《材料力学》第11章典型习题解析

材料力学习题册参考答案材料力学习题册参考答案（无计算题）第1章：轴向拉伸与压缩一：1（ABE ）2（ABD ）3（DE ）4（AEB ）5（C ）6（ＣＥ）７（ABD ）8（C ）9（BD ）10（ADE ）11（ACE ）12（D ）13（CE ）14（D ）15（ＡＢ）１６（BE ）17（D ）二：1对2错3错4错5对6对7错8错9错10错11错12错13对14错15错三：1：钢铸铁 2：比例极限p σ 弹性极限e σ 屈服极限s σ 强度极限b σ3.横截面 45度斜截面4. εσE =， EAFl l =5.强度，刚度，稳定性；6.轴向拉伸（或压缩）；7. llb b ?μ?=8. 1MPa=106 N/m 2 =1012 N/mm 2 9. 抵抗伸缩弹性变形，加载方式 10. 正正、剪 11.极限应力 12. >5% <5% 13. 破坏s σ b σ 14.强度校核截面设计荷载设计15. 线弹性变形弹性变形 16.拉应力 45度 17.无明显屈服阶段的塑性材料力学性能参考答案：1. A 2. C 3. C 4. C 5. C 6. 5d ; 10d 7. 弹塑8. s2s 9. 0.1 10. 压缩11. b 0.4σ 12. <；< 剪切挤压答案：一：1.（C ），2.（B ），3.（A ），二：1. 2bh db 2. b(d+a) bc 3. 4a δ a 2 4. F第2章：扭转一：1.（B ） 2.（C D ） 3.（C D ） 4. （C ） 5. （A E ） 6. （A ）7. （D ）8. （B D ） 9.（C ） 10. （B ） 11.（D ） 12.（C ）13.（B ）14.（A ） 15.（A E ）二：1错 2对 3对 4错 5错 6 对三：1. 垂直 2. 扭矩剪应力 3.最外缘为零4. p ττ< 抗扭刚度材料抵抗扭转变形的能力5. 不变不变增大一倍6. 1.5879τ7.实心空心圆8. 3241)(α- 9. m ax m in αττ= 10. 长边的中点中心角点 11.形成回路（剪力流）第3章：平面图形的几何性质一：1.（C ），2.（A ），3.（C ），4.（C ），5.（A ），6.（C ），7.（C ），8.（A ），9.（D ）二：1）. 1；无穷多；2）4)4/5(a ； 3），84p R I π=p 4z y I 16R I I ===π4）12/312bh I I z z ==；5）)/(/H 6bh 6BH W 32z -= 6）12/)(2211h b bh I I I I z y z y +=+=+；7）各分部图形对同一轴静矩8）两轴交点的极惯性矩；9）距形心最近的；10）惯性主轴；11）图形对其惯性积为零三：1：64/πd 114； 2.（0 , 14.09cm ）(a 22，a 62)3： 4447.9cm 4， 4：0.00686d 4 ，5: 77500 mm 4 ;6: 64640039.110 23.410C C C C y y z z I I mm I I mm ==?==?第4章：弯曲内力一：1.（A B ）2.（D ）3.（B ）4.（A B E ）5.（A B D ）6.（ACE ） 7.（ABDE ） 8.（ABE ）9. （D ） 10. （D ） 11.（ACBE ） 12.（D ） 13.（ABCDE ）二：1错 2错 3错 4对 5错 6对 7对三：1. 以弯曲变形 2.集中力 3. KNm 2512M .max =4. m KN 2q = 向下 KN 9P = 向上5.中性轴6.荷载支撑力7. 小8. 悬臂简支外伸9. 零第5章：弯曲应力一：1（ＡＢＤ）２．（C ）3.（BE ）4.（A ）5.（C ）6.（C ）7.（B ）8.（C ）9.（BC ）二：1对 2错 3错 4 对 5 错 6错 7 对三：1.满足强度要求更经济、更省料2. 变成曲面，既不伸长也不缩短3.中性轴4.形心主轴5.最大正应力6.剪力方向7.相等8.平面弯曲发生在最大弯矩处9.平面弯曲第6章：弯曲变形一：1（B ），2（B ），3（A ），4（D ），5（C ），6（A ），7（C ），8（B ），9（A ）10（B ），11（A ）二：1对2错3错4错5错6对7错8错9错10对11错12对三：1.（转角小量:θθtan ≈）（未考虑高阶小量对曲率的影响）2. 挠曲线采用近似微分方程导致的。

材料力学-学习指导及习题答案第一章绪论1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。

试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。

解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量M x，即扭矩，其大小等于M。

1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。

解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故σ＝p cosα=120×cos10°=118.2MPaτ＝p sinα=120×sin10°=20.8MPa1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。

试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。

图中之C点为截面形心。

解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力F N=100×106×0.04×0.1/2=200×103 N =200 kN其力偶即为弯矩M z=200×(50-33.33)×10-3 =3.33 kN·m1-4 板件的变形如图中虚线所示。

试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。

解：第二章轴向拉压应力2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。

解：(a) F N AB=F, F N BC=0, F N，max=F(b) F N AB=F, F N BC=－F, F N，max=F(c) F N AB=－2 kN, F N2BC=1 kN, F N CD=3 kN, F N，max=3 kN(d) F N AB=1 kN, F N BC=－1 kN, F N，max=1 kN2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。

11-2解：I z ＝12108040123-⨯⨯＝171×10-8m 4, I y ＝12104080123-⨯⨯＝42.6×10-8m 4i z ＝12h ＝1210803-⨯＝23.09×10-3m , i y ＝12b ＝1210403-⨯＝11.55×10-3m在图（a ）平面内：μ＝1λz ＝zi L μ＝31009.2321-⨯⨯＝86.6 在图（b ）平面内：μ＝0.8 λy ＝yi L μ＝3105.1128.0-⨯⨯＝139 因λy ＞λz ,∴杆会在图（b ）平面内失稳；又λy ＞λp 故 P c r ＝22)(L EI yμπ＝238112)28.0(10106.42101.2⨯⨯⨯⨯⨯⨯--π＝345kN11-3解： 解： AB 、BC 杆均为压杆 μAC ＝0.7，l AC ＝3m ， i AC ＝a121λAC ＝CB ACAC i l μ ＝0.7×3／(0.07×121)＝103.92μBC ＝1， l BC ＝ l ， i BC ＝d ／4 λBC ＝BCBCBC i l μ＝08.0421⨯⨯＝100λmax ＝ λAC＝103.92＞λp ＝πPEσ≈100所以AB 杆首先进入临界状态 ,可用欧拉公P cr ＝π2EA AC ／λAC 2 ＝π2×210×106×0.072／(103.922)＝940.41kN 建立稳定条件 ,其中 N AC ＝Pn 工 ＝ P cr ／N AC ＝P cr ／P ≥ n st P ≤P cr ／n st ＝ 940.41／2.5＝376.16kN 所以 结构的许可载荷[P] ＝376.16kN11-9解：一、如果AC 杆为矩形截面杆，CD 杆为圆截面杆1、按稳定计算 λ ＝i L μ＝d l 4＝02.014⨯＝200＞λp ∴用欧拉公式 σc r ＝22λπE2P工 BC2P/3MP3200402.01020032236⨯⨯⨯⨯⨯⨯π＝15.5kN [P]≤stcr n A σ＝stn Ed 22343λπ＝ 2、按强度计算[]σ≤W M max ＝n sσ， [ P ]≤241018.01.02354322⨯⨯⨯⨯=n bh s σ＝95.17kN ∴结构的[ P ] ≤15.5kN二、如果CD 杆为矩形截面杆，AC 杆为圆截面杆1、CD 杆按稳定计算 λ ＝i L μ＝h l 12＝18.0112⨯＝19.24＜λp λs ＝λo ＝ba s σ-＝12.1235304-＝61.61＞λ∴CD 杆的承载能力由强度决定[]σ≤A N＝n s σ， [ P]≤=⨯⨯⨯⨯=218.01.010235333n A s σ6345kN 2、按强度计算[]σ≤W M max ＝n sσ， [ P ]≤2641002.023*********⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ππσn d s ＝0.138kN ∴结构的[ P ] ≤0.138kN11-10 解：1、按稳定计算对BD 杆查表 i ＝1.52cm, A ＝2×5.688cm 2＝11.376cm 2＝11.376×10- 4m 2 λ ＝i L μ＝i l ＝0152.022＝186＜λp ∴用欧拉公式 σc r ＝22λπE以ACB 为研究对象 ∑M A ＝0， －2Ncos45°－2.5P ＝0 N ＝－1.77P由稳定条件 N ≤st cr n A σ＝stn EA22λπ，[ P]≤st cr n A σ＝stn EA2277.1λπ＝218677.110376.11102102426⨯⨯⨯⨯⨯⨯-π＝19.25kN2、按强度计算 AB 杆 W ＝141cm 3 ， M max ＝0.5P[]σ≤W M m a x ＝n sσ ， [ P ]≤5.15.010*********.063⨯⨯⨯⨯=-n W s σ＝44.18kN ∴结构的[ P ] ≤19.25kNBP11-11解：1、按稳定计算 λ ＝i L μ＝d l 4＝06.014⨯＝66.67 λo ＜λ＜λp∴用经验公式 σc r ＝338－1.21λ＝338－1.21×66.67＝257.33MPa由稳定条件 R B ≤st cr n A σ＝stn EA 22λπ，以ACB 为研究对象,有 y B ＝△l BCABAB B AD AB AB AD EI lR l l EI Pl 3)3(632--＝BC BC B EA l R838210113032)123(10113061--⨯⨯⨯--⨯⨯⨯⨯B R P ＝206.014⨯⨯⨯πB RR B ＝0.31P[ P]≤st cr n A 31.0σ＝stcr n d ⨯⨯431.02πσ＝331.0406.01033.25723⨯⨯⨯⨯⨯π＝782.35kN2、按强度计算 AB 杆 W ＝141cm 3， M max ＝0.38P[]σ≤W M max ＝n s σ ， [ P ]≤238.0101411023538.063⨯⨯⨯⨯=-n W s σ＝43.59kN ∴结构的[ P ] ≤43.59kN能量法8-5（b ）解：1、卡氏定理AB 段： M 1（x 1）＝－m ＝－ P lm x M ∂∂)(11＝－1， Px M ∂∂)(11＝0 0 ≤ x 1≤2l AC 段： M 2（x 2）＝ －m －P （x 2－2l ）＝－(P 2l＋P x 2)m x M ∂∂)(22＝－1， Px M ∂∂)(22＝－（x 2－2l ） 2l≤ x 2≤lθB ＝ EI 1[22/22/01)2(dx Px Pl Pldx l l l ⎰⎰++ ]＝EI 1{[P lx 1]2/0l ＋ [22222Px x Pl +]l l 2/}＝EIPlEIPl 894121812322=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-- f A ＝EI1222/2)2)(2(dx l x Px Pl ll -+⎰ ＝EI 1 [432232x Pl Px -]l l 2/＝EI PlEI Pl 681241413133=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-- B AM0.31P0.38P2、单位力法（莫尔定理）M 1（x ）＝ －P l , 0 ≤ x ≤ l ， M 2（x ）＝－P(x －2l ) 2l≤ x ≤ l 1M （x ）＝－(x －2l ) ， 2l≤ x ≤ l 2M （x ）＝－1 0 ≤ x ≤ l f A ＝EI1⎰Ldx x M x M )()(1＝EI 1[⎰⎰+LLdx x M x M dx x M x M )()()()(1211] ＝EI 1[⎰⎰--+-l l l dx l x l x P dx l x Pl 2/0)2)(2()2(]＝EIPl 63θB ＝EI1⎰Ldx x M x M )()(2＝EI 1[⎰⎰+LLdx x M x M dx x M x M )()()()(2221] ＝EI 1[⎰⎰-+l l l dx l x P dx Pl 2/0)2(]＝EIPl 8923、图乘法 f A ＝EIPl l l Pl l l Pl EI 6322214213=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯+⨯⨯ θB ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯+⨯⨯1222111l Pl l Pl EI ＝EI Pl 892(c) 解：1、卡氏定理AC 段： M 1（x 1）＝－ P 0x 1－ M 0－221qx11)(x M ∂＝－1， 11)(x M ∂＝－x 1 0 ≤ x 1≤0＝1P lM 1P lM 22Pl 2l 1M 12M M 0222qx ＋22ql DC 段： M 2（x 2）＝－ P 0x 2－ M 0 －22)(M x M ∂∂＝－1，22)(P x M ∂∂＝－x 2 2l≤ x 2≤lθB ＝ EI 1[22/2222/0121)22(2dx ql qx dx qx l l l ⎰⎰-+ ]＝EI 1{[631qx ]2/0l ＋ [262232x ql qx -]l l 2/} ＝EI ql EIql 1241612133-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++- f A ＝EI 1[22/22322/0131)22(2dx x ql qx dx qx l l l ⎰⎰-+ ] ＝EI 1{[841qx ]2/0l ＋ [4822242x ql qx -]l l 2/} ＝EI qlEIql 16161814144=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++- 2、单位力法 （莫尔定理）M 1（x 1）＝－20 ≤ x ≤ l ， M 2（x ）＝22ql2l≤ x ≤ l 1M （x ）＝－x 0≤ x ≤ l ， 2M （x ）＝－1 0 ≤ x ≤ l f A ＝EI1⎰Ldx x M x M )()(1＝EI 1[⎰⎰+LL dx x M x M dx x M x M )()()()(1211] ＝EI 1[dx x ql dx qx l l l )222/22/03⎰⎰- ] ＝EI ql 164θB ＝1⎰dx x M x M )()(2＝1[⎰⎰+dx x M x M dx x M x M )()()()(2221] AB 2 AB =1ABM 0＝122ql M 2M 122ql l 1M 1 2M＝EI 1[dx ql dx qx l l l ⎰⎰-2/22/0222＝－EI ql 1233、图乘法f A ＝EIql l l ql l l ql EI 164322432311422=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯-⨯⨯⨯θB ＝EIql l ql l ql EI 1212212311322-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯-⨯⨯⨯(d) 解： 1、卡氏定理AB 段： M 1（x 1）＝－ P 0x 1－221qx011)(M x M ∂∂＝0， 011)(P x M ∂∂＝－x 10 ≤ x 1≤ a DC 段： M 2（x 2）＝42qax ＋ax M 220－ 20a P x 2022)(M x M ∂∂＝a x 22， 022)(P x M ∂∂＝－21x 2 0 ≤ x 2≤ aDB 段： M 3（x 3）＝43qax ＋axM 230－ 20a P x 3－qa (x 3－a )033)(M x M ∂∂＝a x 23， 033)(P x M ∂∂＝－21x 3 a ≤ x 3≤2aθB ＝ EI 1[322330222)832(214dx qx qax dx x q a a a ⎰⎰-+ ]＝EI 1{[2432qx ]a 0＋ [24343323qx qax -]a a 2}＝EI qa 123- f A ＝ EI 1[10312dx qx a ⎰－3223320222)832(214dx qax x qa dx x qa a a a ⎰⎰-- ] ＝EI 1{[841qx ]a 0 －[2432qax ]a0－ [24343333qx qax -]a a 2}＝EI qa 24542、单位力法 （莫尔定理）AB 段： M 1（x 1）＝－221qx 0 ≤ x 1≤ a ； CB 段：M 1（x 2）＝－42qax 0≤ x 2≤2aCD 段： M 2（x 2）＝22qax 0 ≤ x 2≤a ； DB 段： M 2（x 2）＝－22qax ＋qa 2 a ≤ x 2 ≤2a AB 段： 1M （x 1）＝－x 1 0 ≤ x 1≤ a CB 段：1M （x 2）＝－21x 2 0 ≤ x 2≤2a CB 段： 2M （x 2 ）＝ax 220 ≤ x 2≤2a f A ＝EI1⎰Ldx x M x M )()(1＝EI 1[⎰⎰+LLdx x M x M dx x M x M )()()()(1211] ＝{222222202222022103124482dx x qa qax dx qax dx qax dx qx a a a a a⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+}＝EI qa 2454 θB ＝EI1⎰Ldx x M x M )()(2＝EI 1[⎰⎰+LLdx x M x M dx x M x M )()()()(2221] ＝EI 1{⎰⎰⎰-++-a a a a dx qx qax dx qx dx qx 22222022222022)42(4)8(}＝EIqa 123-3、图乘法 f A ＝EIql a a qa a a qa a a qa EI 245222214323132222114222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯θB ＝EIqa a qa a qa EI 122122213222211322-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-1M 0＝1 qM 122qa M 222qa 1M a2M 112-1解；（a ）图乘法δx ＝EI 1（21·M·2a ·32·2a ＋M·a ·43·2a ）＝EIMa 6172； θB ＝EI 1（21·M·2a ·32＋M·a ·43）＝EI Ma 35（δy ＝EI 1（21·P l ·l ·32l ）＋EI 21[2)2(l Pl Pl ·1]＝EI Pl 12133 ； δx ＝EI 21（21·P l ·l ·32l ＋P l ·l ·2l ）＝EI Pl 1253θB ＝1（1·P l ·l ·1＋P l ·l ·1）＝Pl 32P 0=1M M M(x )2a2a1M 12M 1P P 0=1M(x) P l P l2P ll l1M l2M 13M12-4（b）解：单位力法（莫尔定理）BC段：M1（x1）＝R B x1 0 ≤x1≤lCD段：M2（x 2）＝R B l0 ≤x2≤2lDA段：M3（x 3）＝R B l－P2l0 ≤x3≤2lBC段：M（x1）＝x1 0 ≤x1≤lCA段：M（x2）＝l0 ≤x2≤lf B＝EI1[32/22/2121)(ldxPllRdxlRdxxR lBlBlB-++⎰⎰⎰＝EI1（334134PllRB-）＝0R B＝163P图乘法f B＝EI1（llPllRlRlllRlllR BBBB⋅⋅-++⋅⋅+⋅⋅222/23221）＝0EIl3（8212131PRRRBBB-+⋅+）＝0R B＝163PR B lR B lR B l－P l/2M(x)llM。

思考与习题11-1悬臂梁的3端作用一集中力r (题11-1图)，尸与y轴的夹角为a ,试说明当梁的截面分别为圆形、正方形和矩形时，梁是否发生平面弯曲？为什么？(a) (b) (c) (d)题11T图11-2挑东西用的扁担常常是在中间折断，而游泳池的跳水板则容易在固定端处弯断，这是什么原因？11-3试判断题11-3图不的各梁，哪一种加载方法使梁A3产生的弯矩最大？哪一种最小？(a) (b) (c) (d)题11-3图11-4圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律，与圆截面直梁弯曲时横截面上正应力分布规律是否相同？试作图说明。

11-5试判断和比较题11-5图示各截面抗弯截面模量的大小，设各截面的面积相等。

11-6试判断和比较题11-6图不各截面抗弯截面模量的大小。

设各截面的高和宽相等。

11-7试用截面法求题11-7图示各梁指定截面的剪力和弯矩，指定截面分别无限靠近A、B、C、D各截面。

11-8试列出题11-8图示各梁的剪力方程和弯矩方程，作剪力图和弯矩图，并求出最大剪力和最大弯矩。

题11-8图11-9题11-9图中圆轴的外伸段为空心管状。

若轴的许用应力[a] = lOOMPtz，试校核其强度。

11-10图示一矩形截面简支梁，跨度l = 2m,在梁的中点作用集中力F = 80AN,截面尺寸Z? = 70/wn h = 140mm ,许用应力[cr] = 140MPa。

(1)试校核梁的强度；(2)如果强度不够，则采用工字形截面的型钢，试选择工字钢的型号，并对矩形与工字形截面材料消耗量进行比较。

11-11四轮拖车的载重量为40AN,设每一车轮所受的重量均相等，车轴材料 [b] = 50MP 。

，试选择车轴的直径11-12图示一篷孔刀杆，为了保证疆孔精度，镇刀杆的弯曲变形不可过大。

设径向切 削力F = 200N ,刀杆直径J = 10fflm ,外伸长度/ = 50mm ,材料的弹性模量 E = 210MP 。

试求刀杆上安装刀头的截面A 处的转角和挠度。