陕西省2016届高考数学一轮复习讲义第33课时三角函数的图像理

第三讲 三角函数的图象与性质基础自测1．设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________．2．函数y ＝3－2cos(x －π4)的最大值为________，此时x ＝________.3．函数y ＝tan x 的定义域是________．4．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10)．5．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．题型分类 深度剖析探究点一 求三角函数的定义域 例1 求函数的定义域．（1）⎪⎭⎫⎝⎛-=4tan πx t ； （2）1cos 2-=x y ； （3）x x y cos lg 42+-=探究点二 三角函数的单调性 例2 （1）求函数y ＝⎪⎭⎫⎝⎛-4sin 2πx 的单调递减区间．(2)求函数y ＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx 单调递增区间；(3)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期及单调区间．探究点三 三角函数的值域与最值 例3 求下列函数的值域.(1)x y cos 24-= ; (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=36sin 2ππx y ,90≤≤x ;(3) 2cos 2sin 22++-=x x y ; (4)x x x x y cos sin cos sin ++=.课时规范训练三班级 姓名1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.2．若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．3．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )有下列命题：(1)由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；(2)y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；(3)y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；(4)y ＝f (x )的图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)4．定义函数⎩⎨⎧<≥=xx x xx x x f cos sin ,cos cos sin ,sin )(给出下列四个命题：①该函数的值域为[－1,1]；②当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0.上述命题中正确的个数为________．5．定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．6.设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin(ax ＋π3)的周期．7．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间； (2)若函数y ＝f (x ＋θ) (0<θ<π2)为偶函数，求θ的值．8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)＋a (ω>0)与g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．第三讲 三角函数的图象与性质(2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＝4π.由y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4 得y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， 由－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π得－43π＋4k π<x <83π＋4k π，k ∈Z ，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z )． 课时规范训练三1．3 2.34 3．(2)(3) 4．1 5.236. 解 ∵x ∈R ，∴cos x ∈[－1,1]．若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－1；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3－a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1.所以g (x )＝－sin(2x ＋π3)或g (x )＝sin(2x －π3)，周期为π.7．解 (1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 解得单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . (2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π3. 根据三角函数图象性质可知， y ＝f (x ＋θ) ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝±1，∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z .又0<θ<π2，解得θ＝5π128．解 (1)∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递减，故函数f (x )的单调递减区间为 [k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )(3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴当x ＝π2时，f (x )取得最小值，∴2sin(2·π2＋π6)＋a ＝－2，∴a ＝－1.例 (14分)求下列函数的值域：(1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2；(2)y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π2]；(3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x .解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，cos x ∈[－1,1]．当cos x ＝1时，y max ＝4，当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分](2)y ＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)．∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π3，∵y ＝cos x 在[π6，2π3]上单调递减，∴－12≤cos(x ＋π6)≤32，∴－3≤y ≤3，故函数值域为[－3，3]．[9分](3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝12＋ 2.∴函数值域为[－1，12＋2]．[14分]。

第三节　三角函数的图象与性质 [备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.1.以选择题或填空题的形式考查三角函数的单调性、周期性及对称性．如2012年新课标全国T9等．2.以选择题或填空题的形式考查三角函数的值域或最值问题．如2012年湖南T6等． 3.与三角恒等变换相结合出现在解答题中．如2012年北京T15等. [归纳·知识整合] 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象定义域RR kZ}值域[－1,1][－1,1]R单调性递增区间：(kZ) 递减区间：(kZ)递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z) 递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)递增区间：(kZ)最　值x＝2kπ＋(kZ)时，ymax＝1 x＝2kπ－(kZ)时，ymin＝－1x＝2kπ(kZ)时，ymax＝1 x＝2kπ＋π(kZ) 时，ymin＝－1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ，0)，kZ对称中心，kZ对称中心(kZ)对称轴l x＝kπ＋，kZ对称轴l x＝kπ，kZ无对称轴周期2π2ππ [探究]　1.正切函数y＝tan x在定义域内是增函数吗？ 提示：不是．正切函数y＝tan x在每一个区间(kZ)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数． 2．当函数y＝Asin(ωx＋φ)分别为奇函数和偶函数时，φ的取值是什么？对于函数y＝Acos(ωx＋φ)呢？ 提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(kZ)时是奇函数，当φ＝kπ＋(kZ)时是偶函数；函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(kZ)时是偶函数，当φ＝kπ＋(kZ)时是奇函数． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)设函数f(x)＝sin，xR，则f(x)是( ) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 解析：选B　f(x)＝sin(2x－)＝－cos 2x， f(x)是最小正周期为π的偶函数． 2．(教材习题改编)函数y＝4sin x，x[－π，π]的单调性是( ) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在上是增函数，在和上都是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在上是增函数，在上是减函数 解析：选B　由函数y＝4sin x，x[－π，π]的图象可知，该函数在上是增函数，在和上是减函数． 3．函数y＝ 的定义域为( ) A. B.，kZ C.，kZ D．R 解析：选C　cosx－≥0，得cos x≥，2kπ－≤x≤2kπ＋，kZ. 4．(教材习题改编)函数f(x)＝sin，xR的最小正周期为________． 解析：函数f(x)＝sin的最小正周期为 T＝＝4π. 答案：4π 5．函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________. 解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，即x＝＋2kπ(kZ)． 答案：5　＋2kπ(kZ) 三角函数的定义域和值域 [例1]　(1)求函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域； (2)求函数y＝2cos2x＋5sin x－4的值域． [自主解答]　(1)要使函数有意义，必须有 即 解得(kZ)， 即＋2kπ≤x＜＋2kπ(kZ)． 故所求函数的定义域为(kZ)． (2)y＝2cos2x＋5sin x－4 ＝2(1－sin2x)＋5sin x－4 ＝－2sin2x＋5sin x－2 ＝－2(sin x－)2＋. 故当sin x＝1时，ymax＝1， 当sin x＝－1时，ymin＝－9， 故y＝2cos2x＋5sin x－4的值域为[－9,1]． ——————————————————— 1．三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．三角函数值域的求法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 1．(1)求函数y＝＋的定义域； (2)设aR，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2满足f＝f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值． 解：(1)要使函数有意义 则即 利用数轴可得： 所以函数的定义域是. (2)f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2 ＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x. 由于f＝f(0)， 所以·sin－cos＝－1， 即－a＋＝－1，得a＝2. 于是f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 由于x，所以2x－， 因此当2x－＝即x＝时f(x)取得最大值f＝2， 当2x－＝即x＝时f(x)取得最小值f＝. 三角函数的单调性 [例2]　求下列函数的单调递减区间： (1)y＝2sin；(2)y＝tan. [自主解答]　(1)由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，kZ， 得2kπ＋≤x≤2kπ＋，kZ. 故函数y＝2sin的单调减区间为 (kZ)． (2)把函数y＝tan变为y＝－tan. 由kπ－<2x－<kπ＋，kZ， 得kπ－<2x<kπ＋，kZ， 即－<x0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝( ) A. B. C. D. (3)(2012·大纲全国卷)若函数f(x)＝sin (φ[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A. B. C. D. [自主解答]　(1)法一：(图象特征) 正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x－＝kπ＋，kZ，x＝kπ＋，kZ.取k＝－1，则x＝－. 法二：(验证法) x＝时，y＝sin＝0，不合题意，排除A；x＝时，y＝sin＝，不合题意，排除B；x＝－时，y＝sin＝－1，符合题意，C项正确；而x＝－时，y＝sin＝－，不合题意，故D项也不正确． (2)由于直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以＋φ＝kπ＋(kZ)． 又0<φ0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)设α，f＝2，求α的值． 解：(1)函数f(x)的最大值为3，A＋1＝3，即A＝2. 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 最小正周期T＝π， ω＝2，故函数f(x)的解析式为 y＝2sin＋1. (2)f＝2sin＋1＝2， sin＝. 0<α<，－<α－0，若y＝f(ωx)在区间上是增函数，求ω的取值范围； 解：(1)f(x)＝sin2·4sin x＋(cos x＋sin x)· (cos x－sin x) ＝4sin x·＋cos 2x ＝2sin x(1＋sin x)＋1－2sin2x＝2sin x＋1， 故函数解析式为f(x)＝2sin x＋1. (2)f(ωx)＝2sin ωx＋1，ω>0. 由2kπ－≤ωx≤2kπ＋， 得f(ωx)的增区间是，kZ. ∵f(ωx)在上是增函数， ?. ∴－≥－且≤， ω∈. 12．(2012·湖北高考)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(xR)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围． 解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ. 由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得 sin＝±1， 所以2ωπ－＝kπ＋(kZ)，即ω＝＋(kZ)． 又ω(，1)，kZ，所以k＝1，故ω＝. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0， 即λ＝－2sin＝－2sin＝－， 即λ＝－. 故f(x)＝2sin－， 由0≤x≤，有－≤x－≤， 所以－≤sin≤1， 得－1－≤2sin－≤2－， 故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－ ]． 1．求下列函数的定义域： (1)y＝lg sin(cos x)；(2)y＝. 解：(1)要使函数有意义，必须使sin(cos x)＞0. －1≤cos x≤1，0＜cos x≤1. 利用单位圆中的余弦线OM， 依题意知0＜OM≤1，OM只能在x轴的正半轴上， 其定义域为 . (2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0. 利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示． 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为 . 2．写出下列函数的单调区间及周期： (1)y＝sin；(2)y＝|tan x|. 解：(1)y＝－sin， 它的增区间是y＝sin的减区间， 它的减区间是y＝sin的增区间． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，kZ， 得kπ－≤x≤kπ＋，kZ. 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，kZ， 得kπ＋≤x≤kπ＋，kZ. 故所给函数的减区间为，kZ； 增区间为，kZ. 最小正周期T＝＝π. (2)观察图象可知，y＝|tan x|的增区间是，kZ，减区间是，kZ.最小正周期：T＝π. 3．求下列函数的值域： (1)y＝；　(2)y＝sin2x－4sin x＋5. 解：(1)由y＝，得cos x＝. 因为－1≤cos x≤1， 所以－1≤≤1，解得≤y≤6. 因此，原函数的值域为. (2)y＝sin2x－4sin x＋5＝(sinx－2)2＋1. 因为－1≤sin x≤1，所以2≤y≤10. 因此，原函数的值域为[2,10]． 4．设函数f(x)＝3sin，ω＞0，x(－∞，＋∞)，且以为最小正周期． (1)求f(0)； (2)求f(x)的解析式； (3)已知f＝，求sin α的值． 解：(1)由题设可知f(0)＝3sin＝. (2)f(x)的最小正周期为， ω＝＝4.f(x)＝3sin. (3)f＝3sin＝3cos α＝， cos α＝，sin α＝±＝±.。