圆锥曲线与方程单元知识总结

圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是平面上的一类曲线，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数，且A、B、C不全为0。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。

1. 椭圆：椭圆是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

若B^2 - 4AC < 0，则为椭圆。

椭圆是一个封闭的曲线，其特点是到两个焦点的距离和固定。

椭圆在几何中有重要的应用，如椭圆的焦点在天文学中用于描述行星和卫星的轨道。

2. 双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

若B^2 - 4AC > 0，则为双曲线。

双曲线有两个分支，其特点是到两个焦点的距离差固定。

双曲线在几何中也有广泛的应用，如描述光线在反射和折射中的路径。

3. 抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

若B^2 - 4AC = 0，则为抛物线。

抛物线是一个开口向上或向下的曲线，与焦点的距离等于到准线的距离。

抛物线在物理学、工程学和建筑学等领域中有重要的应用，如描述抛物面的形状。

4. 圆锥曲线的性质：(i) 对称性：圆锥曲线可以关于x轴、y轴、z轴和原点对称。

(ii) 焦点：圆锥曲线有1个或2个焦点，焦点是与曲线特定性质相关的重要点。

(iii) 准线：圆锥曲线有1条或2条准线，准线是与曲线特定性质相关的重要线。

(iv) 渐近线：双曲线有两条渐近线，抛物线有一条渐近线。

高中数学圆锥曲线知识点总结5篇高中数学圆锥曲线知识点总结5篇教育的现代化和大众化是推进知识普及和人才培养的重要策略。

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下面就让小编给大家带来高中数学圆锥曲线知识点总结，希望大家喜欢!高中数学圆锥曲线知识点总结11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x ，y+y )。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x ,y ) 则 a-b=(x-x ,y-y ).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ 0时，λa与a同方向;当λ 0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

圆锥曲线方程知识点总结圆锥曲线是解析几何中的重要内容，它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线四种曲线。

在学习圆锥曲线的方程时，我们需要掌握各种曲线的标准方程、一般方程以及一些重要的性质和定理。

接下来，我们将对圆锥曲线方程的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。

首先，我们来看圆的方程。

圆的标准方程是(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

而圆的一般方程是x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。

在解析几何中，我们需要掌握如何由标准方程转化为一般方程，以及如何由已知条件确定圆的方程。

其次，我们来看椭圆的方程。

椭圆的标准方程是(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b 分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。

椭圆的一般方程是Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E为常数。

在学习椭圆的方程时，我们需要了解椭圆的离心率、焦点、长轴、短轴等重要概念，以及它们之间的关系。

接着，我们来看双曲线的方程。

双曲线分为两种类型，一种是横轴为对称轴的双曲线，另一种是纵轴为对称轴的双曲线。

横轴为对称轴的双曲线的标准方程是(x/a)² (y/b)² = 1，而纵轴为对称轴的双曲线的标准方程是(y/b)² (x/a)² = 1。

双曲线的一般方程也是由这些标准方程推导而来，我们需要掌握如何进行转化和确定双曲线的方程。

最后，我们来看抛物线的方程。

抛物线分为两种类型，一种是开口向上的抛物线，另一种是开口向下的抛物线。

开口向上的抛物线的标准方程是y² = 2px，开口向下的抛物线的标准方程是y² = -2px。

抛物线的一般方程也可以由这些标准方程推导而来，我们需要了解抛物线的焦点、准线、顶点等重要性质。

圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。

双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。

抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。

二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。

以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。

双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。

三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。

以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。

双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。

四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。

2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。

同学们，咱们在高中数学里，圆锥曲线的方程可是个重要的家伙！今天就来给大家好好唠唠。

先说椭圆，它的方程就像一个温柔的“大胖子”。

比如说，椭圆方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$），这里的$a$和$b$可重要啦，决定了椭圆的形状和大小。

就像一个大西瓜，$a$是长半轴，$b$是短半轴。

再看双曲线，那可是个“调皮鬼”。

双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，它有两支，一支向左跑，一支向右跑。

比如说，火箭发射的轨道，有时候就像双曲线。

还有抛物线，它是个“急性子”，总是一条线冲出去。

比如投篮的时候，篮球在空中划过的轨迹，就可能是抛物线，它的方程$y^2 =2px$（$p>0$），$p$决定了抛物线的开口大小和方向。

怎么样，同学们，圆锥曲线的方程是不是没那么可怕啦？多做几道题，咱们就能把它们拿下！圆锥曲线方程，你真的懂了吗？亲爱的小伙伴们，今天咱们来聊聊圆锥曲线的方程。

想象一下，椭圆就像一个压扁的圆，比如我们常见的操场跑道，有一部分就是椭圆形状的。

它的方程$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$，告诉你怎么画出这个“压扁的圆”。

双曲线呢，像是两个背靠背的滑梯。

比如一些建筑的设计，就会用到双曲线的形状。

它的方程$\frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1$，让我们能算出滑梯的样子。

抛物线就简单啦，像喷泉水柱往上喷，然后落下来的轨迹。

家里的手电筒照出的光，也近似抛物线。

它的方程$y^2 = 2px$，帮我们描述这个美丽的曲线。

好好琢磨琢磨这些例子，圆锥曲线方程就不再神秘啦！圆锥曲线方程：数学世界的奇妙之旅小伙伴们，让我们一起踏上圆锥曲线方程的奇妙之旅吧！先说椭圆，它的方程就像一个神奇的密码。

比如我们看太阳系里行星的轨道，很多就是近似椭圆的。

圆锥曲线与方程小结与复习二、复习引入：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2．椭圆的标准方程：12222=+by ax ，12222=+bx ay （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程12222=+by ax (0>>b a )(1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．(2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2 b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比ac e =⇒2)(1ab e -=10<<e椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例4．双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的轨迹叫双曲线 即a MF MF 221=- 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（→两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（→两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关 5．双曲线的标准方程及特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种： 焦点在x 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-b y a x (0>a ,0>b )；焦点在y 轴上时双曲线的标准方程为：12222=-bx ay (0>a ,0>b )6.c b a ,,有关系式222b a c +=成立，且0,0,0>>>c b a 其中a 与b 的大小关系:可以为b a b a b a ><=,,7焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母2x 、2y 项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即2x 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；2y 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上8．双曲线的几何性质： （1）范围、对称性由标准方程12222=-by ax ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -，特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 （3）渐近线过双曲线12222=-by ax 的渐近线x ab y ±=（0=±by ax ）（4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比ac ac e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac aa c ab k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔9．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e14 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线 15．抛物线的准线方程： (1))0(22>=p px y , 焦点:)0,2(p ，准线l ：2p x -= (2))0(22>=p py x , 焦点:)2,0(p ，准线l ：2p y -= (3))0(22>-=p px y , 焦点:)0,2(p -，准线l ：2p x =(4) )0(22>-=p py x , 焦点:)2,0(p -，准线l ：2p y =相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p =不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x （2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号 16．抛物线的几何性质 （1）范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1． 18．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 将b kx y l +=:代入0:22=++++F Ey Dx CyAx C ，消去y ，得到关于x 的二次方程02=++c bx ax （*） 若0>∆，相交；0=∆，相切；0<∆，相离 综上，得： 联立⎩⎨⎧=+=pxyb kx y 22，得关于x 的方程02=++c bx ax当0=a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当0≠a ，则若0>∆，两个公共点（交点）0=∆，一个公共点（切点） 0<∆，无公共点 （相离）（2）相交弦长：弦长公式：21kad +∆=，（3）焦点弦公式：抛物线)0(22>=p px y ， )(21x x p AB ++= 抛物线)0(22>-=p px y ， )(21x x p AB +-= 抛物线)0(22>=p py x ， )(21y y p AB ++= 抛物线)0(22>-=p py x ，)(21y y p AB +-= （4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：p d 2= （5）若已知过焦点的直线倾斜角θ则⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p pkp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒（6）常用结论：⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421p x x =1.动点A 到定点F 1(0, －2)和F 2(0, 2)的距离的和为4，则动点A 的轨迹为 ( B )A. 椭圆B. 线段C. 无图形D. 两条射线；2.动点P 到定点F 1(1, 0)的距离比它到定点F 2(3, 0)的距离小2，则点P 的轨迹是 ( C ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．一条射线 D ．两条射线。

圆锥曲线重点知识点总结圆锥曲线是高中数学中一个重要的内容，是解析几何的重点之一。

在学习圆锥曲线时，我们需要掌握一些重要的知识点。

本文将对圆锥曲线的基本概念、方程与性质进行总结。

一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由切割一个锥体的过程中所得到的曲线。

根据切割方式的不同，圆锥曲线可分为三类：椭圆、双曲线和抛物线。

1. 椭圆：通过一点F（焦点）到平面上任意一点P的距离之和恒定的点集所构成的曲线称为椭圆。

这个常数称为椭圆的焦距，用c表示。

椭圆还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。

2. 双曲线：通过一点F到平面上任意一点P的距离之差恒定的点集所构成的曲线称为双曲线。

这个常数称为双曲线的离心率，用e表示。

双曲线还有一个重要的性质是焦点与准线之间的距离等于准线两焦点距离的一半。

3. 抛物线：通过平面上任意一点P到一个定点F的距离等于点P到一条直线l的距离的点集所构成的曲线称为抛物线。

二、圆锥曲线的方程在解析几何中，我们常常使用方程描述曲线。

圆锥曲线的方程可以用多种形式表示，例如标准方程、一般方程和参数方程等。

1. 椭圆的方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 （a > b > 0），其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。

2. 双曲线的方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （a > 0，b > 0），其中a和b分别代表双曲线的距离焦点的距离和离心率。

3. 抛物线的方程：抛物线的标准方程为y^2 = 2px，其中p为抛物线的焦距。

三、圆锥曲线的性质掌握圆锥曲线的性质对于解析几何的问题求解非常重要。

1. 椭圆的性质：a) 椭圆的离心率满足0<e<1，离心率越小，椭圆越圆。

b) 长半轴和短半轴的长度之间的关系是a>b。

c) 椭圆的离心率e满足等于c/a（其中c代表焦距）。

2. 双曲线的性质：a) 双曲线的离心率满足e>1，离心率越大，双曲线越开口。