卡氏第二定理

Mechanics of Materials卡氏第二定理d d E A I N Δl l ii x xF GI F E F M ++∂∂⎰⎰T T P N ()()()()d ()()i l i x F x x EA M x M x x M x F ∂=∂∂∂⎰22F M EIEI 2NTεP ()()()d d d 222x M x x V x x x EA GI =++⎰⎰⎰F xk N 1Δnj j Nj i j j j iF l F E A F =∂=∂∑桁架结构N ()F x T ()M x ()M x N ()F x T ()M x ()M x S S ()()d 2ix F x GA F ∂+∂⎰组合变形构件图示外伸梁抗弯刚度为EI，只考虑弯曲变形，试求外伸端C的挠度wC 和截面B 的转角θB 。

解：⑴求支座约束力解得：-=AyFa F l=AyFaFl⑵求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数【例题】AB段BC段(0)x l≤≤()==AyFaM x F x xl()∂=∂M x axF l()l x l a≤≤+()()=+-M x F l a x()∂=+-∂M xl a xF⑶ 求载荷作用点相应的位移0()()()()d d +∂∂=+∂∂⎰⎰ll a C l M x M x M x M x w x xEI F EI F 231()33=+Fa l Fa EI 011d ()()d +=⋅++-⋅+-⎰⎰l l a lFa a x x x F l a x l a x x EI l l EI AB 段BC 段(0)x l ≤≤()==Ay Fa M x F x xl ()∂=∂M x ax F l()l x l a ≤≤+()()=+-M x F l a x ()∂=+-∂M x l aF⑶ 求载荷作用点相应的位移11221200()()()()d d ∂∂=+∂∂⎰⎰la C M x M x M x M x w x x EI F EI F 231()33=+Fa l Fa EI 1112220011d d =⋅+⋅⎰⎰l a Fa a x x x Fx x x EI l l EI AB 段BC 段1(0)≤≤x l 111()==Ay FaM x F x x l11()∂=∂M x a x F l 2(0)≤≤x a 22()=M x Fx 22()∂=∂M x xFlM x F x x Fa M Ay a ==-()111M lM x x a ∂=-∂()11M x Fx =()22M M x a∂=∂0()2⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数AB 段BC 段≤≤x l (0)1x a ≤≤(0)2⑴ 求支座约束力 解得：∑=MB0:Fa F l M Ay a --=0lF Fa M Aya =-↑()有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）1122120()()()()d d θ∂∂=+∂∂⎰⎰la B a a M x M x M x M x x x EI M EIM 11122011()d 0d a a laa M M Fa M x x x Fx x EIl lEI ==-=⋅-+⋅⎰⎰-Fal11()-=aFa M M x x l⑵ 求梁各段的弯矩方程及对载荷的偏导数 AB 段BC 段⑶ 求载荷作用点相应的位移结果负值说明位移方向与对应载荷方向相反3EI =【讨论】图示情况 含义FV ∂∂εFV B D ∂∂ε求 B 处 F 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）1. 建立内力方程【总结】卡氏第二定理求位移的解题步骤()()d ∂∂⎰l i M x M x x EI F ()[()]d -∂-∂⎰l iM x M x x EI F 2. 内力方程对 F i 求偏导3. 将内力方程及偏导代入积分表达式求位移各段内力方程坐标原点可以不一样 若所求位移处无对应载荷，可虚设对应载荷，偏导后才能令该虚载荷等于 0若所求位移为正，说明实际位移方向与对应载荷方向一致，否则与对应载荷方向相反内力正负规定不会影响计算结果 内力方程不要用约束力表示。

卡氏第二定理求位移例题摘要：一、卡氏第二定理简介1.卡氏第二定理的概念2.卡氏第二定理的意义二、卡氏第二定理求位移例题解析1.问题描述2.解题思路3.具体步骤4.结论正文：【提纲】一、卡氏第二定理简介卡氏第二定理，又称柯西- 施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，是数学分析领域中一个非常重要的不等式。

该定理可以用于求解许多与位移相关的问题，例如求解速度、加速度等物理量。

【提纲】二、卡氏第二定理求位移例题解析以下是一个利用卡氏第二定理求位移的例题：问题描述：设有一质点在一维空间的运动方程为x(t) = x0 + v0t +0.5at^2，已知质点在t = 0 时刻的位置为x0 = 1，初始速度为v0 = 2，加速度为a = 3。

求质点在t = 2 秒时的位移。

解题思路：首先，根据位移公式，我们可以得到x(2) = x0 + v0*2 +0.5*a*(2^2)。

然后，利用卡氏第二定理对速度、加速度进行替换，以求得更简单的表达式。

具体步骤：1.根据卡氏第二定理，有(x0 + v0t + 0.5at^2)^2 ≤ (x0^2 + (v0t)^2 + (0.5at^2)^2)。

2.将t = 2 代入，得到(1 + 2*2 + 0.5*3*(2^2))^2 ≤ (1^2 + (2*2)^2 + (0.5*3*(2^2))^2)。

3.计算得(7)^2 ≤ (1 + 4 + 12)。

4.化简得49 ≤ 17，显然成立。

5.根据柯西不等式，有(x0 + v0t + 0.5at^2)/√(1 + (v0t)^2 +(0.5at^2)^2) ≤ √(x0^2 + (v0t)^2 + (0.5at^2)^2)。

6.将t = 2 代入，得到(x(2) - 1)/√(1 + (2*2)^2 + (0.5*3*(2^2))^2) ≤ √(1^2 + (2*2)^2 + (0.5*3*(2^2))^2)。

7.计算得x(2) - 1 ≤ 5，即x(2) ≤ 6。

卡氏第二定理求位移例题摘要：1.卡氏第二定理简介2.位移的概念3.求位移的例题4.例题解答过程5.总结正文：【1.卡氏第二定理简介】卡氏第二定理，又称卡氏定理二，是结构力学中的一个重要定理。

它是由俄国力学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）提出的。

卡氏第二定理主要用于研究杆件系统在位移、内力及反力作用下的平衡问题。

【2.位移的概念】位移是指物体从一个位置到另一个位置的位置变化。

在结构力学中，位移通常用来描述杆件在受力情况下的形变。

位移可以分为线位移和角位移两种。

线位移是指杆件在受力情况下的长度变化，而角位移是指杆件在受力情况下的旋转角度变化。

【3.求位移的例题】假设有一个简支梁，梁的两端分别固定在两个支座上，梁的中点处有一个集中力F 作用在梁的上方。

现在需要求解在集中力作用下，梁的位移。

【4.例题解答过程】根据卡氏第二定理，我们可以通过求解梁的内力来计算位移。

首先，我们需要列出梁在集中力作用下的力学平衡方程。

根据力学平衡原理，梁的反力和内力之和应该等于零。

设梁的上部为受压区，下部为受拉区。

由于梁是简支梁，所以梁的左右两端支座反力为零。

根据力学平衡方程，我们可以得到以下方程组：（1）梁上部受压区：ΣF_N = 0，其中F_N 表示梁上部受压区的反力。

（2）梁下部受拉区：ΣF_T = 0，其中F_T 表示梁下部受拉区的反力。

（3）梁的弯曲部分：M_x = EI * δ，其中M_x 表示梁的弯矩，E 表示梁的弹性模量，I 表示梁的惯性矩，δ表示梁的弯曲角。

根据以上方程组，我们可以求解出梁的位移。

由于梁的弯曲部分是连续的，所以梁的位移应该是均匀分布的。

我们可以通过求解梁的弯矩来计算位移。

假设梁的长度为L，集中力F 作用在距离梁端点L/4 的位置，梁的弹性模量E 为200 GPa，梁的惯性矩I 为1/12 * L^4。

代入卡氏第二定理，我们可以得到：δ= F * L^3 / (8 * E * I)根据上述公式，我们可以求解出梁的位移。

卡氏第二定律卡氏第二定律，也称为牛顿第二定律，是物理学中最基本的定律之一。

它描述了物体的运动与所受力的关系，被广泛应用于力学和动力学的研究中。

卡氏第二定律的数学表达式为F = ma，其中F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。

根据这个定律，如果一个物体受到一个力，它将以与该力成正比的加速度运动。

卡氏第二定律可以通过以下实例更好地理解。

假设有一个质量为2千克的小车，施加在小车上的力为10牛顿。

根据卡氏第二定律，我们可以计算出小车的加速度。

代入公式F = ma，可得10 = 2a，解方程可得a = 5米/秒²。

这意味着小车将以每秒5米的加速度向前移动。

卡氏第二定律的应用不仅限于直线运动，也可以用于描述旋转运动。

对于一个刚体的转动，卡氏第二定律可以表示为τ = Iα，其中τ表示刚体所受的合力矩，I表示刚体的转动惯量，α表示刚体的角加速度。

这个公式告诉我们，刚体的旋转运动与所受的力矩成正比。

卡氏第二定律的重要性在于它是力学的基础，可以用来解释和预测物体的运动。

它帮助我们理解为什么物体会加速或减速，为物体的运动提供了定量的描述。

除了基本的数学表达式外，卡氏第二定律还有一些重要的特点和应用。

首先，它遵循矢量运算规则，即力和加速度是矢量量。

其次，它适用于惯性参考系，即在不受外力干扰的情况下才能准确描述物体的运动。

此外，卡氏第二定律还可以与其他定律和原理结合使用，如牛顿第三定律和动量守恒定律等。

卡氏第二定律的应用广泛，涉及许多领域。

在工程学中，它用于设计和分析机械系统的运动。

在航天学中，它用于预测和控制航天器的运动。

在生物学中，它用于理解动物和人体的运动机制。

在体育运动中，它用于优化运动员的训练和表现。

卡氏第二定律是物理学中最基本的定律之一，描述了物体的运动与所受力的关系。

它的应用范围广泛，为我们理解和控制物体的运动提供了重要的工具。

通过深入学习和应用卡氏第二定律，我们能够更好地理解和解释世界的运动规律。

卡氏第二定理求位移例题
（最新版）
目录
1.卡氏第二定理简介
2.位移的定义与计算方法
3.例题解析：使用卡氏第二定理求位移
4.总结与拓展
正文
【1.卡氏第二定理简介】
卡氏第二定理，又称卡氏定理二，是固体力学中关于应变和应力关系的一个重要定理。

该定理描述了在给定应力条件下，材料产生的应变情况。

卡氏第二定理在我国的工程技术领域有着广泛的应用，例如土木工程、航空航天等。

【2.位移的定义与计算方法】
位移是指物体位置的改变。

在固体力学中，位移通常用来描述物体在受力作用下的形变。

位移的计算方法通常有以下两种：
（1）微小位移法：当物体的位移较小时，可以将位移看作是各点微小位移的总和，通过求和的方式计算总位移。

（2）积分法：对于较大的位移，可以通过对物体受力情况进行积分，求得位移。

【3.例题解析：使用卡氏第二定理求位移】
假设有一个长方体，在竖直方向上受到均匀分布的荷载，我们需要求解该长方体在荷载作用下的位移。

（1）根据卡氏第二定理，首先需要求出长方体在竖直方向上的应变。

（2）根据长方体的几何参数和应变，可以求出长方体在竖直方向上的应力。

（3）利用微小位移法或积分法，可以求出长方体在竖直方向上的位移。

【4.总结与拓展】
卡氏第二定理在求解位移问题中具有重要作用，可以帮助我们更好地理解物体在受力作用下的形变情况。

在实际工程应用中，掌握卡氏第二定理对于分析结构受力、计算位移等具有重要意义。

卡氏第二定理卡氏第二定理是意大利工程师 A.卡斯蒂利亚诺于1873年提出的。

它被用于求解弹性体的位移，也被用于求解静不定结构问题。

卡氏定理,卡氏定理(Castiglianos Theorem),是意大利工程师卡斯蒂利亚诺(A.Castigliano )于1873,故得其名,卡氏第一定理,卡氏第二定理,设弹性结构在支座的约束下无任何刚性位移,作用有外力,F1 ,F2 , ,Fi ,相应的位移为,1 , 2 , , i ,结构的变形能,卡氏定理的证明,只给Fi 一个增量Fi,引起所有力的作用点沿力方向的位移增量为,在作用Fi 的过程中, Fi 完成的功为,原有的所有力完成的功为,结构应变能的增量为,如果把原来的力看作第一组力,而把Fi 看作第二组力,根椐互等定理,略去高阶微量,或者,当Fi 趋于零时,上式为,这就是卡。

卡氏第二定理（Castiglianos Second Theorem )（卡氏定理）（Castiglianos Theorem,1）卡氏第二定理只适用于线性弹性体( Applying only to linearly elastic bodies,说明(Directions,2）Fi 为广义力（generalized force）i为相应的位移（displacement corresponding to force Fi,3）卡氏第二定理的应用( Application of castiglianos second theorem,a）轴向拉,压（Axial tension and co 。

【卡氏第二定理|卡氏第二定理】3、mpression,b）扭转（Torsion,c）弯曲（Bending,4）平面桁架(Plane truss,5）组合变形(Combined deformation,例 2.6,已知EI, 求 C 端挠度及A 截面的转角,解,根据卡氏定理,有,AB段,BC段,例2.7,图示刚架EI为常量，B截面受m作用。

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3 截面的几何参数4 应力和应变5 应力状态分析2 内力和内力图6 强度计算7 刚度校核8 压杆稳定性校核10 动荷载9 能量法和简单超静定问题材料力学公式汇总一、应力与强度条件材料力学公式超级大汇总汇总（推荐完整)编辑整理:张嬗雒老师尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望材料力学公式超级大汇总汇总(推荐完整）这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。

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材料力学公式超级大汇总1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N,横截面面积A,拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正)5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）6.纵向线应变和横向线应变7.泊松比8.胡克定律9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式11.轴向拉压杆的强度计算公式12.许用应力，脆性材料，塑性材料13.延伸率14.截面收缩率15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g )16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆(b）空心圆18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式20.扭转截面系数，（a)实心圆（b）空心圆21.薄壁圆管(壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同(如阶梯轴)时或24.等直圆轴强度条件25.塑性材料;脆性材料26.扭转圆轴的刚度条件？或27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式，28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式，29.平面应力状态的三个主应力，，30.主平面方位的计算公式31.面内最大切应力32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，33.三向应力状态最大与最小正应力，34.三向应力状态最大切应力35.广义胡克定律36.四种强度理论的相当应力37.一种常见的应力状态的强度条件，38.组合图形的形心坐标计算公式,39.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径？,41.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a,图形面积为A）42.纯弯曲梁的正应力计算公式43.横力弯曲最大正应力计算公式44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数？，，45.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度)46.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处47.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式48.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处51.弯曲正应力强度条件52.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件53.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，54.梁的挠曲线近似微分方程55.梁的转角方程56.梁的挠曲线方程？57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58.偏心拉伸（压缩)59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时,合成弯矩为61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式64.剪切实用计算的强度条件65.挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67.压杆的约束条件:(a)两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0。