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解释定积分的概念
定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说，定积分定义如下：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ]，其中x₀=a，xₙ=b。
a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x
叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
同时，应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考，如需更多信息，建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
定积分的可积性和计算定积分是数学中的重要概念之一，它可以用于计算物理量、面积、体积等，并且也是微积分的重要部分。
在这篇文章中，我们将探讨定积分的可积性以及如何计算定积分。
一、定积分的可积性在计算定积分之前，我们需要知道一个重要的概念——可积性。
如果一个函数满足黎曼可积的条件，那么它就是可积的。
黎曼可积的定义是：如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有定义，并且满足以下条件：1. 在区间 [a,b] 上有限个点 x0,x1,x2,...,xn，且 ai<=xi<=bi(i=0,1,2,...,n)；2. 在每个小区间 [xi-1,xi] 上，函数 f(x) 都是有界的；3. 左、右 Darboux 和相等，即：对区间 [a,b] 上的任意分割P，有：upper sum S(P,f)=Σ<sup>n</sup><sub>i=1</sub>(x<sup>*</sup><sub>i</sub>-x<sup>*</sup><sub>i-1</sub>)sup f(x)≥ lower sum L(P,f)=Σ<sup>n</sup><sub>i=1</sub>(x<sup>*</sup><sub>i</sub>-x<sup>*</sup><sub>i-1</sub>)inff(x)=I其中，x<sup>*</sup><sub>i</sub> 是小区间 [xi-1,xi] 上的任一点。
如果函数 f(x) 满足上述条件，那么它就是可积的。
反之，如果不满足上述条件，则函数不可积。
第七章 定积分习 题 7.1 定积分的概念和可积条件1. 用定义计算下列定积分：⑴()ax b dx +⎰01;⑵a dx x 01⎰ (a >0).解 （1）取划分：11210<-<<<<n n n n ，及 ),,2,1(n i ni i ==ξ，则 n x i 1=∆，于是 )(2)11(21)(1∞→+→++=+∑=n b a b n a n b n i a ni ，即b adx b ax +=+⎰2)(1。
（2）取划分：11210<-<<<<n n n n ，及 ),,2,1(n i ni i ==ξ，则 n x i 1=∆，于是 )1()1(1111nnni nia n a a n a --=∑=。
因为 )(ln 111∞→→-n a na n，)(11∞→→n a n ，所以aa a n a a n an nni ni ln 1)1()1(1111-→--=∑=， 即 aa dx a x ln 110-=⎰。
⒉ 证明，若对[,]a b 的任意划分和任意∈i ξ[,]x x i i -1，极限∑=→∆ni i i x f 1)(lim ξλ都存在，则f x ()必是[,]a b 上的有界函数。
证 用反证法。
设∑=→∆ni i i x f 10)(lim ξλI =，则取0,1>∃=δε，对任意的划分P 与任意1[,]i i i x x ξ-∈，只要δλ<∆=≤≤)(max 1i ni x ， 就有1)(1+<∆∑=I x f ni i i ξ。
取定了划分后，n 与(1,2,)i x i n ∆=也就确定，如果f x ()在[,]a b 上无界，则必定存在小区间1[,]i i x x -，f x ()在1[,]i i x x -上无界。
取定111,,,,,i i n ξξξξ-+，必可取到i ξ，使 1)(1+<∆∑=I x f ni i i ξ 不成立，从而产生矛盾，所以f x ()必是[,]a b 上的有界函数。
⒊ 证明Darboux 定理的后半部分：对任意有界函数f x ()，恒有l i m ()λ→=0S P l 。
证 0>∀ε，因为l 是S 的上确界，所以 S ∈'∃)(P S ，使得 2)(0ε<'-≤P S l 。
设划分b x x x x a P p ='<<'<'<'=' 210:，m M ,是f x ()的上、下确界，取 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--'∆'∆'∆=))(1(2,,,,min 21m M p x x x p εδ ， 对任意一个满足δλ<∆=≤≤)(max 1i ni x 的划分b x x x x a P n =<<<<= 210:，记与其相应的小和为)(P S ，现将P P ,'的分点合在一起组成新的划分P ''，则由引理7.1.1，0)()(≤''-'P S P S 。
下面来估计)()(P S P S -''：（1）若在),(1i i x x -中没有P '的分点，则)(),(P S P S ''中的相应项相同，它们的差为零；（2）若在),(1i i x x -中含有P '的分点，由于两种划分的端点重合，所 以这样的区间至多只有1-p 个。
由δ的取法，可知 p j n i x x j i ,,2,1,,,2,1, =='∆≤≤∆δ，所以在),(1i i x x -中只有一个新插入的分点j x '，这时)(),(P S P S ''中的相 应项的差为)()]()([11----'-''+-''i i i j i i i j i x x m x x m x x m ))((1---≤i i x x m M δ)(m M -<， 从而 2))(1()()(0εδ≤--<-''≤m M p P S P S 。
综合上面的结论，就有)]()([)]()([)]([)(0P S P S P S P S P S l P S l -''+''-'+'-=-≤εεε=++<202，即l P S =→)(lim 0λ。
⒋ 证明定理7.1.3。
证 必要性是显然的，下面证充分性。
设 0>∀ε，存在一种划分P '，使得相应的振幅满足31εω<'∆'∑=pi i i x ，即3)()(ε<'-'P S P S 。
取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--'∆'∆'∆=))(1(3,,,,min 21m M p x x x p εδ ，对任意一 个满足δλ<∆=≤≤)(max 1i ni x 的划分b x x x x a P n =<<<<= 210:，现将P P ,'的分点合在一起组成新的划分P ''，则由Darboux 定理的证明过程，可得)]()([)]()([)]()([)]()([)]()([)()(0P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S P S -''+''-'+'-'+'-''+''-=-≤εεεε=++++<30303，由定理7.1.1，可知)(x f 在],[b a 上可积。
⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性：⑴ f x ()⎩⎨⎧=≠-=;0,0,0],[11x x x x⑵ f x ()⎩⎨⎧-=;,1,,1为无理数为有理数x x ⑶ f x ()⎩⎨⎧=;,,,0为无理数为有理数x x x⑷ f x ()⎩⎨⎧=≠=.0,0,0),sgn(sin x x x π 解：（1）0()1f x ≤<，且)(x f 在[0,1]上的不连续点为111,,,,23x n=与0x =。
0>∀ε，取定ε2>m ，)(x f 在区间]1,1[m上只有有限个不连续点，所以)(x f 在]1,1[m 上可积，即存在]1,1[m的一个划分P ，使得21εω<∆∑=ni i i x ，将P 的分点和0合在一起，作为[0,1]的划分'P ，则εεεωωω=+<'∆'+∆='∆'∑∑=+=2211111x x x ni i i n i i i ，由定理7.1.3，)(x f 在[0,1]上可积。
（2）因为对[0,1]的任意划分P ，总有 2=i ω，所以 21=∆∑=ni i i x ω，由定理7.1.2可知)(x f 在[0,1]上不可积。
（3）因为对[0,1]的任意划分P ，)(x f 在],[1i i x x -上的振幅为i x ，于是∑∑∑∑=-=--=-=-=-+≥-=∆n i i i ni i i i i ni i i i ni i i x x x x x x x x x x 1212111111)(21)(2)(ω 21)(21202=-=x x n ， 所以)(x f 在[0,1]上不可积。
（4）1()1f x -≤≤，且)(x f 在[0,1]上的不连续点为1111,,,,,23x n=与0x =。
0ε∀>，取定ε4>m ，则)(x f 在]1,1[m上只有有限个不连续点，所以)(x f 在]1,1[m 上可积，即存在]1,1[m 的划分P ，使得21εω<∆∑=ni i i x 。
将P 的分点与0合在一起作为[0,1]的划分'P ，则εεεωωω=+<'∆'+∆='∆'∑∑=+=2211111x x x ni i i n i i i ，所以)(x f 在[0,1]上可积。
6. 设f x ()在[,]a b 上可积，且在[,]a b 上满足0|)(|>≥m x f （m 为常数）， 证明)(1x f 在[,]a b 上也可积。
证 任取[,]a b 的一个划分：b x x x x a n n =<<<<=-110 ，则)(1))()((sup 1)(1)(1sup )1(2,2,11f mx f x f m x f x f fi x x x x x x x x i ii i i ωω=''-'≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''-'=≤'''≤≤'''≤--， 由于f x ()在[,]a b 上可积，0,0>∃>∀δε，当δλ<∆=≤≤)(max 1i ni x 时，εω21)(m x f n i i i <∆∑=，从而 εω<∆∑=ni i i x f 1)1(，所以)(1x f 在[,]a b 上可积。
7. 有界函数f x ()在[,]a b 上的不连续点为{}x n n =∞1，且lim n n x →∞存在，证明f x ()在[,]a b 上可积。
证 不妨设lim n n x →∞c =，且),(b a c ∈，并设 M x f ≤)(。
0>∀ε，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=c b a c M ,,12min εδ，则 0>∃N ，当N n >时，δ<-c x n 。
由于f x ()在],[δ-c a 和],[b c δ+上只有有限个不连续点，所以f x () 在],[δ-c a 和],[b c δ+上都可积，即存在],[δ-c a 的一个划分)1(P 和],[b c δ+的一个划分)2(P ，使得 3,3)2()2()1()1(εωεω<∆<∆∑∑ii i ii i x x 。
将)1(P 、)2(P 的分点合并在一起组成[,]a b 的一个划分P ，则 1ni i i x ω=∆≤∑εεεεδωω=++<+∆+∆∑∑3334)2()2()1()1(M x x ii i i i i ，所以f x ()在[,]a b 上可积。
c a =或c b =的情况可类似证明。
8．设)(x f 是区间],[b a 上的有界函数。
证明)(x f 在],[b a 上可积的充分 必要条件是对任意给定的0>ε与0>σ，存在划分P ，使得振幅εω≥i 的 那些小区间],[1i i x x -的长度之和∑≥<∆εωσi i x （即振幅不能任意小的那些小区间的长度之和可以任意小）。
