行列式计算的若干种方法讲解

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A •=0， nn nn nnnn nn B A B C A •=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa a a n ()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D =.再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n=.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9； 当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ. 即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n a a a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D=n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。

行列式的计算方法介绍7种常用方法1 三角化方法：通过行列初等变换将行列式化为三角型行列式.例1 计算n+1阶行列式xa a a a a x a a a a x D nnn32121211=+2 把某一行（列）尽可能化为零 例2 计算：yy x x D -+-+=222222222222222243 递归法（数学归纳法）：设法找出D n 和低级行列式间的关系，然后进行递归.例4 证明：βαβαβαβααββααββα--=++++=++1110000010001000n n n D例5 证明范德蒙行列式（n ≥2）∏≤<≤-----==nj i jin nn n n n nn x x x x x x x x x x x x x x V 111312112232221321)(11114 加边法：对行列式D n 添上一适当行和列，构成行列式D n+1，且D n+1=D n 例6 证明：)11(11111111111111111111121321∑=+=++++=ni in nn a a a a a a a a D5 拆分法：将行列式表为行列式的和的方法.即如果行列式的某行（或列）元素均为两项和，则可拆分为两个行列式之和 例7 设abcd=1,求证：011111111111122222222=++++ddd d c c c c b b b ba a a a6 利用行列式的乘积：为求一个行列式D 的值，有时可再乘上一个适当的行列式∆；或把D 拆分为两个行列式的积. 例8（1）1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1)cos()cos()cos()cos(1121332312322113121n n n n n n D αααααααααααααααααααααααα------------=（2）设S k =λ1k +λ2k +⋯+λn k (k=1,2…),求证：∏≤<≤-+-+--=nj i j in n nn n nn s s s s s s s s s s s s s s s n 1222111432321121)(λλ7 利用拉普拉斯定理求行列式的值.拉普拉斯定理是行列式按某一行（或列）展开定理的推广.定义(1) 在n 阶行列式D 中，任取k 行k 列 (1≤k ≤n),位于这k 行k 列交叉处的k 2个元素按原来的相对位置组成的k 阶行列式S ，称为D 的一个k 阶子式.如：D=3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261 在一个n 阶行列式中，任取k 行，由此产生的k 阶子式有C kn 个.(2) 设S 为D 的一个k 阶子式，划去S 所在的k 行k 列，余下的元素按原来的相对位置组成的n-k 阶行列式M 称为S 的余子式.又设S 的各行位于D 中的第i 1,i 2…i k 行，S 的各列位于D 中的第j 1,j 2…j k 列，称A=(-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)M.如：3751485210744621则D 的一个2阶子式为：S=8261M=3517为S 的2阶子式 M=（-1）（1+3）+（1+3）3517为S 的代数余子式.拉普拉斯定理:若在行列式D 中任取k 行 (1≤k ≤n-1)，则由这k 行所对应的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积等于D. 例9 计算2112100012100012100012=D 例10 块三角行列式的计算 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A *0或 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯n n m m C B A 0* 则：detA=(detB)(detC).特别地：若A=diag(A 1,A 2,…,A t ),则DetA=(detA 1)(detA 2)…(detA t ).例11 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=D C B A 0，其中0为零阵，B和D可逆，求A-1.例12 计算nn b b b a a a D 1001000102121 =例13 设：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C B A , BC T =0.证明：|AA T |=|BB T ||CC T |.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

行列式的几种计算方法
空格
行列式是线性代数的基本概念，它具有重要的应用价值。

它的计算方法也有很多，下面主要介绍几种行列式计算的方法。

一、展开式法
把行列式的每一行的元素乘以其所在的代数余子式的值，再将所有的积相加，得到的结果就是行列式的值。

这种方法理论上可以计算任何n阶的行列式，但当n阶较大时，展开比较繁琐，耗时也较长。

二、余子式法
计算第i行列式的方法是：取行列式的第i行，取其余行，去掉第i列，再找出这些行的代数余子式，再将每一行所对应的代数余子式乘以该行第i位置上的元素，再将所有的乘积之和，得到的结果就是行列式的值。

三、乘法法
若用行列式的乘法法来计算三阶行列式，则将行列式的三行分别乘以它们的代数余子式，将结果相加。

其中要用到符号乘，只要熟悉符号乘的规则，就可以简单地进行计算。

四、分块法
分块法是将行列式分解成几个临时的小行列式，再用余子式或展开式算出小行列式的值，再将小行列式的值按一定的规则组合起来，就得到原行列式的值了。

分块法优点是计算过程不复杂，缺点是分解成的小行列式的值计算比较复杂。

五、行变换法
用行变换法计算行列式的方法是：先将行列式的几行或几列进行线性变换，使行列式某一行或某一列为0，再将变换后的行列式化简为方阵或三角阵，再求解，之后再换回原行列式，则可以得出原行列式的值。

以上就是常用的几种行列式计算方法，不同的方法各有优劣，使用者可根据具体情况选择合适的方法用于行列式计算。

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0， nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn nnb a a a a a b a a a a ++=+KM O M M M K K 21211211n 111D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 000n n na a ab b b b b +==KK M M M O M K.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n nn n ---=ΛM O M M ΛΛ212121. 解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===ΛM O M MΛΛ212121n Dmx x x m x x x m x n n n n i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=ΛM O M M ΛΛ2221111mm x x m x n n i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=ΛM OM M ΛΛ0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m n i i n 11. 2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn ΛM M O M M M ΛΛΛ. 解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111*********D n ---------=ΛM M O M M M ΛΛΛn n 1111120022200021321----=ΛM M O M M M ΛΛΛn n 0111100011000011132122ΛM M O M M M ΛΛΛ+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211ΛΛM M O M M MΛMΛn n a a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n ΛΛM M O M M M ΛΛΛ ()()()()()n n n a a a n a a a n ΛΛ21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a x x x x n n nKKM M O M M M O K K -----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211K .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++=Λ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nnnn nnB A BC A •=0， nn nn nnnnnn B A B C A •=0. 例7 解行列式γβββββγββββγλΛMO M M M M ΛΛΛb bbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=ΛM O M M M M ΛΛΛ00000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=ΛM O M M M M ΛΛΛ00000021n b a a aa n ()()βγβγβγλ--•-+-=ΛMO M M Λ000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110ΛΛM M O M M M ΛΛΛ. 解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D ΛΛM M OM M M ΛΛΛ=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------ΛΛM M O M M M ΛΛΛ. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：10010000010000011111)1n D ------=ΛΛM M O M M M ΛΛΛ（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=n D . 解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ΛM O M M M ΛΛΛ•-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11ΛM O M M M ΛΛΛβββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n ΛΛM M M O M M M M ΛΛΛ=.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221ΛΛM M O M M M ΛΛΛ.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-110010000001100001010001D 133221ΛΛM M O M M M ΛΛΛ .1101000001100010000110001000001100011000113322113322nnn nn n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--ΛΛM MO M M M ΛΛΛΛΛM M O M M M ΛΛΛ上面第一个行列式的值为1，所以nnn n a a a a a a a ------=-11001000010011D 13321ΛΛM M O M MΛΛ 111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a ΛΛΛ2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ.故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλΛ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλΛ21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλΛ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλΛ21=，则A 可逆()n i i n ΛΛ2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n nn a a a a a a a a a a M OKK K 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a ΛO M M M 321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a OM Λ2211210，nnnc a c a c a a b b b M N Λ2211012，nnn b b b a a c a c a c ΛNM 2101122，121122a b b b c a c a c a nn nΛMO这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321OM Λ，其中.,2,1,0n i a i Λ=≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i Λ=列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321OM Λ nni ia a a a a 00011113221OM Λ∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321Λ. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n nn b b b a a c a c a c ΛNN 2101122，nn n a b c a b c a b c a OO2221110，n n nc a c a c a a b b b N N Λ2211012，0111222a c b a c b a c b a n n n OM O ，1021122c a c a b a b c a b nn n NN M ，n nna c a c a cb b b a O OΛ2211210，0121122a b b b c a c a c a nn nΛO O，nnn b a b c b a b a c a c 12211201NN 这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+M NN M NN .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑MN MN()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a ΛΛM M M M MΛΛ00000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a ΛΛM M M M MΛΛ000000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()122111221100010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D ΛM O M M ΛΛΛΛM O M M Λ()n n n b b b a a a ΛΛ211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab b a ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000ΛΛM M O M M M M M ΛΛΛ 这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab b a ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D ΛΛM M O M M M M M ΛΛΛ. 解：按第一列展开，得()ba ab b a b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-10000010000100000D 1ΛΛM M O M M M ΛΛΛ ()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322Λ.故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121ΛΛn n n n b ab b a a ++++=--11Λ.4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n n n a a a a a a a a a a a a ΛM O M M M ΛΛΛ这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a ΛM O M M M ΛΛΛ. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=n . 分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n Λ. ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D ΛΛ()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ.故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.。

行列式的计算技巧与方法总结讲解行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n n n i i --?-=∑=2221111mm x x m x nn i i --??? ??-=∑= 0000121()??? ??--=∑=-m x m n2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ?=0， nn nn nnnn nn B A B C A ?=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：00100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ?-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠?，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=?，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB AD ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--?+?=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j ix x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠?≠?≠?λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b n nn，n n n a c a c a c b b b a 2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()??+--?-=∑=+ni i nn n b 121111()()+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．。

行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、方程组求解、向量空间等许多领域都有广泛的应用。

计算行列式的方法有很多种，下面我们来总结一下常见的计算行列式的方法。

1.代数余子式法：代数余子式法是计算行列式的一种经典方法。

对于n*n阶行列式A，可以按照第一行（或第一列）的元素展开得到n个代数余子式，然后按照代数余子式定义计算行列式。

具体步骤如下：（1）选择行列式A的第一行（或第一列）的所有元素，记作a11,a12,...,a1n。

（2）计算n个代数余子式，第i个代数余子式记作A(i,1)（或A(1,i)）。

A(i,1)等于元素a1i所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。

（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素a1i的乘积之和：det(A) = a11*A(1,1) - a12*A(2,1) + a13*A(3,1) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*A(n,1)。

2.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法也是计算行列式的一种常用方法。

具体步骤如下：（1）选择行列式A的其中一行（或其中一列），记作第k行（或第k列）。

（2）计算代数余子式，第i行第j列元素所对应的代数余子式记作A(i,j)（或A(j,i)）。

A(i,j)等于元素aij所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。

（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素aij的乘积之和：det(A) = a1k*A(1,k) - a2k*A(2,k) + a3k*A(3,k) - ... + (-1)^(k+1)*ank*A(n,k)。

3.克莱姆法则：克莱姆法则是计算线性方程组的一个重要方法，也可以用来计算行列式。

对于n个未知数的n个线性方程组Ax = b，其中A是一个n*n阶矩阵，x和b都是n维列向量。

如果矩阵A是非奇异的（即行列式det(A)≠0），则可以用克莱姆法则求解方程组。

具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵A按列分成n个子矩阵A1,A2,...,An，其中第i个子矩阵Ai将系数矩阵A的第i列替换为等号右边的向量b。

行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。

下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。

一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。

以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。

但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。

二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。

线性代数行列式求解的技巧行列式是线性代数中的一个重要概念，它可以用于求解线性方程组的解、判断矩阵是否可逆等问题。

行列式的计算通常使用展开法、性质法等多种方法，以下是一些行列式求解的技巧。

1. 展开法展开法是求解行列式的一种常用方法，其基本思想是通过将行列式展开为一系列子行列式的和来计算。

行列式的展开可以按照某一行或某一列进行展开，通常选择具有最多零元素的行或列进行展开可以减少计算的复杂度。

例如，对于一个3阶行列式：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|我们可以选择第一行或者第一列进行展开，以第一列为例：A = a11|a22 a23| - a21|a12 a13| + a31|a12 a13||a32 a33| |a32 a33| |a22 a23|展开后的每一项都是一个2阶子行列式，可以通过直接计算或继续展开来求解。

展开法的优点是较为直观，但当行列式阶数较高时计算量巨大，不适合大规模行列式的计算。

2. 元素对应法则行列式的元素对应法则指的是对于一个n阶行列式，其每一项的元素都来自于不同行不同列的n个元素的乘积。

在计算中，可以通过指定元素的位置来构造行列式。

例如，对于一个3阶行列式：A = |a11 a12 a13||a21 a22 a23||a31 a32 a33|其中，a11来自于A的第一行第一列，a22来自于A 的第二行第二列，a33来自于A的第三行第三列。

通过这种方法，可以方便地构造行列式并进行计算。

3. 行变换法行变换法是求解行列式的一种简化计算的方法，通过对行进行一系列变换，将行列式化为三角形式或对角形式，从而简化计算。

常用的行变换包括行列式的行交换、行乘法、行加法等。

行交换可以通过直接交换行的位置得到，行乘法可以将某一行的元素乘以一个常数，行加法可以将某一行的元素乘以一个常数后加到另一行，行变换不改变行列式的值。

通过行变换后，可以使行列式的某些元素为零，使得计算行列式的展开或使用性质更加方便。

行列式计算方法解析1.化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。

三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号。

例1计算N 阶行列式ab bb a b b b aD n=解()[]abb a bb b n a Dn1111-+=()[]ba b a b b b n a ---+=0011()()11n a n b a b -=+-⎡⎤⎣⎦-2.利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n 阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。

例2 计算n 阶行列式n ab b ca b ccaD =，其中0,≠≠bc c b解 将n D 的第一列视为（a-c ）+c,0+c,……,0+c,据行列式的性质，得0000n a c c b b a c b b c b b c a b a b c a b cca ca ccaD -+-+==++()()11n n n a c c a bD D --∴=-+- (1)由b 与c 的对称性，不难得到()()11n n n a b b a c D D --=-+- (2)联立（1），(2）解之，得()()()1n nn b c b c a c a b D -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦---例3 计算n 阶行列式00010001000000n a b ab a b ab a b a b ab a bD +++=++解 将n D 按第一行展开，得()11000000001n n ab a b a b ab a bab a bD D -+=+-++于是得到一个递推关系式 ()12n n n a b ab D D D --=+-，变形得()112n n n n b a b D D D D ----=- ，易知()()2312334n n n n n n b b b D D D D DD aa------=-=-()()()22212n n n b ab b a b a b D D aaa --⎡⎤==-==⎢⎥⎣⎦--++所以 1nn n b D D a -=+，据此关系式再递推，有()11222nn n n n n n bb b ba aa a D D D ----=++=++1122111n n n n n n n n b b a a a a b b a a b b D -----==++++=++++如果我们将 n D 的第一列元素看作a+b,1+0,……0+0,按第一列拆成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式1nn n b D D a -=+，同样可n D 的值。

行列式计算方法行列式的计算是线性代数中的重要内容，有以下几种常用的方法：1. 代数余子式法：给定一个n阶矩阵A，取A的第i行第j列元素a_ij为基准，计算它的代数余子式A_ij的值。

代数余子式的定义是，在A中划去第i行和第j列后，剩余元素构成的(n-1)阶子矩阵的行列式。

然后，根据代数余子式的符号规律，求得A_ij*(-1)^(i+j)，再将所有的代数余子式乘以对应位置的元素，再求和即可得到行列式的值。

2. 拉普拉斯展开法：选择A的任意一行或一列，例如第i行，根据拉普拉斯展开定理，将行列式的计算转化为n个(n-1)阶行列式的计算，然后依次递归地计算(n-1)阶行列式，最后累加得到行列式的值。

3. 对角线法则：对于一个n×n的矩阵A，按照对角线上的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加，再减去按照对角线下方的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加。

这个过程可以用一个式子来表示：det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_21 * a_32 * ... * a_n1。

4. 公式法：对于一个3阶矩阵A，可以利用公式来计算行列式的值。

行列式的计算可以表示为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33+ a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32 - a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_12。

对于4阶及以上的矩阵，复杂度较高，通常情况下不会直接使用公式法计算，而是选择其他方法。

以上是几种常用的求行列式的方法，不同的方法适用于不同的情况，在实际计算中可以根据需要选择合适的方法来求解。

求解行列式的几种特殊方法
1.滚动消去法当行列式每两行的之比较接近时，可采用让临近的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法可称之为滚动消去法。

例1：
2.加边法将n阶行列式补上一行和一列变为n+1阶行列式，再利用有关性质求取结果。

例2：
3.递推降级法 如果一个行列式在元素分布上比较有规律，可设法找出n 阶行列式n D 与与较低阶行列式的关系。

a ）如果n 阶行列式满足关系式：10n n aD bD c -++=，一般通过寻找n D 与1n D -的关系，形成以n D 、1n D -为未知量的二元一次方程组，求得n D 。

b ）如果n 阶行列式满足关系式：120n n n aD bD cD --++=，则作特征方程20ax bx
c ++=。

i ）若特征方程的判别式∆≠0，则特征方程有两个不相等的根： 1x ，2x ，则
1
1
1
2
n n n D A x B x --=+。

其中A ，B 为待定系数，令n=1,2，求出A,B 。

ii ）若特征方程的判别式∆=0，则特征方程有两个相等的根1x ，2x ，则1
1
()n n D A nB x -=+其中A ，B 为待定系数，令n=1,2，求出A,B 。

例3：。

行列式的多种计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，常用于表示线性方程组的性质和解的情况。

本文将介绍行列式的多种计算方法，包括定义法、按行展开法、秩法、特殊行列式计算法以及Laplace展开法。

一、定义法行列式的定义法是最基本也是最直观的计算方法。

对于二阶行列式，定义为：abcd行列式的值等于对角线上元素的乘积减去反对角线上元素的乘积，即ad-bc。

对于高阶行列式，可以通过对行列式进行展开，将矩阵分解成若干个二阶行列式，然后递归地计算这些二阶行列式的值，最终得到整个行列式的值。

二、按行展开法按行展开法是一种递归计算行列式的方法。

对于n阶行列式，可以通过展开第一行或第一列得到：a11a12 (1)a21a22 (2)............an1 an2 ... ann按照第一行展开：det(A) = a11 * det(A11) - a12 * det(A12) + a13 * det(A13) - ... + (-1)^(1+n) * a1n * det(A1n)其中Aij是删除第i行第j列后剩下的(n-1)阶行列式。

通过递归计算子行列式的方法，可以得到整个行列式的值。

三、秩法秩法是一种基于线性方程组的计算方法。

对于n个未知数的线性方程组，可以写成矩阵形式AX=B，其中A是一个n×n的矩阵，X和B都是n 维向量。

如果A的行列式非零，方程组有唯一解；如果A的行列式为零，则方程组无解或者有无穷多解。

所以，通过计算矩阵A的行列式，可以判断线性方程组的解的情况。

具体计算方法是将A进行行变换，化为上三角矩阵，然后将对角线上的元素相乘即得行列式的值。

四、特殊行列式计算法对于一些特殊的行列式，可以使用简便的计算方法。

例如，对于单位矩阵I，其行列式的值为1、对于对角矩阵D，其行列式的值等于对角线上元素的乘积。

对于三角形上下边对称的矩阵，其行列式的值为对角线元素与次对角线元素的乘积之差。

五、Laplace展开法Laplace展开法是一种递归计算行列式的方法。

计算行列式的方法有多种，其中最常见的是以下几种：
拉普拉斯展开法：
适用于任意大小的矩阵。

根据矩阵的某一行或某一列展开，将行列式转化为更小规模的子行列式，然后递归地计算子行列式，直到变为2阶行列式为止。

三角行列式法：
适用于上三角或下三角矩阵。

将上三角矩阵的对角线元素相乘，得到行列式的值。

下三角矩阵的行列式计算方式类似。

对角线法则：
适用于对角行列式，即非对角元素全为零的行列式。

直接将对角线上的元素相乘，得到行列式的值。

特殊行列式：
对于某些特殊矩阵，可以通过观察其性质来快速计算行列式。

例如，单位矩阵的行列式为1，零矩阵的行列式为0，对角矩阵的行列式等于对角线上的元素相乘。

初等变换：
利用行变换或列变换，将矩阵转化为三角矩阵或对角矩阵，然后通过三角行列式法或对角线法则计算行列式的值。

特征值法：
对于n阶矩阵A，其行列式等于其特征值的乘积，即det(A)=λ1×λ2×…×λn。

这种方法通常用于计算较大规模的矩阵的行列式，可以通过计算特征值来简化问题。

克莱姆法则：
适用于线性方程组的解法。

对于n元线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，则方程组有唯一解，并且解可以通过Cramer法则得到。

需要注意的是，行列式的计算可能会涉及较大的计算量，特别是对于高阶矩阵。

在实际计算中，可以根据矩阵的性质选择合适的计算方法，或者利用计算机软件进行计算。

行列式的若干解法一、定义法注意到“上下三角形”行列式的值等于对角线元素的乘积，由行列式的定义可直接计算元素非常稀疏或本身就是上下三角形式的简单行列式．例1 nn D n 00000100200100-=计算行列式　.解：　n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n =--1122 ,故!)1(2)2)(1(n D n n n ---=.二、行列式在初等变换下的性质行列式经初等行变换和初等列变换，行列式值的变化有一定规律： 1．行列式的行列互换（即方阵转置），行列式不变； 2．互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3．行列式中某行各元同时乘以一个数等于行列式乘以这个数；4．行列式中某行（列）各元同时乘以一个数，加到另外一行（列）上，行列式不变； 5．行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；6．行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆成另两个行列式的和；7．行列式各行或各列若线性相关，行列式为零．一些特征明显的行列式可以直接用行列式的性质求解．例 2 一个n 阶行列式ij n a D = 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij =-=则称为反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明： 由　ji ij a a -=知ii ii a a -=，即n i a ii ,2,1,0==.故行列式可表示为000321323132231211312n nnn n n n a a a a a a a a a a a a D ------= , 由行列式的性质'A A =，000)1(0000321323132231211312321323132231211312n n n n nn n nnnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -------=------=()n n D 1-=. 为奇数时，得当n ,　n n D D -=因而得0=n D .三、高斯消元法由行列式的定义，计算一般n 阶行列式的值的复杂度为(!)O n ，对n ≥4的非稀疏方阵并不实用，因此有必要寻找更好的方法．用行（列）初等变换将方阵化为上（下）三角形状，是计算行列式的基本方法．原则上，每个行列式都可利用行列式在初等变换下的性质化为三角形行列式．这个变换过程可用解线性方程组的算法（高斯消元法）严格描述，其复杂度为3()O n ，由原来的指数阶复杂度降低到了多项式阶复杂度．例3 计算行列式2101044614753124025973313211----------=D . 解： 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．()()()()()()()()()()2313214315412311231112310010202041020410010202153021530222222D +---↔----------------- ()()()()()()43523421-12-31112310204-10304100-10-200102001-12000100022-200026+++---------()()524112310204112(1)(1)(6)12 001020001006+----=-⋅---=----．四、行列初等变换成上下三角形式但对于阶数高的行列式，高斯消元法仍然有着较高的复杂度，且仅适用于数值行列式的计算，难以推广到含参数行列式．因此，对元素排列较有规律的行列式，应利用行列式的性质将其变形成三角形行列式，而不是直接使用解线性方程组的高斯消元法．例4 计算n 阶行列式a b b b b a b bD bb a b b b b a=. 解： 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得abbb a b b b a b b b b n a abbbn a b a b bn a bb a b n a b b b b n a D1111])1([)1()1()1()1( -+=-+-+-+-+=[]])(])1([00000001)1(1---+=----+=n b a b n a ba b a b a b b b b n a .五、Laplace 展开法Laplace 展开的四种特殊情形： 1）0nn nn mm mn mm A A B C B =⋅2）0nn nm nn mm mm A C A B B =⋅3）0(1)nn mn nn mm mmmnA AB BC =-⋅ 4）(1)0nm nn mn nn mm mmC A A B B =-⋅应用行列式的Laplace 展开，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性递推关系式．根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法．［注意］用此方法一定要看Laplace 展开后的行列式是否具有较低阶的相同结构．如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法．例5 证明如下行列式：000100010001n D αβαβαβαβαβαβ++=++11,n n n D αβαβαβ++-=≠-证明　：其中［分析］虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之．此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式．从行列式的左上方往右下方看，即知1n D -与n D 具有相同的结构．因此可考虑利用递推关系式计算．证明：按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－这是由D n-1 和D n-2表示D n 的递推关系式．若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为：11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－） 或 11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－）现可反复用低阶代替高阶，有：23112233422221[()()](1)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D αβαβαβαβαβαβαβααββ-+--+= －－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=同样有：23112233422221[()()](2)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D βαβαβαβαβααβαββαβα-+--+= －－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=因此当αβ≠时由（1）（2）式可解得：11n n n D αβαβ++-=-证毕．例6 计算行列式 xa a a a a xx x D n n n+---=--1232100000100001. ［分析］对一时看不出从何下手的行列式，可以先对低阶情况求值，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明．解：当2=n 时，21221222)(1a x a x a a x x a x a x D ++=++=+-= 假设k n =时，有k k k k k k a x a x a x a x D +++++=---12211则当1+=k n 时，把1+k D 按第一列展开，得11221111)(+---++++++++=+=k k k k k k k k k a a x a x a x a x x a xD D 12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++由此，对任意的正整数n ，有n n n n n n a x a x a x a x D +++++=---12211 .六、加边法有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法．当然，加边后所得的高一阶行列式要较易计算．加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况．加边法的一般做法是：1111111111121221222121111100000nnn n n n n n n nnn nnnn nna a a a a ab a a a a D a a b a a a a a a b a a ===特殊情况取121n a a a ==== 或 121n b b b ==== 加边法能否顺利应用，关键是观察每行或每列是否有相同的因子． 例7 计算n 阶行列式：21121221221221212111n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+［分析］ 我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x 1与x 1,x 2,…, x n 相乘，第二行为x 2与x 1,x 2,…, x n 相乘，……，第n 行为x n 与 x 1,x 2,…, x n 相乘．这样就知道了该行列式每行有相同的因子x 1,x 2,…, x n ，从而就可考虑此法．解：11112122112121221222121212121211(1,,)(1,,)110110001010011101001001001i i i i n n n n n n n nn nin i ni i n i n r x r c x c i n x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+=-+=+-=+-+-+=+∑∑对行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同的行列式，在“加边法”的框架下，有针对此种问题的特殊解法．1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ，使新行列式*D 除主对角线外，其余元素均为0；2）计算*D 的主对角线各元素的代数余子式(1,2,)ii A i n = ; 3)*,1niji j D D xA==-∑例8 .求下列n 阶行列式的值：111211212111n n nD n --=-解：在n D 的各元素上加上(1)-后，则有：(1)2*00020020()(1)(1)200n n n n n nD n n ---==-⋅--又(1)1212,11(1)(1)n n n n n n A A A n ---====-⋅- ，其余的为零．(1)2*,1,11(1)(1)122(1)12()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n nnnn n ij i n i i j i n n n n nn n n n D D A n A n n n n --+==-----∴=+=-⋅-+=-⋅-+-⋅⋅-=-⋅-∑∑［点评］诸如此类的特殊行列式称为“范式”，常见的范式还有“鸡爪”（除第一行、第一列、主对角线外全为零）、反对称方阵等，这些范式都有“专用”的解法．掌握这些范式，不仅是为了更容易求出满足这些范式的行列式的值，更是为了给解一般行列式提供变换的目标和方向，争取把一般行列式变换到这些已知容易求解的范式．如果不知道这些范式，就只能盲目的寻找各种变成“最终范式”——上下三角行列式的变换方式，从而加大了解题的难度．七、拆行（列）法由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值．例9 设n 阶行列式：1112121222121n n n n nna a a a a a a a a =且满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 对任意数b ，求n 阶行列式111212122212?n n n n nn a b a b a b a b a b a b a b a b a b++++++=+++[分析]该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是常数b ，显然用拆行（列）法．可以首先举一些例子进行试验，发现待求行列式总是等于1，因此求值问题转化为证明问题，对解题过程更有启发．注意到条件中给出了一个反对称方阵的行列式，但暂时不知道该如何应用，在解题过程中要时刻注意题目条件．解：1112111121121212222122222212122n n n n n n n n n nn n n nn n nn a b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a b a ba ab a bb a b a b++++++++++++++==++++++++11121111121212222122221212111n n n n n n n n nn n nn n nn a a a b a b a b a a a a a b a b a b a a ba a a ba b a b a a ++++=++++11121111121212222122221212111111n n n n n n n n nnn nnn nna a a a a a a a a a a a a ab ba a a a a a a =+++21111nni i i i b A b A ===+++∑∑ ,11nij i j b A ==+∑A 又令＝111212122212n n n n nna a a a a a a a a,,1,2,,i j j ia a i j n=-= 且 ':1,A A A ∴==-有且11A A A A A A⋅=＊－－＊由＝得：1A A ∴＊－＝'1''11()()()A A A A A ---===-=-＊＊又（）*A ∴也为反对称矩阵又(,1,2,,)ij A i j n = 为*A 的元素1,10nij i j A ==∴=∑有从而知：1,111nn ij i j D bA ===+=∑［点评］求解到中途时，发现待解行列式的一部分变成了一个新行列式的代数余子式之和的形式，很容易联想到伴随方阵与逆矩阵行列式的关系，此时应用题目中反对称方阵的条件、转置方阵的性质，易得结论．此题也提醒我们在解行列式时，应注意与后续章节（如矩阵）的关联．八、多项式法如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C ，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C 值，便可求得D=Cg(x)．具体地说，若行列式中存在两个同时含变量x 的行（列），若x 等于某一数a 1时，使得两行相同，根据行列式的性质，可得D=0．那么x -a 1便是一个一次因式．由此便可找出行列式（多项式）的若干因式．如果行列式的最高次数与这些因式乘积的次数相等，那么行列式与这些因式的乘积便成比例（只差一个常数因子）．例10 求如下行列式的值：12121123123n n n nx a a a a x a a D a a a a a a a x+=[分析] 根据该行列式的特点，当.1,2,,i x a i n == 时，有10n D +=．但大家认真看一下，该行列式D n+1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n 个一次因式.1,2,,i x a i n -= ,那么能否用多项式法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一样的，为：1ni i a x =+∑，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式1ni i a x =+∑，这样行列式的次数就降了一次．解：1211221211232312323111()11ni n i nn i ni n nn i i n ni ni ni i a xa a a a a a a xx a a xa a D a x a a a a x a a a a a xa xa a x==+===++==+++∑∑∑∑∑令：122'123231111n n n na a a x a a D a a a a a x+=显然当：.1,2,,i x a i n == 时，'10n D +=． 又'1n D +为n 次多项式．'112()()()n n D C x a x a x a +∴=--- 设又'1n D +中x 的最高次项为nx ，系数为1，∴C=1'112()()()n n D x a x a x a +∴=---因此得：'111121()()()()()nn i n i ni n i D a x D a x x a x a x a ++===+=+---∑∑九、Vandermonde 行列式法 范德蒙行列式：1232222123111111231111()nn i j j i nn n n n nx x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=-∏例11 计算n 阶行列式11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-解 显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型．先将的第n 行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n （n-1）/2次行对换后，得到(1)2222211111111121(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a a D a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式得：n m n m E AB E BAλλλ--=-(1)(1)2211(1)[()()](1)()n n n n n j i nj i nD a n i a n j i j --≤<≤≤<≤=--+--+=--∏∏［分析］从某种意义上说，范德蒙行列式也是上文中提到的一种“范式”，很多类似多项式乘积的行列式都与范德蒙行列式存在某种关联．例12 计算如下行列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质．注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列．然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了．解：11(2,,)(2,,)1111111111121111100031111200011111000100000010000020011(1)20020000101(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n nn n n n nn n nnn n nn n n n n n n n n n ===+--=-----++----+=⋅-----+=⋅⋅-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----⋅-+=⋅⋅-[问题推广]本题中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”．从而推广到一般，求下列行列式：0121101223411230(,0,1,,1)n n n n i a a a a a a a a D a c i n a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：令 0121101223411230n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦首先注意，若u 为n 次单位根（即u n=1），则有：1011110212123111120101120112123011101(1,n n n n n n n n n n n n nn n n n n n a a u a u u a a u a u A u u u u a a u a u u a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a -----+-----------⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅==∴=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦++++++=++++这里用到等）12011122111201111()1()()n n n n n n n n n u a a u a u u u u a u u f u f u a a u a u u u --------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 其中2122cossin 1,1(0)1,,,,n k n k k w n nw w k n w w w ππ-=∴=≠<< 设+i 为n 次本原单位根有:于是：互异且为单位根()2011(1)01101011001111,(0,1,,1)(,,,)(,,,)((),(),,())()(,,,)(j jj n n j i j j n n n n n w w j n w w w w w w A w f w w Aw Aw Aw Aw f w w f w w f w w f w w w w f w -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋅=⋅==⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦记：方阵则由上述知：故）122(1)0111(1)(1)1111(,,,)11n n n n n n w w w w w w w ww w ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦显然为范德蒙行列式110A (1)()()(1)()()n n n w w w f f w f w A w A D f f w f w --∴≠=⋅⋅⋅⋅=⋅∴==⋅⋅⋅ 从而有： 又例12中，循环的方向与该推广在方向上相反 所以例12与11120'102n n n n a a a a a a D a a a ---=相对应(1)(2)'21n n n n D D --而与只相差（－）个符号(1)(2)'1201,121(1)2(1)()(),,)(1,2,,)1,()123(1)12n n n n n k n n n D f f w f w a a a n u w f u u u nu f n -----+⋅⋅⋅⋅==≠=++++=+++=即得：=(-1)从而当（时对单位根总有：21()()1()1n f u uf u u u u n n nf u u-∴-=++++-=--∴=-1211111()1,11(1)111 n n k n k n k k x x w x x x x x w n--=-=-=-=++++-=-==∏∏ 而又令则有：＋＋＋(1)(2)'12(1)(2)1221(1)1211(1)2(1)12(1)()()(1)111()()2111(1)(1)2(1)1(1)21(1)2n n n n n n n n n n n n kk n n nn n n D f f w f w n n n w w wn n nw n n nn n ----------=---=⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅-⋅⋅⋅⋅---+-⋅⋅=-+-⋅⋅=+=-⋅⋅∏ 从而有：(-1)与例12的答案一致．［点评］例12本身并不困难，但在“循环行列式”的推广中，运用了多项式单位根的相关理论，是比较难以想到的．由上述问题的求解可知，行列式的求值有时需要综合利用多种方法，上例就用到了Vandermonde 行列式和多项式理论．十、矩阵理论法有些行列式通过“矩阵”一章与行列式相关的某些等式，可以快速求解．引理：设A 为n m ⨯型矩阵，B 为m n ⨯型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有det()det()n m E BA E BA =证明：00n n n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式得： 0nnnn n m m mmmE A E E A E ABA E AB E BE B E BE E λλλλ-===--n E AB λ=-又11n nnm m m E E A E A BE B BA E E λλλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭同样两边取行列式有：11nnnnmmmmE E A E A E ABE BE BBA E E λλλλλ-==-+()11nn mn m m m E BA E E BA E BA λλλλλλλ-=-+=-=- 得证．那么对于,A B 分别是n m ⨯和m n ⨯矩阵，0λ≠能否得到：n m n m E AB E BA λλλ-+=+答案是肯定的．证：00n n n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ 有：nn mE A E AB BE λλ-=+又 11n nnm m m E E A E A BE B BA E E λλλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1nn m nm m mE A E BA E E BA BE λλλλλ--∴=+=+n m n m E AB E BA λλλ-∴+=+即得：对,A B 分别为n m ⨯和m n ⨯矩阵，0λ≠时，有：n m n m E AB E BA λλλ-=则当1λ=时，有：n m E AB E BA =∴引理得证．例13 计算如下行列式的值：1231231233123n n n n n a b a a a a a b a a D a a a ba a a a a a b++=++解：令矩阵1231231233123n n n n a b a a a a a b a a A a a a b a a a a a a b++=++则可得：()123123121233123111,,,n n n n n n na a a a a a a a A bE bE a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪⎪⎝⎭11n n n bE B C ⨯⨯=+其中 ()()1112111,,,,Tn n n B C a a a ⨯⨯== 那么根据上面所提到的引理可得：111n n n n n D bE BC b b C B -⨯⨯=+=+又 ()11121111,,,n n n n i i C B a a a a ⨯⨯=⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑可得：11()n n n i i D b a b -==+∑［点评］例13还可用加边法解决，不过这里的解法显然更简洁，且其中蕴含的理论更深刻．十一、高等数学法有些行列式可以看成函数，运用高等数学的求导、积分等方法解决． 例14 求下列行列式的值：...........................n x y y y z x y y D zz x y zzzx=解：把n D 看作是x 的函数（即x 的n 次多项式），记作()n D x ，按Taylor 公式在z 处展开：()2'()''()()()()()()...1!2!!n n n n n n D z D z D z D x D z x z x z n =+-+-++，则 ......()=.....................n z y y y zz y y D z zz z y zzz z将()n D z 第一列减去第二列，第二列减去第三列，……，第n-1列减去第n 列，则有0..,00...0()...............00 0...n z y y z y y D z z yy z--=- 故有1()()k k D z z z y -=-，1,2,...,k n = （*）将()n D z 对x 求导，结果是n 个行列式之和，而每个行列式是由()n D x 对每一行求导而其余各行不变得到的．例如，对第一行求导得到100...0........................z x y y z z x y zzz x将上述行列式按第一行展开，得到1()n D x -．类似地，对任意的第k 行求导，同样得到1()n D x -．因此1'()()n n D x nD x -=．类似地有12'()(1)()n n D x n D x --=-，……，21'()2()D x D x =，1'()1D x =（由于1()D x x =）取x z =处地导数，由（*）得1'()()n n D z nz z y -=-，2''()(1)()n n D z n n z z y -=--，……，(1)()(1)...2n nD z n n z -=-，()()(1)...1!n n D z n n n =-=代入Taylor 展开式，得12!()()()()...()1!!n n n n n n D x z z y z z y x z x z n --=-+--++- 当y z =时，上式简化为1()0...0()()n n n D x ny x y x y -=+++-+-1()[(1)]n x y x n y -=-+-当y z ≠时，上式简化为1()[()()()...()]()1!n n n n n z n y D x z y z y x z x z x z z y z y-=-+--++----- [()()]()n n z y z y x z x z z y z y=-+----- ()()n n z x y y x z z y---=-总结行列式问题变化多端，但方法和范式只有若干种．对于正常难度的问题，首先运用初等变换的方式看能否容易地变成各种已知解法的“范式”；若不易求出，则应对低阶情况下的行列式进行试验，尝试找出规律，再用数学归纳法证明，或利用初等变换、多项式法等，向结论“靠拢”．。

行列式怎么计算
1、利用行列式定义直接计算：行列式是由排成n阶方阵形式的n²个数aij（i,j=1,2,...n）确定的一个数，其值为n项之和。

2、利用行列式的性质计算。

3、化为三角形行列式计算：若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

行列式
行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或|A|。

无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

行列式的性质
①行列式A中某行(或列)用同一数k乘,其结果等于kA。

②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。

④行列式A中两行（或列）互换,其结果等于-A。

⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一数后加到另一行（或列）中各对应元上，结果仍然是A。

行列式的计算是学习高等代数的基石,它是求解线性方程组,求逆矩阵及求矩阵特征值的基础,但行列式的计算方法很多,综合性较强,在行列式计算中需要我们多观察总结,便于能熟练的计算行列式的值。

目前我们常用的计算行列式的方法有对角线法则，化为三角形行列式,拆分法,降阶法，升阶法，待定系数法和数学归纳法，乘积法，加边法。

1.对角线法则此法则适用于计算低阶行列式的值（如2阶，3阶行列式的值），即主对角线的元素的乘积减去辅或次对角线上的元素的乘积，其主要思想是根据2阶，3阶行列式的定义计算行列式的值。

2.化为三角行行列式利用行列式的性质，把行列式化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的结论，可得到相应行列式的值上（下）三角形行列式及其值（1）上三角形行列式为D=|■(■(a_11&a_12@0_ &a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|D=|■(■(a_11&a_12@0_&a_22 )&■(a_13&…&a_1n@a_23&…&a_2n )@■(0_ &0_ @⋮&⋮@0_&0_ )&■(a_33&…&a_3n@⋮&⋮&⋮@0_ &…&a_nn ))|=|■(■(a_11&0&0@a_21&a_22&0@a_31&a_32&a_33 )&■(⋯&0@⋯&0@⋯&0)@■(⋮&⋮&⋮@a_n1&a_n2&a_n3 )&■(⋮&⋮@⋯&a_nn ))| = a_11 a_12⋯a_nn即上（下）三角形行列式的值等于主对角线上的元素的乘积。

各种行列式的计算方法宝子们，今天咱们来唠唠行列式的计算方法呀。

一、定义法。

这就像是最基础的招式啦。

按照行列式的定义，把所有可能的排列组合算出来。

不过呢，这个方法可有点费时间，就像你要一个一个数小珠子一样，要是行列式的阶数大一点，那可就累得够呛。

比如说二阶行列式，按照定义算起来还比较轻松，就是主对角线元素相乘减去副对角线元素相乘。

但是三阶或者更高阶的，那可就复杂得多喽。

二、三角形行列式法。

这个方法可就比较巧妙啦。

我们想办法把行列式通过行变换或者列变换变成上三角或者下三角行列式。

为啥呢？因为三角形行列式的值就等于主对角线元素的乘积呀，多方便。

就像把一堆乱乱的东西整理得整整齐齐的，然后一下子就能算出结果。

比如说给你一个行列式，你就观察一下，哪行或者哪列加上或者减去其他行或者列的倍数，能让它慢慢变成三角形的样子。

三、按行（列）展开法。

这个方法就像是拆积木一样。

你可以按照行列式的某一行或者某一列展开。

比如说按第一行展开，那这个行列式的值就等于这一行的每个元素乘以它对应的代数余子式然后相加。

代数余子式呢，就像是这个元素的小跟班，有自己的计算方法。

这个方法在行列式里有很多零元素的时候特别好用，就像走捷径一样，直接找那些简单的部分来计算。

四、行列式的性质法。

行列式有好多有趣的性质呢。

比如说两行（列）交换，行列式的值就变成原来的相反数；某一行（列）乘以一个数加到另一行（列），行列式的值不变。

我们就可以利用这些性质，把行列式变得简单一些再去计算。

就像给行列式做个小整容，让它变得更可爱（好计算）。

宝子们，行列式的计算方法就这么些啦，多做做练习，就会发现其实也没有那么难啦。

加油哦！。