162 第十一能量法
授课学时：8学时
一、 内容提要
1. 杆件的变形能表达式
轴向拉压
扭转
弯曲
组合变形
说明：
（1）变形能是广义力或广义位移的二次函数，不能简单叠加。
（2）变形能仅与外力的最终值有关，而与加力次序无关。
（3）当杆件的各段截面不相同或内力由不同函数表示时，应分段计算变形能。
（4）杆件是满足虎克定律的线弹性体,如对非线弹性体变形能将变为
2. 卡氏定理
弹性系统的总变形能 是由所有作用于弹性系统的广义力
引起的。
令在 的作用点沿 方向引起的广义位移为 ，根据卡氏定理，按下式计算广义位移
说明：
（1）广义力与广义位移须相对应。
（2）当所求位移的截面处没有相应的集中力或集中力偶时，可采用附加力 的方法。
二、 基本要求
1. 理解功能原理，掌握杆件变形能的计算方法。
2. 掌握用卡氏定理求结构位移的方法。
3．理解并掌握用能量法解超静定问题的方法。
三、 典型例题分析
例1 钢架ABCD 承受一对P 力作用（如图1），其抗弯刚度EI 、抗拉刚度EA 以dx
EA x N U l ⎰=2)
(2dx
EI
x M U l ⎰=2)(2
dx
GI x M U l p n ⎰=2)
(2
),,,(21n P P P U U ⋅⋅⋅=),,2,1(n i P i ⋅⋅⋅=i P i δi
i P U
∂∂=δi P 0,
=P l l a D
A -δ⎰+⎰+⎰=i l p n l EI x M dx GI x M dx EA x N U 2)(2)(2)(2
2
2
⎰+⎰⎰+∆=l l l n Md d M l Nd U θ
φ)(
163
及 、 均已知，试利用功能原理求截面A 、D 之间的相对水平位移 。
图1 解：（1）内力分量 AB （CD ）段： BC 段： （2）变形能计算
（3） 的计算
由
得
例2 杆件受力如图2，抗弯刚度EI ，试用卡氏定理计算B 截面的竖直位移 。
Pa
x M =)(Px x M =)(P
x N =)(CD
BC AB U U U U ++=⎰+⎰+⎰=l l a EA dx P EI dx Pa EI dx Px 02020222)(2)(2EA l P EI l a P EI a P 2232
2232+
+=D A -δD A P W U -==δ2
1
EA Pl EI l Pa EI Pa D A ++=-2
332δBy δx
P
P
P
P
164 图2
解法一 为了区分梁上的两个力，可将作用于B 截面的力标为 BC 段
AC 段
令 则
解法二：在截面上施加一附加力
BC 段
AC 段
令 则
例3 图3a 中,各杆长均为 ,抗拉压刚度均为 ,求铅垂力作用时各杆的内力
1P 212202111011
)()()()(dx P x M EI x M dx P x M EI x M P U a a By ∂∂⎰+∂∂⎰=∂∂=δ2
12)(x P x M =∂∂)2(2a x a ≤≤1
11)(x P x M =11
1)
(x P x M =∂∂)0(1a x ≤≤)()(2212a x P x P x M --=[]2
202
22110111)(dx EI x a x P x P dx EI x x P a a ⎰⋅--+⎰⋅=P P =1)(6113
↑=
EI
Pa
By δ2
1
2)
(x P x M =∂∂)
2(2a x a ≤≤0
,
=y P 1
,
111)(x P x P x M y +=1
11)
(x P x M =∂∂)0(1a x ≤≤)()(22,
212a x P x P x P x M y --+=212202111011
)
()()()(dx P x M EI x M dx P x M EI x M P U a a By
∂∂⎰+∂∂⎰=∂∂=
δ[
]
2
20222,
2110
11,
11)()(dx EI
x a x P x P x P dx EI x x P x P a y a y ⎰⋅--++⎰⋅+=0,=y P )(6113
↑=EI
Pa By δl EA
165
图3a
解：此为一次超静定结构，采用解除内力约束的方法。
在3杆任意截面处切开，多余未知力为 。
（图3b ）
由静力学条件
则系统的变形能
由卡氏定理
两斜杆所受轴向压力
说明：此题也可解除外约束，如解除B 支座铅垂方向的约束, 如图3c 所示，多余未
知力为约束反力 ，变形协调条件为B 点的铅垂位移等于0 。
四、 作业题
1 圆截面直杆的横截面面积为A ，长度为 ,弹性模量为E 。
上端
固定，下端受中心拉力P 作用，设直杆自重为P 答案：
EA
l
P U 672
=
3N 2/)(321N P N N -==[]
EA
l
N P EA l N U 22/)(22232
3-⋅
+=0)(333=--=∂∂EA l N P EA l N N U 23P N =P N N 4
22
1==3X l 3
X
166
2 试求图2悬臂梁B 截面的挠度及转角。
设EI 为常数。
图2
答案： （向下） （顺时针方向）
3 图3悬臂梁受集中力偶矩 的作用。
若 均为已知，试利用功能原理
求自由端C 截面的转角 。
答案： （顺时针）
图3
4
等截面直杆AB 和BC 组成的构架受力如图4。
若两杆的抗拉（压）刚度均为EA , 设
P 、 、E 、A 都已知。
试利用功能原理求B 的竖直位移。
答案： （向下）
图4
EI qa
y B 2474=EI qa B 63
=θ0M l EI 、c θEI l
M c 430=θl EA Pl
B 9.1=
δB
P
167
5 抗弯刚度为EI 的刚架受力如图5，试求刚架A 截面的水平位移 、竖直
位移 、转角 。
答案： （ ）
图5
Ax δAy δA θ)(22
→=EI Pbh Ax δ)(↑-=EI
Pabh Ay
δEI Pbh A =θ。
