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二次函数简单练习题一、选择题1. 二次函数的标准形式是（）。
A. y = ax² + bx + cB. y = ax + bC. y = a(x h)² + kD. y = a/x + b2. 已知二次函数y = 2x² + 4x + 6，其开口方向为（）。
A. 向上B. 对称轴C. 向下D. 无法确定3. 二次函数y = x² 4x + 4的顶点坐标是（）。
A. (2, 4)B. (2, 0)C. (0, 4)D. (2, 4)4. 若二次函数y = ax² + bx + c的图像开口向上，且a > 0，则其对称轴的方程为（）。
A. x = b/2aB. x = b/2aC. y = b/2aD. y = b/2a二、填空题1. 二次函数y = 3x² + 6x + 5的对称轴是直线______。
2. 已知二次函数y = x² 2x的顶点坐标是______。
3. 当a > 0时，二次函数y = ax² + bx + c的图像开口______。
4. 二次函数y = 2(x 1)² 3的顶点坐标是______。
三、解答题1. 已知二次函数y = x² 4x + 3，求其顶点坐标和对称轴。
2. 已知二次函数y = 2(x 3)² + 8，求其开口方向、顶点坐标和对称轴。
3. 已知二次函数的图像开口向下，且顶点坐标为(2, 3)，求该二次函数的解析式。
4. 已知二次函数y = ax² + bx + c的图像开口向上，且经过点(1, 3)和(1, 5)，求a、b、c的值。
5. 已知二次函数y = x² 6x + 9的图像与x轴有两个交点，求这两个交点的坐标。
四、应用题1. 一个二次函数的图像开口向上，且顶点在坐标原点。
已知该函数在x=1时的函数值为4，求该二次函数的解析式。
二次函数测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是二次函数的一般形式？A. y = 2x + 1B. y = x^2 + 3x + 2C. y = 3x^3 - 5D. y = 4/x答案：B2. 二次函数y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为（h, k），那么h的值为：A. -b/2aB. -b/aC. b/2aD. b/a答案：C3. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的对称轴方程是：A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案：A4. 如果二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，那么a的值：A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 可以是任意实数答案：A5. 二次函数y = -x^2 + 4x - 3的顶点坐标是：A. (1, 2)B. (2, 1)C. (3, 0)D. (3, 4)答案：C6. 二次函数y = 3x^2 - 6x + 5的图象与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C7. 二次函数y = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A8. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的图象开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A9. 二次函数y = -x^2 + 2x + 3的图象与y轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (0, -3)C. (0, 5)D. (0, -5)答案：A10. 二次函数y = 5x^2 - 10x + 8的图象与x轴的交点坐标是：A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (1, 0)D. (-1, 0)答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上，且经过点（2, 0），则a的值至少为______。
答案：02. 二次函数y = 2x^2 - 4x + 3的顶点坐标是（______, ______）。
完整版)初中数学二次函数专题经典练习题(附答案)1.抛物线$y=-3x^2+2x-1$与坐标轴的交点情况是(A)没有交点。
(C)有且只有两个交点。
(D)有且只有三个交点。
2.已知直线$y=x$与二次函数$y=ax^2-2x-1$的一个交点的横坐标为1，则$a$的值为(C)3.3.二次函数$y=x^2-4x+3$的图象交$x$轴于$A$、$B$两点，交$y$轴于点$C$，则$\triangle ABC$的面积为(B)4.4.函数$y=ax^2+bx+c$中，若$a>0$，$b<0$，$c<0$，则这个函数图象与$x$轴的交点情况是(D)一个在$x$轴的正半轴，另一个在$x$轴的负半轴。
5.已知$(2,5)$、$(4,5)$是抛物线$y=ax^2+bx+c$上的两点，则这个抛物线的对称轴方程是(B)$x=3$。
6.无法正确反映函数$y=ax+b$图象的选项已删除。
7.二次函数$y=2x^2-4x+5$的最小值是$4.5$。
8.某二次函数的图象与$x$轴交于点$(-1,0)$，$(4,0)$，且它的形状与$y=-x$形状相同。
则这个二次函数的解析式为$y=-\frac{1}{25}(x-1)(x-4)$。
9.若函数$y=-x+4$的函数值$y>0$，则自变量$x$的取值范围是$(-\infty,4)$。
10.某品牌电饭锅成本价为70元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：定价（元） 100 110 120 130 140 150 销量（个） 80 100 110 100 80 60.为获得最大利润，销售商应将该品牌电饭锅定价为120元。
11.函数$y=ax^2-(a-3)x+1$的图象与$x$轴只有一个交点，那么$a$的值和交点坐标分别为$(a,0)$和$(\frac{a-3}{2},0)$。
12.某涵洞是一抛物线形，它的截面如图3所示，现测得水面宽$AB=1.6m$，涵洞顶点$O$到水面的距离为$2.4m$，在图中的直角坐标系内，涵洞所在抛物线的解析式为$y=-\frac{5}{6}(x-2)^2+2.4$。
二次函数练习题及答案一、选择题1． 将抛物线23y x =先向左平移2个单位,再向下平移1个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的解析式是 （ )A 23(2)1y x =++B 。
23(2)1y x =+-C 。
23(2)1y x =-+ D.23(2)1y x =-- 2．将抛物线22+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………（ ) Ａ．32+=x y ; Ｂ．12+=x y ；Ｃ．2)1(2++=x y ； Ｄ．2)1(2+-=x y ．3．将抛物线y= (x —1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）A ．y=（x —2）2B ．y=（x —2)2+6C ．y=x 2+6D ．y=x 24．由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ）A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线3x =-C ．其最小值为1D ．当x<3时，y 随x 的增大而增大5．如图，抛物线的顶点P 的坐标是(1，﹣3），则此抛物线对应的二次函数有（ )A ．最大值1B ．最小值﹣3C ．最大值﹣3D ．最小值16．把函数()y f x ==246x x -+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（ ）A ．2(3)3y x =-+B ．2(3)1y x =-+C ．2(1)3y x =-+D ．2(1)1y x =-+7．抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为A . b=2, c=2 B. b=2,c=0 C 。
b= -2,c=-1 D 。
b= -3， c=2二、填空题8．二次函数y=－2(x －5)2＋3的顶点坐标是 ．9．已知二次函数2y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数图象上，当1201,23x x <<<<时，则1y 2y （填“>”或“<”）．x 0 1 2 3 y1- 2 3 210．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为 ．11．求二次函数2245y x x =--的顶点坐标(＿＿＿）对称轴＿＿＿＿。
二次函数练习题及答案1. 已知二次函数的顶点为(2, 3)，且经过点(1, 5)，求该二次函数的解析式。
2. 抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于点A(-1, 0)和B(3, 0)，求抛物线的对称轴方程。
3. 函数f(x)=2x^2-4x+m在区间[0, 2]上的最大值为8，求m的值。
4. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-1, 2)和(2, 2)，且在x=1处取得最小值，求a、b、c的值。
5. 抛物线y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且经过点(0, 1)和(2, 5)，求a的取值范围。
6. 函数y=x^2-2x+3的图象与x轴的交点坐标为多少？7. 抛物线y=-2x^2+4x+1的顶点坐标是什么？8. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, 2)，且在x=-1处取得最大值，求a、b、c的值。
9. 函数f(x)=x^2-6x+8在区间[1, 4]上的最大值和最小值分别是多少？10. 抛物线y=3x^2-6x+2与x轴的交点坐标是什么？11. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1, 0)和(-2, 0)，且在x=0处取得最小值，求a、b、c的值。
12. 函数y=2x^2-4x+1在区间[0, 3]上的最大值和最小值分别是多少？13. 抛物线y=-x^2+2x+3的图象开口向下，求抛物线的顶点坐标。
14. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(-3, -2)和(1, -2)，求a、b、c的值。
15. 函数y=x^2-4x+5的图象与x轴的交点坐标为多少？16. 抛物线y=4x^2-12x+9的顶点坐标是什么？17. 已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象与y轴交于点(0, -1)，且在x=2处取得最大值，求a、b、c的值。
18. 函数f(x)=-2x^2+8x-8在区间[0, 4]上的最大值和最小值分别是多少？19. 抛物线y=x^2-4x+5的图象开口向上，求抛物线的对称轴方程。
二次函数的练习题及答案一、选择题：1. 若二次函数y=ax^2+bx+c的图像开口向上，且与x轴有交点，则a 和b应满足的条件是（）。
A. a>0, b>0B. a<0, b<0C. a>0, b^2>4acD. a<0, b^2>4ac2. 二次函数y=-x^2+4x-1的顶点坐标是（）。
A. (1,4)B. (2,3)C. (-2,3)D. (2,-3)3. 对于二次函数y=ax^2+bx+c，当x=-1时，函数值最大，那么a的取值范围是（）。
A. a>0B. a<0C. a=0D. 无法确定二、填空题：1. 已知二次函数y=2x^2-8x+3，当x=______时，函数值最小。
2. 若二次函数y=-3x^2-6x+5的图像与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），则x1+x2=______。
三、解答题：1. 已知二次函数y=-2x^2+4x+1，求出当x取何值时，函数值y最大，并求出最大值。
2. 已知二次函数y=3x^2-6x+2，求出函数与x轴的交点坐标。
四、应用题：1. 某工厂生产一种产品，其生产成本与产品数量的关系可以近似为二次函数：C(x)=0.5x^2-100x+3000，其中x代表产品数量，C(x)代表成本。
求出当生产多少件产品时，成本最低，并求出最低成本。
2. 某公司计划在一块长为60米的空地上建一个矩形花园，花园的长和宽之和为30米。
设花园的长为x米，求出花园的面积最大时的长和宽，并求出最大面积。
答案：一、选择题：1. C2. B3. B二、填空题：1. 22. -2三、解答题：1. 当x=1时，函数值y最大，最大值为3。
2. 函数与x轴的交点坐标为（1，0）和（2，0）。
四、应用题：1. 当生产200件产品时，成本最低，最低成本为2000元。
2. 花园的长为15米，宽为15米时，面积最大，最大面积为225平方米。
二次函数的定义专项练习30题（有答案）1．下列函数中，是二次函数的有（）①y=1﹣x2②y=③y=x（1﹣x）④y=（1﹣2x）（1+2x）A ．1个B．2个C．3个D．4个2．下列结论正确的是（）A．y=ax2是二次函数B．二次函数自变量的取值范围是所有实数C．二次方程是二次函数的特例D．二次函数自变量的取值范围是非零实数3．下列具有二次函数关系的是（）A．正方形的周长y与边长xB．速度一定时，路程s与时间tC．三角形的高一定时，面积y与底边长xD．正方形的面积y与边长x4．若y=（2﹣m）是二次函数，则m等于（）A ．±2 B．2 C．﹣2 D．不能确定5．若y=（m2+m）是二次函数，则m的值是（）A ．m=1±2B．m=2 C．m=﹣1或m=3D．m=36．下列函数，y=3x2，，y=x（x﹣2），y=（x﹣1）2﹣x2中，二次函数的个数为（）A ．2个B．3个C．4个D．5个7．下列结论正确的是（）A．二次函数中两个变量的值是非零实数B．二次函数中变量x的值是所有实数C．形如y=ax2+bx+c的函数叫二次函数D．二次函数y=ax2+bx+c中a，b，c的值均不能为零8．下列说法中一定正确的是（）A．函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数）一定是二次函数B．圆的面积是关于圆的半径的二次函数C．路程一定时，速度是关于时间的二次函数D．圆的周长是关于圆的半径的二次函数9．函数y=（m﹣n）x2+mx+n是二次函数的条件是（）A．m、n是常数，且m≠0 B．m、n是常数，且m≠nC．m、n是常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数10．下列两个量之间的关系不属于二次函数的是（）A．速度一定时，汽车行使的路程与时间的关系B．质量一定时，物体具有的动能和速度的关系C．质量一定时，运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系D．从高空自由降落的物体，下降的高度与下降的时间的关系11．下列函数中，y是x二次函数的是（）A ．y=x﹣1 B．y=x2+﹣10C．y=x2+2x D．y2=x﹣112．下面给出了6个函数：①y=3x2﹣1；②y=﹣x2﹣3x；③y=；④y=x（x2+x+1）；⑤y=；⑥y=．其中是二次函数的有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个13．自由落体公式h=gt2（g为常量），h与t之间的关系是（）A ．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上答案都不对14．如果函数y=（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是_________．15．二次函数y=（x﹣2）2﹣3中，二次项系数为_________，一次项系数为_________，常数项为_________．16．已知函数y=（k+2）是关于x的二次函数，则k=_________．17．已知二次函数的图象是开口向下的抛物线，m=_________．18．当m_________时，关于x的函数y=（m2﹣1）x2+（m﹣1）x+3是二次函数．19．y=（m2﹣2m﹣3）x2+（m﹣1）x+m2是关于x的二次函数要满足的条件是_________．20．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，当b=0，c≠0时，函数表达式为_________；当b≠0，c=0时，函数表达式为_________．21．函数y=2x2+3x+7中自变量的取值范围为_________．22．如果函数是关于x的二次函数，则k=_________．23．如图所示，长方体的底面是边长为xcm的正方形，高为6cm，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=_________，长方体的体积为V=_________，各边长的和L=_________，在上面的三个函数中，_________是关于x的二次函数．24．函数y=x m﹣1+3，当m=_________时，它的图象是抛物线．25．已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m=_________．26．已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．27．已知是x的二次函数，求出它的解析式．28．用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？29．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？30．已知，当m为何值时，是二次函数？二次函数的定义30题参考答案：1．①y=1﹣x2=﹣x2+1，是二次函数；②y=，分母中含有自变量，不是二次函数；③y=x（1﹣x）=﹣x2+x，是二次函数；④y=（1﹣2x）（1+2x）=﹣4x2+1，是二次函数．二次函数共三个，故选C2．A、应强调a是常数，a≠0，错误；B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确；C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误；D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误．故选B．3．A、y=4x，是一次函数，错误；B、s=vt，v一定，是一次函数，错误；C、y=hx，h一定，是一次函数，错误D、y=x2，是二次函数，正确．故选D．4．根据二次函数的定义，得：m2﹣2=2解得m=2或m=﹣2又∵2﹣m≠0∴m≠2∴当m=﹣2时，这个函数是二次函数．故选C5．根据题意的得：，解得：，∴m=3，故选D．6．y=3x2，，y=x（x﹣2）都符合二次函数定义的条件，是二次函数；，y=（x﹣1）2﹣x2整理后，都是一次函数．二次函数有三个．故选B．7．A、例如y=x2，自变量取0，函数值是0，所以不对；B、二次函数中变量x的值可以取所有实数，正确；C、应强调当a≠0时，是二次函数，错误；D、要求a≠0，b、c可以为0．故选B8．A、只有当a≠0才是二次函数，错误；B、由已知得S=πR2，S是R的二次函数，正确；C、由已知得v=，s一定，是反比例函数，错误；D、由已知得C=2πR，是一次函数，错误．故选B．9．根据二次函数的定义可得：m﹣n≠0，即m≠n．故选B．10．A、s=vt，v一定，是一次函数，错误；B、E=mv2，m一定，是二次函数，正确；C、f=mv2，v一定，是二次函数，正确；D、H=gt2，g一定，是二次函数，正确．故选A．11．A、一次函数，不是二次函数；B、不是关于x的整式，不符合二次函数的定义；C、符合二次函数的定义；D、y的指数为2，不符合二次函数的定义；故选C．12. ①符合二次函数的定义；②符合二次函数的定义；③不是整式，不符合二次函数的定义；④整理后x的最高次数为3，不符合二次函数的定义；⑤不是整式，不符合二次函数的定义；⑥不是整式，不符合二次函数的定义；所以是二次函数的共有2个，故选B．13．因为等号的右边是关于t的二次式，所以h是t的二次函数．14．根据二次函数的定义，得：k2﹣3k+2=2，解得k=0或k=3；又∵k﹣3≠0，∴k≠3．∴当k=0时，这个函数是二次函数．15．∵y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣2x﹣1，∴二次项系数为，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1．16．∵函数y=（k+2）是关于x的二次函数，∴k2+k﹣4=2，解得k=2或﹣3，且k+2≠0，k≠﹣2．故k=2或﹣317．∵二次函数的图象是开口向下的抛物线，∴，解得m=﹣2．故答案为：﹣218．∵y是x的二次函数，∴m2﹣1≠0，∴m≠±1，故满足的条件是m≠±1．故答案为：≠±1 19．由题意得：m2﹣2m﹣3≠0，（m﹣3）（m+1）≠0，解得m≠﹣1且m≠3．20．当b=0，c≠0时，二次函数表达式为y=ax2+c；当b≠0，c=0时，二次函数表达式为y=ax2+bx．故答案为：y=ax2+c；y=ax2+bx．21．函数y=2x2+3x+7中，自变量x的取值范围是全体实数．故答案为：全体实数．22. ∵函数是关于x的二次函数，∴k﹣1≠0且k2﹣k+2=2，解得k=0或k=1，∴k=0．故答案为0．23．长方体的侧面展开图的面积S=4x×6=24x；长方体的体积为V=x2×6=6x2；各边长的和L=4x×2+6×4=8x+24；其中，V=6x2是关于x的二次函数24．∵二次函数的图象是抛物线，∴m﹣1=2，解得m=3．25．根据题意得m≠0且m2﹣2m﹣6=2，解得m1=4，m2=﹣2，∵二次函数的对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴二次函数的图象的开口向上，即m＞0，∴m=4．故答案为426．∵是x的二次函数，∴，解得m=3或m=﹣1，∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+127．由二次函数的定义，可知m2+m≠0，即m≠0，m≠﹣1 又因为m2﹣2m﹣1=2，m2﹣2m﹣3=0 解得m=3或m=﹣1（不合题意，舍去）所以m=3故y=12x2+928．设宽为xcm，由题意得，矩形的周长为800cm，∴矩形的长为cm，∴y=x×=﹣x2+400x（0＜x＜40）．y是x的二次函数．29．（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0解得m=0或m=1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m=0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．30．根据题意得：原函数为二次函数，则有解得：m=3．。
二次函数习题及答案二次函数习题及答案二次函数是高中数学中的一个重要概念，也是数学建模中常用的数学工具之一。
它的形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
在解决实际问题时，我们经常需要运用二次函数来进行建模和分析。
下面，我将给大家提供一些常见的二次函数习题及其答案，供大家参考和练习。
1. 习题一：已知二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求解以下问题：a) 函数的顶点坐标是多少？b) 函数的对称轴方程是什么？c) 函数的图像是否开口向上？d) 函数的零点是多少？答案：a) 函数的顶点坐标为（3/4, 7/8）。
b) 函数的对称轴方程为x = 3/4。
c) 函数的图像开口向上。
d) 函数的零点为x = 1和x = 1/2。
2. 习题二：已知二次函数f(x) = -x^2 + 4x - 3，求解以下问题：a) 函数的顶点坐标是多少？b) 函数的对称轴方程是什么？c) 函数的图像是否开口向下？d) 函数的零点是多少？答案：a) 函数的顶点坐标为（2, -3）。
b) 函数的对称轴方程为x = 2。
c) 函数的图像开口向下。
d) 函数的零点为x = 1和x = 3。
3. 习题三：已知二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求解以下问题：a) 函数的顶点坐标是多少？b) 函数的对称轴方程是什么？c) 函数的图像是否开口向上？d) 函数的零点是多少？答案：a) 函数的顶点坐标为（-1, 0）。
b) 函数的对称轴方程为x = -1。
c) 函数的图像开口向上。
d) 函数的零点为x = -1。
通过以上三个习题的解答，我们可以看出，解决二次函数问题需要掌握一些基本的概念和技巧。
首先，顶点坐标可以通过求解二次函数的导数为0的点来得到。
其次，对称轴方程可以通过求解二次函数的x坐标的平均值来得到。
此外，通过判断二次函数的系数a的正负可以确定图像的开口方向，正数表示开口向上，负数表示开口向下。
二次函数专题训练题二次函数专题训练(一)1、已知抛物线 $y=ax^2+6ax+c$ 与x轴的一个交点为A （-2,0）①求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标。
②点C是抛物线与y轴的交点，D是抛物线上一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为32，求此抛物线的解析式。
③ E是第二象限内到x轴、y轴距离之比为3：1的点。
若E在②中的抛物线上，且a＞0,E和A在对称轴同侧。
问在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△APE周长最小。
若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。
解析：①因为点A在x轴的负半轴上，所以点B在x轴的正半轴上，设点B的坐标为（t,0），则由题意可得：begin{cases}a(-2)^2+6a(-2)+c=0 \\at^2+6at+c=0 \\end{cases}解得 $t=-\frac{c}{a}-4$所以点B的坐标为 $(-\frac{c}{a}-4,0)$②设抛物线的解析式为$y=ax^2+6ax+c$，则由题意可得：begin{cases}a(-2)^2+6a(-2)+c=0 \\at^2+6at+c=0 \\end{cases}解得 $a=2$，$c=-8$，所以抛物线的解析式为$y=2x^2+12x-8$③设抛物线的对称轴为直线 $x=k$，则点A的坐标为 $(-k,0)$，点E的坐标为 $(m,3m)$，其中 $m$ 为任意实数。
由题意可得：begin{cases}k=-\frac{b}{2a}=-3 \\a(m+2)^2+6a(m+2)-8=3m \\end{cases}解得 $m=-\frac{1}{2}$，所以点E的坐标为 $(-1,-\frac{3}{2})$。
由对称性可知，点P的坐标为 $(1,-\frac{3}{2})$，所以在抛物线的对称轴上存在点P，使△APE 周长最小。
2、已知二次函数 $y=x^2－2(m－1)x－1－m$ 的图像与x 轴交于两点A（$x_1$,0）和B（$x_2$,0），$x_1＜＜x_2$，与y轴交于点C，且满足 $\frac{AC}{OC}=\frac{1}{12}$。
二次函数基础练习题练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t（秒）的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式：2、 下列函数：① y =② ()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x=+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c =3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数4、当____m =时，函数()2221m m y m m x --=+是关于x 的二次函数5、当____m =时，函数()2564m m y m x -+=-+3x 是关于x 的二次函数 6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式.② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图像与性质1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；（2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图像关于y 轴对称.其中正确的是 .3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6、已知函数24mm y mx --=的图像是开口向下的抛物线，求m 的值. 7、二次函数12-=mmx y 在其图像对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值. 8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系. 9、已知函数()422-++=m m x m y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； tt tt（3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？10、如果抛物线2y ax =与直线1y x =-交于点(),2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小.2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质 1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 . 2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.（1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质 1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大. 4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.5、 已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y . （1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）当x= 时，抛物线有最 值，是 . （3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？8、已知函数()412-+=x y . （1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3）指出该函数的最值和增减性； （4）若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点. （6）画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0.练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________；7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ）A 、22B 、23C 、32D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y 11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点1） 求一次函数的关系式；2） 判断点()2,5-是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x px q =++的图象是以()3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为2、二次函数2224y mx x m m =++-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是3、如果抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么ac b= 4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限.7、已知二次函数2y ax bx c =++（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： 1）,a b 同号；2）当1x =和3x =时，函数值相同；3）40a b +=；4）当2y =-时，x 的值只能为0；其中正确的是（第5题） （第6题） （第7题） （第10题）8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m=9、二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（ ）A ()1,1--B ()1,1-C ()1,1D ()1,1-10、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如上图所示，则下列选项中正确的是（ ）A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论：①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c =++的最大值是3a -，且它的图象经过()1,2--，()1,6两点， 求a 、b 、c 的值。
26.2 用函数观点看一元二次方程及二次函数的应用一、填空题1.已知二次函数y=ax 2-5x+c 的图象如图所示,请根据图象回答下列问题: (1)a=_______,c=______.(2)函数图象的对称轴是_________,顶点坐标P__________. (3)该函数有最______值,当x=______时,y 最值=________. (4)当x_____时,y 随x 的增大而减小.当x_____时,y 随x 的增大而增大. (5)抛物线与x 轴交点坐标A_______,B________; 与y 轴交点C 的坐标为_______;ABC S ∆=_________,ABP S ∆=________.(6)当y>0时,x 的取值范围是_________;当y<0时,x 的取值范围是_________. (7)方程ax 2-5x+c=0中△的符号为________.方程ax 2-5x+c=0的两根分别为_____,____. (8)当x=6时,y______0;当x=-2时,y______0.答案：(1)a=1;c=4 (2)直线x=52,59,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)小; 52;94- (4)55;22≤≥ (5)(1,0);(4,0);(0,4); 6; 278; (6)x<1或x>4;1<x<4 (7)正号;x1=1;x2=4 (8)>;>9. 抛物线()20y ax bx c a =++≠当240b ac ->时，和x 轴有__________交点，240b ac -=时，和x 轴_________交点，240b ac -<时，和x 轴_______交点．答案：2 1 无10. 抛物线2310y x x =--和y 轴交点是________和x 轴交点是_________． 答案：()()()0,10,2,05,0--、11．抛物线2k 310y x x =--和x 轴有两个不同的交点，则k 的取值是_________． 答案：916k >-,且0k ≠12.二次函数图像如下图，则方程2550x x -+=的两个解，一个在__________之间，另一个在__________之间．答案： 1与2，3与413. 如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______. 答案.2614. 二次函数y =－2x 2+x －21，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”).答案41 大 －83没有 15．二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示.①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y >0xy 1 12 -1OxyA B O图1 图2答案：①x 2－2x ②3或－1 ③<0或>216.一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可) 答案： y =x 2－3x －10 、17．变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”). 答案： m >29 无解18.抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”). 答案：y =－x 2+x －1 最大19. 一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m). 答案.y =－81x 2+2x +1 16.5 20.抛物线y=x 2－(2k+1)x+k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数k 的最小值是______.答案： 2二选择题21. 若0ac <，抛物线2y ax bx c =++和x 轴的交点个数是﹝﹞A.1个B.2个C.0个D.不能确定22. ．抛物线232y x x k =-++和x 轴有交点，则k 的取值为﹝﹞A.1k 3->- B.1k 3≤ C.1k 3≥- D.1k<-3 23. 抛物线()()2231y x m x m =-++-和x 轴﹝﹞A.一定有交点B.只有一个交点C.一定有两个交点D.没有交点24. 一元二次方程2641x x -+=的根与二次函数264y x x =-+的图像之间的关系，说法正确的是﹝﹞A.方程的根，是图像和x 轴交点的横坐标B.方程的根是函数图像和直线1y =的交点坐标C.方程的根是函数图像与直线1y =交点的横坐标25. 关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ）①当c =0时，函数的图象经过原点; ②当b =0时，函数的图象关于y 轴对称;③函数的图象最高点的纵坐标是ab ac 442-;④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根( )A.0个B.1个C.2个D.3个26. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图4所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c －8=0的根的情况是（）A.有两个不相等的正实数根 ;B.有两个异号实数根;C.有两个相等的实数根;D.没有实数根.27. 抛物线y =kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A.k >－47; B.k ≥－47且k ≠0; C.k ≥－47; D.k >－47且k ≠0 28. 如图5所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( )A.424 m B.6 m C.15 m D.25 m图4图5图629. 二次函数y =x 2－4x +3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，△ABC 的面积为( )A.1B.3C.4D.630. 无论m 为任何实数，二次函数y =x 2+(2－m )x +m 的图象总过的点是( )A.(－1，0);B.(1，0)C.(－1，3) ;D.(1，3)31. 如果抛物线y=－x 2+2(m －1)x+m+1与x 轴交于A 、B 两点，且A 点在x 轴正半轴上，B点在x 轴的负半轴上，则m 的取值范围应是( )A.m>1B.m>－1C.m<－1D.m<132. 如图7，一次函数y=－2x+3的图象与x 、y 轴分别相交于A 、C 两点，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点c 且与一次函数在第二象限交于另一点B ，若AC ∶CB=1∶2，那么，这个二次函数的顶点坐标为( ) A.(－21，411) B.(－21，45) C.(21，411) D.(21，－411) 33. 如图8，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=－121x 2+32x+35，则该运动员此次掷铅球的成绩是( ) A.6 mB.12 mC.8 mD.10 mxy ABCO xyOABM O图7图8 图934. 某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图9，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( ) A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m35.一个菱形的对角线之和为10厘米，其最大面积为（ ） A.24 cm2B.25 cm2C.12.5 cm2D.12 cm 236.如图26－3－2－1，点P 的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（ ） A.最大值1 B.最小值－3 C.最大值－3 D.最小值137.已知a<0，b>0，那么抛物线y=ax 2+bx+2（b 2－8a≠0）的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 38.周长为30厘米的绳子，围成一个矩形，其最大面积为（ ） A ．225 cm 2B ．112.5 cm2C ．56.25 cm2D ．100 cm 239．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离是（ ） A 、4.6m B 、4.5m C 、4m D 、3.5m40．如图，正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH 的面积为Y ，AE 为X ，则Y 关于X 的函数图象大致是 （ ）5.3512+-=x y l答案21. B 22. .C 23.A 24. C 25. B 26. C 27. B 28. D 29. B 30. D 31.B 32. A.33.D34.B 〔提示：设水流的解析式为y=a(x －h)2+k,∴A(0，10)，M(1，340). ∴y=a(x －1)2+340，10=a+340. ∴a=－310. ∴y=－310(x －1)2+340.令y=0得x=－1或x=3得B(3，0),即B 点离墙的距离OB 是3 m 35.C 36.B 37.A 38.C 39.C40.B解答：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，2、已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解？考点：图象法求一元二次方程的近似根．分析：根据图象可知，二次函数y=-x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），把该点代入方程，求得m值；然后把m值代入关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0，求根即可．解答：解：根据图象可知，二次函数y=-x2+2x+m的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=-x2+2x+m，代入，得-32+2×3+m=0解得，m=3 ①把①代入一元二次方程-x2+2x+m=0，得-x2+2x+3=0，②解②，得x1=3，x2=-13、已知二次函数y=3x2-8x+4．（1）该函数图象与x轴有几个交点；（2）试说明一元二次方程3x2-8x+4=7的根与二次函数y=3x2-8x+4的图象间的关系；（3）试问x为何值时，函数y的值为-1．考点：抛物线与x轴的交点．分析：（1）利用△与0的关系进行判断；（2）可以看作二次函数y=3x2-8x+4在y的值为7时x的值；（3）把y的值为-1代入解析式即可求出x的值．解答：解：（1）∵△=64-4×3×4=16＞0，∴函数图象与x轴有两个交点；（2）由题意得：一元二次方程3x2-8x+4=7的根即为二次函数y=3x2-8x+4中y的值为7时x的值；（3）由题意得：3x2-8x+4=-1，即3x2-8x+5=0，解得：x1=5/3，x2=1．4、已知二次函数y=-x 2+bx+c的图象如图所示，解决下列问题：（1）关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=3；（2）求此抛物线的解析式和顶点坐标．考点：抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．分析：（1）中直接观察图象，抛物线与x轴交于-1，3两点，所以方程的解为x1=-1，x2=3．（2）方法一：由图象看出抛物线的对称轴为x=1，则-b/2a=1，再代入交点坐标（3，0），即得抛物线的解析式．利用顶点公式求出顶点坐标（1，4）；方法二：设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．方法三：或者利用交点式y=-（x-x1）（x-x2），求出解析式y=-（x+1）（x-3），然后求出顶点坐标（1，4）．解答：解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=3两点，∴方程的解为x1=-1，x2=3（1分）（2）解法一：由图象知：抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为x=1，且与x轴交于点（3，0）∴b/2＝1−32+3b+c＝0解得：b=2 c=3∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3顶点（1，4）（5分）解法二：设抛物线解析式为y=-（x-1）2+k（2分）∵抛物线与x轴交于点（3，0）∴（3-1）2+k=0（3分）解得：k=4（4分）∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4即：抛物线解析式为y=-x2+2x+3顶点（1，4）（5分）此时y=-2x+2与坐标轴有两个交点，符合题意； （ⅱ）k-2≠0时，得到一个二次函数，①抛物线与x 轴只有一个交点，△=b 2-4ac=（-2）2-4k （2-k ）=4（k-1）2， 解得k=1；②抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点是（0，0）， 把（0，0）代入函数解析式，易得k=0； 故答案为：2或0或1．（2）证明：设关于x 的一元二次方程（2-k ）x 2-2x+k=0的两个实数根分别为x 1，x 2，∴x 1＝2k ，x 2＝1，∴关于x 的一元二次方程（2-k ）x 2-2x+k=0必有一个根是1．点评：本题主要考查对抛物线与x 轴的交点，一次函数的性质，根的判别式，根与系数的关系7、已知二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，解决下列问题：（1）关于x 的一元二次方程-x 2+bx+c=0的解为__________;（2）求此抛物线的解析式； （3）当x 为值时，y ＜0；（4）若直线y=k 与抛物线没有交点，直接写出k 的范围．考点：抛物线与x 轴的交点；二次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）．分析：（1）直接观察图象，抛物线与x 轴交于-1，3两点，所以方程的解为x 1=-1，x 2=3．（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式． （3）若y ＜0，则函数的图象在x 轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可． （4）若直线y=k 与抛物线没有交点，则k ＞函数的最大值即可．解答：解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x 轴交于x=-1和x=3两点， ∴方程的解为x 1=-1，x 2=3， 故答案为：-1或3；（2）设抛物线解析式为y=-（x-1）2+k ， ∵抛物线与x 轴交于点（3，0），∴（3-1）2+k=0， 解得：k=4，∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，即：抛物线解析式为y=-x 2+2x+3；（3）若y ＜0，则函数的图象在x 轴的下方，由函数的图象可知：x ＞3或x ＜-1；（4）若直线y=k 与抛物线没有交点，则k ＞函数的最大值，即y ＞4．8、已知二次函数y=x 2-6x+k 的图象与x 轴有两个交点． （1）求k 的取值范围；（2）如果k 取上面条件中的最大整数，且一元二次方程x 2-6x+k=0与x 2+mx-4=0有一个相同的根，求常数m 的值．(1) (2)请你根据上面的结果判断:①是否存在实数x,使二次三项式ax 2+bx+c 的值为0?若存在,求出这个实数值;若不存在,请说明理由.②画出函数y=ax 2+bx+c 的图象示意图,由图象确定,当x 取什么实数时,ax 2+ bx+c>0? 解答；(1)由表知,当x=0时,ax 2+bx+c=3;当x=1时,ax 2=1;当x=2时,ax 2+bx+c=3.∴31423c a a b c =⎧⎪=⎨⎪++=⎩,∴123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩, ∴a=1,b=-2,c=3,空格内分别应填入0,4,2. (2)①在x 2-2x+3=0中,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0, ∴不存在实数x 能使ax 2+bx+c=0.②函数y=x 2-2x+3的图象示意图如答图所示, 观察图象得出,无论x 取什么实数总有ax 2+bx+c>0.12.请画出适当的函数图象,求方程x 2=12x+3的解. 解答:在同一坐标系中如答图所示,画出函数y=x 2的图象,画出函数y=12x+3 的图象, 这两个图象的交点为A,B,交点A,B 的横32-和2就是方程x 2=12x+3的解. 13.若二次函数y=-12x 2+bx+c 的图象与x 轴相交于A(-5,0),B(-1,0). (1)求这个二次函数的关系式;(2)如果要通过适当的平移,使得这个函数的图象与x 轴只有一个交点,那么应该怎样平移?向右还是向左?或者是向上还是向下?应该平移向个单位?解答.:(1)∵y=12-x 2+bx+c,把A(-5,0),B(-1,0)代入上式,得∴()221(5)5021(1)(1)02b c b c ⎧⎛⎫-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-+⨯-+= ⎪⎪⎝⎭⎩,352a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴y=215322x x ---. (2)∵y=215322x x ---=21(3)22x -++ ∴顶点坐标为(-3,2),632BAxyO∴欲使函数的图象与x 轴只有一个交点,应向下平移2个单位.最值问题14．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润则：)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--=)15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元）15．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．16．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y)110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额． 17. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=． 则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ． ⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x 400502-+-=x x 225)25(2+--=x 当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 18.【2014石景山二模】. 关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ． （1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的 值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．解：（1）证明：()()[]0231=+--m x x∴11=x ，231+=m x ……………………………………………1分 ∵011>=x∴无论m 为何值时，方程总有一个根大于0； …………………………2分 （2）解：∵若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点 ∴29(1)4(32)0m m ∆=+-+= ………………………………………3分 ∴31-=m ……………………………………………4分 （3）解： 当31-=m 时，函数()22112-=+-=x x x y依题意，沿直线2=x 翻折后的解析式为:()96322+-=-=x x x y ，图象G 如图所示． 可得，()96322+-=-=x x x y 与x ，y 轴的 交点分别为()0,3，()9,0． 设直线PQ 的解析式为()0≠+=k b kx y ， 由()0,t P ，Q (0，2t )．∴直线PQ 的解析式为t x y 22+-=………5分 ①当线段PQ 与函数图象G 相切时，96222+-=+-x x t x ()029416=--=∆t ∴25=t ②当线段PQ 经过点()9,0时，92=t ∴29=t 综上：当25=t 或29>t 时，线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点．……7分 19.【2014.顺义二模】已知关于的一元二次方程2440mx x m ++-=． （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，设抛物线244y mx x m =++-与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．点O 为坐标原点，点P 在直线BC 上，且OP =12BC ，求点P 的坐标．（1）证明：∵22244(4)161644(2)m m m m m =--=-+=-≥0， ……… 1分∴方程总有两个实数根．………………………………………… 2分（2）解：∵42(2)2m x m-±-==， ∴142(2)42m m x m m -+--==，242(2)12m x m---==-．………… 3分∵方程有两个互不相等的负整数根， ∴40m m-<． ∴0,40.m m >⎧⎨-<⎩或0,40.m m <⎧⎨->⎩∴04m <<．∵m 为整数，∴m =1或2或3． ……………………………………… 4分x当m =1时，121431x x -==-≠，符合题意； 当m =2时，122412x x -==-=，不符合题意； 当m =3时，1234133x x -==-≠，但不是整数，不符合题意． ∴m =1． ……………………………………………………………… 5分（3）解：m =1时，抛物线解析式为243y x x =++．令0y =，得121,3x x =-=-；令x =0，得y =3． ∴A （-3，0），B （-1，0），C （0，3）． ∴221310BC =+= ∴OP =12BC 102=．设直线BC 的解析式为y kx b =+，∴3,0.b k b =⎧⎨-+=⎩ ∴3,3.b k =⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为33y x =+．设00(,33)P x x +，由勾股定理有：2220010(33)(2x x ++=， 整理，得 2002036130x x ++=． 解得 00113210x x =-=-或． ∴13(,)22P -或139(,)1010P --．…………………………………… 7分20.已知二次函数的图象经过点（0，-3），且顶点坐标为（-1，-4）． （1）求该二次函数的解析式；（2）设该二次函数的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，求△ABC 的面积． 考点：待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x 轴的交点；三角形的面积． 专题：计算题．解答：解：（1）设y=a（x+1）2-4，把点（0，-3）代入得：a=1，21.如图，正方形ABCD的边长为2 cm，E、F、G、H分别从A、B、C、D向B、C、D、A同时以0．5 cm/s的速度移动，设运动时间为t(s)．（1）求证：△HAE≌△EBF；（2）设四边形EFGH的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围;（3）t为何值时，S最小，是多少？（1）证明：∵AH=2－0.5t=BE,AE=0.5t=BF,∠A=∠B,∴△HAE≌△EBF.（2）解：依题意得DH=AE=0.5t，则AH=2－0.5t，Rt△AEH中，HE2=AH2+AE2，又由（1）△HAE≌△EBF，可得∠DHG+∠AHE=90°，∴四边形HEFG 是正方形.∴S=HE 2=AH 2+AE 2=(0.5t)2+(2－0.5t)2=21t 2－2t+4(0≤t≤4). （3）解：当t=2时S 最小，S 最小=2.22.如图26－3－2－3，在矩形OABC 中，OA=8，OC=4，OA 、OC 分别在x ，y 轴上，点O 在OA 上，且CD=AD,图26－3－2－3(1)求直线CD 的解析式；(2)求经过B 、C 、D 三点的抛物线的解析式；(3)在上述抛物线上位于x 轴下方的图象上，是否存在一点P ，使ΔPBC 的面积等于矩形的面积?若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 解：(1)设OD=x,则CD=AD=8－x ．∴(8－x)2－x 2=16．∴x=3，D 的坐标是(3，0). 又点C 的坐标是(0,4)，设直线CD 的解析式为y=kx+b, 于是有⎩⎨⎧=+=,03,4b k b ∴y=34-x+4．(2)由题意得B 、C 、D 三点坐标分别为(8，4)、(0,4)、(3，0)，设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=++==++.039,4,4864c b a c c b a 于是可得抛物线解析式为y=154x 2－1532x+4．(3)在抛物线上不存在一点P ，使△PBC 的面积等于矩形ABCD 的面积． 理由是：由抛物线的对称性可知，以抛物线顶点为P 的△PBC 面积为最大． 由y=154x 2－1532x+4=154(x －4)2－154可知，顶点坐标为(4，－154)． 则△PBC 的高为4+|－154|=1564． ∴△PBC 的面积为21×8×1564=15255小于矩形ABCD 的面积为4×8=32．故在x 轴下方且在抛物线上不存在一点P ，使△PBC 的面积等于矩形ABCD 的面积． 23..已知某型汽车在干燥的路面上, 汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.(1)请你以汽车刹车时的车速V 为自变量,刹车距离s 为函数, 在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象;(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么?(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式;(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.解答:(1)函数的图象如答图所示.(2)图象可看成是一条抛物线这个函数可看作二次函数. (3)设所求函数关系式为:s=av 2+bv+c,把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av 2+bv+c,得222484822.5646436969672a b c a b c a b c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩, 解得35123160a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩. ∴23351216s v v =+(4)当v=80时,223333808052.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=52.5, ∴23351216s v v =+ 当v=112时,22333311211294.55121651216v v +=⨯+⨯= ∵s=94.5,∴23351216s v v =+ 经检验,所得结论是正确的.24.用一根6 m 长的铝合金材料，做成一个矩形窗框，问长和宽各为多少时，才能使通过的光线最多？解：设矩形窗框的宽为x ，则长为（3－x ），矩形窗框的面积是 S=x （3－x ）=－（x －1.5）2+2.25，所以当x=1.5时，矩形窗框的面积最大，即当长和宽都为1.5时，才能使通过的光线最多．25..如图26－3－2－4，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米，点P 从O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间（0≤t≤6），那么 （1）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；（2）当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折得到△PCQ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由.图26－3－2－4解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意得BQ=1×t=t,OP=1×t=t， ∴OQ=6－t ， ∴y=21×OP×OQ=21×t(6－t)=－21t 2+3t(0≤t≤6). (2)∵y=－21t 2+3t ，∴当 y 有最大值时,t=3．∴OQ=3,OP=3,即△POQ 是等腰直角三角形． 把△POQ 沿PQ 翻折后，可得到四边形OPCQ 是正方形．∴点C 的坐标是（3，3）． ∵A（12，0），B （0，6）， ∴直线AB 的解析式为y=－21x+6，当x=3时，y=29≠3， ∴点C 不落在直线AB 上．26.已知△ABC 的面积为2 400 cm 2，底边BC 长为80 cm ，如图26－3－2－5．若点D 在BC 边上，E 在AC 边上，F 在AB 边上，且四边形BDEF 为平行四边形，设BD=x cm ，SBDEF=y cm 2．求：（1）y 与x 的函数关系式； （2）自变量x 的取值范围；（3）当x 为何值时，y 有最大值，最大值为多少？图26－3－2－5解：（1）过A 作AH⊥BC 于点H ，S △ABC =2 400 cm 2，BC=80 cm ， ∴21×80×AH=2 400． ∴AH=60(cm)． 设BDEF 的BD 边上的高为h ，则（60－h ）∶60=x∶80，∴h=60－43x ． ∴y=x·h=x（60－43x）=432x -+60x.（2）0<x<80(cm)． （3）y=－43x 2+60x=43-（x 2－80x+1 600－1 600）=43-（x －40）2+1 200． ∵a=43-<0， ∴y 的有最大值．当x=40时，y 有最大值，y 的最大值为1 200 cm 2．27.在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40米的栅栏围成（如图26－3－2－6所示）．若设花园BC 的边长为x 米，花园的面积为y 米2. (1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（2）满足条件的花园面积能达到200米2吗？如果能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由.（3）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？图26－3－2－6解：(1)根据题意，得y=x212)40(-=-x x 2+20x(0＜x≤15). (2)当y=200时x=20,而x 的取值范围是0＜x≤15，所以此时花园的面积不能达到200米.（3）y=21-x 2+20x 图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=20，在0＜x≤15范围内y 随x 的增大而增大，所以当x=15时y 有最大值，y 最大=187.5（米2).28. 某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙足够长)，另外的部分用30米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形(如下左图)；②围成一个半圆形(如下右图)．设矩形的面积为S 1平方米，宽为x 米，半圆形的面积为S 2平方米，半径为r 米，请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案(π≈3)．解：S 1＝x(30－2x) ＝－2x 2＋30x ＝－2(x －)2＋当x ＝米时，S 1取最大值平方米由30＝πr 得r ＝10米 S 2＝πr 2＝×3×100＝150平方米 ∵＜150∴S 1＜S 2 ∴应选择方案②215222521522252121222529. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A(x 0，0)和点B(2，0)，与y 轴的正半轴交于点C ，其对称轴是直线x ＝－1，OC=2OA ，点A 关于y 轴的对称点为点D ． (1)确定A 、C 、D 三点的坐标；(2)求过B 、C 、D 三点的抛物线的解析式；(3)若过点(0，3)且平行于x 轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M 、N 两点，以MN 为一边，抛物线上任意一点P(x ，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S ，写出S 关于P 点纵坐标y 的函数解析式．(4)当＜x ＜4时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．解：(1)∵点A 与点B 关于直线x ＝－1对称，点B 的坐标是(2，0)∴点A 的坐标是(－4，0)由tan ∠BAC ＝2可得OC ＝8 ∴C(0，8)∵点A 关于y 轴的对称点为D ∴点D 的坐标是(4，0)(2)设过三点的抛物线解析式为y ＝a(x －2)(x －4) 代入点C(0，8)，解得a ＝1 ∴抛物线的解析式是y ＝x 2－6x ＋8(3)∵抛物线y ＝x 2－6x ＋8与过点(0，3)平行于x 轴的直线相交于M 点和N 点 ∴M(1，3)，N(5，3)，＝4 而抛物线的顶点为(3，－1)当y ＞3时 S ＝4(y －3)＝4y －12 当－1≤y ＜3时 S ＝4(3－y)＝－4y ＋12 (4)以MN 为一边，P(x ，y)为顶点，且当＜x ＜4的平行四边形面积最大，只要点P 到MN 的距离h 最大 ∴当x ＝3，y ＝－1时，h ＝4 S ＝•h ＝4×4＝16 ∴满足条件的平行四边形面积有最大值16．30.过点（4，3）的二次函数的顶点坐标是（2，-1），M 、N 是抛物线与x 轴的交点． （1）求二次函数的解析式；（2）直线y=x+3与二次函数交于A 、B 两点，P 是二次函数上任意一点，是否能够在对21MN 21MN称轴上找到一点K，使得四边形KAPB为平行四边形？如果存在，求出点K的坐标；如果解答：解：（1）∵抛物线顶点坐标（2，-1），∴设抛物线解析式为y=a（x-2）2-1（a≠0），∵抛物线经过点（4，3），∴a（4-2）2-1=3，解得a=1，所以，该抛物线解析式为y=（x-2）2-1或y=x2-4x+3；（2）能够在对称轴上找到一点K，使得四边形KAPB为平行四边．理由如下：根据题意，得y＝x+3y＝x2−4x+3解得，x=0,y=3 或 x=5,y=8则点A（0，3），B（5，8）．假设四边形KAPB为平行四边形．则AK∥BP，AK=BP，。
