第二章随机变量及其分布
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第⼆章随机变量及其分布
第⼆章 随机变量及其分布
习题2.1 P732. ⼀颗骰⼦抛两次,以X 表⽰两次中所得的最⼩点数. (1) 试求X 的分布列;
(2) 写出X 的分布函数, 并作图.
4. 有3个盒⼦,第⼀个盒⼦装有1个⽩球,4个⿊球; 第⼆个盒⼦装有2个⽩球,3个⿊球; 第三个盒⼦装有3个⽩球,2个⿊球. 现任取⼀个盒⼦,从中任取3个球. 以X 表⽰所取到的⽩球数.(1) 试求X 的概率分布列;
(2) 取到的⽩球数不少于2个的概率是多少?
6. 设随机变量X 的分布函数为
≥<≤<≤<≤<=.
6,1;63,2/1;31,3/1;10,4/1;
0,0)(x x x x x x F
试求X 的概率分布列及P(X<3),P(X ≤3),P(X>1),P(X ≥1).11. 如果X 的密度函数为
<≤-<≤=其他,021,210,)(x x x x x p
试求P(X ≤1.5).13. 设连续随机变量X 的分布函数为
≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(2x x Ax x x F
试求 (1) 系数A;(2) X 落在区间(0.3,0.7)内的概率;
(3) X 的密度函数.
15. 设随机变量X 和Y 同分布,X 的密度函数为
<<=.
,0;
20,8
3)(2
其他x x x p 已知事件A={X>a}和B={Y>a 独⽴, 且P(A ∪B)=3/4,求常数a.16. 设连续随机变量X 的密度函数p(x)是⼀个偶函数,F(x)为X 的分布函数, 求证对任意实数a>0, 有
(1);)(5.0)(1)(0
-=-=-a
dx x p a F a F
(2);1)(2)|(|-=
习题2.2 P811.设离散型随机变量X 的分布列为
试求E(X)和5. ⽤天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在⼀个盘中), 现有三组砝码(甲)1,2,2.5,10(g); (⼄)1,2,3,4,10(g); (丙)1,1,2,5,10(g), 称重时只能使⽤⼀组砝码. 问:当物品的质量为1g, 2g, …, 10g 的概率是相同的, ⽤哪⼀组砝码称重所⽤的平均砝码数最少?7. 对⼀批产品进⾏检查, 如查到第a 件全为合格品, 就认为这批产品合格;若在前a 件中发现不合格品即停⽌检查,且认为这批产品不合格. 设产品的数量很⼤, 可认为每次查到不合格品的概率都是p, 问每批产品平均要查多少件?11. 设随机变量X 的分布函数如下, 试求E(X).
≥-<≤<=--.1,2
11;
10,21
;0,2)()
1(2
1x e
x x e x F x x
12. 某⼯程队完成某项⼯程的时间X(单位:⽉)是⼀个随机变量,它的分布列为
(1) (2) 设该⼯程队所获利润为Y=50(13-X),单位为万元. 试求⼯程队的平均利润; (3) 若该⼯程队⾼速安排,完成该项⼯程的时间1X (单位:⽉
)的分布为
13. 设随机变量X 的概率密度函数为
≤≤=.
,0;
0,2
cos 21
)(其他πx x x p 对X 独⽴重复观察4次,Y 表⽰观察值⼤于π/3的次数,求Y 2的数学期望. 习题2.3P88
4. 设随机变量X 的分布函数为
≥-<≤<=--,1,211;
10,21
;0,2)()
1(2
1x e
x x e x F x x
试求Var(X).5. 设随机变量X 的密度函数为
≤<-≤<-+=,,0;10,1;01,1)(其他x x x x x p
试求Var(3X+2).7. 设随机变量X 仅在区间[a,b]上取值,试证
.)2
(
)(,)(2
a b X Var b X E a -≤≤≤
9. 设g(x)为随机变量X 取值的集合上的⾮负不减函数,且E(g(X))存在,证明:对任意的ε>0,有
.)
())
(()(εεg X g E X P ≤
>
11. 已知正常成⼈男性每升⾎液中的⽩细胞数平均是7.3×109
,标准差是0.7×109
. 试利⽤切⽐雪夫不等式估计每升⾎液中的⽩细胞数在5.2×109
⾄9.4×109
之间的概率的下界. 习题2.4P101
3. 某优秀射⼿命中10环的概率为0.7, 命中9环的概率为0.3. 试求该射⼿三次射击所是的环数不少于29环的概率.
5. 设随机变量X~b(n,p),已知E(X)=2.4, Var(X)=1.44, 求两个参数n 与p 各为多少?7. ⼀批产品的不合格品率为0.02, 现从中任取40件进⾏检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别⽤以下⽅法求拒收的概率:(1)⽤⼆项分布作精确计算;(2)⽤泊松分布作近似计算.9. 已知某商场⼀天来的顾客数X 服从参数为λ的泊松分布,⽽每个来到商场的顾客购物的概率为p,证明:此商场⼀天内购物的顾客数服从参数为λp 的泊松分布.12. 设随机变量X 的密度函数为
<<=.
,0;
10,2)(其他x x x p
以Y 表⽰对X 的三次独⽴重复观察中事件{X ≤1/2}出现的次数,试求P(Y=2).13. 某产品的不合格品率为0.1,每次随机抽取10件进⾏检验,若发现其中不合格品数多于1, 就去调整设备.若检验员每天检验4次,试问每天平均要⾼速⼏次设备. 习题2.5P115
3. 设K 服从(1,6)上的均匀分布,求⽅程012
=++Kx x 有实根的概率.
6. 设某种商品每周的需求量X 服从区间(10,30)上均匀分布,⽽商店进货数为区间(10,30)中的某⼀整数,商店每销售1单位商品可获利500元;若供⼤于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.10. 某种设备的使⽤寿命X(以年讲)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的⼚家规定,若设备在使⽤⼀年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造⼚每售出⼀台设备可赢利100元,⽽调换⼀台设备制造⼚需花费300元.试求每台设备的平均利润.11. 设顾客在某银⾏的窗⼝等待服务的时间X(以min 计)服从指数分布,其密度函数为
>=-.,0;
0,5
1)(5
其他x e x p x
某顾客在窗⼝等待服务,若超过10min,他就离开,他⼀个⽉要到银⾏5次,以Y 表⽰⼀个⽉内他未等到服务⽽离开窗⼝的次数,试求P(Y ≥1).
13. 设随机变量X 的密度函数为
≤>=-.
0,0;0,)(x x e x p x λλ(λ>0)
试求k,使得P(X>k)=0.5.20. 设X~N(3,22
),(1)求P(22);(3)确定c 合得P(X>c)=P(X
(1) 该机在下午2:30以后到达⼄地的概率是多少? (2) 该机在下午2:20以前到达⼄地的枝率是多少? (3) 该机在下午1:50⾄2:30之间到达⼄地的概率是多少?24. 某单位招聘员⼯,共有10000⼈报考.假设考试成绩服从正态分布,且已知90分以上有359⼈,60分以下有1151⼈.现按考试成绩从⾼分到低分依次录⽤2500⼈,试问被录⽤者最低分为多少?30. 设随机变量X~N(µ,σ2
),求E|X-µ|. 习题2.6P123
1. 已知离散随机变量X 的分布列为
试求Y=X 2
与Z=|X|3. 设随机变量X 服从(-1,2)上的均匀分布,记
<-≥=.
0,1;
0,1X X Y 试求Y 的分布列.
7. 设随时机变量X 服从区间(1,2)上的均匀分布,试求X
e Y 2=的密度函数.
8. 设随机变量X 服从区间(0,2)上的均匀分布,(1)求Y=X 2
的密度函数.(2)P(Y<2).13. 设),(~2
σµN X ,求X
e Y =的数学期望与⽅差.
15. 设随机变量X 的密度函数为
≤>=-.
0,0;0,)(x x e x p x 若若
试求以下Y 的密度函数(1) Y=2X+1; (2)X
e Y =; (3)2
X Y =.
17. 设),(~2
σµLN X ,试证:).,(~ln 2
σµN X Y =
