卓越联盟自主招生数学试题及答案

卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．）（1）已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则（A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<-(C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-（2）已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点 （A ）先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (B) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (C) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 (D) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 （3）如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)48(4)设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）（5）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线2218x y p -=的一个焦点，则双曲线的渐 近线方程为 ．（6）设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD DE +=， 则23OA OB OC ++= ．（7）设曲线y 与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落 入区域22{(,)2}x y D x y ∈+<内的概率为 ．(8)如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,ODC DBC αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）．三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（9）（本小题满分13分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值．（10）（本题满分13分） 设椭圆2221(2)4x y a a +=>的离心率为，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =，求k 的值； （3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒 有2AC AD k k ⋅=-．（11）（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112x e x x >++； （2）若2112x y e x x e =++，证明：0y x <<． （12）（本题满分15分）已知数列{}n a 中，13a =，2*1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈．（1）若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求α的取值范围；（2）当2α=-时，证明*121112()222n n N a a a +++<∈---．答案：(1)A ； （2）B ； （3）C ； （4）B ．（5）y x =±； （6）2； （7）11π-； （8）βα-．。

2023学年第一学期金华卓越联盟12月阶段联考高一数学试题（答案在最后）考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}1,3,5,7,2,3,5,6A B ==，则A B ⋃=（）A.{}3,5 B.{}3,5,6 C.{}1,2,3,5,6,7 D.{}1,2,3,4,5,6,7【答案】C 【解析】【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为{}{}1,3,5,7,2,3,5,6A B ==，所以A B ⋃={}1,2,3,5,6,7，故选：C2.在0360 的范围内，与520- 终边相同的角是（）A.310B.200C.140D.20【答案】B 【解析】【分析】根据终边相同角的性质进行求解即可.【详解】与520- 终边相同的角可以表示为()523600Z k k ︒-∈，由题意可知1322036036052990k k ︒︒︒<<⇒<<-，因为Z k ∈，所以2k =，于是有5203602200︒︒⨯=- ，故选：B3.命题“22,40x x ∀≥-<”的否定是（）A.22,40x x ∃≥-≥B.22,40x x ∃<-≥C.22,40x x ∀<-≥D.22,40x x ∀<-<【答案】A 【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.【详解】命题“22,40x x ∀≥-<”为全称量词命题,它的否定为22,40x x ∃≥-≥,故选：A4.设,a b 都是不等于1的正数，则“444a b >>”是“44log log a b <”成立的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性将不等式化简，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果.【详解】因为,a b 都是不等于1的正数，由444a b >>可得1a b >>，由44log log a b <可得0a b <<，则1a b >>是0a b <<的既不充分也不必要条件，即“444a b >>”是“44log log a b <”成立的既不充分也不必要条件.故选：D5.直线:l x a =与二次函数()y f x =交点个数为（）A.0个 B.1个C.2个D.以上都有可能【答案】B 【解析】【分析】数形结合判断即可.【详解】直线:l x a =为的纵坐标为R ，图像为一条与y 轴平行的直线，设二次函数为2,0y Ax Bx C A =++≠，当0A >时，1,2,1A B C ===；开口向上，图像与直线一定有一个交点，如图：当0A <时，如1,2,1A B C =-==如；开口向下，图像与直线一定有一个交点，如图：故选：B6.设函数()348f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()()10,30f f <>，则方程的近似解落在区间（）A.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.3,22⎛⎫⎪⎝⎭C.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.5,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意，求得3()0,(2)02f f >>，得到3(1)(02f f ⋅<，结合零点的存在性定理，即可求解.【详解】由函数()348f x x x =+-，且()()10,30f f <>，可得3(70,(2)2602f f =>=>，所以3(1)(02f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得方程3480x x +-=的近似解落在区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.7.2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，秉持“绿色､智能､节俭､文明”的办赛理念，其中“绿色低碳”被摆在首位，比如所有场馆实现100%绿色供电､所有亚运会官方指定用车均为新能源汽车.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：A h ⋅），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流10A I =时，放电时间56h t =，则当放电电流15A I =时，放电时间为（）A.28h B.28.5hC.29hD.29.5h【答案】A 【解析】【分析】将10A I=时，56h t =代入公式n C I t =⋅，结合32log 2n =即可计算15A I =时的放电时间.【详解】由题意得：561015n nC t =⨯=，则1025656153nn n t ⎛⎫=⨯=⨯ ⎪⎝⎭，由32log 2n =，故32log 22565656283232nt ⎛⎫=⨯=== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，故放电时间为28h .故选：A.8.已知定义在R 上的函数()(),f x g x ，其中函数()f x 满足()()f x f x -=且在[)0,∞+上单调递减，函数()g x 满足()()22g x g x -=+且在()2,+∞上单调递减，设函数()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦，则对任意x ∈R ，均有（）A.()()22F x F x -≥+B.()()22F x F x -≤+C.()()2222F x F x -≥+ D.()()2222F xF x -≤+【答案】C 【解析】【分析】判断函数()f x 以及()g x 的性质，化简()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦的表达式，讨论()()f x g x ≤恒成立以及()()f x g x ≤恒成立和()()f x g x ≥，()()f x g x ≤均存在，结合函数性质，即可判断选项的正误，即得答案.【详解】因为()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，()f x 在[)0,∞+上单调递减，则在(,0]-∞上单调递增，函数()g x 满足()()22g x g x -=+且在()2,+∞上单调递减，则()g x 图象关于2x =对称，在(,2]-∞上单调递增，当()()f x g x ≥时，()()()()()1()2F x f x g x f x g x f x =++-=⎡⎤⎣⎦，当()()f x g x ≤时，()()()()()1()2F x f x g x g x f x g x =++-=⎡⎤⎣⎦；①当()()f x g x ≤恒成立时，()()F x g x =，图象关于2x =对称，此时()()22F x F x -=+，()()2222F xF x -=+；②当()()f x g x ≥恒成立时，()()F x f x =，图象关于y 轴对称，当|2||2|x x -+≥时，()()22F x F x -≤+；当|2||2|x x -≤+时，()()22F x F x -≥+；即说明A ，B 错误；当220x -≥，即202x ≤≤时，22022x x ≤-≤+，则()()2222F x F x -≥+，当220x -≤，即22x ≥时，()()()222222F x F xF x -=-≥+，故若()()F x f x =，则()()2222F xF x -≥+，则说明D 错误；③若()()f x g x ≥，()()f x g x ≤均存在，则不妨作()F x 示意图如图：222,2x x -+关于直线2x =对称，且2222x x -≤+，则()()2222F x F x -≥+，综合上述，可知C 正确，故选：C二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题是真命题的是（）A.1R,1x x x∃∈+=- B.20,2x x x ∃>=C.2R,1x x x ∀∈-≥- D.0,ln 0x x ∀>>【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式，求得1x x+的取值范围，可判定A 不正确；根据当2x =时，得到22x x =，可判定B 正确；结合配方法，可判定C 正确；结合对数函数的性质，可判定D 不正确.【详解】对于A 中，当0x >时，则12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立；当0x <时，则11[()2x x x x +=--+≤-=--，当且仅当=1x -时，等号成立，所以1x x+的取值范围为(,2][2,)-∞-+∞ ，所以A 不正确；对于B 中，当2x =时，可得22x x =，所以命题20,2x x x ∃>=为真命题，所以B 正确；对于C 中，由221331(244x x x -+=-+≥，所以命题2R,1x x x ∀∈-≥-为真命题，所以C 正确；对于D 中，当01x <<时，ln 0x <，所以命题0,ln 0x x ∀>>为假命题，所以D 不正确.故选：BC.10.已知幂函数()f x 的图象经过点()4,2，则（）A.函数()f x 为增函数B.函数()f x 为偶函数C.当4x ≥时，()2f x ≥D.当120x x >>时，1212()()()22f x f x x x f ++<【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，求得幂函数为()12f x x =，利用奇偶性的定义，以及幂函数的图象与性质，结合指数幂的运算性质，逐项判定，即可求解.【详解】设幂函数的解析式为()(R)f x x αα=∈，因为幂函数()f x 的图象过点()4,2，可得42α=，解得12α=，即()12f x x =，所以函数()f x 的定义域为[0,)+∞，不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以A 正确，B 不正确；当4x ≥时，可得()()42f x f ≥=，所以C 正确；当120x x >>时，22121212()()[][(222f x f x x x x x f +++-=-0==<，因为()0f x ≥，所以1212()()()22f x f x x x f ++<，所以D 正确.故选：ACD.11.已知()2f x x bx c =++在()0,1上有两实根，则()()01f f ⋅的值可能为（）A.14B.18C.116 D.132【答案】CD 【解析】【分析】根据给定条件，设出方程的两个实根，并表示,b c 及()()01f f ⋅，再用基本不等式求出范围即可.【详解】设方程()0f x =的两个实根为12,x x ，则12,(0,1)x x ∈，显然1212(),b x x c x x =-+=，此时2221212124()4()0b c x x x x x x ∆=-=+-=-≥，即方程()0f x =有两个实根，因此1212121122(0)(1)(1)(1)(1)(1)f f c b c x x x x x x x x x x ⋅=++=--+=-⋅-221122111()(2216x x x x +-+-≤⋅=，当且仅当1212x x ==时取等号，显然()()0·10f f >，即()()10·10,16f f ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()()01f f ⋅的值可能为116，132，即AB 错误，CD 正确.故选：CD12.一般地，若函数()f x 的定义域为[,]a b ，值域为[,]ka kb ，则称[,]a b 为()f x 的“k 倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为[,]a b ，值域也为[,]a b ，则称[,]a b 为()f x 的“完美区间”.下列结论正确的是（）A.若[2,]b 为2(6)4f x x x =-+的“完美区间”，则6b =B.函数1()f x x=存在“完美区间”C.二次函数2113()22f x x =-+存在“2倍美好区间”D.函数||1()||m x f x x -=存在“完美区间”，则实数m 的取值范围为(2,){0}+∞⋃【答案】BCD 【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k 倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.【详解】对于A ，因为函数2(6)4f x x x =-+的对称轴为2x =，故函数()f x 在[2,]b 上单增，所以其值域为2[2,46]b b -+，又因为[2,]b 为2(6)4f x x x =-+的完美区间，所以246b b b -+=，解得2b =或3b =，因为2b >，所以3b =，A 错误；对于B ，函数1()f x x =在(),0∞-和()0,∞+都单调递减，假设函数1()f x x=存在完美区间[,]a b ，则11a bb a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即a ，b 互为倒数且a b <，故函数1()f x x =存在完美区间，B 正确；对于C ，若2113()22f x x =-+存在“2倍美好区间”，则设定义域为[,]a b ，值域为[2,2].a b 当0a b <<时，易得2113()22f x x =-+在区间上单调递减，22113222113222a b b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，两式相减，得4a b +=，代入方程组解得1a =，3b =，C 正确.对于D ，()f x 的定义域为{}0x x ≠，假设函数1,01()1,0m x m x xf x x m x x ⎧+<⎪-⎪==⎨⎪->⎪⎩存在“完美区间”[,]a b ，若0b <，由函数()f x 在(,0)-∞内单调递减，则11m b am a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得0m =；若0a >，由函数()f x 在(0,)+∞内单调递增，则11m a am bb ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即1x m x =-在(0,)+∞有两解a ，b ，得2m>，故实数m 的取值范围为(2,){0}+∞⋃，D 正确.故选：BCD.【点睛】抓住“k 倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间端点处a ，b 的取值，列出方程组.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()7538f x ax bx cx dx =+++-，且()25f -=，则()2f =__________.【答案】21-【解析】【分析】利用代入法，整体法进行求解即可.【详解】因为()7538f x ax bx cx dx =+++-，所以()()()()()7532222285f a b c d -=-+-+-+--=即753222213a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅=-，所以()75322222813821f a b c d =⋅+⋅+⋅+⋅-=--=-，故答案为：21-14.如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为()0ααπ<≤.若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为______.【答案】8π【解析】【分析】先求出圆心角为α，再根据扇形的面积公式即可求解.【详解】解：由题意4πα=，所以该扇形的面积2812S r πα==.故答案为：8π.15.秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量()3mg /my 与时间()1h 02t t ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数，12t ≥），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到()30.25mg /m 以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前__________小时进行消毒工作.【答案】1【解析】【分析】根据题意，求得参数a 的值，得到含药量()3mg /m y 与时间()h t 的函数关系式，令0.25y ≤，结合指数幂的运算性质，即可求解.【详解】由图中的一次函数的图象得，图象中线段所在的直线方程为12(0)2y t t =≤≤，又由点1(,1)2在曲线116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭上，可得121116a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得12a =，所以含药量()3mg /m y 与时间()h t 的函数关系式为1212,0211,162t t t y t -⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，当12t >时，令10.254y ≤=，即1211164t -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，可得1122t -≥，解得1t ≥，所以学校应安排工作人员至少提前1小时进行消毒工作.故答案为：1.16.设函数()2461f x ax bx a =+-+，当[]4,4x ∈-时，恒有()0f x ≥成立，则10a b +的最小值为__________.【答案】13-【解析】【分析】将()2461f x ax bx a =+-+化为()216)(4f x x a bx -=++，和10a b +比较系数，求得x 的值，结合()0f x ≥恒成立，即可求得答案.【详解】由题意得()216)(4f x x a bx -=++，令246101x x -=，解得3x =或12x =-，当3x =时，()033031f a b =++≥，即1103a b +≥-，当12x =-时，1012152f a b ⎛⎫=--+≥ ⎪⎝-⎭，则102a b +≤，验证：3x =时，38b a -=，1103a b +=-，即112,4221a b ==-时，10a b +取到最小值13-，故答案为：13-四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（1）01430.25337(0.064)(2)2568---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭（2）3121log 24lg539--⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】（1）2916；（2）0【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则，即可求得答案；（2）根据指数幂的运算性质以及对数的运算法则，即可求得答案.【详解】（1）01430.25337(0.064)(2)2568---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭13()44(0.25)3(0.4)1(2)4⨯--⨯-=-+-+511292164161+=-+=；（2）3121log 24lg539--⎛⎫-- ⎪⎝⎭312log 3lg5332=-+⨯33lg51lg21(lg 5lg 2)022=-+--=-+=.18.已知集合{}(){}|234,|812A x a x a a B x x =+≤≤-∈=≤≤R .（1）若集合B 是集合A 的充分条件，求a 的取值范围；（2）若A B ⋂=∅，求a 的取值范围.【答案】（1）16,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）()(),410,-∞+∞ 【解析】【分析】（1）将原问题等价转换为由包含关系求参数，根据包含关系列出不等式组求解即可.（2）由题意分集合A 是否为空集进行讨论即可，讨论时，根据题意列出相应的不等式组求解即可.【小问1详解】由题意若集合B 是集合A 的充分条件，则当且仅当B A ⊆，即当且仅当283412a a +≤⎧⎨-≥⎩，解得1663a ≤≤，即a 的取值范围为16,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当A =∅时，满足题意，即满足A B ⋂=∅，此时234a a +>-，解得3a <；当A ≠∅且A B ⋂=∅时，当且仅当3348a a ≥⎧⎨-<⎩或3212a a ≥⎧⎨+>⎩，解得34a ≤<或10a >；综上所述，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为()(),410,-∞+∞ .19.已知函数()221x f x a =-+.（1）求()0f ；（2）探究()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）若()f x 为奇函数，求满足()()22f ax f <的x 的取值范围.【答案】（1）1a -（2）单调递增，证明见解析（3）(,1)-∞【解析】【分析】（1）根据函数解析式，将0x =代入，即得答案；（2）判断函数单调递增，根据函数单调性的定义即可证明该结论；（3）根据函数为奇函数求出a ，则根据函数的单调性解不等式，即可求得答案.【小问1详解】由于()221x f x a =-+，故()012102f a a =-=-+；【小问2详解】探究：()f x 在R 上单调递增，证明如下：()f x 的定义域为R ，任取1212,R,x x x x ∈<，则()()()()()121212122222221211212x x x x x x f x f x a a ⋅--=--+=++++，因为1212,22x x x x ∴<<，12120,120x x +>+>，故()()()121222201212x x x x ⋅-<++，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增；【小问3详解】因为()f x 为奇函数，故()()f x f x -=-，即222121x x a a --=-+++，即222222*********x x x x x a -⋅=+=+=++++，所以1a =，则()()22f ax f <，即()()22f x f <，而()f x 在R 上单调递增，故22,1x x <∴<，即x 的取值范围为(,1)-∞.20.已知函数sin cos sin cos y αααα=++⋅当sin cos t αα=+时，t ⎡∈⎣（1）若t =，求tan α的值；（2）求函数sin cos sin cos y αααα=++⋅的值域.【答案】（1）1（2）11,2⎡-+⎢⎣【解析】【分析】（1）利用辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求解.（2）先利用换元法由（1）可得21122y t t =+-；再利用二次函数的单调性求出最值即可得出答案.【小问1详解】πsin cos4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，t =.∴π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：π2π,Z 4k k α=+∈.∴ππtan tan 2πtan 144k α⎛⎫=+== ⎪⎝⎭.【小问2详解】sin cos t αα=+，22sin cos 1αα+=.∴()22sin cos 12sin cos t αααα=+=+，∴21sin cos 2t αα-=.则22111sin cos sin cos 222t y t t t αααα-=++⋅=+=+-，t ⎡∈⎣.函数21122y t t =+-在区间1⎡⎤-⎣⎦上单调递减，在区间⎡-⎣上单调递增.∴当1t =-时，()2min 1111122y =⨯---=-.又 当t =(2111222y =⨯=当t =时，211112222y =⨯+=>-.∴当t =时，max 12y =.故函数sin cos sin cos y αααα=++⋅的值域为11,2⎡-+⎢⎣.21.若正数,a b 满足24a b +=.（1）求ab 的最大值；（2）求511a b++的最小值.【答案】（1）2（2）72105+【解析】【分析】（1）直接运用基本不等式进行求解即可；（2）根据已知等式，进行常值代换、结合基本不等式进行求解即可.【小问1详解】因为正数,a b 满足24a b +=，所以有422a b ab =+≥⇒≤，当且仅当2a b =时取等号，即当2,1a b ==时，ab 有最大值【小问2详解】因为正数,a b 满足24a b +=，所以有125a b ++=，于是有()151111017212772515155a b a b a b b a ⎛++⎛⎫⎛⎫+++=++≥+= ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当1101a b b a +=+时取等号，即当且仅当2210,36a b --==时，511a b ++有最小值75+.22.已知函数()()ln 11,20,ln ,0.x x f x x x ⎧--+-<<⎪=⎨>⎪⎩．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若关于x 的方程(21)f x m -=有4个不同的解，记为()12341234,,,,x x x x x x x x <<<，且312415x x x x λ⋅->恒成立，求λ的取值范围．【答案】（1）(1,0),(1,)-+∞（2）5510λ->．【解析】【分析】（1）将函数化为分段函数，根据对数函数的单调性及复合函数的单调性直接得解；（2）根据题意可得出31323431,1,21x x x x x x x =-=-=-，分离参数可得233342521x x x λ-+->-，令321t x =-，换元后利用均值不等式求解.【小问1详解】（1）()()()ln 2,21ln ,10ln ,01ln ,1x x x x f x x x x x ⎧-+-<≤-⎪---<<⎪=⎨-<≤⎪⎪>⎩.根据复合函数单调性的知识得()f x 的单调递增区间有(1,0),(1,)-+∞．【小问2详解】由（1）可知1234221121021121x x x x -<-<-<-<<-<<-化简可得：1234110122x x x x -<<<<<<<∵()()()()123421212121f x f x f x f x m-=-=-=-=∴()()()()1234ln 212ln 21ln 21ln 21x x x x --+=---=--=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴()()12341212212121x x x x -+=--=-=-∴31323431,1,21x x x x x x x =-=-=-∵312415x x x x λ⋅->恒成立∴()()()333121115x x x λ⋅---->∴233342521x x x λ-+->-对任意31,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立即：2333max42521x x x λ⎛⎫-+-⎪> ⎪- ⎪⎝⎭令321t x =-，则31(0,1),2t t x +∈=∴223331441211152552114202210t t x x t x t +⎛⎫-++--+- ⎪-⎝⎭==--+≤-+=-（当且仅当55t =时，等号成立）∴5510λ->．【点睛】关键点点睛：根据题意中方程有四个解可转化出124,,x x x 三者与3x 的关系，进而将不等式转化为关于3x 的不等式，为分离参数创造条件，分离参数后，整体换元是第二个关键点，由321t x =-换元，化简变形成为能够使用均值不等式的结构，求出函数最值，得到参数的取值范围，对能力要求较高，属于难题.。

2011年卓越联盟自主招生数学试题(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为(A )6π (B )3π (C )23π (D )56π(2)已知sin2(?+?)=n sin2?，则tan()tan()αβγαβγ++-+22等于(A )11n n -+ (B )1n n +(C )1n n - (D )11n n +-(3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为(A )153(B )155(C )53(D )55(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则2221z z z i -+-+的最大值为(A )2-1(B )2-2(C )2+1 (D )2+2(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为(A )y 2=16x(B )y 2=8x(C )y 2=-16x (D )y 2=-8x(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为 (A )3(B )2(C )3 (D )2 (7)若关于x 的方程||4x x +=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1)(B )(14，1)(C )(14，+∞)(D )(1，+∞)(8)如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在A 点的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长为 (A )5(B )6 (C )7(D )22(9)数列{a n }共有11项，a 1=0，a 11=4，且|a k +1-a k |=1，k =1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )(A )100(B )120(C )140 (D )160(10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，?表示坐标平面关于y 轴的镜面反射．用??表示变换的复合，先做?，再做?，用?k 表示连续k 次的变换，则???2??3??4是( ) (A )?4(B )?5(C )?2? (D )??2(11)设数列{a n }满足a 1=a ，a 2=b ，2a n +2=a n +1+a n ． (Ⅰ)设b n =a n +1-a n ，证明：若a ≠b ，则{b n }是等比数列； (Ⅱ)若lim n →∞(a 1+a 2+…+a n )=4，求a ，b 的值．(12)在△ABC 中，AB =2AC ，AD 是A 的角平分线，且AD =kAC ． (Ⅰ)求k 的取值范围；(Ⅱ)若S △ABC =1，问k 为何值时，BC 最短(13)已知椭圆的两个焦点为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，且椭圆与直线y =x (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F 1作两条互相垂直的直线l 1，l 2，与椭圆分别交于P ，Q 及M ，N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值．(14)一袋中有a 个白球和b 个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n ． (Ⅰ)求EX 1；(Ⅱ)设P (X n =a +k )=p k ，求P (X n +1=a +k )，k =0，1，…，b ；(Ⅲ)证明：EX n +1=(1-1a b +)EX n +1． (15)(Ⅰ)设f (x )=x ln x ，求f ′(x )；(Ⅱ)设0<a <b ，求常数C ，使得1|ln |ba x C dxb a --⎰取得最小值； (Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a ,b ，证明：m a ,b <ln2．2012年卓越联盟自主招生数学试题 2013年卓越联盟自主招生数学试题一、选择题：（本大题共4小题，每小题5分．在每小题给出的4个结论中，只有一项是符合题目要求的．） （1）已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则 （A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<- (C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<- （2）已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点 （A ）先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变(B) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变(C) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变(D) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变（3）如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为 （A ）21 (B)24 (C)30 ( D)48 (4)设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）（5）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线2218x y p-=的一个焦点，则双曲线的渐 近线方程为 ．（6）设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD DE +=u u u r u u u r， 则23OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r．（7）设曲线22y x x -与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落 入区域22{(,)2}x y D x y ∈+<内的概率为 ．(8)如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,ODC DBC αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）．三、解答题（本大题共4小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） （9）（本小题满分13分）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ． 已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值． （10）（本题满分13分）设椭圆2221(2)4x y a a +=>斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =u u u r u u u r，求k 的值；（3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒 有2AC AD k k ⋅=-． （11）（本题满分15分）设0x >，（1）证明：2112x e x x >++； （2）若2112x y e x x e =++，证明：0y x <<．（12）（本题满分15分）已知数列{}n a 中，13a =，2*1,,n n n a a na n N R αα+=-+∈∈． （1）若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求α的取值范围； （2）当2α=-时，证明*121112()222n n N a a a +++<∈---L ． 2013大学自主招生模拟试题一一.选择题1． 把圆x 2+(y －1)2=1与椭圆9x 2+(y +1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A )线段 (B )不等边三角形 (C )等边三角形 (D )四边形2． 等比数列{a n }的首项a 1=1536,公比q=－12,用πn 表示它的前n 项之积。

参照机密级管理★启用前贵州学校卓越联盟发展计划项目2023-2024学年高一下学期期中考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在中，若，则是（ ）A.B.或C.或D.2.已知复数则（ ）B.1D.23.若直线不平行于平面，且直线，则下列说法正确的是（ ）A.内存在与平行的直线B.内所有直线都与异面C.与有公共交点D.内所有直线都与相交4.已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）A.B. C. D.5.若一圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的体积为（）A. B. C. D.ABC V π,6B b a ===A π6π65π6π32π3π31i z i+=1z =l βl β⊄βl βl l ββl ,a b 6a b ⋅=- 3,4a b == a b π6π32π35π624π2π2π42π322π6.如图，在中，已知，则为（ ）7.已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（ ）A. B. C. D.8.已知在钝角中，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ）A.B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则下列说法正确的是（）A..B..C.在复平面内对应的点位于实轴上，则.D.在复平面内的点在直线上.10.在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（）ABC V π,223BAC AB AD BD ∠====sin C ABC V ,D E ,AB AC ,2AD DB AE EC == ,CD BE G GA AC ⋅=725-365725365-ABC V B 2sin ,1b A a c =+=D AC 2AC CD =BD 12131418()12i 43i z +=+3z z ⋅=23i z ++=()()i ,a b z a b R +∈20a b -=2i z -15y x =+ABC V 2AE EC =D BC BE AD FA.B.C.D.与的面积之比为11.如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点，是线段上的动点，则（）A.不存在点，使四点共面B.存在点，使平面C.三棱锥的体积是定值D.经过四点的球的表面积为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数，且，则__________.13.贵州中天201大厦是贵阳标志性建筑之一，又名为“芦笙楼”.它是以贵州少数民族芦笙为原型设计，外形造型看上去就像是用很多微型大楼“拼接”起来的一样，而这一部分其实具有相当先进的建筑工艺，采用的是筒式悬挂结构，目前是世界上最高的筒式悬挂建筑.某数学兴趣小组成员为测量中天201大厦的高度，在与楼底位于同一水平面上的两处进行测量，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为米，则中天201大厦的高度为__________米.12AD BC BA=- 1233BE BA BC=+ 43AD AF=BFD V BFA V 1:41111ABCD A B C D -,,M N P 11,AA CC 11C D Q 11D A Q ,,,B N P Q Q PQ ∥MBN M BCN -,,,C M B N 10π122i,z 3i z a b =+=-()12z i,,z b a b R +=∈20232024a b +=O ,A B A P 60 B P 45,30,116AOB AB ∠==14.在梯形中，，梯形外接圆圆心为，圆上有一个动点，求的取值范围__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知复数的共轭复数为在复平面上对应的点在第一象限，且满足，（1）求复数；（2）求复数的模长.16.（本小题满分15分）已知向量是平面内的一组基底，且与的夹角为锐角，（1）求证三点共线.（2）设，若的最小值是，求锐角的值.17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，底面为矩形，对角线与相交于点，点到平面的距离为为的中点.（1）求证：平面.ABCD AB ∥1,2C 4,2DADC CD AB D DADC==⋅=- ABCD O P AO AP ⋅z z z 6i,25z z z z -=⋅=z 1izz +-,a b1,a b a == b α,35,3OA a b OB a b OC a b=+=+=--,,A B C c a b =+ ,c ta t R +∈ 32αP ABCD -PD CD ⊥ABCD BD AC ,2O PD DC ==B PCD 1,E PC PA ∥BDE（2）求三棱锥的体积.18.（本小题满分17分）在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题（其中为的面积）.问题：在中，角的对边分别为，满足：__________.（1）求角的大小；（2）若与角的内角平分线相交于点，求面积的取值范围.19.（本小题满分17分）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：（1）若是边长为4的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；（2）的内角所对的边分别为，且，点为的费马点（i ）若，求；（ii）求的最小值.P ADE -20S BC ⋅= cos sin 0b A A a c +--=sin sin sin sin C B aA C b c+=--S ABC V ABC V ,,A B C ,,a b c B b =A B D ACD V ABC V 120 120AOB BOC COA ∠∠∠=== O ABC V 120 ABC V O ABC V ,,A B C ,,a b c sin a b A =P ABC V ac =PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅2||||||PA PC PB ⋅贵州学校卓越联盟发展计划项目2023-2024学年高一下学期期中考试数学参考答案1.C 在中，由正弦定理得，又，则或.所以选C.2.A由，所以，则A.3.C 因为直线不平行于平面，且直线，所以直线与平面相交，则与有公共交点，C 正确；根据题意知内所有直线都与异面或相交，故错误；内不存在与平行的直线，错误.4.C 设与的夹角为，则，因为，所以.故选：C.5.D 如图，圆柱的侧面展开图是一个面积为的正方形，则该圆柱的高，底面圆的周长为，解得，故圆柱的体积为：.故选D.6.B 在中，由余弦定理：，由为锐角，所以ABC V πsinA sinB sin 6a b ===π5π66A <<π3A =2π3()1i i 1i z 1i i i1+⋅-+===-⋅-()()()1i 111i 1i 1i 1i 2z++===--+1z =l βl β⊄l βl ββl B,D βl A a b θ61cos 122a b a b θ⋅-===-[]0,πθ∈2π3θ=24π2πh =2π2πr =1r =22π2πV sh r h ===ABD V 2222222121cos 22214BA BD AD B BA BD +-+-===⋅⨯⨯B7.方法一（基底法）应为共线，设即所以解得所以方法二（投影法）过点连接的中点如图所示，过点分别做边的垂线，垂足分别是，易得，所以在边上的投影是方法三（坐标法）以边的中点为坐标原点，以边为轴建立如图所示直角坐标系，，设由共线可得解得，数量积转换为坐标运算即可.8.C在，得，又，得所以，又所以sin B==()ππsin sin sin cos cos sin33C A B B B=+=+=,,,,D G C B G E､()()11AG xAD x AC y AE y AB=+-=+-()()1123x yAG AB x AC AC y AB=+-=+-()1213xyyx⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩43,55x y==212127255555 GA AC AG AC AC AB AC AC AB AC⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-+⋅=-+⋅=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D AC F,D G AC,M N1319M AF,22510A MN MC====AGAC972,655AN GA AC AG AC AN AC⋅=-⋅=-⋅=-⨯=BC O AC x(()()(3,3,0,3,0,,1,2A B C D E⎛--⎝(),G x y,,,,D G C B G E､))4309302y xy x⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩35xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ABCV2sin sinA B A=sinB=ππ2B<<2π3B=1,2a c AC CD+==222211111,()222442BD BA BC BD BA BC c a ac⎡⎤⎛⎫=+=+=++⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为，又即，当且仅当时等号成立，选C.9.BCD对于由.得.，故A 错；对于，故正确；对于C.，因为点在实轴上，所以，故C 正确；对于，对应复平面内的点的坐标为，且故D 正确.10.ABD对于：根据，又因为点是线段的中点，，故故A正确；对于：因为，所以，故正确；对于，因为点是线段的中点，所以，设，则，，又，则，又因为､BD =221,21a c a c ac +=++=BD =22222a c a c ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2212a c +≥12a c ==14BD ≥A ()12i 43i z +=+()()()()43i 12i 43i 2i 12i 12i 12i z +-+===-++-()()2i 2i 53z z ⋅=-+=≠B,z 23i 2i 23i 42i ++=-++=+==B ()()()()i 2i 22i a b a b b a +-=++-()2,2a b b a +-20b a -=()()22i (2i)34i D,2i 2i 2i 2i 5z +++===---+34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭431555=+A AD BD BA =-D BC 12BD BC = 12AD BC BA =- B 2AE EC =23AE AC = ()22213333BE BA AE BA AC BA BC BA BC BA =+=+=+-=+B C D BC 1122AD AB AC =+ AD k AF =1122k AF AB AC =+1122AF AB AC k k =+ 2AE EC = 313,224AC AE AF AB AE k k==+ F B ､三点共线，所以，解得，故错误；对于D ：由于，故，故D 正确；故选：ABD.11.BC 对选项，当与重合时，易知，从而可得四点共面，选项错误；对选项，当为的中点时，易知，从而可得平面选项正确；对选项，点到面的距离为2，而，所以是定值选项正确；对选项，根据分割补形法易知：经过四点的球即为长宽高分别为2，2，1的长方体的外接球，所求球的直径满足：，经过四点的球的表面积为选项错误.故选：.12.2 由则，所以解得所以.13. 设则在中，由余弦定理：解得14.由可知，在结合圆内接四边形对角互补可得，所以梯形是等腰梯形.取边的中点连接，可得E 13124k k +=54k =C 54k =5,::1:44BFD BEA AD AF S S FD AF =∴==V V A Q 1A PN ∥1A B ,,,B N P Q A ∴B Q 11A D PQ ∥MN PQ ∥,MBN B ∴C M BCN 1BCN S =V 23M BCN V -=C ∴D ,,,C M B N ∴2R 2222(2)2219R =++=∴,,,C M B N 24π9π,R D =∴BC 122i,3i z a z b =+=-()()()122i 3i i i z z a b a b b +=++-=+-=01a b b +=⎧⎨=-⎩1,1a b ==-20232024202320241(1)2a b +=+-=OP h =OB h =ABC V 2221162h h =+-h =12DA DC DA DC⋅=-120ADC ∠= 60,120DAB DCB ∠∠== ABCD AB O OD 2OD OA OB AD ====方法一（极化恒等式）连接，过中点连接如图所示，由极化恒等式可得，点在圆上运动过程中，点与点重合取得最小值点与点重合取得最大值3，所以方法二（坐标法）建系如图，设是角的终边，又因为点在圆上，所以易得.15.解：（1）设，则由题有解得又在复平面上对应的点在第一象限，故.所以（2）由（1）知则整理得所以16.（1）解：应为，所以即OP OP G AG 222114AO AP AG OP AG ⋅=-=-P 13,P AG ≤≤A 1,PB 08AO AP ≤⋅≤ (),,P x y OP θP O 2cos ,2sin x y θθ==()()2cos 2,2sin ,2,0AP AO θθ=+=4cos 4AP AO θ⋅=+ 08AO AP ≤⋅≤i z a b =+iz a b =-()()()()i i 6ii i 25a b a b a b a b ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩3,4b a ==±z 4a =43iz =+43i z =+()43i 43i 1i 1i z z ++=++--913i 22=+1i z z +=-==,35,3OA a b OB a b OC a b =+=+=--2424AB OA OB a b AC OC OC a b=-=+=-=-- AC AB=-又因为有公共点所以三点共线（2）方法一转换为二次函数的最值由题意知记，易得是开口向上的二次函数在对称轴处取得最小值，即当，.所以化简得方法二几何法找最值由向量加法的三角形法则可知：的终点落在直线上，当向量与垂直时，取得最小值设与的夹角为，由题意知.,AC AB A ,,A B C c ta+====()()224f t t t αα=++++()f t ()1t α=-+()94f t =()()29(1)2144αααα--++++=2933cos 344α=-=1πcos 23αα=⇒=,t R c ta ∈+ BC c ta + BC c ta + 32c ta + aθθα<3sin 2c θ= 3sin cos 2c θθ=⇒= c ==由数量积定义可知：.化简得即17.（1）证明：如图，连接.点为的中点，且点为的中点为的中位线，即.又平面平面平面（2）为矩形又平面平面点到平面的距离为1，即棱锥的高为1.又为的中点，且.18.（1）选①：由已知得：，所以，cos a c a c θ⋅== =2α+=()()2413cos 449ααα++=+-211cos cos 42αα=⇒=π3α=EO E PC O AC EO ∴APC V EO ∥PA EO ⊂ ,BDE PA ⊄BDEPA ∴∥BDEABCDAB ∴∥CDCD ⊂ PCD AB ∴∥PCDB PCD A PDE -E PC 2PD DC==111221222PDE PDC S S ∴==⨯⨯⨯=V V 11111333P ADE A PDE V V AD S PDE --∴==⋅=⨯⨯=V ()12sinB cos π02ac a B ⨯+⋅-=()sin 0ac B B -=所以，，又所以，，即：.选②：由正弦定理得：，所以，所以，，又因为.所以，.即：.选③由正弦定理得：，即：.得：.由余弦定理得：又因为，所以.（2）由题可得：，则.令，在中由正弦定理得：所以，，sin0B B =cos 0B ≠tan B =π3B =sin cos sin sin sin B A B A AC =+()sin cos sin sin sin B A B A A A B +=++sin cos sin sin sin cos sin cos B A B A A A B B A+=++sin sin sin cos B A A A B =+sin 0B ≠1cos B B=+π2sin 16B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π3B =c b a a c b c +=--222b c a ac -=-222a c b ac +-=2221cos 222a cb ac B ac ac +-===0πB <<π3B =2π3BAC ACB ∠∠+=π3ACD CAD ∠∠+=ACD ∠θ=ACD V 4πsin sin sin 3AD CD AC D θθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭π4sin ,4sin 3AD CD θθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭所以，.又因为，所以，，所以，.即：.（1）因为为等边三角形，三个内角均小于，故费马点在三角形内，使得，且，如图：过作于，则，故该三角形的费马点到各顶点的距离之和为（2）（i ）因为，由正弦定理，故得，所以所以三角形的三个角都小于，则由费马点定义可知：，设，由得：，整理得，则12πππS sin sin 02333ACD AD CD θθθ⎛⎫=⋅⋅=-<< ⎪⎝⎭V π26θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ5π2666θ<+<1πsin 2126θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭0S ACD <≤V (S ACD ∈V ABC V 120 O 120AOB BOC COA ∠∠∠=== OB OC OA ==O OD AC ⊥D 2,30CD OCD ∠== cos30CD OC == O OB OC OA ++=sin a b A =sin sin a b A B =sin ,sin 1sin sin b A b B A B ==π2B =ABC 120 120APB BPC APC ∠∠∠=== ,,PA x PB y PC z === ∣APB BPC APC ABC S S S S ++=V V V V 11112222xy yz xz ++=-⨯4xy yz xz ++=PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅.（ii ）点为的费马点，则，设，由余弦定理得，，，故由得，即即，而，即时，等号成立.设，解得或（舍去），由.最小值为.1111422222xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P ABC V 2π3APB BPC CPA ∠∠∠===,,,0,0,0PB x PA m PB mx PC n Pb nx m n x =====>>>()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++()22222222π||2cos 13BC x n x nx n n x =+-=++()2222222222π||2cos3AC m x n x mnx m n mn x =+-=++22||BC AB AC +=∣()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++()()2222222m n m n x m n mn x ++++=++2m n mn ++=0,0,2,2m n m n mn mn m n >>++=-=+≥m n =1m n ==t =2220t t --≥1t ≥1t ≤21(14t mn =≥+≥+=+22||||||PA PC mx nx mn PB x ⋅⋅==4+。

2011年同济等九校(卓越联盟)自主招生数学试题(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为(A )6π(B )3π(C )23π (D )56π (2)已知sin2(α+γ)=n sin2β，则tan()tan()αβγαβγ++-+22等于 (A )11n n -+ (B )1n n + (C )1n n - (D )11n n +- (3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为 (A )153 (B )155 (C )53 (D )55(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则2221z z z i-+-+的最大值为 (A )2-1 (B )2-2 (C )2+1 (D )2+2(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为(A )y 2=16x (B )y 2=8x (C )y 2=-16x (D )y 2=-8x(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为(A )3 (B )2 (C )32 (D )22(7)若关于x 的方程||4x x +=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1) (B )(14，1) (C )(14，+∞) (D )(1，+∞) (8)如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在A 点的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长为(A )5 (B )6(C )7(D )22 (9)数列{a n }共有11项，a 1=0，a 11=4，且|a k +1-a k |=1，k =1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )(A )100 (B )120 (C )140 (D )160(10)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk 表示连续k 次的变换，则στσ2τσ3τσ4是( ) (A )σ4 (B )σ5 (C )σ2τ(D )τσ2 (11)设数列{a n }满足a 1=a ，a 2=b ，2a n +2=a n +1+a n ．(Ⅰ)设b n=a n+1-a n，证明：若a≠b，则{b n}是等比数列；(a1+a2+…+a n)=4，求a，b的值．(Ⅱ)若limn1）考察数列定义2）a1+a2+a3+...+a n=a n-a n-1+2(a n-1-a n-2)+3(a n-2-a n-3)+...+(n-1)(a2-a1)+na1=b n+2b n-1+3b n-3+...+b1+na(错位相减，可得a，b的值)(12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．(Ⅰ)求k的取值范围；(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n．(Ⅰ)求EX1；(Ⅱ)设P(X n=a+k)=p k，求P(X n+1=a+k)，k=0，1，…，b；(Ⅲ)证明：EX n+1=(1-1a b+)EX n+1．(15)(Ⅰ)设f(x)=x ln x，求f′(x)；(Ⅱ)设0<a<b，求常数C，使得1|ln|bax C dxb a--⎰取得最小值；(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a,b，证明：m a,b<ln2．。

清北学长精心打造——卓越自主招生数学模拟试题及参考答案(一)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C.则sinB+cosB 的取值范围是（ ） A ．(1，1+]23 B ．[21，1+]23 C ．（1，]2 D ．[21，]2 2.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是( ) A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/73．正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系（ ） （A ）θγβα<<<（B ）γθβα<<<（C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<< 4. 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈R ），且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（ ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个5.平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两面三刀点的距离为（ ）A ．556 B ．5512 C ．538 D ．53166. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（ ）．（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个 7．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,2+++===-++n n n na a a a n n 201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为( ). A 4025 B 4250 C 3650 D 4425 8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为9,,2,1的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )A 96B 108C 112 D120 9．设a n =2n ，b n =n ，（n=1，2，3，。

河北省卓越联盟2023-2024学年高一上学期10月月考数学试
题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
．．
．．
．已知集合(){}1,0M =，则下列与相等的集合个数为（
）
二、多选题
．．
．．
11．对于给定的实数a ，关于实数x 的不等式()()0a x a ax a -+≥的解集不可能为（
）
A ．∅
B ．{}1x
a x ≤≤-∣C ．{x
x a ≤∣或}1x ³-D ．R 12．已知全集{}0,1,2,3,4,5,U A =是U 的子集，当x A ∈时，1x A -∉且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是（
）
A ．若A 中元素均为孤立元素，则A 中最多有3个元素
B ．若A 中不含孤立元素，则A 中最少有2个元素
C ．若A 中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A 共有9个
D ．若A 中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A 共有6个
三、填空题
15．若{}{}2
,0,1,,0a a b -=16．若220,0,x y x y >>+=四、解答题。

2023学年第二学期金华市卓越联盟5月阶段性模拟考高一年级数学学科参考答案命题：浦江三中吴保林审稿：东阳二中郭扬文一．选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)题目12345678选项A C D B C A D B二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011选项AC BCD ABD三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分））12.；13.200；14.54π四．解答题（本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）由题意1cos3122a b a b a b π⋅⋅===⨯，∴1a b ⋅= ······································2分()222222444444a b a ba ab b -=-=-⋅+=-+= ∴22a b -== ···································6分（2）由题意得)220a b a b λ+⋅+=······································8分所以()222420a a b b λλ++⋅+= ，即有()8420λλ+++=∴4λ=-··································13分16.（1）令12,,22x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦()214222,22x x f x t t t ⎡⎤=-⋅=-∈⎢⎥⎣⎦，···································2分所以当1,0t x ==时，()f x 有最小值1-····································4分当2,1t x ==时，()f x 有最大值0····································6分（2）∵()()()()()2442222222xxx x x x x x g x a a ----=+-+=+-+-[)22,2,x x μμ-+=∈+∞，∴()22g x a μμ=--··································10分当对称轴22a ≤即4a ≤时：()min 2211g x a =-=-，解得132a =（舍）······················12分当对称轴22a≥即4a ≥时：()2min 2114a g x =--=-，解得6a =···························14分综上：6a =····································15分3x17.（1）∵在ABC ∆中，有()sin sin C A B =+∴()()sin sin 2sin B A B A A -++=，2sin cos 2sin B A A =······························4分当2A π=时，等式显然不成立，所以2A π≠······························5分∴sin tan B A=·····························6分（2）∵由正弦定理推出2sin sin sin B A C=································8分且（1）得sin cos sin B A A =，∴2sin sin cos sin B B A C =即sin cos sin B A C=所以sin cos cos sin cos sin A C A C A C +=，∴2C π=····························12分∴2sin sin cos 2B B B π⎛⎫=-=⎪⎝⎭即21cos cos B B -=，2cos cos 10B B +-=，∴51cos 2B -=····························15分18.（1）∵面PBD ⊥面ABCD ，面PBD 面ABCD BD =，PB BD ⊥，PB ⊂面PBD ∴PB ⊥面ABCD又∵AB ⊂面ABCD ，∴PB AB⊥·······························3分（2）∵PA 面BDN ，PA ⊂面PAC ，面PAC 面BDN NO =，∴PA NO ，可知N 为PC 中点······························6分1111332222326N PAD C PAD P ACD V V V ---===⨯⨯⨯=·······························9分（3）由题意知PB ⊥面ABCD ，过点N 作PB 平行线交BC 于点H ∴NH ⊥面ABCD ，再作HK BD ⊥（K 为垂足）∴NKH ∠为二面角N BD C --的平面角，4NKH π∠=······························13分不妨设NH x KH ==，NC =，2BH x =-且2BH KH =，∴23x NH ==∴2PN NC ==······························17分19.（1）(ⅰ)2tan1524DQ ︒===-···································2分(ⅱ) 57sin 60sin CPCR CPR =∆中，有在,3311-=-=PB CP 又,解得622-=CR 26-=-=∴CR AC AR ··············7分（2）)4tan(21tan 2111θπθ---=--=∆∆ADQ ABP S S S ··································9分）（θθθθπθπθπθθθπθπθθπθπθθsin cos cos 211)4cos(cos 4sin211)4cos(cos cos )4sin()4cos(sin 211)4cos()4sin(cos sin 2112+-=--=--+--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+-=）（42sin 21112sin 2cos 111πθθθ++-=++-=································14分2212118max -=+-==∴S 时，当且仅当πθ································17分。