2017高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.5.1轨迹与轨迹方程对点训练理

2 2
y
P A


M
x 轴，
O
B

l x
5 QA QA QB 4 2 （ 2） 3 QA QB 1 QB 2 2 2 2 QA QB AB 3 cos AQB 2QA QB 5
4 tan AQB 3
2
6 .求经过点 M （ 1 ， 2 ），以 y 轴为准线， 1 率为 的椭圆的左顶点的轨迹 方程。 2
解：设左顶点A( x, y ),显然x 0,
焦点F ( x0 , y ) x0 x 1 3 由第二定义， x0 x , x 2 2 3 即F ( x, y ), M (1,2)在椭圆上, 2
2设Q是圆C:(x+1)2+y2=16上的动 点，另有A(1,0)，线段AQ的垂直 平分线交直线CQ于点P，当点Q 在圆上运动时，点 P 的轨迹方程为 2 2 x /4+ y /3 =1 总结：在熟知各种曲线（如：圆， 椭圆，双曲线，抛物线）定义的基 础上，分析动点运动规律符合某已 知曲线的定义，然后设其方程求出 方程中的待定系数。
一、基本方法
1、直接法：（1）建系、设点 （2）写出属性（3）坐标代入并化简 （4）检验
2、定义法：由圆锥曲线的定义，直接 写出圆锥曲线方程。
3、几何法：求动点轨迹时，动点的几何性 质与平面几何中的 定理及有关平面几何知 识有直接或间接的联系，可由此写出动点轨 迹。
4、转移法：某一动点的运动规律与另一个点运 动有关，而另一点 的运动轨迹可求，可利用此 法将动点转移到另一点轨迹上，即可求。 5、参数法：变量x,y之间的直接关系难寻求， 可适当选择参数，由此表示参数方程，然后 消 参为普通方程。 6、交轨法：曲线与曲线的交点随曲线变化， 如果求此交点轨迹，可将适合每一条件的轨 迹求出，联立后轨迹方程可求出。

一、轨迹方程的求法：（1）条件直译法：（2）几何分析法：（3）相关点法：（4）定义法：（5）参数法：（6）交轨法：二、核心题型：圆锥曲线的定义及性质运用、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题、焦点弦问题、弦的中点问题（注意检验！！！）、面积问题、范围和最值问题、存在性问题、对称问题、直线过定点问题、定值问题以及解析几何与函数、数列、不等式等的综合。

核心思想：分析法思想明确解题目标和方向、转化意识、简化运算意识。

题型一、轨迹方程的基本求法（条件直译法、定义法、相关点法、参数法、交轨法）1、若,M N 是两定点，6MN =，动点P 满足1PM PN ⋅=，则P 的轨迹方程为 ．2、椭圆2212516x y +=的左右焦点为12,F F ，P 为椭圆上的一动点，M 为1F P 的中点．则M 的轨迹方程为 ；12PF F ∆重心G 的轨迹方程为 ．3、从双曲线221x y -=上一点Q 引直线:20l x y +-=的垂线，垂足为N ，则线段QN 的中点M 的轨迹方程为 ．4、过原点作28y x =的两互相垂直的弦,OA OB ，以,OA OB 为邻边作矩形OBMA ．则动点M 的轨迹方程为 ．弦AB 中点N 的轨迹方程为 ．5、直线l 垂直于x 轴且交双曲线22221x y a b-=于,M N 两点，12,A A 为双曲线的顶点，则直线1A M 与2A N 的交点P 的轨迹方程为 ．6、已知12,A A 为22194x y +=的长轴的两端点，12,P P 是垂直于12A A 的弦的两端点，则11A P 与22A P 的交点M 的轨迹方程为 ．7、已知双曲线2222x y -=．（1）求以(2,1)A 为中点的双曲线的弦所在直线的方程；（2）过(1,1)B 能否作出直线l ，使l 与双曲线交于12,Q Q ，且(1,1)B 为12Q Q 的中点？1、（08重庆20题）已知)0,2(),0,2(N M -，动点P 满足： 6.PM PN +=（1）求点P 的轨迹方程；（2）若2·1cos PM PN MPN-＝,求点P 的坐标。

2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.5.2 圆锥曲线的综合应用对点训练 理1．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案 A解析 由题意知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0，所以－33<y 0<33，故选A. 2．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 A解析 如图所示，由题意知BC 为双曲线的通径，所以|BC |＝2b 2a ，则|BF |＝b2a.又|AF |＝c －a ，因为BD ⊥AC ，DC ⊥AB ，所以点D 在x 轴上，由Rt △BFA ∽Rt △DFB ，得|BF |2＝|AF |·|FD |，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝(c －a )·|FD |，所以|FD |＝b 4a 2c －a ，则由题意知b 4a 2c －a <a ＋a 2＋b 2，即b 4a2c －a<a ＋c ，所以b 4<a 2(c －a )(a ＋c )，即b 4<a 2(c 2－a 2)，即b 4<a 2b 2，所以0<b 2a 2<1，解得0<b a <1，而双曲线的渐近线斜率为±ba，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1,0)∪(0,1)，故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．2答案 A解析 解法一：设椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c . 由余弦定理4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3.而|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2，可得a 21＋3a 22＝4c 2.令a 1＝2c cos θ，a 2＝2c 3sin θ，即a 1c ＋a 2c ＝2cos θ＋23sin θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋13sin θ ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ＋12sin θ＝433sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3 故最大值为433，故选A.解法二：不妨设P 在第一象限，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .在△PF 1F 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－mn ＝4c 2.设椭圆的长轴长为2a 1，离心率为e 1，双曲线的实轴长为2a 2，离心率为e 2，它们的焦距为2c ，则1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝m ＋n 2＋m －n2c ＝mc.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 22＝m 2c 2＝4m 2m 2＋n 2－mn ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2－n m ＋1，易知⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2－nm＋1的最小值为34.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 2max ＝433.故选A. 4.已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解 (1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9kx .设点P 的横坐标为x P . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m－k 3，因此x M ＝kk －mk 2＋.四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M .于是±km 3k 2＋9＝2×k k －mk 2＋，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．5. 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2b m x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m2>0，①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2，代入直线方程y ＝mx ＋12解得b ＝－m 2＋22m2.②由①②得m <－63或m >63. (2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22. 6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线PA 的方程为y －1＝n －1mx ， 所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )． 设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ .点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．7．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此，⎩⎪⎨⎪⎧2a2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22.解得a ＝2，b＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点． 如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点， 则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)． 由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1，解得y 0＝1或y 0＝2. 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0,2)． 下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|PA ||PB |.当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k .易知，点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)． 又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1， k OB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线． 所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|PA ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立．8．已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程；(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向． ①|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；②设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M .证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．解 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.② 联立①，②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．①因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线方程有两种形式，第一种，y ＝kx ＋m ，注意斜率不存在的情况；第二种，x ＝ty ＋n .注意与x 轴平行的情况．设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k2.⑤将④，⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k2＋8k22＋4×649＋8k2， 即16(k 2＋1)＝162k 2＋＋8k22， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64.②证明：由x 2＝4y 得y ′＝x 2，所以C 1在点A 处的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y＝x 1x 2－x 214.令y ＝0得x ＝x 12，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，－1.而FA →＝(x 1，y 1－1)，于是FA →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①证明：由(1)知F (1,0)． 设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)， 因为|FA |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1.由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4， 可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)， 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)． 所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1， 因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0.所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝x 0＋x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．解 (1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )．则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－－＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m.直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3. 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3，又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .②由①可得，|TF |＝m 2＋1， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝m 2＋y 1＋y 22－4y 1y 2]＝m 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24m 2＋m 2＋3. 所以|TF ||PQ |＝124·m 2＋2m 2＋1＝124·⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥ 124＋＝33.当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值．所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．11．如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .解 (1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2kmb 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2.又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2k b 2＋a 2k2，b 2b 2＋a 2k 2. (2)证明：由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k2，整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2.因为a 2k 2＋b 2k2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab＝a －b ， 当且仅当k 2＝b a时等号成立．所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .12．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解 解法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ， 又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－mk，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k， 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|得，12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8， 即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)， 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点． 因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法二：(1)同解法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t1－2m，同理得y 2＝－2t1＋2m.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)． 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8， 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0， 即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法三：(1)同解法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k 2，又因为△OAB 的面积为8， 所以12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0，因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4， 所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.。

2017高考数学一轮复习 第十章 圆锥曲线与方程 10.3.1 抛物线的标准方程对点训练 理1.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 A解析 由y 2＝x 得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14，设A点到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1，故选A.2．如果抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，那么抛物线的方程是( )A ．y 2＝－16x B ．y 2＝12x C ．y 2＝16x D ．y 2＝－12x答案 C解析 由题设知直线3x －4y －12＝0与x 轴的交点(4,0)即为抛物线的焦点，故其方程为y 2＝16x .3．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析 y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p 2，又p >0，所以x ＝－p2必经过双曲线x 2－y 2＝1的左焦点(－2，0)，所以－p2＝－2，p ＝2 2.4．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．答案 1.2解析 建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛05⎝ ⎛⎭⎪⎫2－225x 2d x ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为＋2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2.5．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b(a<b)，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px(p>0)经过C ，F 两点，则b a＝________.答案 1＋ 2解析 由题意，知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2，b . 又C ，F 在抛物线y 2＝2px(p>0)上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2p×a 2， ①b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2，②由②÷①，得b 2a 2＝2b ＋aa，即b 2－2ba －a 2＝0，解得b a ＝1±2(负值舍去)．故ba＝1＋ 2.6．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝54|PQ|.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．解 (1)设Q(x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p .所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x.(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)． 代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D(2m 2＋1,2m)， |AB|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l′斜率为－m ，所以l′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故MN 的中点为E( 2m 2＋2m 2＋3，－2m )，|MN|＝ 1＋1m2|y 3－y 4|＝2＋2m 2＋1m2.由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2， 即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝2＋22＋m4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。