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实验二 时域采样及离散时间系统一、实验目的1.理解时域采样的概念及方法。
2.掌握计算线性时不变系统的冲激响应的方法。
3.掌握离散时间信号的z 变换和z 反变换分析4.了解用用矩阵－向量乘法求序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)5.了解有限长序列的离散傅里叶变换（DFT ）二、实验原理（一）信号采样采样就是利用周期性采样脉冲序列p T (t),从连续信号x a (t)中抽取一系列的离散值，得到采样信号即离散时间信号。
（二）线性时不变离散时间系统的冲激响应离散系统对单位脉冲序列()n δ的响应称为冲激响应，用h(n)表示。
线性时不变离散系统对输入信号x(n)的响应y(n)可用h(n)来表示：∑∞-∞=-=k k n x k h n y )()()(。
（三）z 变换和逆z 变换序列()n x 的z 变换定义为：()()∑∞-∞=-=n n z n x z X ，其中，z 是复变量。
相应地，单边z 变换定义为：()()∑∞=-=0n n zn x z XMATLAB 提供了计算离散时间信号单边z 变换的函数ztrans 和z 反变换函数iztrans ： Z=ztrans(x)，x=iztrans(z)。
上式中的x 和Z 分别为时域表达式和z 域表达式的符号表示，可通过sym 函数来定义。
（四）序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)1.序列x(n)的离散时间傅里叶变换定义为：()()j j n n X e x n e ωω∞-=-∞=∑)(ωj e X 是变量ω的连续函数。
)(ωj e X 并可写为实部和虚部相加的形式：)()()(ωωωj im j re j e jX e X e X +=)(ωj e X 也可以表示为：)(|)(|)(ωθωωj j j e e X e X =。
其中，)}(arg{)(ωωθj e X =。
|)(|ωj e X 称为幅度函数，)(ωθ称为相位函数，又分别称为幅度谱和相位谱，都是ω的实函数。
信号、系统与信号处理实验报告实验一、离散时间系统的时域特性分析姓名:学号:班级：专业：一．实验目的线性时不变（LTI）离散时间系统在时域中可以通过常系数线性差分方程来描述，冲激响应列可以刻画时域特性。
本次实验通过使用MATLAB函数研究离散时间系统的时域特性，以加深对离散时间系统的差分方程、冲激响应和系统的线性和时不变性的理解。
二．基本原理一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
离散时间系统中最重要、最常用的是“线性时不变系统”。
1.线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统，即若某一输入是由N个信号的加权和组成的，则输出就是系统对这几个信号中每一个输入的响应的加权和。
即那么当且仅当系统同时满足和时，系统是线性的。
在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时满足可加性和比例性，而且信号以及任何比例系数都可以是复数。
2.时不变系统系统的运算关系在整个运算过程中不随时间（也即序列的先后）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。
若输入的输出为，则将输入序列移动任意位后，其输出序列除了跟着位移外，数值应该保持不变，即则满足以上关系的系统称为时不变系统。
3.常系数线性差分方程线性时不变离散系统的输入、输出关系可用以下常系数线性差分方程描述：当输入为单位冲激序列时，输出即为系统的单位冲激响应。
当时，是有限长度的，称系统为有限长单位冲激响应（FIR）系统；反之，则称系统为无限长单位冲激响应（IIR）系统。
三．实验内容及实验结果1.实验内容考虑如下差分方程描述的两个离散时间系统：系统1：系统2：输入：（1）编程求上述两个系统的输出，并画出系统的输入与输出波形。
（2）编程求上述两个系统的冲激响应序列，并画出波形。
（3）若系统的初始状态为零，判断系统2是否为时不变的？是否为线性的？2.实验结果（1）编程求上述两个系统的输出和冲激响应序列，并画出系统的输入、输出与冲激响应波形。
clf;n=0:300;x=cos((20*pi*n)/256)+cos((200*pi*n)/256);num1=[0.5 0.27 0.77];den1=[1];num2=[0.45 0.5 0.45];den2=[1 -0.53 0.46];y1=filter(num1,den1,x);y2=filter(num2,den2,x);subplot(3,1,1);stem(n,x);xlabel('时间信号');ylabel('信号幅度');title('输入信号');subplot(3,1,2);stem(y1);xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');title('输出信号');subplot(3,1,3);stem(y2);xlabel('时间序号n ');ylabel('信号幅度');title('冲激响应序列');（2）N=40;num1=[0.5 0.27 0.77];den1=[1];num2=[0.45 0.5 0.45];den2=[1 -0.53 0.46];y1=impz(num1,den1,N);y2=impz(num2,den2,N);subplot(2,1,1);stem(y1);xlabel('时间信号n ');ylabel('信号幅度');title('³冲激响应');subplot(2,1,2);stem(y2);xlabel('时间信号n ');ylabel('信号幅度');title('³冲激响应');1.应用叠加原理验证系统2是否为线性系统：clear allclcn = 0 : 1 : 299;x1 = cos(20 * pi * n / 256);x2 = cos(200 * pi * n / 256);x = x1 + x2;num = [0.45 0.5 0.45];den = [1 -0.53 0.46];y1 = filter(num, den, x1);y2 = filter(num, den, x2);y= filter(num, den, x);yt = y1 + y2;figuresubplot(2, 1, 1);stem(n, y, 'g');xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');axis([0 100 -2 2]);grid;subplot(2, 1, 2);stem(n, yt, 'r');xlabel('时间信号n');ylabel('信号幅度');axis([0 100 -2 2]);grid;2.应用时延差值来判断系统2是否为时不变系统。
离散时间信号与系统的时域分析实验报告报告⼆：⼀、设计题⽬1．绘制信号)()(1k k f δ=和)2()(2-=k k f δ的波形2.绘制直流信号)()(1k k f ε=和)2(2-=k f ε的波形3绘制信号)()(6k G k f =的波形⼆实验⽬的1．掌握⽤MATLAB 绘制离散时间信号（序列）波形图的基本原理。
2．掌握⽤MATLAB 绘制典型的离散时间信号（序列）。
3．通过对离散信号波形的绘制与观察，加深理解离散信号的基本特性。
三、设计原理离散时间信号(也称为离放序列)是指在时间上的取值是离散的，只在⼀些离放的瞬间才有定义的,⽽在其他时间没有定义，简称离放信号(也称为离散序列) 序列的离散时间间隔是等间隔(均匀)的，取时间间隔为T.以f(kT)表⽰该离散序列,k 为整数(k=0,±1.±2，...)。
为了简便，取T=1.则f(kT)简记为f(k)， k 表⽰各函数值在序列中出现的序号。
序列f(k)的数学表达式可以写成闭合形式,也可逐⼀列出f(k)的值。
通常,把对应某序号K0的序列值称为序列的第K0个样点的“样点值”。
四、设计的过程及仿真1clear all; close all; clc;k1=-4;k2=4;k=k1:k2;n1=0;n2=2;f1=[(k-n1)==0];f2=[(k-n2)==0];subplot(1,2,1)stem(k,f1,'fill','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f_1(k)');title('δ(k)')axis([k1,k2,-0.1,1.1]);subplot(1,2,2)stem(k,f2,'filled','-k','linewidth',2);ylabel('f_2(k)');title('δ(k-2)')axis([k1,k2,-0.1,1.1]);程序运⾏后，仿真绘制的结果如图所⽰:2c lear all; close all; clc;k1=-2;k2=8;k=k1:k2;n1=0;n2=2; %阶跃序列开始出现的位置f1=[(k-n1)>=0]; f2=[(k-n2)>=0];subplot(1,2,1)stem(k,f1,'fill','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f_1(k)');title('ε(k)')axis([k1,k2+0.2,-0.1,1.1])subplot(1,2,2)stem(k,f2,'filled','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f_2(k)');title('ε(k-2)')axis([k1,k2+0.2,-0.1,1.1]);程序运⾏后，仿真绘制的结果如图所⽰:3clear all; close all; clc;k1=-2;k2=7;k=k1:k2; %建⽴时间序列n1=0;n2=6; f1=[(k-n1)>=0];f2=[(k-n2)>=0];f=f1-f2;stem(k,f,'fill','-k','linewidth',2);xlabel('k');ylabel('f(k)');title('G_6(k)')axis([k1,k2,-0.1,1.1]);程序运⾏后，仿真绘制的结果如图所⽰:五、设计的结论及收获实现了⽤matlab绘制离散时间信号, 通过对离散信号波形的绘制与观察，加深理解离散信号的基本特性。
实验报告实验二 信号、系统及系统响应，离散系统的时域分析一、实验目的（1） 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变换关系，加深对时域采样定理的理解；（2） 熟悉时域离散系统的时域特性； （3） 利用卷积方法观察分析系统的时域特性；（4） 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对连续信号、离散信号及系统响应进行频域分析。
（5） 熟悉并掌握离散系统的差分方程表示法； （6） 加深对冲激响应和卷积分析方法的理解。
二、实验原理与方法1、信号、系统及系统响应采样是连续信号数字处理的第一个关键环节。
对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性发生的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对傅里叶变换、Z 变换和序列傅里叶变换之间关系式的理解。
我们知道，对一个连续信号xa(t)进行理想采样的过程可用(2-1)表示。
^()()()(21)a a x t x t p t =-其中^()a x t 为()a x t 的理想采样，()p t 为周期冲激脉冲，即()()(22)n p t t nT δ∞=-∞=--∑^()a x t 的傅里叶变换^()a X j Ω为^1()[()](23)a a s m X j X j m T ∞=-∞Ω=Ω-Ω-∑（2-3）式表明^()a X j Ω为()a X j Ω的周期延拓，其延拓周期为采样角频率(2/)s T πΩ=。
其采样前后信号的频谱只有满足采样定理时，才不会发生频率混叠失真。
将（2-2）带入（2-1）式并进行傅里叶变换：^()[()()]j t a a n X j x t t nT e dtδ∞∞-Ω-∞=-∞Ω=-∑⎰[()()]j t a n x t t nT e dtδ∞∞-Ω-∞=-∞=-∑⎰()(24)j nTan x nT e∞-Ω=-∞=-∑式中()a x nT 就是采样后得到的序列()x n ，即()()a x n x nT =()x n 的傅里叶变换()j X e ω为()()(25)j j nn X e x n eωω∞-=-∞=-∑比较(2-5)和(2-4)可知在数字计算机上观察分析各种序列的频域特性， 通常对X(ej ω)在［0, 2π］上进行M 点采样来观察分析。
数字信号处理实验指导书山东大学控制学院生物医学工程专业刘忠国2012-2-10数字信号处理实验目录实验一离散时间信号与系统分析 (3)实验二离散时间信号与系统的Z变换分析 (7)实验三IIR滤波器的设计与信号滤波 (13)实验四用窗函数法设计FIR数字滤波器 (15)实验五用FFT作谱分析 (17)实验六综合实验 (19)附录：各实验参考程序 (20)实验一 离散时间信号与系统分析一、实验目的1．掌握离散时间信号与系统的时域分析方法。
2．掌握序列傅氏变换的计算机实现方法，利用序列的傅氏变换对离散信号、系统及系统响应进行频域分析。
3．熟悉理想采样的性质，了解信号采样前后的频谱变化，加深对采样定理的理解。
二、实验原理1．离散时间系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。
若以][⋅T 来表示这种运算，则一个离散时间系统可由下图来表示：图 离散时间系统输出与输入之间关系用下式表示)]([)(n x T n y =离散时间系统中最重要、最常用的是线性时不变系统。
2．离散时间系统的单位脉冲响应设系统输入)()(n n x δ=，系统输出)(n y 的初始状态为零，这是系统输出用)(n h 表示，即)]([)(n T n h δ=，则称)(n h 为系统的单位脉冲响应。
可得到：)()()()()(n h n x m n h m x n y m *=-=∑∞-∞= 该式说明线性时不变系统的响应等于输入序列与单位脉冲序列的卷积。
3．连续时间信号的采样采样是从连续信号到离散时间信号的过渡桥梁，对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域何频域特性发生的变化以及信号内容不丢失的条件，而且有助于加深对拉氏变换、傅氏变换、Z 变换和序列傅氏变换之间关系的理解。
对一个连续时间信号进行理想采样的过程可以表示为信号与一个周期冲激脉冲的乘积，即：)()()(ˆt t x t xT a a δ=其中，)(ˆt xa 是连续信号)(t x a 的理想采样，)(t T δ是周期冲激脉冲 ∑∞-∞=-=m T mT t t )()(δδ 设模拟信号)(t x a ，冲激函数序列)(t T δ以及抽样信号)(ˆt xa 的傅立叶变换分别为)(Ωj X a 、)(Ωj M 和)(ˆΩj X a，即 )]([)(t x F j X a a =Ω)]([)(t F j M T δ=Ω)](ˆ[)(ˆt x F j X a a=Ω 根据连续时间信号与系统中的频域卷积定理，式（2.59）表示的时域相乘，变换到频域为卷积运算，即)]()([21)(ˆΩ*Ω=Ωj X j M j X a a π其中⎰∞∞-Ω-==Ωdt e t x t x F j X t j a a a )()]([)( 由此可以推导出∑∞-∞=Ω-Ω=Ωk s a a jk j X T j X )(1)(ˆ 由上式可知，信号理想采样后的频谱是原来信号频谱的周期延拓，其延拓周期等于采样频率。
根据香农定理，如果原信号是带限信号，且采样频率高于原信号最高频率的2倍，则采样后的离散序列不会发生频谱混叠现象。
4．有限长序列的分析对于长度为N 的有限长序列，我们只观察、分析在某些频率点上的值。
⎩⎨⎧-≤≤=n N n n x n x 其它010),()(一般只需要在π2~0之间均匀的取M 个频率点，计算这些点上的序列傅立叶变换：∑-=-=10)()(N n jn j k k en x e X ωω其中，M k k /2πω=，1,,1,0-=M k ΛΛ。
)(ωj e X 是一个复函数，它的模就是幅频特性曲线。
三、主要实验仪器及材料微型计算机、Matlab 软件。
四、实验内容1．知识准备认真复习离散信号与系统、单位脉冲响应、抽样定理等有关内容，阅读本实验原理与方法。
2．编制信号产生子程序，用于产生实验中要用到的信号序列，并分析幅频响应（1）单位脉冲序列单位脉冲序列⎩⎨⎧≠===0,00,1)()(n n n n x b δ （2）系统单位脉冲响应序列)3()2(5.2)1(5.2)()(-+-+-+=n n n n n h b δδδδ（3）理想采样信号序列对信号)()cos()(t u t Ae t x t a Ω=-α进行理想采样，可以得到一个理想的采样信号序列)()cos()(n u nT Ae nT x nT Ω=-α，1000≤≤n 。
其中A 为幅度因子，α是衰减因子，Ω是频率，T 为采样周期。
这几个参数要在实验过程中输入，以产生不同的)(n x 。
首先产生理想采样信号序列a x (n)，使A ＝444.128, a =50π2,Ω=50π2。
然后改变参数A ＝1，a =0.4,Ω=2.0734，产生理想采样信号序列a x (n)。
3．离散信号、系统和系统响应的分析观察信号x b (n )和系统h b (n )的时域和频域特性；利用线性卷积求信号通过系统以后的响应。
比较系统响应和信号的时域和幅频特性。
绘出图形。
4．分析理想采样信号序列的特性产生理想采样信号序列，使：（1）首先选用采样频率为1000Hz ，T=1/1000，观察所得理想采样信号的幅频特性，在折叠频率以内和给定的理想幅频特性无明显差异，并作记录。
（2）改变采样频率为300Hz ，T=1/300，观察所得理想采样信号的幅频特性曲线的变化，并作记录。
（3）进一步减小采样频率为200Hz ，T=1/200，观察频谱混叠现象是否明显存在，说明原因，并记录此时的幅频特性曲线。
5. 卷积定律的验证。
采用参数A ＝444.128, a =50π2,Ω=50π2， T=1/1000，将)(n x a 和系统)(n h b 的傅氏变换相乘，直接求得)(k j e Y ω，将得到的幅频特性曲线和先求)(n y 后再求得的幅频特性曲线进行比较，观察二者有无差异。
验证卷积定律。
五、思考题1．线性时不变系统的输出的长度与输入及系统的单位冲激响应的长度有什么关系？2. 对信号进行理想抽样时，抽样频率不同，相应理想采样序列傅立叶变换频谱的数字频率度量是否都相同7它们所对应的模拟频率是否相同?为什么？六、实验报告要求1．简述实验原理及目的。
2. 总结在上机实验内容中要求比较时域、幅频曲线差异部分内容的结果，定性分析它们正确与否，并简要说明这些结果的含义。
3.总结实验所得主要结论。
4.简要回答思考题。
实验二 离散时间信号与系统的Z 变换分析一、 实验目的1、熟悉离散信号Z 变换的原理及性质2、熟悉常见信号的Z 变换3、了解正/反Z 变换的MATLAB 实现方法4、了解离散信号的Z 变换与其对应的理想抽样信号的傅氏变换和拉氏变换之间的关系5、了解利用MATLAB 实现离散系统的频率特性分析的方法二、 实验原理1、正/反Z 变换Z 变换分析法是分析离散时间信号与系统的重要手段。
如果以时间间隔s T 对连续时间信号f (t)进行理想抽样，那么，所得的理想抽样信号()f t δ为：()()*()()*()Ts s k f t f t t f t t kT δδδ∞=-∞==-∑理想抽样信号()f t δ的双边拉普拉斯变换F δ (s)为：()()*()()s ksT st s s k k F s f t t kT e dt f kT e δδ∞∞∞---∞=-∞=-∞⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦∑∑⎰ 若令()()s f kT f k = ，s sT z e = ， 那么()f t δ的双边拉普拉斯变换F δ (s)为：()()()sT s k z e k F s f k z F z δ∞-==-∞==∑则离散信号f (k )的Z 变换定义为：()()k k F z f k z ∞-=-∞=∑从上面关于Z 变换的推导过程中可知，离散信号f (k )的Z 变换F(z)与其对应的理想抽样信号()f t δ的拉氏变换F δ (s)之间存在以下关系：()()sT s z e F s F z δ==同理，可以推出离散信号f (k )的Z 变换F(z)和它对应的理想抽样信号()f t δ的傅里叶变换之间的关系为 ()()j Ts z e F j F z δωΩ==如果已知信号的Z 变换F(z)，要求出所对应的原离散序列f (k )，就需要进行反Z 变换，反Z 变换的定义为： 11()()2k f k F z z dz jπ-=⎰Ñ 其中，C 为包围1()k F z z -的所有极点的闭合积分路线。
在MATLAB 语言中有专门对信号进行正反Z 变换的函数ztrans( ) 和itrans( )。
其调用格式分别如下：● F=ztrans( f ) 对f(n)进行Z 变换，其结果为F(z)● F=ztrans(f,v) 对f(n)进行Z 变换，其结果为F(v)● F=ztrans(f,u,v) 对f(u)进行Z 变换，其结果为F(v)● f=itrans ( F ) 对F(z)进行Z 反变换，其结果为f(n)● f=itrans(F,u) 对F(z)进行Z 反变换，其结果为f(u)● f=itrans(F,v,u ) 对F(v)进行Z 反变换，其结果为f(u)注意： 在调用函数ztran( )及iztran( )之前，要用syms 命令对所有需要用到的变量（如t,u,v,w ）等进行说明，即要将这些变量说明成符号变量。
例①．用MATLAB 求出离散序列[](0.5)[]k f k u k = 的Z 变换MATLAB 程序如下：syms k zf=0.5^k; %定义离散信号Fz=ztrans(f) %对离散信号进行Z 变换运行结果如下：Fz =2*z/(2*z-1)例②．已知一离散信号的Z 变换式为2()21z F z z =- ，求出它所对应的离散信号f (k) MATLAB 程序如下：syms k zFz=2* z/(2*z-1); %定义Z 变换表达式fk=iztrans(Fz,k) %求反Z 变换运行结果如下：fk =(1/2)^k例③：求序列[][1][4]f k u k u k =---的Z 变换.clc;clear allsyms nhn=sym('kroneckerDelta(n, 1) + kroneckerDelta(n, 2)+ kroneckerDelta(n,3)')Hz=ztrans(hn)Hz=simplify(Hz) 2、离散系统的频率特性同连续系统的系统函数H (s)类似，离散系统的系统函数H (z )也反映了系统本身固有的特性。
对于离散系统来说，如果把其系统函数H (z )中的复变量z 换成s j T j e e ωΩ=（其中s T ω=Ω），那么所得的函数()j H e ω就是此离散系统的频率响应特性，即离散时间系统的频率响应为：()()()()j j j j z e H e H e e H z ωωωϕω===g其中， ()j H e ω称为离散系统的幅频特性，()ϕω称为系统的相频特性。
