广东省广州市海珠区2017-2018学年高三上学期调研测试(一)数学文试题 Word版含答案

x 二项式定理1.【来源】浙江省 2017 届高三“超级全能生”3 月联考数学试题 在二项式(2x - 1)6的展开式中，常数项是（ C ）xA ．-240B ．240C ．-160D ．160答案及解析：2.【来源】安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题在(1+x )6(1－2x )展开式中，含 x 5 的项的系数是( D ) A. 36B. 24C. －36D. －243.【来源】新疆维吾尔自治区 2018 届高三第二次适应性（模拟）检测数学（理）试题若⎛ 2 1 ⎫n- x ⎪ 展开式中含 x 项的系数为-80，则 n 等于（ A ）⎝ ⎭A ．5B ．6 C.7 D ．84.【来源】浙江省金丽衢十二校联考 2017 届高考二模数学试题在（1+x 3）（1﹣x ）8 的展开式中，x 5 的系数是（ A ） A ．﹣28B ．﹣84C ．28D ．84答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：由（1+x 3）展开可知含有 x 3 与（1﹣x ）8 展开的 x 2 可得 x 5 的系数； 由（1+x 3）展开可知常数项与（1﹣x ）8 展开的 x 5，同样可得 x 5 的系数； ∴含 x 5 的项+=28x 5﹣56x 5=﹣28x 5；∴x 5 的系数为﹣28， 故选 A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，求展开式的系数把含有 x 5 的项找到．从而可以利用通项求解．属于中档题5.【来源】北京东城景山学校 2016-2017 学年高二下学期期中考试数学（理）试题设(3x -1)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 ，则 a + a + a + a的值为（ A ）．12341234A ．15B ．16C ．1D ．－15答案及解析： 在(3x -1)4= a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4 中，令 x = 0 ，可得 a = 1 ，1234再令 x = 1可得 a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 16 ， 所以 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 15 ．n 7 7 7 故选 A ．6.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题在(x + y )n的展开式中，若第七项系数最大，则 n 的值可能等于（ D ）．A ．13，14B ．14，15C ．12，13D ．11，12，13答案及解析：(x + y )n 的展开式第七项系数为 C 6 ，且最大，可知此为展开式中间项，当展开式为奇数项时： n= 6 ， n = 12 ，2当有偶数项时 n + 1= 6 ， n = 11， 2 或 n + 1 = 7 ， n = 13 ，2故 n = 11，12 ，13 ． 选 D ．7.【来源】广东省广州市海珠区 2018 届高三综合测试（一）数学（理）试题(x + y )(2x - y )6 的展开式中 x 4 y 3 的系数为（ D ）A ．－80B ．－40C. 40D ．808.【来源】广东省潮州市 2017 届高三数学二模试卷数学（理）试题 在（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ） A ．71 B ．70 C ．21 D ．49答案及解析：【分析】先将问题转化为二项式（1﹣2x ）7 的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数分别等于 1，2 求出特定项的系数【解答】解：（1﹣2x ）7（1+x ）的展开式中 x 2 的系数等于（1﹣2x ）7 展开式的 x 的系数+（1﹣2x ）7 展开式的 x 2 的系数，（x+1）7 展开式的通项为 T r+1=（﹣2）r C r x r ，故展开式中 x 2 的系数是（﹣2）2C 2+（﹣2）•C 1=84﹣14=60，故选：B ．9.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第四次联考数学试题 在二项式(x 2- 1)5 的展开式中，含 x 7的项的系数是（ C ）xA ． -10B. 10C. -5D. 510.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题 已知(1 + x )n的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为( D ) A ．212B ．211C.210D ．2911.【来源】上海市浦东新区 2018 届高三上学期期中考试数学试卷展开式中的常数项为（ C ）x -A.-1320B.1320C.-220D.22012.【来源】浙江省绍兴一中2017 届高三上学期期末数学试题在（x﹣y）10 的展开式中，系数最小的项是（C ）A．第4 项B．第5 项C．第6 项D．第7 项答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项．【解答】解：展开式共有11 项，奇数项为正，偶数项为负，且第6 项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项第 6项．故选C．13.【来源】浙江省金华十校联考2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n中，若2a2+a n﹣5=0，则自然数n的值是（B）A．7 B．8 C．9 D．10答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项展开式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r可得a r=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，由此可解得自然数n 的值．【解答】解：由题意得，该二项展开式的通项公式•（﹣1）r x r，∴该项的系数，∵2a2+a n﹣5=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣5=0，即+（﹣1）n﹣5•=0，∴n﹣5 为奇数，∴2==，∴2×=，∴（n﹣2）（n﹣3）（n﹣4）=120．∴n=8．故答案为：8．14.【来源】浙江省重点中学2019 届高三上学期期末热身联考数学试题⎛ 2 ⎫5 1⎪1展开式中，x2的系数是( B )⎝⎭A、80B、－80C、40D、－4015.【来源】山东省德州市2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题a 2 4如果x + x - 的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是( C ) x xA．8 B．－8 C.16 D．－1616.【来源】云南省昆明市第一中学2018 届高三第八次月考数学（理）试题x x2 ⎪ ⎛1- 1 ⎫ (1+ x )6x 3⎝ ⎭ 展开式中 x 的系数为（B ）A ．－14B ．14C. 15D ．3017.【来源】安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12 联盟）2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题在二项式(x - 1)n 的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大，则展开式中含有 x 2项的系数是（ C ）xA ．35B ．－35C ．－56D ．56答案及解析：第五项的二项式系数最大，则，通项，令，故系数.18.【来源】辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校 2016-2017 学年高二下学期期末联考数学（理）试题 在( - 2)n 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64，则展开式中常数项为（ A ）xA ．60B ．45C ． 30D ．1519.【来源】湖北省武汉市 2018 届高三四月调研测试数学理试题 在(x + 1-1)6 的展开式中，含 x 5项的系数为（ B ）xA ．6B ．－6C ．24D ．－24答案及解析：的展开式的通项 ．的展开式的通项=． 由 6﹣r ﹣2s=5，得 r+2s=1，∵r ，s ∈N ，∴r=1，s=0． ∴的展开式中，含 x 5 项的系数为 ． 故选：B ．20.【来源】辽宁省抚顺市 2018 届高三 3 月高考模拟考试数学（理）试题在(2 -1)6 的展开式中，含 1项的系数为( C )xA. －60B. 160C. 60D. 6421.【来源】2018 年高考真题——数学理（全国卷Ⅲ）(x 2+ 2)5 的展开式中 x 4 的系数为( C )xA ．10B ．20C ．40D ．80答案及解析：由题可得 令 ,则所以x2× 4x9 n故选 C.22.【来源】浙江省金华市十校联考 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷在（x 2﹣4）5 的展开式中，含 x 6 的项的系数为（ D ） A ．20 B ．40 C ．80 D ．160答案及解析：【分析】=（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2，由此能求出含 x 6 的项的系数．【解答】解：∵（x 2﹣4）5， ∴T r+1==（﹣4）r，令 10﹣2r=6，解得 r=2， ∴含 x 6 的项的系数为=160． 故选：D ．23.【来源】浙江省诸暨市牌头中学 2018 届高三 1 月月考数学试题 在⎛x 2 - ⎝2 ⎫6的展开式中，常数项为（ D ）⎪⎭ A ．-240 B ．-60 C ．60 D ．24024.【来源】浙江省湖州市 2017 届高三上学期期末数学试题在（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 的展开式中，含 x 3 的项的系数是（ D ） A ．121 B ．﹣74C ．74D ．﹣121答案及解析：【考点】二项式定理的应用．【分析】利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x 4 的项的系数，即是代数式的含 x 3 的项的系数．【解答】解：（1﹣x ）5+（1﹣x ）6+（1﹣x ）7+（1﹣x ）8 ==，（1﹣x ）5 中 x 4 的系数 ，﹣（1﹣x ）9 中 x 4 的系数为﹣C 4=﹣126，﹣126+5=﹣121． 故选：D25.【来源】甘肃省兰州市第一中学 2018 届高三上学期期中考试数学（理）试题在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中，x 3 的系数是（ A ） A ．0B ．10C ．－10D ．20答案及解析：(x +1)4 的展开式的通项, 因此在(x 2-1)(x +1)4 的展开式中,x 3 的系数是26.【来源】山西重点中学协作体 2017 届高三暑期联考数学（理）试题在二项式 + 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互 x xx 1 ⎝ ⎭不相邻的概率为( D ) A ． 16B ． 14C. 1 3D ． 51227.【来源】湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试数学（理）试题已知C 0- 4C 1+ 42C 2- 43C 3+ + (-1)n 4nC n= 729 ，则C 1+ C 2+ + C n的值等于（ C ）nnnnnA ．64B ．32 C.63 D ．31答案及解析：nnn因为 ，所因，选 C. 28.【来源】辽宁省重点高中协作校 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题若òn(2x -1)dx = 6 ，则二项式(1 - 2x )n的展开式各项系数和为( A ) A ．－1 B ．26 C ．1 D ． 2n29.【来源】浙江省金华十校 2017 届高三数学模拟试卷（4 月份）数学试题若(x －1)8=1+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8，则 a 5=（ B ） A ．56B ．﹣56C ．35D ．﹣35答案及解析：利用通项公式即可得出． 解：通项公式 T r+1=（﹣1）8﹣r x r ，令 r=5，则（﹣1）3=﹣56．故选：B ．30.【来源】广东省茂名市五大联盟学校 2018 届高三 3 月联考数学（理）试题6⎛ 1 ⎫ x 4在( + x ) 1+ y ⎪ 的展开式中， y 2 项的系数为（ C ）A ．200B ．180 C. 150 D ．120答案及解析：展开式的通项公式，令可得：，，展开式的通项公式 ，令可得，据此可得： 项的系数为 .本题选择 C 选项.31.【来源】吉林省长春外国语学校 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题 (2－x )(1+2x )5 展开式中，含 x 2 项的系数为（ B ）x x 0 1 2 2017 3n nx A ． 30 B ． 70 C ．90 D ．－15032.【来源】浙江省新高考研究联盟 2017 届第三次联考数学试题若(1 + x )3 + (1 + x )4 + (1 + x )5 + + (1 + x )2017 = a + a x + a x 2 + + a x 2017 ，则 a 的值为（ D ）3 2017 32018 420174201833.【来源】广东省肇庆市 2017 届高考二模数学（理）试题若（x 6+ 1 ）n的展开式中含有常数项，则 n 的最小值等于（ C ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案及解析：【分析】二项式的通项公式 T r+1=C ）r ，对其进行整理，令 x 的指数为 0，建立方程求出 n 的最小值．【解答】解：由题意 ）n 的展开式的项为）r =C n r=C r令r=0，得 r ，当 r=4 时，n 取到最小值 5故选：C ．【点评】本题考查二项式的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的项，且能根据指数的形式及题设中有常数的条 件转化成指数为 0，得到 n 的表达式，推测出它的值．34.【来源】上海市金山中学 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学试题 设(3x -1)6= a x 6+ a x 5+ + a x + a ，则| a | + | a | + | a | + + | a| 的值为…（ B ）651126(A) 26(B) 46(C) 56(D) 26+ 4635.【来源】浙江省台州市 2016-2017 学年高二下学期期末数学试题x -已知在（ 2 1 ）n的展开式中，第 6 项为常数项，则 n =（ D ）A ．9B ．8C ．7D ．6答案及解析：【考点】二项式系数的性质． 【分析】利用通项公式即可得出． 【解答】解：∵第 6 项为常数项，由 =﹣ •x n ﹣6，可得 n ﹣6=0．解得 n=6． 故选：D ．36.【来源】山东省潍坊寿光市 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（理）试题⎛ 1 ⎫6+ 2x ⎪ ⎝ ⎭的展开式中常数项为（ B ） A ．120B ．160C. 200D ．24037.【来源】北京西城八中少年班 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 (2x + 3)4 = a + a x + a x 2 + a x 3 + a x 4(a + a + a )2 - (a + a )2若0 1 2 3 4，则 0 2 41 3 的值为（ A ）． 5 x A ． C B ． C C ． C D ． Cx x A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2答案及解析：令 x = 1， a + a + + a = (2 + 3)4 ，1 4令 x = -1， a - a + a - a + a= (-2 + 3)4 ，1234而 (a + a + a )2 - (a + a )22413= (a 0 + a 2 + a 4 + a 1 + a 3 )(a 0 - a 1 + a 2 - a 3 + a 4 )= (2 + 选 A ．3)4 (-2 + 3)4 = (3 - 4)4 = 1． 38.【来源】云南省曲靖市第一中学 2018 届高三 4 月高考复习质量监测卷（七）数学（理）试题设 i 是虚数单位，a 是(x + i )6的展开式的各项系数和，则 a 的共轭复数 a 的值是（ B ） A ． －8iB ． 8iC ． 8D ．-8答案及解析：由题意，不妨令 ，则，将转化为三角函数形式，，由复数三角形式的乘方法则，，则，故正确答案为 B.39.【来源】福建省三明市 2016-2017 学年高二下学期普通高中期末数学（理）试题 a 2 52x + x - 的展开式中各项系数的和为－1，则该展开式中常数项为( A ) x xA ．－200B ．－120 C.120 D ．20040.【来源】甘肃省天水一中 2018 届高三上学期第四次阶段（期末）数学（理）试题已知（1+ax ）(1+x )5 的展开式中 x 2 的系数为 5，则 a =( D )A.-4B.-3C.-2D.-141.【来源】广东省深圳市宝安区 2018 届高三 9 月调研测数学（理）试题(1 + 1)(1 + x )5 展开式中 x 2 的系数为 ( A )xA ．20B ．15C ．6D ．142.【来源】甘肃省民乐一中、张掖二中 2019 届高三上学期第一次调研考试（12 月）数学（理）试题⎛ a ⎫ ⎛1 ⎫5x + ⎪ 2x - ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ 的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( D )A ．-40B ．-20C ．20D ．4043.【来源】浙江省名校协作体 2018 届高三上学期考试数学试题⎛ 1+ 2⎫(1- x )4 展开式中 x 2 的系数为（ C ） x ⎪ ⎝ ⎭A .16B .12C .8D .444.【来源】山西省太原市 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题已知(x -1)(ax +1)6展开式中 x 2 的系数为 0，则正实数a = （ B ） 22 A ．1B ．C.53D ． 2x 4 5 5 答案及解析：的展开式的通项公式为.令 得 ；令得.展开式 为. 由题意知，解得（舍）.故选 B. 45.【来源】吉林省松原市实验高级中学、长春市第十一高中、东北师范大学附属中学 2016 届高三下学期三校联合模拟考试数学（理）试题(x +1)2 (x - 2)4的展开式中含 x 3 项的系数为( D )A ．16B ．40 C.－40 D ．846.【来源】海南省天一大联考 2018 届高三毕业班阶段性测试（三）数学（理）试题若(2x - 3)2018= a + a x + a x 2 + L + ax 2018 ，则 a + 2a + 3a + L + 2018a= （ D ）122018A ．4036B ．2018C ．-2018D ．-4036123201847.【来源】湖北省天门、仙桃、潜江 2018 届高三上学期期末联考数学（理）试题(1 + x )8 (1 + y )4 的展开式中 x 2y 2 的系数是 ( D )A ．56B ．84C ．112D ．168答案及解析：因的展开式 的系数 ，的展开式 的系数 ，所的系数.故选 D.48.【来源】北京西城八中 2016-2017 学年高一下学期期末考试数学试题 ⎛ x 2 - 在二项式⎝ 1 ⎫5⎪⎭ 的展开式中，含 x 的项的系数是（ C ）． A ．－10B ．－5C ．10D ．5答案及解析：解： ⎛ x 2 - 1 ⎫5⎪ 的展开项T = C k (x 2 )k (-x -1 )5-k = (-1)5-k C k x 3k -5 ，令3k - 5 = 4 ，可得 k = 3， ⎝x ⎭ k +1 5 5∴ (-1)5-k C k = (-1)5-3 C 3= 10 ． 故选 C ．49.【来源】广东省化州市 2019 届高三上学期第二次模拟考生数学（理）试题 已知(x +1)(ax - 1)5的展开式中常数项为－40，则 a 的值为（ C ）xA. 2B. －2C. ±2D. 450.【来源】福建省“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考 2017-2018 学年高二下学期第二次联考试题（5 月）数学（理）试题若(1 - 2 x )n(n ∈ N *) 的展开式中 x 4的系数为 80，则(1 - 2 x )n的展开式中各项系数的绝对值之和为( C ) A ．32B ．81C ．243D ．256。

广东省广州市海珠区等五区2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，，且，则A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴2既是方程的解，又是方程的解令a是方程的另一个根，b是方程的另一个根由韦达定理可得：2×a=6，即a=3，∴2+a=p，∴p=52+b=−6，即b=−8，∴2×b=−16=−q，∴q=16∴p+q=21故选：A2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A，定义域不同，化简后对应法则相同，不是相同函数；对于B，定义域不同，对应法则不同，不是相同函数；对于C，定义域相同，对应法则相同，是相同函数；对于D，定义域不同，化简后对应法则相同，不是相同函数；故选：C3.下列函数中，值域为的偶函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】值域为的偶函数；值域为R的非奇非偶函数；值域为R的奇函数；值域为的偶函数.故选：D4.下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是A. B. C. D.【答案】B【解析】在定义域内是非奇非偶函数，是增函数；在定义域内是奇函数，是增函数；在定义域内是偶函数，不具有单调性；在定义域内是非奇非偶函数，是增函数；故选：B5.设，则的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】函数y=0.6x为减函数；故>，函数y=x0.6在(0,+∞)上为增函数；故<，故b<a<c，故选：A.6.函数的零点所在的一个区间是A. B. C. D.【答案】B【解析】函数是连续函数，且在上单调递增，根据零点附近函数值符号相反，可采用代入排除的方法求解，故错误，则零点定理知有零点在区间上，故正确，故错误，故错误故选B点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数在上单调且，则在上只有一个零点.7.设函数,（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】.故选C.视频8.函数（）的图象的大致形状是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，结合可排除BC选项；当时，，结合可排除A项；本题选择D选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9.直线与圆交点的个数为A. 2个B. 1个C. 0个D. 不确定【答案】A【解析】化为点斜式：，显然直线过定点，且定点在圆内∴直线与圆相交，故选：A10.圆与圆的位置关系是A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】圆的圆心，半径圆的圆心，半径∴∴∴两圆内切故选：D点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．11.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】若l⊥α,α⊥β,则l⊂β或l∥β，故A错误；若l⊥α,α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故B正确；若l∥α,α∥β,则l⊂β或l∥β，故C错误；若l∥α,α⊥β,则l⊥β或l∥β，故D错误；故选：C点睛：点、线、面的位置关系的判断方法（1）平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，也是判断线面关系的基础．对点、线、面的位置关系的判断，常采用穷举法，即对各种关系都进行考虑，要充分发挥模型的直观性作用．（2）利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综合进行推理和判断命题是否正确．12. 某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由三视图还原几何体，原几何体下面是一个圆锥，上面是半球，∴，故选C.考点：三视图.第Ⅱ卷 (非选择题共90分) 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.计算_________.【答案】1【解析】，故答案为：114.经过，两点的直线的倾斜角是__________ .【答案】【解析】经过，两点的直线的斜率是∴经过，两点的直线的倾斜角是故答案为：15.若函数在区间[2,3]上的最大值比最小值大,则__________ .【答案】【解析】函数在上单调递增，∴解得：故答案为：16.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为__________ .【答案】【解析】正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=12π．故答案为：12π．点睛：设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知的三个顶点（1）求边上高所在直线的方程；（2）求的面积．【答案】(1) ；⑵8.【解析】试题分析：（1）设BC边的高所在直线为l，由斜率公式求出K BC，根据垂直关系得到直线l的斜率K l，用点斜式求出直线l的方程，并化为一般式．（2）由点到直线的距离公式求出点A（﹣1，4）到BC的距离d，由两点间的距离公式求出|BC|，代入△ABC的面积公式求出面积S的值．试题解析：(1)设边上高所在直线为，由于直线的斜率所以直线的斜率.又直线经过点，所以直线的方程为，即⑵边所在直线方程为：,即点到直线的距离，又.18.如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；（2）.【答案】⑴见解析；⑵见解析.【解析】试题分析：（1）要证明线面平行，转证线线平行，在△AB1C中，DE为中位线，易得；（2）要证线线垂直，转证线面垂直平面,易证，从而问题得以解决.试题解析：⑴在直三棱柱中，平面，且矩形是正方形，为的中点，又为的中点，，又平面，平面，平面⑵在直三棱柱中，平面,平面,又，平面，平面，，平面，平面，矩形是正方形，，平面，，平面又平面，.点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19.已知函数.（1）根据定义证明：函数在上是增函数；（2）根据定义证明：函数是奇函数.【答案】⑴见解析;⑵见解析.【解析】试题分析：(1)利用单调性定义证明函数的单调性；（2）利用奇偶性定义证明函数奇偶性. 试题解析：⑴设任意的，且，则，，即，又，，即，在上是增函数⑵，,，即所以函数是奇函数.点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性20.如图，在三棱锥中，.（1）画出二面角的平面角，并求它的度数；（2）求三棱锥的体积.【答案】⑴⑵.【解析】试题分析：(1)取中点，连接、,是二面角的平面角,进而求出此角度数即可；(2)利用等积法或割补法求体积.试题解析：⑴取中点，连接、，，，，且平面，平面，是二面角的平面角.在直角三角形中，在直角三角形中，是等边三角形，⑵解法1：，又平面，平面平面，且平面平面在平面内作于，则平面，即是三棱锥的高.在等边中，，三棱锥的体积.解法2：平面在等边中，的面积，三棱锥的体积.21.在平面直角坐标系中，圆经过三点．（1）求圆的方程；（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．【答案】⑴⑵【解析】试题分析：（1）利用圆的几何性质布列方程组得到圆的方程；（2）设出点A，B的坐标，联立直线与圆的方程，消去y，确定关于x的一元二次方程，已知的垂直关系，确定x1x2+y1y2=0，利用韦达定理求得a．试题解析：⑴因为圆的圆心在线段的直平分线上，所以可设圆的圆心为，则有解得则圆C的半径为所以圆C的方程为⑵设，其坐标满足方程组：消去，得到方程由根与系数的关系可得，由于可得,又所以由①，②得，满足故22.已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知R且，，求证：方程在区间上有实数根.【答案】⑴见解析;⑵;⑶见解析.【解析】试题分析：（1）利用判别式定二次函数的零点个数：（2）零点个数问题转化为图象交点个数问题，利用判别式处理即可；（3）方程在区间上有实数根，即有零点，结合零点存在定理可以证明.试题解析：⑴,当时，，函数有一个零点；当时，，函数有两个零点⑵已知，则对于恒成立,即恒成立；所以,从而解得.⑶设，则,在区间上有实数根，即方程在区间上有实数根.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．。

12018年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷含答案海珠区2018年第二学期九年级一模调研测试数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1页、第5页上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自已的学校、姓名、考号；并用2B 铅笔把对应号码的标号涂黑.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图.答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域，不准使用铅笔，圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，不能折叠答题卡.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共30分）一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.某种药品说明书上标有保存温度是（20±3）℃，则该药品在（）℃范围内保存最合适。

A．17~20B．20~23C．17~23D．17~242.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体可能是（）3.某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下：75,95,85,80,90,85.下列表述不正确的是（）A．众数是85B．中位数是85C．平均数是85D．方差是154．下列计算正确的是（）A.=B.()222a b a b +=+C.111x y x y +=+D.()3253p q p q -=-5．在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，以AC为轴将△ABC 旋转一周得到一个圆锥，2则该圆锥的侧面积为()A.130π B.60π C.25π D.65π6.已知方程组3132x y m x y m +=+⎧⎨-=⎩的解,x y 满足20x y +≥，则m 的取值范围是（）A.13m ≥ B.113m ≤≤ C.1m ≤ D.1m ≥-7.如图，已知在圆O 中,AB 是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，要使四边形AOACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A.OA=AC B.AD=BD C.∠CAD=∠CBDD.∠OCA=∠OCB第7题第8题第10题8.如图，有一个边长为2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（）A.B. C.2cm D.4cm9.平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A(1，2),B(3，2),C(2，3).当直线12y x b =+与△ABC 的边有交点时，b 的取值范围是（）10.正方形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O,DE 平分∠ADO 交AC 于点E，把△ADE 沿AD 翻折，得到△ADE ',点F 是DE的中点，连接AF、BF、E F '.若。

2025届广东省普通高中毕业班调研考试（一）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{Z |8150},{|5}A x x x B x x =Î-+£=<，则A B =I （ ）A. {}3 B. {}3,4 C. {}4,5 D. {}3,4,5【答案】B 【解析】【分析】先解不等式求得集合A ，进而求得A B Ç.【详解】集合()(){}2{Z |8150}{Z |350}3,4,5A x x x x x x =Î-+£=Î--£=.而{|5}B x x =<，故{}3,4A B Ç=.故选：B2. 已知1z ，2z 是两个虚数，则“1z ，2z 均为纯虚数”是“12z z 为实数”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】设12i,i(,R z b z c b c ==Î且,0)b c ¹,可得12R z z Î，如121i 12+2i 2z z +==，可得结论.【详解】若12,z z 均为纯虚数，设12i,i(,R z b z c b c ==Î且,0)b c ¹,则12i R i z b bz c c ==Î，所以“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数充分条件，当121i,22i z z =+=+，121i 12+2i 2z z +==，所以“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的不必要条件，的综上所述：“12,z z 均为纯虚数”是12z z 是实数的充分不必要条件.故选：A.3. 已知a r和b r 的夹角为150°()2a b b +×=r r r （ ）A. 9-B. 3- C. 3 D. 9【答案】C 【解析】分析】根据向量数量积运算求得正确答案.【详解】()222a b b a b b +×=×+r r r r rr 2cos1502a b b=××°+r rr 2223æ=+×=ççè故选：C4. 已知 π2sin sin 33a a æö+-=ç÷èø，则 πcos 23a æö+=ç÷èø（ ）A. 59-B. 19-C.19D.59【答案】B 【解析】【分析】利用两角和差公式以及倍角公式化简求值可得答案.【详解】由题干得2π1sin sin sin sin 332a a a a a æö=+-=+-ç÷èø1πsin cos 26a a a æö=-=+ç÷èø所以 22ππ21cos 22cos 1213639a a æöæöæö+=+-=´-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø，故选：B.5. 已知等比数列 {}n a 为递增数列，n nnb a =. 记 ,n n S T 分别为数列 {}{},n n a b 的前n 项和，若 2133312a a a S T =+=，，则 n S =（ ）【A. 141n --B.()11414n --C.()14112n- D. 24n -【答案】C 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解q 的值，再由数列的单调性进一步判断即可.【详解】2131133141122312a a a a q a S T q q q=Þ=Þ=+=Þ++=，，则 ()()2121294214042q q q q q q -+=--=Þ==，.由于 {a n }为递增数列，则 1144q a ==，，所以 {a n }的通项公式为 24n n a -=所以 ()()11414411412nn n S -==--，故选：C.6. 已知体积为的球O 与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为则该正四棱锥体积值是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设正四棱锥P ABCD -的内切球的半径为R ，H 为底面中心，取CD 的中点F ，设O 点在侧面PCD 上的投影为Q 点，则Q 点在PF 上，利用∽V V POQ PFH 求出球心到四棱锥顶点的距离h ，再由棱锥的体积公式计算可得答案.【详解】设正四棱锥P ABCD -的内切球的半径为R ，H 为底面中心，由体积为34π3R得R =连接PH ，PH ^平面ABCD ，球心O 在PH 上，OH R =，取CD 的中点F ，连接,HF PF ，设O 点在侧面PCD 上的投影为Q 点，则Q 点在PF 上，且OQ PF ^，∽V V POQ PFH ，h，所以=PQ PHOQ FHh=，所以1133==´=ABCDV S PH故选：A.7. 斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”. 这一数列如下定义：设{}n a为斐波那契数列，()*12121,1,3,Nn n na a a a an n--===+³Î，其通项公式为n nnaéùêú=-êúëû，设n是2log1(14(xx xéùë-û-<+的正整数解，则n的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】A【解析】【分析】利用给定条件结合对数的性质构造42na<，两侧同时平方求最值即可.【详解】由题知n是2log1(14(xx xéùëû+-<+的正整数解，故2log(1(14n n néùëû+-<+，取指数得((4112nn n+<+-，同除2n得，42n n-<，42n nùú-<úû，即42na<，根据{}n a是递增数列可以得到{}2n a也是递增数列，于是原不等式转化为2812525n a <´<.而565,8a a ==可以得到满足要求的n 的最大值为5，故A 正确.故选：A8. 函数()ln f x x =与函数()212g x mx =+有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）A. 21,e æö-¥ç÷èø B. 21,2e æö-¥ç÷èø C. 210,e æöç÷èøD. 210,2e æöç÷èø【答案】D 【解析】【分析】利用参变分离将函数图象有两个交点问题转化为y m =和()21ln 2x h x x -=的图象有两个交点，由导数求得ℎ(x )的单调性并求得最大值即可得出结论.【详解】由()21ln 02mx x x +=>得22ln 1m x x -=，则问题转化为y m =和()21ln 2x h x x -=的图象有两个交点，而()()()2232112ln 21ln 2x x x x x h x x xæö×--ç÷-¢èø==，令ℎ′(x )>0，解得0e x <<，令ℎ′(x )<0，解得e x >，故ℎ(x )在()0,e 上单调递增，在()e,¥+单调递减，则()()2max 1e 2e h x h ==，ℎ(x )大致图象如下所示：结合图象可知，m 的取值范围是210,2e æöç÷èø故选：D二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 现有十个点的坐标为 ()()()1210,0,,0,,,0x x x L ，它们分别与 ()()()1210,10,,10,,,10y y y L 关于点(3,5)对称.已知 1210,,,x x x L 的平均数为a ，中位数为 b ，方差为c ，极差为d ，则 1210,,,y y y L 这组数满足（ ）A. 平均数为 6a - B. 中位数为 6b -C. 方差为c D. 极差为d【答案】ABCD 【解析】【分析】根据对称知识可得()6Z 110i i y x i i =-Σ£，，结合平均数、中位数、方差、极差的性质，即可判断出答案.【详解】由于 ()()()1210,0,,0,,,0x x x L ，它们分别与 ()()()1210,10,,10,,,10y y y L 关于点(3,5)对称，则有()6Z 110i i x y i i +=Σ£，，即有 ()6Z 110i i y x i i =-Σ£，.则由平均数的性质可得1210,,,y y y L 这组数的平均数为 6a -，结合中位数性质可知中位数为 6b -，结合方差性质可得方差为c ，极差非负，所以极差为d .故选：ABCD10. 设 123,,z z z 是非零复数，则下列选项正确的是（ ）A. 2211z z =B. 1212z z z z +=+C. 若122i 2z --=，则116i z +-最小值为3D. 若22i i 4z z ++-=，则2z的最小值为【答案】CD 【解析】【分析】利用共轭复数的概念和加减运算性质判断A ，举反例判断B ，利用复数模的性质得到轨迹方程，结合圆的性质判断C ，利用复数模的性质得到轨迹方程，结合椭圆的性质判断D 即可.【详解】对于A.，设1i z a b =+，则1i z a b =-，所以22221(i)2i z a b a b ab =+=-+，22221(i)2i z a b a b ab =-=--，的当,a b 有1个为0或全为0时，2211z z =，当,a b 均不为0时，2211,z z 无法比较大小，故A 错误，对于B ，当1i z =，2i z =-时，120z z +=，此时120z z +=，122z z +=，故1212z z z z +=+不成立，故B 错误，对于C ，设1i z a b =+，因为122i 2z --=，所以i 22i 2a b +--=，故有2(2)i 2a b -+-=，可得22(2)(2)4a b -+-=,所以1z 的轨迹是以()2,2为圆心，2为半径的圆，而116i i 16i 1(6)i z a b a b +-=++-=++-=，故116i z +-表示点(),a b 到定点()1,6-的距离，由圆的性质可知，1min16i 23z +-=-=，故C 正确，对于D ，设2z a bi =+，所以2i i i (1)i z a b a b +=++=++=，2i i i (1)i z a b a b -=+-=+-=，而22i i 4z z ++-=4=，所以得到点(),a b 到两定点()0,1-，()0,1的距离之和为4，故2z 的轨迹是以()0,1-，()0,1为焦点的椭圆，故轨迹方程为22143y x +=，而2z 表示(),a b 到原点的距离，由椭圆的几何性质可得当点B 在椭圆的左右顶点时，2z 取得最小值，此时2z =，故2min z =D 正确.故选：CD .11. 已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当()()0e e e 0x f x f x ³+--=，，且当x >0时，()()e e 0f x f x ¢¢++->，则下列说法正确的是（）A. ()e 0f =B. ()f x 在(),e -¥上单调递增，在()e,+¥上单调递减C. 若()()1212,x x f x f x <>，则212ex x +<D. 若12,x x 是()()()2e 2g xf x x =+--在()0,2e 内的两个零点，且12x x <，则()()211ef x f x <<【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，令x =0，可求()e f ；B 选项，对()()e e e 0f x f x +--=两边求导，结合()()e e 0f x f x ¢¢++->得()e 0f x ¢-<，()e 0f x ¢+>，可判断()f x 单调性；C 选项，12e x x ,,的大小关系进行分类讨论，利用函数单调性，证明不等式；D 选项，证明212e x x +<，利用函数单调性，证明()()12f x f x <且()()21e f x f x <，可得结论.【详解】A 选项，令x =0，则有()()()()e e e 1e e 0f f f -=-=，所以()e 0f =，故A 正确.B 选项，对()()e e e 0f x f x +--=两边求导，得()()e e e 0f x f x ¢++-=¢，所以()()e e e f x f x +=-¢-¢，代入()()e e 0f x f x ¢¢++->，得当x >0时，()()1e e 0f x ¢-->，所以()e 0f x ¢-<.又因为()()e e 0f x f x ¢¢++->，所以，()e 0f x ¢+>.因此，当e x <时，()0f x ¢<，()f x 在(),e -¥上单调递减；当e x >时，()0f x ¢>，()f x 在()e,+¥上单调递增.故B 错误.C 选项，对12e x x ,,的大小关系进行分类讨论：①当12e x x <£时，()f x 在(),e -¥上单调递减，所以()()12f x f x >，显然有212e x x +<；②当12e x x £<时，()f x 在()e,+¥上单调递增，不符合题意；③当12e x x <<时，当0x ³时，()()e e e f x f x +=-.令()()()()()()122e e,e 2e e 2e t x f t f t f x f x f x ¥=+Î+=->=-，，，又因为()()e 0f x f ³=，所以()22e 0f x ->，因此()()()()1222e 2e 2e f x f x f x f x >=->-.因为12e 2e e x x <-<，，由()f x 的单调性得，212e x x +<.故C 正确.D 选项，因为()()()()()()2200e 202e 2e e 20e e 220g f g f g f =+->=+->=-=-<，，，所以120e 2e x x <<<<.先证212e x x +<，即证122e x x ->，即()12e 0g x ->，只需证()2112e (2e e)20f x x -+--->，即证()211e (e )20f x x +-->.事实上，()()()()()2211111e e 2e 20f x x f x x g x +-->+--==，因此212e x x +<得证.此时有1210e 2e 2e x x x <<<<-<.因为()()()()()22211122e 22e e 2e 2f x x x x f x =--+=---+<--+=，又()10f x ¹，所以()()211f x f x <，因为()()()2112e e f x f x f x <-=，又()10f x ¹，所以()()21e f x f x <.综上，()()211e f x f x <<，故D 正确故选：ACD.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分.12. 已知等差数列{}n a 的首项12a =，公差3d =，求第10项10a 的值为__.【答案】29【解析】【分析】根据等差数列的通项公式求得正确答案.【详解】依题意101922729a a d =+=+=..故答案为：2913. 若 ()554325432102x a x a x a x a x a x a +=+++++，则531420a a a a a a ++=++____________.【答案】121122【解析】【分析】利用赋值法令1x =，1x =-，联立方程组求解即可.【详解】令1x =，得 ()554321012243a a a a a a +==+++++，令1x =-，得 ()5543210121a a a a a a -+==-+-+-+，则 ()()543210543210531243112122a a a a a a a a a a a a a a a +++++--+-+-+-++===，且 ()()543210543210420243112222a a a a a a a a a a a a a a a ++++++-+-+-++++===，故531420121122a a a a a a ++=++.故答案为：121122.14. 如图，在矩形ABCD 中，8,6,,,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，点Q 在直线HF 上，点N 在直线BC 上，,,R OQ kOH CN kCF k ==Îuuu r uuur uuu r uuu r，直线EQ 与直线GN 相交于点R ，则点R 的轨迹方程为_______________.【答案】()221,3916y x y -=¹-【解析】【分析】以HF 所在直线为x 轴，GE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，求出直线EQ 的方程与直线GN 的方程，联立求解即可.【详解】以HF 所在直线为x 轴，GE 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为8,6AB BC ==，所以 ()()()()()()0,0,4,0,4,0,0,3,0,3,4,3O H F E G C --，所以 ()4,0OH =-uuur ()()0,3,4,3CF OC =-=uuu r uuu r ，又因为 ,OQ kOH CN kCF ==uuu r uuur uuu r uuu r ，所以 ()()4,0,0,3OQ k CN k =-=-uuu r uuu r，所以()()4,0,4,33Q k N k --.因为 ()()0,3,4,0E Q k --，所以直线EQ 的方程为 334y x k =--①，因为 ()()0,3,4,33G N k -，所以直线GN 的方程为 334ky x =-+②.由①可得 ()()3043x k x y =-¹+，代入②化简可得 ()2210916y x x -=¹，，结合图象易知点R 可到达 ()0,3G ，但不可到达 ()0,3E -，所以点R 的轨迹方程为 ()221,3916y x y -=¹-，故答案为：()221,3916y x y -=¹-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知 2cos2cos22sin 2sin sin B A C B C -=-（1）求 A ;（2）若 23b c P Q ==，，，分别为边 a b ，上的中点，G 为 ABC V 的重心，求 PGQ Ð的余弦值.【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】(1)根据二倍角公式将已知条件变形转化，再根据正弦定理边角互化，带入到余弦定理即可求得；(2)根据已知设 AB c AC b ==uuu r uuu r rr ，，表达出AP BQ uuu r uuu r ，，再根据余弦定理可求得结果.【小问1详解】因为2cos2cos22sin 2sin sin B A C B C -=-，所以()()22212sin 12sin 2sin 2sin sin B A C B C ---=-，即222sin sin sin sin sin A B C B C =+-由正弦定理得 222a c b bc =+-，由余弦定理得 1cos 2A =，因为()π0π3A A Î=，，【小问2详解】设 AB c AC b ==uuu r uuu r r r ，，1cos 2332b c b c A ×=×=´´=r r r r 依题意可得()1122AP b c BC b c BQ b c =+=-=-uuu r uuu r uuu r r r r r r r，，所以AP ===uuu rBQ ===uuu r ()221111143917224424424AP BQ b c b c b b c c æö×=+-=-×-=--=-ç÷èøuuu r uuu r r rr r r r r r 所以cos AP BQ PGQ AP BQ×Ð==×uuu r uuu r uuu r uuu r .16. 设A B ，两点的坐标分别为()),. 直线AH BH ，相交于点H ，且它们的斜率之积是13-.设点H 的轨迹方程为C .（1）求C ;（2）不经过点A 的直线l 与曲线C 相交于E 、F 两点，且直线AE 与直线AF 的斜率之积是13-，求证：直线l 恒过定点.【答案】（1）(2213x y x +=¹（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设点H 的坐标为(),x y ，然后表示出直线,AH BH 的斜率，再由它们的斜率之积是13-，列方程化简可得点H 的轨迹方程；（2）设()()1122,,,E x y F x y ，当直线l 斜率不存在时，求得直线l 为 x =0，当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx b =+，由13AE AFk k ×=-13=-，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系数的关系，代入上式化简可得20b =，从而可求得直线恒过的定点.【小问1详解】设点H 的坐标为(),x y ，因为点A 的坐标是()，所以直线 AH的斜率AH k x =¹，同理，直线 BH的斜率BH k x=¹，(13x =-¹，化简，得点H 的轨迹方程为(2213x y x +=¹，即点H 的轨迹是除去()),两点的椭圆.【小问2详解】证明：设()()1122,,,E x y F x y ①当直线l 斜率不存在时，可知 1221,x x y y ==-，且有22111313AE AF x y k k ì+=ïïíï×==-ïî，解得1101x y ==±，，此时直线l 为 x =0，②当直线l 斜率存在时，设直线 :ly kx b =+，则此时有：13AE AFk k ×====-联立直线方程与椭圆方程 2213y kx b x y =+ìïí+=ïî，消去 y 可得： ()222316330k x kbx b +++-=，根据韦达定理可得： 122631kb x x k -+=+，21223331b x x k -=+，13=-，13=-，1=-所以20b =，则0b =或b =，当b=时，则直线 (:l y k x =恒过A 点与题意不符，舍去，故0b =，直线l 恒过原点()0,0，结合①，②可知，直线l 恒过原点 ()0,0，原命题得证.【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题.17. 如图所示，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，608AB AD BAD ACÐ===o ，，.（1）记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为 2V ，求12V V ；（2）设点F 在线段AP 上，且存在一个正整数k ，使得PA kPF PC kCE ==，，若已知平面FCD 与平面PCDk 的值.【答案】（1（2）4k =【解析】【分析】（1）利用圆柱以及棱锥的体积公式，即可求得答案.（2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，结合平面FCD 与平面PCD 的夹角的正弦值，即可求得答案.【小问1详解】在底面ABCD 中，因为 AC 是底面直径，所以 90ABC ADC Ð=Ð=，又 AB AD =，故 ACB △≌ACD V ，所以13042BAC DAC BAD BC CD AB AD ÐÐÐ=======o ,,.因为PC 是圆柱的母线，所以PC ^面ABCD ，所以 211π()16π2V AC PC PC ==´，211112243232V AB BC PC PC PC =´´´××=´´´´=,因此12V V =；【小问2详解】以C 为坐标原点，以,CA CP uuu r uuu r为,x z 轴正方向，在底面ABCD 内过点C 作平面PAC 的垂直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为30BAC DAC AB AD ÐÐ===o ，，所以 ABE V ≌ADE V ，故 90AEB AED ÐÐ==o ，所以1622BE DE AB AE CE AC AE =====-=，，2PC kCE k ==，因此()()()()()()0,0,0,8,0,0,2,,0,0,2,2,,0,0,2C A D P k CD CP k ==uuu r uuu r，()8,0,2PA k =-uuu r，因为 PA kPF =，所以 18,0,2PF PA k k æö==-ç÷èøuuu r uuu r ，则88,0,22,,0,22F k CF k k k æöæö-=-ç÷ç÷èøèøuuu r 设平面FCD 和平面PCD 的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z ==r r，则有:)111182020n CF x z k n CD x ì×=+-=ïíï×=+=îuuu r r uuu rr ，222220m CP kz m CD x ì×==ïí×=+=ïîuuu r r uuu r r ，取())()221,,1,4n k k k k m æö=---=-ç÷ç÷èør r ，设平面FCD 与平面PCD 的夹角为 q，则sin q =所以有：cos cos q ===，整理得2120k k --=，2120k k -+=（无解，舍），由于k 为正整数，解得4k =.18. 已知函数()()1ln f x x x =-，（1）已知函数()()1ln f x x x =-的图象与函数()g x 的图象关于直线 x =―1对称，试求()g x ；（2）证明()0f x ³；（3）设0x 是()1f x x =+的根，则证明：曲线ln y x =在点()00,ln A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线.【答案】（1）()()()3ln 2,(2)g x x x x =----<-. （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）由()()11f x g x --=-+，得()()()12ln 1g x x x -+=----，再利用换元法求()g x ；（2）分区间讨论各因式的符号或利用导数证明；（3）取曲线 e x y =上的一点 ()11e,x B x ，设()ln g x x =在A 处的切线即是 ()exh x =在B 处的切线，证明直线AB 的斜率等于()ln g x x =在A 处的切线斜率和()e xh x =在B 处的切线斜率即可.【小问1详解】因为()f x 的图象与()g x 的图象关于直线 x =―1对称，所以 ()()11f x g x --=-+.又因 ()()()()()111ln 12ln 1f x x x x x éù--=-----=----ëû，所以()()()12ln 1g x x x -+=----，令1t x =-+，则 1x t =+，所以()()][()()()21ln 113ln 2g t t t t t éù=--+--+=----ëû，因此()()()3ln 2,(2)g x x x x =----<-.【小问2详解】证明：解法1：当 1x ³时，10x -³且 ln 0x ³，此时 ()()1ln 0f x x x =-³；当01x <<时，10x -<且ln 0x <，此时 ()()1ln 0f x x x =->，故综上()0f x ³.解法2：()1ln 1f x x x +¢=-，令()1ln 1x x xj =+-，()2110x x x j ¢=+>在()0,¥+上恒成立，为故()x j 在()0,¥+上单调递增，即()f x ¢在()0,¥+上单调递增，因此当01x <<时，()()10f x f ¢¢<=； 当()()110x f x f ¢¢³³=，；因此()f x 在()0,1上单调递减，在 [)1,+¥上单调递增，故()()10f x f ³=.【小问3详解】证明：不妨取曲线 e x y =上的一点 ()11e ,x B x ，设()ln g x x =在A 处的切线即是 ()exh x =在B 处的切线，则 ()()10101e x g x h x x ¢¢===，得 101ln x x =，则 B 的坐标 0011ln x x æöç÷èø，，由于()0001ln 1x x x -=+，所以0001ln 1x x x +=-，则有()()2000000000002000000000011111ln ln 111111ln ln 11ABx x x x x x x x x x k g x x x x x x x x x x x ++-----======++--¢++-，综上可知，直线AB 的斜率等于()ln g x x =在A 处的切线斜率和()e xh x =在B 处的切线斜率，所以直线AB 既是曲线ln y x =在点()00n ,l A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线.19. 如果函数 F (x )的导数为()()F x f x ¢=，可记为()()d f x x F x ò= ，若 ()0f x ³，则()()()baf x dx F b F a =-ò表示曲线 y =f (x )，直线 x a x b ==，以及x 轴围成的“曲边梯形”的面积. 如：22d x x x C ò=+，其中 C 为常数； ()()222204xdx C C =+-+=ò，则表 0,2,2x x y x ===及x 轴围成图形面积为4.（1）若 ()()()e 1d 02xf x x f =ò+=，，求 ()f x 的表达式；（2）求曲线 2y x =与直线 6y x =-+所围成图形的面积；（3）若 ()[)e 120,xf x mx x ¥=--Î+，，其中 R m Î，对 [)0,a b ¥"Î+，，若a b >，都满足()()0d d a bf x x f x x >òò，求 m 的取值范围.【答案】（1）()e 1xf x x =++（2）1256（3）12m £【解析】【分析】（1）根据新定义及()02f =计算得解；（2）根据新定义，构造函数()26g x x x =-+-即可得出面积；（3）根据所给条件可得()()d F x f x x =ò在 [)0,¥+上单调递增，转化为()0f x ³在 [)0,¥+恒成立，就导数的符号分类讨论后可求参数的取值范围.【小问1详解】()()e 1d e x xf x x x C =ò+=++，其中 C 为常数.而 ()02f =，即 102C ++=，所以 1=C ，所以()e 1xf x x =++.【小问2详解】联立 26y x y x ì=í=-+î，解得 123,2x x =-=，当32x -<<时，26x x -+>，令 ()26,g x x x =-+-()()2311d 623F x g x x x x x C =ò=-+-+，则围成的面积()()()2389125d 23212189326S g x x F F -æöæö==--=-+----+=ç÷ç÷èøèøò【小问3详解】令 ()()d F x f x x =ò，由题意可知，[)0,a b a b ¥"Î+>，，，满足()()()()00F a F F b F ->-，即()()F a F b >，即()()d F x f x x =ò在 [)0,¥+上单调递增，进而()0f x ³在 [)0,¥+恒成立，e 120x mx --³在 ()0,¥+恒成立.()e 2,0x f x m x =->¢，若12m £，则()0f x ¢>在()0,¥+上恒成立，故()f x 在[)0,¥+上为增函数，故()()00f x f ³=；若12m >，则0ln 2x m <<时，()0f x ¢<，故()f x 在[]0,ln 2m 上为减函数，故[]0,ln 2x m "Î时，()()00f x f £=，与题设矛盾；故12m £.【点睛】关键点点睛：本题第三步关键在于利用a b >，都满足()()0d d abf x x f x x >òò，得出函数()()d F x f x x =ò在 [)0,¥+上单调递增，再结合导数的符号分类讨论后可得参数的取值范围.。

广东省珠海一中等六校2017-2018学年高三上学期第二次联考数学试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n若a2=1，a3=3，则S4=（）A．12 B．10 C．8D．62．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=﹣x2+1 C．y=2﹣|x|D．y=|x|+13．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）A．1B．2C．3D．44．（5分）设函数f（x）=，则f[f（4）]=（）A．2B．4C．8D．165．（5分）函数是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数6．（5分）已知tanα=，则cos2α的值为（）A．B．C．D．7．（5分）设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C．D．8．（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=sinx+，C．y=x+﹣4（x＞2）D．y=9．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f （x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2 D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11．（5分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=，则a6=．12．（5分）实数x，y满足，则不等式组所表示的平面区域的面积为．13．（5分）已知tan（α+β）=，tanβ=，则tan（α+）的值为．14．（5分）下列四种说法：①“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；②设p、q是简单，若“p∨q”为假，则“¬p∧¬q”为真；③若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．其中所有正确说法的序号是．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知集合A={x||x﹣a|≤2}，B={x|lg（x2+6x+9）＞0}．（Ⅰ）求集合A和∁R B；（Ⅱ）若A⊆B，求实数a的取值范围．16．（12分）在数列{a n}中，已知a1=，，b n+2=3a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n•b n，求{c n}的前n项和S n．17．（14分）已知向量，，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若2ab，c=2，f（A）=4，求b．18．（14分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？19．（14分）已知函数f（x）=ex+（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≤0都有f（x）≥ax+1，求实数a的取值范围．20．（14分）已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R）．（1）当0＜a＜时，f（sinx）（x∈R）的最大值为，求f（x）的最小值．（2）对于任意的x∈R，总有|f（sinxcosx）|≤1．试求a的取值范围．（3）若当n∈N*时，记，令a=1，求证：成立．广东省珠海一中等六校2015届高三上学期第二次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n若a2=1，a3=3，则S4=（）A．12 B．10 C．8D．6考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的前n项和得到，求前四项的和要用第一项和第四项的和，根据等差数列的性质第一项和第四项的和等于第二项与第三项的和，得到结果．解答：解：由等差数列的性质可得：a1+a4=a2+a3，∵a2=1，a3=3，∴s4=2（1+3）=8故选C．点评：若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=x3B．y=﹣x2+1 C．y=2﹣|x|D．y=|x|+1考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．解答：解：y=x3在（0，+∞）上单调递增，但为奇函数；y=﹣x2+1为偶函数，但在（0，+∞）上单调递减；y=2﹣|x|为偶函数，但在（0，+∞）上单调递减；y=|x|+1为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增；故选D点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．3．（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）A．1B．2C．3D．4考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由向量的坐标加法运算求得+的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值．解答：解：∵=（1，k），=（2，2），∴+=（3，k+2），又+与共线，∴1×（k+2）﹣3k=0，解得：k=1．故选：A．点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．4．（5分）设函数f（x）=，则f[f（4）]=（）A．2B．4C．8D．16考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以根据不同的条件选择不同的解析式进行求值，得到本题结论．解答：解：∵函数f（x）=，∴f（4）=1﹣log24=1﹣2=﹣1，f[f（4）]=f（﹣1）=21﹣（﹣1）=22=4．故选B．点评：本题考查的是分段函数的函数值求法，本题难度不大，属于基础题．5．（5分）函数是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简函数，然后直接求出周期，和奇偶性，确定选项．解答：解：因为：=2cos2x，所以函数是偶函数，周期为：π故选B．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，考查计算能力，是基础题．6．（5分）已知tanα=，则cos2α的值为（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦的二倍角公式可求得cos2α=cos2α﹣sin2α，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2α+cos2α，分子分母同时除以cos2a，转化成正切，然后把tanα的值代入即可．解答：解：cos2α=cos2α﹣sin2α====．故选：D．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式．解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化．7．（5分）设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）A．B．C．D．考点：数量积表示两个向量的夹角；单位向量．专题：计算题．分析：设与的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得•=﹣，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的值．解答：解：设与的夹角为θ，∵|+|=1，∴（+）2=2+2•+2=1…（*）∵向量、均为单位向量，可得||=||=1∴代入（*）式，得1+2•+1=1=1，所以•=﹣根据向量数量积的定义，得||•||cosθ=﹣∴cosθ=﹣，结合θ∈[0，π]，得θ=故选C点评：本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题．8．（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=sinx+，C．y=x+﹣4（x＞2）D．y=考点：基本不等式．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的单调性可知；y=x+，（0，1）（﹣1，0）单调递减，（1，+∞），（﹣∞，﹣1）单调递增，结合不等式的等号问题判断．解答：解：根据函数的单调性可知；y=x+，（0，1），（﹣1，0）单调递减，（1，+∞），（﹣∞，﹣1）单调递增，f（1）=2，f（﹣1）=﹣2，∴A不正确．因为B．D中的函数式子等号不成了，所以B，D不正确．故选：C点评：本题考查了y=x+的单调性，均值不等式的应用；属于中档题．9．（5分）设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f （x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣考点：函数的周期性．专题：计算题．分析：先通过有f（x+3）=﹣，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数．进而可求得f（107.5）=f（5.5），再利用f（x+3）=﹣以及偶函数f（x）和x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x即可求得f（107.5）的值．解答：解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B点评：本题主要考查了函数的周期性．要特别利用好题中有f（x+3）=﹣的关系式．在解题过程中，条件f（x+a）=﹣通常是告诉我们函数的周期为2a．10．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4B．3C．2﹣2 D．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．解答：解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11．（5分）数列{a n}的前n项和S n满足S n=，则a6=．考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据题中给出的数列{a n}的前n项和的公式便可求出数列{a n}的通项公式，将n=6代入通项公式便可得出答案．解答：解：S6﹣S5==，所以；故答案为：．点评：本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题．12．（5分）实数x，y满足，则不等式组所表示的平面区域的面积为8．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：作出其平面区域，可知是上底长2，下底长6，高为2的梯形，从而求面积．解答：解：作出其平面区域如下图：可知是上底长2，下底长6，高为2的梯形，则阴影部分的面积为×（2+6）×2=8；故答案为：8．点评：本题考查了学生的作图能力，属于基础题．13．（5分）已知tan（α+β）=，tanβ=，则tan（α+）的值为．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用tanα=tan[（α+β）﹣β]，求出tanα，再利用和角的正切公式，求tan（α+）的值解答：解：∵tan（α+β）=，tanβ=，∴tanα=tan[（α+β）﹣β]==，∴tan（α+）==．故答案为：．点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查学生的计算能力，利用tanα=tan[（α+β）﹣β]，求出tanα是关键．14．（5分）下列四种说法：①“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；②设p、q是简单，若“p∨q”为假，则“¬p∧¬q”为真；③若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．其中所有正确说法的序号是①②③④．考点：的真假判断与应用；特称．专题：简易逻辑．分析：利用的否定判断①的正误；复合的真假判断②的正误；充要条件判断③的正误；三角函数图象的平移判断④的正误；解答：解：对于①，“∃x∈R，使得x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，都有x2+1≤3x”；满足的否定形式，所以①正确．对于②，设p、q是简单，若“p∨q”为假，说明两个都是假，的否定是真，则“¬p∧¬q”为真；所以②正确．对于③，若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件；满足充要条件的关系，所以③正确；对于④，把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．符号平移原则，所以④正确；故答案为：①②③④．点评：本题考查的子啊的判断，特称与全称的否定关系，充要条件以及复合的真假，三角函数图象的平移，基本知识的考查．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（12分）已知集合A={x||x﹣a|≤2}，B={x|lg（x2+6x+9）＞0}．（Ⅰ）求集合A和∁R B；（Ⅱ）若A⊆B，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；对数函数的定义域．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用绝对值不等式可求得集合A={x|﹣2+a≤x≤2+a}；解对数不等式lg（x2+6x+9）＞0可得B，从而可得∁R B；（Ⅱ）由A⊆B得：2+a＜﹣4或者﹣2＜﹣2+a，从而可求得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）|x﹣a|≤2⇒﹣2≤x﹣a≤2⇒a﹣2≤x≤2+a，集合A={x|﹣2+a≤x≤2+a}；…（3分），∴，集合B={x|x＜﹣4或x＞﹣2}，…（6分）∴C R B=[﹣4，﹣2]；…（8分）（Ⅱ）由A⊆B得：2+a＜﹣4或者﹣2＜﹣2+a….10 分解得：a＜﹣6或a＞0，…..（11分）综上所述，a的取值范围为{a|a＜﹣6或a＞0}．…（12分）点评：标题考查绝对值不等式的解法及对数函数的定义域的确定，考查集合的包含关系及应用，属于中档题．16．（12分）在数列{a n}中，已知a1=，，b n+2=3a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设数列{c n}满足c n=a n•b n，求{c n}的前n项和S n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由条件建立方程组即可求出数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）根据错位相减法即可求{c n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a1=，，∴数列{a n}是公比为的等比数列，∴，又，故b n=3n﹣2（n∈N*）．（2）由（1）知，，∴，∴，于是．两式相减，得=．∴点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的计算，以及利用错位相减法进行求和的内容，考查学生的计算能力．17．（14分）已知向量，，设函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若2ab，c=2，f（A）=4，求b．考点：正弦定理的应用；平面向量的综合题．专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）运用平面向量的数量积的坐标公式，及两角和的正弦公式，以及正弦函数的增区间，即可得到所求；（Ⅱ）由向量的数量积的定义，求得C，再由f（A）=4，求得A，再由正弦定理，即可得到b．解答：解：（Ⅰ）∵，∴=，令2kπ≤2x≤2k，故，则f（x）的单调递增区间为．（Ⅱ）∵，∴，，∵0＜C＜π，∴，由f（A）=4得，∴，又A为△ABC的内角，，，∴A=，由于，由正弦定理，得，则．点评：本题考查平面向量的数量积的坐标公式和三角函数的恒等变换公式的运用，同时考查正弦函数的单调性，以及正弦定理的运用，考查两角和差公式，以及运算能力，属于中档题．18．（14分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题；数形结合．分析：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，列出x和y的不等关系及目标函数z=x+0.5y．利用线性规划或不等式的性质求最值即可．解答：解：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，则，设z=x+0.5y=0.25（x+y）+0.25（3x+y）≤0.25×10+0.25×18=7，当即时，z取最大值7万元答：投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大．点评：本题考查线性规划的应用问题，利用不等式的性质求最值问题，考查对信息的提炼和处理能力．19．（14分）已知函数f（x）=ex+（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≤0都有f（x）≥ax+1，求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，进而可求出函数的最小值；（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax﹣1=e﹣x+（e﹣a）x﹣1，即g（x）≥g（0）=0成立，分类讨论并利用导数判断函数的单调性，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由已知得f'（x）=﹣e﹣x+e，…（1分）令f'（x）＞0得x＞﹣1；令f'（x）＜0得x＜﹣1．因此，函数f （x）在（﹣∞，﹣1]上单调减函数，在[﹣1，+∞）上是单调增函数，…（5分）当x=﹣1时，f（x）的有极小值也是最小值，f（x）min=0…（6分）（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax﹣1=e﹣x+（e﹣a）x﹣1，则g'（x）=﹣e﹣x+（e﹣a），g（0）=0．…（8分）（1）当e﹣a≤0，即a≥e时，g'（x）=﹣e﹣x+（e﹣a）＜0，g（x）在（﹣∞，0]是减函数，因此当x≤0时，都有g（x）≥g（0）=0，即f（x）﹣ax﹣1≥0，f（x）≥ax+1；…（10分）（2）当a＜e时，令g'（x）＜0得x＜﹣ln（e﹣a）；令g'（x）＞0得x＞﹣ln（e﹣a），因此函数g（x）在（﹣∞，﹣ln（e﹣a）]上是减函数，在[﹣ln（e﹣a），+∞）上是增函数．由于对所有x≤0都有f（x）≥ax+1，即g（x）≥g（0）=0成立，因此﹣ln（e﹣a）≥0，e﹣a≤1，a≥e﹣1，又a＜e，所以e﹣1≤a≤e．…（13分）综上所述，a的取值范围是[e﹣1，+∞）．…（14分）点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查学生恒成立问题的等价转化思想及分类讨论思想的运用能力，属于难题．20．（14分）已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R）．（1）当0＜a＜时，f（sinx）（x∈R）的最大值为，求f（x）的最小值．（2）对于任意的x∈R，总有|f（sinxcosx）|≤1．试求a的取值范围．（3）若当n∈N*时，记，令a=1，求证：成立．考点：数列与不等式的综合；二次函数的性质；数列的求和；正弦函数的定义域和值域．专题：综合题．分析：（1）由知，故当sinx=1时f（x）取得最大值为，由此得到，从而能够得到f（x）的最小值．（2）对于任意的x∈R，总有|f（sinxcosx）|≤1．令，则转化为，不等式|f（t）|≤1恒成立．由此入手，能够求出实数a的a的取值范围．（3）由题意，，由此入手，能够证明成立．解答：解：（1）由，知，故当sinx=1时，f（x）取得最大值为，即，∴∴，所以f（x）的最小值为﹣1；（5分）（2）∵对于任意的x∈R，总有|f（sinxcosx）|≤1，令，则转化为，不等式|f（t）|≤1恒成立当t=0时，f（t）=0使|f（t）|≤1成立；（7分）当t≠0时，有，对于任意的恒成立；∵，则，故要使①式成立，则有a≤2，又，故要使②式成立，则有a≥﹣2，由题a≠0．综上，a∈[﹣2，0）∪（0，2]为所求．（10分）证明：（3）由题意，令则，∴g（n）在n∈N*时单调递增，∴（13分）又，∴综上，原结论成立．（16分）点评：本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，是2015届高考的重点，易错点是知识体系不牢固．。

2018高考高三数学12月月考试题01 满分150分；考试时间120分钟．

一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若iiiz11（i为虚数单位），则z___________． 2．已知集合},0)1)(2({RxxxxA，},01{RxxxB， 则BA_____________． 3．函数1)cos(sin)(2xxxf的最小正周期是___________． 4．一组数据8，9，x，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________． 5．在等差数列}{na中，101a，从第9项开始为正数， 则公差d的取值范围是__________________．

6．执行如图所示的程序框图，则输出的a的 值为_____________．

7．小王同学有5本不同的语文书和4本不同的英语书，从中任取2本，则语文书和英语书各有1本的概率为_____________（结果用分数表示）。 8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R的半圆，则这个圆锥的底面积是________．

开始 4a 0i

结束 3i 1ii

22aaa

输出a 是 否

（第6题图） 9．动点P),(yx到点)1,0(F的距离与它到直线01y的距离相等，则动点P的轨迹方程为_______________．

10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足5522cosA，3ACAB，则△ABC的面积为______________．

11．已知点0,11nA，nB22,0，nnC23,12，其中n为正整数，设nS表示△ABC的面积，则nnSlim___________． 12．给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量OA和OB，点C在以O为圆心、||OA为半径的劣弧AB上运动，若OByOAxOC，其中x、Ry，则22)1(yx的最大值为______． 13．设a、Rb，且2a，若定义在区间),(bb内的函数xaxxf211lg)(是奇函数，

2017-2018学年广东省广州市海珠区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5.00分）若M={x|x2﹣px+6=0}，N={x|x2+6x﹣q=0}，若M∩N={2}，则p+q=（）A．21 B．8 C．6 D．72．（5.00分）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A．f（x）=，g（x）=x+1 B．f（x）=，g（x）=（）2C．f（x）=|x|，g（x）=D．3．（5.00分）下列函数中，值域为[0，+∞）的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=lgx C．y=x3 D．y=|x|4．（5.00分）下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）A．B．y=3x C．y=lg|x|D．5．（5.00分）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（5.00分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）7．（5.00分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．128．（5.00分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．9．（5.00分）直线kx﹣y﹣k=0（k∈R）和圆x2+y2=2交点的个数为（）A．2个 B．1个 C．0个 D．不确定10．（5.00分）圆C1：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1和圆C2：（x+2）2+（y﹣5）2=36的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切11．（5.00分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l∥α，α∥β，则l?βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β12．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A．72πB．48πC．30πD．24π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5.00分）计算=．14．（5.00分）经过P（1，3），Q（3，5）两点的直线的倾斜角是．15．（5.00分）若函数f（x）=a x﹣1（a＞1）在区间[2，3]上的最大值比最小值大，则a=．16．（5.00分）体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为．。

文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|40}A x x =-=，{1,2}B =，则A B = （ ） A ．2 B ．{2,2}- C ．{2} D ．φ2. i 是虚数单位，则复数21i z i-=在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.已知向量(1,2)a = ，(,4)b x =，若向量//a b ，则实数x 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．8D ．-84.抛掷两颗质地均匀的筛子，则点数之和为6的概率等于（ ） A ．16 B ．536C ．19D ．1125.已知sin()sin 3παα++=5sin()6πα-+等于（ ） A ．45-B ．35-C ．35D ．456.某几何体三视图如图所示，则该几何体的最短的棱长度是（ ）A ．1B ．27.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且24852a a a =，21a =，则10a =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．168.已知点P 是双曲线2214x y -=上任意一点，,A B 分别是双曲线的左右顶点，则PA PB ∙ 的最小值为（ ）A ．-3B ．0C ．1D ．2 9.定义行列式运算12142334a a a a a a a a =-，将函数sin 2()cos 2x f x x =的图象向右平移6π个单位后，所得函数图象的一个对称轴是（ ） A ．712x π=B ．2x π=C ．512x π=D ．3x π= 10.下列程序框图中，输出的A 的值是（ ） A ．12015 B ．12016 C ．12017 D ．1201811.如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -的面对角线1A B 上存在一点P 使得1AP D P +取得最小值，若此最小值为，则a 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．412.定义：如果函数()f x 在[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<满足'1()()()f b f a f x b a-=-，'2()()()f b f a f x b a-=-，则称函数()f x 是[,]a b 上的“双中值函数”. 已知函数32()1f x x x a =-++是[0,]a 上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)32B ．3(,2)2C ．1(,1)2D ．1(,1)3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数32333y ax x x =+++在1x =处取得极值，则a = .14.等差数列{}n a 中，14733a a a ++=，36921a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于 .15.设32z x y =+，其中,x y 满足2000x y x y y k+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，若z 的最大值为6，则32z x y =+的最小值为 .16.直线80x my --=与抛物线28y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆面积的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C所对的边，且222()tan a b c C +-=. （1）求角C 的大小；（2）若2,c b ==a 的值及ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分）珠海长隆国际马戏节期间，组委会为了解观众对其中14场马戏节目的观看情况，随机抽取了100名观众对其进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众观看马戏节目的场数与所对应的人数的表格：（1）将收看该节目场数不低于13场的观众称为“马戏”，已知“马迷”中有10名女性.根据已知条件完成下图的22⨯列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“马迷”与性别有关？（2）将收看该节目所有场数（14场）的观众称为“超级马迷”，已知“超级马迷”中有2名女性，若从“超级马迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.19. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是等腰梯形，其中//AB CD ，132AB CD ==，且60BCD ∠=，E 为CD 中点，4PA PB PC PD ====.（1）求证：AD PE ⊥； （2）求四棱锥P ABCD -的体积.20. （本小题满分12分）已知点P 为圆2225x y +=上任意一点，过P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足35MH PH =，若M 的轨迹为曲线E . （1）求E 的方程；（2）设曲线E 的两条弦,MN PQ 过定点(4,0)F -，且弦,MN PQ 所在直线的斜率分别为12,k k ，当121k k =时，判断11||||MN PQ +是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =-，1()ag x x+=-，()a R ∈. （1）设函数()()()h x f x g x =-（2）若在[1,]( 2.718)e e = 上存在一点0x ，使得00()()f x g x <成立，求a 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 是等腰三角形ABC 的外接圆，AB AC =，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD 交圆O 于点E ，连接BE 与AC 交于点F . （1）判断BE 是否平分ABC ∠，并说明理由； （2）若6,8AE BE ==，求EF 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标中，直线l 的极坐标方程为4πθ=()R ρ∈，曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （1）写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 平行于直线l 的直线与曲线C 交于,A B 两点，若||||3MA MB =，求点M 轨迹的直角坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；（2）若对任意的1x R ∈都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.珠海市2017-2018学年度第二学期高三期末考试文科数学参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C【解析】{}2{|40}2,2A x x =-==-{2}A B =I ，故选C 2.【答案】A 【解析】21=2i z i i-=+，对应的点为()2,1，因此点在第一象限 3.【答案】A5. 【答案】A【解析】因为3sin()sin sin )326ππα++α=α+α=α+=利用互补角的诱导公式可知45sin()sin(()sin()6566πππα+=-=π-+α=-α，因此所求的值为45-，选A.6. 【答案】B.【解析】解：由三视图可知该几何体是四棱锥，23等，故选B 7. 【答案】D ．【解析】2248652a a a a ==，得26252a a =，故22q =，而0q >，所以q =,而8810216a a q ===.8.【答案】B.【解析】 A 点坐标为(2,0)，B 点坐标为(2,0)-，设点P 坐标为(,)x y ，则(2,)P A x y =--u u r，(2,)PB x y =---u u r ，故2223434PA PB x y x ⋅=--=-uu r uu r ，而22x x ≥≤-或，故最小值为09.【答案】A 【解析】，向右平移后得到22s i n (2)3y x π=-．所以函数22sin(2)3y x π=-图象的对称轴为2232x k πππ-=+，7()212k x x Z ππ=+∈10.【答案】C【解析】根据题意有，在运行的过程中，11,1,,24A i A i ====；114,3774A i ===；11710107A ==，4i =；1110,5131310A i ===，以此类推，就可以得出输出的A 是以1为分子，分母构成以3为首项，以3为公差的等差数列，输出的是第672项，所以输出的结果为12017，故选C ． 11.【答案】B ．【解析】把对角面A 1C 绕A 1B 旋转，使其与△AA 1B 在同一平面上，连接AD 1，则在1AA D V 中，由1AD ===2a =12. 【答案】C ．【解析】由题意可知()321f x x x a =-++Q ,()232f x x x '=-, 在区间[]0,a 存在12,x x ()12a x x b <<<，()()()()120f a f f x f x a-''==2a a=-，()321f x x x a =-++Q ，()232f x x x '∴=-，∴方程2232x x a a -=-在区间()0,a 有两个不相等的解，令()2232g x x x a a =--+，则()()()22241200020103a a g a a g a a a a ⎧∆=--+>⎪⎪=-+>⎪⎨=->⎪⎪<<⎪⎩，所以实数a 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭，故选C. 13.【答案】-3【解析】2'363y ax x =++,而'(1)390,3f a a =+==-. 14.【答案】81【解析】：147369464633,21333,32111,7a a a a a a a a a a ++=++=∴==∴==Q()1946999()8122a a a a S ++=== 15. 【答案】245-【解析】．如图，362x y +=过点(,)A k k ，125k =．在点B 处取得最小值，B 点在直线20x y +=上，2412(,)55B -，∴min 32425z x y =+=-．16.【答案】[64,)+∞【解析】联立方程288x my y x=+⎧⎨=⎩，得28640y m y --=，0∆>，128y y m +=，1264y y =-，因80x my --=过定点(8,0),12182OAB S y y =-⋅==0m =时，min 64S = 故答案为[64,)+∞.17.【解析】⑴ 由已知得，222tan 22a b c C ab +-=则cos tan C C ⋅=∴sin C =∴C ＝4π 或C ＝34π． …………6分（2）∵2c =，b =C ＝4π，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得2222cos4c a a π=+-⋅整理得2440a a -+=，解得2a =,△ABC 面积为 1122222S ac ==⨯⨯=. …………12分18.【解析】⑴由统计表可知，在抽取的100人中，“马迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2列联表中的数据代入公式计算得：22100(30104515)1003.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ，所以我们没有95%的把握认为“马迷”与性别有关． ………6分⑵ 由统计表可知，“超级马迷”有5人，其中2名女性，3名男性，设2名女性分别为12,a a ，3名男性分别为123,,b b b ，从中任取2人所包含的基本事件有：12111213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b 共10个用A 表示“任意选取的两人中，至少有1名女性观众”这一事件，A 包含的基本事件有：12111213212223(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b a b a b a b 共7个，所以7()10P A =． …………12分19. 【解析】 ⑴证明：连接EBABCD 为等腰梯形，E 为CD 中点， ∴BE AD BC ==，所以EBC 为等腰三角形，又60BCD ∠= ，故EBC 为等边三角形. ∴BE BC = PD PC =，E 为CD 的中点，PE CD ⊥，由BE BC =，PB PC =，PE PE =，得PEB 全等于PEC ，知PE E B ⊥，BE BC B = ，故PE ABCD ⊥，AD ABCD ⊂，得AD PE ⊥. …………6分⑵因为4PC =，3EC =，所以PE =，1(36)2ABCD S =+=，13P ABCD V -==…………12分20.【解析】⑴ 设P 点坐标为00(,)x y ，M 点坐标为(,)x y ，由35MH PH =uuu u r uuu r 得，035x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，而P 点在2225x y +=上，代入得221259x y +=. …………5分 ⑵由题设知，1(40)F -，，则1:(4)MN y k x =+，2:(4)PQ y k x =+ 将MN 与C 的方程联立消y 得：2222111(259)2004002250k x k x k +++-=* “” 设1122()()M x y N x y ，，，，则12x x 、是“*”的二根则211221211221200259400225259k x x k k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩…………7分则||MN ====212190(1)259k k +=+ …………8分同理：222290(1)||259k PQ k +=+ Q 121k k =∴22122212111190(1)90(1)||||259259k k MN PQ k k +=+++++ …………10分 22222212122122221212259259(259)(1)(259)(1)90(1)90(1)90(1)(1)k k k k k k k k k k +++++++=+=++++ 2222212121222222121218343450()68343490[1()]90(2)k k k k k k k k kk k k +++++==+++++ 2212221234(2)1790(2)45k k k k ++==++ ∴11||||MN PQ +为定值，值为1745． …………12分（2）解法2：由上知，||MN 212190(1)259k k +=+，222290(1)||259k PQ k +=+ Q 121k k =2121212121212121925909092590909125)11(90||k k k k k k k k PQ ++=++=++=∴ 45179090925)1(90925||1||121212121=+++++=+∴k k k k PQ MN 21．【解析】⑴()f x 的定义域为(0,)+∞，1()ln ah x x a x x+=+-， 21()1a ah x x x +'=--…………1分 222(1)(1)[(1)]'()x ax a x x a h x x x--++-+== …………2分 因为0a >，所以111a +>>-，因此在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>，所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； …………5分 ⑵ 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即 函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零． 222(1)(1)[(1)]'()x ax a x x a h x x x --++-+== 121,1x x a =-=+①当1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0e ah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； …………7分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； …………8分③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， …………10分 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立．综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-． …………12分22. 【解析】⑴BE 平分∠ABC ．∵CD ＝AC ，∴∠D=∠CAD ．∵AB ＝AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∵∠EBC=∠CAD ，∴∠EBC=∠D=∠CAD ．∵∠ABC=∠ABE+∠EBC ，∠ACB=∠D+∠CAD ， ∴∠ABE=∠EBC ，即BE 平分∠ABC ……………….5分（2）由（1）知∠CAD=∠EBC =∠ABE ． ∵∠AEF=∠AEB ，∴△AEF ∽△BEA ．AE EFBE AE∴=∵AE=6， BE=8． ∴ 236982AE EF BE ===……………….10分 考点：1．圆周角定理；2．三角形相似；3．角平分线定理．23. 【解析】（1）直线l 的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l ：y=x ； (1)分曲线C 的参数方程为)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x，消去参数θ可得曲线C:122=+y x ……………….4分(2)设点()00.y x M 及过点M 的直线为)(2222:001为参数t t y y tx x L ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+= ……………….5分 由直线1L 与曲线C 相交可得：()012t 2020002=-++++y x t y x ……………….6分因为|MA|•|MB|=3所以312020=-+y x ，即:42020=+y x ……………….8分012212222=-++⇒⎩⎨⎧=++=m mx x y x m x y 由220<<-⇒>∆m ……………….9分故点M 的轨迹的直角坐标方程为: 422=+y x (夹在两直线2±=x y 之间的两段圆弧) ……………….10分24. 【解析】（1）由||x ﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x ﹣1|+2＜5 ∴﹣7＜|x ﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x ＜4 ……………….5分（2）因为任意x1∈R ，都有x2∈R ，使得f （x1）=g （x2）成立， 所以{y|y=f （x ）}⊆{y|y=g （x ）}，又f （x ）=|2x ﹣a|+|2x+3|≥|（2x ﹣a ）﹣（2x+3）|=|a+3|， g （x ）=|x ﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a ≥﹣1或a ≤﹣5， 所以实数a 的取值范围为a ≥﹣1或a ≤﹣5．……………….10分。

“超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷数学（文）一、选择题1．已知i 是虚数单位，复数i1i z =+，则z 的虚部为（）．A ．1i 2B ．1i 2- C ．12D ．12-【答案】C 【解析】i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z -====-++++，所以虚部为12． 故选C ．2．已知集合2{log (4)}A x y x ==-，2{230}B x x x =-->，则A B = （）．A ．(3,4)B ．(,1)-∞-C ．(,4)-∞D ．(3,4)(,1)-∞-【答案】D【解析】{4}A x x =<，{1B x x =<-或3}x >，所以{1A B x x =<- 或34}x <<． 故选D ．3．设m 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程2310x mx =++有实数根的概率为（）．A ．56B ．23C ．12D ．13【答案】C【解析】因为方程2310x mx =++有实根，所以0∆≥， 即2120m -≥，所以m ≥m -≤又因为{1,2,3,4,5,6}m ∈，所以4,5,6m =，所以所求概率3162P ==． 故选C 4．《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的一段话“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．”用程序框图表示如图，那么这个程序的作用是（）．A ．求两个正数a ,b 的最大公约数B ．求两个正数a ，b 的最小公倍数C ．判断其中一个正数是否能被另一个正数整除D ．判断两个正数a ,b 是否相等 【答案】A【解析】此框图的功能就是求两个正数a ，b 的最大公约数． 故选A ．5．下列说法正确的是（）．A ．命题“若2340x x --=，则4x =．”的否命题是“若2340x x --=，则4x ≠．”B ．0a >是函数a y x =在定义域上单调递增的充分不必要条件C ．0(,0)x ∃∈-∞，0034x x <D ．若命题:p n ∀∈N ，3500n >，则0:p n ⌝∃∈N ，03500n ≤ 【答案】D【解析】A 中，命题的否命题是“若2340x x --≠，则4x ≠．”，所以A 不正确； B 中，当2a =时，2y x =在定义域上不单调，充分性不成立，所以B 不正确； C 中，因为(,0)x ∈-∞，34x x >恒成立，所以C 不正确； D 中，全称命题的否命题是特称命题，所以D 正确． 故选D ．6．若实数x ，y 满足3,,23,x y x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥++则y z x =的取值范围为（）．A ．(1,)∞+B ．[1,)∞+C ．(2,)∞+D ．(0,1)【答案】B【解析】作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，yz x=表示可行域内的点与点(0,0)连线的斜率，由图可得1k ≥． 故选B ．7．在ABC △中，4AB =，6BC =，π2ABC ∠=，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE BD ⊥，则A E B C ⋅= （）．A ．16B ．12C ．8D ．4-【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则(4,0)A ，(0,0)B ，(0,6)C ，(2,3)D ．设(0,)E b ，因为AE BD ⊥，所以0AE BD ⋅= ，即(4,)(2,3)0b -⋅=，所以83b =，所以80,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，84,3AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以16AE BC ⋅= ．故选A ．8．将函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的图象向右平移π6ω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为（）． A ．3 B ．2 C ．32D ．125【答案】B【解析】将()f x 的图象向右平移π6ω得ππ()2sin 66g x x ωω⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+，即()2sin()g x x ω=的图象．所以当()y g x =满足ππ2π,2π()22x k k k ω⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦Z ++，即π2ππ2π,()22k k x k ωωωω⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦Z ++时，()y g x =单调递增． 因为()y g x =在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以ππ26ππ24ωω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥，即2ω≤．故选B ．9．已知数列{}n a 满足1,*2,*2n n n n a d a n qa ⎧∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩N N ++（q 为非零常数），若{}n a 为等比数列，且首项为(0)a a ≠，公比为q ，则{}n a 的通项公式为（）．A ．n a a =或1n n a q -=B ．1(1)n n a a -=-C ．n a a =或1(1)n n a a -=-D ．1n n a q -=【答案】C【解析】由已知得1a a =，2a a d =+，3()a a d q =+，4()a a d q d =++，由2132a a a ⋅=，得a d aq =+，由2243a a a ⋅=，得2()()a d q a d q d =+++，两式联立得0,1d q =⎧⎨=⎩或2,1,d a q =-⎧⎨=-⎩所以1(1)n n a a -=-或n a a =．故选C ．10．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，P 是y 轴正半轴上一点，以OP 为直径的圆在第一象限与双曲线的渐近线交于点M （O 为坐标原点）．若P ，M ，F 三点共线，且MFO △的面积是PMO △的面积的3倍，则双曲线C 的离心率为（）．ABC ．2D 【答案】C【解析】设(0,)P m ，(,0)F c ，所以直线:1x yPF c m=+，与渐近线b y x a =，联立得,acm bcm M am bc am bc ⎛⎫ ⎪⎝⎭++，由MFO △的面积是PMO △的面积的3倍，得3FM MP =，所以3bc m a =，所以,44c bc M a ⎛⎫⎪⎝⎭， 以OP 为直径的圆的方程为22224m m x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭+，由点,44c bc M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭满足圆的方程，得223a b =，所以224c a =，即2e =．故选C ．11．已知函数()e ||x f x a x =-有三个零点，则实数a 的取值范围为（）．A ．(,0)-∞B ．(0,1)C ．(0,e)D ．(e,)∞+【答案】D【解析】函数()e ||x f x a x =-有三个零点等价于()e x g x =与()||h x a x =有三个交点， 当0a ≤时，()e x g x =与()||h x a x =显然没有交点，不符合题意； 当0a >时，当0x <时，()e x g x =与()||h x a x =有且仅有一个交点； 当0x ≥时，()e x g x =与()||h x a x =得有两个交点， 即转化为求()h x ax =与()e x g x =相切时a 的值， 设切点00(,e )x P x ，()e x g x '=，切线斜率为0e x k =，所以切线方程为000e e ()x x y x x -=-，切线过(0,0)点，所以01x =，即e k =． 所以当0x ≥时，若()e x g x =与()h x ax =有两个交点，则e k >． 综上，函数()e ||x f x a x =-有三个零点时e a >． 故选D ．12．若正四棱锥P ABCD-内接于球O，且底面ABCD过球心O，则球O的半径与正四棱锥P ABCD-内切求的半径比为（）．A1B．2CD1【答案】A【解析】设球O的半径为R，正四棱锥P ABCD-内切球半径为r，即2211))433R r⎡⨯⨯=⨯⎢⎣⎦+，得1Rr．故选A．二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________．【答案】π8+【解析】该几何体为前面是底面半径为1，高为2的半个圆柱，后面是棱长为2的正方体的组合体，所以体积为1π28π82⨯⨯=++．14．已知直线y x b=+与圆222x y=+相交于A，B两点，O为坐标原点，若1OA OB⋅=-，则b= _________．【答案】1±【解析】设11(,)A x y，22(,)B x y，直线y x b=+与圆222x y=+，联立得222220x bx b-=++．所以222(2)42(2)1640b b b∆=-⨯⨯-=->，即22b-<<，则12x x b=-+，2121(2)2x x b=-，由1OA OB⋅=-,22121212122()21x x y y x x b x x b b==-=-++++，所以21b=，所以1b=±．15．已知函数323()232tf x x x x t=-++在区间(0,∞+)上既有极大值又有极小值，则t的取值范围是__________．【答案】90,8⎛⎫⎪⎝⎭俯视图正视图侧视图【解析】函数323()232t f x x x x t =-++在区间(0,∞+)上既有极大值又有极小值等价于方程()f x '在区间(0,)∞+上有两个互异实根1x ，2x ，由已知，2()32f x tx x '=-+，123x x t =+，122x x t=，则10x >，20x >，0∆>，即302980t tt ⎧>⎪⎪⎪>⎨⎪->⎪⎪⎩，所以908t <<．16．已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，22a =，11b =-，且对任意的正整数m ，n ，p ，q ，当m n p q =++时，都有m n p q a b a b -=-，则201811()2018i i i a b =-∑的值是___________．【答案】2019【解析】对任意的正整数m ，n ，p ，q ，当m n p q =++时，都有m n p q a b a b -=-， 所以2112a b a b -=-，所以22b =-，所以112n n a b a b -=-+，所以11n n a a -=+， 所以n a n =，所以211n n a b a b -=-+，所以11n n b b -=-+，所以n b n =-， 所以2n n a b n -=，20181122111120182019()[()()()]220192018201820182i i n ni a b a b a b a b =⨯-=---=⨯⨯=∑ +++．三、解答题 17．（12分）已知ABC △中，AC =,4BC =，π4ABC ∠=． （1）求角A 和ABC △的面积． （2）若CD 为AB 上的中线，求2CD ． 【答案】【解析】由4sin sin 4BAC ∠1sin 2BAC ∠=，又BC AC <，则π4BAC ∠<，解得π6BAC ∠=， 所以7π12ACB ∠=． 所以ABC △的面积17π4sin 1)212S =⨯⨯=．（2）设AB x =，则ABC △中，由余弦定理得2π32168cos 4x x =-+，即2160x --=，解得x =，∴BD =．在BCD △中，由余弦定理222π2cos 164CD BC BD BC BD =-⋅=-+18．（12分）如图1，四边形ABCD 为等腰梯形，2AB =，1AD DC CB ===，将ADC △折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，E 为AB 的中点．（1）求证：BC AD ⊥． （2）求E 到平面BCD 的距离． 【答案】【解析】（1）证明：在图1中，作CH AB ⊥于H ，则12BH =，32AH =，又1BC =，∴CH =，∴CA AC BC ⊥．∵平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC 平面ABC AC =，∴BC ⊥平面ADC ， 又AD ⊂平面ADC ， ∴BC AD ⊥．（2）如图2，∵E 为AB 的中点，∴E 到平面BCD 的距离等于A 到平面BCD 距离的一半． 而平面ADC ⊥平面BCD ，所以过A 作AQ CD ⊥于Q ，又由AQ BC ⊥，BC CD C = ，则AQ ⊥平面BCD ，AQ 就是A 到平面BCD 的距离． 由图易得AQ CH ==∴E 到平面BCD ．图1D AB C图2C DBAEH CBAD 图1Q E ABDC 图219．（12分）某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取6部进行测试，其结果如下：（1（2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述6部乙种手机中随机抽取2部，求这两部手机中恰有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的概率． 【答案】【解析】（1）甲的平均值1=(121230)2020.56x --=甲+++++，乙的平均值1(2 2.5032 2.5)2020.56x =--=乙+++++．甲的方差222222135=(20.519)(20.518)(20.521)(20.522)(20.520)]612s -----=甲++++．乙的方差222222114=[(20.518)(20.517.5)(20.520)(20.523)(20.522)(20.522.5)]63s 2------=乙+++++．因为甲、乙两种手机的平均数相同，甲的方差比乙的方差小，所以认为甲种手机电池质量更好． （2）由题意得上述6部乙种手机中有3部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值，记它们分别是1A ，2A ，3A ，其余的为1a ，2a ，3a ，从上述6部乙种手机中随机抽取2部的所有结果为12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A a ，12(,)A a ，13(,)A a ，23(,)A A ，21(,)A a ，22(,)A a ，23(,)A a ，31(,)A a ，32(,)A a ，33(,)A a ，12(,)a a ，13(,)a a ，23(,)a a 共15种．其中恰有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的结果为11(,)A a ，12(,)A a ，13(,)A a ，21(,)A a ，22(,)Aa ，23(,)A a ，31(,)A a ，32(,)A a ，33(,)A a 共有9种．所以所求概率为93155P ==． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b=>>+过点．（1）求椭圆E 的方程．（2）直线:l y x m =+与E 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点C ，使ABC △为正三角形，若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】【解析】（1）由已知22222211a b ca abc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩++，解得2a =，b∴椭圆E 的方程为22142x y =+．（2）把y x m =+代入E 的方程得2234240x mx m -=++．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1243m x x =-+，212243m x x -=，28(6)0m ∆=->，m ，||AB设AB 的中点为P ，则12223P x x m x ==-+，3P P m y m x ==+，∴2,33m m P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴:3m PC y x =--，令0x =，则0,3m C ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由题意知，|||PC AB =，43m =0∆>，∴直线l的方程为y x =．21．（12分）已知函数()ln f x x =，21()2g x ax x =-，a ∈R ．（1）设()()()h x f x g x =-，若(1)0h =，求()h x 的单调区间． （2）设0m n >>，比较()()f m f n m n --与222nm n +的大小．【答案】【解析】（1）∵1(1)102h a =-=+，所以2a =，此时2()ln h x x x x =-+，0x >，2112()21x xh x x x x-'=-=++．∵0x >，由()0h x '>得01x <<，由()0h x '<得1x >， ∴()h x 的单调区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)∞+． （2）设()[()()]()x m f x f m x m ϕ=---，0x >，则()m xx xϕ-'=， 当(0,)x m ∈时，()0x ϕ'>，∴()x ϕ在(0,)m 上单调递增．∵0m n >>，∴()()0n m ϕϕ<=，即[()()]()0m f n f m n m ---<，∴()()1f m f n m n m->-．又∵222m n mn >+，∴2221n m n m<+， ∴22()()2f m f n nm n m n->-+．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）已知圆2,:2x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，点A ，B 的极坐标分别为(1,π)，(1,0)．（1）求圆C 的极坐标方程．（2）若P 为圆C 上的一动点，求22||||PA PB +的取值范围． 【答案】【解析】（1）把圆C 的参数方程化为普通方程为22(2)(2)2x y --=+，即224460x y x y --=++， 由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得圆C 的极坐标方程为24cos 4sin 60ρρθρθ--=+．（2）设(2,2)P θθ，A ，B 的直角坐标分别为(1,0)-，(1,0)，则222222||||(3)(2)(1)(2)PA PB θθθθ=++++ π2216sin [6,38]4θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭++，所以22||||PA PB +的取值范围为[6,38]．23．【选组4—5“不等式选讲”】（10分） 已知函数()|21||2|f x x x =--+． （1）求不等式()3f x ≥的解集． （2）若11()(,0)f x m n m n≥≥+对任意x ∈R 恒成立，求m n +的最小值． 【答案】【解析】（1）13321()12233(2)x x f x x x x x ⎧⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪->⎪⎩≤≤++，其图象如图所示，由图可知()3f x ≥的解集为{0x x ≤或2}x ≥． （2）由图知min 3()2f x =，∴1132m n ≤+，∴32m n mn ≤+， 即233222m n m n mn ⎛⎫⎪⎝⎭≤≤++，当且仅当m n =时等号成立．∵m ，0n >，解得83m n ≥+，当且仅当m n =是等号成立，8 3．故m n+的最小值为。

2017-2018学年广东省珠海二中、斗门一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2}，，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A．{﹣1}B．{0}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}2．（5分）若θ为第二象限角，则复数z=（sinθ﹣cosθ）+（tanθ﹣2017）i（i为虚数单位）对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=e lnx，g（x）=xB．C．D．f（x）=lg（x+1）+lg（x﹣1），g（x）=lg（x2﹣1）4．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题5．（5分）函数f（x）=ln|x|+|sinx|（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），将f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象经过点（0，1），则函数g（x）=cos（2x+φ）（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上有最大值D．在区间上有最小值7．（5分）若，则S1，S2，…，S2018中值为0的有（）个．A．200 B．201 C．402 D．4038．（5分）若函数f（x）=x﹣，g（x）=x+e x，h（x）=x+lnx的零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x2＜x3＜x1B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x1＜x29．（5分）设命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）．命题q：f（x）=x|x|在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）A．p∨q为真B．p∧q为假C．p为假D．¬q为真10．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x）为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（）A．函数f（x）是周期函数B．函数f（x）为R上的偶函数C．函数f（x）为R上的单调函数D．f（x）的图象关于点（）对称11．（5分）在直角三角形ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P线段AB上任意一点，且，若，则实数λ的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣4x）sin（x﹣2）+x+1在[﹣1，5]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．0 B．2 C．4 D．6二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则f（2a ﹣b）=．14．（5分）已知正方形的四个顶点A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣1）、D （1，﹣1）分别在曲线y=x2和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．15．（5分）若函数f（x）=有且只有2个不同零点，则实数k的取值范围是．16．（5分）在ABC三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，sinC=，且a﹣b=3﹣，则△ABC的面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算部骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必作题：共60分17．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）+cos（3x+）+msin3x（m∈R），f（）=﹣1（1）求m的值；（2）在ABC三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，且a2=2c2+b2，求tanA．18．（12分）一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（1）用n表示一次摸奖中奖的概率p n；（2）若n=5，设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有X次中奖，求X的数学期望EX；（3）设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率P，当n取何值时，P最大？19．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（2）若CD=2，二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作直线l与椭圆C交于M、N两点．（1）已知，椭圆C的离心率为，直线l交直线x=4于点P，求△F1MN 的周长及△F1MP的面积；（2）当a2+b2=4且点M在第一象限时，直线l交y轴于点Q，F1M⊥F1Q，证明：点M在定直线上．21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．（二）选作题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程是（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与曲线面的公共点，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|（1）解不等式f（x）＞4（2）若存在实数x0，对任意实数t不等式f（x0）＜|m+t|+|t﹣m|恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年广东省珠海二中、斗门一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2}，，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A．{﹣1}B．{0}C．{﹣1，0}D．{﹣1，0，1}【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（∁U B），∵B={x|y=}={x|x≥1或x≤﹣1}，A={﹣1，0，1，2}，∴∁U B={x|﹣1＜x＜1}，即A∩（∁U B）={0}故选：B．2．（5分）若θ为第二象限角，则复数z=（sinθ﹣cosθ）+（tanθ﹣2017）i（i为虚数单位）对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，tanθ＜0，∴sinθ﹣cosθ＞0，tanθ﹣2017＜0，则复数z=（sinθ﹣cosθ）+（tanθ﹣2017）i对应的点在第四象限．故选：D．3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）=e lnx，g（x）=xB．C．D．f（x）=lg（x+1）+lg（x﹣1），g（x）=lg（x2﹣1）【解答】解：对于A，函数f（x）=e lnx=x（x＞0），与g（x）=x（x∈R）的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数f（x）==1（x≠0），与g（x）=x0=1（≠0）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，函数f（x）==（x≠﹣+kπ，k∈Z），与g（x）=tanx（x≠+kπ，k∈R）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于D，函数f（x）=lg（x+1）+lg（x﹣1）=lg（x2﹣1）（x＞1），与g（x）=lg（x2﹣1）（x＞1或x＜﹣1）的定义域不同，不是同一函数．故选：B．4．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“已知x，y为一个三角形的两内角，若x=y，则sinx=siny”的逆命题为真命题【解答】解：对于A，根据否命题的意义可得：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，因此原命题不正确，违背否命题的形式；对于B，“m=1”是“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件不准确，因为“直线x﹣my=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件是m2=1，即m=±1．对于命题C：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定的写法应该是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故原结论不正确对于D，根据正弦定理，∵x=y⇔sinx=siny”，所以逆命题为真命题是正确的．故选：D．5．（5分）函数f（x）=ln|x|+|sinx|（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=ln|x|+|sinx|（﹣π≤x≤π且x≠0）是偶函数排除A．当x＞0时，f（x）=lnx+sinx，可得：f′（x）=+cosx，令+cosx=0，作出y=与y=﹣cosx图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f（π）=lnπ＞1，故选：A．6．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），将f（x）的图象向左平移个单位长度后所得的函数图象经过点（0，1），则函数g（x）=cos（2x+φ）（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上有最大值D．在区间上有最小值【解答】解：已知函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到：k（x）=sin（2x++∅），所得的函数图象经过点（0，1），所以：k（0）=1，则：π+∅=2k（k∈Z），解得：（k∈Z），已知：﹣π＜φ＜0，则：．所以：g（x）=cos（），函数的单调递增区间为：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z），解得：x∈[kπ﹣，]（k∈Z），函数的单调递减区间为：（k∈Z），解得：x（k∈Z），根据k的取值，在k=1时，选项A、B、D错误．故选：C．7．（5分）若，则S1，S2，…，S2018中值为0的有（）个．A．200 B．201 C．402 D．403【解答】解：则：数列的周期每经过5个单位循环一次，出现一个0，所以：2018÷5=403，由于少一个，所以：S1，S2，…，S2018中值为0的有402个．故选：C．8．（5分）若函数f（x）=x﹣，g（x）=x+e x，h（x）=x+lnx的零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x2＜x3＜x1B．x2＜x1＜x3C．x1＜x2＜x3D．x3＜x1＜x2【解答】解：∵f（x）=x﹣（x＞0）的零点为：1；g（x）=x+e x=0，可知e x＞0，方程的解x必须小于0，所以函数的零点必定小于零，h（x）=x+lnx=0，x＞1时，x+lnx＞0，所以函数的零点必位于（0，1）内，∴x2＜x3＜x1．故选：A．9．（5分）设命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）．命题q：f（x）=x|x|在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．则下列判断错误的是（）A．p∨q为真B．p∧q为假C．p为假D．¬q为真【解答】解：命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则∀x∈R，f（﹣x）≠f（x），是假命题．命题q：f（x）=x|x|=，在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）上是增函数，因此是假命题．则下列判断错误的是p∨q．故选：A．10．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足条件f（x+）=﹣f（x），且函数y=f（x）为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（）A．函数f（x）是周期函数B．函数f（x）为R上的偶函数C．函数f（x）为R上的单调函数D．f（x）的图象关于点（）对称【解答】解：对于A，∵f（x+）=﹣f（x），∴f（x+3）=﹣f（x+），∴f（x）=f（x+3），∴f（x）是周期为3的函数，故A正确；对于B，∵f（x+）=﹣f（x），∴f（x﹣+）=﹣f（x﹣），即f（x﹣）=﹣f （x﹣），又f（x）的周期为3，∴f（x﹣）=f（x﹣+3）=f（x+），∴f（x﹣）=﹣f（x+），又y=f（x﹣）是奇函数，∴f（x﹣）=﹣f（﹣x﹣），∴f（x+）=f（﹣x﹣），令x+=t，则f（t）=f（﹣t），∴f（t）是偶函数，即f（x）是偶函数，故B正确；对于C，由B知f（x）是偶函数，∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上的单调性相反，∴f（x）在R上不单调，故C错误；对于D，∵函数y=f（x﹣）为奇函数，∴y=f（x﹣）的图象关于点（0，0）对称，∵y=f（x﹣）的函数图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位得到的，∴y=f（x）的函数图象关于点（﹣，0）对称，故D正确；故选：C．11．（5分）在直角三角形ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P线段AB上任意一点，且，若，则实数λ的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），=（﹣1，1），∵=λ，∴λ∈[0，1]，=λ（﹣1，1），=（1﹣λ，λ），∵，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．2λ2﹣4λ+1≤0，解得：≤λ≤∵λ∈[0，1]∴λ∈[，1]故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=（x2﹣4x）sin（x﹣2）+x+1在[﹣1，5]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A．0 B．2 C．4 D．6【解答】解：∵f（x）=（x2﹣4x）sin（x﹣2）+x+1=[（x﹣2）2﹣4]sin（x﹣2）+x﹣2+3，令g（x）=[（x﹣2）2﹣4]sin（x﹣2）+x﹣2，而g（4﹣x）=[（x﹣2）2﹣4]sin（2﹣x）+（2﹣x），∴g（4﹣x）+g（x）=0，则g（x）关于（2，0）中心对称，则f（x）在[﹣1，5]上关于（2，3）中心对称．∴M+m=6．故选：D．二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则f（2a ﹣b）=5．【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，所以函数为：f（x）=x2+1，x∈[﹣2，2]，故f（2a﹣b）=f（2）=5，故答案为：5．14．（5分）已知正方形的四个顶点A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣1）、D （1，﹣1）分别在曲线y=x2和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是．【解答】解：∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，直线y=1与y=x2所围成区域面积为S==（x﹣）=（1﹣）﹣（﹣1+）=，由，得x2+（y+1）2=1（y≥﹣1），可得x轴下方阴影部分面积为S=，∴阴影部分面积为，由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是=．故答案为：．15．（5分）若函数f（x）=有且只有2个不同零点，则实数k的取值范围是k≥0．【解答】解：当x＞0时，f（1）=0；故1是函数f（x）的零点；故当x≤0时，f（x）=+kx2有且只有1个零点，而f（0）=0；故y=+kx没有零点；若+kx=0，（x＜0）则k=﹣＜0；故y=+kx没有零点时，k≥0．故答案为：k≥0．16．（5分）在ABC三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，sinC=，且a﹣b=3﹣，则△ABC的面积为．【解答】解：由sinC+sin（B﹣A）=sin2A，可得：sin（B+A）+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcosA∴2sinBcosA=2sinAcosA可得cosA=0，即A=90°此时：a=3，b=，c=．那么△ABC的面积为若：sinB=sinA．即b=a，与题干不符合．故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算部骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必作题：共60分17．（12分）已知函数f（x）=sin（3x+）+cos（3x+）+msin3x（m∈R），f （）=﹣1（1）求m的值；（2）在ABC三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，且a2=2c2+b2，求tanA．【解答】解：（1）f（x）=sin（3x+）+cos（3x+）+msin3x（m∈R）=sin3xcos+cos3xsin+cos3xcos﹣sin3xsin+msin3x，=+msin3x，∵f（）=﹣1，∴+msin=﹣1，∴，⇒，∴m=1（2）∵，∴，⇒，，∵0＜B＜π，∴，由余弦定理得b2=a2+c2﹣ac，又a2=2c2+b2．解得由余弦定理得，⇒，tanA=．18．（12分）一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（1）用n表示一次摸奖中奖的概率p n；（2）若n=5，设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有X次中奖，求X的数学期望EX；（3）设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率P，当n取何值时，P最大？【解答】解：（1）一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．n表示一次摸奖中奖的概率p n，由题设知：．…（3分）（2）n=5，设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有X次中奖，由（1）及题设知P5=，X～B（3，），∴．…（6分）（3）由（1）及题设知：设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率P，则P=（1﹣P n2）P n=3（﹣2P n2+P n），0＜P n＜1，∴，即当时，P'＞0，其为单增区间；当时，P'＜0，其为单减区间．∴当，即，得n=20时，P最大．…（12分）19．（12分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．（1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（2）若CD=2，二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为，求三棱锥C1﹣A1CD的体积．【解答】证明：（1）∵AA1=AC，则四边形ACC1A1为正方形，则AC1⊥A1C，∵AD=2CD，∠ADC=60°，∴△ACD为直角三角形，则AC⊥CD，∵AA1⊥平面ABC，∴CD⊥平面ACC1A1，则CD⊥A1C，∵A1C∩CD=C，∴AC1⊥平面A1B1CD．解：（2）∵CD=2，AD=2CD，∠ADC=60°，∴AD=4，AC==2，设AA1=λAC=2λ，建立以C为坐标原点，CD，CB，CC1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则C（0，0，0），D（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2λ），A1（0，2，2λ），则=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣2），=（0，0，﹣2），设面C1AD的一个法向量为=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设面C1DC的一个法向量为=（0，1，0），∵二面角A﹣C1D﹣C的余弦值为，∴|cos＜，＞===，解得λ=1，即AA1=AC，则三棱锥C 1﹣A1CD的体积V=V=CD AC•AA1=×2×2=4．20．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作直线l与椭圆C交于M、N两点．（1）已知，椭圆C的离心率为，直线l交直线x=4于点P，求△F1MN 的周长及△F1MP的面积；（2）当a2+b2=4且点M在第一象限时，直线l交y轴于点Q，F1M⊥F1Q，证明：点M在定直线上．【解答】（1）解：由题设知：得a=2，∴椭圆C的方程为…（2分）∴△F1MN的周长=F1M+MN+NF1=F1M+MF2+F2N+NF1=4a=8；…（3分）由F1（﹣1，0），F2（1，0）知直线l的方程为，得，∴△F1MP的面积=．…（6分）（2）证明：设，由题设知：F1（﹣c，0），F2（c，0）．由M，F2，Q∈l知，，则有y0（x﹣c）=﹣cy；由F1M⊥F1Q知，，则有c（x+c）+y0y=0；∴两式联立消去y0点得M（x，y）满足（x+c）（x﹣c）=y2，即x2﹣y2=c2；…（9分）又点M在椭圆C上，即有，即b2x2+a2y2=a2b2，∴两式联立得；又a2+b2=4，即…（11分）∴点M（x，y）满足，即点M在定直线x+y=2上．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【解答】解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．则h（0）=1﹣n，函数的导数h′（x）=e x﹣m，则h′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）=+=+=+，则函数的导数r′（x）=﹣+=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=，故当x≥0时，r（x）≥1成立．（二）选作题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程是（t为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程式为．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与曲线面的公共点，求的取值范围．【解答】解（1）由题设知：，得∴曲线C的直角坐标方程为，即．…（5分）（2）由（1）题设知：曲线C是以为圆心，2为半径的圆．则直线l 过圆心．又由点P（x，y）在直线l与曲线面上知：．∴．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+3|+|x﹣1|（1）解不等式f（x）＞4（2）若存在实数x0，对任意实数t不等式f（x0）＜|m+t|+|t﹣m|恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|2x+3|+|x﹣1|．∴，⇔x＜﹣2或0＜x≤1或x＞1．综上，不等式f（x）＞4的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．（Ⅱ）由（1）题设知：，又由|m+t|+|t﹣m|≥|（m+t）﹣（t﹣m）|=2|m|知：[f（x）]min＜2|m|，即．∴实数m的取值范围是．。