圆锥曲线与方程

圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。

双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。

抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。

二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。

以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。

双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。

三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。

以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。

双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。

四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。

2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。

圆锥曲线与方程1． 已知动抛物线的准线为x 轴，且经过点（0，2），求抛物线的顶点轨迹方程。

解：设抛物线的顶点坐标为)2,(),,(y x y x 则焦点坐标为， ……………………3分由题意得4)22(22=-+y x ， ………………6分即顶点的轨迹方程为.1)1(422=-+y x ………………8分 2.动点P 在x 轴与直线l ：y ＝3之间的区域（含边界）上运动，且到点F （0，1）和直线l的距离之和为4．（1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0,1)Q -作曲线C 的切线，求所作的切线与曲线C 所围成区域的面积． 【解】（1）设P （x ，y ）＋3－y ＝4，化简，得y ＝14x 2（y ≤3）．…………………4分（2）设过Q 的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程，整理得x 2－4kx ＋4＝0． 由△＝16k 2－16＝0．解得k ＝±1．于是所求切线方程为y ＝±x －1（亦可用导数求得切线方程）. 切点的坐标为（2，1），（－2，1）．由对称性知所求的区域的面积为S ＝220132(1)d .44x x x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦⎰ ………………… 10分 3．已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16，定点F 2(1，0)．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于A ，B 两点，且△ABF 1的面积为32，求直线l 的方程．解：（方法一）（1）设圆M 的半径为r ． 因为圆M 与圆F 1相内切，所以MF 1＝4－r ． 因为圆M 过点F 2，所以MF 2＝r ．所以MF 1＝4－MF 2，即MF 1＋MF 2＝4．………2分 所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2为焦点的椭圆．………且此椭圆的方程形式为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．其中2a ＝4，c ＝1，所以a ＝2，b ＝3．……………4分所以曲线C 的方程x 24＋y 23＝1．……………5分（方法二）设M (x ,y),由MF 1＋MF 2＝4得4= ……3分化简得x 24＋y 23＝1,所以曲线C 的方程x 24＋y 23＝1．…5分（2）（方法一）当直线l 的斜率不存在时， A ，B 两点的坐标分别是(0，3)，(0，－3)，此时S △ABF 1＝3≠32，不合题意．………………………………………………………6分设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得y 1＝12k 23＋4k 2，y 2＝－12k 23＋4k 2．所以S △ABF 1＝S △AOF 1＋S △BOF 1＝12OF 1⋅∣y 1∣＋12OF 1⋅∣y 2∣＝12OF 1⋅(y 1－y 2)＝12k 23＋4k 2．……………………………………………7分因为S △ABF 1＝32，所以12k 23＋4k2＝32．解得k ＝±12． …………………………8分 故所求直线l 的方程为x ±2y ＝0．……………………………………………………10分 （方法二）因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，S △ABF 1＝2S AOF 1．因为S △ABF 1＝32，所以S AOF 1＝34． ………………………………6分 不妨设点A (x 1，y 1)在x 轴上方，则S AOF 1＝12⋅OF 1⋅y 1＝34．所以y 1＝32，x 1＝±3，即点A 的坐标为(3，32)或(－3，32)． (8)分所以直线l 的斜率为±12．故所求的直线l 的方程为x ±2y ＝0．…………………………………………………10分 4. 点(,)n n n P x y 在曲线:xC y e -=上，曲线C 在n P 处的切线n l 与x 轴相交于点1(,0)n n Q x +,直线1n t +：1n x x +=与曲线C 相交于点111(,)n n n P x y +++，（1,2,3,n =L ）.由曲线C 和直线n l ，1n t +围成的图形面积记为n S ，已知11x =.（1）证明：11n n x x +=+； （2）求n S 关于n 的表达式；（3）若数列{}n S 的前n 项之和为n T ，求证：11n n n nT x T x ++<（1,2,3,n =L ）.解（Ⅰ）证明：因为x y e -=，所以xy e -'=-，则切线n l 的斜率nx n k e -=-，所以切线n l 的方程为()nx n n y y ex x --=--，令0y =，得1n Q n x x =+，即11n n x x +=+·2分（Ⅱ）解：因为11x =，所以n x n =，所以11111(2)()()|222n nn x xx n n n n n n n x e e S e dx x x y e e e +---+-+-=--⋅=--⨯=⎰ ·5分（Ⅲ）证明：因为12(2)2()(1)22(1)n n n e e T e e e e e e e ------=++⋅⋅⋅+=--， 所以1111111111n n n n n n n T e e e T e e e e e --++-++---===+---，又1111n nx n x n n ++==+， 故要证11n n n n T x T x ++<，只要证111n e e e n+-<-，即要证1(1)n e e n e +>-+·7分下用数学归纳法（或用二项式定理，或利用函数的单调性）等方法来 证明1(1)n ee n e +>-+（略）·10分5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，焦点F 的坐标为（1，0）． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）设M 、N 是抛物线C 的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为－4，直线MO ，NO 与抛物线C 的交点分别为点A 、B ．求证：动直线AB 恒过一个定点．解：（1）设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，则p2＝1，p ＝2．所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x ．………………………………………………3分 （2）(方法一)抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M (－1，y 1)、N (－1，y 2)， 其中y 1y 2＝－4．则直线MO 的方程为：y ＝－y 1x ． 将y ＝－y 1x 与y 2＝4x 联立方程组．解得A 点坐标为(4y 21，－4y 1)．同理可得B 点坐标为(4y 22，－4y 2)．则直线AB 的方程为：y ＋4y 1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 22－4y 21．整理，得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0．由⎩⎨⎧y ＝0，－4x ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0．故动直线AB 恒过一个定点(1，0)．………………10分(方法二)抛物线C 的准线方程为x ＝－1，设M (－1，y 1)、N (－1，y 2)． 由于y 1y 2＝－4，取y 1＝2，则y 2＝－2，可得M (－1，2)、N (－1，－2)．此时直线MO 的方程分别为y ＝－2x ，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝－2x ．解得A 点坐标为(1，－2)．同理，可得B 点坐标为(1，2)．则直线AB 的方程为l 1：x ＝1． 再取y 1＝1，则y 2＝－4，同理可得A (4，－4)，B (14，1)．此时直线AB 方程为l 2：4x ＋3y －4＝0．于是可得l 1与l 2的交点为(1，0)． 下面验证对任意的y 1，y 2，当y 1y 2＝－4时，动直线AB 恒过一个定点(1，0)． 直线MO 的方程为：y ＝－y 1x ． 将y ＝－y 1x 与y 2＝4x 联立方程组．解得A 点坐标为（4y 21，－4y 1）．同理可得B 点坐标为（4y 22，－4y 2）．则直线AB 的方程为：y ＋4y 1－4y 2＋4y 1＝x －4y 214y 22－4y 21．整理，得(y 1＋y 2)y －4x ＋4＝0． 可得点(1，0)在直线AB 上．所以动直线AB 恒过一个定点(1，0)．………………………………………………10分 6.（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点(2,2)A ，其焦点F 在x 轴上。

第二章 圆锥曲线与方程基础知识点及典型例题：一、椭圆及性质：（定义：()21212F F a PF PF >=+） 注：222c b a +=例1、已知椭圆:1162522=+y x 则它的焦点坐标为：______________,顶点坐标为:_______________________,长轴长为:_________,短轴长为:_________,焦距为:________,离心率为:_________,若P 为椭圆上的一点,且==21,4PF PF 则_____________.(若椭圆的方程为:16410022=+x y 呢?) 例2、已知下列条件求椭圆的标准方程： ① 已知椭圆的一个焦点为（3，0），且它的长轴长为10； ② 焦点在y 轴上，焦距为4，离心率为32； ③ 已知椭圆的焦点坐标为（-2，0），（2，0），且经过点⎪⎭⎫⎝⎛-23,25；④ 长轴长为20，离心率为53； ⑤ 长轴长是短轴长的3倍，且经过点()0,3P .二、双曲线及性质：(定义：)(2||2121F F a PF PF <=+) 注：222b a c +=例3、已知双曲线：14491622=-y x ，则它的焦点坐标为：____________,它的顶点坐标为:___________,实轴长为:_________,虚轴长为:__________,焦距为:_______,离心率为:______,渐近线的方程为:_______________;若P 为双曲线上的一点,且==21,4PF PF 则________.(若81=PF 呢?)例4、已知下列条件求双曲线的标准方程： ① 焦点在x 轴上3,4==b a ；② 焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2，-5）； ③ 顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，且45=e ； ④ 焦距是10，虚轴长是8；⑤ 焦点在x 轴上，渐近线为,34x y ±=实轴长为12； 三、抛物线及性质：（定义：d PF =||）例5、抛物线x y 82=的焦点F 的坐标为：_________,准线方程为:_____________,焦点到准线的距离为_________.若该抛物线上的一点M 到焦点F 的距离为5,则M 到准线的距离为:____,M 点的坐标为:__________.(若抛物线为y x 42-=呢?) 6、已知下列条件求抛物线的标准方程： ① 焦点为F （3，0）； ② 准线方程为21-=x ； ③ 焦点到准线的距离为2；四、直线与曲线的位置关系：（联立直线与曲线方程消去y 得：02=++C Bx Ax ）1、相交：两个交点0>∆⇔；（交点坐标为对应方程组的解！）2、相切：一个交点0=∆⇔；3、相离：无交点0<∆⇔。

2.5 圆锥曲线与方程1．曲线的方程和方程的曲线的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解满足下列关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.这个方程叫做曲线的方程；这个曲线叫做方程的曲线.说明：（1）曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.（2）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.（纯粹性）（3）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.（完备性）由曲线的方程的定义可知:如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在曲线 C 上的充要条件是f(x0 ,y0)=02．求曲线方程的一般步骤：（1）建系：建立适当的坐标系，用 M(x,y) 表示曲线上任意一点;（2）几何列式：写出满足条件的点Ｍ的集合｛Ｍ/Ｐ(M) ｝;（3）代数方程：将Ｍ点坐标（x,y）代入几何条件，列出方程 f (x,y) =0;（4）化简：化方程为最简形式；（5）证明：验证化简过的方程所表示的曲线是否是已知点的轨迹。

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.4．解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.5．平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.6．求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；(2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.7．求轨迹方程的常见方法:①直接法②定义法③代入法④参数法（1）直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过建立x, y之间的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。

圆锥曲线与方程知识点详细-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN椭圆1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。

.注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+bx a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 。

3、椭圆：12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。

③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。