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不定积分整章教案1 NO.设是定义在区间上的函数，如果存在函数，对于,f(x)F(x),x,II都有 , 或 , F(x),f(x)dF(x),f(x)dx则称函数为函数在区间上的一个. F(x)f(x)I2,,例如，cosx是的原函数,因为 .又因为, sinx(sinx),cosx(x),2x222,x ,所以x和x，1都是2的原函数. (x，1),2x一个函数若有原函数，原函数是否唯一？（不唯一，无数多个）同一函数的无数多个原函数之间是什么关系？如果，为函数在区间上的任意两个原函数, F(x)G(x)f(x)I,, , , (F(x)),f(x)(G(x)),f(x),于是有 ,,. (G(x),F(x)),G(x),F(x),f(x),f(x),0所以 ,或 .G(x),F(x),CG(x),F(x)，C：任意两个原函数相差一个常数。
函数的所有原函数称为的，记作:. f(x)f(x)f(x)dx,其中“x”称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称f(x)f(x)dx,为积分变量.由前面的讨论可知：如果是的一个原函数,那么 . F(x)f(x)f(x)dx,F(x)，C,dx 求. 2,1，x11,解由于，所以是的一个原函数，因此 (arctanx),arctanx221，x1，x2 NO.dx . ,arctanx，C2,1，x, 求. dxx,1,，1,,，1,,解当,(x),(,，1)x时,我们知道，，亦有 ,,,,1(x),x,，1 11,,，1,,，1即是的一个原函数，因此 ; xxxdx,x，C,,，1,1，11,当时，我们所要求的不定积分为 .因为，因此 ,,,1dx(lnx),,xx1 ． dx,lnx，C,xd1）或 ; ，，f(x)dx,f(x)，，df(x)dx,f(x)dx,,dx2）, 或. F(x)dx,F(x)，CdF(x),F(x)，C,,如果函数在某一区间上连续，则在这区间上函数可积 f(x)f(x),，1x, (1) xdx,，C(,,,1),（是常数）; (2) ; kkdx,kx，C,,,，111 (3) ; (4) ; dx,lnx，Cdx,arctanx，C2,,x1，xdx (5) ,arcsinx，C; (6) ; cosxdx,sinx，C,,21,x(7) ; (8) sinxdx,,cosx，C,dx2; ,secxdx,tanx，C2,,cosxdx2 (9) ,cscxdx,,cotx，C; (10) ; secxtanxdx,secx，C,,2,sinxxx （11）; （12）; cscx,cotxdx,,cscx，Cedx,e，C,,3 NO.xaxadx,，C （13）; （14）; (a,1)shxdx,chx，C,,lna（15）. chxdx,shx，C,（1） [f(x)，g(x)]dx,f(x)dx，g(x)dx,,,,事实上，,,[f(x)dx，g(x)dx],[f(x)dx]，[g(x)dx],f(x)，g(x). ,,,, ：有限个函数的和的情况也有这一性质.（为常数，）. kk,0kf(x)dx,kf(x)dx,,1 求. [3,2x，,5sinx]dx2,x1dx 解 [3,2x，,5sinx]dx,3dx,2xdx，,5sinxdx22,,,,,xx221,，xx ,3(x，C),2(，C)，(，C),5(,cosx，C) 12342,2，112 ,. 3x,x,，5cosx，Cx2xx1，， . dx2,xx(1，)21111xx1，，解 ,(，)dx,dx，dxdx22,,,2,xx1，x1，xxx(1，),. ，Carctanx，lnx4x 求dx. 2,x1，4224,1，1(，1)(,1)，1xxxx 解 dxdxdx== 222,,,x1，1，1，xx4 NO.1122, (x,1，)dx,xdx,dx，dx22,,,,，1，1xx3x ,,x，arctanx，C. 3x2 求 sindx,2x112 解 sindx,(1,cosx)dx,(1,cosx)dx,,,22211 ,. [dx,cosxdx],(x,sinx)，C,,221 已知曲线在其上点的切线斜率，且曲线经过点P(x,y)k,x45y, ，求此曲线方程． (2)2 1 解设曲线方程为,，由假设， y,f(x)f(x),x4x112故 ,= ，，，，fx,fxdx,xdxx，C ,,84图5.1-1 2x5即 y,，C，为常数，曲线经过点（2，），以此点坐标代入方程，得 C82254x y,，2 ，解得 .因此所求方程为. ,，CC,28282 已知某产品的边际收入函数为,xR(x),60,2x,2x(为销售量),求总收入函数. R(x)2解 , R(x),R(x)dx,(60,2x,2x)dx,,223 . ,60x,x,x，C3当时,,从而,于是 x,0R,0C,0223 R(x),60x,x,x35 NO.求． cos2xdx,1解 x,u ，令2，得 cos2xdx,cos2xd(2x),,2111 , cos2xd(2x),cosudu,sinu，C,2221代回原变量，得 . cos2xdx,sin2x，C,2一般的我们有如下结论：设u是的连续函数，且， f(u)f(u)du,F(u)，C,设,,有连续的导数，则=． u,,(x),(x)F[,(x)]，Cf[,(x)],(x)dx,dF[,(x)]证明只需证明 ,即可． ,f[,(x)],(x)dxdF[,(x)]dF[,(x)],,,,，又由，故 ,F[,(x)],(x)F(u),f(u),f[,(x)],(x)dxdx1 求. dx,3,2x解令，则，故 u,3,2xdu,,2dxdx1d(3,2x)1du11. ,,,,,,lnu，C,,ln3,2x，C,,,3,2x23,2x2u22求,tanxdx．sinx解 = 因为， dx,sinxdx,dcosxtanxdx,,cosx设 u,cosx，则，因此， du,,sinxdxsinxdu ,tanxdx,=. dx,,,lnu，C,,lncosx，C,,cosxu练习：． ,cotxdx,lnsinx，C熟练以后，可直接写出结果:1 求. dx22,，ax6 NO.1111x1x1,dx,d(),arctan，C 解 =. dx,2,22,xxaaaaa，ax221，()1，()aadx 求(a>）. 0,22ax,xd()dx1dxxa 解 ,,,arcsin，C. ,,,22aaxxa,x221,()1,()aa1求. dx22,,xa 1111解由于,所以 ,(,)22ax,ax，a2x,adx111111 ,(,)dx,(dx,dx)22,,,,,，,，2axaxa2axaxa,xa111 ,[d(x,a),d(x，a)],,2ax,ax，a1x,a1 ,, ln，C. [lnx,a,lnx，a]，C2ax，a2a3求. sinxdx,322 解 sinxdx,sinxsinxdx,,(1,cosx)d(cosx),,,132 ,=. ,cosx，cosx，C,d(cosx)，cosxd(cosx),,322求与 . cosxdxsinxdx,,1，cos2x11x12 解 =. dx,dx，cos2xdx,，sin2x，Ccosxdx,,,,22224 1,cos2xx12 . sinxdx,dx,,sin2x，C,,224求. cscxdx,7 NO.xxx2d()secd()dxdx222解 ,,,cscxdx,,,,,,xxxxxsinx22sincostancostan22222xd(tan)x2 ,. ,，Clntan,x2tan2xx22sinsin1,cosxx22又 =. ,,cscx,cotxtan,xsinxsinx2cos2所以上述不定积分又可表示为. cscxdx,lncscx,cotx，C,练习： secxdx,lnsecx，tanx，C,求sin2xcos3xdx. ,解利用积化和差公式1 , sin,cos,,,,sin(,，,)，sin(,,,)21得 , sin2xcos3x,,,sin5x,sinx2111所以 sin2xcos3xdx, (sin5x,sinx)dx,sin5xdx,sinxdx,,,,22211 ,. ,cos5x，cosx，C102设函数,,严格单调、可导且，设具有原函x,,(t),(t),0f[,(t)],(t),1数.则,,(x)f[,(t)],(t)dt]，其中是的反函数. x,,(t)f(x)dx,[,1,,t,,(x) ,1 证设 ,,[F(,(x))，C],f(x)，只需证 f[,(t)],(t)dt,F(t)，C,1ddFtdt(),1而 ,,f[,(t)],(t),,f[,(t)],f(x). F,x,,(()),,(t)dxdtdx8 NO.dx求. ,1，x2 解作变量代换 x,t( 以消去根式)，于是，,从而x,tdx,2tdtdxt1 ,2dt,2(1,)dt ,,,1，t1，t1，x,2t,2ln(1，t)，C,2x,2ln(1，x)，C.22求aa,xdx (>). 0,解积分难点在于被积函数中的根号，为去掉根号，令,,22 ， , 则 ,, x,asint,,t,dx,acostdta,x,acost222222 a,xdx,acost,acostdt,acostdt ,,,21，cos2ta12,, ,adt,t，sin2t，C, ,,,222,,22xx,ax回代变量，由cos,，得 ,, sint,t,arcsintaaa222axxa,x22 故有 a,xdx,(arcsin，)，C 2,2aa2axx22 ,arcsin，a,x，C. 22adx 求> (a0),22x，a22解利用三角公式 1，tant,sect来化去根式，,,2 设 dx,asectdt << ,则 , (,)x,atantt22222222 ,于是 x，a,a，atant,a1，tant,asect9 NO.2asectdx,,dt,,sectdt . ,lnsect，tant，C,22asectx，a22x，xa由 sec,，得 , 因此, tant,taa22xx，adx ,ln(，)，C ,22aax，a22 C,C,lna, 其中 . ,ln(x，x，a)，C11dx 求(a> 0),22xa,解设x>，令， 0x,acht22 利用公式cht,sht,1 有222222 ， dx,ashtdtx,a,a(cht,1),asht,ashtdxasht于是有 ,dt,t，C， ,,22ashtx,a22,xaxt注意：,，,，两边取导数得 eshtchtaa22 t,ln(x，x,a),lnadx22所以 ,ln(x，x,a)，CC,C,lna,其中 . 11,22x,adx求 ,x1，e2dtx2 解为化去根式，令x,lnt,2lnt，则，， dx,e,tt21，,ttdx ,dt,2dt ,,,x(1，)(1，)tttt1，e10 NO.11，， ,2,dt,2[lnt,ln1，t]，C ,,,t1，t，，2t,, . ,ln，C,,1，t,,2x，，edxx将回代得 . ,，Ct,eln,,,xx1，e，e1,,，，dx求 . 2,2x，4x，3dx1dx1dx 解 ,,2,,,31222x，4x，322x，2x，(x，1)，22111x，1 ,d(x，1),,2arctan，C,112222(x，1)，()222,arctan2(x，1)，C . 2dx 求 . ,24x，9dx1d(2x)dx 解 ,,,,,2222224x，9(2x)，3(2x)，312 . ,ln(2x，4x，9)，C211 NO.,,,,,, ，移项得, . (uv),uv，uvuv,(uv),uv对这个等式两边求不定积分，得,,. （1） uvdx,uv,uvdx,,简便起见,公式（1）常写成下面的形式：. （2） udv,uv,vdu,,求. xcosxdx,解这个积分用换元积分法不易求得结果。
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
定积分的概念和计算公式、不定积分的概念和基本积分公式—导教方案学习情境——积分学及其应用学习任务——定积分概念、计算公式；不定积分概念、基本积分公式. 学习重点：定积分定义；定积分的计算公式；原函数的概念和不定积分定义；基本积分公式；定积分的值与积分变量符号的无关性.学习难点：定积分和不定积分的存在性；微分运算和积分运算的互逆性. 能力目标:1．培养学生归结实际问题为数学问题的能力. 2．培养学生的逻辑思维能力. 知识目标:1．知道定积分定义的含义、定积分的值与积分变量符号无关及定积分的存在性.. 2. 知道原函数、不定积分定义的含义.3. 知道定积分计算公式、基本积分公式的含义. 教学资源：1．教材：《精编高等数学》李启培、董春芳、石德刚、周静主编 清华大学出版社. 2．学银在线：《高等数学》（济南工程职业技术学院）. 学习过程：教师用引导文教学法指导学生自主阅读学习：第4章 定积分与不定积分在第3章中学习了微分学，本章将要学习的积分学与微分学有着密切的联系，它们共同组成了高等数学的主要部分——微积分学.积分学包括定积分和不定积分.通过对定积分计算公式的研讨导入了微积分学基本公式，并引入了原函数（不定积分），从而将原本各自独立的积分与微分联系起来，使微分学与积分学成为一个统一的整体——微积分学.4. 1 定积分4．1．1 定积分的定义定积分与导数一样，也是在解决一系列实际问题的过程中逐渐形成的数学概念.这些问题尽管实质不同，但解决它们的方法与计算的步骤及所得的数学模型却完全一样，所求量最后都归结为求形如式（2.1-4）、（2.1-5）的和式的极限.这就是定积分产生的实际背景. 1引例、曲边梯形的面积在平面几何中，经常会遇到计算曲边梯形面积的问题.在平面直角坐标系中，由连续曲线()(()0)y f x f x =≥、x 轴与直线a x =、b x =所围成的封闭图形就是一个曲边梯形（图2.1-3）.下面讨论如何求曲边梯形的面积.如能设法将计算曲边梯形面积问题转化成计算直边图形面积问题来研究，问题会变得简单.但是曲边终究是曲边，不可能把曲边变直.由变速直线运动的路程问题的求解得到启示，可以通过局部的“以直代曲”求曲边梯形的面积.在开区间(,)a b 内任意插入1-n 个分点1x ，2x ，3x ，…，1n x -，满足012a x x x =<<<<…11(1,2,,)i i n n x x x x b i n --<<<<==……，从而将闭区间[,]a b 分成n 个小闭区间011211[,],[,],,[,],,[,]i i n n x x x x x x x x --……，记小闭区间的长度为1(1,2,,)i i i x x x i n -∆=-=….再过各分点作垂直于x 轴的直线(1,2,,1)i x x i n ==-…，则原曲边梯形被分成n 个以小闭区间1[,](1,2,,)i i x x i n -=…为底边的小曲边梯形，记小曲边梯形的面积为(1,2,,)i S i n ∆=….在小闭区间1[,](1,2,,)i i x x i n -=…上任取一点i ξ1()i i i x x ξ-≤≤.当小闭区间1[,]i i x x -的长度i x ∆很小时，因曲线()y f x =是连续变化的，故函数()f x 在小闭区间1[,]i i x x -上的值的变化也很小.因而可以用()i f ξ近似代替函数()f x 在小闭区间1[,]i i x x -上的值，进而可以用以()i f ξ为高，以i x ∆为宽的小矩形的面积近似代替以小闭区间1[,]i i x x -为底的小曲边梯形的面积，从而小曲边梯面积i S ∆的近似值为()(1,2,,)i i i S f x i n ξ∆≈∆=….将n 个小曲边梯形面积的近似值相加，即得所求曲边梯形面积S 的近似值，即图2.1-311()n ni i i i i S S f x ξ===∆≈∆∑∑.（2.1-5） 可以看出，小区间1[,]i i x x -的长度(1,2,,)i x i n ∆=…取得越小，小曲边梯形的个数就越多，闭区间[,]a b 分得就越细，式（2.1-5）近似代替所求曲边梯形面积的近似程度就越高.因此，无论采用何种具体的分割方式，只要能满足使各个小闭区间长度的最大值1max{}i i nx λ≤≤=∆无限趋近于零，也就可以保证每个小闭区间的长度都无限趋近于零，此时式（2.1-5）则终将无限趋近于所求曲边梯形的面积.求解曲边梯形的面积，也就是求当λ无限趋近于零时，式（2.1-5）所无限趋近的数，即其变化的终极目标.本节介绍的两类典型问题，涉及了微积分学中两大类问题：微分学和积分学，而这两类问题的解决都涉及“无限趋近”的问题，亦即极限理论的问题.极限论不仅是解决这些问题的工具，而且是微积分学的基石.2. 定积分定义4.1-1设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义.在开区间(,)a b 内任意地插入1-n 个分点：012a x x x =<<<11i i n n x x x x b --<<<<<=L L ，将闭区间[,]a b 划分成n 个小闭区间 0112[,],[,],x x x x 11,[,],,[,]i i n n x x x x --L L ，各个小闭区间的长度依次为011x x x -=∆，122x x x -=∆，…，1--=∆i i i x x x ，…，1n n n x x x -∆=-.在每个小闭区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ，作乘积()(1,2,,)i i f x i n ξ∆=L ，并作和式（该和式称为积分和）1()niii f x ξ=∆∑.若不论将闭区间[,]a b 怎样划分成小闭区间1[,]i i x x -，也不论在小闭区间1[,]i i x x -上的点i ξ怎样选取，当各个小闭区间长度的最大值1(max{})i i nx λλ≤≤=∆趋于零时，和式1()ni i i f x ξ=∆∑都趋于同一个确定的常数（即极限值），则称函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，且将此极限值称为函数()f x 在闭区间[,]a b 上的定积分，记作()b af x dx⎰，即()b af x dx =⎰1lim ()ni i i f x λξ→=∆∑.其中x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，闭区间[,]a b 称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限，“⎰”称为积分号.因为定积分()b af x dx ⎰是和式的极限，所以当定积分()baf x dx ⎰存在时，其值是一个确定的常数.因此，定积分()b af x dx ⎰的值只与被积函数()f x 及积分区间[,]a b 有关，而与积分变量用什么字母表示无关，从而将积分变量换成其他的字母时并不改变定积分的值，即()()()b bbaaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰.教师用引导文教学法指导学生自主阅读学习： 4．1．4 定积分的计算公式用定积分定义求定积分的值不仅是很繁琐的，而且有时是很困难的，甚至可能根本无法求得定积分的值.因此必须寻找一个具有普遍性且行之有效的计算定积分的方法，否则就会影响定积分的实用价值.根据定积分的定义，以连续函数()v t 为瞬时速度做变速直线运动的质点，从时刻a t =到时刻b t =这一时间间隔内所经过的路程为()b av t dt ⎰.这段路程又等于路程函数()s t 在闭区间[,]a b 上的增量()()s b s a -，因此有()()()bav t dt s b s a =-⎰.由于()()v t s t '=，从而若求定积分()b av t dt ⎰的值，就只需求满足()()s t v t '=的函数()s t 在闭区间[,]a b 上的增量()()s b s a -.上面得出的结果是否具有普遍性呢？即一般地，定积分()b af x dx ⎰的值是否等于满足()()F x f x '=的函数()F x 在闭区间[,]a b 上的增量()()F b F a -呢？若结论正确，则大大地简化了定积分的计算，为计算定积分提供了一种非常有效的方法.牛顿（Newton ）和莱布尼茨（Leibniz ）证明了上面得出的结果具有一般性，并建立了下面的微积分学基本公式.定理4.1-5（牛顿—莱布尼茨公式设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且在闭区间[,]a b 上有()()F x f x '=，则()()()()b ba af x dx F x F b F a ==-⎰（4.1-2）. 牛顿—莱布尼茨公式阐明了函数()f x 在闭区间[,]a b 上的定积分()b af x dx ⎰与函数()F x 之间的密切关系：函数()f x 在闭区间[,]a b 上的定积分()b af x dx ⎰的值等于函数()F x 在积分上限b 与积分下限a 处的函数值之差()()F b F a -.这样，就将求繁重的和式极限问题转化为求函数()F x 的问题.使定积分计算这个难题获得了突破性进展，成为计算定积分的强有力工具.教师用引导文教学法指导学生自主阅读学习：4. 2 原函数与不定积分4．2．1 原函数及其性质鉴于牛顿——莱布尼茨公式中的函数()F x 对计算定积分的重要性，引入一个新的概念——原函数.定义 4.2-1 若在某一区间I 上，函数()f x 与函数()F x 满足关系式()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，则称函数()F x 为函数()f x 在区间I 上的一个原函数.凡说到原函数，都是指在某一区间上而言的.为了叙述方便，今后讨论原函数时，在不至于发生混淆的情况下，不再指明相关区间.若函数()F x 是函数()f x 的一个原函数，由[()]()()F x C F x f x ''+==（其中C 是任意常数，即可取任何一个确定的常数）和定义 4.2-1知，函数()F x C +也是函数()f x 的一个原函数.这就说明，若函数()f x 存在原函数，则其原函数会有无穷多个.更重要的事实是，下面的定理4.2-2表明：除函数()F x C +外，函数()f x 无其它形式的原函数.定理4.2-2若函数()F x 是函数()f x 的一个原函数，则函数()F x C +表示 函数()f x 的任意一个原函数，其中C 是任意常数.定理4.2-2表明，函数()f x 的任意一个原函数都可以表示成()F x C +，即函数()f x 的所有原函数都可以写成()F x C +的形式，函数()F x C +是函数()f x 的原函数的一般表达式.定理 4.2-2同时指出了函数()f x 的原函数的特征：若函数()f x 存在一个原函数，则其就有无穷多个原函数存在，且函数()f x 的任意两个原函数之间仅相差一个常数，即()()G x F'x '=⇔()()G x F x C -=.教师用引导文教学法指导学生自主阅读学习： 4．2．2 不定积分与基本积分公式定义4.2-2函数()f x 的任意一个原函数()F x C +称为函数()f x 的不定积分， 记作()f x dx ⎰，即()()f x dx F x C =+⎰，这里C 是任意一个常数，且()()F x f x '=.定义4.2-2中各符号的涵义与定义4.1-1中一致.由定义4.2-2知，求函数()f x 的不定积分()f x dx ⎰，只需求出函数()f x 的一个原函数()F x 后再加上任意常数C 即可.求导数与求不定积分由等价事实联系着：()()()()F x f x f x dx F x C '=⇔=+⎰（4.2-3）.式（4.2-3）表明，借助于由“⇔”号联系着的上述关系，可以将有关导数的公式与法则“逆转”到不定积分里来，从而得到相应的不定积分的公式与法则.对应于基本初等函数的导数公式，有如下的基本积分公式（以下各积分公式中的C 均表示任意常数）：（1）0dx C =⎰；（2）kdx kx C =+⎰（k（4）1ln dx x C x =+⎰（3）(0ln xx a a dx C a a =+>⎰且1a ≠特别地，有x xe dx e C =+⎰（5）1(1)1x x dx C αααα+=+≠-+⎰特别地，有211dx C x x=-+⎰C =+（6）sin cos xdx x C =-+⎰（7）cos sin xdx x C =+⎰（8）221sec tan cos dx xdx x C x==+⎰⎰（9）221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰（11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰（12）arcsinarccos (0)x xC C a a a=+=-+>，特别地，有arcsin arccos x C x C =+=-+（13）22111arctan arccot (0)x x dx C C a a x a a a a =+=-+>+⎰特别地，有21arctan arccot 1dx x C x C x =+=-++⎰（14*）ln (0)x C a =>特别地，有ln x C =+作业：4.1 定积分一、填空题：1、设函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，则()bad f x dx dx ⎰=____________. 2、31'dx ⎰=____________.二、选择题：3、设()F x '=()f x ，则定积分()baf x dx ⎰是（ ）.A 函数()F xB 函数()F xC + C 确定常数D 任意常数4、定积分的值与（ ）无关.A 被积函数B 积分区间的长度C 积分区间D 积分变量。
不定积分与定积分的计算方法在数学中，积分是求解函数定积分和不定积分的一种重要方法。
不定积分和定积分之间有着不同的计算方法和应用场景。
本文将介绍不定积分和定积分的计算方法及其应用。
一、不定积分的计算方法不定积分，又称为原函数，是求解函数的反导函数。
不定积分记作∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。
不定积分的计算方法主要有以下几种：1. 常数项法则：如果f(x)是常函数，即f(x) = C，那么∫f(x)dx = Cx + k，其中k为常数。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n≠-1，那么∫f(x)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + k。
3. 三角函数法则：对于三角函数f(x) = sin x、cos x、tan x等，以及其倒数，可以利用基本积分公式进行计算。
4. 代换法则：当被积函数比较复杂时，可以通过代换变量来简化计算过程。
常用的代换包括三角代换、指数代换、倒数代换等。
二、定积分的计算方法定积分是对给定区间上的函数进行积分，可以得到一个数值结果。
定积分记作∫[a,b]f(x)dx，表示在区间[a,b]上对函数f(x)进行积分。
定积分的计算方法主要有以下几种：1. 几何意义法：定积分可以表示函数f(x)与x轴之间的有向面积，利用几何图形的面积计算方法来求解定积分。
2. 分割求和法：将积分区间[a,b]分成若干个小区间，通过求和来逼近定积分的值。
常用的分割求和方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
利用牛顿-莱布尼兹公式，可以通过求解原函数来计算定积分。
三、不定积分与定积分的应用不定积分和定积分在数学和各个应用领域都有广泛的应用。
1. 几何应用：定积分被广泛用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线长度、曲线的旋转体体积等几何问题。
2. 物理学应用：定积分在物理学中有着重要的应用，例如计算质点的位移、速度、加速度等问题。
不定积分与定积分在微积分学中，积分是一个重要的概念，它可以分为不定积分和定积分两种。
不定积分和定积分虽然有相同的思想基础，但在计算方法、应用场景以及符号表示上有所不同。
一、不定积分不定积分又称原函数或不定积分，是对导数的逆运算。
给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)满足F'(x)=f(x)，那么我们就称F(x)是f(x)的一个原函数。
并且，我们用∫f(x)dx表示f(x)的不定积分，其中∫是积分符号。
不定积分没有明确的上下限，其计算结果是一个函数加一个常数。
这个常数称为积分常数，因为不定积分只关心函数的变化情况，而不关心具体的数值。
不定积分的计算方法有很多种，常见的有用基本积分公式、换元法、分部积分法等。
这些方法可以根据具体的题目要求选择合适的计算工具，以求得准确的结果。
二、定积分定积分也称为积分或定积分，是将函数在一个确定的区间上进行积分运算。
给定一个函数f(x)，如果在[a,b]区间上存在一个常数A，使得A等于函数f(x)在[a,b]区间上的面积，那么我们就称A是f(x)在[a,b]上的定积分。
定积分的计算方法主要有用定积分的定义式、换元法、分部积分法、几何法等。
这些方法可以根据具体的题目要求选择合适的计算工具，以求得准确的结果。
与不定积分不同的是，定积分计算出来的结果是一个具体的数值，表示了函数在某一区间上的累积变化量。
定积分可用于求函数曲线与坐标轴之间的面积、质量、体积、平均值等物理和数学问题。
三、不定积分与定积分的关系不定积分和定积分之间存在着密切的联系。
根据微积分的基本定理，如果一个函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么f(x)的定积分可以通过F(x)在[a,b]区间的不定积分来计算。
具体来说，设F(x)是f(x)的一个原函数，则根据牛顿-莱布尼茨公式，有：∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)这个公式将不定积分与定积分联系在了一起，使得我们可以通过求不定积分来计算定积分。
不定积分、定积分与反常积分及定积分的应⽤不定积分、定积分与反常积分不定积分⼀、不定积分概念1.定义\begin{align} &原函数：设对于区间I上的任意⼀点x均有F'(x)=f(x),则称F(x)为f(x)在区间I上的⼀个原函数\\ &不定积分：设函数f(x)于区间I上有原函数,则其余原函数的全体称为f(x)于区间I上的不定积分,记为\int{f(x)dx}\\ &线性：\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx\\ \end{align}2.计算\begin{align} &计算⽅法\begin{cases}&1.基本公式\\&2.线性\\&3.积分法\begin{cases}&1.换元法\\&2.分部积分法\\\end{cases}\\\end{cases}\\ \end{align}(1)第⼀换元法(凑微分)\begin{align} &设F'(u)=f(u),则\int{f(\Phi(x))\Phi'(x)}dx=\int{f(\Phi(x))d(\Phi(x))}=F(\Phi(x))+C\\ &注解：找到合适的凑微分\Phi'(x)dx=d(\Phi(x)) \end{align}常见凑微分：\begin{align} &1.\int{f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int{f(ax+b)d(ax+b)}}(a\neq0)\\ &eg1.\int{\sin (2x+3)}dx=\frac{1}{2}\int\sin (2x+3)d(2x+3)=\frac{1}{2}\cos{(2x+3)}+C\\\ &2.\int{f(ax^n+b)x^{n-1}dx}=\frac{1}{na}\int{f(ax^n+b)d(ax^n+b)}\\ &eg2.\int{\cos(2x^4+3)x^3dx}=\frac{1}{4*2}\int{\cos(2x^4+3)d(2x^4+3)}=\frac{1}{8}\cos{(2x^4+3)}+C\\ &3.\int{f(a^x+c)a^xdx}=\frac{1}{\ln{a}}\int{f(a^x+c)}d(a^x+c)\\ &eg3.\int{\sin(2^x+3)2^xdx}=\frac{1}{\ln2}\int{\sin{(2^x+3)}d(2^x+3)}=\frac{1}{\ln 2}\cos{(2^x+3)}\\ &4.\int{f(\frac{1}{x})\frac{1}{x^2}}dx=-\int{f(\frac{1} {x})}d(\frac{1}{x})\\ &eg4.\int{\ln(\frac{1}{x})}\frac{1}{x^2}dx=-\int\ln (\frac{1}{x})d({\frac{1}{x}})+C\\ &5.\int{f(\ln |x|})\frac{1}{x}d(x)=\int{f(\ln{|x|)}}{d(\ln|x|)}\\ &eg5.\int{\sin ({\ln{|x|}}})\frac{1} {x}dx=\int{\sin(\ln(|x|)d(\ln{|x|})}=\cos(\ln x)+C\\ &6.\int{f(\sqrt x)\frac{1}{\sqrt x}}dx=2\int{f(\sqrt x)}d(\sqrt x)\\ &7.\int f(\sin x)\cos xdx=-\int{(\sin x)}d(\sin x)\\ &8.\int{f(\cos x)\sin dx}=\int{f(\cos x)d(\cos x)}\\ &9.\int{f(\tan x)\sec^2 xdx}=\int{f(\tan x)d(\tan x)}\\ &10.\int{f(\cot x)\csc^2xdx}=-\int{f(\cot x)d{(\cot x)}}\\ &11.\int{f{(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}}dx=\int{f(\arcsin x)d({\arcsin x})}\\ &12.\int{f(\arccos x)(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}})dx=\int{f(\arccos x)d(\arccos x)}\\ &13.\int{f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx}=\int{f(\arctan x)d(\arctan x)}\\ &14.\int{f(\sqrt{x^2+a})}\frac{x} {\sqrt{x^2+a}}dx=\int{f(\sqrt{x^2+a})}d(\sqrt{x^2+a})\\ &注解：(\sqrt{x^2\pm a})'=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}},(\sqrt{a^2-x^2})'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ \end{align}(2)第⼆换元法\begin{align} &设F'(u)=f(\Phi(u))\Phi'(u),则\\ &\int{f(x)dx}\overset{x=\Phi(u)}{=}\int{f(\Phi(u))\Phi'(u)du}=F(u)+C=F(\Phi^{-1}(x))+C\\ &注解：找到合适的x=\Phi(u)\\ \end{align}1)三⾓换元\begin{align} &x=a\sin u,x=a\tan u,x=a \sec u\\ &\sqrt{a^2-x^2}\overset{x=a\sin u}{=}a\cos u,u\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],x\in[-a,a]\\ &\sqrt{a^2+x^2}\overset{x=a\tan u}{=}a\sec u,u\in{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})},x\in{(-\infty,\infty)}\\ &\sqrt{x^2-a^2}\overset{x=a\sec u}{=}a\tan u,u\in(\frac{\pi}{2},\pi]\cup(0,\frac{\pi}{2}]\\ \end{align}2)倒变换\begin{align} &x=\frac{1}{u}常⽤于含\frac{1}{x}的函数\\ \end{align}3）指数(或对数)变换\begin{align} &a^x=u或x=\frac{\ln u}{\ln a}常⽤于含a^x的函数\\ \end{align}4）⽤于有理化的变换\begin{align} &\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}⽤x=u^6\\ &\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}⽤u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}或x=-\frac{du^n-b}{cu^n-a}\\ \end{align}(3)分部积分法\begin{align} &\int{u(x)v'(x)dx}=\int{u(x)d(v(x))}=u(x)v(x)-\int{v(x)u'(x)dx}\\ &注解：找到合适的u(x),v(x)\\ \end{align}1)降幂法\begin{align} &\int{x^ne^{ax}dx},\int{x^n\sin axdx},\int{x^n\cos ax dx}\\ &取u(x)=x^n\\ \end{align}2)升幂法\begin{align} &\int{x^a\ln xdx},\int{x^a\arcsin xdx},\int{x^a\arccos x dx},\int{x^a\arctan x dx}\\ &取u(x)=\ln x\\ \end{align}3)循环法\begin{align} &\int{e^{ax}\sin ax dx},\int{e^{ax}\cos {ax} dx}\\ &取u(x)=e^{ax}或\sin{ax} \end{align}4)递推公式法\begin{align} &与n有关的结果I_n，建⽴递推关系I_n=f(I_{n-1})或f(I_{n-2})\\ \end{align}定积分⼀、定积分概念1.定义\begin{align} &定义:设函数f(x)在区间[a,b]上有定义且有界\\ &(1)分割：将[a,b]分成n个[x_{i-1},x_{i}]⼩区间\\ &(2)求和：[x_{i-1},x_{i}]上取⼀点\xi_{i},\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Deltax_i},\lambda=\max{\Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n}}\\ &(3)取极限：若\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x}\exist,且极值不依赖区间[a,b]分发以及点\xi_{i}的取法,则称f(x)在区间[a,b]上可积,\\ &\int^{b}_{a}{f(x)dx}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}{f(\xi)\Delta x_{i}} &\\ &注解：\\ &(1)\lambda \rightarrow0 \rightarrow \nleftarrow n\rightarrow \infty\\ & (2)定积分表⽰⼀个值,与积分区间[a,b]有关,与积分变化量x⽆关\\ &\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(t)dt}\\ &(3)如果积分\int_{0}^{1}{f(x)dx}\exist,将[0,1]n等分，此时\Delta{x_{i}}=\frac{1}{n},取\xi_{i}=\frac{i}{n},\\ &\int_{0}^{1}f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\\ \end{align}\begin{align} &\int^{b}_{a}{f(x)dx}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum^{n}_{i=1}f(\xi_i)\Delta_i=\begin{cases}&\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(a+(i-1)\frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}}},左侧\\&\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(a+i\frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}}},右侧\\\end{cases}\\ &中点：\Phi_i=a+(i-1)\frac{b-a}{n}+\frac{b-a}{2n}\\ \end{align}Processing math: 0%定理：(线性)\begin{align} &\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx\\ \end{align}注解：积分⽆⼩事\begin{align} &\int{e^{\pm x^2}dx,\int{\frac{\sin x}{x}}}积不出来\\ &F'(x)=f(x),x\in I,连续函数⼀定存在原函数，⽆穷多个\\ &[F(x)+C]'=f(x) \end{align}2.定积分存在的充分条件\begin{align} &若f(x)在[a,b]上连续,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ &若f(x)在[a,b]上有上界,且只有有限个间断点,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ &若f(x)在[a,b]上只有有限个第⼀类间断点,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ \end{align}3.定积分的⼏何意义\begin{align} &(1)f(x)\geqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=S\\ \end{align}\begin{align} &(2)f(x)\leqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=-S\\ \end{align}\begin{align} &(3)f(x)\geqslant{0}\cup f(x)\leqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=S_1+S_3-S_2\\ \end{align}注解：\begin{align} &（1）当f(x)\geq0时,定积分的⼏何意义是,以区间[a,b]为底,y=f(x)为曲边的曲边梯形⾯积\\ &（2）定积分是⼀个常数，只与f和区间[a,b]有关,与积分变量⽤什么字母⽆关\\ &\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(t)dt}\\ &（3）\int_a^bdx=b-a\\ &（4）\int_{a}^{a}f(x)=0,\int_a^bf(x)dx=-\int_b^a{f(t)}dt \end{align}⼆、定积分的性质1.不等式性质\begin{align} &(1)保序性：若在区间[a,b]上f(x)\leqslant{g(x)},则\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{\int_a^{b}{g(x)dx}}\\ &推论：\\ &(1)f(x)\geq0,\forall x\in[a,b],则\int_a^b{f(x)dx}\geq0\\ & (2)f(x)\geq0,\forall x\in[a,b],且[c,d]\subset[a,b],则\int_a^b{f(x)dx}\geq\int_c^d{f(x)dx}\\ &(3)|\int_a^bf(x)dx|\leq\int_a^b{|f(x)|dx}\\ &-|f|\leq f\leq |f|\Rightarrow \int_a^b-|f|\leq \int_a^bf\leq \int_a^b|f|\Rightarrow |\int_a^bf|\leq\int_a^b|f|\\ &如：x^2\leq x^3,x\in[0,1],则\int_0^1{x^3dx}\leq\int_0^1{x^2dx}\\ \end{align}\begin{align} &(4)(估值不等式)若M及m分别是f(x)在[a,b]上的最⼤值和最⼩值,\\ &则m(b-a)\leqslant{\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{M(b-a)}}\\ \end{align}\begin{align} &证明：M(b-a)=S_{AFDC}=S_1+S_2+S_3\\ &m(b-a)=S_{EBDC}=S_3\\ &\int_a^{b}{f(x)dx}=S_{ADBC}=S_2+S_3\\ &S_3\leqslant{S_2+S_3\leqslant{S_1+S_2+S_3}}\\&\Leftrightarrow{m(b-a)\leqslant{\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{M(b-a)}}}\\ \end{align}\begin{align} &(3)|\int_a^{b}{f(x)dx}|\leqslant{\int_a^{b}{|f(x)|dx}}\\ \end{align}2.中值定理\begin{align} &(1)若f(x)在[a,b]上连续,则\int_a^{b}{f(x)dx}=f(\xi)(b-a),(a<\xi<b)\\ &称\frac{1}{b-a}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}为函数y=f(x)在区间[a,b]上的平均值}\\ &注解：F'(x)=f(x),F(b)-F(a)=\int_a^b{f(x)dx},f(\xi)(b-a)=F'(\xi)(b-a)\\ &(2)若f(x),g(x)在[a,b]上连续，g(x)不变号,则\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(\xi)\int_a^b{g(x)dx}\\ \end{align}注解：\begin{align} &\int_0^1{\frac{x}{\sin x}}dx\\ &f(x)=\begin{cases}&\frac{x}{\sin x},x\in[0,1]\\&1,x=0\\\end{cases}\\ &结论：有限处点的函数不影响定积分\\ &f(x)={\begin{cases}&x+1,[1,2]\\&x, [0,1]\\\end{cases}}\\ &\int_0^2{f(x)dx}=\int_0^1{xdx}+\int_1^2{(x+1)dx}\\ \end{align}\begin{align} &证明：\frac{1}{2}\leq\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^n}}dx\leq\frac{\pi}{6}\\ &估值积分：x\in[0,\frac{1}{2}]\\ &\\ \end{align}例题：\begin{align} &1.求极限\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}\\ &根据积分容易知道0\leq\frac{x^ne^x}{1+e^x}\leq x^n,x\in[0,1],n\in N^*\\ &⽤积分的保号性\\&0\leq\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}\leq \int_0^1{x^n}dx=\frac{1}{n+1}\\ &⽤夹逼定理\\ &\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}=0\\ &\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}=0\\ \end{align}\begin{align} &2.设I_1=\int_0^{\frac{4}{\pi}}\frac{\tan x}{x}dx,I_2=\int_0^{\frac{4}{\pi}}\frac{x}{\tan x}dx则\\ &(A)I_1>I_2>1(B)1>I_1>I_2(C)I_2>I_1>1(D)1>I_2>I_1\\ &解：⽤保序性a<b,f(x)\leq g(x),\int_a^b f(x)\leq \int_a^b g(x)\\ &\tan x>x,x\in[0,\frac{\pi}{2}]\\ &\frac{\tan x}{x}>1>\frac{x}{\tan x},x\in[0,\frac{\pi}{4}]\\ &根据保序性\\ &\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{x}dx>\int_0^{\frac{\pi}{4}}1dx=\frac{\pi}{4}>\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{\tan x},x\in[0,\frac{\pi}{4}]\\ &证：\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{x}与1的关系\\ &积分中值定理\\ &\int_0^{\frac{\pi} {4}}\frac{\tan x}{x}=f(\xi)(\frac{\pi}{4}-0)=\frac{\tan \xi}{\xi}*\frac{\pi}{4},\xi\in{[0,\frac{\pi}{4}]}\\ &根据\frac{\tan x}{x}在x\in[0,\frac{\pi}{4}]上单调递增\\ &0<f(\xi)<\frac{4}{\pi},0<\int_0^{\frac{\pi} {4}}\frac{\tan x}{x}<1\\ &选(B)\\ \end{align}三、积分上限函数\begin{align} &如果f(x)在区间[a,b]上连续,则\Phi(x)=\int_a^b{f(t)dt}在[a,b]上可导,且\int_a^b{f(t)dt})\\ &(\int_a^xf(t)dt)'=f(x),(\int_a^{x^2}f(t)dt)'=f(x^2)*2x\\ &如果f(x)在区间[a,b]上连续,\phi_1(x),\phi_2(x)为可导函数,则\Phi(x)=\int_a^b{f(t)dt}在[a,b]上可导,且(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}{f(t)dt})'\\ &=f[\phi_2(x)]*\phi_2'(x)-f[\phi_1(x)]*\phi_1'(x)=(\int_{\phi_1(x)}^0{f(t)dt}+\int_{\phi_2(x)}^0{f(t)dt})'\\ &设函数f(x)在[-l,l]上连续,则\\ &如果f(x)为奇函数,那么\int_0^xf(t)dt必为偶函数\\ &如果f(x)为偶函数,那么\int_0^xf(t)dt必为奇函数\\\end{align}\begin{align} &任取x\in[a,b),取\Delta x>0,使x+\Delta x\in[a,b)\\ &\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}[\int_a^{x+\Delta x}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt]=\frac{1} {\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt=f(x+\sigma\Delta x)\rightarrow f(x)(\Delta x\rightarrow 0^+)\\ \end{align}推论：\begin{align} &若f(x)、\phi'(x)、\psi(x)于[a,b]上连续,则\\ &(1)(\int_a^{\phi(x)}f(t)dt)'=f(\phi(x))\phi'(x)\\ &(2)(\int_b^{\psi(x)}f(t)dt)'=-f(\psi(x))\psi'(x)\\ &(3)(\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)'=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)\\ \end{align}例题\begin{align} &1.设函数f(x)在R上连续,且是奇函数,则其原函数均是偶函数.当f(x)是偶函数时？是周期函数？\\ &证：\\ &令F_0(x)\int_0^xf(t)dt,x\in R\\ &F_0(-x)=\int_0^{-x}f(t)dt\overset{t=-u} {=}\int_0^xf(-u)d(u)=\int_0^xf(u)du=F_0(x)\Rightarrow F_0(x)为偶函数\\ \end{align}\begin{align} &求变现积分导数\\ &(1)F(x)=\int_x^{e^{-x}}f(t)dt\\ &(2)F(x)=\int_0^{x^2}(x^2-t)f(t)dt\\ &(3)F(x)=\int_0^{x}f(x^2-t)dt\\ &(4)设函数y=y(x)由参数⽅程\begin{cases}&x=1+2t^2\\&y=\int_1^{1+2\ln t}\frac{e^u}{u}du\\\end{cases}(t>1),求\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=9}\\ &解:\\ &(1)F(x)'=(\int_x^{e^{-x}}f(t)dt)'=f(e^{-x})(-e^{-x})-f(x)\\ &(2)F(x)'=(\int_0^{x^2}(x^2-t)f(t)dt)'=(\int_0^{x^2}x^2f(t)dt-\int_0^{x^2}tf(t)dt)'\\ &=2x\int_0^{x^2}f(t)dt+x^2f(x^2)2x-x^2f(x^2)2x=2x\int_0^{x^2}f(t)dt\\ &(3)F(x)=\int_0^{x}f(x^2-t)dt=-\frac{1}{2}\int_0^xf(x^2-t^2)d(x^2-t^2)\overset{u=x^2-t^2}{=}-\frac{1}{2}\int_0^xf(u)du\\ &F(x)'=\frac{1}{2}f(x^2)2x=xf(x^2)\\ &(4)\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{e^{1+2\ln t}}{1+2\ln t}\frac{2}{t}}{4t^2}=\frac{e}{2(1+2\ln t)}\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{e}{2}(-\frac{\frac{2}{t}}{(1+2\ln t)^2})\frac{1}{4t}\\ \end{align}\begin{align} &2.求变现积分的积分:\\ &(1)设f(x)=\int_0^x{\frac{\sin t}{\pi -t}dt},求\int_0^\pi{f(x)}dx\\ &解:\\ &\int_0^\pi{f(x)}dx=\int_0^{\pi}\int_0^x\frac{\sin t}{\pi -t}dt\space dx\\&=x\int_0^x\frac{\sin t}{\pi t}|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}x\frac{\sin x}{\pi -x}dx\\ &=\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin x}{\pi t}+\int_0^{\pi}\frac{[(\pi-x)-\pi]\sin x}{\pi-x}dx=\int_0^{\pi}\sin xdx=2\\ &(2)\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{(\int_0^x{e^{t^2}}dt)^2}{\int_0^xe^{2t^2}dt}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{(2\int_0^{x}e^{t^2}dt)e^{x^2}}{e^{2x^2}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2\int_0^{x}e^{t^2}}{e^{x^2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{2x}=0\\ \end{align}\begin{align} &(3)设f(x)连续,\phi(x)=\int_0^1{f(tx)dt},且\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=A(常数),求\phi'(x)并讨论\phi'(x)在x=0处的连续性\\ &当x\neq0时\\ &令u=tx,t\in[0,1],u=tx\in[0,x],\phi(x)=\int_0^1f(tx)dt\overset{tx=u}{=}\int_0^x{f(u)d(\frac{u}{x})}=\frac{\int_0^xf(u)du}{x}\\ &\phi'(x)=\frac{xf(x)-\int_0^xf(u)du}{x^2}\\ &当x=0时,f(0)=0,\phi(0)=f(0)=0,\phi'(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\phi(x)\phi(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\int_0^xf(u)du}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{2x}=\frac{1}{2}A\\&\lim_{x\rightarrow0}\phi'(x)=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{xf(x)-\int_0^xf(u)du}{x^2}}=A-\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}A=\phi'(0)\Leftrightarrow\phi'(x)在x=0处连续\\ \end{align}注解：\begin{align} &注意变限积分进⾏正逆运算时上下限的映射\\ &例如F(x)=\int_0^x{f(t)dt}\overset{t=-u}{=}\int_{-a}^{x}f(-u)d(-u)\\ \end{align}四、定积分的计算1.⽜顿莱布尼茨公式\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)2.换元积分法\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta{f(\Phi(t))\Phi'(t)dt}3.分部积分法\int_a^budv=uv|_a^b-\int_a^bvdu4.奇偶性和周期性\begin{align} &直接使⽤奇偶性周期性定义证明\\ &(1)设f(x)为[-a,a]上的连续函数(a>0),则\\ &\int_{-a}{a}f(x)dx=\begin{cases}0,&f(x)奇函数\\2\int_0^af(x)dx,&f(x)偶函数\end{cases}\\ &证：\int_{-a}^0{f(x)dx}\overset{x=-t}{=}\int_0^a{f(-t)d(-t)}=-\int_{0}^{a}f(t)d(t)=-\int_0^a{f(x)dx}\\ \end{align}\begin{align} &(2)设f(x)是以T为周期的连续函数,则对\forall A，有\int_a^{a+T}f(x)=\int_0^T{f(x)dx}\\ &\int_a^{a+T}f(x)dx\overset{x=a+t}{=}\int_0^T{f(a+t)d(a+t)}=\int_0^{a+t}f(a+t)dt\\\end{align}\begin{align} &\Phi:x\in[a,b]\rightarrow y\in[c,d],令\frac{x-a}{b-a}=\frac{y-c}{d-c},y=c+\frac{d-c}{b-a}(x-a)\\ \end{align}\\5.奇偶函数积分后的奇偶性(奇偶函数求导后的奇偶性)1.奇偶函数求导后的奇偶性\begin{align} &(1)f(x)为奇函数:\\ &f(-x)=-f(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)(-1)=-f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(x)为偶函数\\ &(2)f(x)为偶函数:\\ &f(-x)=f(x)\\ &\Leftrightarrowf'(-x)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)(-1)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)=-f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(x)为奇函数\\ \end{align}2.奇偶函数求积分后的奇偶性\begin{align} &设F(x)为f(x)的原函数\\ &(1)f(x)为奇函数:\\ &f(-x)=-f(x)\\ &\Leftrightarrow \int f(-x)dx=-\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow -\int f(-x)d(-x)=-\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow F(-x)=F(x)\\&\Leftrightarrow F(x)为偶函数\\ &(2)f(x)为偶函数:\\ &f(-x)=f(x)\\ &\Leftrightarrow \int f(-x)dx=\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow -\int f(-x)d(-x)=\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow F(-x)=-F(x)\\&\Leftrightarrow F(x)为奇函数\\ \end{align}3.奇偶函数复合后的奇偶性\begin{align} &\exist f(x),g(x),F(x)=f(g(x))\\ &设f(x)为奇函数\\ &(1)g(x)为偶函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &(2)g(x)为奇函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-F(x),F(x)为奇函数\\ &设f(x)为偶函数\\ &(1)g(x)为奇函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &(2)g(x)为偶函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &注解:外偶全偶,外奇奇偶\\\end{align}例题：\begin{align} &1.设M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1+x^2}\cos^4xdx},N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin x^3+\cos^4x)dx},P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2\sin^3x-\cos^4x)dx,则\\ &(A)N<P<M(B)M<P<N(C)N<M<P(D)P<M<N\\ &根据对称性判断\\ &M:f_M(x)为奇函数，F_M(x)为偶函数\\ &N:N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sinx^3+\cos^4x)dx}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^3xdx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^4xdx\\ &\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^3xdx=0,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi} {2}}\cos ^4xdx\geq 0,\Rightarrow N\geq 0\\ &P:P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2\sin^3x-\cos^4x)dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^3xdx-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi} {2}}\cos^4xdx\\ &\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^3xdx=0,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^4xdx\geq0,\Rightarrow P\leq0\\ &\Leftrightarrow P<M<N,\space\space选(D)\\\end{align}\begin{align} &2.设f(x)=\begin{cases}&kx,0\leq x\leq \frac{1}{2}a\\&c,\frac{1}{2}a<x\leq a\\\end{cases},求F(x)=\int_0^xf(t)dt,x\in[0,a]\\ &F(x)=\begin{cases}&\int_0^xktdt=\frac{1}{2}kt^2|_0^x=\frac{1}{2}kx^2,0\leq x\leq \frac{1}{2}a\\&\int_0^{\frac{1}{2}a}ktdt+\int_{\frac{1}{2}a}^c cdt=\frac{1}{8}ka^2+c^2-\frac{1}{2}ac,\frac{1}{2}a<x\leq a\\\end{cases}\\ \end{align} \begin{align} &3.证明：\int_0^{2\pi}f(|\cos x|)dx=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(|\cos x|)dx\\ \end{align}6.已有公式\begin{align} &(1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n xdx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}*\frac{n-3}{n-2}*...*\frac{1}{2}*\frac{\pi}{2},&n为偶数\\\frac{n-1}{n}*\frac{n-3}{n-2}*...*\frac{2}{3},&n为⼤于1的奇数\\\end{cases}}\\ &(2)\int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)dx(f(x)为连续函数)\\ \end{align}7.与定积分有关的证明8.经典例题：例题1:\begin{align} &\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})}\\ &法1：夹逼定理+基本不等式\\ &\frac{1}{1+x}<\ln(x+1)<x\\ &令x=\frac{1}{n}\\ &得\frac{1}{n+1}=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1}<\ln(\frac{1}{n}+1)=\ln(n+1)-\ln(n)<\frac{1}{n}\\ &得\frac{1}{n+2}<ln(n+2)-ln(n+1)<\frac{1}{n+1}\\ &得\frac{1}{n+n}<\ln(n+n)-\ln(n+n-1)<\frac{1}{n+n-1}\\ &得\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}<ln(2n)-ln(n)=ln2\\ &法2：\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})}中\\ &\frac{1}{n+1}中n为主体，1为变体\\ &\frac{变体}{主体}\rightarrow^{n \rightarrow{\infty}}\begin{cases}0,次(夹逼定理)\\A\neq 0,同(定积分)\end{cases}\\ &\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Deltax_i}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(b-a)}=\int_0^1\frac{1}{1+x}=\ln(1+x)|_{0}^{1}=\ln2\\ \end{align}例题2\begin{align} &设f(x)=\int_0^{\pi}{\frac{\sin x}{\pi-t}dt},计算\int_0^{\pi}f(x)dx.\\ &法1：分部积分+换元法\\ &原式=xf(x)|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}{\frac{x\sin x}{\pi-x}dx}\\ &=\pi{\int_0^{\pi}{\frac{\sin{t}}{\pi-t}dt}-\int_0^{\pi}{\frac{x\sin x}{\pi-x}}dx}\\ &=\int_0^{\pi}{\frac{(\pi-x)\sin x}{\pi-x}dx}=2\\ &法2：\\ &原式=\int_0^\pi{f(x)d(x-{\pi})}=(x-\pi)f(x)|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}{\frac{(x-\pi)\sin x}{\pi-x}dx}=2\\ &法3：⼆重积分转化为累次积分\\ &原式=\int_0^{\pi}{\int_0^{\pi}\frac{x\sin t}{\pi-t}dt}dx\\ \end{align}例题3\begin{align} &法1：构造辅助函数\\ &根据题意f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1\Rightarrow f(x)为偶函数,f最低点函数值为-1\\ &可以构造符合题意的辅助函数f(x)=2x^2-1\\ &法2：根据函数的性质直接判断 \end{align}例题4\begin{align} &因为\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ax-\sin x}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}}=c(c\neq 0)\\ &所以\lim_{x\rightarrow 0}{ax-\sin x}=0并且\lim_{x \rightarrow 0}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}=0\\ &化简,使⽤洛必达法则上下求导\\ &\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ax-\sin x}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{a-\cos x}{\frac{\ln{1+x^3}}{x}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{a-\cos x}{x^2}}\\ &\Rightarrow a=1,c=\frac{1}{2},b=0\\ \end{align}反常积分⼀、⽆穷区间上的反常积分\begin{align} &(1)\int_a^{+\infty}{f(x)}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty}{\int_{a}^{t}f(x)dx}\\ &(2)\int_{-\infty}^{b}{f(x)}dx=\lim_{t\rightarrow -\infty}{\int_{t}^{b}f(x)dx}\\ &(3)\int_{-\infty}^{0}{f(x)}dx和{\int_{0}^{+\infty}f(x)dx}都收敛,则{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx}收敛\\ &且{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx}=\int_{-\infty}^{0}{f(x)}dx+{\int_{0}^{+\infty}f(x)dx}\\ &如果其中⼀个发散,结果也发散\\ &常⽤结论：\int_a^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}\begin{cases}&p>1,收敛\\&p\leq1 ,发散\\\end{cases},(a>0)\\ \end{align}⼆、⽆界函数的反常积分\begin{align} &如果函数f(x)在点a的任⼀领域内都⽆界,那么点a为函数f(x)的瑕点(也称为⽆界点).⽆界函数的反常积分也成为瑕积分\\ &(1)设函数f(x)在(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点.如果极限\lim_{t\rightarrow a^+}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}}\exist,\\ &则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的反常区间,记作\int_{a}^{b}f(x)dx,即\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t\rightarrow a^+}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}}\\ &这时也称反常积分\int_a^b{f(x)dx}收敛,如果上述极限不存在，则反常积分\int_a^b{f(x)dx}发散\\ &(2)设函数f(x)在[a,b)上连续,点b为函数f(x)的瑕点,则可以类似定义函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow b^-}{\int_a^tf(x)dx}\\ &设函数f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续,点c为函数f(x)的瑕点,如果反常积分\int_a^c{f(x)dx}和\int_c^b{f(x)dx}都收敛\\ &则称反常积分\int_a^b{f(x)dx}收敛,且\int_a^b{f(x)dx}=\int_a^c{f(x)dx}+\int_c^b{f(x)dx}\\ &如果⾄少⼀个发散,则称\int_a^b{f(x)dx}发散\\ &常⽤结论：\\ &\int_a^b{\frac{1}{(x-a)^p}}\begin{cases}&p<1,收敛\\&p\geq 1,发散\\\end{cases}\\ &\int_a^b{\frac{1}{(x-a)^p}}\begin{cases}&p<1,收敛\\&p\geq 1,发散\\\end{cases}\\ \end{align}三、例题例题1\begin{align} &\int\frac{1}{\ln^{\alpha}x}d(\ln x)\rightarrow^{\ln x=u}\int{\frac{du}{u^{\alpha+1}}}\begin{cases}&{\alpha-1< 1}\\&{\alpha+1>1}\\\end{cases}\Rightarrow 0<\alpha<2\\\end{align}定积分的应⽤⼀、⼏何应⽤1.平⾯图形的⾯积\begin{align} &(1)若平⾯域D由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)\geq g(x)),x=a,x=b(a<b)所围成,则平⾯域D的⾯积为\\ &S=\int_a^b{[f(x)-g(x)]dx}\\ &(2)若平⾯域D由曲线由\rho=\rho(\theta),\theta=\alpha,\theta=\beta(\alpha<\beta)所围成,则其⾯积为S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}{\rho^2(\theta)d\theta} \end{align}2.旋转体的体积\begin{align} &若区域D由曲线y=f(x)(f(x)\geq 0)和直线x=a,x=b(0\leq a<b)及x轴所围成,则\\ &(1)区域D绕x轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V_x=\pi\int_a^b{f^2(x)dx}\\ &(2)区域D绕y轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V_y=2\pi\int_a^b{xf(x)dx}\\ &(3)区域D绕y=kx+b轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V=2\pi\int_D\int{r(x,y)d\sigma}\\ &例如：求y=x,y=x^2在第⼀象限的封闭图形绕转轴的体积\\ \end{align}\begin{align} &V_x=2\pi\int_D\int yd\sigma=2\pi\int_0^1{dx}\int_{x^2}^{x}ydy\\ &V_y=2\pi\int_D\int xd\sigma=2\pi\int_0^1{dx}\int_{x^2}^{x}xdy\\ &V_{x=1}=2\pi\int_D\int (1-x)d\sigma\\ &V_{y=2}=2\pi\int_D\int (2-y)d\sigma\\ \end{align}3.曲线弧长\begin{align} &(1)C:y=y(x),a\leq x\leq b,s=\int_a^b{\sqrt{1+y'^2}dx}\\ &(2)C:\begin{cases}&x=x(t)\\&y=y(t)\\\end{cases},\alpha \leq t\leq \beta,s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{x'^2+y'^2}dx}\\ &(3)C:\rho=\rho(\theta),\alpha \leq \theta\leq \beta,s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\rho^2+\rho'^2}dx}\\ \end{align}4.旋转体侧⾯积\begin{align} &曲线y=f(x)(f(x)\geq 0)和直线x=a,x=b(0\leq a<b)及x轴所围成的区域绕x轴旋转所得到的旋转体的侧⾯积为\\ &S=2\pi\int_a^b{f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx}\\ \end{align}⼆、物理应⽤1.压⼒2.变⼒做功3.引⼒（较少考）例题1\begin{align} &分析题意可知,该容器由x^2+y^2=1的圆和x^2+(y-1)^2=1的偏⼼圆组成\\ &根据图像的对称性可以避免不同表达式带来的困难\\ &对圆的⼩带⼦进⾏积分，带⼦长度为x，积分区间为-1到\frac{1}{2}，\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{\pi x^2dy}\\ &由于图像的对称性，将积分结果乘⼆\\ &(1)V=2\pi\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{x^2}dy=2\pi\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{(1-y^2)dy}=\frac{9\pi} {4}\\ \end{align}\begin{align} &(2)W=F*S=G*S=mg*S=\rho VSg\\ &上部为W_1=\int_{\frac{1}{2}}^{2}(2y-y^2)(2-y)dy*\rho g\\ &下部为W_2=\int^{\frac{1}{2}}_{-1}(1-y^2)(2-y)dy*\rho g\\ &W=W_1+W_2\\ \end{align}例题2\begin{align} &F_p=P*A=\rho gh*A\\ &将图像分为上部和下部，上部为矩形区域和下部的抛物线围成的⾯积区域，对其进⾏依次求解\\ &P_1=2\rho gh\int_1^{h+1}{h+1-y}dy=\rho gh^2\\ &P_2=2\rho gh\int_0^1{(h+1-y)\sqrt{y}dy=4\rho g(\frac{1}{3}h+\frac{2}{15})}\\ &\frac{P_1}{P_2}=\frac{4}{5}\Rightarrow h=2,h=-\frac{1}{3}(舍去) \end{align}。
