同济大学等九校卓越联盟自主招生数学试题及答案

同济大学2010年暨保送生考试数学试题一、填空题1．f (x )是周期为2的函数，在区间[-1,1]上，f (x )=|x |，则3(2)2f m +=___(m 为整数)． 2．函数y =cos2x -2cos x ,x ∈[0,2π]的单调区间是__________________． 3．函数2y =__________________．4．5．函数y ＝f (x )，f (x +1)-f (x )称为f (x )在x 处的一阶差分，记作△y ，对于△y 在x 处的一阶差分，称为f (x )在x 处的二阶差分△2y ，则y ＝f (x )＝3x ·x 在x 处的二阶差分△2y =____________． 6．7．从1～100这100个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是__________． 8．正四面体ABCD ，如图建立直角坐标系，O 为A 在底面的投影，则M 点坐标是_________，CN 与DM 所成角是_________． 9．双曲线x 2-y 2＝1上一点P 与左右焦点所围成三角形的面积___________．10．椭圆22143x y +=在第一象限上一点P (x 0,y 0)，若过P 的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是_________． 二、解答题11．不等式22222log 0364x kx kx x ++<++对于任意x ∈R 都成立，求k 的取值范围． 12．不动点，()bx c f x x a +=+．(1) 12,3为不动点，求a ,b ,c 的关系；(2) 若1(1)2f =，求f (x )的解析式；(3) 13．已知sin cos ([0,2))2sin cos y θθθπθθ⋅=∈++，(1) 求y 的最小值；(2) 求取得最小值时的θ．14．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，|AA 1|=h ，|BB 1|=a ，点E 从A 1出发沿棱A 1A 运动，后沿AD 运动，∠A 1D 1E =θ，求过EB 1C 1的平面截三棱柱所得的截面面积S 与θ的函数关系式． 15．已知数列{a n }满足112n n n a a a -++=． (1) 若b n ＝a n -a n -1(n=2,3,…)， 求b n ；(2) 求1ni i b =∑；(3) 求lim nn a→∞．16．抛物线y 2＝2px ，(1) 过焦点的直线斜率为k ，交抛物线与A ,B ，求|AB |．(2) 是否存在正方形ABCD ，使C 在抛物线上，D 在抛物线内，若存在，求这样的k ，正方形ABCD 有什么特点？同济大学2010年自主招生优秀考生文化测试数学试卷BAC D A 1D 1 C 1 B1一、填空题（本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否则一律得零分，本大题满分40分） 1．函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是_______________________．2．如图所示，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象，则该质点运动的总路程s =_____（厘米）．3．设a 与b 是两条非相互垂直的异面直线，α与β分别是过直线a 与b 的平面，有以下4个结论：(1) b //α，(2) b ⊥α，(3) β//α，(4) β⊥α，则其中不可能出现的结论的序号为__________．4．设某地于某日午后2时达到最高水位，为3.20米，下一个最高水位恰在12小时后达到，而最低水位为0.20米。

自主招生数学试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(x) \)的最小值。

A. 0B. 1C. 2D. 42. 若\( \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \)，求\( \theta \)的值。

A. \( \frac{\pi}{4} \)B. \( \frac{\pi}{2} \)C. \( \frac{3\pi}{4} \)D. \( \pi \)3. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为3，公差为2，求第10项的值。

A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 4x + 4 = 0 \)的两个根，则\( a + b \)的值为______。

6. 已知\( \cos(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \sin(\alpha) \)的值。

7. 若一个等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的第5项。

8. 一个长方体的长、宽、高分别是\( a \)、\( b \)、\( c \)，求长方体的体积。

三、解答题（每题30分，共60分）9. 已知函数\( g(x) = \ln(x) + 2x - 6 \)，求\( g(x) \)的导数。

10. 一个工厂生产某种产品，每件产品的成本为\( C(x) = 50 + 20x \)，销售价格为\( P(x) = 120 - 0.5x \)，其中\( x \)表示生产数量。

求工厂的盈亏平衡点。

答案：一、选择题1. B. 1（因为\( f(x) = (x-2)^2 \)，当\( x = 2 \)时，\( f(x) \)取得最小值1）2. A. \( \frac{\pi}{4} \)（根据二倍角公式）3. A. 23（第10项为\( a_{10} = 3 + 9 \times 2 = 23 \)）4. B. 50π（圆的面积公式为\( A = \pi r^2 \)）二、填空题5. -4（根据韦达定理）6. \( \frac{4}{5} \)（根据勾股定理）7. 162（第5项为\( a_5 = 2 \times 3^4 = 162 \)）8. \( abc \)（长方体体积公式）三、解答题9. \( g'(x) = \frac{1}{x} + 2 \)（对\( g(x) \)求导）10. 盈亏平衡点为\( x = 40 \)。

2012年自主选拔学业能力测试数学本卷共100分，考试用时90分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码2.黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上。

答在卷上的无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（1）若以椭圆短轴的两个端点和长轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为 ____ 。

（2）函数sin ()2cos f θθθ=+()R θ∈的值域为 。

（3）设01a <<，π04θ<<，log sin (sin )a x θθ=，log tan (cos )a y θθ=，则x ，y 的大小关系为 __________。

（4）已知ABC ∆中，o 90A ∠=，4BC =，点A 是线段EF 的中点，2EF =，若EF 与BC的夹角为o 60，则BE CF = 。

（5）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T 。

若33a b =，44a b =，且53425S S T T -=-，则5353a ab b +=+ 。

（6）设函数()()sin f x x ωϕ=+，其中0ω>，R ϕ∈，若在常数(0)T T <，使对任意x R ∈有()()f x T Tf x +=，则ω可取到的最小值为 。

二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（7）（本小题满分10分）试a ，b 是从集合{1,2,3,4,5}中随机选取的数（Ⅰ）求直线y ax b =+与圆222x y +=有公共点的概率（Ⅱ）设X 为直线y ax b =+与圆222x y +=的公共点的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望()E X 。

如图，AB 是O 的直径，弦CD 垂直AB 于点M ，E 是CD 延长线上一点，10AB =，8CD =，34ED OM =，EF 是O 的切线，F 是切点，BF 与CD 相交于点G ，（Ⅰ）求线段EG 的长；（Ⅱ）连线DF ，判断DF 是否平行于AB ，并证明你的结论。

交通大学2000年保送生数学试题一、选择题（本题共１5分,每小题３分．在每小题给出的4个选项中,只有一项正确，把所选项的字母填在括号内) １.若今天是星期二,则3１９98天之后是ﻩﻩ ( )ﻫＡ.星期四 B ．星期三 C.星期二ﻩD ．星期一2.用13个字母A ，A,A,C,Ｅ,H,I ，I ，Ｍ，M,Ｎ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的,恰好组成“MA ＴH ＥMA ＴＩＣIAN”一词的概率是ﻩﻩ（ ) A ．4813!ﻩB ．21613!ﻩC ．172813!Ｄ．813!３．方程cos ２x -ｓin ２x +si ｎx =ｍ+１有实数解，则实数ｍ的取值范围是 ﻩ（ ）ﻫＡ.18m ≤ﻩB.m >-３ﻩC.ｍ ＞-１ﻩD.138m -≤≤ 4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2＋px +q ＝０的两个根，则此数列各项的积是 ﻩ( )Ａ.ｐm B ．p 2m ﻩC ．q m D.ｑ2ｍ5.设ｆ ’(x 0)=２,则000()()limh f x h f x h h→+--ﻩﻩ（ )ﻫA ．-２ﻩＢ．2 C.-4 D.４二、填空题(本题共24分，每小题3分）1．设f (x 1,则1(2)f x dx =⎰＿__＿______.２．设(0,)2x π∈,则函数(222211sin )(cos )sin cos x x x x++的最小值是_＿__＿_＿___． 3.方程316281536xxx⋅+⋅=⋅的解ｘ＝＿___＿＿____.4.向量2a i j =+在向量34b i j =+上的投影()b a =＿_____＿___．5.函数2y x =+的单调增加区间是_________＿.６.两个等差数列２０0,２03，2０6，…和50,54,58…都有1０0项，它们共同的项的个数是_______＿__．7．方程7x 2-(ｋ＋13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,２)内,则k 的取值范围是___＿＿＿＿＿__.8．将3个相同的球放到4个盒子中,假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的,则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是_＿__＿___． 三、证明与计算(本题６1分）1.(6分)已知正数列a 1，a ２,…，ａｎ，且对大于１的n 有1232n a a a n +++=,1212n n a a a +=.ﻫ试证:ａ1，ａ2,…,a n 中至少有一个小于1．２．(1０分)设３次多项式f (x ）满足:f (ｘ+2)=-f (-x ),f (０)＝1,f （3)＝4,试求f (x ）.３.(8分)求极限112lim(0)p p pp n n p n +→∞+++>．4．（10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x =０处可导,且原点到f (ｘ）中直线的距离为13,原点到ｆ(x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ,c ，ｌ,m 的值.(b ,c ＞０）5．（8分)证明不等式:341sin cos 2x x ≤+≤，[0,]2x π∈．6.(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12.若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率.7．（１1分)如图所示,设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△O Ｂ1A １，△A 1Ｂ2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上.试求A n 的坐标表达式,并说明这些三角形的面积之和是否存在．yB 1B 2复旦大学2000年保送生招生测试数学试题(理科）一、填空题（每小题1０分,共６0分)1.将自然数按顺序分组:第一组含一个数,第二组含二个数，第三组含三个数,……,第n 组含n 个数,即１;2,3;４，5，６;…….令a n 为第n 组数之和,则ａｎ＝________________．2.222sin sin ()sin ()33ππααα+++-=____＿＿＿____＿__. 3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_＿_______＿__＿____．4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度,又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角,和底面成60度角,则两对角面面积之比为＿_________________．５．正实数x ,y 满足关系式x ２-xy +4＝０，又若x ≤1,则y 的最小值为____＿_＿__＿___.６．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进,当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件,然后原速返回，返回中与车尾相遇时,此人发现这时正在离站台10００米处,假设摩托车车速不变,则摩托车从出发到站台共行驶了______＿_____＿_米. 二、解答题(每小题１5分，共9０分)1．数列{ａn }适合递推式a n ＋1＝3a ｎ+4,又ａ1＝１,求数列前n 项和S n . 2．求证:从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点.你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗?请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ,相邻侧面的两面角等于12arcsin 2,ﻫ求该棱锥的体积．(1cos 124π=）４．设z 1,z 2,z 3，ｚ4是复平面上单位圆上的四点，若z 1＋ｚ2+z 3+z 4＝0.ﻫ求证:这四个点组成一个矩形.5.设(1n n x y =+x n ,y n 为整数,求n →∞时，nnx y 的极限．6.设平面上有三个点,任意二个点之间的距离不超过１．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论.20０1年上海交通大学联读班数学试题一、填空题(本题共40分,每小题4分）1．数12825N =⨯的位数是_＿＿＿__＿__＿______.2．若l ｏg 2[log 3（log 4x )]＝ｌｏg ３[l ｏg 4(ｌｏg 2y )]=log 4[ｌｏｇ2(ｌｏg 3z ）]＝0,则ｘ＋ｙ+z ＝__＿______.3．若log 23＝p ,log 35＝q ，则用p 和ｑ表示log １05为___＿＿_＿__＿_____＿．4.设s ｉn α和ｓｉn β分别是ｓi ｎθ与c ｏｓθ的算术平均和几何平均,则ｃo ｓ2α:cos2β=___＿_＿_＿____． 5．设[0,]2x π∈,则函数f (x )＝cos x +x sin x 的最小值为_____＿_＿_＿_＿＿_＿_．6．有一盒大小相同的小球，既可将他们排成正方形，又可将它们排成正三角形,已知正三角形每边比正方形每边多2个小球，则这盒小球的个数为__＿____＿＿___．7.若在数列１，３，2，…中,前两项以后的每一项等于它的前面一项减去再前面一项，则这个数列的前100项之和是_＿__＿______＿＿＿_．8．在(１＋2ｘ-x 2)4的二项展开式中x 7的系数是______＿___＿_＿__. ９．某编辑在校阅教材时,发现这句：“从60°角的顶点开始，在一边截取9厘米的线段，在另一边截取ａ厘米的线段，求两个端点间的距离”,其中a 厘米在排版时比原稿上多1.虽然如此，答案却不必改动，即题目与答案仍相符合，则排错的a =___＿______＿_＿___.10．任意掷三只骰子，所有的面朝上的概率相同，三个朝上的点数恰能排列成公差为1的等差数列的概率为＿_＿___＿_＿＿_＿＿__＿_. 二、选择题（本题共32分,每小题４分）１1.a ＞0,b >0，若（ａ+1）(b +1）=2，则a ｒct ａｎａ+a ｒｃtan b = ﻩ( )A ．2πﻩＢ．3πＣ.4πD.6π12.一个人向正东方向走x 公里,他向左转150°公里,则x 是ﻩﻩ( )Ｂ． C.３ﻩＤ．不能确定 13.111113216842(12)(12)(12)(12)(12)-----+++++=ﻩﻩ( )ﻫA.11321(12)2---ﻩＢ．1132(12)---Ｃ．13212--D ．1321(12)2--14.设[t ]表示≤ t 的最大整数，其中t ≥0且Ｓ=｛(x ，y )|(x -Ｔ)2+y 2≤Ｔ2,T ＝ｔ-[t ］},则 ( ）A ．对于任何t ，点(０,0)不属于SB ．S 的面积介于0和π之间ﻫＣ．对于所有的t ≥5，S 被包含在第一象限ﻩＤ．对于任何t ,Ｓ的圆心在直线y ＝ｘ上15．若一个圆盘被2n (n >０)条相等间隔的半径和一条割线所分隔,则这个圆盘能够被分成的不交迭区域的最大个数是ﻩ ﻩ ( )ﻫＡ．２n +2ﻩB ．3ｎ-1ﻩC.3n D ．3n +１16.若i 2＝-1,则cos45°+i ｃos13５°＋…＋i n c ｏｓ(45+90n )°+…+i 40ｃｏｓ3６45°=ﻩ（ )ﻫA.2ﻩB ．2122ﻩ C.2(2120)2i -ﻩＤ．2(2120)2i + 17.若对于正实数x 和y 定义xyx y x y*=+,则 ﻩ ( ）ﻫＡ.”＊”是可以交换的，但不可以结合 B ．”*”是可以结合的,但不可以交换C.”*”既不可以交换，也不可以结合 D ．”*”是可以交换和结合的１８.两个或两个以上的整数除以N （N 为整数，N>1)，若所得的余数相同且都是非负数，则数学上定义这两个或两个以上的整数为同余.若69，90和125对于某个Ｎ是同余的，则对于同样的N,８１同余于ﻩﻩﻩﻩ（ )ﻫA.３ﻩB.4 C ．5 D ．7 三、计算题(本题共78分)１9.（本题10分）已知函数f (x )＝ｘ2+2ｘ+2，x ∈[ｔ,ｔ+1]的最小值是g （t )．试写出g (t ）的解析表达式．2０．(本题12分)设对于x >0，66633311()()2()11()x x x x f x x x x x+-+-=+++,求f (x ）的最小值．21.（本题16分）已知函数121()1x f x x -=+,对于n =1,2,3,…定义f n ＋1（ｘ）＝ｆ1[ｆｎ（x )]．若f 3５(x)＝f ５(x )，则f 28(x )的解析表达式是什么?22．（本题20分）已知抛物线族2y ＝x 2－6x c ｏs t -9si ｎ2t ＋8s ｉn ｔ+9,其中参数ｔ∈R ．（1) 求抛物线顶点的轨迹方程;(2) 求在直线y ＝1２上截得最大弦长的抛物线及最大弦长．23．(本题20分）设｛ｘn }为递增数列,ｘ1=１，ｘ2＝4，在曲线y x =上与之对应的点列为P 1（1,1）,P 2（４,2)，333(,)P x x ，…,(,)n n n P x x …，且以O 为原点，由ＯP n 、OP n +1与曲线P ｎP n +１所围成部分的面积为S ｎ,若{S n }(n ∈N )是公比为45的等比数列,图形X n X n +1Ｐn ＋1Ｐn 的面积为332212()3n nx x +-，ﻫ试求Ｓ1+S ２+…+S n +…和lim n n x →∞．xP nyOXn +1XnP n +1复旦大学20０1年选拔生考试数学试题一、填空（每小题５分，共45分)１.sin x +sin y =0,则cos ２x -sin 2y =____＿___________＿__.２．平面π1， π2成α的二面角，平面π1中的椭圆在平面π2中的射影是圆,那么椭圆短轴与长轴之比为_________＿.３.（ｘ2+2x +2）(y 2-２y +2)＝1，则x +ｙ=_＿＿____＿＿_＿_____＿__＿＿___．4．电话号码0，１不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位,使得电话号码资源增加___＿．5．２０02=83a 3+８２a 2+8ａ1+ａ0，0≤a 0，a １,a 2,a 3≤7正整数，则a 0=__＿___＿_______． 6.15(x-的常数项为＿＿_＿__＿_______＿__.7．n ＝__＿_＿_____＿__＿____．8.空间两平面α,β,是否一定存在一个平面均与平面α,β垂直?_＿______＿__．9.在△ＡB Ｃ中,ｃｏｓ(2A -C )=cos(２Ｃ-B ),则此三角形的形状是__＿______＿__＿__＿. 二、解答题（共87分）1．求解：c ｏs ３ｘtan5ｘ=s ｉn ７ｘ．2.数列3,3-lg ２,…，３-(ｎ-1)lg2．问当n 为几时,前n 项的和最大？3.求证：x ∈Ｒ时，｜x -1|≤4｜x 3-１|．4.a 为何值时，方程22lg lg()log (1)lg 2lg 2x a x a -+=-有解？只有一解？5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行,在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离30０米,在台风中心周围１0０米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度?6.x 3-2ｙ3=1的所有整数解(x ,y )，试证明：1334|2|||x y y -<．上海交通大学2002年保送生考试数学试题一、填空题（本题共６4分,每小题4分） １．设方程x ３=１的一个虚数根为2,1nn ωωω++则(n 是正整数)=＿____＿_＿＿_.2．设ａ，ｂ是整数，直线y ＝ax +b 和3条抛物线：y =x 2+3,y ＝x ２+6x +7与y =ｘ2＋４ｘ+5的交点个数分别是2,１,0,则(ａ,b ）=____＿_＿___＿.３.投掷3个骰子,其中点数之积为9的倍数的概率为_____＿_＿＿__. 4．若x ,ｙ,z ＞0且ｘ２＋ｙ2＋z ２=１,则222111x y z++的最小值为＿____＿__＿__. ５．若2x -2-x =2，则8x =___＿＿＿_＿__＿＿__. 6．若ａ,b ,c 为正实数，且3a =4b =6c ,则1112a b c+-＝_____＿＿_＿___＿. 7．222111(1)(1)(1)23n ---的值为____＿________. 8．函数22sec sec x tgxy x tgx-=+的值域为____＿__＿___＿＿_. 9．若圆内接四边形ABC Ｄ的边长AB =４，B Ｃ＝8,C Ｄ＝９，DA =7,则cos A =_____＿____.10．若a ,b 满足关系:1=,则a 2＋ｂ2=__＿＿_＿＿_____. 11.291(1)2x x+-的展开式中x 9的系数是_____＿___＿___.1２.当1a ≤<||x 的相异实根个数共有＿___＿__＿_＿_＿_个．1３.若不等式2054x ax ≤++≤有唯一解，则ａ=_＿＿＿___________．1４.设ａ,b ,c 表示三角形三边的长,均为整数，且a b c ≤≤,若b =n （正整数)，则可组成这样的三角形_____＿个.15．有两个二位数，它们的差是５6，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数为__＿＿___． 16.某市环形马路上顺次有第一小学至第五小学等5所小学,各小学分别有电脑15,７,１１,3,14台,现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台,且要使移交的电脑的总台数最小,因此,从第一小学向第二小学移交了＿＿＿_＿___台,从第二小学向第三小学移交了___＿__台,从第五小学向第一小学移交了_______＿台,移动总数是_＿＿______台. 二、计算与证明题（本题共86分)17.(本题12分)(1）设n 为大于２的整数，试用数学归纳法证明下列不等式:(1)22211111223n n++++<-;(２）已知当2sin 01,116x x x x <≤-<<时，ﻫ 试用此式与(１)的不等式求1111lim(sin12sin 3sin sin )23n n n n→∞++++18.(本题14分)若存在实数x ，使f (x )=x ，则称x 为f （x )的不动点,已知函数2()x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点ﻫ(1) 求a ，ｂ须满足的充要条件;ﻫ(2) 试用y =f (ｘ)和y =x 的图形表示上述两个不动点的位置（画草图）１９.(本题１４分）欲建面积为1４4m 2的长方形围栏，它的一边靠墙(如图），现有铁丝网5０m,问筑成这样的围栏最少要用铁丝网多少米？并求此时围栏的长度.20．(本题14分)设数列{a n ｝满足关系2121(1,2,)n n a a n +=-=,若N 满足1(2,3,)N a N ==,试证明:(１) 1||1a ≤; (2) 12cos2N k a π-= (k 为整数)21.（本题16分)设()|lg |,,f x x a b =为实数，且0,,()()2()2a ba b a b f a f b f +<<==若满足 试写出ａ与b 的关系,并证明在这一关系中存在ｂ满足3<b ＜4２２．（本题16分)A 和B 两人掷骰子,掷出一点时，原掷骰子的人再继续掷,掷出不是一点时，由对方接着掷,第一次由A 开始掷，设第n 次由A 掷的概率是P n .试求：(1） P n +１用P ｎ表示的式子;(２) 极限lim n n P →∞2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题ﻩ2003．１．４一、填空题（本大题共40分,每题4分)1．三次多项式ｆ（x )满足ｆ（３)＝2f （1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为____＿＿＿____.2．用长度为12的篱笆围成四边形,一边靠墙，则所围成面积Ｓ的最大值是_______＿______＿. 3.已知,x y R +∈，ｘ+２y =1,则22x y+的最小值是_＿__＿____＿__＿_. 4．有4个数,前3个成等比数列,后3个成等差数列，首末两数和为32,中间两数和为２4，则这四个数是＿__＿＿_________＿＿___.5.已知ｆ（x ）=a ｘ7+bx 5＋x ２+2x -１,f （２)=-8，则f （-2）=_____＿___＿__＿__. 6.投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是__＿__＿____＿＿_＿_． 7．正四面体的各个面无限延伸,把空间分为______＿____＿_＿__个部分． 8．有ｎ个元素的集合分为两部分,空集除外,可有__＿＿_______种分法．９．有一个整数的首位是7,当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是_＿＿___＿_＿__.10．1００!末尾连续有___＿__＿_______个零. 二、解答题（本大题共60分，每题10分）11．数列{ａn }的a 1=１，ａ2=3，3a n +2=2a n +1+a n ,求a n 和lim n n a →∞.１2．3个自然数倒数和为１.求所有的解.13．已知x １0０0＋x ９９９(x +1)+…+(x ＋1）1０00,求x ５0的系数．14．化简:(1) 11!22!!n n ⋅+⋅++⋅;ﻩ（2) 1212kn n n k C C C ++++++．15.求证：342231a aa a +++为最简分式．16．证明不等式()!()23nnn n n >>，当自然数n ≥6时成立.复旦大学200３年暨保送生考试数学试题一、填空题(本大题共80分,每题8分)１.函数1()2y f t x x=-，当x ＝１时,252t y t =-+，则f (x )=_____＿__＿__＿____.2．方程x 2＋(ａ-２)x +ａ+1=0的两根x １,x 2在圆x 2+y ２=４上，则a =＿__＿______＿_＿__.3．划船时有8人,有3人只能划右边，1人只能划左边，共有_＿__＿___种分配方法． ４．A ＝{x ｜ｌｏｇ2(ｘ２-4x -4)>0},B ＝{x ｜｜ｘ+1|+|x -3｜≥6},则A B ⋂=＿____＿___＿__＿_＿.5．数列{a n }的前n 项和为Ｓｎ，若a ｋ=k ·ｐk (1-p ），(ｐ≠1),则S k ＝_____＿____＿_＿_． 6．若(x -1)２+(ｙ-１)2=１，则13y x --的范围是______＿＿_＿_______＿_. 7．边长为4的正方形ＡB ＣD 沿BD 折成60o 二面角,则BC 中点与Ａ的距离是＿___＿____． ８.已知|ｚ1|=2,|z ２｜=3,|ｚ1＋z ２|=４，则12z z =＿___＿_＿___＿__＿. 9.解方程3log 2a xx xa=，ｘ=__＿__＿________＿_. 10.(a >0）,lim 2nn nn a a →∞+＝____＿__＿＿＿____．二、解答题(本大题共１20分）11．已知｜z ｜＝1，求|z ２+z +4|的最小值．１2．a 1,a 2,a 3,…，ａｎ是各不相同的自然数，ａ≥2,求证：1231111()()()()2a a a anaa a a ++++<．1３．已知sin cos αβ+=cos sin αβ+=tan cot αβ⋅的值.14.一矩形的一边在x 轴上，另两个顶点在函数21xy x=+(x ＞0）的图象上, 求此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值．1５．一圆锥的底面半径为1２，高为1６，球O 1内切于圆锥,球O 2内切于圆锥侧面，与球O 1外切,…,以次类推，ﻫ(１) 求所有这些球的半径r n 的通项公式；(２) 所有这些球的体积分别为V 1,V 2，…，V ｎ，….求12lim()n n V V V →∞+++．16．已知数列{a ｎ}的前n 项和为S ｎ,n a =,求S 2０03．1７．定义闭集合Ｓ，若,a b S ∈，则a b S +∈,a b S -∈.（１) 举一例，真包含于R 的无限闭集合.(２） 求证对任意两个闭集合Ｓ１,Ｓ2⊂R ，存在c R ∈,但12c S S ∉⋃.同济大学2０03年暨保送生考试数学试题一、填空题1．f (x )是周期为２的函数,在区间[-1,1]上，f (x )=|x ｜,则3(2)2f m +=＿__(m 为整数)． ２．函数y =cos ２x -2cos x ，ｘ∈［0，2π]的单调区间是________＿__＿___＿＿_.３．函数2y =__＿__＿_____＿＿_____．４．５.函数y =f （x ),f （x +1）-f （x )称为f (x )在x 处的一阶差分,记作△y ,对于△y 在x 处的一阶差分,称为ｆ（x )在ｘ处的二阶差分△２y ,则y ＝f （x )＝3x ·x 在ｘ处的二阶差分△２y =__＿___＿_____． ６.7.从1~１00这１00个自然数中取2个数，它们的和小于等于50的概率是____＿＿____． ８．正四面体ＡBC Ｄ,如图建立直角坐标系，O 为Ａ在底面的投影，则M 点坐标是____＿_＿__，C Ｎ与DM 所成角是____＿____. 9.双曲线x 2-ｙ２＝1上一点P 与左右焦点所围成三角形的面积__________＿．10．椭圆22143x y +=在第一象限上一点P (x ０,y 0),若过P 的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是______＿＿_.二、解答题11．不等式22222log 0364x kx kx x ++<++对于任意x ∈R 都成立，求k 的取值范围. 12．不动点，()bx c f x x a +=+．(1) 12，3为不动点，求a ，ｂ,c 的关系；(2) 若1(1)2f =,求f （x ）的解析式；(3) 1３.已知sin cos ([0,2))2sin cos y θθθπθθ⋅=∈++,(1） 求y 的最小值；(２) 求取得最小值时的θ．14.正三棱柱ＡＢＣ-A １B 1Ｃ1,｜AA １|=h ,|BB 1｜=ａ,点E 从A １出发沿棱A 1Ａ运动,后沿ＡD 运动，∠A １D 1E =θ，求过EB 1C 1的平面截三棱柱所得的截面面积Ｓ与θ的函数关系式. 15.已知数列{ａｎ}满足112n n n a a a -++=.ﻫ(１） 若b ｎ=a n -a n -1(ｎ＝２,3,…)， 求ｂｎ;(２) 求1ni i b =∑;(3) 求lim nn a →∞．１6.抛物线y 2＝2px ，(1) 过焦点的直线斜率为k ，交抛物线与A ,B ,求｜AB |.（2) 是否存在正方形ＡB ＣＤ,使Ｃ在抛物线上,Ｄ在抛物线内,若存在，求这样的k ,正方形ＡBC Ｄ有什么特点？BAC D A 1D 1 C 1 B1上海交通大学2００４年保送生考试数学试题（９0分钟）2004．1.３一、填空题：１．已知ｘ，y ,z 是非负整数，且ｘ+y +z =10，ｘ＋２y ＋3z =30,则ｘ+5y ＋3z 的范围是__＿_＿____＿.2.长为l 的钢丝折成三段与另一墙面合成封闭矩形，则它的面积的最大值是＿＿__＿_＿＿_. ３．函数x x y cos sin +=（20π≤≤x ）的值域是__＿_________＿．4．已知ａ，ｂ,c 为三角形三边的长,b =ｎ，且ａ≤ｂ≤c ，则满足条件的三角形的个数为_＿_____＿.5.b ax x ++2和c bx x ++2的最大公约数为1+x ,最小公倍数为d x b x c x +++-+)3()1(23，则a =__＿___,b =_______,c =__＿＿_＿_,d =＿__＿______． 6．已知21≤≤a ，则方程x x a -=-222的相异实根的个数是__＿_＿＿_＿＿＿．7．8182004)367(+的个位数是____＿＿_＿＿＿_＿_＿．８.已知数列{}n a 满足11=a ，22=a ，且n n n a a a 2312-=++,则2004a ＝_＿_________＿. ９.n n ⨯的正方格,任取得长方形是正方形的概率是____＿_＿__＿. １０.已知abcxyz xyzabc 76=,则xyzabc ＝________＿＿_＿_＿_．11． 12．二、解答题1．已知矩形的长、宽分别为a 、b ,现在把矩形对折，使矩形的对顶点重合,求所得折线长．2．某二项展开式中,相邻ａ项的二项式系数之比为 1：2:3:…：a ，求二项式的次数、a 、以及二项式系数.３．f (x )=ax 4+x 3+(5-8a )x 2＋6x -9a ，证明：（1）总有f （ｘ)=0;(２)总有f (x )≠0．4.11)(1+-=x xx f ，对于一切自然数n ,都有)]([)(11x f f x f n n =+，且)()(636x f x f =,求)(28x f .5．对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.６.已知{}n b 为公差为6的等差数列，)(11N n a a b n n n ∈-=++.ﻫ(1) 用1a 、1b 、n 表示数列{}n a 的通项公式;(２) 若a b a =-=11，]33,27[∈a ，求n a 的最小值及取最小值时的n 的值．复旦大学2004年保送生考试数学试题（15０分钟）2０03.1２.21一、填空题（每题8分,共８0分）1．)1)(12(124248++++=+ax x x x x ，则=a ＿___＿____.２.已知74535=-++x x ,则x 的范围是____＿_____＿．３.椭圆191622=+y x ,则椭圆内接矩形的周长最大值是＿______＿___. 4．12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出4只正好能形成2双，有___＿种取法． ５.已知等比数列{}n a 中31=a ，且第一项至第八项的几何平均数为９，则第三项为__＿___. 6.0)1(2<++-a x a x 的所有整数解之和为2７，则实数a 的取值范围是__＿__＿＿_＿__.7．已知194)4(22=+-y x ,则9422y x +的最大值为_＿_____＿_＿__． ８.设21,x x 是方程053cos 53sin 2=+-ππx x 的两解，则21arctgx arctgx +=__＿＿＿_____．9.z z =3的非零解是____＿＿＿___＿． １０．xx y +-=112的值域是＿___＿_＿_＿_＿_.二、解答题(每题15分，共12０分） １．解方程：1)3(log 5=--x x .2．已知1312)sin(=+βα,54)sin(-=-βα，且2,0,0πβαβα<+>>,求α2tg .３．已知过两抛物线C 1：2)1(1-=+y x ,Ｃ2：2(1)41y x a -=--+的交点的各自的切线互相垂直，求a ．４．若存在M ，使任意D t ∈(D 为函数)(x f 的定义域）,都有M x f ≤)(,则称函数)(x f 有界．问函数x x x f 1sin 1)(=在)21,0(∈x 上是否有界？5．求证：3131211333<++++n．6.已知Ｅ为棱长为a 的正方体ABCD —A 1B １C 1D 1的棱A Ｂ的中点，求点B 到平面A １EC 的距离．7.比较25log 24与26log 25的大小并说明理由.８．已知数列{}n a 、{}n b 满足n n n b a a 21--=+,且n n n b a b 661+=+,又21=a ，41=b ,ﻫ求 （1）n n b a ,;(２) nnb a lim．简单解答:一、填空题:１.2- 2.)8.0,6.0(- 3.20 4.31二、解答题: 5．证明1:111))1(1)1(1()1()1(113+-+⋅+--=+-<m m mm m m m m m m=(2111)1111-++⋅⋅+--m m m m m而m m m m m =-++<-++211211111113+--<m m m原式<１+111141213111+--++-+-n n =3111222<+--+n n证明2:)1)(1()1(2--+->+=n n n n n n n11)1(1121---=-+-<n n n n n n nnn n n n n nn 111)1(121--=---<原式〈313)1113121211(21<-=--++-+-+nn n同济大学2００4年自主招生优秀考生文化测试数学试卷一、填空题(本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分,否则一律得零分，本大题满分40分） 1.函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是___＿___＿＿_______＿____＿＿．2．如图所示,为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数()v v t =的图象,则该质点运动的总路程s ＝＿＿___(厘米）． 3．设a 与b 是两条非相互垂直的异面直线,α与β分别是过直线a与ｂ的平面,有以下4个结论:(１) b ／/α，（２） b ⊥α,（３)β//α,(4） β⊥α，则其中不可能出现的结论的序号为＿________＿． ４．设某地于某日午后2时达到最高水位,为3.2０米,下一个最高水位恰在12小时后达到,而最低水位为0.20米。