学习兴趣和积极性。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出弧长和扇形面积的概念，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究：让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索弧长和扇形面积的计算方法。

3.讲解与演示：讲解弧长和扇形面积的计算公式，并通过多媒体课件和黑板进行演示。

4.练习与巩固：让学生通过课堂练习和小组讨论，巩固所学知识。

5.拓展与应用：引导学生运用弧长和扇形面积的知识解决实际问题。

6.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。

七. 说板书设计板书设计如下：1.弧长的计算方法–弧长 = 半径 × 弧度2.扇形面积的计算方法–扇形面积 = 1/2 × 弧长 × 半径八. 说教学评价教学评价将从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。

π 6cm，其中水面高0.
＝ (π1R2 7)一个扇形的弧长20
cm，面积
240πcm2 ,
150°
则圆心角是 .
中考链接
如图，把边长为 1 的正方形ABCD的一边放在
定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图
π 的位置，则
2
（18）点B运动到点B′所经过的路线长度为 ____2 ___，
（19）线段BD所扫过的图形面积为 2.5π.
（3）圆的周长可以看作是 36度0 （1）半径为R的圆,周长= ，面积= .
水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0. 在半径为R 的圆中,n°的圆心角 归纳 小结
n°
的圆心角所对的弧. (11)圆心角是270°的扇形面积是 .
6cm，其中水面高0.
蓝色部分的4个扇形的面积和= cm2 .
（4）在半径为R的圆中，1°圆心角 (6)判断：弧长相等的两条弧一定是等孤.
欢迎领导家长老师们
光临指导！
九年级8班
人教版 九年级《数学（上）》
24.4弧长和扇形面积
第1课时
回顾（1）半径为R的圆,周长= 2π，R面积= π. R2
（2）当R=10cm时, 周长=20π，面积= 10.0π
(17)一个扇形的弧长20πcm，面积240πcm2 ,
新课引导 所对弧长是 .
什么是扇形？
忘不了: 类比三角形面积公式 S△= a h
所对弧长是 且⊙A,⊙B,⊙C是等圆.
求图所示管道的展直长度L
.
nR
180
在半径为R 的圆中,n°的圆心角 l n R
所对的弧长的计算公式为:
180
(6)判断：弧长相等的两条弧一定是等孤.（ ）

第二十四章弧长和扇形面积知识点1：弧长公式, n°的圆心角所对的弧长l=.半径为R的圆中重点提示: (1)关于弧长公式重点是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的,即,亦即;(2)弧长公式所波及的三个量 : 弧长、圆心角的度数、弧所在圆的半径 , 知道其中的任何两个量就能够求出第三个量 .知识点 2：扇形面积公式扇形的定义 : 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.扇形面积公式: 半径为R, 圆心角为n°的扇形面积S 扇形=( 若已知或已求出了扇形对应的弧长l,则扇形面积公式也能够写成S 扇形 = lR).重点提示 : (1)关于扇形面积公式重点是要理解1°的扇形面积是圆面积的, 即;(2)扇形面积公式所波及的三个量 : 扇形面积、扇形半径、圆心角的度数 , 知道其中的任何两个量就能够求出第三个量 ;(3)关于扇形面积公式 S扇形 = lR, 可依照题目条件灵便选择使用 , 它与三角形面积公式S= ah 有点近似, 用类比的方法记忆会更好;(4) 注意扇形面积的两个公式之间的联系:S 扇形 == ·· R= lR,不论利用哪个公式计算扇形面积,R 都必定已知 .知识点 3：弓形的认识弦和弦所对的弧所围成的图形叫做弓形 , 利用扇形面积和三角形面积可求出弓形的面积 . 弓形有以下三种情况 :(1) 当弓形的弧小于半圆时, 弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差, 即 S 弓形 =S 扇形 -S △OAB;(2)当弓形的弧大于半圆时, 弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和, 即 S 弓形=S 扇形 +S△OAB;(3)当弓形的弧是半圆时, 弓形的面积是圆面积的一半, 即 S 弓形 =也就是说 : 要计算弓形的面积, 第一要察看它的弧属于半圆、劣弧仍是优弧S 圆 ., 只有对它分析正确才能保证计算结果的正确阴影部分经常是基本图形的组合问题的重点.., 解题时要认真分析图形, 找出组合方式, 这是解决这类考点1：弧长公式的运用【例1】挂钟分针的长为250px, 经过45 分钟 , 它的针尖转过的弧长是().A.cmB. 15π cmC.cmD. 75π cm答案:B.点拨 : 此题已知弧所在圆的半径为250px, 又知分针45 分钟转过270° , 所以针尖转过的弧长是l==15π(cm).考点 2：圆中图形面积的计算【例 2】如图 , 圆心角都是90°的扇形 OAB与扇形 OCD叠放在一同 , 连结 AC、BD.(1)求证 :AC=BD;(2)若图中阴影部分的面积是π cm2,OA=50px, 求 OC的长 .解 : (1) 因为∠ AOB=∠ COD=90°, 所以∠ AOC+∠ AOD=∠ BOD+∠AOD所以∠ AOC=∠ BOD.又因为 AO=BO,CO=DO,所以△ AOC≌△ BOD,所以 AC=BD.(2) 依照题意得S 阴影=-=,即π =.解得 OC=1(cm).点拨 : 由△ AOC ≌△ BOD可知图中阴影部分面积是扇环形面积, 即π =,解得 OC=1.考点 3：弧长公式和扇形面积在本质生活中的应用【例 3】在物理课上李娜同学用一个滑轮起重装置以以下图: 滑轮的半径是250px,当她将一重物向上提升375px 时, 滑轮的半径 OA绕轴心 O按逆时针方向旋转的角度是( 假定绳子与滑轮之间没有滑动, π取 3.14, 结果精准到1° ).答案 : 86°.点拨 : 在绳子与滑轮之间没有滑动前提的下轮子是带动着绳子在转动, 当轮子的点A 转到点A1地址时 , 绳子上的某一点也就从点A被带到点A1, 绳子被带动上升375px,也就是长度为375px, 所以此题所察看的数学知识可以等价“圆中的计算问题”: 已知,如图☉O的半径为250px,长为375px.求∠ A1OA的度数. 设OA绕圆心O按逆时针方向旋转n° ,则15=, 解得n≈ 86.。

第17讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积 第一部分 知识梳理 知识点一：圆与内正多边形的计算1、正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；2、正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =3、正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA = 知识点二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n R l π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱侧面展开图：3、圆锥侧面展开图第二部分 考点精讲精练考点1、正多边形和圆的求解例1、六边形的边长为10cm ，那么它的边心距等于（ ）A ．10cmB ．5cmC ．cm D ．cm 例2、已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为（ ） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正六边形 D ．正十二边形例3、如图，在⊙O 内，AB 是内接正六边形的一边，AC 是内接正十边形的一边，BC 是内接正n 边形的一边，那么n= ．例4、圆的内接正六边形边长为a，这个圆的周长为．例5、如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积S．举一反三：1、下列命题中的真命题是（）A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2：1B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D．各边相等的圆外切多边形是正方形2、已知正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R：a=（）A．1：1：B．1：：2 C．1：：1 D．：2：43、某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片，则此正六边形的边长为 cm．4、如图，正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为．5、如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．考点2、弧长的计算例1、一条弧所对的圆心角是90°，半径是R，则这条弧长是（）A．B．C．D．例2、一个滑轮起重装置如图所示，滑轮半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O，绕逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）（）A．115°B．160°C．57°D．29°例3、已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=120°，OB=1，则∠BAD= 度，∠BCD= 度，弧BCD的长= ．例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，且使点A、B、C′三点在一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是．例5、如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．（1）求证：△ADC≌△ADC′；（2）求在旋转过程中点C扫过路径的长．（结果保留π）举一反三：1、弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则弧所在的圆的半径为（）A．6 B．6C．12D．182、如图，一块边长为10cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时，顶点B从开始到结束所经过的路径长为（）A．20cm B．20cm C．10πcm D．5πcm3、一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2km．一列火车以每小时28km的速度经过10秒通过弯道．那么弯道所对的圆心角的度数为度．（π取3.14，结果精确到0.1度）．4、已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于．5、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．（1）请直接写出AB、AC的长；（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．考点3、扇形面积的计算例1、已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，那么阴影部分的面积是（）A．B．2π C．D．3π例2、一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A 为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（）A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2例3、如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA=4，BE=3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积．例4、如图，有一直径为1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，则剩下部分的（阴影部分）的面积是．例5、如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置．（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连接PQ，试判断△PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A，P，Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，PB=，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积．举一反三：1、若一个扇形的面积是相应圆的41，则它的圆心角为（ ） A ．150° B ．120° C ．90° D ．60°2、如图所示的4个的半径均为1，那么图中的阴影部分的面积为（ ）A ．π+1B ．2πC ．4D ．63、如图，O 为圆心，半径OA=OB=r ，∠AOB=90°，点M 在OB 上，OM=2MB ，用r 的式子表示阴影部分的面积是 ．4、如图，直角△ABC 的直角顶点为C ，且AC=5，BC=12，AB=13，将此三角形绕点A 顺时针旋转90°到直角△AB′C′的位置，在旋转过程中，直角△ABC 扫过的面积是 ．（结果中可保留π）5、如图，四边形ABCD 是长方形，AB=a ，BC=b （a ＞b ），以A 为圆心AD 长为半径的圆与CD 交于D ，与AB 交于E ，若∠CAB=30°，请你用a 、b 表示图中阴影部分的面积．考点4、圆锥侧面积计算例1、如果圆锥的高为3cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．16πcm 2B ．20πcm 2C ．28πcm 2D ．36πcm 2例2、新疆哈萨克族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形，如图所示，为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布．已知圆锥的底面直径是5.7m ，母线长是3.2m ，铺满毡房顶部至少需要防雨布（精确到1m 2）（ ）A ．58 m 2B ．29 m 2C ．26 m 2D ．28 m 2例3、扇形的圆心角为150°，半径为4cm ，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为 cm 2．例4、在十年文革期间的“高帽子”．这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板，做成如图②所示的无底圆锥体．已知接缝的重叠部分的圆心角为30°．（1）求重叠部分的面积．（结果保留π）（2）计算这顶“高帽子”有多高？（结果保留根号）例5、已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底面圆的半径和高．举一反三：1、若圆锥的侧面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（）A．4πcm B．4 cm C．2πcm D．2 cm2、圆锥的轴截面是一个等腰三角形，它的面积是10cm2，底边上的高线是5cm，则圆锥的侧面展开图的弧长等于（）A．87πcm B．47πcm C．8 cm D．4 cm3、如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的高为。

－
1353π6×0 152＝375π(cm2)．
9
能力提升
11．如图，图1是由若干个相同的图形(图2)组成的美丽图案的一部分．图2中， 图形的相关数据：半径OA＝2 cm，∠AOB＝120°，则图2的周长为 83π ________cm.(结果保留π)
10
12．如图，在△ABC中，AC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋 转30°得到△FGC，则图43中π 阴影部分的面积为________.
第二十四章 圆
弧长和扇形面积
第一课时
知识展示
知识点 1 弧长公式 n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 l＝n1π8R0 ，其中 R 为半径． 核心提示：在弧长公式中，已知 l、n、R 中的任意两个量，都可以求出第三个 量． 知识点 2 扇形的定义 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
分析：先用扇形OAB的面积－三角形OAB的面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD的面积－三角形OCD的面积－上面空白部分的面
积7．，如即图可，求5分出．别阴以影【五部边分黑形的A龙面BC积D江．E的顶哈点尔为圆滨心，中以1考为半】径作一五个个圆，扇则图形中的阴影弧部分长的面是积之1和1为π__c___m___.，半径是18
2
知识点 3 扇形面积公式 (1)n°圆心角的扇形面积公式：S 扇形＝n3π6R02 ，其中 R 为半径． (2)弧长为 l 的扇形面积公式：S 扇形＝12lR，其中 R 为半径． 【典例】如图，半径为 12 的圆中，两圆心角∠AOB＝60°、∠COD＝120°，连接 AB、CD，求图中阴影部分的面积．
cm，则此扇形的圆心角是__________度． 71．2．如如图图，，分在别△以AB五C中边，形AACB＝CD4E，的将顶△点AB为C圆绕心点，C逆以时11为针1半旋0 径转作30五°得个到圆△，FG则C，图则中图阴中影阴部影分部的分面的积面之积和为为________________.. 一列火车以6每．小时【28 江km的苏速度泰经州过10中秒通考过弯】道．如那么图弯，道所分对的别圆心以角为正___三_____角__度形．(π的取3.3个顶点为圆心， 98．．一已段知铁扇边路形弯所长道在成圆为圆半弧 径半形为，4径，圆弧弧画长的为弧半6径π，，是则2三扇km形.段面积弧为_围_____成____.的图形称为莱洛三角形．若正三角 分 积析，：即先 可用 求形扇 出形 阴边影OA部长B的分面为的积面6－积三．c角m形，OAB则的面该积求莱出上洛面三空白角部分形6面π积的，再周用扇长形为OCD_的_面__积_－__三_角c形mOC. D的面积－上面空白部分的面

【解析】选D.延长AO交BC于点D，连接OB， 根据对称性知AO⊥BC，则BD=DC=3.
又△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°， 则AD= 1 BC =3,∴OD=3-1=2,
2
∴OB= 22 32 13.
九年级数学第24章圆
4.（毕节·中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5， OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ． 【解析】如图所示，连接OB，则OB=5,OD=4,利用勾股定
（2）若旋转角度不是180°，而是旋转任意角度，则旋转 过后的图形能与原图形重合吗？
B
Oα
A
圆绕圆心旋转任意角度α ，都能够与原来的图形重合. ___圆__具__有__旋__转__不__变__性___.
九年级数学第24章圆
(二) 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
（1）相关概念
圆__心__角___：顶点在圆心的角
2.如图,一根5m长的绳
子,一端栓在柱子上,
另一端栓着一只羊,请
5
画出羊的活动区域.
九年级数学第24章圆
【解析】
九年级数学第24章圆
1.判断下列说法的正误：
(1)弦是直径;(
)
(2)半圆是弧;(
)
(3)过圆心的线段是直径;( )
(4)长度相等的弧是等弧;( )
(5)半圆是最长的弧;(
)
(6)直径是最长的弦;(
问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的 石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高 （弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥 拱的半径吗？
九年级数学第24章圆

第二十四章 圆
24.40米接力赛,是田径运动中唯一的集体项目,以队为单位, 每队4人,每人跑相同距离.如图所示,这些运动员分别在不同的跑 道,他们的起跑线也不在同一处,但他们跑的距离一定相同,也就是 说这些弯道的“展直长度”是一样的.
知识点 扇形
扇子是引风用品,夏令必备之物.中国传统扇文化有着 深厚的文化底蕴,是中华民族文化的一个集成部分,它与竹 文化、道教文化、儒家文化有着密切关系.历来中国有 “制扇王国”之称.利用大小两个扇形的面积之差可求出 折扇的扇面面积.
知识点 圆锥
生活中经常出现的圆锥有:沙堆、漏斗、帽 子、陀螺.在机械加工行业用到圆锥的地方有很 多.它的侧面展开图是一个扇形.
知识点 圆锥
圆锥可以看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的 直线旋转而成的图形.圆锥的母线a,高h,底面半径r恰好构成 一个直角三角形,满足r²+h²=a²,利用这一关系可以在已知任意 两个量的情况下求出第三个量.

人教版九年级数学第24章圆弧长和扇形面积讲义探求点1 弧长公式 知识解说假设弧长为l ，圆心角度数为n °,Z 圆的半径为R ，那么,1802,300R n R n l ππ==(1) 在弧长的计算公式中，n 是表示10的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位. (2)假定圆心角的单位不全是度，那么需先化为度后再计算弧长.(3)题设未标明准确度的,可以将弧长用π表示.(4)正确区分弧、弧的度数.弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不定相等,弧长相等的弧不定是等弧，只要在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的一致.典例剖析例1 如右图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧AB . 半径OA=60cm ，∠AOB=1080，那么管道的长度(即AB 的长)为多少? (结果保管π)解析 直接运用弧长公式180Rπn l =求解. 答案 设AB 的长为lcm,∵R=60cm ，n=1080,∴()cm R n l πππ3618060108180=⨯⨯==∴管道的长度为cm π36.类题打破1 如以下图.Rt △ABC 中，∠ACB=90°∠B=300.AC=1，假定以A 为圆心、AC 为半径的弧交斜边AB 于点D.那么CD 的长为A.2π B.3π C.4π D.6π 答案 B点拨 直接应用弧长公式停止计算. 探求点2(高频考点) 扇形及其面积公式知识解说(1)扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

(2)扇形的面积公式:设圆的半径为R,圆心角是n 0的扇形面积为S 扇形.那么.2121803602lR R R n R n S =⨯==ππ扇形(其中l 为扇形的孤长) 典例剖析例2 如图，两个同心圆被两条半轻截得的AB 的长为5π,CD 的长为7π,AC=4.求阴影局部的面积。

解析 阴影局部的面积等于两个扇形的面积之差. 答案 设圆心角为n 0，大圆与小的半径区分是为R 1,R 2那么.1802,180211R n l R n l ππ==即阴影局部的面积为24π.类题打破2 如图，扇形OAB 的圆心角为900，区分以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 区分表示两个阴影局部的面积，那么P 和Q 的大小哦关系怎样？答案 设两个半圆的另一个交点为C ，如图，扇形OAB 的半径为R ，那么P=S 扇形OAB -2S 平面OCA +Q=.22124122Q Q R R =+⎪⎭⎫⎝⎛⋅⨯-ππ ∴P 和Q 相等.点拨 假定出扇形的半径，再表示出半圆面积和扇形的面积，即可找到两局部面积间的关系.探求3〔高频考点〕圆锥的正面积和片面积 知识解说(1)衔接圆锥顶点和底面圆周上恣意一点的线段叫做圆维的母线，衔接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.(2)圆锥的正面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。

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例5、(山西省,2005)如图是一纸杯，它的母线AC和 EF延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图 形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm， 下底面直径为4cm，母线长EF=8cm．求扇形OAB的圆心 角及这个纸杯的表面积(面积计算结果用π表示)．
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演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
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一、知识要点概述
1、弧长公式和扇形面积公式
n°的圆心角所对的弧长l和含n°圆心角的扇形的面积 公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推来：
∵ l = n , S扇形 = n , 2πR 360 πR2 360
∴l
=
nπR 180
, S扇形
=
n 360
πR2
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例2、若一个扇形的弧长是12π，它的圆心角是120°， 那么这个扇形的面积是多少？
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例3、如图，AB 是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且 AC=2，∠CAB=30°．求图中阴影部分面积．
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例4、如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°， AD∥BC，AB=2cm，BC=7cm，AD=3cm，以BC为轴把 直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积．
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二、重难点知识归纳
弧长公式、扇形面积公式、圆锥的侧面积和全面 积．

庖丁巧解牛知识·巧学·升华一、弧长公式l =180Rn ∏,其中R 为圆的半径，n 为圆弧所对的圆心角的度数，不带单位.由于整个圆周可看作360°的弧，而360°的圆心角所对的弧长为圆周长C=2πR ，所以1°的圆心角所对的弧长是3601×2πR ，即180R ∏，可得半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l =180R n ∏.二、扇形面积公式S 扇形=21lR ，圆心角是1°的扇形的面积等于圆面积的3601，所以圆心角是n °的扇形面积是S扇形=360n πR 2.这里是圆心角的度数，不带单位，R 为圆的半径.扇形的面积还可以用另一个公式S 扇形=21lR 表示. 这里l 表示弧长，R 为圆的半径,与三角形的面积公式有些类似.只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长看作底，R 看作高就比较容易记了. 问题·自主·探究问题 我们知道扇形是和它同半径圆的一部分.那么它的面积和圆的面积有何数量上的关系呢？探究：可以先分小组进行试验，然后将试验的结果填入下列表格： 试验材料：若干个不同圆心角的扇形. 表格：从上面的表格我们可观察到圆心角占360°的几分之几和这个扇形的面积占圆面积的几分之几的数值是一致的.所以我们可以得到下面一个等式：360S n S ＝圆扇即S 扇=360n S 圆. 典题·热题·新题例1 如图24-4-1，AB 是半圆的直径，AB =2R ，C 、D 为半圆的三等分点，求阴影部分的面积.思路解析:对于弧形部分，应分清各弧的圆心和半径，避免把阴影部分当作扇形.∵=，∴∠CDA =∠DAB . ∴CD ∥AB .这样△ACD 和△COD 的面积相等，阴影部分的面积就转化为求扇形COD 的面积.解: ∵=，∴∠CDA =∠DAB .∴CD ∥AB .∴S △ACD =S △OCD . ∴S 阴影=S 扇形COD =3602R n ∏=360602R ∏=26R ∏.图24-4-1例2 如图24-4-2，△ABC 是正三角形，曲线CDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中、、的圆心依次按A 、B 、C 循环，它们依次相连接.如果AB =1，求曲线CDEF 的长.思路解析:曲线CDEF 的长实际是弧、、长的和.本题考查弧长公式的应用.图24-4-2解:∵△ABC 为等边三角形，∴三内角都为60°. ∴∠CAD =∠FCB =∠EBD =120°.∵AB =1，∴的半径AC =1,的半径BD =2AB =2，的半径CE =3AB =3.∴曲线CDEF 的长为（1＋2＋3）=4π.例3如图24-4-3，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得五边形ABCD E ，求图中五个扇形的面积之和（阴影部分）.思路解析：阴影部分的面积很容易分析，即为五个扇形面积的和，但每个扇形面积由于不知道圆心角而不能求出，因此应另辟新路.仔细分析可得五个扇形的圆心角之和恰为五边ABCD E 的五个内角之和，因此可以利用“整体代入法”来完成.图24-4-3解：设∠A 、∠B 、∠C 、∠D 、∠E 的度数分别为n 1、n 2、n 3、n 4、n 5，则n 1＋n 2＋n 3＋n 4＋n 5=（5-2）·180=540.∴阴影部分面积=360R ∏(n 1+n 2+n 3+n 4+n 5)=360n×1×540=1.5π. 例4如图24-4-4，已知直角扇形AOB ，半径OA =2 cm ，以OB 为直径在扇形内作半圆M ，过M 引MP ∥AO 交于P ，求与半圆弧及MP 围成的阴影部分面积S 阴影.思路解析：要求的阴影部分的面积显然是不规则图形的面积，不可能直接用公式，只有用“割补法”，连接OP.S 阴=S 扇AOB -S 扇BMQ -S △PMO -S 扇POA .图24-4-4解：连接OP.∵AO ⊥OB ，MP ∥OA ，∴MP ∥OB. 又OM=BM=1，OP=OA=2, ∴∠1=60°，∠2=30°. ∴PM =23OP =3. 而 S 扇POA =236030R ∏=31π，S △PMO =21·OM ·PM =23. 设PM 交半圆M 于Q ，则直角扇形BMQ 的面积为 S 扇BMQ =41πr 2=41π. ∴ S 阴=S 扇AOB -（S 扇BMQ +S △PMO +S 扇POA ）=41πR 2-(∏++∏312341)=23125-∏.例5(2005广东梅州中考) 如图24-4-5，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α=________度.思路解析：由题意知β=360°-α.又因为βα=0.6，即αα︒360=0.6，解这个方程,得α=135°.答案：135。

第二十四章 圆24.1.1 圆知识点一 圆的定义圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫作圆。

固定的端点O 叫作圆心，线段OA 叫作半径。

第二种：圆心为O ，半径为r 的圆是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二 圆的相关概念（1） 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

（4） 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2 垂直于弦的直径知识点一 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二 垂径定理（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图所示，直径为MD ，AB 是弦， 且CD ⊥AB ，垂径定理的直径垂直弧如上图所示，直径MD 与非直径弦AB 相交于点C ， CD ⊥ABAC=BC AM=BMAD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。

24.1.3 弧、弦、圆心角知识点 弦、弧、圆心角的关系（1） 弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2） 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

（3） 注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、C ⌒⌒ ⌒ ⌒弦不一定相等。

一、教学内容解析本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书，人教版九年级上册第24章《圆》中的“弧长和扇形面积”，这节课是学生在前阶段学习了“圆的认识”“与圆有关的位置、关系”“正多边形和圆”的基础上进行的拓展与延伸.本节课的重点是在小学阶段学过圆的周长和面积公式的基础上，采用由特殊到一般的方法探索弧长及扇形面积公式，利用小组合作的方式让学生更好的理解弧长和扇形的面积的形成过程，在学生充分体验知识的形成过程中，也注重数学方法的渗透.并运用公式解决一些具体问题，为学生的学习及生活更好地运用数学作准备.二、教学目标解析1.理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长和扇形面积.2.在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受由特殊到一般，类比及转化的思想方法.三、学生学情诊断从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展.但同时，这一阶段的学生注意力易分散，善于发表见解，所以在教学中应抓住这些特点，课堂上创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

从认知状况来说，学生在此之前已经学习了圆的周长和面积，对弧长和扇形面积已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础.但对于本节课的难点：弧长公式的推导，由于抽象程度较高，学生可能有一定的困难，所以教学中应予以深入浅出的讲解.四、教学策略分析现代教学理论认为：在教学活动中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者，言道者，教学的一切活动都必须强调学生的主动性、积极性为出发点.根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生实际，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法.以问题的提出，问题的解决为主线，始终在学生的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师引导下发现问题、分析问题、解决问题,从真正在意义上完成对知识的自我建构.五、教学过程。

人教版数学九年级上册24.4.1《弧长和扇形面积》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册第24章《弧长和扇形面积》是本章的最后一节内容，本节课的主要内容是引导学生探究弧长和扇形面积的计算方法，进一步加深学生对圆的相关知识的理解。

教材通过生活中的实例，让学生感受弧长和扇形面积的实际应用，从而激发学生的学习兴趣。

接下来，我将结合教材内容，分析本节课的教学内容。

二. 学情分析在进入九年级上册的学习之前，学生已经掌握了圆的基本知识，如圆的周长、直径、半径等，他们对圆的知识有一定的了解。

然而，弧长和扇形面积的概念对于学生来说可能较为抽象，需要通过具体实例和实际操作来进一步理解。

此外，学生可能对计算弧长和扇形面积的公式记忆不牢，需要老师在课堂上进行引导和巩固。

三. 说教学目标根据教材内容和学情分析，我设定了以下教学目标：1.让学生理解弧长和扇形面积的概念，掌握计算弧长和扇形面积的方法。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生的合作交流能力，培养他们积极参与课堂活动的习惯。

四. 说教学重难点根据教材内容和学情分析，我确定了以下教学重难点：1.重点：让学生掌握弧长和扇形面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。

2.难点：让学生理解弧长和扇形面积的概念，以及如何将这些抽象的概念运用到实际问题中。

五. 说教学方法与手段为了达到教学目标，突破重难点，我计划采用以下教学方法与手段：1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流来解决问题。

2.利用多媒体课件，展示实例和操作过程，帮助学生直观地理解弧长和扇形面积的概念。

3.运用练习题和实际问题，让学生在实践中运用所学知识，巩固学习成果。

六. 说教学过程接下来，我将详细阐述教学过程。

1.导入：以生活中的实例引入弧长和扇形面积的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲解：讲解弧长和扇形面积的计算方法，引导学生通过自主探究、合作交流来理解这些方法。

弧长和扇形的面积的说课稿教材分析：（一）、教材的地位与作用本节课的教学内容是义务教育课程标准实验教科书，内容是新人教版九年级上册新课标实验教材《第24章圆》中的“弧长和扇形的面积”，这个课题学生在前阶段学完了“圆的认识”、“与圆有关的位置关系”、“正多边形和圆”的基础上进行的。

本课由特殊到一般探索弧长及扇形面积公式，并运用公式解决一些具体问题，为学生今后的学习及生活更好地运用数学作准备。

（二）、教学目标和重点、难点根据新课标要求，数学的教学不仅要传授知识，更要注重学生在学习中所表现出来的情感态度，帮助学生认识自我、建立信心。

教学目标：(1) 了解弧长和扇形面积的计算方法。

(2) 通过等分圆周的方法，体验弧长和扇形面积公式的推导过程。

(3) 体会数学与实际生活的密切联系，充分认识学好数学的重要性，树立正确的价值观。

重点：弧长和扇形面积公式的推导和有关的计算。

难点：弧长和扇形面积公式的应用。

（三）教学过程活动1 设置问题情境引入课题从20xx年北京奥运会在美丽壮观的焰火中开幕到欣赏奥运会的主会场鸟巢的'外观和内部，引入课题。

教师演示课件，提出问题，激发学生学习新知识的热情．将学生的注意力牢牢吸引至课堂。

从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分。

并激发学生的爱国热情。

活动2 探索弧长公式（1）半径为R的圆,周长是多少？（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？（3）1°圆心角所对弧长是多少？（4）140°的圆心角所对的弧长是多少？（5）若设⊙O半径为R, n°的圆心角所对的弧长为 L ,则教师提出问题，引导学生分析弧长和圆周长之间的关系，推导出n°的圆心角所对的弧长的计算公式。

引导学生层层深入，逐步分析，尽量提问学生回答，相互补充，得出结论。

使学生明确探索一个新的知识要从学过的知识入手，找寻它们的联系，探究规律，得出结论。

活动3 巩固弧长公式一、牛刀小试 1、2题二、实际应用制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(结果保留∏ ）。