11 一维随机变量及其分布
本章重点是：离散型随机变量的分布律、分布函数；连续型随机变量的分布律、分布函数；随机变量函数的密度函数
1.口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5,.从中任取3个，以X表示取出的3个球中的最大号码.
（1）试求X的分布列；（2）写出X的分布函数，并作图.（2）X的分布函数为
2.有3个盒子，第一个和装有1个白球，4个黑球，第二个和装有2个白球，3个黑球，第三个和装有3个白球，2个黑球，现任取一个盒子，从中任取3个球.以X表示所取到的白球数.
（1）求X的概率分布列；（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少
3设随机变量的分布函数为
求X的概率分布列及
3,3,1,1PXPXPXPX..
4.随机变量X的密度函数为1,11,()0,.xxpx其它求X的分布函数.
5.学生完成一道作业的时间X是一个随机变量，（单位h）密度函数为
（1）确定常数c；（2）X的分布函数；（3）求在20min内完成一道作业的概率；
（4）求在10min以上完成一道作业的概率.
6.已知随机变量X的密度函数为21,xxpxxee试求随机变量YgX的概率分布，其中1,0;1,0.xgxx
7. 设随机变量X～(1,2)U，记 试求Y的分布列. 0,0;14,01;()13,13;12,36;1,6.xxFxxxx2,00.5,()0,.cxxxpx其它1,0,1,0XYX
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8. 设随机变量X的密度函数23,1120,.Xxxpx其它
试求下列随机变量的分布：（1）3;(2)3.YXYX（3）2YX
- 1 - 一维随机变量的分布函数
一维随机变量的分布函数是指在实数轴上，对于任意实数x，随机变量X小于等于x的概率，即F(x)=P(X<=x)，其中P为概率。
分布函数具有以下性质：
1. F(x)是一个单调不减的函数，即随着x的增大，F(x)也会增大或不变。
2. F(x)的取值范围是[0,1]，因为概率的取值范围也是[0,1]。
3. F(x)是右连续的，即对于任意x，F(x)的左右极限相等，且F(x)在x处连续。
4. 若X是一个连续型随机变量，则F(x)可以表示为X的概率密度函数f(x)的积分，即F(x)=∫f(t)dt，其中积分下限为负无穷，上限为x。
5. 若X是一个离散型随机变量，则F(x)可以表示为X的概率质量函数p(x)的累加和，即F(x)=∑p(t)，其中t取遍所有小于等于x的离散值。
分布函数是描述随机变量的一个重要工具，可以用来求解各种概率问题，例如求解随机变量X落在某个区间内的概率，或者求解X的统计特征值等。
第二章 随机变量及其分布
2.1随机变量和分布函数
一、判断题（正确的请在括号里打“√” ，错误请打“×” ）
1、函数F(x)={sinx,0≤x≤∏0,其它，则其能作为某一个随机变量的分布函数.
（ ）
2、设F(X)为随机变量X的分布函数，则其是一个单调不降的函数. （ ）
3、设F(X)为随机变量X的分布函数，则F(X)定义域为一般的样本空间.
（ ）
二 .下列函数中，哪个是随机变量X的分布函数，为什么？
（1） F1(x)={0,x<−21/2,−2≤x<02，x≥0 （2）F2(x)={0,x<0sinx,0≤x<∏1，x≥∏
(3) F3(x)={x+1/2,x<01/2,0≤x<1/21，x≥1/2 (4) F4(x)={1/3,x<02/3,0≤x<11，x≥1
三 、单项选择题
1、随机变量X的分布函数F(x)={1−(1+x)e−x,x≥00,其它，则P{X≤1｝=( )
A.−2e−1 B. 1−2e−1 C. e−1 D.−e−1
2、随机变量X的分布函数F(x),则下列概率中可表示为F(b)−F(b−0)的是（ ）
A. P{X≤b} B. P{X>𝑏} C. P{X=b} D. P{X≥b}
3、设F(X)为随机变量X的分布函数，则其值域为（ ）
A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
2.2离散型随机变量
一 、单项选择题
1某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ）
A. 12581 B. 12554 C. 12536 D. 12527 2．两台相互独立工作的机器，产生故障的概率分别为21、31，设X表示产生故障的机器台数，则P（X=1）等于（ ）
概率论与数理统计第二章测习题 1 / 3
第 2 章 一维随机变量及其分布
一、选择题
1．设 F(x) 是随机变量 X 的分布函数，则以下结论不正确的选项是
（ A）若 F(a)=0 ，则对任意 x≤a 有 F(x)=0
（ B）若 F(a)=1 ，则对任意 x≥a 有 F(x)=1
（ C）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≤a)=1/2
（ D）若 F(a)=1/2 ，则 P( x≥a)=1/2
2．设随机变量 X 的概率密度 f(x) 是偶函数，分布函数为 F(x) ，则
（A）F(x) 是偶函数 （B）F(x) 是奇函数 （C）F(x)+F(-x)=1 （D）2F(x)-F(-x)=1
3．设随机变量 X1, X 2 的分布函数、概率密度分别为 F1 (x) 、F2 (x) ，f 1 (x) 、f 2 (x) ，
若 a>0, b>0, c>0 ，则以下结论中不正确的选项是
（A）aF (x)+bF
2 (x) 是某一随机变量分布函数的充要条件是 a+b=1
1
（B）cF1 (x) F 2 (x) 是某一随机变量分布函数的充要条件是 c=1
（C）af 1 (x)+bf 2 (x) 是某一随机变量概率密度的充要条件是 a+b=1
（D）cf 1 (x) f 2 (x) 是某一随机变量分布函数的充要条件是 c=1
4．设随机变量 X1, X2 是任意两个独立的连续型随机变量， 它们的概率密度分别为 f 1 (x)
和 f 2 (x) ，分布函数分别为 F1 (x) 和 F2 (x) ，则
（A）f 1 (x) +f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度
（B）f 1 (x) f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度
（C）F1 (x)+F 2 (x) 必为某一随机变量的分布函数
（D）F1 (x)F 2 (x) 必为某一随机变量的分布函数
