卡氏第二定理(专业教学)

Mechanics of Materials卡氏第二定理d d E A I N Δl l ii x xF GI F E F M ++∂∂⎰⎰T T P N ()()()()d ()()i l i x F x x EA M x M x x M x F ∂=∂∂∂⎰22F M EIEI 2NTεP ()()()d d d 222x M x x V x x x EA GI =++⎰⎰⎰F xk N 1Δnj j Nj i j j j iF l F E A F =∂=∂∑桁架结构N ()F x T ()M x ()M x N ()F x T ()M x ()M x S S ()()d 2ix F x GA F ∂+∂⎰组合变形构件图示外伸梁抗弯刚度为EI，只考虑弯曲变形，试求外伸端C的挠度wC 和截面B 的转角θB 。

解：⑴求支座约束力解得：-=AyFa F l=AyFaFl⑵求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数【例题】AB段BC段(0)x l≤≤()==AyFaM x F x xl()∂=∂M x axF l()l x l a≤≤+()()=+-M x F l a x()∂=+-∂M xl a xF⑶ 求载荷作用点相应的位移0()()()()d d +∂∂=+∂∂⎰⎰ll a C l M x M x M x M x w x xEI F EI F 231()33=+Fa l Fa EI 011d ()()d +=⋅++-⋅+-⎰⎰l l a lFa a x x x F l a x l a x x EI l l EI AB 段BC 段(0)x l ≤≤()==Ay Fa M x F x xl ()∂=∂M x ax F l()l x l a ≤≤+()()=+-M x F l a x ()∂=+-∂M x l aF⑶ 求载荷作用点相应的位移11221200()()()()d d ∂∂=+∂∂⎰⎰la C M x M x M x M x w x x EI F EI F 231()33=+Fa l Fa EI 1112220011d d =⋅+⋅⎰⎰l a Fa a x x x Fx x x EI l l EI AB 段BC 段1(0)≤≤x l 111()==Ay FaM x F x x l11()∂=∂M x a x F l 2(0)≤≤x a 22()=M x Fx 22()∂=∂M x xFlM x F x x Fa M Ay a ==-()111M lM x x a ∂=-∂()11M x Fx =()22M M x a∂=∂0()2⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数AB 段BC 段≤≤x l (0)1x a ≤≤(0)2⑴ 求支座约束力 解得：∑=MB0:Fa F l M Ay a --=0lF Fa M Aya =-↑()有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）1122120()()()()d d θ∂∂=+∂∂⎰⎰la B a a M x M x M x M x x x EI M EIM 11122011()d 0d a a laa M M Fa M x x x Fx x EIl lEI ==-=⋅-+⋅⎰⎰-Fal11()-=aFa M M x x l⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数 AB 段BC 段⑶ 求载荷作用点相应的位移结果负值说明位移方向与对应载荷方向相反3EI =【讨论】图示情况 含义FV ∂∂εFV B D ∂∂ε求 B 处 F 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）1. 建立内力方程【总结】卡氏第二定理求位移的解题步骤()()d ∂∂⎰l i M x M x x EI F ()[()]d -∂-∂⎰l iM x M x x EI F 2. 内力方程对 F i 求偏导3. 将内力方程及偏导代入积分表达式求位移各段内力方程坐标原点可以不一样 若所求位移处无对应载荷，可虚设对应载荷，偏导后才能令该虚载荷等于 0若所求位移为正，说明实际位移方向与对应载荷方向一致，否则与对应载荷方向相反内力正负规定不会影响计算结果 内力方程不要用约束力表示。

卡氏第二定理卡氏第二定理（KummerSecondTheorem）又称为卡氏二元定理，它是由德国数学家卡氏于1852年提出的一种数论定理，是多个古老定理的总结，是一个重要的代数结构之一。

卡氏第二定理涉及了几何射影以及椭圆曲线的投影，是一项重要的数学理论，被广泛应用在数论、组合数学、多元代数和特殊函数的研究中。

卡氏第二定理的主要原理可以归结为三点：（1）设f(x)为一种单个变量的多项式，一般地，一个多项式具有n次不同的根，不论是实根还是复根，他们出现的次数总是n次。

（2）设P(x,y)为一个二元多项式，其中x和y是连续变量，该多项式的根是一个椭圆曲线E上的点的坐标。

若F(x,y)是P(x,y)的一个不可约因子，那么F(x,y)在E上的根也是E上的点的坐标，而且出现次数等于P(x,y)的根的出现次数。

（3）对于任意的二元多项式P(x,y)，如果F(x,y)是P(x,y)的一个不可约因子，则P(x,y)的根总是满足如下条件：P(x,y)是一个整数关系。

卡氏第二定理在数论、组合数学、多元代数研究和计算数学中有着重要的应用价值。

它不仅用于解决多变量多项式的求根问题，而且还可以用来寻找椭圆曲线上有趣点的坐标，以及在数论中研究质素数和平方数等问题。

此外，在数据加密领域，卡氏第二定理的应用也是非常广泛的。

其中，最重要的应用是RSA加密算法，它是目前世界上最常用的公钥加密算法，而RSA算法的安全性完全依赖于卡氏第二定理的应用。

因此，卡氏第二定理的研究可以说是数学的“金矿”，在数学领域有着重要的应用价值，且极具前景。

现代数学家们仍一直在探索和研究卡氏第二定理，并发现了它具有良好的应用价值，为世界各地的科研人员提供了难以估量的帮助。

卡氏第二定理的研究不仅对数学的发展至关重要，而且对实际的应用也具有极大的意义，是数学巨人卡氏的一项重要成就。

《材料⼒学》学习指导《材料⼒学》学习指导⼀、《材料⼒学》课程的总体把握1.《材料⼒学》的任务材料⼒学是继理论⼒学之后开设的⼀门专业基础课。

理论⼒学研究物体（刚体）在⼒的作⽤下的平衡与运动规律，材料⼒学研究构件（变形体）的承载能⼒。

材料⼒学的研究对象为变形固体，且仅限于⼯程结构中的杆件。

所有⼯程结构与构件均为变形体，⽽⼯程结构中杆件受⼒后多为⼩变形体，讨论⼩变形体的平衡问题时，⽐如：求⽀反⼒时，可近似⽤刚体⼒学的理论。

⼤部分⼯程材料可近似为连续、均匀、各向同性（变形固体的理想模型）与完全弹性的理想材料。

构件的承载能⼒表现为三个⽅⾯：构件抵抗破坏的能⼒，称为强度；构件抵抗变形的能⼒，称为刚度；构件保持原有构件形状的能⼒，称为稳定性；所以材料⼒学的任务是在理想材料和⼩变形的条件下，研究杆件的强度、刚度与稳定性。

2.掌握《材料⼒学》的研究⽅法材料⼒学⾸先研究杆件在四种基本变形下的内⼒、应⼒与变形。

计算静定结构的内⼒的⽅法为截⾯法，要⽤到刚体⼒学的理论，所以要对理论⼒学中平衡条件的灵活应⽤相当熟练。

讨论应⼒与变形时，要从杆件的整体变形与局部变形之间的⼏何关系、应⼒与应变之间的物理关系、内⼒与应⼒之间的静⼒学关系三⽅⾯⼊⼿。

其中⼏何关系是在试验观察与假设条件下建⽴起来的；物理关系是通过⼤量试验总结得来的；静⼒学关系是由内⼒与应⼒的等效条件通过积分得到的。

对于组合变形下的内⼒、应⼒与变形计算，只需要在四种基本变形的基础上，利⽤叠加原理即可。

如何解决组合变形下的强度问题，需研究危险截⾯上危险点的应⼒状态，通过简单试验观察到的各种材料的破坏现象，提出复杂应⼒状态下的破坏假说(强度理论），进⽽建⽴强度条件。

3.掌握《材料⼒学》的学习⽅法材料⼒学是⼀门典型的理论与实验相结合的课程，其基本概念很多，知识综合性较强，题⽬灵活多变。

该课程在基础课与专业课之间，充当着纽带与桥梁的作⽤。

要学好材料⼒学，不可能⼀蹴⽽就，要有吃苦耐劳的精神。

1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）6.纵向线应变和横向线应变7.泊松比8.胡克定律9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式11.轴向拉压杆的强度计算公式12.许用应力，脆性材料，塑性材料13.延伸率14.截面收缩率15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式20.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆21.薄壁圆管（壁厚δ≤R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或24.等直圆轴强度条件25.塑性材料；脆性材料26.扭转圆轴的刚度条件? 或27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,29.平面应力状态的三个主应力,,30.主平面方位的计算公式31.面内最大切应力32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，33.三向应力状态最大与最小正应力,34.三向应力状态最大切应力35.广义胡克定律36.四种强度理论的相当应力37.一种常见的应力状态的强度条件，38.组合图形的形心坐标计算公式，39.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,41.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）42.纯弯曲梁的正应力计算公式43.横力弯曲最大正应力计算公式44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数? ，，45.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）46.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处47.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式48.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处51.弯曲正应力强度条件52.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件53.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，54.梁的挠曲线近似微分方程55.梁的转角方程56.梁的挠曲线方程?57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58.偏心拉伸（压缩）59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式64.剪切实用计算的强度条件65.挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.568.压杆的长细比或柔度计算公式，69.细长压杆临界应力的欧拉公式70.欧拉公式的适用范围71.压杆稳定性计算的安全系数法72.压杆稳定性计算的折减系数法73.关系需查表求得3 截面的几何参数4 应力和应变5 应力状态分析6 内力和内力图7 强度计算8 刚度校核9 压杆稳定性校核10 动荷载11 能量法和简单超静定问题材料力学公式汇总一、应力与强度条件 1、 拉压 []σσ≤=maxmax AN2、 剪切 []ττ≤=AQmax 挤压 []挤压挤压挤压σσ≤=AP3、 圆轴扭转 []ττ≤=W tTmaxmax t max t max max σσ≤=y I z t max c max max y I Mzc =σ[]cnax σ≤③[]ττ≤⋅=bI S Q z *max z max max 5、斜弯曲[]σσ≤+=maxyyz z max W M W M6、拉（压）弯组合 []σσ≤+=maxmax zW M A N[]t max t zmax t σσ≤+=y I M A N z[]c max c z z max c σσ≤-=A N y I M 注意：“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论 []στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr34W M M②第四强度理论[]στσσ≤+=+=z2n2w 2n2wr475.03W M M二、变形及刚度条件１、 拉压 ∑⎰===∆LEAxx N EALN EANL L d )(ii２、 扭转 ()⎰=∑==Φpp i i p GI dx x T GI L T GI TLπφ0180⋅=Φ=p GI T L （m / ）３、 弯曲(1)积分法:)()(''x M x EIy =C x x M x EI x EIy +==⎰d )()()('θD Cx x x x M x EIy ++=⎰⎰d ]d )([)((2)叠加法:()21,P P f …=()()21P f P f ++…， ()21,P P θ=()()++21P P θθ…(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)PAB MAB A BqL LLEI ML B =θ EI PL B 22=θ EIqL B 63=θEI ML f B 22=EI PL f B 33= EIqL f B 84=EIML B3=θ,EI MLA 6=θEIPL A B 162==θθEIqL A B 243==θθEIML f c 162=EIPL f c 483=EIqL f c 3844=(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)EIL M U 22==ii i EI L M 22∑=()⎰EIdx x M 22 (5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)=∂∂=∆ii P U()()⎰∂∂∑dx P x M EI x M i 三、应力状态与强度理论１、 二向应力状态斜截面应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=２、 二向应力状态极值正应力及所在截面方位角22min max )2(2xyy x y x τσσσσσσ+-±+=yx xyσστα--=22tg 0３、 二向应力状态的极值剪应力22max )2(xyyx τσστ+-=注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为450 ４、 三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥LL最大剪应力：231max σστ-=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）)(1y x x Eμσσε-= )(1x y y Eμσσε-= )(y x z Eσσμε+-= Gxy xy τγ= （2）、表达形式之二（用应变表示应力）)(12y x x E μεεμσ+-= )(12x y y Eμεεμσ+-= 0=z σ xy xy G γτ=6、三向应力状态的广义胡克定律()[]z y x x Eσσμσε+-=1()z y x ,, Gxy xy τγ= ()zx yz xy ,,7、强度理论（1）[]111σσσ≤=r ()3212σσμσσ+-=r []σ≤ []bb n σσ=（2）[]σσσσ≤-=313r ()()()[]213232221421σσσσσσσ-+-+-=r []σ≤ []s sn σσ=8、平面应力状态下的应变分析 （1）αγαεεεεεα2sin 22cos 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++=xyyx y x+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-αεεγα2sin 22yx αγ2cos 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy （2）22min max 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=xy y x y x γεεεεεεyx xyεεγα-=02tg 四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）①细长受压杆 p λλ≥ ()2min 2cr L EI P μπ= 22cr λπσE= ②中长受压杆 s p λλλ≥≥ λσb a -=cr③短粗受压杆s λλ≤ “cr σ”=s σ 或 b σ2、关于柔度的几个公式iLμλ=p2p σπλE=ba s s σλ-=五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式） 能量方程 U V T ∆=∆+∆冲击系数 std 211∆++=hK （自由落体冲击）st20d ∆=g v K （水平冲击）六、截面几何性质1、 惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）⎰=dA I P 2ρ=324d π()44132απ-D Dd =α ⎰==6442d dA y I z π ()44164απ-D 123bh123hb 323maxd y I W z z π==()43132απ-D62bh 62hb2、惯性矩平移轴公式A a I I 2zc z +=。

卡氏第二定理求位移例题摘要：一、卡氏第二定理简介1.卡氏第二定理的概念2.卡氏第二定理的意义二、卡氏第二定理求位移例题解析1.问题描述2.解题思路3.具体步骤4.结论正文：【提纲】一、卡氏第二定理简介卡氏第二定理，又称柯西- 施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，是数学分析领域中一个非常重要的不等式。

该定理可以用于求解许多与位移相关的问题，例如求解速度、加速度等物理量。

【提纲】二、卡氏第二定理求位移例题解析以下是一个利用卡氏第二定理求位移的例题：问题描述：设有一质点在一维空间的运动方程为x(t) = x0 + v0t +0.5at^2，已知质点在t = 0 时刻的位置为x0 = 1，初始速度为v0 = 2，加速度为a = 3。

求质点在t = 2 秒时的位移。

解题思路：首先，根据位移公式，我们可以得到x(2) = x0 + v0*2 +0.5*a*(2^2)。

然后，利用卡氏第二定理对速度、加速度进行替换，以求得更简单的表达式。

具体步骤：1.根据卡氏第二定理，有(x0 + v0t + 0.5at^2)^2 ≤ (x0^2 + (v0t)^2 + (0.5at^2)^2)。

2.将t = 2 代入，得到(1 + 2*2 + 0.5*3*(2^2))^2 ≤ (1^2 + (2*2)^2 + (0.5*3*(2^2))^2)。

3.计算得(7)^2 ≤ (1 + 4 + 12)。

4.化简得49 ≤ 17，显然成立。

5.根据柯西不等式，有(x0 + v0t + 0.5at^2)/√(1 + (v0t)^2 +(0.5at^2)^2) ≤ √(x0^2 + (v0t)^2 + (0.5at^2)^2)。

6.将t = 2 代入，得到(x(2) - 1)/√(1 + (2*2)^2 + (0.5*3*(2^2))^2) ≤ √(1^2 + (2*2)^2 + (0.5*3*(2^2))^2)。

7.计算得x(2) - 1 ≤ 5，即x(2) ≤ 6。

卡氏第二定理求位移例题卡氏第二定理是刚体力学中的一个重要定理，用于描述刚体在作用力下的运动情况。

根据卡氏第二定理，刚体的位移与作用力、质量和时间的乘积成正比。

为了更好地回答你的问题，我将给出一个求解位移的例题，并从多个角度进行详细解答。

例题：一个质量为2 kg的物体受到一个力为10 N的作用，作用时间为5 s。

求物体的位移。

解答：根据卡氏第二定理，我们可以使用以下公式来求解位移：位移 = (作用力× 时间) / 质量。

将题目中给出的数值代入公式中：位移= (10 N × 5 s) / 2 kg.= 50 N·s / 2 kg.= 25 m.因此，物体的位移为25米。

从多个角度全面完整地解答这个问题，我们可以从以下几个方面进行说明：1. 卡氏第二定理的原理，卡氏第二定理是基于牛顿第二定律（F = ma）的推导得出的。

根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与质量成反比。

卡氏第二定理则是在牛顿第二定律的基础上，引入了时间的因素，描述了力对物体的作用时间越长，物体的位移越大。

2. 位移的定义，位移是指物体从一个位置移动到另一个位置的距离和方向的变化。

在本例中，位移表示物体从初始位置移动到最终位置的距离。

3. 作用力的定义，作用力是指一个物体对另一个物体施加的力。

在本例中，作用力为10牛顿，表示施加在物体上的外力大小。

4. 时间的定义，时间是指物体受到作用力的持续时间。

在本例中，时间为5秒，表示作用力作用的时间长度。

5. 质量的定义，质量是指物体所具有的惯性和引力特性的物理量。

在本例中，物体的质量为2千克。

6. 单位的转换，在计算中，我们需要注意单位的转换。

在本例中，作用力的单位是牛顿，时间的单位是秒，质量的单位是千克，位移的单位是米。

综上所述，根据卡氏第二定理，我们可以求解出物体在给定作用力下的位移。

希望以上解答能够满足你的要求，并对卡氏第二定理的应用有更深入的理解。