高等数学 第七章 定积分的应用

考研数学定积分的应用一、引言数学定积分是高等数学中的重要概念之一，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文将从几个具体的应用案例入手，探讨考研数学定积分的应用。

二、面积计算数学定积分最基本的应用之一就是计算曲线与坐标轴所围成的面积。

例如，在工程测量中，我们经常需要计算某个区域的面积，如果该区域的边界曲线可以用函数表示，那么可以通过定积分来求解。

通过将曲线分割成无穷多个微小的矩形，计算每个矩形的面积并进行累加，最终得到所需的面积。

三、物体体积计算除了计算面积，数学定积分还可以用于计算物体的体积。

在工程设计中，经常需要计算复杂形状物体的体积，例如水库的容量、建筑物的体积等。

如果物体的截面可以用函数表示，那么可以通过定积分来求解。

同样地，将截面分割成无穷多个微小的面元，计算每个面元的体积并进行累加，最终得到所需的体积。

四、质心计算质心是物体在空间中的重心，对于复杂形状的物体，质心的计算可以通过数学定积分来实现。

首先，将物体分割成无穷多个微小的体积元，计算每个体积元的质量并与其质心坐标乘积，然后进行累加，最后将总质量除以总体积，即可得到质心的坐标。

五、弯曲杆件的弯矩计算在工程力学中，常常需要计算弯曲杆件的弯矩分布，以确定结构的稳定性和安全性。

通过数学定积分，可以将杆件分割成无穷多个微小的弯曲段，计算每个弯曲段的弯矩，并进行累加，最终得到整个杆件的弯矩分布。

六、概率密度函数计算概率密度函数是概率论与数理统计中的重要概念，用于描述随机变量的概率分布。

数学定积分可以用于计算概率密度函数的各种性质，例如求解期望值、方差以及其他统计指标。

通过对概率密度函数进行定积分，可以得到具体的数值，从而进行概率分析和决策。

七、总结本文简要介绍了考研数学定积分的几个应用，包括面积计算、物体体积计算、质心计算、弯曲杆件的弯矩计算以及概率密度函数的计算。

这些应用充分展示了数学定积分在实际生活和工程领域中的重要性和广泛应用。

通过学习和掌握数学定积分的应用技巧，可以更好地理解和应用数学知识，提高问题解决能力。

高等数学上册目录同济第七版目录第一章导数与微分1.1 导数的概念1.2 导数的计算1.3 高阶导数与Leibniz公式1.4 微分学的应用第二章极值与最值2.1 极值的概念与求解2.2 最值的概念与求解第三章中值定理3.1 Rolle定理3.2 Lagrange中值定理3.3 Cauchy中值定理第四章函数的单调性与曲线的凹凸性4.1 函数的单调性4.2 曲线的凹凸性第五章泰勒公式5.1 泰勒公式的定义与基本形式5.2 带Peano余项的Lagrange形式5.3 带Lagrange余项的形式第六章不定积分6.1 不定积分的定义与基本性质6.2 基本初等函数的不定积分6.3 分部积分法与换元积分法第七章定积分7.1 定积分的概念与性质7.2 定积分的计算方法7.3 定积分的应用第八章曲线长度、曲率与曲率半径8.1 曲线长度的计算8.2 曲率的概念与计算8.3 曲率半径第九章多元函数的极限、连续与偏导数9.1 多元函数的极限9.2 多元函数的连续9.3 偏导数及其应用第十章多元函数的微分、全微分与隐函数定理10.1 多元函数的微分10.2 多元函数的全微分10.3 隐函数定理第十一章重积分11.1 二重积分的概念与性质11.2 二重积分的计算方法11.3 三重积分的概念与性质11.4 三重积分的计算方法第十二章曲线积分与曲面积分12.1 曲线积分的概念与计算方法12.2 曲面积分的概念与计算方法第十三章常微分方程13.1 常微分方程的概念与解法13.2 一阶常微分方程的解法13.3 高阶常微分方程的解法以上就是《高等数学上册目录同济第七版》的主要内容目录，希望对你的学习有所帮助。

在物理学中，定积分是一种非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种物理问题的建模与求解。

通过对定积分的运用，我们可以更好地理解物理现象，解释实验结果，并推导出物理定律。

本文将就高等数学中定积分在物理学领域中的应用展开探讨。

一、定积分在质心、转动惯量和力矩的计算中的应用在物理学中，质心、转动惯量和力矩是常见的物理量，它们的计算与定积分有着密切的联系。

1. 质心的计算质心是一个物体或系统的平均位置，其坐标可以通过下式进行计算：在这个公式中，x 表示物体上各个微小质量元的横坐标，f(x) 表示单位质量元在相应位置的质量密度。

通过对质心的计算，我们可以更好地理解物体的分布特性，分析物体的运动规律。

2. 转动惯量的计算转动惯量描述了物体对旋转的惯性大小，它可以通过下式进行计算：在这个公式中，r 表示物体上各个微小质量元到旋转轴的距离，f(r) 表示单位质量元在相应位置的质量密度。

转动惯量的计算在研究物体的旋转运动、平衡问题以及惯性驱动等方面具有重要意义。

3. 力矩的计算力矩是描述物体受到旋转影响的力的大小，它可以通过下式进行计算：在这个公式中，r 表示物体上各个微小质量元到旋转轴的距离，f(r) 表示单位质量元在相应位置的质量密度，F 表示施加在物体上的力。

力矩的计算在分析物体的平衡条件、弹性形变以及稳定性等方面有着重要的应用。

通过以上介绍，我们可以看到定积分在质心、转动惯量和力矩的计算中具有重要的应用价值，它为我们理解物体的运动特性提供了重要的数学工具。

二、定积分在牛顿第二定律、万有引力定律和电磁学中的应用牛顿第二定律、万有引力定律和电磁学中的一些重要公式也与定积分有着密切的联系。

1. 牛顿第二定律的应用牛顿第二定律描述了物体受到外力作用时的加速度大小与所受合外力成正比的关系，可以通过下式进行表达：在这个公式中，F 表示物体所受的合外力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。

通过定积分，我们可以更好地理解力的作用及其引起的加速度变化。

高等数学定积分的计算方法
定积分是高等数学中的一个重要概念，它是求解某种函数在某一区间上的积分，可以用来计算曲线下某一区域的面积或体积。

计算定积分的方法有很多，其中最常用的是求和法和分段法。

求和法是指将定积分的区间分割成若干小区间，然后将每个小区间上的函数值加起来，从而求出定积分的近似值。

具体的计算方法是：首先，将定积分的区间[a,b]分割成n个小区间，即
a=x_0<x_1<x_2<…<x_n=b，其中x_i=a+i*h，h=(b-a)/n；然后，将每个小区间上的函数值加起来，即
∫_a^bf(x)dx≈h*[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)]，其中h=(b-
a)/n。

分段法是指将定积分的区间分割成若干段，然后分别求出每段上的积分，最后将每段上的积分加起来，从而求出定积分的近似值。

具体的计算方法是：首先，将定积分的区间[a,b]分割成
n段，即a=x_0<x_1<x_2<…<x_n=b，其中x_i=a+i*h，h=(b-
a)/n；然后，分别求出每段上的积分，即
∫_a^bf(x)dx≈∑_(i=1)^n▒f(x_i)*h，其中h=(b-a)/n；最后，将每
段上的积分加起来，即∫_a^bf(x)dx≈∑_(i=1)^n▒f(x_i)*h。

以上就是计算定积分的两种常用方法，它们都是基于求和原理的，只是求和的方式不同而已。

在实际应用中，我们可以根据实际情况选择合适的方法，以达到最优的计算效果。

定积分的应用教案教案标题：定积分的应用教案目标：1. 理解定积分的概念和性质。

2. 掌握定积分的计算方法。

3. 学会运用定积分解决实际问题。

教学重点：1. 定积分的定义和性质。

2. 定积分的计算方法。

3. 定积分在实际问题中的应用。

教学难点：1. 将实际问题转化为定积分的形式。

2. 运用定积分解决实际问题。

教学准备：1. 教学课件。

2. 教材《高等数学》相关章节。

3. 计算器和白板。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入定积分的概念，通过提问和讨论激发学生对定积分的兴趣和思考。

2. 回顾不定积分的概念和性质，为学生理解定积分做铺垫。

二、概念讲解（15分钟）1. 讲解定积分的定义和性质，包括积分上限、下限的含义、可加性、线性性等。

2. 通过示例演示定积分的计算方法，如基本初等函数的定积分、换元积分法等。

三、定积分的计算（20分钟）1. 给出一些简单的定积分计算题目，引导学生运用所学的计算方法进行解答。

2. 对于较复杂的题目，引导学生分步骤进行计算，并注意化简和变形的技巧。

四、定积分的应用（25分钟）1. 介绍定积分在实际问题中的应用，如面积计算、物理问题中的质量、速度、功率等计算。

2. 给出一些实际问题，引导学生将问题转化为定积分的形式，并进行求解。

3. 强调解决实际问题时需注意问题的分析和建立数学模型的能力。

五、拓展与巩固（10分钟）1. 给学生一些拓展题目，要求他们运用所学的知识解决更复杂的问题。

2. 总结定积分的应用领域和方法，并鼓励学生在实际生活中运用所学知识。

六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生独立完成，并在下节课前交作业。

2. 鼓励学生积极思考、互相讨论，提高问题解决能力。

教学反思：本节课通过引导学生理解定积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法，并运用定积分解决实际问题，旨在培养学生的数学思维和应用能力。

教学过程中，通过示例演示和实际问题的引导，帮助学生理解和掌握定积分的应用。

定积分应用旋转体体积公式定积分是高等数学中非常重要的一个内容。

定积分可以帮助我们求出一定区间内函数的面积、体积等物理量，因此在物理学、工程学、建筑学等领域都有广泛的应用。

在定积分的各种应用中，旋转体体积公式是一个重要的公式，它可以帮助我们求出某个区域在某个轴周围旋转所形成的立体体积。

本篇文章将介绍定积分应用旋转体体积公式的具体内容。

一、旋转体体积公式的定义旋转体体积公式是指，当一个曲线图形在某个轴线绕一定角度旋转时所得到的立体体积大小。

例如，若有一条平面曲线y=f(x),其在x轴旋转而成的旋转体的体积，则体积V可表示为：V=π∫abf(x)2dx其中a,b是曲线上取一个区间，π表示圆周率。

该公式的原理是：在曲线上任意取一个点，在x轴处的投影为x0，它和轴线和转动后所形成的体积为：V0=π[∫x0b f^2(x)dx-∫x0af^2(x)dx]同理，在曲线上任意取一个点，在某个轴线下的投影为y0，它和轴线和转动后所形成的体积为：V0=π[∫y0/dy∫f⁻¹(y)f(x)dx]通过以上两种方法对曲线进行积分，得到的结果即为该曲线在某个轴线下旋转形成的立体体积大小。

二、求解旋转体体积公式的具体步骤1、确定旋转轴线首先要确定旋转轴线，旋转轴线是指曲线旋转时所围绕的轴心线。

通常我们可以将曲线所围成的区域以绕某个轴线为轴心旋转。

在选择轴线时，需要先选择一个轴线作为基准轴线，通常选择x轴或y轴作为基准轴线，然后再确定旋转轴线。

2、将曲线绕轴线旋转其次，将曲线绕轴线旋转成旋转体，这个过程可以想象成把曲线沿着轴线旋转，使其形成一个立体图形。

我们可以将这个立体图形分成无数个小圆柱，然后对每个小圆柱进行分析。

3、求出小圆柱的体积最后，我们可以通过上述的定积分公式求出每个小圆柱的体积，然后将每个小圆柱的体积加和，得到整个旋转体的体积。

三、旋转体体积公式的实际应用旋转体体积公式具有非常广泛的应用，在几何学、物理学、建筑学等领域都有其应用。

练习6-2练习6-2练习6-3总习题六高等数学（文专）练习题A一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

下列函数是奇函数的是（）．（A）1y x=+；（B）e e2x xy-+=；（C）e e2x xy--=；（D）2y x x=+．2．ln(2)y x=-的定义域为（）．（A）(,2)-∞；（B）(2,)+∞；（C ）(,2)(2,)-∞+∞； （D ）(,)-∞+∞．3．设2()sin f x x x =+，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）．（A ）24π； （B ）214π+； （C ）214π-； （D ）424πππ⎛⎫+⎪⎝⎭． 4．3d (e )d xx x+=（ ）． （A ）3e 1x +； （B ）33e 1x +； （C ）31e 13x +； （D ）3211e 32x x +．5．ln d xx x=⎰（ ）． （A ）ln |ln |x ； （B ）ln ln ||x c + （C ）21(ln )2x（D ）21(ln )2x c +．6．10(1)d x x +=⎰（ ）． （A ）2；（B ）1；（C ）32； （D ）12． 7．设)(x f 在点x a =处可导，那么=--+→h h a f h a f h )2()(lim（ ）.A ． )(3a f 'B ． )(2a f 'C ． )(a f 'D ．)(31a f '8. 函数2x e y -=的图形的水平渐近线方程为（ ） A ．1=yB ．1=xC ．0=yD ．0=x9.cos()x dx +=⎰5( )A. 155cos()x c ++ B.55sin()x c ++ C.55cos()x c ++ D. sin()x c ++5 二、填空题 10．xxx 23sin lim0→ ___________.11．x x e y x sin ln 2-+=则='y ． 12．dx x ⎰--3329 =．13．曲线y =在1x =处的切线方程为 _______________.14．已知某商品的成本函数为221020)(q q q C +-= (万元),则20=q 时的边际成本为___________．15．若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,2,242x a x x x y 在2=x 处连续，则=a ______.16．x x f sin )(=在[]π,0上满足罗尔中值定理的条件, 当ξ= 时,0)(='ξf ． 三、计算题 17．求)32(13lim23--+-→x x x x x .18．求由方程423=+y x 所确定的隐函数y=y(x)的dxdy . 19．求极限1lim(13)xx x →-．20．求极限201cos lim2x xx →-．21．设)0()1(>+++=a ax x a y aax，求.dy 22．计算⎰+edx xx1ln 2 23．求dx xex ⎰-22四、综合题24．求函数212x xy +=的极值与拐点.25．证明：当1x >时，22(1)ln (1)x x x ->-。

第七章 定积分的应用一、本章提要1. 基本概念微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法(1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量，(7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心．二、要点解析问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件：〔1〕Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；〔2〕Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下：〔1〕选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量〔如x 〕，并确定积分变量的变化区间[]b a ,；〔2〕取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ∆〔Q ∆为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值〕；〔3〕对微元进行积分得 =d ()d b baaQ Q f x x =⎰⎰．下面举例说明．例1 用定积分求半径为R 的圆的面积．解一 选取如下列图的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间[]R R ,-成假设干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=，于是⎰⎰---==RRR Rx x R A A d 2d 22=2πR ．解二 选取如下列图的坐标系，取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成假设干个小区间，其代表性小区间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 21d 2R A =，于是22π202π20ππ221d 21d R R R A A =⋅===⎰⎰θ．解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成假设干个小区间，其代表性小区间[]r r r d ,+所对应的面积微元r r A d π2d =，于是202π2π2d π2R r r r A RR =⋅==⎰．问题2 如何理解连续函数f (x ) 在闭区间[]b a ,上的平均值⎰-=b a x x f ab u d )(1是有限个数的算术平均值的推广．解析 首先，我们知道几个数 y y y n 12,,,⋅⋅⋅的算术平均值为y y y y n n y n k k n=++⋅⋅⋅+==∑()/1211，对于函数)(x f ，我们把区间[]b a , n 等分，设分点为a =x x x b n 01<<⋅⋅⋅<=．区间的长度(1,2,,)i b ax i n n-∆==⋅⋅⋅，各分点i x 所对应的函数值为12(),(),f x f x ,⋅⋅⋅()n f x ，其算术平均值 ∑=ni i x f n 1)(1可近似地表达函数)(x f 在[]b a ,上取得一切值的平均值．显然，n 越大，分点越多，这个平均值就越接近函数)(x f 在[]b a ,上取得一切值的平均值． 因此，称极限lim n →∞11n f x i i n()=∑为函数)(x f 在闭区间[]b a ,上的平均值，记为[]b a y ,．下面用定积分表示函数)(x f 在[]b a ,上的平均值[]b a y ,．在定积分定义中，假设取ξi i x =，∆x b ani =-，则∑∑⎰=∞→=→-=∆=ni i n n i i i b anab x f x f x x f 11)(lim )(lim d )(ξλ， 这里{}12max ,,,n b ax x x nλ-=∆∆∆=． 因此n ab x f a b x f n ni i n n i i n --=∑∑=∞→=∞→11)(lim 1)(1lim11lim ()ni i n i f x x b a →∞==∆-∑ ⎰-=b a x x f ab d )(1， 即 ⎰-=b a b a x x f ab y d )(1],[． 在生产实践和科学研究中，有许多连续量的平均值需要计算，如平均电流强度、平均电压、平均功率等等．例2 求从0到T 这段时间内自由落体运动的平均速度． 解 因为自由落体运动的速度gt v =，所以2001111d 022TT v gt t gt gT T T ⎛⎫===⎪-⎝⎭⎰． 三、例题精解例3 求纯电阻电路中正弦电流 t I t i m ωsin )(=在一个周期上的平均功率〔其中mI 及ω均为常数〕．解 设电阻为R 〔R 为常数〕，则电路中的电压t RI iR u m ωsin ==，而功率 2)sin (t I R iu p m ω==，因此p 在2π0,ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的平均功率〔功率的平均值〕2π2π2222π0011cos 2sin d d 02π2m m RI tp R t t t I ωωωωωω-==-⎰⎰2π22011(1cos )d()()4π22m mm m m m I R t t I R I U U I R ωωω=-===⎰，这说明纯电阻电路中正弦电流的平均功率等于电流、电压的峰值之积的一半．对一般的周期为T 的交变电流)(t i ，它在R 上消耗的功率为R t i t i t u p )()()(2==，在[]T ,0上的平均功率为Tt R t i p T ⎰=2d )(．通常交流电器上标明的功率就是平均功率．例4 当交变电流)(t i 在其一个周期内在负载电阻R 上消耗的平均功率等于取固定值电流I 的直流电在R 上消耗的功率时，称I 为)(t i 的有效值，即电流)(t i 的有效值为I ，试求)(t i 的有效值．解 固定值为I 的电流在电阻R 上消耗的功率为2I R ．对于交变电流)(t i 在其一个周期内在负载电阻R 上消耗的平均功率为 ⎰⎰==T T t t i T R t R t i T p 0202d )(d )(1， 于是 ⎰=T t t i TR R I 022d )(， 得 ⎰=T t t i TI 02d )(1为交变电流)(t i 的有效值．通常在交流电的电器上所标明的电流即为交变电流的有效值．一般地，把⎰-b a t t f ab d )(12称为连续函数)(x f 在[]b a ,上的均方根．因此，周期性电流)(t i 的有效值就是它的一个周期上的均方根．例5 由力学知道，位于平面上点),(i i y x 处的质量为),,2,1(n i m i ⋅⋅⋅=的几个质点所构成的质点系的质心〔也叫质点系的重心〕坐标),(y x 计算公式为mM x y =，mM y x=， 其中∑==ni imm 1(质点系中全部质点的质量之和)，∑==ni ii y x m M 1〔质点系中，各质点关于y轴的静力矩m i x i 之和m xiii n=∑1，称其为质点系对y 轴的静力矩〕，∑==ni i i x y m M 1〔质点系对x 轴的静力矩〕．由此可见，质点系m i 〔 i n =⋅⋅⋅12,,,〕的质心坐标〔x y ,〕满足：质量为m mii n==∑1，坐标为〔x y ,〕的质点M 关于y 轴和x 轴的静力矩分别与质点系关于y 轴和x 轴的静力矩相等．按上述关于质点系之质心的概念，用定积分的微元法讨论均匀薄片的质心． 解 设均匀薄片由曲线)()((x f x f y =≥)0，直线x =a ，x =b 及x 轴所围成，其面密度μ为常数，其质心坐标〔x y ,〕．为研究该薄片的质心，首先要将该薄片分成假设干个小部分，每一小部分近似看成一个质点，于是该薄片就可近似看成质点系．具体做法如下：将[]b a ,区间分成假设干个小区间，代表性小区间[]x x x d ,+所对应的窄长条薄片的质量微元 x x f x y m d )(d d μμ==，由于d x 很小，这小窄条的质量可近似看作均匀分布在窄条的左面一条边上，由于质量是均匀分布的，故该窄条薄片又可看作质量集中在点⎪⎭⎫⎝⎛)(21,x f x 处且质量为d m 的质点，所以这窄条薄片关于x 轴及y 轴的静力矩微元x M d 与y M d 分别为x x f x x f x f M x d )(21d )()(21d 2μμ==， x x f x M y d )(d μ=，把它们分别在[]b a ,上作定积分，便得到静力矩 x x f M b ax d )(22⎰=μ，⎰=bay x x xf M d )(μ，又因为均匀薄片的总质量 ⎰⎰==bab ax x f m m d )(d μ，所以该薄片的质心坐标为⎰⎰==b aba y xx f x x xf mM x d )(d )(， 21()d 2()d b a x baf x x M y mf x x==⎰⎰． 上面关于质心〔y x ,〕的计算公式适用于求均匀薄片的质心，有关非均匀薄片质心的计算将在二重积分应用中予以介绍．例6 求密度均匀，半径为R 的半圆形薄片的质心． 解 如下列图建立坐标系，上半圆周方程22x R y -=，由对称性知，质心在y 轴上，即0=x ，利用例5中的质心计算公式得32202112()d 423,13ππ2R R R x R x x R y R -⨯-===故所求质心为4(0,)3πR． 四． 练习题判断正误(1) 由x 轴，y 轴及2)1(-=x y 所围平面图形的面积为定积分x x d )1(12⎰-；〔√ 〕解析 x 轴、y 轴及2)1(-=x y 所围成的曲边三角形位于x 轴的上方，由定积分的几何意义可知，其面积正是x x d )1(12⎰-．〔2〕闭区间[]b a ,上的连续函数)(x f 在该区间上的平均值为f x b a()- ； 〔 × 〕解析 由定积分中值定理可知，闭区间],[b a 上的连续函数)(x f 在该区间上的平均值为1()d b af x x b a -⎰．〔3〕由曲边梯形D ：a ≤x ≤b ，0≤y ≤)(x f 绕x 轴旋转一周所产生的旋转体的体积 2π()d b aV f x x =⎰； 〔 √ 〕解析 如图，对任意的],[b a x ∈，旋转体的截面积)(x A =2π()f x ．由平行截面物体的2)1体积得 V =()d b aA x x ⎰=2π()d b af x x ⎰．〔4〕假设变量y 关于x 的变化率为23x ，则 3x y =． 〔 × 〕解析 y 关于x 的变化率为23x ，则2d 3d yx x=，积分得 y =23d x x ⎰=3x C +．2．填空题(1) 设一平面曲线方程为)(x f y =，其中)(x f 在[]b a ,上具有一阶连续导数，则此曲线对应于a x =到b x =的弧长L=ax ⎰；假设曲线的参数方程为{(),(),x x t y y t ==〔a ≤t ≤β〕，)(),(t y t x 在[]αβ,上有连续导数，则此曲线弧长L=t βα⎰ ；(2) 设一平面图形由b x a x x g y x f y ====,),(),(所围成))()((x f x g >，其中)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，则该平面图形的面积S =[()()]d b ag x f x x -⎰；解 如图，因为)()(x f x g >， 取x 为积分变量，于是得 d [()()]d A g x f x x =-，故平面图形的面积 A =[()()]d b ag x f x x -⎰．(3) 周期为T 的矩形脉冲电流 {,0(),(0)0,a t c i t a c t T≤≤=><≤的有效值为 Tca； 解)(x f 在],[b a 上的均方根．周期性电流)(t i 的有效值就是它的一个周期上的均方根， 则2()d T i t t ⎰=20d c a t ⎰+0d Tct ⎰=c a 2，所以此脉冲电流的有效值 ITca 2=T c a ．(4) 假设某产品的总产量的变化率为210)(t t t f -=，那么t 从40=t 到81=t 这段时间内的总产量为3272． 解 设总产量为)(t Q ， 则 )()(t f t Q ='=210t t -，积分得 Q =824(10)d t t t -⎰=8432)35(t t -=3272．3. 解答题〔1〕抛物线x y 22=把图形822=+y x 分成两部分，求这两部分面积之比； 解 曲线围成的区域如图中阴影部分．y联立方程 2222,8,y x x y ⎧=⎨+=⎩ ⇒ {2,2,x y ==或 {2,2,x y ==-得到两条曲线相交的交点为 〔2，2〕，〔2，2-〕．从而2S =222)d 2y y -⎰=2(2200d 2y y y -⎰⎰)， 其中y⎰y t=π404)t t ⋅⎰=π2408cos d t t ⎰=π404(1cos 2)d t t +⎰=π40π2sin 2t +=2+π，220d 2y y ⎰=20361y =34， 所以 2S =2〔2+4π3-〕=2π+34， 而1S +2S =2π=8π，于是 =1S 48π(2π)3-+=46π3-， 所以，两部分面积比为 1S ：2S =〔9π-2〕：〔3π+2〕．〔2〕计算e xy -=与直线0=y 之间位于第一象限内的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积；解 如图，当+∞→x 时，y =e0x-→，我们可以把未封闭的区域看作当+∞→x 时的闭区域，则其绕 x 轴旋转一周的体积V =2π()d f x x +∞⎰=20πe d x x +∞-⎰=20πe 2x-+∞-=π2， 所以，所得旋转体体积为π2． 〔3〕一密度均匀的薄片，其边界由抛物线ax y =2与直线a x =围成，求此薄片的质心坐标；解 如图，由对称性知，质心在x 轴上，即y =0，利用质心计算公式，有x =222()d d a a a a y ya y ya --⎰⎰=3252352a a a a ⋅⋅=a 53， 所以，薄片的质心坐标为(a 53，0)．〔4〕半径为r m 的半球形水池灌满了水，要把池内的水全部抽出需作多少功； 解 如图，设水池的上边缘为y 轴，原点在半球形水池的圆心位置，x 轴竖直向下．球面方程为y =22x r -±，则水深x 处所对应的截面半径为22x r -，截面面积22()π()S x r x =-．将x 到d x x +这层水抽出需克服的重力为d G =d g V ρ=g ρ()d S x x =22π()d g r x x ρ-，因为 W =22π()d r g r x x ρ-⎰=222201π()d()2r g r x r x ρ---⎰=2221π()40r g r x ρ--=41π4g r ρ(J )，所以，把水全部抽出需做功41π4g r ρ(J )． 〔5〕一直径为6m 的半圆形闸门，铅直地浸入水内，其直径恰位于水外表〔水的密度为 103 kg/m 3 〕，求闸门一侧受到水的压力；解 如图，设水面为y 轴，原点在圆心位置，x 轴竖直向下．半圆形闸门的方程为922=+y x ，则x 到d x x +这层闸门的截面面积d ()S x =2x ，所受到的压强P =gx ρ，压力d F =d ()P S x =gxx ρ，闸门所受到的压力F =302x ρ⎰=20)g x ρ--⎰=30232)9(32x g --ρ=41.810g ⨯ (N )，所以，闸门的一侧受到水的压力为41.810g ⨯ (N )．〔6〕某石油公司经营的一块油田的边际收入和边际成本分别为 )/(31)(,)/()(3131年百万元年百万元tt C tq t R +='-='，求该油田的最正确经营时间，以及在经营终止时获得的总利润〔已知固定成本为4百万元，q 为实数〕； 解 由最大利润原理，令 )()(t C t R '='，则 313131t t q +=-，得 t =64)1(3-q ，总利润 L =3(1)640[()()]d 4q R t C t t -''--⎰=311(1)33640(13)d 4q q t t t -----⎰=31(1)3640(14)d 4q q t t ----⎰=[34(1)3640(1)3]4q q t t ----=4256)1(4--q 〔百万元〕， 所以，油田的最正确经营时间为 64)1(3-q 年，经营终止时获得的总利润为4256)1(4--q 百万元．〔7〕有一弹簧，用5N 的力可以把它拉长0. 01m ，求把它拉长0. 1m ，力所作的功； 解 已知 kx F =， 5)01.0(=F ， 所以 k 01.05=， 即 500=k ， x F 500=, 所以 W =0.10500d x x ⎰=2501.002x =2.5(J )所以，力所做的功为2.5(J )．〔8〕求心形线)cos 1(θ+=a r 〔a 为常数〕的全长． 解一 将极坐标转换为直角坐标，有{cos (1cos )cos ,sin (1cos )sin ,x r a y r a θθθθθθ==+==+于是 d [(sin )cos (1cos )(sin )]d x a a θθθθθ=-++-=[(sin sin 2)]d a θθθ-+，d [(sin )sin (1cos )cos ]d y a a θθθθθ=-++=[(cos cos 2)]d a θθθ+，弧长微元 d sθθθθ=2cosd 2a θ，所以，心形线的全长 s=θ=π08cos d 22a θθ⎰=π8sin2a θ=8a ．解二 将极坐标转换为直角坐标，有{cos (1cos )cos ,sin (1cos )sin ,x r a y r a θθθθθθ==+==+ 则 d d d cos d sin d ,d d d sin d cos d ,x x x r r r r y y y r r r r θθθθθθθθθθ∂∂⎧=+=-⎪∂∂⎨∂∂⎪=+=+∂∂⎩弧长微元d sθ， 心形线的全长s=02⎰θ =2π02cos d 2a θθ⎰=π08sin2a θ=8a ，所以，心形线的全长为8a ．。

习题5.61. 求下列曲线所围成的图形的面积：(1) 1y x=与直线y x =及2x =； (2) 22x y y =-与直线2y x =+；(3) 1=与两坐标轴；(4) 2236x y y +=与直线y x =(两部分都要计算)；(5) ln y x =与直线ln y a =，ln y b =(0b a >>)及y 轴；(6) |ln |y x =与直线1e x =，e x =及x 轴. 2. 求下列图形的面积：(1) 抛物线22y px =(0p >)及其在点,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭处的法线所围成的图形； (2) 曲线e x y =与通过坐标原点的切线及y 轴所围成的图形.3. 求抛物线21y x =-+在(0,1)内的一条切线，使得它与两坐标轴及该抛物线所围成的图形的面积最小.4. 求下列曲线所围成的图形的面积： (1) 星形线33cos ,sin ;x a t y a t ⎧=⎨=⎩ (2) 心脏线(2cos cos 2),(2sin sin 2).x a t t y a t t =-⎧⎨=-⎩5. 设P 为曲线2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩ π02t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭上的一点，O 为坐标原点，记曲线与直线OP 及x 轴所围成的图形的面积为S .(1) 把y 表示成x 的函数，并求面积()S S x =的表达式；(2) 把S 表示成t 的函数()S t ，并求d d S t取得最大值时点P 的坐标. 6. 求下列曲线所围成的图形的面积：(1) 心脏线2(1cos )r a θ=- (0a >)；(2) 双纽线22cos 2r a θ=.7. 求下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：(1) 3cos r θ=及1cos r θ=+；(2) r θ=及2cos 2r θ=；(3) 22cos 2r θ=，2cos r θ=及1r =.8. 在双纽线24cos 2r θ=位于第一象限部分上求一点M ，使得坐标原点O 与点M 的连线OM 将双纽线所围成的位于第一象限部分的图形分为面积相等的两部分.9. 求下列各立体的体积：(1) 以椭圆域22221x y a b+≤ (0a b >>)为底面，且垂直于长轴的截面都是等边三角形的立体；(2) 由曲面222e x y z -+=与平面0x =，1x =所围成的立体.10. 求下列各旋转体的体积：(1) 抛物线2y x =与28y x =所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转所得的旋转体；(2) 曲线sin y x =，cos y x = π02t ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭与直线π2x =，0x =所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体； (3) 摆线(sin )(0)(1cos )x a t t a y a t =-⎧>⎨=-⎩的第一拱(02π)t ≤≤与x 轴所围成的图形绕直线2y a =旋转所得的旋转体.11. 用“薄壳法”求下列各旋转体的体积：(1) 由曲线2(1)y x x =-与x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体；(2) 由抛物线22y x x =-与直线y x =及x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得的旋转体.12. 求下列各旋转体的体积：(1) 抛物线y =(1,0)的切线及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体；(2) 抛物线y =(2,4)处的法线及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体.13. 设抛物线2y ax = (0,0a x >≥)与21y x =-的交点为A ，过坐标原点O 与点A 的直线与抛物线2y ax =围成一平面图形. 问a 为何值时，该图形绕x 轴旋转所得的旋转体体积最大？并求此最大体积.14. 求下列各旋转面的面积：(1) 立方抛物线3y x =介于0x =与1x =之间的一段弧绕x 轴旋转所得的旋转面；(2) 星形线222333x y a +=绕x 轴旋转所得的旋转面.15. 求抛物线y =x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的表面积.16. 计算下列各弧长：(1) 曲线2ln 42x x y =-相应于1e x ≤≤的一段弧； (2) 曲线ln(cos )y x =上从0x =到π4x =的一段弧；(3) 曲线y t =⎰的全长；(4) 曲线arctan x t =，2ln(1)2t y +=相应于01t ≤≤的一段弧； (5) 对数螺线2e r θ=上从0θ=到2πθ=的一段弧；(6) 曲线112r r θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭相应于13θ≤≤的一段弧. 17. 在摆线(sin )(0)(1cos )x a t t a y a t =-⎧>⎨=-⎩上求分其第一拱成1:3的点的坐标.18. 若1kg 的力能使弹簧伸长1cm ，现在要使这弹簧伸长10cm ，问需要做多少功？19. 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比. 在击第一次时，将铁钉击入木板1cm. 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等，问铁锤击第二次时，铁钉又被击入多少？20. 一蒸汽锅是旋转抛物面形状，开口朝上，口半径为R ，高为H ，其中盛满了密度为ρ的液体，问从锅中将液体全部抽出需做多少功？21. 有一水槽，其横截面为等腰梯形，两底的长分别为0.8m 和0.4m ，高为0.2m ，较长的底在上. 当盛满水时，求横截面上一侧所受的压力.22. 边长为a 和b 的矩形薄板(a b >)，与液面成α角斜沉于密度为ρ的液体内，长边平行于液面而位于深h 处. 试求薄板每面所受的压力.23. 一根长为l ，质量为M 的均匀细直棒，在棒的延长线上距棒右端点a 单位处有一质量为m 的质点，若将该质点沿棒的延长线从a 处移至b 处(b a >)，试求克服引力所做的功.24. 求一质量为M ，半径为R 的均匀半圆弧对位于其中心的质量为m 的质点的引力.。

高等数学c教材各章內容高等数学C教材各章内容高等数学C教材是大学数学专业必修课程之一，也是学习数学的基础。

它包含了多个章节，每个章节都涵盖了不同的数学概念和技巧。

下面将对高等数学C教材的各章内容进行介绍。

第一章导数与微分第一章主要介绍了导数与微分的概念和运算法则。

学习这一章的内容，我们可以了解到导数的几何意义和物理意义，可以计算各种类型函数的导数，掌握求导的基本规则，并能够利用导数解决实际问题。

第二章微分中值定理与导数的应用第二章主要讲解了微分中值定理和导数的应用。

通过学习这一章，我们可以了解到拉格朗日中值定理、柯西中值定理等微分中值定理的具体表述和应用场景。

在导数的应用方面，我们可以学习如何利用导数求函数的极值和最值，计算函数的曲率，解决相关最优化问题等。

第三章不定积分第三章主要介绍了不定积分的概念和性质，以及常见的求不定积分的方法。

学习这一章的内容，我们可以了解到不定积分的定义和基本性质，学会使用基本积分公式和换元积分法求解不定积分，还可以了解到分部积分法和有理函数的积分等特殊方法。

第四章定积分第四章主要讲解了定积分的概念、性质和计算方法。

通过学习这一章，我们可以了解到定积分的几何和物理意义，学习使用定积分求解曲线下面积、弧长、旋转体的体积等问题。

此外，我们还可以学习到变上限积分法、定积分的一些性质和常用公式。

第五章定积分的应用第五章主要介绍了定积分在几何、物理、概率等方面的应用。

在这一章节，我们可以学习到如何利用定积分计算平面曲线的弧长、曲率、曲边梯形的面积、球体的体积等问题。

同时，我们还可以了解到定积分在统计和概率领域中的应用。

第六章常微分方程第六章主要讲解了常微分方程的基本概念和解法。

通过学习这一章的内容，我们可以了解到常微分方程的基本定义、分类和初等解法。

此外，我们还可以学习到一阶线性微分方程、可降阶的高阶微分方程等特殊类型方程的解法，以及利用常微分方程解决相关实际问题的方法。

第七章多元函数微分学第七章主要介绍了多元函数的概念、偏导数和全微分等内容。