2014年卓越联盟自主招生数学试题(理科)及答案

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（山东卷）数学试题1、【题文】已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）A．B．C．D．2、【题文】设集合，则（）A．B．C．D．3、【题文】函数的定义域为（）B．A．C．D．4、【题文】用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程没有实根B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根5、【题文】已知实数满足，则下面关系是恒成立的是（）B．A．C．D．6、【题文】直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．47、【题文】为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．188、【题文】已知函数若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（）C．D．A．B．9、【题文】已知满足约束条件，当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（）A．5 B．4 C．D．210、【题文】已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．11、【题文】执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为________.12、【题文】在中，已知，当时，的面积为________.13、【题文】三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则________.14、【题文】若的展开式中项的系数为20，则的最小值 .15、【题文】已知函数，对函数,定义关于的对称函数为函数，满足：对于任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是_________.16、【题文】（本小题满分12分）已知向量，，设函数，且的图象过点和点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.17、【题文】（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.18、【题文】（本小题满分12分）乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.19、【题文】（本小题满分12分）已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.20、【题文】（本小题满分13分）设函数（为常数，是自然对数的底数）. （Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.21、【题文】（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.。

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1 2014年华约自主招生数学试题
1．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个其和组成的集合为{44，45，46，47}，求这五个数．
2．乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率是1()2p p >，甲赢得比赛的概率是q ，求p 为多少时，q p -取得最大值．
3．函数2()(cos sin )sin()2sin (0)24
f x x x x a x b a π=
-+-+>的最大值为1，最小值为4-，求,a b 的值．
4．（1）证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=；
（2）1()(),()()F x f x G x f x -=-=，若()G x 的反函数是()F x ，证明()f x 为奇函数．
5．已知椭圆22
221x y a b
+=与圆222x y b +=，过椭圆上一点M 作圆的两切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ，求EOF S ∆的最小值．
6．已知数列{}n a 满足:110,n n n a a np qa +==+．（1）若1q =，求n a ；（2）若||1,||1p q <<，求证：数列{}n a 有界．
7．已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n
--≤．。

2014年自主招生考试数学模拟试题一、一个赛跑机器人有如下特性：（1） 步长可以人为地设置成0.1米，0.2米，…，1.8米或1.9米；（2） 发令后，机器人第一步立刻迈出设置的步长，且每一步的行走过程都在瞬时完成； （3） 当设置的步长为a 米时，机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔a 秒． 试问：机器人跑50米（允许超出50米）所需的最少时间是多少秒？．解：约定用x 轾犏表示不小于实数x 的最小整数． 设步长为a 米，{0.1,0.2,,1.9}a Î ．机器人迈出50a 轾犏犏犏步恰可跑完50米，所需间隔次数为501a 轾犏-犏犏，于是，所需时间50()1f a a a 骣轾÷ç犏=?÷ç÷ç犏桫犏．计算得：(1.9)49.4,(1.8)48.6,(1.7)49.3,(1.6)49.6,(1.5)49.5f f f f f =====， 而 1.4a £时，50()15048.6(1.8)f a a a f a骣÷ç匙-=-?÷ç÷ç桫.于是，当机器人步长设置为1.8米时，跑50米所需时间最短，为48.6秒．二、在ABC中，求三角式)sin sin sin A B C ++的最大值。

解：因为)sin sin sin A B C ++s i n 2s i nc o s 22sin 22sin cos .22B CB CA AA A A +-=+?骣ç=+ç桫令sin2Ax =，则01x <<，于是()2sin cos 22A A f x 骣ç=+ç桫(2x =+ （ 01x <<）求导，得 ()('0f x x =+，得22x -=.在20,2x 骣-ç西çç÷桫上，有()'0f x >；在22x 骣-÷ç西ç÷ç÷桫上，有()'0f x <.所以(max 2()(32f x f -==+当22arcsin 2A -=时，三角式)sin sin sin A B C ++取得最大值(3+三、已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3.已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. （1）若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； （2）若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值.解：（1）因为22221(0)x y a b a b+=>>满足：222a b c =+，c a =122b c ⨯⨯=. (翻译，列出方程组) 解得2255,3a b ==，（代入消元法解方程组）所以，椭圆方程为221553x y +=.将(1)y k x =+代入221553x y +=中，得2222(13)6350k x k x k +++-=，4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>.设A ()11,x y 、B ()22,x y ，（设点坐标）则 2122631k x x k +=-+（韦达定理）因为AB 中点的横坐标为12-， 所以 2231312k k -=-+,解得 3k =±. (解方程)（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+，（韦达定理） 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ （内积公式）2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++（代入消元）2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++（用韦达定理代入消元）4222316549319k k k k ---=+++ （代数变形） ()()222231549319k k k k ++=-+++4.9=（为定值）. 四、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？解：（1）每天不超过20人排队结算的概率为：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0.75.（2）每天超过15人排队结算的概率为 0.25+0.2+0.05=21，一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为77)21(C ；一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为617)21)(21(C ；一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为5227)21()21(C ；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：75.012899])21()21()21)(21()21([15227617707>=++-C C C ，所以，该商场需要增加结算窗口.五、数列{}n a 中，设3,121==a a ，且对所有自然数n N +∈，有n n n a n a n a )2()3(12+-+=++.（1）求通项n a ；（2）求使n a 能被11整除的所有自然数n 之值. 解：（1）由条件等式，得211(2)()n n n n a a n a a +++-=+-1(2)(1)()n n n n a a -=++-21(2)(1)43()(2)!n n a a n ==++⋅⋅⋅⋅-=+所以 )!2(12+=-++n a a n n .于是 )()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a=12!3!!(1)n n ++++≥ .（2）注意到 33!4!3!2!14=+++=a ，能被11整除，845!(1667678)a a =+++⋅+⋅⋅， 1089!(110)a a =++能被11整除，当11≥n 时，)!11!121(!1110n a a n ++++= 能被11整除。

2014年高水平大学自主选拔学业能力测试数学与逻辑（华约）一、（本小题满分10分）1x ,2x ,3x ,4x ,5x 为五个正整数，任取四个其和组成的集合为{}44,45,46,47，求i x （1i =，2， (5)． 【解析】记51ii S x==∑，若12345,,,,x x x x x 两两不等，那么对{}(),1,2,3,4,5i j i j ∀∈≠都有i j S x S x -≠-，这样12345,,,,x x x x x 任取四个数求和一共有5个不同的值，这与条件矛盾。

于是12345,,,,x x x x x 中必有两个数相等，据对称性，不妨设12x x a ==，3x b =，4x c =，5x d =，则问题变为对正整数,,a b c d ，集合{}{},2,2,244,45,46,47a b c d a b c a b d a c d +++++++++=，注意到集合元素的表达形式关于a 对称，于是据对称性，只需要讨论a 在序列,,,a b c d 中的大小。

情形一：a b c d <<<，这时候由集合的对应原则得47244245246a b c d a b c a b d a c d +++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，于是得到441a =，矛盾。

情形二：b a c d <<<，同情形一的证明可得11101213a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩。

情形三：b c a d <<<，同情形一亦有439b =，矛盾。

情形四：b c d a <<<，同情形一亦有438b =，矛盾。

综上所述，12345,,,,x x x x x 的值为1234511,10,12,13x x x x x =====及其轮换。

二、（本小题满分15分）乒乓球比赛，甲胜的概率是1()2p p >，若采用五局三胜制，甲获胜的概率是q ，求p 为多少时，p q -取得最大值．【解析】设比赛用了ξ局，当甲用3局取胜，则()33q p ξ==；当甲用4局取胜，则()()13341q C p p ξ==-当甲用5局取胜，则()()223451q C p p ξ==-。

2014年卓越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第八试卷)姓名 成绩 .一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若非空集合A={x|2a+1≢x ≢3a-5},B={x|3≢x ≢22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )(A){a|1≢a ≢9} (B){a|6≢a ≢9} (C){a|a ≢9} (D)φ2.条件甲:θsin 1+=a;条件乙:sin2θ+cos2θ=a.则( )(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件3.空间四点A 、B 、C 、D 满足:|AB |=3,|BC |=7,|CD |=11,|DA |=9,则BD AC ⋅的取值( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个4.在1～2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是( ) (A)41 (B)100083 (C)1000167 (D)43二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.△ABC 中,已知BC=4,AC=3,cos(A −B)=43,则△ABC 的面积为_____.6.已知定义域为R 的函数f(x)满足:2f(x 2+x)-f(x 2-3x+2)=40(x 2+5x)-68,则f(50)= .7.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______.8.在1,3,5,7,…,99这50个连续奇数中任取k 个数,使得在这k 个数中必存在三个数,以这三个数为边长可以组成三角形,则k 的最小值是________.三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+c(a ≠0).求证:方程f(f(x))=x 有4个相异实根的充要条件是b 2-4ac>4;10.(本题13分)已知正方形ABCD 的顶点A,B,C 都在抛物线y=x 2上,求正方形ABCD 面积的最小值.11.(本题15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 1=1,且2S n =a n a n+1(n ∈N +). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)定义数列{b n }:b 1=1,当n ≣2时,b n =∑-=---nk kk n k a C 1111)1(.求证:对任意正实数M,必存在正整数m,使得b 1+b 2+…+b m >M 成立.12.(本题15分)求最小的正整数m,使得存在正整数n 满足2012|(m ×232n+26n).2014年卓越联盟自主招生数学模拟试题(Y.P.M 预测第八试卷)详解一、选择题(本大题共4题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若非空集合A={x|2a+1≢x ≢3a-5},B={x|3≢x ≢22},则能使A ⊆A ∩B 成立的所有a 的集合是( )(A){a|1≢a ≢9} (B){a|6≢a ≢9} (C){a|a ≢9} (D)φ解:因A ⊆A ∩B ⇔A ⊆B;①当A=∅时,2a+1>3a-5⇔a<6;②当A ≠∅时,A ⊆B ⇔2a+1≣3, 3a-5≢22,且3a-5≣2a+1⇔6≢a ≢9.故选(C).2.条件甲:θsin 1+=a;条件乙:sin2θ+cos2θ=a.则( )(A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件 (C)甲是乙的充分条件 (D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件 解:因sin2θ+cos2θ=a ⇒1+sin θ=a 2⇒θsin 1+=|a|⇒/甲;θsin 1+=a ⇒|sin2θ+cos2θ|=a ⇒/乙.故选(D).3.空间四点A 、B 、C 、D 满足:|AB |=3,|BC |=7,|CD |=11,|DA |=9,则BD AC ⋅的取值( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个解:设AB =a ,AC =b ,AD =c ,则|a |=3,|a -b |=7,|c -b |=11,|c |=9⇒a 2=9,a 2-2ab +b 2=49,c 2-2bc +b 2=121,c 2=81⇒b 2-2ab = 40,b 2-2bc =40⇒ab =bc ,BD AC ⋅=b (c -a )=bc -ab =0,选(A).4.在1～2000中随机地取一个数,取到的整数能被6整除但不能被4整除的概率是( ) (A)41 (B)100083 (C)1000167 (D)43解:设事件A 为“取到的数能被6整除”,事件B 为“取到的数能被4整除”.由333<62000<334,知P(A)=2000333.而6与4的最小公倍数为12,166<122000<167,所以,恰有166个数既能被6整除又能被4整除,即P(AB)=2000166.因此所求概率为P(A)-P(AB)=1000167.故选(C). 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把答案填在答题卡的相应位置)5.△ABC 中,已知BC=4,AC=3,cos(A −B)=43,则△ABC 的面积为_____. 解:在BC 上取点D,使得AD=BD=x ⇒CD=4-x,在△ACD 中,(4-x)2=9+x 2-6xcos(A −B)⇒x=2⇒cosC=43⇒sinC=47⇒ △ABC 的面积=273. 6.已知定义域为R 的函数f(x)满足:2f(x 2+x)-f(x 2-3x+2)=40(x 2+5x)-68,则f(50)= . 解:令x 2+x=50⇒x=22011+-⇒x 2-3x+2=(x 2+x)-4x+2=50-2(-1+201)+2=54-2201,40(x 2+5x)-68=40[(x 2+x)+4x]- 68=40(48+2201)-68⇒2f(50)-f(54-2201)=40(48+2201)-68⇒f(54-2201)=2f(50)-40(48+2201)+68; 令x 2-3x+2=50⇒x=22013-⇒x 2+x=4x+48=54-2201,40(x 2+5x)-68=40(60-4201)-68⇒2f(54-2201)- 2f(50)=40(60-4201)-68⇒4f(50)-80(48+2201)+136-2f(50)=40(60-4201)-68⇒f(50)=2012. 7.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______.解:记球半径为R,圆锥的半径为r,圆锥的高=h ⇒r 2=h(2R-h)⇒圆锥的体积=31πr 2h=31πh 2(2R-h)⇒比为8:27.8.在1,3,5,7,…,99这50个连续奇数中任取k 个数,使得在这k 个数中必存在三个数,以这三个数为边长可以组成三角形,则k 的最小值是________.解:{1,3,5,9,15,25,41,67}不满足条件⇒k ≣9.如果存在{a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7,a 8,a 9}(a i <a i+1)不满足条件⇒a 3≣a 1+a 2≣5⇒a 4≣a 2+a 3≣9⇒a 5≣a 3+a 4≣15⇒a 6≣a 4+a 5≣25⇒a 7≣a 5+a 6≣41⇒a 8≣a 6+a 7≣67⇒a 9≣a 3+a 8≣109,矛盾,故k=9.三、解答题(本大题共4小题,共56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内)9.(本题13分)已知函数f(x)=ax 2+(b+1)x+c(a ≠0).求证:方程f(f(x))=x 有4个相异实根的充要条件是b 2-4ac>4; 解:由f(x)=ax 2+(b+1)x+c ⇒c=f(x)-ax 2-(b+1)x,所以,f(f(x))=x ⇔af 2(x)+(b+1)f(x)+c-x=0⇔af 2(x)+(b+1)f(x)+ f(x)-ax 2-(b+1)x-x=0⇔a[f 2(x)-x 2]+(b+2)[f(x)-x]=0⇔[f(x)-x][af(x)+ax+b+2]=0⇔(ax 2+bx+c)[a 2x 2+a(b+2)x+ac+b +2]=0⇔ax 2+bx+c=0,或a 2x 2+a(b+2)x+ac+b+2=0,其判别式=a 2(b+2)2-4a 2(ac+b+2)=a 2(b 2-4ac-4);若方程ax 2+bx+c=0与a 2x 2+a(b+2)x+ac+b+2=0有公共根x 0,则ax 02+bx 0+c=0,a 2x 02+a(b+2)x 0+ac+b+2=0⇒a(ax 02+bx 0)+2ax 0 +ac+b+2=0⇒x 0=-a b 22+⇒a(-a b 22+)2+b(-ab 22+)+c=0⇒b 2-4ac=4,矛盾. 10.(本题13分)已知正方形ABCD 的顶点A,B,C 都在抛物线y=x 2上,求正方形ABCD 面积的最小值. 解:设A(a,a 2),B(b,b 2),C(c,c 2),k AB =a+b=k,由AB ⊥BC ⇒k BC =c+b=-k1;由|AB|=|BC|⇒(a-b)2+(a 2-b 2)2=(c-b)2+(c 2-b 2)2⇒ (a-b)2[1+(a+b)2]=(c-b)2[1+(c+b)2]⇒(a-b)2(1+k 2)=(c-b)2(1+21k)(不妨设a>b>c ⇒k>0)⇒21k +(a-b)=211k +(b-c)(a=k-b,c=-k1-b)⇒21k +(k-2b)=211k +(2b+k 1)⇒b=)1(213+-k k k ⇒a=)1(21223+++k k k k ⇒a-b=)1(12++k k k 正方形ABCD 的面积=|AB|2=(a-b)2+(a 2-b 2)2=(a-b)2[1+(a+b)2]=(a-b)2(1+k 2)=2222)1()1(++k k k (1+k 2)≣222)1(4+k k k ×21(k+1)2=2. 当且仅当k=1时,等号成立.11.(本题15分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 1=1,且2S n =a n a n+1(n ∈N +). (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)定义数列{b n }:b 1=1,当n ≣2时,b n =∑-=---nk kk n k a C 1111)1(.求证:对任意正实数M,必存在正整数m,使得b 1+b 2+…+b m >M 成立. 解:(Ⅰ)由S 1=1,且2S n =a n a n+1⇒a 1=1,a 2=2,a n ≠0,2S n+1=a n+1a n+2⇒2a n+1=2S n+1-2S n =a n+1a n+2-a n a n+1⇒a n+2-a n =2;①当n 为奇数时,设n=2k-1(k ∈N +),则a 2k+1-a 2k-1=2⇒a 2k-1=1+2(k-1)=2k-1;②当n 为偶数时,设n=2k(k ∈N +),则a 2k+2-a 2k =2⇒a 2k =2+2(k-1)= 2k.综上,a n =n;(Ⅱ)当n ≣2时,b n =∑-=---nk k k n k a C 1111)1(=∑-=---n k k n k k C 1111)1(=1111)1(--=-⋅∑-k n n k k C k n n =k nn k k C n ⋅∑-=-11)1(=-n 1∑-=n k k n k C 1)1(=-n 1(∑-=n k k n k C 0)1(-1)= -n 1[(1-1)n-1]=n 1,且b 1=1适合该式,所以b n =n 1(n ≣1);由x>ln(1+x)⇒n 1>ln(1+n1)⇒b n >ln(n+1)-lnn ⇒b 1+b 2+…+b n > ln(n+1)>M ⇒n>e M-1,令m=[e M]即有b 1+b 2+…+b m >M.12.(本题15分)求最小的正整数m,使得存在正整数n 满足2012|(m ×232n+26n).解:因2012=4×503,所以2012|(m ×232n+26n)⇔4|(m ×232n+26n),且503|(m ×232n+26n)⇔m ×232n+26n≡0(mod4),且m ×232n+26n≡0(mod503)⇔m ×232n≡0(mod4),且m(503+26)n+26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且m ×26n+26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且(m+1)26n≡0(mod503)⇔m ≡0(mod4),且(m+1)≡0(mod503)⇔m=4k,且m+1=503t(k,t ∈N +)⇔4k+1=503t ⇔ k=41503-t ,验算知t 的最小值为3⇒最小的正整数m=503×3-1=1508.。

2014北约理科数学试题1、圆心角为3π的扇形面积为6,π求它围成圆锥的表面积. 2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.3、()()()()22,11,47,33f a f b a b f f f ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭求()2014f . 4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围. 5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6、()22arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 7、求证：tan3.Q ︒∉8、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.9、1213......a a a 是等差数列，{}|113,i j k M a a a i j k =++≤<<≤问：7160,,23是否可以同时在M中，并证明你的结论.10、()01,2,...,i x i n >=11.n i i x ==∏求证：))11.nni i x =≥∏2014北约文科数学试题1、圆心角为3π的扇形面积为6,π求它围成圆锥的表面积. 2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.3、()()()()22,11,47,33f a f b a b f f f ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭求()2014f . 4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围. 5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 6、()22arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 7、等比数列{}(){}()411200,631200n n m m +≤≤-≤≤的公共项之和.8、梯形的对角线长分别为5和7，高是3,求梯形的面积.9、求证：tan3.Q ︒∉10、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.2014北约理科数学试题（参考答案）1、圆心角为3π的扇形面积为6,π求它围成圆锥的表面积. 【解析】21,6,2,2S R R l R ααπ=⇒===扇从而圆锥底面周长为222,,67.r S r S πππππππ=⇒===+=底2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.【解析】平均分堆问题.10634332100.2!C C C ⋅⋅=3、()()()()22,11,47,33f a f b a b f f f ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭求()2014f . 【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设(),f x kx m =+()()11,47f f ==代入求得2,1,k m ==-从而()20144027.f =4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围. 【解析】值域问题.2440,1a a a ∆=-≥⇒≥或0.a ≤5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 【解析】均值不等式，对勾函数性质.()()110,4x y xy =-+-≥⇒<≤从而117.4xy xy +≥FEDBA6、()22arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 【解析】()00,arctan 2.f C =⇒=-下面证明：()()22224arctanarctan 2arctan 2arctan 20.14143x x f x f x C x x +-⎛⎫+-=++=--= ⎪-+⎝⎭7、求证：tan3.Q ︒∉【解析】反证法.假设tan3,Q ︒∈则tan6,tan12,tan 24,Q Q Q ︒∈⇒︒∈⇒︒∈从而tan30,Q ︒∈矛盾.tan3.Q ∴︒∉8、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =，可得()()()()()()220,40.a d x b e x c f b e a d c f -+-+-=∆=----=由()()30f x g x +=可得()()()()()()223330,34330.a d x b e x c f b e a d c f +++++=∆=+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df ∴-<()g x ∴没有实根.9、1213......a a a 是等差数列，{}|113,i j k M a a a i j k =++≤<<≤问：7160,,23是否可以同时在M中，并证明你的结论.【解析】数列中的项.分析M 中项的构成，若按照从小到大的顺序排列，最小的项为123a a a ++，第二项为124a a a ++，最大的项为111213,a a a ++设n a 公差为,d 则M 中项的公差也为d ，所以M 中共有111213123131++---+=项，假设7160,,23均为M 中的项，不妨设212121217167110,,,,030,23221k k d k d k k Z k k k -=-=⇒=∈<≤、、且1231,k k +≤这样的k 不存在，矛盾.所以7160,,23不可以同时在M 中.10、()01,2,...,i x i n >=11.n i i x ==∏求证：))11.nni i x =≥∏【解析】不等式；柯西不等式或AM GM -平均不等式. 法一：AM GM -不等式.调和平均值n n ni n H G =≤=⎛⎫∑≤n i n ≤=⎛⎫∑n i ≤∑n i ⎛⎫≤∑1n n i i n n ⎛⎫⎛⎫≤+=∑∑，即)1≤，即))1nni ix ≤∏法二：由11.n i ix ==∏及要证的结论分析，由柯西不等式得))211i i x x ⎫≥⎪⎭，从而可设1i i y x =，且1111.n nii i iy x ====∏∏从而本题也即证))11.n ni i y =≥∏从而))211nni ii x x⎫≥⎪⎭∏，即))21nnii ix y ≥∏，假设原式不成立，即))11,nni i x =<∏则))11.nni i y =<∏从而))21nnii ix y <∏，矛盾.得证.2014北约文科数学试题（参考答案）1、圆心角为3π的扇形面积为6,π求它围成圆锥的表面积. 【解析】21,6,2,2S R R l R ααπ=⇒===扇从而圆锥底面周长为222,,67.r S r S πππππππ=⇒===+=底2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.【解析】平均分堆问题.10634332100.2!C C C ⋅⋅=3、()()()()22,11,47,33f a f b a b f f f ++⎛⎫=== ⎪⎝⎭求()2014f . 【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设(),f x kx m =+()()11,47f f ==代入求得2,1,k m ==-从而()20144027.f =4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围. 【解析】值域问题.2440,1a a a ∆=-≥⇒≥或0.a ≤5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 【解析】均值不等式，对勾函数性质.()()110,4x y xy =-+-≥⇒<≤从而117.4xy xy +≥6、()22arctan14x f x C x +=+-在11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上为奇函数，求C 的值. 【解析】()00,arctan 2.f C =⇒=-下面证明：()()22224arctanarctan 2arctan 2arctan 20.14143x x f x f x C x x +-⎛⎫+-=++=--= ⎪-+⎝⎭7、等比数列{}(){}()411200,631200n n m m +≤≤-≤≤的公共项之和. 【解析】此题考察数的同余问题；设公共项为a ，1mod(4),3mod(6).a a ≡≡易得a 最小的数为9.4和6的最小公倍数为12,则912,.a k k N =+∈91242001,66.k k +=⨯+⇒=∴公共项之和为()67980127135.2S +==8、梯形的对角线长分别为5和7，高是3,求梯形的面积.【解析】如图，梯形面积为()()1122S AB CD h DF EC h =+=+，易求得4,DF EC == ()(1143622S DF EC h =+=+=+9、求证：tan3.Q ︒∉【解析】反证法.假设tan3,Q ︒∈则tan6,tan12,tan 24,Q Q Q ︒∈⇒︒∈⇒︒∈从而tan30,Q ︒∈矛盾.tan3.Q ∴︒∉10、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =，可得()()()()()()220,40.a d x b e x c f b e a d c f -+-+-=∆=----=由()()30f x g x +=可得()()()()()()223330,34330.a d x b e x c f b e a d c f +++++=∆=+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df ∴-<()g x ∴没有实根.FEDBA。

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝【答案】D 【解析】把M=｛0,1,2}中的数,代入不等式,023-2≤+x x 经检验x=1,2满足。

所以选D.2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5 B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i【答案】A 【解析】.,5-4-1-∴,2-,2212211A z z i z z z i z 故选关于虚轴对称，与==+=∴+=3.设向量a,b 满足|a+b|a-b|=，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2C. 3D. 5【答案】A 【解析】.,1,62-102∴,6|-|,10||2222A b a b a b a b a b a b a b a 故选联立方程解得，，==+=++==+4.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。

为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.45【答案】A【解析】.,8.0,75.06.0,Appp故选解得则据题有优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良，=•=6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A.1727 B.59 C.1027D.13【答案】C【解析】..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321Cvv故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】 D【解析】8.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】..3.2)0(,0)0(.11-)(),1ln(-)(Daffxaxfxaxxf故选联立解得且==′=∴+=′∴+=9.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】 B 【解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A.334B.938 C. 6332 D. 94【答案】 D【解析】..49)(4321.6),3-2(23),32(233-4322,343222,2ΔOAB D n m S n m n m n n m m n BF m AF B A 故选，解得直角三角形知识可得，，则由抛物线的定义和，分别在第一和第四象限、设点=+••=∴=+∴=+=•=+•===11.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C.30D.2【答案】 C 【解析】..10305641-0θcos 2-1-,0(2-1,1-(∴).0,1,0(),0,1,1(),2,0,2(),2,2,0(,2,,111111C AN BM N M B A C C BC AC Z Y X C C A C B C 故选）。

自主招生（理科实验班）预录考试数学模拟试题（C 卷）时间120分钟满分120分一、选择题(本大题共5小题,每小题5分,共25分．每小题恰有一个正确的答案,请将正确答案的代号填入题中相应的括号内）1、已知实数a 、b 、c 满足2|a+3| +4－b=0，c 2+4b －4c －12 =0，则a+b+c 的值为（ ） A ．0 B ．3 C ．6 D ．92、已知关于x 的不等式a x＜6的解也是不等式352a x -＞2a －1的解，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥－116 B ．a ＞－116 C ．－116≤a ＜0 D ．以上都不正确 3、已知点A ),(11y x 、B ),(22y x 均在抛物线)30(422<<++=a ax ax y 上，若21x x <，a x x -=+121，则（ ）A ．21y y >B ．21y y <C ．21y y =D ．1y 与2y 的大小不能确定 4、如图，在四边形ABCD 中，AB=AC ，∠ABD=60°，∠ADB=76°，∠BDC=28°，延长BD 至点E ，使得DE=DC ，连结AE ，则∠DBC 的度数为（ ）A ．18°B ．16°C ．15°D ．14° 5、代数式9)12(422+-++x x 的最小值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．11二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将正确答案填在各小题后的横线上）6、已知点A （0，2）、B （4，0），点C 、D 分别在直线1=x 与2=x 上，且CD x //轴，则AC+CD+DB 的最小值为 .7、如图，在等边△ABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，D 为MN 上任意一点，BD 、CD 的延长线分别交AC 、AB于点E 、F ，若311=+BFCE ，则S △ABC =__________.8、已知实数a 、b 、c 满足2|210|)6)(2005(2=-+-++++b b a c b a ，则代数式ab+bc 的值为__________。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{1,0,1}M =-，{0,1,2}N =，则M N = A.{1,0,1}- B.{1,0,1,2}- C.{1,0,2}- D.{0,1}2．已知复数Z 满足(34)25i z +=，则Z=A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3．若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n -=A.8B.7C.6D.54．若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等5．已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60︒夹角的是A.（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2％的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别是A.200,20B.100,20C.200,10D.100，107．若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下面结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定 8．设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5iA x x x x x x i ∈-=，那么集合A中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130小学 初中高中 年级 O二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式521≥++-x x 的解集为 。

高中自主招生考试数 学(试卷满分：150分 考试时间：120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1． 如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（ ） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示， 则其左视图面积为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为 （ ） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7． 实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为 ．9． 在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为 ．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b， 例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14． 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分） 如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点， 交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种 产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。

2014年自主招生考试数学模拟试卷（一）一、选择题:1.在ABC ∆中,,,A B C ∠的对边分别是,,a b c ,若22bc b a =-且80B A -=,则内角C 为 A.30B.40C.50D.602.设*111,(1),(1)n n n N x y nn+∈=+=+,则A.y x x y =B.y x x y >C.y x x y <D.yx 与x y 无法比较大小3.在ABC ∆中,,A B 是锐角,且22sin sin sin A B C +=,则 ABC ∆是A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形4.设椭圆与x 轴交于,A B 两点,已知对椭圆上不同于,A B 的任意一点P ,直线AP 与直线BP 的斜率之积为12-,则该椭圆的离心率为C.125.在半径为1的球面上有不共面的四个点,,,A B C D 且,,AB CD x BC DA y CA BD z ======,则222x y z ++等于A.2B.4C.8D.166.如果曲线2sin2xy =的两条互相垂直的切线交于P 点,则P 点坐标不可能是 A.(,)ππ B.(3,)ππ- C.(5,)ππ- D.(7,)ππ-7.如果不等式2|1|x x a <-+的解集是区间(3,3)-的子集,则实数a 的取值范围是 A.(,7)-∞ B.(,7]-∞ C.(,5)-∞ D.(,5]-∞ 8.复数z x yi =+满足||1z ≤,则x y xy +-的最大值是A.1B.2C.3D.49.设20141!(cos)2013nn k k x π==∑,则lim n n x →∞等于A.1952B.1953C.1954D.1955 10.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 为单调函数,且1()(())1f x f f x x⋅+=,则(1)f = A.1三、解答题11.已知在ABC ∆中,AB AC >,A ∠的一个外角平分线交ABC ∆的外接圆于点E ,过E 作EF AB ⊥,垂足为F ,求证:2AF AB AC =-.12.已知数列{}n a ,{}n b 满足:2*111111,1,,[1(2)],1n n n n n n a nb a b b b na n N a n +++==-==-∈+. (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)若不等式12(1)(12)(1)n a a na +++≥*n N ∈恒成立,求实数m 的取值范围.13.在平面直角坐标系中,设,,A B C 是曲线1xy =上三个不同的点,,,D E F 分别是,,BC CA AB 的中点,求证:DEF ∆的外接圆经过原点O .14.设,αβ为实数,n 为正整数,且0,14n πβα≤≤≤>.(Ⅰ)求证:2tan tan 1tan αβαβα-≤-+,并给出等号成立的条件; (Ⅱ)求证:22114nk n kn π=<+∑.15.电脑每秒钟以相同的概率输出一个数字1或2,将输出的前n 个数字之和被3整除的概率记为n P . (Ⅰ)求证:11(1)2n n P P +=-; (Ⅱ)求证:201413P >.2014年自主招生考试数学模拟试卷（二）一、选择题:1.已知复数z 满足||2z z i +=+,则z =A.43i + B.34i + C.43i -+ D.34i -+ 2.如果{1,2,,9} 的某个非空子集中所有元素之和是3的倍数,则称该子集为 “忐忑”子集,那么“忐忑”子集的个数是A.133B.134C.173D.175 3.设,B C 是定点,且都不在平面α上,动点A 在平面α上且1sin 2ABC ∠=,那么A 点的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.椭圆,双曲线,抛物线皆有可能4.sin12sin 48sin54=A.14C.185.设复数(,,z x yi x y R i =+∈是虚数单位)满足12z z ++则yx的最大值是A.5B.5C.5D.5-6.已知O 为ABC ∆的外心,1,2,120AC AB BAC ==∠=,若AO AB AC λμ=+ ,则λμ+=A.136B.138C.56D.437.设数列{}n a满足12121,(3)n n n a a a a n --===-≥,则2014a =A.12C.218.已知ABC ∆是边长为2013的正三角形,点,D E 分别在边,BC CA 上,且3,3BC BD CA CE ==,若AD 与BE 交于,P M 是线段DC 的中点,则PM 长是A.670B.671C.672D.6739.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,已知点,A B 为抛物线上的两个动点,且满足120AFB ∠= ,过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线,垂足为N ,则||||MN AB 的最大值是B.210.设[]x 表示不超过x 的最大整数,则2014120142[]2kk k +=+=∑ A.2012 B.2013 C.2014 D.2015二、解答题:11.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若角,,A B C 的大小成等比数列,且22b a ac -=,求B ∠的弧度数.12.定义函数()(1)1,2,(),n n f x x x n N *=+->-∈其导函数记为'()n f x . (Ⅰ)求证:();n f x nx ≥(Ⅱ)数列{}n a 满足'*'11()(1),()(1)n n n n n n f a f n N f a f ++=∈,求证111n n a n -<<+; (Ⅲ)求证:对*242,(1)(1)(1)n n N a a a ∈+++>13.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,190,,2,1BAC AB a AC AA ∠==== ,点D 在棱11B C 上,且113DC B D =. (Ⅰ)求证:1BD AC ⊥;(Ⅱ)当a 为何值时,二面角11B A D B --的大小为60?14.已知函数21()()()2xf x a ex a R =-+∈. (Ⅰ)若函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递增,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)若在区间(0,)+∞上,函数()f x 的图形恒在曲线2xy ae =的下方,求实数a 的取值范围.15.在椭圆中定义:过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦叫做椭圆的通径,如图,已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左,右焦点分别为12,,F F 其离心率为12,通径长为3,过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,12,I I 分别为1212,F BF F AF ∆∆的内心,延长2BF 交椭圆于点M .(Ⅰ)求该椭圆的方程; (Ⅱ)求四边形1221F I F I 与2AF B ∆的面积的比值p ; (Ⅲ)在x 轴上是否存在点C ,使CM CB ⋅为常数,若存在,求出点C的坐标和这个常数,若不存在,请说明理由.2014年自主招生考试数学模拟试卷（三）一、选择题:1.设421111{||78||21|;,,||1}S z z i z z z z C z =--=-+∈=,则S 在复平面内所对应的区域的面积是A.4πB.8πC.16πD.32π2.设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点为F ,过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两条渐近线于,A B 两点,P 是l 与双曲线的一个交点,设O 为坐标原点,若有实数,m n 使得OP mOA nOB =+且29mn =,则该双曲线的离心率是A.4B.98 D.23.在ABC ∆中,D 为AC 的中点,3,,AB BD BC ABC ==∆的面积是3,则A ∠的大小是A.6πB.4πC.3πD.2π4.函数y =B. D.35.正三棱锥D ABC -的底面ABC ∆的边长均为6,各侧棱长均为5,点I 是侧面DAB ∆的内心,则四面体I ABC -的体积是6.[]x 表示不超过x 的最大整数,则222[log 1][log 2][log 2014]+++ 的值是A.18084B.18094C.18104D.18114 7.各项均为正数的等比数列{}n a 中,4321228a a a a +--=,则872a a +的最小值为 A.18 B.36 C.54 D.728.设函数:,f R R →满足:(0)1,f =且对任意,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+,则(2014)f 的值是A.2013B.2014C.2015D.2016 9.在ABC ∆中,10,AB AB =边上的高为3,当AC BC ⋅最小时,AC BC +的值是A. B. C. D.10.设两点,C D 在以线段AB 为直径的半圆弧上,线段AC 和线段BD 相交于点,10,8,E AB AC ==BD =则ABE ∆的面积为 A.1507 B.1307 C.1107 D.907二、解答题：11.已知焦点在x 轴上的椭圆222:18x y C b+=内含圆2218:3C x y +=,圆1C 的切线l 与椭圆C 交于,A B 两点,且满足0(OA OB O ⋅=为坐标原点.(Ⅰ)求2b 的值;(Ⅱ)求||AB 的取值范围.12.设递增数列{}n a 满足:*111,451,)n n a a a n n N +==+≥∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求证:121112na a a +++< .13. ABC ∆的内切圆I 分别切,BC CA 于点,D E 直线BI 交DE 于点G ,求证:AG BG ⊥.14.如图所示,在矩形ABCD 中,6,AB AD BD ==是对角线,过点A 作AE BD ⊥,垂足为O ,交CD 于点E ,以AE 为折痕将ADE ∆向上折起,使点D 到点P 的位置.(Ⅰ)若平面PAE 与平面ABCE 所形成的二面角P AE B --的大小为120,求四棱锥P ABCE -的体积; (Ⅱ)若PB =求二面角P AB E --的余弦值.15.已知函数2()ln(1)2(1f x x ax x =+++-+其中0)a > (Ⅰ)当1a =时,求()f x 的最小值;(Ⅱ)若[0,2]x ∈时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围;2014年自主招生考试数学模拟试卷（四）一、选择题:1.设12,z z 为一对不相等的共轭复数,且2112||z z z =为实数,则12||z z -的值为C.3D.2.设,x y 满足约束条件122323x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,若224x y a +≥恒成立,则实数a 的最大值是A.1B.4C.52D.453.函数()|1||1|f x x x =++-A.[2B.[2C.[2D.[24.已知O 点在ABC ∆的内部,且324AB BC CA AO ++= ,记ABC ∆的面积为1,S OBC ∆的面积为2S ,则12:S S 的值为A.2B.3C.4D.55.在ABC ∆中,D 是BC 的中点,若0AD AC ⋅=,则tan 2tan A C +的值为A. B.0D.16.若锐角α=,则角α的度数为A.30B.40C.50D.607.将11个完全相同的小球放入6个各不相同的盒子中,使得至多有三个空盒子的放法种数是 A.3112 B.3912 C.4212D.45128.已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左,右焦点,点A 的坐标为9(2,则12F AF ∠的平分线与x 轴交点M 的坐标为A.(2,0)B.(2,0)-C.(4,0)D.(4,0)-9.在长方体1111ABCDA BC D -中,已知111,AC BC AB p ==,则长方体的体积最大时,p 等于10.方程1sin [[]]222x x x π=-+在区间[0,2]π内的所有实数解的和为A.8B.10C.12D.14 二、解答题:11.如图,四边形ABCD 是圆内接四边形,且,AB CD AD BC E ⋅=⋅是对角线AC 上的一点. (Ⅰ)若E 是AC 的中点,求证:ABE DBC ∠=∠;(Ⅱ)若ABE DBC ∠=∠,试问E 是否为AC 的中点?说明理由.12.已知函数ln(1)()x f x x+=. (Ⅰ)当0x >时,求证:2()2f x x >+;(Ⅱ)当1x >-且0x ≠时,不等式1()1kxf x x+<+恒成立,求实数k 的取值集合.13.如图,已知四棱锥E ABCD -的底面是菱形,且60,2,ABC AB EC AE BE ∠===== (Ⅰ)求证:平面EAB ⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求二面角A EC D --的余弦值.14.数列{}n x 中,11x =且121n n n x x x ++=+. (Ⅰ)设n a =,求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设|n n b x =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:2n S <.15.已知椭圆221,4x y P +=是圆2216x y +=上任意一点,过P 作椭圆的切线,PA PB ,切点分别为,A B ,求PA PB ⋅的最大值和最小值.2014年自主招生考试数学模拟试卷（五）一、选择题:1.设实数1r >,如果复平面上的动点z 满足||z r =,则动点1w z z=+的轨迹是 A.焦距为4的椭圆 B.焦距为2的椭圆 C.焦距为2r 的椭圆 D.焦距为2r的椭圆 2.设P 是函数2(0)y x x x=+>的图象上任意一点,过点P 分别向直线y x =和y 轴作垂线,垂足分别是,A B ,则PA PB ⋅的值是A.2-B.C.D.1-3.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且满足5cos 5cos 3a B b C c -=,则tan :tan A B 的值是A.2 D.54.设,,[0,1]x y z ∈,则M =1 B.1 C.2 D.25.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周末使用的三种密码中等可能地随机选用一种,设第一周使用A 密码,那么第七周也使用A 密码的概率是A.59243 B.61243 C.65243 D.67243 6.半径为R 的球内部装有4个相同半径为r 的小球,则小球半径r 的可能的最大值是R R 7.[表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足2014的所有点(,)x y 组成的图形的面积是A.8B.16C.1007D.20148.若实数,x y 满足1x y xy +=-的值是9.设1616(1)i i i x a x =+=∑,则16ii ia==∑A.142 B.162 C.182 D.20210.已知平面,,αβγ两两垂直,点A α∈,点A 到平面,βγ的距离都是3,P 是平面α上的动点,点P 到平面β的距离是到A 点距离的2倍,则点P 到平面γ的距离的最小值是A.2B.3C.4D.5-二、解答题：11.在锐角ABC ∆中,,BD CE 分别是,AC AB 上的高,以AB 为直径作圆交CE 于点M ,在BD 上取点N ,使AN AM =,求证:AN CN ⊥.12.已知函数()x f x e x =-.(Ⅰ)若函数2()()1g x f x ax =--的导函数'()g x 在[0,)+∞上是增函数,试求实数a 的最大值; (Ⅱ)求证:111()()()234(2)nf f f n n n +++>++ .13.已知m 为非零实数,抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 在直线2:02m l x my --=上.(Ⅰ)若2m =,求抛物线C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与抛物线C 交于,A B 两点,过,A B 分别作抛物线C 的准线的垂线,垂足分别为11,A B ,11,AA F BB F ∆∆的重心分别为,,G H 求证:对任意非零实数m ,抛物线C 的准线与x 轴的交点在以线段GH 为直径的圆外.14.已知数列{}n a 满足;0n a ≥,22*1110,1()n n n a a a a n N ++=+-=∈,记12n n S a a a =+++112121111(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =+++++++++ 求证:当*n N ∈时, (Ⅰ)1n n a a +< (Ⅱ)2n S n >-(Ⅲ)3n T <15.设ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边的长分别为,,a b c ,求证:2()()()3aA B C bB C A cC A B a b c π+++++<++2014年自主招生考试数学模拟试卷（六）一、选择题:1.函数(1y x =的最大值是A.3B.4C.D.22.设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形,在此容器内注入水,并放入半径为r 的一个实心球,此时,球与容器壁及水面恰好都相切,则取出球后水面高为A.rB.2r3.任作椭圆221259x y +=的一条切线,与椭圆的两条对称轴分别交于,A B 两点,则线段AB 的长度的最小值是A.6B.8C.10D.124.已知数列{}n a 满足1(a m m =为正整数),1231n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩当为偶数时当为奇数时,若4 7a =,则m 的所有可能的取值的和为A.9B.10 .C.56D.655.设,,a b c 均为非零复数,令12ω=-,若a b c b c a ==,则a b c a b c +--+的值为 A.1 B.ω± C.1或ω或2ω D.1或ω-或2ω-6.函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩,若,,,a b c d 互不相等且()()()()f a f b f c f d ===,则 abcd 的取值范围是A.(32,35)B.(30,35)C.(31,36)D.(32,36)7.方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[2,4]-内的所有解之和为 A.4 B.6 C.8 D.108.将各位数字之和为7的正整数按从小到大的顺序排成一个数列,则2014是该数列的第( )项A.64B.65C.66D.679.设[],0()(1),0x x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,若方程()0f x kx k --=有三个不同的实数解,则实数k 的取值范围是A.11(,)43B.11(,]43C.11[,)43D.11[,]43 10.设P 为ABC ∆内一点,角,,A B C 的对边分别是,,,a b c S 为ABC ∆的面积,则a PAb PBc PC S ⋅+⋅+⋅的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.5二、解答题11.过直线07075:=--y x l 上的点P 作椭圆192522=+y x 的切线PM ,PN ,切点分别为M ,N ,连结.MN(Ⅰ)当点P 在直线l 上运动时,证明：直线MN 恒过定点Q ；(Ⅱ)当MN ∥l 时，定点Q 平分线段.MN12.ABC ∆的内切圆I 分别切,BC CA 于点,D E 直线BI 交DE 于点G ,求证:AG BG ⊥.13.在四面体ABCD 中,,,AB CD AC BD AD BC ===.(Ⅰ)求证:四面体的每个面的三角形都是锐角三角形;(Ⅱ)设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,,αβγ求证:cos cos cos 1αβγ++=14.函数2()(1)ln ()f x x b x b R =-+∈.(Ⅰ)若函数在其定义域内是单调递增函数,求实数b 的取值范围;(Ⅱ)设3222,()3467a g x x a x a a >=-+-+,当12b =时,若存在12,[1,2]x x ∈,使得 121|()()|2f xg x -<,求实数a 的取值范围.15.已知函数2()1,,f x x x αβ=+-是方程()0f x =的两个根(),'()f x αβ>是()f x 的导数,设11()1,(1,2,)'()n n n n f a a a a n f a +==-= . (Ⅰ)求,αβ的值; (Ⅱ)证明:对任意的正整数n ,都有n a α>(Ⅲ)记ln(1,2,)n n n a b n a βα-==- ,求数列{}n b 的前n 项和n S .2014年自主招生考试数学模拟试卷（七）一、选择题:1.已知2014220140122014(1)x a a x a x a x +=++++ ,则48122012a a a a ++++=A.20112B.20122C.20132D.201422.若a 为正数,[]a 表示a 的整数部分,{}[]a a a =-,如果,[],{}a a a 按照某种顺序组成等比数列,则a 的值是3.已知(0,2)x π∈且(1|cos |)sin (1|cos |)x x x -=+,则满足条件的所有x 的和是A.2π B.π C.32π D.2π 4.已知数列{}n a 满足1(a m m =为正整数),1231n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩当为偶数时当为奇数时,若123 29a a a ++=,则m的值为A.3B.4 .C.5D.65.若自椭圆中心到焦点,长轴顶点,以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形,则该椭圆的离心率是B.326.正四棱锥P ABCD -中,5,6,PA AB M ==是PAD ∆的重心,则四面体MPBC 的体积是A.B.C.D.7.已知()f x 为R 上的单调递增函数,且对任意x R ∈,都有(()3)4x f f x -=,则(2)f 的值是A.8B.9C.10D.118.设函数()sin cos 1f x x x =+,若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意x R ∈恒成立,则cos b c a的值是 A.1 B.1- C.0 D.1或1- 9.已知实数,,,a b c d 满足221ab c d =+=,则22()()a c b d -+-的最小值是A.3-B.3+C.3D.3+10.7个花色不同的小球放到编号分别为1,2,3的三个盒子内,要求各盒子内的小球数不小于其编号数,则不同的放法种数为A.105B.140C.210D.455二、解答题:11.锐角三角形ABC 的三条高分别为,,AD BE CF ,求证:DEF ∆的周长不超过ABC ∆的周长的一半.12.数列{}n a 满足22112211,2,1n n n n a a a a a a +++===+. (Ⅰ)求证:11(1,2,3,)n n na a n a +=+= (Ⅱ)求证n a ≤≤(Ⅲ)令1,2,3,)n b n == 判断n b 与1n b +的大小,并说明理由.13.已知(1,0)F 为一定点,(0,)P b 是y 轴上的一动点,点(,0)M a 满足0PM PF ⋅= ,若点N 满足 20PN NM += .(Ⅰ)求点N 的轨迹曲线C 的方程;(Ⅱ)求曲线C 的任何两条互相垂直的切线的交点轨迹.14.在长方体1111ABCD A BC D -中,已知11,2,AD AB AA t ===. (Ⅰ)若对角线1BD 上存在一点P ,使得11PB PC ⊥,求实数t 的取值范围;(Ⅱ)当对角线1BD 上存在唯一一点P ,使得11PB PC ⊥时,求平面11PB C 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.15.已知函数1()2ln(1)1(1)f x x x x =++-+ (Ⅰ)求()f x 在区间[1,)+∞上的最小值;(Ⅱ)求证:2*(1)ln1ln 2ln 3ln (,2)2n n n N n n-++++>∈≥ (Ⅲ)42222*3(1)ln 1ln 2ln 3ln (,2)4n n n N n n-++++>∈≥2014年自主招生考试数学模拟试卷（八）一、选择题:1.444sin 10sin 50sin 70++的值是 A.32 B.54 C.76 D.982.在ABC ∆中,点O 为BC 的中点,过点O 的直线分别交直线,AB AC 于不同的两点,M N ,若 ,AB mAM AC nAN == ,则m n +的值是A.2B.3C.32D.653.已知,,0a b c >且39a b c ++=,则23a b c ++的最小值是 A.31 B.274C.24336-D.45- 4.ABC ∆内接于单位圆,三个内角平分线延长后分别交圆于111,,A B C ,则 111cos cos cos 222sin sin sin A B C AA BB CC A B C++=++ A.1 B.2 C.3 D.45.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为A.29 B.49 C.427 D.8276.设直线l 与曲线31y x x =++有三个不同的交点,,A B C且||||AB BC ==则直线l 的方程是A.1y x =+B.21y x =+C.1y x =-+D.21y x =-+ 7.从1,2,3,…,20中任取5个不同的数,其中至少有两个是相邻的数的概率为A.232323 B.155323 C.242323D.199323 8.实数,b c 满足221b c +=,且()sin cos f x ax b x c x =++的图象上存在两条互相垂直的切线,则实数a 的取值范围是A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.{0}D.[1,1]-9.设M 是椭圆22143x y +=上的动点,点F 和P 的坐标分别是(1,0)和(3,1),则2||||MF MP -的最大值是A.1D.210.设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数,且对于任意(0,)x ∈+∞都有2[()log ]6f f x x -=,若0x 是方程()'()4f x f x -=的一个根,且*0(1,)()x a a a N ∈-∈,则a 的值为A.1B.2C.3D.4二、解答题：11.在等腰ABC ∆中,,AB AC =设,M N 分别在边,BC AC 上且//MN AB ,记CMN ∆的外心为,D BN 的中点为E ,求证:90AED ∠= .12.已知函数3()(1)1x f x x x +=≠-+设数列{}n a 满足:111,()n n a a f a +==,数列{}n b 满足|n n b a =(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求证:n b ≤13.已知曲线11:()()2x x C y f x e e -==+,曲线21:()()2x x C y g x e e -==-,直线x a =与曲线12,C C 分别交于,A B ,曲线1C 在点A 处的切线为1l ,曲线2C 在点B 处的切线为2l .(Ⅰ)证明:直线1l 与2l 必相交,且交点到直线AB 的距离为定值; (Ⅱ)设0a <,直线1l 与2l 的交点为P ,若PAB ∆为钝角三角形,求实数a 的取值范围.14.如图,某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作:先在地平面α内作菱形ABCD ,边长为1,60BAD ∠=,再在α的上方,分别以ABD ∆与CBD ∆为底面安装上相同的正棱锥P ABD -与 Q CBD -,已知90APB ∠= .(Ⅰ)求二面角P BD Q --的余弦值;(Ⅱ)求点P 到平面QPB 的距离.15.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为1(F ,且该椭圆经过点1)2H ,设椭圆的上,下顶点分别为12,A A ,点P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线12,PA PA 分别交x 轴于点,M N ,若直线OT 与过点,M N 的圆G 相切,切点为T .(Ⅰ)求椭圆E 的方程;(Ⅱ)证明:线段OT 的长为定值,并求出这个定值.。

卓越联盟自主招生真题及答案(2011-2014年)目录2011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题 (2)2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (5)2012年卓越联盟自主招生数学试题 (11)2012卓越联盟自主招生数学真题答案解析 (14)2013年卓越联盟自主招生数学试题 (20)2013年卓越联盟自主招生数学试题参考答案 (23)2014年卓越联盟自主招生数学试题262011年卓越联盟(同济大学等九校)自主招生数学试题数学试题分值:分时量: 分钟一、选择题,1.已知向量为非零向量,则夹角为( )A. B. C. D.2.已知则( )A. B. C . D.3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为( )A. B. C. D.4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( )A. B. C. D.5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边所在的直线方程为,则抛物线方程为( )A..B.C.D.6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2,且为的中点,则点到平面的距离为( )A. B. C. D.7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( )A. B. C. D.8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为( )A. B. C. D.9.数列共有11项,且满足这种条件的不同数列的个数为( )A. 100B. 120C. 140D. 16010.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则是( )A. B. C. D.二、解答题11.设数列满足.(1)设,证明:若,则是等比数列;(2)若求的值;12.在中,是角的平分线,且.(1)求的取值范围;(2)若,问为何值时,最短?13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值.14.一袋中有个白球和个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.(1)求;(2)设,求(3)证明:15.设.(1)求;(2)设求常数,使得取得最小值;(3)记(2)中的最小值为,证明.2011年卓越联盟自主招生数学试题参考答案一.选择题二.解答题11.【解】(1)证:由,得令则,所以是以为首项,以为公比的等比数列;(2)由(1) 可知,所以由累加法得即也所以有时,也适合该式;所以也所以由于所以解得.12.【解】(1)过作直线,交延长线于,如图右.所以,也所以有,即在中,有即所以,即所以.(2)因为在中,有记,则当时,此时取最小值,此时.故当时,取最小值.13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点,所以方程组只有一解,整理得.所以得.又因为焦点为,所以联立上式解得所以椭圆方程为.(2)若斜率不存在(或为0)时,则.若斜率存在时,设为,则为.所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为联立方程化简得.则所以同理可得所以因为（当且仅当时取等号）所以,也所以所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2.14.【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概率为;也可能为个(即取出的是黑球),概率为,故.(2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.故(3)第次白球的个数的数学期望分为两类:第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是故15.(1);(2)若则显然,当取最小;若则当取最小.故由(1)知所以,记则令,得即时,取最小值.(3)将代入式右边,等价于由于时,所以下面只须证明即可.又令,则,注意到函数是单调递增的,且所以.得证.天津大学等九所高校“卓越联盟”自主招生学业水平测试试卷分析对于数理知识测试中数学部分，专家评论道：数学考题考察的是高中数学的基本知识、基本概念和基本技能，但只是考察的侧重点与高考不同，试题重点考察了学生的空间想象能力，要求学生能将“数”与“形”相结合来分析和解决问题。

2014年华约自主招生数学试题解析戴又发1．54321,,,,x x x x x 五个正整数，任取四个其和组成的集合{}47,46,45,44，求)5,4,3,2,1(=i x i【解析】由五个正整数中取四个求和，应得到5个和，和组成的集合{}47,46,45,44，说明恰有两个和相等，进而可知这五个正整数，恰有两个数相等． 不妨设4321,,,x x x x 互不相等，且4321x x x x <<<，54321x x x x x M ++++=，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-474645441234x M x Mx M x M ，于是18244321=----x x x x M ，即51823x M -=， 又因为47182444182+≤≤+M ，即25.575.56≤≤M ．当56=M 时，54321,,,,x x x x x 分别为9,10,11,12,14，不符合题意； 当57=M 时，54321,,,,x x x x x 分别为10,11,12,13,11，满足题意． 故所求五个正整数为10,11,12,13,11．2．乒乓球比赛，甲胜的概率是)5.0(>p p ，五局三胜制，甲获胜的概率是q ，求p 为多少时，q p -取得最大值．【解析】甲获胜的概率是3452324323310156)1()1(p p p p p C p p C p q +-=-+-+=，于是p p p p q p +-+-=-34510156，令p p p p p f +-+-=34510156)(22234)1(3011306030)(p p p p p p f --=+-+-='0))1(301))(1(301(=-+--=p p p p ，得030302=+-p p ， 当)30411(21-+=p 时，q p -取得最大值．3．（1）求证：))((x g f y =的反函数是))((11x f g y --=．（2）)()(x f x F -=，)()(1x f x G -=-，若)()(1x G x F -=，求证)(x f 为奇函数．【解析】（1）由))((x g f y =得)()(1y f x g -=，))((11y f g x --=，故所求反函数是))((11x f g y --=．（2）由)()(1x f x G -=-得)()(1x f x G -=-，事实上，设)(x G y =和)(1x f y -=-，由)(x G y =得反函数)(1x G y -=；由)(1x f y -=-得反函数)(x f y -=； 于是由)()(1x G x F -=有)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数．4. 函数是21sin 2)4πsin()sin (cos 22)(-+-+-=b x a x x x x f 的最大值为1，最小值为4-，求b a ,的值. 【解析】因为21sin 2)4πsin()sin (cos 22)(-+-+-=b x a x x x x f 21sin 2)sin )(cos sin (cos 21-+-+-=b x a x x x x 21sin 2)sin 21(212-+--=b x a x 22)(sin a x b a +-+=．当1>a 时，有⎩⎨⎧-=--=-+412112a b a b ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=4521a b ； 当1-<a 时，有⎩⎨⎧=---=-+112412a b a b ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=4521a b ； 当01<≤-a 时，有⎩⎨⎧-=-+=+41212a b b a ，无解；当10≤≤a 时，有⎩⎨⎧-=--=+41212a b b a ，无解； 综上所述⎪⎩⎪⎨⎧=-=4521a b 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=4521a b ．5.已知椭圆12222=+by a x 与圆222b y x =+，过椭圆上一点P 作圆的两条切线，切点弦所在直线与x 轴、y 轴分别交于点F E ,．求三角形EOF 面积的最小值．【解析】设点P 的坐标为)θsin ,θcos (b a P ，于是切点弦所在直线方程为 b by ax =+θsin θcos ，进而求得)θsin 1,0(),0,θcos (F a b E ， 所以三角形EOF 面积为a b a b a b S EOF ≥==∆θ2sin θcos θsin 2， 当4πθ=时，三角形EOF 面积取得最大值ab ． 6.已知数列{}n a 满足：01=a ，n n n qa np a +=+1．（1）若1=p ，求n a ．（2）若1,1<<q p ，求证：数列{}n a 有界．【解析】（1）当0≠q 且1≠q 时， 有1111+++=-n n n n n q n qa q a )(， 于是 n n n q n q q q q a 1321432-++++= ，两边同乘以 q1后，与原式错位相减，得 1432111111++--++++=-n n n n n n qn q q q q q a q a ， 11121111111111++-----=----=n n n n q n q q q q n qq q )(， 即2111)()(----=q n q q a n n ．当0=q 时，1-=n a n 满足． 当1=q 时，由n n n qa np a +=+1得n n a n a +=+1 ， 此时，21)(-=n n a n ． 所以，当1=q 时，21)(-=n n a n ；当1≠q 时，2111)()(----=q n q q a n n ． （2）由1,1<<q p ，且0≠q ，p q ≠时，有111+++⨯=-n n n n n q p p n qa q a )(， n n n n qp n q p q p q p q a 143322132--++++=)( ，两边同乘以 q p 后，与原式错位相减，得 114332211+-+--++++=-n nn n n n n n q p n q p q p q p q p q pa q a )( ， 1111221111++------=----=n n n nn n n n q p n p q q p q p q p n qp p q p q p )()()()(， 即21)()(p q p np p q pq a n n n n ----=+．注意到0=q 时也满足． q p np p q np q p p q np q p p q p pq a nn n n n n n n n n n -=--=--+--=∞→∞→∞→+∞→∞→lim )()(lim )()(lim )(lim lim 222101=-=-=-=-∞→-∞→-∞→∞→p p q p p p p q p q p x q p np xx x x x x n n ln )(lim ln )(lim )(lim lim ． 当p q =时，由n n n qa np a +=+1得pn p a p a n n n n =-++11 ， 此时pp n n a nn 21)(-=， 01212221221112===+-=-=-=∞→-∞→-∞→-∞→∞→∞→pp p p p p p x p x x p p n n a x n x n x n x x n n n n ln lim ln lim ln lim lim )(lim lim 综上所述0=∞→nn a lim ，所以数列{}n a 有界．7. 已知n x N n ≤∈*,，求证：21x e nx n n x n ≤⋅--)(． 【解析】不妨设0≥x ，因为1≤nx ，令t n x ≤-1，则10≤≤t ， 所证不等式可变为2111)()(t n e t t n n -≤⋅--，又n t n t e )()(-≥-21，所以n n t n n t t e t )()(--≤⋅--2111，作函数222121121)()()()()(t n t t t n t t t f n n n ----=----=，则01=)(f ， ])()[()()()()(1212211212222-----=-+---='n n t t t n t n t t t n t f01111212≥----=-]))(()[(n t t n ．即当10≤≤t 时，)(t f 为增函数，又01=)(f ，所以当10≤≤t 时，0≤)(t f ，于是2111)()(t n e t t n n -≤⋅--，21x e nx n n x n ≤⋅--)(．。

今年北约自招笔试已落下帷幕，从试题的整体难度来看，它不像我们平时觉得的有竞赛的难度，与往年相比难度也是大有降低，具体体现在试题中的前六道，属于高考基本题型，只要准备过自招考试的基本能拿满分，但也要熟悉反三角函数的处理以及无理性的证明思路.有区分度的点在最后三道，最后一题属于不等式的延伸内容，北约的考试尤其是解答题从来都不是基于课内知识点的反复强调和训练，往往来源于一些很基本的甚至是近似于数学常识的知识，比如去年考试中“任意三个数的和都是质数”的理解，的理解，和今年证明是无理数这样和今年证明是无理数这样的问题，都属于不强调复杂的计算，都属于不强调复杂的计算，只求看清楚问题的本质的处理手法。

只求看清楚问题的本质的处理手法。

只求看清楚问题的本质的处理手法。

去年和今年也都考去年和今年也都考察了对数列的理解，去年考察奇偶项和的理解，去年考察奇偶项和的理解，今年考察对数项形式的分析，今年考察对数项形式的分析，今年考察对数项形式的分析，所以北约的数所以北约的数学试题做起来如果很繁琐，说明往往已经偏离了命题人的基本想法。

下面附上试题及解析，供考完的对照以及明年参加北约考试的孩子参考。

希望对同学们有所帮助.2014北约理科数学试题北约理科数学试题1、圆心角为3p的扇形面积为6,p 求它围成圆锥的表面积.【解析】21,6,2,2S R R l R a a p =Þ===扇从而圆锥底面周长为222,,67.r S r S p p p p p p p =Þ===+=底2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.【解析】平均分堆问题.10634332100.2!C C C ××=3、()()()()22,11,47,33f a f ba b f f f ++æö===ç÷èø求()2014f . 【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设(),f x kx m =+()()11,47f f ==代入求得2,1,k m ==-从而()20144027.f =4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围.【解析】值域问题.2440,1a a a D =-³Þ³或0.a £5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy+的取值范围. 【解析】均值不等式，对勾函数性质.()()112,0,4x y xy xy =-+-³Þ<£从而11717..4xy xy +³6、()22arctan 14x f x C x +=+-在11,44æö-ç÷èø上为奇函数，求C 的值.【解析】()00,arctan 2.f C =Þ=-下面证明：()()22224arctanarctan 2arctan 2arctan 20.14143x x f x f x C x x +-æö+-=++=--=ç÷-+èø7、求证：tan3.Q °Ï【解析】反证法.假设tan3,Q °Î则tan6,tan12,tan 24,Q Q Q °ÎÞ°ÎÞ°Î从而tan30,Q °Î矛盾.tan3.Q \°Ï8、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =，可得()()()()()()220,40.a d x b e x c f b ea d c f -+-+-=D =----=由()()30f x g x +=可得 ()()()()()()223330,34330.a d xb e xc f b e ad c f +++++=D =+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df \-<()g x \没有实根.9、1213a a a 是等差数列，{}|113,i j k M a a a i j k =++£<<£问：7160,,23是否可以同时在M 中，并证明你的结论.【解析】数列中的项.分析M 中项的构成，若按照从小到大的顺序排列，最小的项为123a a a ++，第二项为124a a a ++，最大的项为111213,a a a ++设n a 公差为,d 则M 中项的公差也为d ，所以M 中共有111213123131++---+=项，假设7160,,23均为M 中的项，不妨设212121217167110,,,,030,23221kk d k d k k Z k k k -=-=Þ=Î<£、、且1231,k k +£这样的k 不存在，矛盾.所以7160,,23不可以同时在M 中.10、()01,2,...,i x i n >=1 1.nii x==Õ求证：()()1221.nni i x =+³+Õ【解析】不等式；柯西不等式或AM GM -平均不等式. 法一：AM GM -不等式.调和平均值()212n nn n iniiin H G x x =£=+æöç÷ç÷+èøÕå，则()12222nni niiin x x £+æöç÷ç÷+èøÕå，()()1222nnnn i i n i ii i ii n x x x x x £+=+æöç÷ç÷+èøÕÕå可得()2222n niiniin x x æö£ç÷ç÷+èø+åÕ，()22n i niini ix nx x æö£ç÷ç÷+èø+åÕ 上述两式相加得()()212222nn in iii i niin x n x x x +æöæö£+=ç÷ç÷++èøèø+ååÕ，即()()212nni ix +£+Õ，即()()212nni ix +£+Õ法二：由11.n i i x ==Õ及要证的结论分析，由柯西不等式得()()212221ii x x æö++³+ç÷èø，从而可设1i i y x =，且111 1.n ni i i iy x ====ÕÕ从而本题也即证()()1221.n ni i y =+³+Õ从而()()212221nni ii x x æö++³+ç÷èøÕ，即()()()22221nnii ix y ++³+Õ，假设原式不成立，即()()1221,nni i x =+<+Õ则()()1221.nni i y =+<+Õ从而()()()22221nnii ix y ++<+Õ，矛盾.得证.2014北约文科数学试题北约文科数学试题1、圆心角为3p的扇形面积为6,p 求它围成圆锥的表面积.【解析】21,6,2,2S R R l R a a p =Þ===扇从而圆锥底面周长为222,,67.r S r S p p p p p p p =Þ===+=底2、将10个人分成3组，一组4人，两组各3人，求共有几种分法.【解析】平均分堆问题.10634332100.2!C C C ××=3、()()()()22,11,47,33f a f ba b f f f ++æö===ç÷èø求()2014f . 【解析】观察等式可知，函数显然为线性一次函数，可设(),f x kx m =+()()11,47f f ==代入求得2,1,k m ==-从而()20144027.f =4、()()2lg 2f x x ax a =-+的值域为,R 求a 的取值范围.【解析】值域问题.2440,1a a a D =-³Þ³或0.a £5、已知1,x y +=-且,x y 都为负实数，求1xy xy +的取值范围.【解析】均值不等式，对勾函数性质.()()112,0,4x y xy xy =-+-³Þ<£从而117.4xy xy +³6、()22arctan14x f x C x +=+-在11,44æö-ç÷èø上为奇函数，求C 的值. 【解析】()00,arctan 2.f C =Þ=-下面证明：()()22224arctan arctan 2arctan 2arctan 20.14143x x f x f x Cx x +-æö+-=++=--=ç÷-+èø7、等比数列{}(){}()411200,631200n n m m +££-££的公共项之和.【解析】此题考察数的同余问题；设公共项为a ，1mod(4),3mod(6).a a ºº易得a 最小的数为9.4和6的最小公倍数为12,则912,.a k k N =+Î91242001,66.k k +=´+Þ=\公共项之和为()67980127135.2S +==8、梯形的对角线长分别为5和7，高是3,求梯形的面积.【解析】如图，梯形面积为()()1122S AB CD h DF EC h =+=+，易求得210,4,DF EC ==()()11421036310.22S DF EC h =+=+=+9、求证：tan3.Q °Ï【解析】反证法假设tan3,Q °Î则tan6,tan12,tan 24,Q Q Q °ÎÞ°ÎÞ°Î从而tan30,Q °Î矛盾.tan3.Q \°Ï10、已知实系数二次函数()f x 与()()(),g x f x g x =和()()30f x g x +=有两重根，()f x 有两相异实根，求证：()g x 没有实根.【解析】设()2,f x ax bx c =++()2,g x dx ex f =++则由()()f x g x =，可得()()()()()()220,40.a d xb e xc f b e ad c f -+-+-=D =----=由()()30f x g x +=可得()()()()()()223330,34330.a d xb e xc f b e ad c f +++++=D =+-++=化简得223124,b e ac df +=+即()22434e df ac b -=-又240.b ac ->240.e df \-<()g x \没有实根.FEDCBA。

卓越模拟题2 答案二、计算题9、 证明：（1）在[0,]2π上，22cos sin tan '()0cos x x x x x f x x x x--==<，所以()f x 是减函数；…………（8分） （2）因为{}n a 是递减的，………………………………………………（2分）根据（1），1()n n n na b f a a +==是递增的。

……………………………（5分） 10、 解：由题意：2346,24,504,a a a ===…，下证：…………………………（2分）当2n ≥时，14,n n a a +≥…………………………（3分）即证：4n a n ≥+…………………………（3分）事实上，2624a ==+；假设4k a k ≥+，则21()41(1)4k k k k k k k a a ka a k a a a k +=-=-≥>+≥++，所以1()4n n n n a a n a a +=-≥（2n ≥）…………………………（3分）所以12111n a a a +++L 11113624504=++++L 1111(+)362496<++++L 11112513639914=+⋅=+=-。

…………………………（4分） 11、 证明：如下图，过E 作//FG AB ，交AD ，BC 于F 、G 。

设ADE θ∠=，并不妨AE = 1，则DE =，DF θ=，AF ==4分）即CG θ=，BG =2分）设ECG EAF α∠=∠=，则tan α= ，………………………（3分） tan EG CG α==2分）于是sin 2tan tan 2cos 2EG EBG BG θθθ∠===。

………………………（2分） 所以22EBG EDF θ∠==∠。

………………………（2分）12. 解：（1）因为12PB AB =，所以1(,)(,)2d P BCE d A BCE =面面。

2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。