行列式计算的几种常用方法

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，是一种用于描述矩阵特征的数学工具。

在数学和工程领域中，行列式的计算是非常重要的，它与矩阵的性质及相关运算具有密切的关系。

本文将介绍关于行列式的几种计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和应用行列式。

一、行列式的定义在了解行列式的计算方法之前，我们首先来了解行列式的定义。

行列式是一个用方括号表示的数学量，它是一个矩阵所代表的线性变换对“面积”或“体积”的伸缩因子。

对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其中n表示方阵的阶数。

行列式的计算方法有很多种，下面我们将介绍其中的几种常见方法。

二、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种常见的行列式计算方法。

在使用拉普拉斯展开法计算行列式时，首先需要选择一个行或列，然后将行列式展开成以该行或列元素为首元素的一系列代数余子式的和。

具体步骤如下：1. 选择一个行或列，我们以第一行为例；2. 对第一行的每个元素，计算它的代数余子式，代数余子式的计算方法是去掉对应行和列的元素后计算得到的行列式；3. 计算每个元素的代数余子式，然后与对应元素相乘再相加，得到最终的行列式值。

对于一个3阶矩阵A```a b cd e fg h i```使用拉普拉斯展开法，选择第一行进行展开，计算行列式的方法如下：```det(A) = a*det(A11) - b*det(A12) + c*det(A13)```其中A11、A12、A13分别为：A11 =```e fh i```A12 =```d fg i```A13 =```d eg h```通过计算A11、A12、A13的行列式值，再按照上述公式计算，即可得到矩阵A的行列式值。

三、性质法行列式的性质法是一种简单而有效的计算方法，它是通过一些行列式的基本性质来简化和计算行列式的值。

行列式的基本性质包括以下几条：1. 对调行或列，行列式变号；2. 行或列成比例，行列式为0；3. 行列式中有两行、两列相同，行列式为0；4. 两行或两列互换，行列式变号；5. 行列式中某一行或列乘以一个数，等于这个数与行列式的乘积。

行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。

下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。

一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。

以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。

但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。

二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。

线性代数行列式计算方法总结1. 引言行列式是线性代数中的重要概念，用于描述线性方程组的性质以及向量空间的基本性质。

在实际应用中，行列式计算是非常常见的操作。

本文将总结常用的线性代数行列式计算方法，并通过具体的例子进行说明。

2. 行列式的定义行列式是一个将矩阵映射为一个标量的函数。

设A为一个n阶方阵，则其行列式记作|A|，它由元素a_ij组成的n×n矩阵所决定。

行列式的计算方法有多种，下面将介绍其中几种常用的方法。

3. 基本行列变换法基本行列变换法是求解行列式值的一种常见方法。

它包括以下三种基本行列变换：3.1 行交换行交换是将两行互换位置的操作。

当行交换次数为偶数次时，行列式的值保持不变；当行交换次数为奇数次时，行列式的值取负。

例如，对于一个3×3矩阵 A：A = [a b c][d e f][g h i]如果我们交换第一行和第三行，得到矩阵 B：B = [g h i][d e f][a b c]则有 |A| = -|B|。

3.2 行倍加行倍加是将某一行乘以一个非零常数，并加到另一行上去的操作。

行倍加不改变行列式的值。

例如，对于一个3×3矩阵 A：A = [a b c][d e f][g h i]如果我们将第一行的2倍加到第二行上，得到矩阵 C：C = [a b c][2a+e 2b+f 2c+f][g h i]则有 |A| = |C|。

3.3 行倍乘行倍乘是将某一行乘以一个非零常数的操作。

行倍乘改变行列式的值。

例如，对于一个3×3矩阵 A：A = [a b c][d e f][g h i]如果我们将第三行乘以2，得到矩阵 D：D = [a b c][d e f][2g 2h 2i]则有 |A| = 2|D|。

4. Laplace展开法Laplace展开法是求解行列式值的另一种常用方法。

它基于以下原理：设A是一个n阶方阵，将A的第i行第j列的元素记为a_ij，则A的行列式可展开为a_ij 与其余元素构成的n-1阶矩阵的行列式的代数余子式之和。

行列式计算方法1. 利用行列式的定义直接计算：适用于行列式中零比较多的情形．2. 化行列式为三角形行列式——初等变换法1） 保留某行（列）不动，将其它的行（列）分别乘上常数加到这一行（列）上。

2） 将某行（列）的倍数分别加到其它各行（列） 3） 逐行（列）相加4） 加边法——在原行列式的边上增加一行一列，使行列式级数增加1，但值不变。

例1 计算行列式121212nn n n a m a a a a m a D a a a m++=+3. 利用行列式展开定理。

适用于某行（列）有较多零的行列式．4. 其他方法（一）析因子法——利用多项式的性质例：计算221123122323152319x D x −=−解：由行列式定义知D 为x 的4次多项式．又，当1x =±时，1，2行相同，有0D =，1x ∴=±为D 的根．当2x =±时，3，4行相同，有0,2D x =∴=±为D 的根． 故D 有4个一次因式，1,1,2,2x x x x +−+− 设 (1)(1)(2)(2),D a x x x x =+−+− 令0,x =则 112312231223152319D ==−， 即，1(1)2(2)12.a ⋅⋅−⋅⋅−=− 3.a ∴=−3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=−+−+−（二）箭形行列式012111220000,0,1,2,3.00n n i n na b b b c a D c a a i n c a +=≠=解：把所有的第1i +列(1,2)i n = 的iic a −倍加到第1列，得：11201()ni in n i ib c D a a a a a +==−∑可转为箭形行列式的行列式：121111111)111na a a +++122)n a x x xa xx x a（第2至第n 行分别减去第1行，转为箭形行列式）（三）所有行（列）对应元素相加后相等的行列式()(1)1(1)11)(1)(1)1a b b a n b b b b bb a b a n b a b a ba nb b b a a n b b a b a+−+−==+−+−()111(1,2)00()(1)00i n b br r i n a b a b a n b a b −−=−=−+−−121231123123411341(1)2)211321132122211221nn n n n n n n n c c c n n n n n n n n n n n n −−++++−−−−−−−−−112211231*********(1)(1)11112201111111101111n n n n r r r r r r n nnnn n n n n n n n −−−−−−−−−++=−−−−11111(2,31)00(1)200i nr r i n n n n n n n −−=−−+−11211100(1)2n n nn n c c c n n−−++++−()(2)(1)3211(1)122(1)(1)(1)(1)(1)(1)()22n n n n n n nn nn n n n n n n τ−−+−+−−−−++=−−=−−−−(2)(#)(1)112122(1)(1)(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n −−−−−++=−−=−． （四）加边法（适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，可转为箭形行列式的行列式——加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会）1）1121221212,0nnnn n n a b a a a a b a D b b b a a a b ++≠+2）121212121200,00nn n n n n a a a a a a a a D a a a a a a a ++++≠++解：1)12112122121100n n n n n nn a a a a b a a D a a b a a a a b ++=++121121100(2,31)100100n i na a ab r r i n b b −−=+−−111211111(1).00(1,21)00ni ni ini n i i iina a ab ab b b bc b c i n b b =+=+=+++∑∑ 2)21121211111222122121111010(2,31)100100n n ni nn nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a r r i n D a a a a a a a a a a a a a a ++++−−−=+−−++−−++121211111122222212210000111101011120011020(3,42)112n n i nnnnnnn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a c c i n a a a a a a ++−−−−−−−=−−−−−=+−−−−12(3,42)1(1,2)2i j jc c i n c c j n a +=+−= 11211211111122112200200000200002n i i ni ni n n a n a a a a a a a ==−−−−−−−−∑∑122112,1111122(2)(2)[(2)]1122n ni i nn in n ni j ji i n a a a a a a a n a n a =−==−=−=−−−−∑∑∑（五）三角型行列式——递推公式法1）95004950049000950049n D =解：1112150049594920,549nn n n n c D D D D −−−−−=−按展开即有 11254(5)n n n n D D D D −−−−=−,or 11245(4)n n n n D D D D −−−−=−于是有 2221232154(5)4(5)4n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−= (6145)4,n −= 同理有 2221232145(4)5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D −−−−−−=−==−=−= 即 1111545445n n n n n n nn n D D D D D −++− −= ⇒=− −=（先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线性关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出D 的值）00010001002.0000001n a b ab a b ab a b D a b ab a b +++=++）解：21211221c ()()()n nn n n n n n D a b D abD D aD b D aD b D aD −−−−−−+−−=−==− 1按展开同理 211221()().n n n n n D bD a D bD a D bD −−−−−=−==− 而 2221,D a ab b D a b =++=+22221();n n n n D aD b a ab b a ab b −−∴−=++−−=22221().n n n n D bD a a ab b a ab a −−−=++−−= 由以上两式解得11(1)n n n n a b a bD a bn a a b++ −≠=− +=（六）拆项法（主对角线上，下元素相同）121)n na x a a a a x aD aaa x ++=+解：111222110000000000n n n n n x a a x aa a x aa x aa a x a a a x a D x D x a a aa x a aa a−−++++=+=+1211n n n x x x a x D −−+ 11221212323.n n n n n n n D x x x a x D x x x a x D −−−−−−−=+=+ 继续下去，可得111221*********.n n n n n n n n n D x x a x x x ax x x x ax x x ax x x x x D −−−−−=+++++ （21212D ax ax x x =++）121211221323()n n n n n n x x x a x x x x x x x x x x x x x −−+++++1212110(1)nn n n i ix x x D x x x a x =≠=+∑当时, 1）也可以用加边法做：1111010010n n naaa a a x ax D a a x x +−==+−，111101,2,000ni ii nna aa x x i n D x x =+≠==∑当时, 2）n a b b b c a bb Dc c ab cc ca=解：1101()011n n nc bb b ac b b bb b b ca b ba b b a b bD c a c D ccab c a b cab c c c a c c ac c a −−=+=+−11000()000n nb b b a bc a c D c b a b c bc b a b −−+−−−−−− 11()()n n c a b a c D −−−+− ① 000n b b b b a b c a b b c a b bD c c a b c c a bc c c a c c c a−=+ 又11111()n c a b bb a b Dc c a b c c c a−+− 11()()n n b a c a b D −−−+− ②a b a c ×−×−①（）-②()，得 ()()n n n c b D c a b b a c −=−−−()．1[()()]/[(1)]()n n n n n c b D c a b b a c c b c b D a n b a b −≠=−−−−==+−−当时，当时，（七） 数学归纳法（第一数学归纳法，第二数学归纳法）1）（用数学归纳法）证明：12121111111(1)111n n i na a D a a a a a ++==++∑证：当1n =时，111111(1)D a a a =+=+，结论成立． 假设n k =时结论成立，即1211(1)kk n i iD a a a a ==+∑ ，对1n k =+，将1k D +按最后一列拆开，得112211111011111110111101111011111111111111k k k k a a a a D a a a +++++++++1211101100111011111k k k a a a D a ++ 121k k k a a a a D ++121121211111(1)(1)kkk k k k i i i ia a a a a a a a a a a a ++==+⋅+=+∑∑所以1n k =+时结论成立，故原命题得证．2）证明：cos 10012cos cos 2cos 112cos n D n ααααα=证： 1n =时，1cos .D α=，结论成立． 假设n k ≤时，结论成立．当1n k =+时，1k D +按第1k +行展开得111cos 10012cos 2cos (1)2cos 2cos 112cos k kk k k k D D D D αααααα+++−=+−=−由归纳假设12cos cos cos(1)2cos cos cos k D k k k k αααααα+=−−=−2cos cos cos cos sin sin k k k αααααβ=−+ cos cos sin sin k k αααβ+cos(1)k α+于是1n k =+时结论亦成立，原命题得证．（八） 范德蒙行列式1）12222122221212111nnn n n n nnn nnx x x x x x D x x x x x x −−−=解：考察1n +阶范德蒙行列式12222212121111112121111()()()()()n n n i j j i nn n n n nnn nnnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤−−−−==−−−−∏显然D 就是行列式()f x 中元素1n x −的余子式.1n n M +，即,1,1n n n n n D M A ++==− （,1n n A +为代数余子式）又由()f x 的表达式（及根与系数的关系）知，()f x 中1n x −的系数为121()().n i j j i nx x x x x ≤<≤−+++−∏即， ,1121()()n n n i j j i nA x x x x x +≤<≤=−+++−∏121()()n n i j j i nD x x x x x ≤<≤∴=+++−∏2）2221212111nn n n nnx x x D x x x =解：考虑1n +级范德蒙行列式 12222212111112121111()n n n n n n n n n nn n x x x xx x x x g x x x x x x x x x −−−−=121()()()()n i j j i nx x x x x x x x ≤<≤=−−−−∏ 显然n D 就是行列式()g x 中元素的余子式2,1n M +，即32,12,1(1)n n n n D M A +++−，由()f x 的表达式知，x 的系数为23121211()()n n n i j j i nx x x x x x x x x x x −≤<≤−+++−∏即2,123121211()()()n n n n i j j i nA f x x x x x x x x x x x x x +−≤<≤−++++−∏2312121(1)()()n n n n n i j j i nD x x x x x x x x x x x ≤<≤∴=−+++−∏。

行列式的求法有多种，以下简单进行总结。

一、逆序定义法行列式的逆序法定义如下：1212121112121222(,,......,)12,,......,12(1)......n nnn nj j j j j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑这里，为的任一排列，为该排列的逆序数，求12,,......,n j j j 1,2,...,n 12(,,......,)n j j j τ和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有项，每项都是个数相乘，并得计算!n n 逆序数，计算量巨大。

因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少用于求行列式。

但是，如果行列式的项中有大量的0，那么用逆序法计算可能会很简单。

以下举例如下：例1：求。

1122nna a a 解答：1212121122(,,......,)12,,......,(1)......n nnj j j j j nj j j j nn a a a a a a τ=-∑只当，，……，，其项才可能非零。

因此，11j =22j =n j n =1122(1,2,......,)01,12,2,1,12,2,1,12,2,(1)......(1)............n n n n n n nnn a a a a a a a a a a a a τ=-=-= 例2、求。

12nd d d解答：12121212(,,......,)12,,......,(1)......n nnj j j j j nj j j j n d d a a a d τ=-∑只当，，……，，其项才可能非零。

因此，1j n =21j n =-1n j =。

1(1)2(,1, (1)21,2,1,112(1) (1)......n n n n n n n n nd d a a a d d d d τ---=-=-例3、求。

行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，它是一个方阵所具有的一个标量值。

计算行列式的过程中，可以使用几种不同的方法。

一种常见的计算行列式的方法是拉普拉斯展开法。

该方法通过选择一个行或列，将原始矩阵划分为较小的子矩阵，并依次计算这些子矩阵的行列式，然后将它们乘以适当的符号和系数进行求和。

该方法可以分为横向展开和纵向展开两种方式。

对于一个3阶矩阵，横向展开可以选择第一行进行展开，计算公式为：detA = a11 * det(A11) - a12 * det(A12) + a13 * det(A13)其中det(A11)、det(A12)和det(A13)分别表示A11、A12和A13的行列式，也是较小子矩阵的行列式。

另一种常见的计算行列式的方法是行变换。

行变换可以通过对矩阵进行一系列的操作来简化计算。

常见的行变换包括交换两行、将某一行乘以一个非零常数、将某一行的倍数加到另一行上。

通过行变换可以将矩阵转换为上三角矩阵，从而简化计算行列式的过程。

对于一个n阶矩阵，行变换的过程可以表示为：其中s表示进行了多少次行交换。

还可以使用行列式的性质和定义来计算行列式。

行列式的定义是一个递归的过程，对于一个2阶矩阵，它的行列式公式为：对于一个n阶矩阵，可以使用行列式的性质，如行列式的相加性和相差性、行列式的倍数以及行列式的性质和定义来计算行列式。

这种方法适用于较小的矩阵，对于较大的矩阵可能计算量较大。

还存在其他一些特殊的方法来计算特定类型的矩阵的行列式，如对称矩阵的特征值法、三对角矩阵的递推法等，这些方法在特定情况下可以更加高效地计算行列式。

计算行列式的方法有拉普拉斯展开法、行变换、行列式的性质和定义，以及特定类型矩阵的特殊方法，根据实际需求选择合适的计算方法可以更加高效地计算行列式。

行列式的计算方法1 引言行列式的计算是《线性代数》和《高等代数》的一个重要内容．同时也是工程应用中具有很高价值的数学工具，本文针对几种常见的类型给出了计算行列式的几种典型的方法．2 一般行列式的计算方法2.1 三角化法利用行列式的性质把原来的行列式化为上(下)三角行列式，那么，上(下)三角行列式的值就是对角线各项的积．例 1 计算行列式12311212332125113311231 ------=n n n n n nn n n n D对这个行列式的计算可以用三角化方法将第1行乘以(-1)加到第2,3,n 行，得0001002000200010001231 ---=n n n n D再将其第1,2,1, -n n 列通过相邻两列互换依次调为第n ,,2,1 列，则得102001321)1(2)1(--=-n n D n n=)!1()1(2)1(---n n n2.2 加边法有时为了便于计算行列式，特意把行列式加边升阶进行计算，这种方法称之为升阶法．它的一般方法是：nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D 321333323122322211131211==nnn n n n na a ab a a a b a a a b 212222121121110001(n b b b ,,21任意数)例如下面的例题： 例2 计算行列式nn a a a a D ++++=11111111111111111111321现将行列式n D 加边升阶，得na a a D +++=111011101110111121第1行乘以(-1)加到第1,3,2+n 行，得na a a D10001001001111121----=第2列乘以11a 加到第1列，第3列乘以21a 加到第1列，依次下去直到第1+n 列乘以n a 1加到第1列，得)11(00011111121211∑∑==+=+=ni in nni ia a a a a a a a D2.3 降阶法利用按一行(列)展开定理或Laplace 展开定理将n 阶行列式降为阶较小且容易计算的行列式来计算行列式的方法称为降阶法． 例 3 计算nD 222232222222221=解 首先我们应考虑D 能不能化为上(下)三角形式,若将第一行乘以(-2)加到第n ,3,2 行，数字反而复杂了，要使行列式出现更多的“0”，将D 的第一行乘以(-1)加到第第n ,3,2 行，得2001010100012221-=n D这样仍然不是上（下）三角行列式，我们注意到，第二行除了第一项是1，后面的项全是0，这样我们按第二行展开，降阶得到：201222)1(21--=+n D)!2(2--=n2.4 对于所谓二条线的行列式，可直接展开降阶，再利用三角或次三角行列式的结果直接计算. 例4 计算行列式nnn n n a b b a b a b a D 112211--=解 按第1列展开，得11221111221)1(--+---+=n n n n nn n n b a b ab b a b a b a a Dn n n b b b a a a 21121)1(+-+=2.5 递推法通过降阶等途径，建立所求n 阶行列式n D 和比它低阶的但是结构相同的行列式之间的关系，并求得n D 的方法叫递推法．当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用递推法．例 5 计算n 级行列式 2112000002100012100012------=n D 对于形如这样的三角或次三角行列式，按第1行(列)或第n 行(列)展开得到两项的递推关系式，再利用变形递推的技巧求解．解 按第1行展开，得210120000012000011)1)(1(2211-------+=+-n n D D212---=n n D D 直接递推不易得到结果，变形得1221121232211=---=-==-=-=------D D D D D D D D n n n n n n于是 1)1(2)1(21121+=-+=-+==+=+=--n n n D D D D n n n例6 计算n 2级行列式nnn n n n nnn d c d c d c b a b a b a D 111111112----=对于形如这样的所谓两条线行列式,可直接展开得到递推公式． 解 按第1行展开，得)1(1111111121111111112nn n n n nn n n n n nn c d c d c b a b a b d c d c b a b a a D ----+-----+=1111111111111111---------=n n n n nn n n n n nn d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a)1(2)(--=n n n n n D c b d a)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D)2(21111))((-------=n n n n n n n n n D c b d a c b d a)())((11111111c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ---=----2.6 连加法 例 7 计算mx x x x m x x x x m x D n n n n ---=212121这种行列式的特点是：各行元素之和都相等.先把第2列到第n 列元素同时加到第1列，并提出公因式，得mx x x m x x x m x D n n n ni i n ---=∑=2221111)(然后将第1行乘以(-1)加到第n ,3,2行，得mm x x m x D n ni i n ---=∑=001)(21)()(11m x m ni i n --=∑=-2.7 乘积法根据拉普拉斯定理,所得行列式乘法运算规则如下：nnn nnn n n nn n n c c c c b b b b a a a a 111111111111=⋅ (其中tj ni it ij b a c ∑==1)两个行列式的乘积可以像矩阵的乘法一样来计算,假若两个行列式的阶数不同，只要把它们的阶数化为相同就可以应用上面的公式了．这种方法的关键是寻找有特殊结构的已知行列式去乘原行列式，从而简化原行列式的计算,这也是较为常用的方法．例 8 计算行列式 ab c db a dc cd a bd c b aD =解 取行列式 1111111111111111------=H显然 0≠H ,由行列式的乘法规则：=DH ⋅ab c d ba d c c d a bd c b a 1111111111111111------ H d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a ))()()()((+---+--++--++++=等式两边消去,H 得=D ))()()()((d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a +---+--++--++++2.8 对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法． 例 9 计算n 阶行列式βαβααββααββα++++=1010001000 n D解 按第1行展开，得21)(---+=n n n D D D αββα即 )(211----=-n n n n D D D D αβα由此递推，即得 nn n D D βα=--1因为n D 中αβ与对称，又有 nn n D D αβ=--1当 βα≠ 时，从上两式中消去1-n D ，得 11n n n D αβαβ++-=-当 βα= 时，1-+=n nn D D ββ)(21--++=n n n D ββββ 222-+=n n D ββ11)1(D n n n-+-=ββ )()1(1βαββ++-=-n n nnn β)1(+= 2.9 数学归纳法当n D 与1-n D 是同型的行列式，可考虑用数学归纳法． 例 10 计算n 级行列式ααααcos 2100cos 210001cos 210001cos =n D解 当2=n 时，ααcos 211cos 2=D αα2cos 1cos 22=-=结论成立，假设对级数小于n 的行列式结论成立，则n D 按第n 行展开，得21cos 2---=n n n D D D α由假设αααααααsin )1sin(cos )1cos(])1cos[()2cos(2-+-=--=-=-n n n n D n代入前一式，得]sin )1sin(cos )1[cos()1cos(cos 2αααααα-+---=n n n D nαααααn n n cos sin )1sin(cos )1cos(=---=故对一切自然数n ，结论成立．2.10 拆项法这是计算行列式常用的方法．一般地，当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例 11 在平面上，以点),(),(),(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------，，为顶点的三角形面积D S =，其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= )1()1()1()1()1()1(11121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x )1()1()1()1()1()1()1()1()1(21323222121332211332211------+--+--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x解 第1行拆为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D32112132332121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x +-------=232221321111x x x x x x )]1)(1)(1([))()((21321321121323----⋅---=x x x x x x x x x x x x 3 分块矩阵行列式的计算方法我们学习了矩阵的分块，知道一个矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00通过分块若能转化成对角矩阵或上（下）三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C A 0，那么行列式B A B C A B A ⋅==000，其中B A ，分别是r s ，阶可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，0是n s ⨯阶矩阵．可以看出，这样可以把r s +阶行列式的计算问题通过矩阵分块转化为较低阶的s 阶和r 阶行列式计算问题，下面先根据上面的途径给出计算公式．设矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B C D A b b c c b b c c d d a a d d a a G rr r rsr r s sr s ss s r s 1111111111111111其中B A ，分别是s 阶和r 阶的可逆矩阵，C 是s r ⨯阶矩阵，D 是r s ⨯阶矩阵，则有下面公式成立． C DB A B BCD A G 1--⋅==或C DA B A BCD A G 1--⋅==下面推导公式，事实上，当0≠A 时，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D BCA D A B C D A E CA E 1100 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡---B C C DB A B C D A E DB E 0011 上面两式两边同取行列式即可得出上面的公式．例 12 计算 8710650143102101=D这道题的常规解法是将其化为上三角行列式进行计算，若用前面介绍的公式则可以直接得出结果．令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=8765B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001C ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321D 则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001'A ，由公式(1) 知原行列式D CA B A BCD A 1--⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=43211001100187651001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=432187651 4444==0这个题还有个特点，那就是C A =，如果我们把公式变形，即D CA B A BCD A 1--⋅=D ACA AB D CA B A 11)(---=-=当C A =时，D ACA AB 1--CD AB D CAA AB -=-=-1，所以当C A =时，我们有CD AB BCD A -=，这样例题就可以直接写出答案了．参考文献:[1] 北京大学数学系，高等代数[M] (第三版)．北京：高等教育出版社，2003，9．[2] 张禾瑞，高等代数[M] (第四版)．北京：高等教育出版社，1997．[3] 丘维生，高等代数[M]．北京:高等教育出版社，1996，12．[4] 杨子胥，高等代数[M]．山东：山东科学技术出版社，2001，9．[5] 王萼芳，高等代数题解[M]．北京：北京大学出版社，1983，10．[6] Gelfand I M, Kapranov M M and Celvinskij A V. 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关于行列式的计算方法行列式是线性代数中非常重要的一个概念，它在矩阵和线性方程组的求解中都有广泛的应用。

本文将介绍关于行列式的定义、计算方法及其性质，以及一些常用的行列式计算技巧。

一、行列式的定义行列式是一个方阵（只有行数和列数相等的矩阵才有行列式）所具有的一个确定的数值。

对于一个n阶的方阵，其行列式记作det(A)，其中A 表示矩阵。

行列式的计算方法主要有三种：代数余子式法、按行（列）展开法和逆序数法。

二、代数余子式法对于一个n阶方阵A，它的第i行第j列元素的代数余子式表示为Mij，定义为：将A的第i行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的n-1阶方阵的行列式。

即：Mij = det(Aij)其中Aij表示由第i行和第j列元素删去后所得到的(n-1)阶方阵。

根据代数余子式的定义，行列式的计算可以通过以下公式进行求解：det(A) = a11M11 - a12M12 + a13M13 - ... + (-1)^(i+j)aijMij + ...其中a11,a12,a13,...是第一行元素，M11,M12,M13,...是它们对应的代数余子式。

三、按行（列）展开法按行（列）展开法是行列式计算中最常用的一种方法。

对于一个n阶方阵A，选择其中任意一行或者一列，然后按照一定规律展开计算。

以按第一行展开为例，按照以下规律进行展开：det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + ... + a1nC1n其中Cij表示第一行第j列元素aij的余子式，定义为：将A的第一行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的(n-1)阶方阵的行列式。

将Cij的计算公式中的行列式再按行（列）展开，可以得到更小阶的余子式，直到降阶为2阶方阵时，余子式的计算直接是两个元素之差。

四、逆序数法逆序数法是行列式计算中的另一种方法。

对于一个n阶方阵A，按照以下步骤进行计算：1.首先，将方阵A展开至最小的单位（1阶方阵）。

行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。

目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。

1.对角线法则此法则适用于计算低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即主对角线的元素的乘积减去辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想是根据2阶，3阶行列式的定义计算行列式的值。

2.化为三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值上（下）三角形行列式及其值（1）上三角形行列式为D=|■(■(a_11&a_12@0_ &a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|D=|■(■(a_11&a_12@0_&a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|=|■(■(a_11&0&0@a_21&a_22&0@a_31&a_32&a_33 )&■(⋯&0@⋯&0@⋯&0)@■(⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&a_n3 )&■(⋮&⋮@⋯&a_nn ))| = a_11 a_12⋯a_nn即上（下）三角形行列式的值等于主对角线上的元素的乘积。