如何做好中学数学概念教学

数学原理教学及其设计在中学数学教学中，数学原理课是一门很重要的课程，在数学学习中起着很重要的作用，而部分教师在原理教学过程中只教会了学生数学原理要记住数学公式、数学法则、数学性质和数学定理，而并没有让学生理解这个原理的真正的数学意义。

因此讲授数学原理时不仅仅是让学生单纯的学会数学公式、数学性质、数学定理、数学法则，而是要他们理解数学原理的真正含义并能实际运用。

而原理课的教学设计是教师为了使学生在学习数学原理时更容易接受和更好的理解数学原理。

教学中教师要让学生理解并掌握数学原理，把握住数学，感悟出数学的思维方式，提高学生学习数学原理课的兴趣，还要使学生了解原理的公式、性质、法则、定理在整个数学知识系统中的作用、地位和价值，寻找如何在中学数学原理教学中让学生轻松学好原理的方法。

本文主要探讨是原理课的教学和设计，讲述中学数学学习原理课的本质、学习的程度以及学习原理课的几种形式，列举原理课的教学设计的案例，为中学教师的教学提供帮助和范例。

一、数学原理教学的研究现状我国在很早以前的教育史上就出现了关于数学原理的研究，他们不仅注重数学原理的言语性还注数学原理的本质。

到了当代，数学原理的教学及其设计的理论与实践出现了勃勃生机。

从上世纪80年代到现在，我国教育界对数学原理的教学及其设计进行了许多的理论与实践研究。

近年来国内关于本论文的研究很多，有学术性论文、硕士论文和博士论文，杨勤合于2012年在《学周刊》第5期刊登了《新课程理念下数学原理的教法和学法》一文，分析了新课程下的原理教学的方法以及做好原理课设计的各项工作。

数学原理教学及其设计的理论研究以及各种模式的教学实验已出具规模，对其教学和设计的课程的开展提供了理论依据。

数学原理课的教学及设计有着长久的历史，从古至今，国内外关于数学原理教学的文章有很多，由此可见，数学原理教学及其设计是具有重要意义的课题，值得我们去关注，并通过案例解析。

同时，对数学原理教学及其设计的研究也是有理论依据和研究背景的，广大学者的研究结晶有助于我们进一步实践。

做中学、做中教”在教学中的运用以“做中学、做中教”在教学中的运用为标题，本文将探讨中学教育中如何运用“做中学、做中教”的理念，以提高教学效果和学生的学习积极性。

什么是“做中学、做中教”？简单来说，它是一种以学生为中心的教学方法，强调学生的主动参与和实践操作。

在这种教学模式下，学生不再是被动接受知识的对象，而是成为学习的主体，通过实际操作和实践活动进行学习。

在中学教育中，运用“做中学、做中教”可以有以下几个方面的运用。

首先是在课堂教学中，教师可以采用探究式教学的方法，让学生通过实际操作和实践活动来发现问题、解决问题。

例如，在数学教学中，可以设计一些数学游戏或数学建模活动，让学生通过游戏和实践来掌握数学知识和解决实际问题。

其次是在实践活动中，例如实验课、实习实训等。

通过实际操作，学生可以更好地理解和掌握知识，提高动手能力和实践能力。

例如，在化学实验课中，学生可以亲自操作实验仪器，进行实验操作，从而更好地理解化学原理和实验方法。

在课外活动中也可以运用“做中学、做中教”的理念。

例如，在社团活动中，学生可以参与到实际项目中，通过实际操作和实践活动来提高自己的技能和能力。

例如，在学校的科技社团中，学生可以参与到一些科技创新项目中，通过实际操作和实践活动来提高自己的科技创新能力和团队合作能力。

在运用“做中学、做中教”的过程中，教师需要扮演好引导者和指导者的角色，引导学生进行实践活动，同时及时给予他们反馈和指导。

教师还可以根据学生的实际情况，设计个性化的学习任务和实践活动，激发学生的学习兴趣和积极性。

“做中学、做中教”是一种以学生为中心的教学方法，可以提高学生的学习积极性和实践能力。

在中学教育中，教师可以通过课堂教学、实践活动和课外活动等多种方式运用这一理念，以促进学生的全面发展和素质提高。

希望通过“做中学、做中教”的运用，我们可以培养出更多有实践能力和创新精神的优秀学生。

教学篇•经验交流如何在初中数学课堂教学中培养学生的核心素养———数学抽象邱明武1，朱和鹏2（1.江西省赣州市信丰县第七中学，江西赣州；2.江西省赣州市信丰中学，江西赣州）摘要：随着社会的发展和进步以及教育行业的不断发展，数学学科在我国中学教育中逐渐显出其重要意义。

数学学科能够为学生学习其他学科打下坚实的基础并达到培养学生综合性思维能力的目的，在我国初中教育中应该受到社会各界的重视。

根据此背景，针对初中数学课堂教学中如何培养学生的核心素养，即数学抽象能力做出了详细的分析，希望能够为相关课题的研究提供一定的参考价值。

关键词：初中数学；综合性思维能力；核心素养一、数学抽象能力在初中数学中的重要性随着我国教育行业的不断发展和进步，学科核心素养在学科教学当中越来越重要。

这一点在我国初中数学学科教学当中也同样具有重要的意义。

而数学抽象能力作为数学核心素养中的一种，在我国初中数学课堂教学中应该受到重视并落实于实际教学过程中。

具体而言，数学抽象能力能够帮助学生在学习数学知识时将相对抽象的数学概念更加生动化和形象化，并能够帮助学生在学习的过程中学会如何总结数学学科的学习规律，以达到培养学生良好学习习惯的目的。

因此，在我国初中数学课堂教学中注重培养学生的核心素养是十分重要的，需要教师从各个方面入手使学生能够逐渐提升自身的数学学科学习能力并培养其数学学科核心素养。

二、初中数学教学中培养学生数学抽象能力的策略1.注重学习先进教学理念学科核心素养的培养是随着我国教育行业的进步和发展而逐渐受到社会各界的重视，因此，学科核心素养的培养离不开不断更新的教育观念。

具体而言，在我国目前的现实情况中有许多初中教师受到传统教学观念的束缚，在教学过程中存在着很大的误区，对培养学生的数学核心素养起到了消极的作用。

因此，培养学生的数学核心素养需要教师注重不断更新自身的教学观念，学习先进的教学理念，从而使自己能够在教学过程中为学生传递出更加先进的理念，用更加科学的教学方法提升学生的学习效率和学习质量，让学生在学习过程中能够逐渐学会多思路思考问题，学会主动地学习知识和思考问题，从而达到培养学生数学综合素养的目的。

中学数学教学设计范例作为一位出色的教师，时时须要打算教学设计，教学设计是一个系统设计并实现学习目标的过程，它遵循学习效果最优的原那么吗，是课件开发质量凹凸的关键所在。

那么应当如何写教学设计呢?这里给大家共享一些关于中学数学教学设计范例，便利大家学习。

中学数学教学设计范例篇1一、教学目标：1、知道一次函数与正比例函数的定义。

2、理解驾驭一次函数的图象的特征和相关的性质。

3、弄清一次函数与正比例函数的区分与联系。

4、驾驭直线的平移法那么简洁应用。

5、能应用本章的根底学问娴熟地解决数学问题。

二、教学重、难点：重点：初步构建比拟系统的函数学问体系。

难点：对直线的平移法那么的理解，体会数形结合思想。

三、教学过程：1、一次函数与正比例函数的定义：一次函数：一般地，假设y=kx+b(其中k，b为常数且k≠0)，那么y是一次函数。

正比例函数：对于y=kx+b，当b=0，k≠0时，有y=kx，此时称y是x的正比例函数，k为正比例系数。

2、一次函数与正比例函数的区分与联系：(1)从解析式看：y=kx+b(k≠0，b是常数)是一次函数;而y=kx(k≠0，b=0)是正比例函数，明显正比例函数是一次函数的特例，一次函数是正比例函数的推广。

(2)从图象看：正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过原点(0，0)的一条直线;而一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0，b)且与y=kx平行的一条直线。

根底训练：1、写出一个图象经过点(1，— 3)的函数解析式为：2、直线y=—2X—2不经过第象限，y随x的增大而。

3、假如P(2，k)在直线y=2x+2上，那么点P到x 轴的距离是：4、确定正比例函数y =(3k—1)x，，假设y随x的增大而增大，那么k是：5、过点(0，2)且与直线y=3x平行的直线是：6、假设正比例函数y =(1—2m)x 的图像过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)当x1y2，那么m的取值范围是：7、假设y—2与x—2成正比例，当x=—2时，y=4，那么x= 时，y = —4。

中学数学教师工作职责1、努力学习教育学、心理学。

熟悉青少年的心理特征，能根据教育规律和学生心理特点安排好教学工作，处理教学中的问题。

2、懂得高等数学基础知识，熟悉中学数学教学大纲和教材，刻苦钻研教材与教法，认真上好每堂课，处理好学生作业，保质保量地完成教学任务。

3、教学思想端正，全面关心学生成长。

4、做好调查研究，认真改进教法，打好基础，发展智力，培养能力。

5、积极参加教研活动，教师之间经常开展研究，相互听课，取长补短，力争组内每人写一至二篇高质量的研究文章发表和交流。

6、工作安排能顾全大局，服从统一调度。

7、认真完成上级交给的各项任务。

中学数学教师工作职责（2）中学数学教师的工作职责可以概括为以下几个方面：1. 教学准备中学数学教师需要在每节课之前进行充分的教学准备。

这包括熟悉教材和教学大纲，制定教学目标和计划，并准备课堂教学材料和资源。

教师还需要根据学生的学习能力和水平，调整教学内容和教学方法，以便能够满足不同学生的学习需求。

2. 开展教学活动中学数学教师需要根据教学计划和教学目标，有序地开展教学活动。

教师需要引导学生对数字、代数、几何、数据分析等数学概念和原理进行理解和掌握。

教师还需要通过解决实际问题和应用数学知识，培养学生的问题解决能力和数学思维能力。

3. 课堂管理中学数学教师需要有效管理课堂，确保学习氛围良好。

教师需要制定和维护课堂纪律和规则，并确保学生遵守。

教师还需要管理学生的学习时间和学习行为，确保学生能够专心学习并参与课堂活动。

4. 学生评估中学数学教师需要定期对学生的学习成绩和学习情况进行评估。

教师需要进行正式和非正式的评估，以便了解学生的学习进展和需要改进的方面。

评估结果还可以用于指导教学和反馈学生的学习成果。

5. 与学生和家长沟通中学数学教师需要与学生和家长进行有效的沟通。

教师需要与学生交流学习进展和问题，并提供学习建议和支持。

教师还需要与家长沟通学生的学习情况和表现，以及讨论学生的学习计划和目标。

《函数的概念》的教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A版）》的第一章1.2.1函数的概念。

函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。

在初中已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。

到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。

函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。

函数的学习也是今后继续研究数学的基础。

在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。

函数是中学数学的主体内容，起着承上启下的作用。

函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。

因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。

本节的内容较多，分二课时。

本课时的内容为：函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法、区间表示等。

（第二课时内容为：函数概念的复习、较复杂函数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等）【学情分析】学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。

然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。

初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。

由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性。

高一学生虽然在初中已接触了函数的概念，但在重新学习它时还是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x)”不甚其解。

第1篇一、案例背景本案例以我国某中学七年级数学教学为背景，选取了“分数的意义”这一教学内容。

由于分数是学生在数学学习过程中遇到的第一个比较抽象的概念，学生对分数的理解往往存在困难。

因此，本案例旨在通过有效的教学设计，帮助学生理解分数的意义，提高学生的数学思维能力。

二、教学目标1. 知识与技能：理解分数的意义，掌握分数的表示方法。

2. 过程与方法：通过观察、比较、操作等活动，培养学生的抽象思维能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生勇于探索、善于思考的精神。

三、教学重难点1. 教学重点：理解分数的意义，掌握分数的表示方法。

2. 教学难点：分数的抽象意义，分数与整体的关系。

四、教学过程1. 导入新课教师通过提问：“同学们，你们知道什么是分数吗？请举例说明。

”让学生回顾已学过的知识，为新课的引入做好铺垫。

2. 新课讲授（1）分数的意义教师引导学生观察生活中的例子，如：将一个苹果平均分成4份，每份占这个苹果的$\frac{1}{4}$。

通过观察、比较，学生理解分数的意义：分数表示把一个整体平均分成若干份，其中一份或几份的数。

（2）分数的表示方法教师引导学生观察分数的写法，如：$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$等。

让学生理解分数的分子表示分得的份数，分母表示总的份数。

（3）分数与整体的关系教师通过图形、文字等多种方式，帮助学生理解分数与整体的关系。

如：将一个正方形平均分成4份，每份是正方形的$\frac{1}{4}$，即$\frac{1}{4}$个正方形。

3. 课堂练习教师设计一些基础练习题，让学生巩固所学知识。

如：（1）将一个长方形平均分成6份，每份是长方形的$\frac{1}{6}$，求这个长方形的$\frac{2}{3}$是多少？（2）一个班级有40人，其中男生占$\frac{3}{5}$，求这个班级有多少男生？4. 课堂小结教师引导学生回顾本节课所学内容，总结分数的意义、表示方法以及分数与整体的关系。

中学数学教学设计与案例分析一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务围绕“中学数学教学设计与案例分析”展开，旨在提高学生在数学领域的分析与解题能力，通过精选的数学案例，使学生掌握数学核心概念、解题策略以及数学在实际生活中的应用。

教学内容涉及代数、几何、概率统计等多个方面，强调理论知识与实践操作的结合，培养学生的逻辑思维、创新意识和团队合作精神。

2、教学对象本次教学的对象为中学生，他们已经具备了一定的数学基础知识，能够进行简单的数学运算和问题分析。

在此基础上，通过本课程的教学，帮助学生提高数学素养，激发他们对数学的兴趣和热情，为今后的学习打下坚实的基础。

此外，针对不同学生的学习特点和能力水平，教师需因材施教，使每位学生都能在本次教学过程中得到提高和成长。

二、教学目标1、知识与技能（1）掌握数学基本概念、性质、定理和公式，如代数中的多项式、方程、不等式，几何中的图形性质、相似与全等，概率统计中的概率计算、数据分析等；（2）提高数学运算能力，包括算术运算、代数运算、几何图形的绘制与计算等；（3）学会运用数学方法解决实际问题，如通过建立数学模型分析现实生活中的问题，培养数学应用意识；（4）培养数学逻辑思维能力，能够运用所学的数学知识进行推理、证明和反驳；（5）掌握数学解题策略，如分类讨论、转化与化归、归纳与演绎等，提高解题效率和准确性。

2、过程与方法（1）通过案例分析，引导学生主动探究数学问题，培养独立思考和合作交流的能力；（2）采用问题驱动的教学方法，激发学生的好奇心和求知欲，让学生在问题解决过程中掌握数学知识和方法；（3）注重数学思想方法的渗透，使学生能够从本质上理解数学问题，提高解决问题的能力；（4）运用信息技术手段，如数学软件、网络资源等，辅助教学，提高教学效果；（5）开展多样化的数学活动，如数学竞赛、小组讨论、数学游戏等，培养学生的数学兴趣和团队协作能力。

3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的热爱和敬畏之心，激发学习数学的内在动力；（2）帮助学生树立正确的数学观念，认识到数学在科学技术和社会发展中的重要作用；（3）培养学生勇于探索、善于思考、严谨治学的科学态度，增强克服困难的信心和毅力；（4）通过数学教学，引导学生形成良好的道德品质，如诚实守信、团结互助等；（5）注重数学美育教育，让学生感受数学的魅力，培养审美情趣和人文素养。

2021年第5期中学数学月刊•1•!观#指导下的中学*学+学郑毓信（南京大学哲学系210093）1“小数”的启示何谓“高观点指导下的数学教学”（包括小学与中学阶段）？由于相对于中学而言，这一论题应当说在小学获得了更多关注，因此，我们就可通过对于后一方面工作的综合考察引出关于如何做好“高观点指导下的中学数学教学”的直接启示.主要包括这样几点：第一,“高观点指导下的数学教学”不应仅仅被理解成将更高层面的一些内容“下放”到较低层次,如将方程、负数等原先属于中学的内容提前到小学进行教学.当然，我们不应完全排斥后一方面的工作,而应进行积极、慎重的探索与试点，但这又不应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，因为,后者应当集中于观念的问题，也即相应的指导思想,包括后者对于具体内容教学的指导与渗透$第二，这是小学层面在论及数学教育改革时经常提到的一个话题，即是“代数思维的渗透”,后者并被看成为小学教师更好从事算术内容的教学指明了努力方向,特别是，我们应当切实做好由“程序性（操作性）观念”向“结构性（关系性）观念”的转变，这也就是指，教学中我们不应唯一关注如何能够通过正确的计算去求得所需的结果，而应更加注重数量关系、特别是等量关系的分析.以下就是这方面的一段相关论述:小学低年级的教学中需要特别强调对等式的理解……在小学一年级时经常会让学生口算，比如3十4,这里值得注意的是我们要强调3+4“等于"7,而不要说“得到"7.因为这里的等号有两个层面的意义：一是计算结果,就是我们经常说的“得到“；二是表示“相等关系".我们在学生刚接触等号时就要帮助他们建立起对等号的这种相等关系的理解.因O,有时候让一年级的学生接触7=3+4这样的算式是有必要的，因为在这样的算式中，你就没法将等号说成“得到'"当然，这里也要尝试让学生理解7同样也等于4+33+4=4+3……在这之后，可以让学生尝试看两边都不止一个数的等式，如17+29& 16+30O外，还可以给学生利用相等关系判断正误的式子，比如，199+59=200+58,148+68=149+70—2,149+68=150+70—3.1*第三，尽管强调“代数思维的渗透”有一定道理，但这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的一个实例:尽管由此我们也可获得关于后一方面工作的重要启示，但仍然不应以特殊代替一般,这也就指）就学数学教学而言）我们“数思维的渗透”看成“高观点指导下的数学教学”的）而更高面做出的析对中学数学教学当的）包括我们当对中学教学的内容做出相关究,如初中数学教学是否应当特别强调“变量思想的”第四,与各种具体数学思想的分析相对照，所谓“高观点指导下的数学教学”应当更加重视围绕数学教的行析思考）当这面的指导的教学工下就是这方面工作特别重要的两个环节：（1）关于数学教育基本目标的认识应当切实可行，而不应停留于“大而空”的论述.例如，关于“深度学习”的以下论述就可被看成后一方面的一个典型例子:“深度学习'深'在哪里？首先'深'在人的心灵里，'深'在人的精神境界上，还'深'在系统结构中，'深'在教学规律中2更一般地说，我们既应明确肯定一般性教育理论的指导作用，但又应当从专业的角度做出进一步的分析思考.例如，这显然也是我们面对“努力提升学生的核心素养”这一总体性教育思想应当采取的立场,特别是,我们不应满足于能够正确地去复述“核心素养”的“3个方面、6大要素、18个基本要点”，并能通过逐条对照去发现每一堂课的不足之处与努力方向;恰恰相反,作为数学教育工作者，我们应当进一步去思考数学作为一门基础学科对于提升个人与社会的整体性素养究竟有哪些特别重要、甚至是不可取代的作用,并能通过“理论的实践性解读”很好落实于自己的每一天工作、每一堂课！以下就是笔者在这一方面的具体思考:数学教育的主要目标应是促进学生思维的发展,特别是，能帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能由理性思维逐步走向理性精神.3进而，这又应被看成“高观点指导下的数学教学”的主要涵义，即我们应当通过自己的教学很好落实上述的主张，而不应满足于数学基础知识与基本技能•2•中学数学月刊2021年第5期的教学.简言之,数学教学应当努力实现的这样一个境界，即是“用深刻的思想启迪学生”.在此我们并应对“帮助学生学会思维”与“帮助学生学会数学地思维”做出明确的区分.相信读者由以下分析即可清楚地认识到这样一点,包括我们为什么不应将所谓的“三会”（会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界看成数学教育的主要目标：大多数学生将来未必会从事数学或其他与数学直接相关的工作,“数学思维”也不是唯一合理的思维形式（对于“数学语言”和“数学眼光”我们显然也可引出同样的结论）,从而,与后一主张相对照,我们就应更加注重著名数学家波利亚的以下论述:“一个教师,他若要同样地去教他所有的学生一一未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识.对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如他在这方面取得了成绩,那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事.能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情.”5进而,依据上面分析相信读者也可更好理解笔者为什么又要提出努力做好“数学深度教学”这样一个主张,后者即是指,数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学思维方法和策略过渡到一般性的思维策略与思维品质的提升，并应帮助学生由在教师（或书本）指导下进行学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学之间的合作与互动进行学习，从而真正成为学习的主人.简言之，这就是对于这里所说的“高观点”的进一步解读.（2）尽管相关论述提到了三个“深化”或“提升”，但我们并不应将其中的对立双方,如“具体知识和技能的学习”与“思维的学习”等,看成绝对地相互排斥、互不兼容的，我们更不应脱离数学知识、技与数学思的学习性思的教学和努力提升学生的思维品质，而应更加注重后者的渗透与指导,从而使我们的教学达到更大的深度.再者，由于中小学教学内容不同，从而在这方面也应有不同的要求,特别是,我们应根据学生的认知水平很好地去把握相应的“度”，而不应好高x远，脱离实际;但就总体而言,我们又应始终坚持促进学生的思维发展这样一个总方向,特别是，努力做好以下一些方面的工作:联系的观点与思维的深刻性，变化的思想与思的活性）结、思和再与思的性$第五,我们应清楚地看到切实做好“高观点指导下的数学教学”的现实意义：当前的中学数学教学在很大程度上被看成完全集中于“习题教学”，现实中更可看到“题海战术”泛滥这样一个现象;但是，即使我们暂时不去论及如何才能很好地落实“立德”这）依相关做真提升学生解决问题的能力，而只是使我们的学生和教师始终处于巨大的压力之下.因为，正如人们普遍地认识到，学生解题过程中思维策略的产生往往具有以下几个特征［7］：1）非逻辑性,2）快速性,3）个体性，,）或性，而就与教学工的论特与规范性质构成了直接冲突.但在笔者看来，后者恰又更清楚表明了这点，相对个的解题策略或数学思维方法的学习而言，我们应当更加重视一般性思维策略与学生思维品质的提升.另外,尽管解题策略的发现、包括结果的猜想等常常表现为顿悟，也就是“快思”的结果，但这恰又是数学教当发的个要，帮助学学“间的思考”，因为，有过后的间思考相关发现才得的展和清楚的表，包括必要的检验、理解与改进;更一般地说，我们又应特别重视“结、思与再”的工，当此成“长时间思考”的主要内容.但是，上述目标是否真的可行？以下就以初一数学教学为对此做出析$读联系自己的教学做出进一步的分析，这并可被看成先前所提到的“理论的实践性解读”这一思想的具体运用.2用案例说话:聚焦初一数学教学除去具体内容的教学以外,“习题教学”显然也数学教学要的个面，更与“的思想与思维的灵活性”密切相关.由于笔者对此已专门撰文进行了分析-w,在此就不再赘述.⑴如众所知，研究对象由“数”扩展到了由数和的“式”中学数学的个明区，当，对此我们简解“”的，因为,这也意味着达到了更高的抽象层次，并为学生逐步学会用“联系的观点”进行分析思考、从而达到更大的了很好的入点，当，后为指导教学有益学更好握相关的识和技能.具体地说，尽管我们在此关注的主要是“式”的运算，但又应当将此与学生已学过的数的运算联系起来，更好地发挥“类比”这一方法在认识活动中的2021年第5期中学数学月刊•3•重要作用,特别是，我们应以学生已学过的数的知识为背景帮助他们很好地建立关于新的学习内容的整体性认识，从而就可在学习中获得更大的自觉性.例如，“式的运算”的学习也是按照由“加减”到“乘除”这样一个顺序逐步展开的；我们还可通过“乘法公式”“因式分解”与小学所学的“速算法”和“数的分解”的直接类比帮助学生更好掌握相关的内容.当然，除去所说的“共同点”以外，我们也应十分重视它们的不同点，即如“同类项”概念的引入等.另外，在直接的比关，由“式”与“因式分解”的学习更加集中，从而我们在教学中也就不应唯一关注计算技能的掌握，而应更加突出这样一个思想，即我们应当善于根据需要与情境对“式”做出适当变形，这可以看成“变化的思想与思维的灵活性”的具体应甩当然，从更高的层面看，这一内容的学习也有助于学生很好认识成功应用“类比联想”的这样一个关键:“求同存异”.再者，由于学生在小学阶段往往未能很好建立起关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性和层次性，因此，我们在教学中就学对相关内容做出和“再认识”,从而很好地实现这样一个目标：“以发展代替重复，以深刻达成简约”.①当然,“式”的引入也更清楚地表明了数学结构的层次性质——从认识的角度看，这意味着达到了更高的抽象层次，包括这样一个更深层次的认识:我们应将“优化”看成数学学习的本质.（2）如果说“由少到多，由简单到复杂”即可被看成数学发展的基本形式，那么，数学认识的发展就可被归结为“化多为少，化复杂而简单”，从而也就更清楚地表明了这样一点:数学学习主要是一个不断优化的过程，而不仅仅是指知识和技能以及“数学经验”的简单积累，尽管后者确又可以被看成为认识的发展和深化提供了现实的可能性和必要的途径.特殊地，我们显然也可从上述角度更好认识学习方程的意义，包括通过这一内容的学习帮助学生很好认识“优化”对于数学学习的特殊重要性，从而逐步地学会学习，并能真正成为学习的主人.进而，从上述角度我们显然也可更好理解笔者的这样一个看法:如果说小学阶段教师不允许学生用由各种非正规渠道提前学到的方程方法去求解算术应用题尚有一定道理，因为，这时学生对于方程的掌握往往只是一种机械的运用，而未能达到真正的理解，而且，算术应用题的学习对于学生学会思维也有重要作用;那么，在初中学习方程时再做出类似的规定,也即只允许学生用方程方法、而不准用算术方法去求解问题，就可说完全没有道理.因为,解题教学最重要的目标就是努力提升学生解决问题的能力，而后者主要地又是指我们能否综合地、灵活地应用各种方法去解决问题，而不是指所使用的方法是否符合某种外部的硬性规定一一也正因此,上述规定事实上就只能被看成解题活动“程式化和机械化”的一种表现.™与此相对照，我们应当更加重视如何能够帮助学生很好认识方程方法相对于算术方法的优点,又由于优化的实现主要取决于我们能否使之真正成为学生的自觉选择，而非基于外部压力的被动服从.因此，我们在教学中也就应当特别重视比较与反思的工作,这也就是指,教学中我们不仅不应禁止学生用算术方法求解问题，还应积极鼓励他们用多种不同的解决）特）更有意让学生有更多时间进行比较和体会，包括认真的反思，从而就不仅可以顺利地实现相关的过渡或优化，也可通过这一过程很好地体会到养成长时间思考的习惯和能力、特别是“总结、反思与再认识”的重要性$最后）我们可通过程的教学帮助学数学发展的形式和径）后指）相关内容的学习有定的间）在学握了程的相关后）我们可引导他们对将来的学习做出“预测”，也即研究对象“由多”“由高”“由程式”等发展的合理性,包括这样一个重要的认识:数学认的发展主要表现为“多为）复为简”）我们并应善于通过类比联想、通过化归去实现上述的目标.（3）尽管上述分析集中于“式的运算”与“方程”的教学，我们显然也可从同一角度对初一数学的其他内容做出分析,包括它们各自又有什么特殊之处.例如，除去“数学结构”的丰富性和层次性以外，负数的引入显然也有助于我们更好地认识数学系统的开放性和发展性,特别是,现实需要并非促进数学发展的唯一因素,在很大程度上也是由数学的①也正因此,对于相关内容的教学我们就不应认为只是涉及到了一些具体技能、特别是有很多学生早已通过各种渠道进行了学习就掉以轻心，即如教学中只是一带而过，而没有注意分析学生是否已经达到了真正的理解，更未能认真地思考如何能够通过自己的教学使学生有新的提高.例如，通过“乘法公式”的学习我们即可对学生是否已经达到了更高的抽象层次做出必要的检验;另外，教学中我们显然也应注意避免这样一种倾向，即仅仅从纯形式的角度去理解相应的“变化”，如“计算”与“因式分解”,但却未能很好地指明我们究竟为什么要做出这样的变化，包括我们又如何能够通过相关内容的教学提升学生的思维品质.内在因素决定的,或者说，就是表现出了很强的相对独立性.因为，这正是这方面的一个基本事实:“负数不是测量出来的.凡是能够量出来的都是正数.”进而,由以下论述我们即可更好地认识教学中突出这样一点的重要性:“负数是由具体数学向形式数学的第一次转折.要完全掌握这种转折中出现的问题，需要有高度的抽象能力.”（克莱因语）“我认为超越直观而运用推理方法的首先是负数.”（弗赖登塔尔语）另外，“幕的运算”的学习显然也为我们更好理解“化多为少，化复杂为简单”这样一个思想提供了重要的契机，因为，由高级运算（乘方、乘除）向较低层次运算（乘、加减）的转变正是“幕的运算”的明显特点，从而，我们也就可以以此为背景做出进一步的思考，即我们能否借助“幕的运算”实现运算的简化——如众所知，从历史的角度看，正是后一方面思考直接导致了“对数计算法”的创建，尽管后者的重要性由于计算机的发明已不复存在，但仍可被看成通过适当变化解决问题的又一范例.再则，就几何内容的教学而言，我们则应突出这样一个思想:“数学家有这样的倾向，一旦依赖逻辑的联系能取得更快的进展，他就置实际于不顾.”丄我们更应通过自己的教学帮助学生很好理解采取这一做法的优越性，也即我们应当按照“由简单到复杂”“由一维到高维”这样一个顺序、而不是日常的认识顺序去从事相关的研究，包括逐步形成这样一个更加重要的认识:数学学习的主要功能就是有助于人们思维方式与行为方式的改进.还应强调的是，正如波利亚的上述引言所已表明的，我们不应将“逻辑思维”“数学思维”与“常识（和有益的思维习惯）”绝对地对立起来，而应清楚地看到它们之间的同一性；当然，我们在此所应追求的不是“常识”的简单回归，而是其在更高层面的重构.①（4）通过上述途径我们显然也可帮助学生很好由“数学思”“高数学思”的过渡，而不至于因为中小学数学教学在这方面有不同要求而出现一时无法适应中学数学学习的情况.在此还可特别提及笔者针对小学数学教学提出的这样两个“大道理”（）小学关于“数的认识与运算”的教学不仅应当突出“比较”这一核心概念，从而帮助学生很好掌握“大小”“倍数”“分数”“比”等概念，也应帮助学生逐步建立关于“数学结构”的整体性认识，特别是清楚地认识它的丰富性与层次性、开放性与统一性等,并能真正做好“化多为少”“化复杂为简单”，包括更好认识数学与现实世界之间的关系.2）小学几何教学不仅应当突出“度量”这一核心概念，很好发挥直观认知的作用，也应努力实现对于“度量几何”与“直观几何”的必要超越，即应对图形的特征性质及其相互关系的逻辑分析予以足够的重视.显然，如果小学数学能够按照这样的思想去进行教学，传统上中小学数学教学之间的巨大间距就将不复存在.显然，基于同样的理由，中学（特殊地，初中）数学教师也应认真地去思考什么是中学（初中）数学教学的“大”，而为学来的数学学习做好必要的准备.（5）我们还可从同一角度对其他一些密切相关的问题做出自己的分析，如教学中为什么应给学生更多的表述机会,包括积极提倡“合作学习”这样一种学习方式.因为，这些都十分有益于学生的深入思考,如表述前主体显然必须对自己的想法做出梳理、评价与改进，仔细倾听别人的想法也十分有助于学生通过比较、反思与再认识对自己的已有想法做出改进，等等.当然，教师也应在这些方面给学生必要的指导，而不只是停留于“大声地说、仔细地听”这的性要再者，就当前而言,这应当说又是特别重要的一个认识:数学教育的主要任务应是帮助学生学会思维、乐于思维，而不是学会解题,我们更不应唯一集中于如何能够通过大量练习、机械记忆和简单模仿使学生在各类考试中取得较好成绩.毋宁说，即使在这面我们通过更高面的析做“而精”，包括通过“习题教学”的改进更有效地促进学生思维的发展，从而自然也就能够取得更好的成绩.最后，尽管我们在此是以初一数学教学作为直接对象行析的）相关结论有超出这范围的普遍意义，后者即是指，无论就小学、初中或高中的数学教学,或是课堂教学和习题教学而言，我们都应以“促进学生思维的发展”作为主要的指导思想）“教学”为数学教学的主要笔在这面有这个:有在做出持续努力，也即很好地落实不同阶段数学教学的同一性与连续性,我们才能对于“努力提升学生的核心”这教的性做出己的有贡献,并切实防止与纠正因深深陷入“应试教育”而无法自拔这样一个巨大的危险.愿我们大家都能在上述方向做出切实的努力！（下转第14页）①在笔者看来，我们也可从后一角度去理解弗赖登塔尔的这样一个论述:“数学的本质是人们的常识4''R.绍其引入的必要性来帮助学生自然地内化相关知识.3.2引导学生积极表达数学能力的培养离不开数学思想的交流，观点与观点的碰撞交流往往能够迸发出对数学内容更深层次的理解,而学生是否愿意交流则显得很关键.课堂的数学交流一般是由教师发起并进行引导，教师在数学交流过程中的作用至关重要，在引导的过程中，能否激发学生的表达兴趣与欲望对交流的质量有重要的影响.在交流过程中，教师可以通过将最终的问题分拆为几个难度逐级递增的小问题来培养学生的成就感、激发学生的表达欲望.当学生遇到表达困难时，可以及时对所提问题进行解释或者补充描述，鼓励学生说出哪怕部分观点和想法，也可以在提出问题以后给予学生足够的交流和思考的时间.在交流表达的过程中，鼓励学生及时地对同伴的交流内容进行补充与反馈，培养学生的自我效能和思辨意识. 3.3丰富交流表达方式数学交流与表达的形式比较多样，既可以是生生之间的对话，也可以是师生之间的讨论，甚至可以是与数学书面形式语言的交流.信息传递的方向可以是阐述自我观点的输出，也可以是对对方观点聆听的输入.表达的方式既可以是口头表达，也可以是书面表达，以上种种丰富的表达形式为教师的教学提供了不同的选择.教师可以让学生用自己喜欢的方式进行数学交流.比如将思维过程用语言、算式、图表等记录下来进行展示，或者在教学过程中通过小组合作的形式，选派小组代表进行数学观点的表述和交流，然后同(上接第4页)参考文献-1.章勤琼.小学阶段“早期代数思维”的内涵及教学——默尔本大学教授麦克斯•斯蒂芬斯访谈录［J..小学教学,2016(11).-2.刘月霞，郭华.深度学习：走向核心素养(理论普及读本)［M..北京:教育科学出版社,2018(6-37.-3.郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”［J..数学教育学报,2016(3).-4.史宁中.人是如何认识和表达空间的［J..小学教学，2019(3).-5.波利亚.数学的发现(第二卷)［M..内蒙古：内蒙古人民出版社,1981(82.-6.郑毓信.“数学深度教学”的理论与实践［J..数学教学2019(5)伴进行补充，还可以通过数学写作的方式与别人交流自己在学习中的收获，或者通过为学生提供表达的逻辑框架,让学生的表达形式更加规范，并在此过程中提高表达的能力.数学交流的目的是为了更好地理解数学，而理解数学的目的又是为了更好地交流，数学理解和数学交流之间是互为因果的关系.教师在教学过程中了可通过高学的表达)可以通过为学生提供规范的表达示范一一教师本身就是数学表达很好的榜样，引导学生关注数学的多重表征以增加表达方式的选择、加强数学阅读指导以丰富和完善数学语言系统、关注学生语言表达过程中的缺陷以及时完善语言表达等方式，对初中生的与表达行参考文献-1.和学新.论数学教学的表达策略［J..数学教育学报，2006(4)(94-96-2.王薇.数学交流表达能力目标：中美两国的比较及启示［J..外国中小学教育,2016(11):59-64.-3.中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)-M..北京:北京师范大学出版社2012-4.邓清,夏小刚.数学思维视域下“教表达”的再认识与思考数学教育学报,2019,28(5)：47-50.-5.夏鹏翔，部舒竹.日本小学数学教育改革新动向——培养“表达能力比较教育研究，2011,33(9)：86-90-6.史宁中，林玉慈,陶剑等.关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七课程•教材•教法,2017,37(4):8-14.［7.戴再平.数学习题理论［M..上海:上海教育出版社，1991:96-97.-.郑毓信.中学数学解题教学之我见-..中学数学月刊202010-11"4-9.郑毓信.“数学深度教学”十讲-..小学数学教师, 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