行列式地计算方法(课堂讲解版)

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式 001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质T A A =，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)00n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

THANK YOU
感谢聆听
性质
行列式具有以下基本性质
行列式转置不变
行列式的值与其转置行列式的值相 等。
行列式按行（列）展开
行列式的值等于其任意一行（列）元 素与其对应代数余子式的乘积之和。
行列式的倍数性质
行列式中某一行（列）的所有元素 都乘以一个常数k，则行列式的值也 乘以k。
行列式的消元性质
若行列式中两行（列）成比例，则 行列式的值为0。
例题3
利用数学归纳法计算分块矩阵的行列式。对于具有某种递推关系的分块矩阵，可以利用数 学归纳法进行证明和计算。通过假设当n=k时结论成立，进而证明当n=k+1时结论也成 立，从而得出对于任意正整数n结论都成立的结论。
06
特殊类型行列式的计算方法
箭型行列式的计算
箭型行列式的定义
箭型行列式是一种具有特殊形状的行列式，其主对角线上方的元素构成了一个箭头形状。
计算方法
对于 n 阶箭型行列式，可以先将其化为上三角或下三角行列式，然后直接计算对角线元素的乘积。具体步骤包括 ：利用行列式的性质，将第 1 列的 -1 倍加到其他列上，从而将箭型行列式化为上三角或下三角行列式；计算对 角线元素的乘积。
两三角型行列式的计算
两三角型行列式的定义
两三角型行列式是指行列式的上半部分和下半部分分别呈现三角形形状的行列式。
80%
典型方法
拉普拉斯展开定理，将高阶行列 式按某一行（列）展开为低阶行 列式的和。
典型例题解析
例题1
利用数学归纳法计算范德蒙德 行列式。
例题2
计算含有特定元素的行列式， 如含有三角函数、指数函数等 。
例题3
利用归纳法证明某些特殊类型 的行列式具有特定的性质，如 对称性、反对称性等。

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式 00100201000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0， nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算例计算行列式001002001000000n D n n=-解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---= .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式nij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n nn n nnn a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)00n n n n nnn a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

..行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1. 行列式的性质2.行列式计算的几种常见技巧和方法2.1 定义法2.2 利用行列式的性质2.3 降阶法2.4 升阶法（加边法）2.5 数学归纳法2.6 递推法3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法3.1 拆行（列）法3.2 构造法3.3 特征值法4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.2 “爪”字型行列式4.3 “么”字型行列式4.4 “两线”型行列式4.5 “三对角”型行列式4.6 范德蒙德行列式5. 行列式的计算方法的综合运用5.1 降阶法和递推法5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式5.3 构造法和套用范德蒙德行列式1.2 行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即nna a a a a a a a a a a a a a a a a a n2n1n22212n12111nnn2n12n 22211n 1211= .性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即=nn n2n1in i2i1n11211k k k a a a a a a a a ak nna a a a a a a a an2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即11121111211112111221212121212.n n n n nn n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n=21212111211nnn n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即=+++nn n n kn k k kn in k i k i n a a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a21212111211=-nnn n in i i kn k k n a a a a a a a a a a a a 21212111211.性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即00000nn1-n n,n2n1n 11-n ,11211=a a a a a a a a.2、行列式的几种常见计算技巧和方法 2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nna a a a a a a a a a a a a2211nn 333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111m m x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫⎝⎛--=∑=-m x m n i i n 11. 2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0， nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa aa()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=0111110111110111110111110.解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D =.再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 2000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =. 2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ． ② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9； 当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法 3.1 拆行（列）法 3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法 3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式． 3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式 4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，n nn c a c a c a a b b b2211012，nnn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a nn n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i=≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式 4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，n nna b c a b c a b c a222111，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b n n n，nn na c a c a cb b b a221121，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式 4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nnn n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式 4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=1000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式 4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式． 4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用． 5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D=n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有：()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。

行列式的计算技巧与方法总结讲解行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n n n i i --?-=∑=2221111mm x x m x nn i i --??? ??-=∑= 0000121()??? ??--=∑=-m x m n2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ?=0， nn nn nnnn nn B A B C A ?=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：00100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ?-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠?，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=?，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB AD ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--?+?=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j ix x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠?≠?≠?λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b n nn，n n n a c a c a c b b b a 2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()??+--?-=∑=+ni i nn n b 121111()()+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．。

xnx1 xn(xnx1)
0 x2n2(x2x1) x3n2(x3x1)
xnn2(xnx1)
按第一列展开,并提出每一列的公因子(xi -x1)(i=1,2,…,n),得递推
公式:
111
1
x2 x3 x4
xn
Dn(x1,x2, , xn) (x2 x1)(x3 x1) (xn x1) x22 x32 x42
[(x2x1)
(xnx1)][(x3x2)
(xnx2)]
1 [(xn1xn2)(xnxn2)]xn1
1 xn
[(x2x1) (xnx1)][(x3x2) (xnx2)] [(xn1xn2)(xnxn2)](xnxn1)
(xi xj) 1jin
17
（六）拆项法（主对角线上、下元素相同）
ax1 a
23
a1 0
00
0 a2 0 0
0
0
0
ak
0 ak1Dk 0
a 1 a 2 a k a k 1 D k
1 1 1 11
a1a2 a1a2
ak ak1a1a2
ak1(1ki11a1i )
ak(1ik1a1i )
所以 nk1时结论成立，故原命题得证．
24
（八） 范德蒙行列式
11
x1 x2
例、计算行列式 Dn
x
2 1
x 22
x
n
2 1
x n22
x n1 x n2
解：考察 n 1 阶范德蒙行列式
11 x1 x2 f (x) x21 x22
11 xn x x2n x2
1 xn x 2n
x n2n xnn
xn11 xn12 xn1 xn2

01
02
03
正确理解行列式的正负 号规则，行列式中元素 的排列顺序会影响符号
。
注意行列式中行和列的 交换对符号的影响，行 和列的交换会导致行列
式的符号发生变化。
正确处理行列式中元素 的正负号，避免因为符 号错误导致计算结果错
误。
理解行列式的几何意义
行列式可以表示一个n维向量的线性变换，理解这一几何意义有助于更好 地理解行列式的计算方法。
征向量。
在求解过程中，行列式用于判断特征值是否存在，以及计算特
03
征值和特征向量的数值。
04
行列式计算的注意事项
避免计算错误
01 仔细核对行列式的元素，确保没有遗漏或错误。 02 使用行列式计算法则时，要确保每一步都符合规
则，避免出现计算错误。
03 多次检查计算过程，确保每一步都正确无误。
注意行列式的符号问题
通过几何意义可以直观地理解行列式的值，以及行列式在几何空间中的作 用。
理解行列式的几何意义有助于更好地理解行列式在解决实际问题中的应用， 例如线性方程组求解、向量空间等。
感谢您的观看
THANKS
在矩阵计算中的应用
行列式在矩阵计算中主要用于计算矩 阵的逆、行列式、转置等。
行列式在矩阵的初等变换中也有应用 ，例如通过行列式值不变的特性，可 以判断矩阵是否可以通过初等行变换 或初等列变换化为单位矩阵。
在特征值和特征向量计算中的应用
01
行列式在特征值和特征向量的计算中起到关键作用。
02
通过行列式与特征多项式的计算，可以求出矩阵的特征值和特
计算方法
根据行列式的性质和已知的行列式值，推导出更高阶行列式的递推 关系式，然后逐步计算出高阶行列式的值。

2、用降价法计算行列式（常用） 直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算 行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按 此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式. 3、拉普拉斯定理（一般少用）
2 1 0 2 0 1
1 （3） 1
5
10 1 0 0 （第一、二两行相等） 27
2 1 1 （4） 4 2 2 0 （第二、三列相等）
7 3 3
1 例 4（1） 0
2
1 1 2
2 5 0 因为第三行是第一行的 2 倍. 22
1 4 10
2 8 35
（2）
0 因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的 4
2
.
1 2 3 0 1 3 2 0
注: 一般来说下式是不成立的
a11 b11 a21 b21
a12 b12 a11 a22 b22 a21
a12 b11 a22 b21
b12 . b22
1 3 1 1 3 1
例 9（1） 1 4 1r2 r1 0 1 0 ,上式表示第一行乘以-1 后加第二行上去, 其值
建议收藏下3 载6 1本2 1文2 ，4 以便随时学习！
2 3 0 32 3 0 ,
51 2 512
再计算
124 12 4
124 122 102
D 3 2 3 0 3 0 7 8 27 0 7 8 54 0 7 4 54 0 3 4 54 3 162.
5 1 2 0 9 18 0 1 2 0 1 1 0 0 1
称 Aij 为元素 aij 的代数余子式.
引理（常用） 一个 n 阶行列式 D , 若其中第 i 行所有元素除 aij 外都为零，则该行列式

2
②
D a xa x D n n n 1 n 2
依次下去，得
2 n 2 ③ D a xa x D x D n n n 1 n 2 2
而
2 D a a x x 2 2 1 a a x 2 1
x
1
④
将 ④代入 ③中得
n 1 n D aa x a x x n n n 1 1
xn x1 xn x2 xn xn 2 1
给加边后的行列式的第1行乘 x
1 x 1 x 2 x 1 0 1 D x n 2 0 1 x 0 0 n
加到第i行上(i=1,2,…,n)得
x n 0 0 1
2 2 2 x 1 x x x x n 1 2 n 1 x 2 0 0 1 0 0 0 0 1
再把第１个行列式按第３列展开，第２个行列式按第２列展开．最终得
x D= ( a 3 b 3 ) y z
y z x
z x y
方法4
降阶法
利用行列式按行按列展开定理将高阶行列式转化为 较低阶行列式求解的方法叫做降阶法. 它可以分为直接降阶法和递推降阶法
直接降阶法用于只需经少量几次降阶就可求得行列 式值的情况。
x1x2 x22 1 xn x2
x1xn x2 xn xn2 1
解 行列式第1列有共同元素 x
1 0 Dn 0 0 x1 x12 1 x2 x1 xn x1
i
1
共同元素 x n .根据这些特点给原行列式加边得
x2 x1 x2 x2 2 1 xn x2
,第2列有共同元素 x ,2…,第 n 列有
n 1 x y 0 0 D x ( 1 ) y n 0 0 x y 0 0 0 x 0 0 x y

行列式的计算技巧与方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如线性方程组的求解、线性变换的判断等。

在实际应用中，计算行列式是一个必不可少的环节。

本文将对行列式的计算技巧和方法进行总结，以便读者能够更加轻松地解决行列式相关问题。

一、行列式的定义行列式是一个数。

行列式的定义通常有多种不同的形式，其中最常见的是按照矩阵的形式定义的。

对于一个n阶方阵A=(a_ij)，其行列式记作det(A)，可以通过以下方式计算：det(A) = a_11 * C_11 + a_12 * C_12 + ... + (-1)^(n+1) * a_1n * C_1n其中，C_ij是指元素a_ij的代数余子式。

二、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算对于2阶方阵A=(a_11,a_12;a_21,a_22)，其行列式可以直接通过以下公式计算：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212.三阶行列式的计算对于3阶方阵A=(a_11,a_12,a_13;a_21,a_22,a_23;a_31,a_32,a_33)，可以通过Sarrus法则来计算行列式：det(A) = a_11*a_22*a_33 + a_12*a_23*a_31 + a_13*a_21*a_32 -a_13*a_22*a_31 - a_12*a_21*a_33 - a_11*a_23*a_323.高阶行列式的计算对于n(n>3)阶方阵A，一般采用高斯消元法将矩阵转化为上三角矩阵，然后再计算行列式的值。

具体操作如下：a)对第一列进行第二行、第三行、..、第n行的倍加，使得第一列除了第一个元素外的其他元素都为0。

b)接着在第二列中对第三行、第四行、..、第n行的倍加，使得第二列除了第二个元素外的其他元素都为0。

c)重复以上步骤，直到将矩阵转化为上三角矩阵。

d)上三角矩阵的行列式等于主对角线上的元素相乘。

4.行列式的性质行列式具有以下性质，可以在计算中灵活运用：a)行互换或列互换，行列式的值不变，其符号变为相反数。

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算,特别要注意观察所求题目的特点,灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式,有时会有不同的求解方法.下面介绍几种常用的方法,并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式 001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=。

该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n )等于(1)(2)2n n --,故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例: 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式， 证明:奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-,即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----,由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0。

3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形,其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上(下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

⾏列式的若⼲解法讲解⾏列式的若⼲解法⼀、定义法注意到“上下三⾓形”⾏列式的值等于对⾓线元素的乘积，由⾏列式的定义可直接计算元素⾮常稀疏或本⾝就是上下三⾓形式的简单⾏列式．例1 nn D n 000000100200100-=计算⾏列式　.解：　n D 不为零的项⼀般表⽰为！１ｎ－１n a a a a nn n n =--1122 ,故!)1(2)2)(1(n D n n n ---=.⼆、⾏列式在初等变换下的性质⾏列式经初等⾏变换和初等列变换，⾏列式值的变化有⼀定规律： 1．⾏列式的⾏列互换（即⽅阵转置），⾏列式不变； 2．互换⾏列式中的两⾏或者两列，⾏列式反号；3．⾏列式中某⾏各元同时乘以⼀个数等于⾏列式乘以这个数；4．⾏列式中某⾏（列）各元同时乘以⼀个数，加到另外⼀⾏（列）上，⾏列式不变； 5．⾏列式的某两⾏或者某两列成⽐例，⾏列式为零；6．⾏列式的某⼀列或者某⼀⾏可以看成两列或两⾏的和时，⾏列式可拆成另两个⾏列式的和；7．⾏列式各⾏或各列若线性相关，⾏列式为零．⼀些特征明显的⾏列式可以直接⽤⾏列式的性质求解．例 2 ⼀个n 阶⾏列式ij n a D = 的元素满⾜,,,2,1,,n j i a a ji ij =-=则称为反对称⾏列式，证明：奇阶数⾏列式为零.证明：由　ji ij a a -=知ii ii a a -=，即n i a ii ,2,1,0==.故⾏列式可表⽰为000321323132231211312 nn nn nn n a a a a a a a a a a a a D ------= , 由⾏列式的性质'A A =，000)1(0000321323132231211312321323132231211312 nn n n nnn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -------=------=()n n D 1-=. 为奇数时，得当n ,　n n D D -=因⽽得0=n D .三、⾼斯消元法由⾏列式的定义，计算⼀般n 阶⾏列式的值的复杂度为(!)O n ，对n ≥4的⾮稀疏⽅阵并不实⽤，因此有必要寻找更好的⽅法．⽤⾏（列）初等变换将⽅阵化为上（下）三⾓形状，是计算⾏列式的基本⽅法．原则上，每个⾏列式都可利⽤⾏列式在初等变换下的性质化为三⾓形⾏列式．这个变换过程可⽤解线性⽅程组的算法（⾼斯消元法）严格描述，其复杂度为3()O n ，由原来的指数阶复杂度降低到了多项式阶复杂度．例3 计算⾏列式2101044614753124025973313211----------=D . 解：这是⼀个阶数不⾼的数值⾏列式，通常将它化为上（下）三⾓⾏列式来计算．()()()()()()()()()()2313214315412311231112310010202041020410010202153021530022200222D +---?----------------- ()()()()()()43523421-12-31112310204-10304100-10-200102001-12000100022-200026+++---------()()524112310204112(1)(1)(6)12 001020001000006+----=-?---=----．四、⾏列初等变换成上下三⾓形式但对于阶数⾼的⾏列式，⾼斯消元法仍然有着较⾼的复杂度，且仅适⽤于数值⾏列式的计算，难以推⼴到含参数⾏列式．因此，对元素排列较有规律的⾏列式，应利⽤⾏列式的性质将其变形成三⾓形⾏列式，⽽不是直接使⽤解线性⽅程组的⾼斯消元法．例4 计算n 阶⾏列式a b b b b a bb D bb ab b b ba=. 解：这个⾏列式的特点是每⾏（列）元素的和均相等，根据⾏列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，⾏列式不变，得ab b b abb b a b b b b n a ab b b n a b abbn a b b a b n a b b b b n a D1111])1([)1()1()1()1( -+=-+-+-+-+=[]])(])1([00000001)1(1---+=----+=n b a b n a ba b a b a bb b b n a.五、Laplace 展开法Laplace 展开的四种特殊情形： 1）0nn nn mm mn mm A A B C B =? 2）0nn nm nn mm mm A C A B B =?3）0(1)nn mn nn mm mmmnA AB BC =-? 4）(1)0nm nn mn nn mm mmC A A B B =-?应⽤⾏列式的Laplace 展开，把⼀个n 阶⾏列式表⽰为具有相同结构的较低阶⾏列式（⽐如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性递推关系式．根据递推关系式及某个低阶初始⾏列式（⽐如⼆阶或⼀阶⾏列式）的值，便可递推求得所给n 阶⾏列式的值，这种计算⾏列式的⽅法称为递推法．［注意］⽤此⽅法⼀定要看Laplace 展开后的⾏列式是否具有较低阶的相同结构．如果没有的话，即很难找出递推关系式，从⽽不能使⽤此⽅法．例5 证明如下⾏列式：0001000101n D αβαβαβαβαβαβ++=++11,n n n D αβαβαβ++-=≠-证明　：其中［分析］虽然这是⼀道证明题，但我们可以直接求出其值，从⽽证之．此⾏列式的特点是：除主对⾓线及其上下两条对⾓线的元素外，其余的元素都为零，这种⾏列式称“三对⾓”⾏列式．从⾏列式的左上⽅往右下⽅看，即知1n D -与n D 具有相同的结构．因此可考虑利⽤递推关系式计算．证明：按第1列展开，再将展开后的第⼆项中n-1阶⾏列式按第⼀⾏展开有：12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－这是由D n-1 和D n-2表⽰D n 的递推关系式．若由上⾯的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上⾯的递推关系式是由n-1阶和n-2阶⾏列式表⽰n 阶⾏列式，因此，可考虑将其变形为：11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－）或 11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－）现可反复⽤低阶代替⾼阶，有：23112233422221[()()](1)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D αβαβαβαβαβαβαβααββ-+--+=－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=同样有：23112233422221[()()](2)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D βαβαβαβαβααβαββαβα-+--+=－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=因此当αβ≠时由（1）（2）式可解得：11n n n D αβαβ++-=-证毕．例6 计算⾏列式 x a a a a a x xx D n n n +---=--1232100000100001. ［分析］对⼀时看不出从何下⼿的⾏列式，可以先对低阶情况求值，利⽤不完全归纳法寻找出⾏列式的猜想值，再⽤数学归纳法给出猜想的证明．解：当2=n 时，21221222)(1a x a x a a x x a x a x D ++=++=+-=假设k n =时，有k k k k k k a x a x a x a x D +++++=---12211则当1+=k n 时，把1+k D 按第⼀列展开，得11221111)(+---++++++++=+=k k k k k k k k k a a x a x a x a x x a xD D 12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++由此，对任意的正整数n ，有n n n n n n a x a x a x a x D +++++=---12211 .六、加边法有时为了计算⾏列式，特意把原⾏列式加上⼀⾏⼀列再进⾏计算，这种计算⾏列式的⽅法称为加边法．当然，加边后所得的⾼⼀阶⾏列式要较易计算．加边法适⽤于某⼀⾏（列）有⼀个相同的字母，也可⽤于其列（⾏）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况．加边法的⼀般做法是：1111111111121221222121111100000n n nn n n n n n nnn nnnn nna a a a a ab a a a a D a a b a a a a a a b a a === 特殊情况取121n a a a ==== 或 121n b b b ====加边法能否顺利应⽤，关键是观察每⾏或每列是否有相同的因⼦．例7 计算n 阶⾏列式：21121221221221212111n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+［分析］我们先把主对⾓线的数都减1，这样我们就可明显地看出第⼀⾏为x 1与x 1,x 2,…, x n 相乘，第⼆⾏为x 2与x 1,x 2,…, x n 相乘，……，第n ⾏为x n 与 x 1,x 2,…, x n 相乘．这样就知道了该⾏列式每⾏有相同的因⼦x 1,x 2,…, x n ，从⽽就可考虑此法．解：111121221121221222121212121211(1,,)(1,,)110110001010011101001001001i i i i nn n n n n n nn nin i ni i n i n r x r c x c i n x xx x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+=-+=+-=+-+-+=+∑∑对⾏列式各⾏（列）和相等，且除对⾓线外其余元素都相同的⾏列式，在“加边法”的框架下，有针对此种问题的特殊解法．1）在⾏列式D 的各元素中加上⼀个相同的元素x ，使新⾏列式*D 除主对⾓线外，其余元素均为0；2）计算*D 的主对⾓线各元素的代数余⼦式(1,2,)ii A i n =;i j D D xA==-∑例8 .求下列n 阶⾏列式的值：111211212111n n n D n --=-解：在n D 的各元素上加上(1)-后，则有：(1)2*0002020()(1)(1)20n n n n n n D n n ---==---⼜(1)1212,11(1)(1)n n n n n n A A A n ---====-?-，其余的为零．(1)2*,1,11(1)(1)1()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n nnnn n ij i n i i j i n n n n nn n n n D D A n A n n n n --+==-----∴=+=-?-+=-?-+-??-=-?-∑∑［点评］诸如此类的特殊⾏列式称为“范式”，常见的范式还有“鸡⽖”（除第⼀⾏、第⼀列、主对⾓线外全为零）、反对称⽅阵等，这些范式都有“专⽤”的解法．掌握这些范式，不仅是为了更容易求出满⾜这些范式的⾏列式的值，更是为了给解⼀般⾏列式提供变换的⽬标和⽅向，争取把⼀般⾏列式变换到这些已知容易求解的范式．如果不知道这些范式，就只能盲⽬的寻找各种变成“最终范式”——上下三⾓⾏列式的变换⽅式，从⽽加⼤了解题的难度．七、拆⾏（列）法由⾏列式的性质知道，若⾏列式的某⾏（列）的元素都是两个数之和，则该⾏列式可拆成两个⾏列式的和，这两个⾏列式的某⾏（列）分别以这两数之⼀为该⾏（列）的元素，⽽其他各⾏（列）的元素与原⾏列式的对应⾏（列）相同，利⽤⾏列式的这⼀性质，有时较容易求得⾏列式的值．例9 设n 阶⾏列式：1112121222121n n n n nna a a a a a a a a =且满⾜,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=对任意数b ，求n 阶⾏列式111212122212?n n n n nn a b a b a b a b a b a b a b a ba b++++++=+++[分析]该⾏列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有⼀个数是常数b ，显然⽤拆⾏（列）法．可以⾸先举⼀些例⼦进⾏试验，发现待求⾏列式总是等于1，因此求值问题转化为证明问题，对解题过程更有启发．注意到条件中给出了⼀个反对称⽅阵的⾏列式，但暂时不知道该如何应⽤，在解题过程中要时刻注意题⽬条件．解：1112111121121212222122222212122n n n n n n n n n nn n n nn n nn a b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a ba b a a b a b b a ba b++++++++++++++==+++++++11121111121212222122221212111n n n n n n n n nn n nn n nn a a a b a b a b a a a a a b a b a b a a ba a ab a b a b a a ++++=++++11121111121212222122221212111111n n n n n n n n nnn nnn nna a a a a a a a a a a a a ab ba a a a a a a =+++21111nni i i i b A b A ===+++∑∑,11nij i j b A ==+∑A ⼜令＝111212122212n n n n nna a a a a a a a a ,,1,2,,i j j ia a i j n=-=且 ':1,A A A ∴==-有且 11A A A A A A=＊－－＊由＝得：1''11()()()A A A A A ---===-=-＊＊⼜（） *A ∴也为反对称矩阵⼜(,1,2,,)ij A i j n =为*A 的元素1,10nij i j A ==∴=∑有从⽽知：1,111nn ij i j D bA ===+=∑［点评］求解到中途时，发现待解⾏列式的⼀部分变成了⼀个新⾏列式的代数余⼦式之和的形式，很容易联想到伴随⽅阵与逆矩阵⾏列式的关系，此时应⽤题⽬中反对称⽅阵的条件、转置⽅阵的性质，易得结论．此题也提醒我们在解⾏列式时，应注意与后续章节（如矩阵）的关联．⼋、多项式法如果⾏列式D 中有⼀些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将⾏列式D 当作⼀个多项式f(x)，然后对⾏列式施⾏某些变换，求出f(x)的互素的⼀次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差⼀个常数因⼦C ，⽐较f(x)与g(x)的某⼀项的系数，求出C 值，便可求得D=Cg(x)．具体地说，若⾏列式中存在两个同时含变量x 的⾏（列），若x 等于某⼀数a 1时，使得两⾏相同，根据⾏列式的性质，可得D=0．那么x -a 1便是⼀个⼀次因式．由此便可找出⾏列式（多项式）的若⼲因式．如果⾏列式的最⾼次数与这些因式乘积的次数相等，那么⾏列式与这些因式的乘积便成⽐例（只差⼀个常数因⼦）．例10 求如下⾏列式的值：12121123123n nn n x a a a a x a a D a a a a a a a x+=[分析] 根据该⾏列式的特点，当.1,2,,i x a i n ==时，有10n D +=．但⼤家认真看⼀下，该⾏列式D n+1是⼀个n+1次多项式，⽽这时我们只找出了n 个⼀次因式.1,2,,i x a i n -=,那么能否⽤多项式法呢？我们再仔细看⼀下，每⾏的元素的和数都是ni i a x =+∑，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式1ni i a x =+∑，这样⾏列式的次数就降了⼀次．解：1211221211232312323111()11ni n i nn ini nn n i i nn i n i ni i a xa a a a a a a xxa a xa a D a x a a a a x a a a a a xa xa a x==+===++=122'123231111n nn n a a a x a a D a a a a a x+=显然当：.1,2,,i x a i n ==时，'10n D +=．⼜'1n D +为n 次多项式．'112()()()n n D C x a x a x a +∴=---设⼜'1n D +中x 的最⾼次项为nx ，系数为1，∴C=1'112()()()n n D x a x a x a +∴=---因此得：'111121()()()()()nn i n i ni n i D a x D a x x a x a x a ++===+=+---∑∑九、Vandermonde ⾏列式法范德蒙⾏列式：1232222123111111231111()n n i j j i nn n n n nx x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=-∏例11 计算n 阶⾏列式11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-解显然该题与范德蒙⾏列式很相似，但还是有所不同，所以先利⽤⾏列式的性质把它化为范德蒙⾏列式的类型．先将的第n ⾏依次与第n-1⾏，n-2⾏，…,2⾏，1⾏对换，再将得到到的新的⾏列式的第n ⾏与第n-1⾏，n-2⾏，…,2⾏对换，继续仿此作法，直到最后将第n ⾏与第n-1⾏对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n （n-1）/2次⾏对换后，得到(1)2222211111111121(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a aD a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-上式右端的⾏列式已是范德蒙⾏列式，故利⽤范德蒙⾏列式得：n m n m E AB E BA211(1)[()()](1)()nn n n n j i nj i nD a n i a n j i j --≤<≤≤<≤=--+--+=--∏∏［分析］从某种意义上说，范德蒙⾏列式也是上⽂中提到的⼀种“范式”，很多类似多项式乘积的⾏列式都与范德蒙⾏列式存在某种关联．例12 计算如下⾏列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三⾓形⾏列式，计算很繁，所以我们要充分利⽤⾏列式的性质．注意到从第1列开始；每⼀列与它⼀列中有n-1个数是差1的，根据⾏列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，⼀直到第⼀列乘以－1加到第2列．然后把第1⾏乘以－1加到各⾏去，再将其化为三⾓形⾏列式，计算就简单多了．解：11(2,,)(2,,)11111111111211111000311100010000001000020011(1)20002000011(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n n n n n n nn n n n n n nn nn n n nn n n n ===+--=-----++----+=-----+=-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----?-+=??-[问题推⼴]本题中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1这n 个⽆规律的数在循环，⾏列式该怎么计算呢？把这种⾏列式称为“循环⾏列式”．从⽽推⼴到⼀般，求下列⾏列式：0121101223411230(,0,1,,1)n n n n i a a a a a a a a D a c i n a a a a a a a a ---??=∈=-解：令 0121223411230n n n a a a a aa a a A a a a a a a a a ---=⾸先注意，若u 为n 次单位根（即u n=1），则有：1011110212123111120101120112123011101(1,n n n n n n n n n n n n nn n n n n n a a u a u u a a u a u A u u u u a a u a uu a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a -----+-----------??++++++????? ==∴=??++++++++++++=++++这⾥⽤到等）12011122111201111()1()()n n n n n n n n n u a a u a u u u u a u u f u f u a a u a u u u --------=+++++=?=+++其中2122cossin 1,1(0)1,,,,n k n k kw w k n w w w ππ-=∴=≠<<设+i 为n 次本原单位根有:于是：互异且为单位根()2011(1)01101011001111,(0,1,,1)(,,,)(,,,)((),(),,())()(,,,)(j jj n n j i j j n n n n n w w j n w w w w w w A w f w w Aw Aw Aw Aw f w w f w w f w w f w w w w f w -------??==-=?=?===记：⽅阵则由上述知：故）122(1)0111(1)(1)1111(,,,)11n n n n n n w w w w w w w ww w ------??==显然为范德蒙⾏列式110A (1)()()(1)()()n n n w w w f f w f w A w A D f f w f w --∴≠==?∴==??从⽽有：⼜例12中，循环的⽅向与该推⼴在⽅向上相反所以例12与11122n n n n a a a a a a D a a a ---=相对应(1)(2)'21n n n n D D --⽽与只相差（－）个符号(1)(2)'1201,121(1)2(1)()(),,)(1,2,,)1,()123(1)12n n n n n k n n n D f f w f w a a a n u w f u u u nu f n -----+ ==≠=++++=+++=即得：=(-1)从⽽当（时对单位根总有：21()()1()1n f u uf u u u u n nnf u u-∴-=++++-=--∴=-1211111()1,11(1)111 n n k n k n k k x x w x x x x x w n--=-=-=-=++++-=-==∏∏⽽⼜令则有：＋＋＋(1)(2)'12(1)(2)1221(1)1211(1)2(1)12(1)()()(1)111()()2111(1)(1)2(1)1(1)21(1)2n n n n n n n n n n n n k k n n nn n n D f f w f w n n n w wwn n nw n n nn n ----------=---=+=----+-=-+-=+=-?∏从⽽有：(-1)(-1)与例12的答案⼀致．［点评］例12本⾝并不困难，但在“循环⾏列式”的推⼴中，运⽤了多项式单位根的相关理论，是⽐较难以想到的．由上述问题的求解可知，⾏列式的求值有时需要综合利⽤多种⽅法，上例就⽤到了Vandermonde ⾏列式和多项式理论．⼗、矩阵理论法有些⾏列式通过“矩阵”⼀章与⾏列式相关的某些等式，可以快速求解．引理：设A 为n m ?型矩阵，B 为m n ?型矩阵，n E ，m E 分别表⽰n 阶，m 阶单位矩阵，则有det()det()n mE BA E BA =证明：00n n n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-= ??? ?-两边取⾏列式得： 00nn nn n m m m m mE A E E A E AB AE AB E BE B E BE E λλλλ-===--n E AB λ=- ⼜11n n nm m m E E A E A BE B BA E E λλλλ-? ?= ? ?-+同样两边取⾏列式有：11n n n nmmmmE E A E A E AE BBA E E λλλλλ-==-+()11nn m n m m m E BA E E BA E BA λλλλλλλ-=-+=-=- 得证．那么对于,A B 分别是n m ?和m n ?矩阵，0λ≠能否得到：n m n m E AB E BA λλλ-+=+答案是肯定的．证：00n n n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-+-= ?-∴有：nn mE AE AB BE λλ-=+ ⼜ 11n nnm m m E E A E A BE B BA E E λλλλ-?? ? ?= ? ?+1E λλλλλ--∴=+=+ n m n m E AB E BA λλλ-∴+=+即得：对,A B 分别为n m ?和m n ?矩阵，0λ≠时，有：n m nmE AB E BA λλλ-=则当1λ=时，有：nmE AB E BA =∴引理得证．例13 计算如下⾏列式的值：1231231233123n n n n n a b a a a a a b a a D a a a b a a a a a a b ++=++解：令矩阵1231231233123n n n n a b a a a a a ba a A a a ab a a a a a a b++=++则可得：()123123121233123n n n n na a a a a a a a A bE bE a a a a a a a a a a a a ?? ? ?=+=+ ? ???11n n n bE B C ??=+ 其中 ()()1112111,,,,Tn n n B C a a a ??==那么根据上⾯所提到的引理可得：111n n n n n D bE BC b b C B -??=+=+⼜ ()11121111,,,n n n n i i C B a a a a ??=?? ? ?== ? ???∑可得：11()nn n i i D b a b -==+∑［点评］例13还可⽤加边法解决，不过这⾥的解法显然更简洁，且其中蕴含的理论更深刻．⼗⼀、⾼等数学法有些⾏列式可以看成函数，运⽤⾼等数学的求导、积分等⽅法解决．例14 求下列⾏列式的值：...........................n x y y y z x y yD z z x y z z z x=解：把n D 看作是x 的函数（即x 的n 次多项式），记作()n D x ，按Taylor 公式在z 处展开：()2'()''()()()()()()...1!2!!n n n n n n D z D z D z D x D z x z x z n =+-+-++，则 ......()=.....................n zy y y z z y yD z z z z y z z z z将()n D z 第⼀列减去第⼆列，第⼆列减去第三列，……，第n-1列减去第n 列，则有0..,00...0()............y z y y D z z y y z--=- 故有1()()k k D z z z y -=-，1,2,...,k n = （*）将()n D z 对x 求导，结果是n 个⾏列式之和，⽽每个⾏列式是由()n D x 对每⼀⾏求导⽽其余各⾏不变得到的．例如，对第⼀⾏求导得到100...0........................z x y yz z x y z z z x将上述⾏列式按第⼀⾏展开，得到1()n D x -．类似地，对任意的第k ⾏求导，同样得到1()n D x -．因此1'()()n n D x nD x -=．类似地有12'()(1)()n n D x n D x --=-，……，21'()2()D x D x =，1'()1D x =（由于1()D x x =）取x z =处地导数，由（*）得1'()()n n D z nz z y -=-，2''()(1)()n n D z n n z z y -=--，……，(1)()(1)...2n nD z n n z -=-，()()(1)...1!n n D z n n n =-=代⼊Taylor 展开式，得12!()()()()...()1!!n n n n n n D x z z y z z y x z x z n --=-+--++- 当y z =时，上式简化为1()0...0()()n n n D x ny x y x y -=+++-+-1()[(1)]n x y x n y -=-+-当y z ≠时，上式简化为1()[()()()...()]()1!n n n n n z n y D x z y z y x z x z x z z y z y-=-+--++----- [()()]()n n z y z y x z x z z y z y=-+----- ()()n n z x y y x z z y---=-总结⾏列式问题变化多端，但⽅法和范式只有若⼲种．对于正常难度的问题，⾸先运⽤初等变换的⽅式看能否容易地变成各种已知解法的“范式”；若不易求出，则应对低阶情况下的⾏列式进⾏试验，尝试找出规律，再⽤数学归纳法证明，或利⽤初等变换、多项式法等，向结论“靠拢”．。

2 1 0 2 1 0
12 1 11 2 （2） 0 1 1 0 1 1 （第二、 三列互换）
2 1 0 2 0 1
1 （3） 1
5
10 1 0 0 （第一、二两行相等） 27
2 1 1 （4） 4 2 2 0 （第二、三列相等）
7 3 3
1 例 4（1） 0
2
1 1 2
2 5 0 因为第三行是第一行的 2 倍. 22
性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D DT . 注 由性质 1 知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的 列也同样具有. 性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论 若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质 3 用数 k 乘行列式的某一行(列), 等于用数 k 乘此行列式, 即
1 4 10
2 8 35
（2）
0 因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的 4
0 0 14
1 4 5 7
倍.
1 0 2 2 0 4
10 2
例 5 若 D 3 1 0 , 则 3 1 0 (2) 3 1 0 2D
1 2 1 1 2 1
1 2 1
4 0 2 10 2 又 12 1 0 4 3 1 0 4D .
1 23
例 1 计算三阶行列式 4 0 5 1 0 6
1 23 解 4 0 5 1 0 6 2 5(1) 3 4 0 3 0 (1) 1 5 0 4 2 6
1 0 6
10 48 58.
但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式 的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。
注: 以数 k 乘第 j 行加到第 i 行上,记作 ri krj ; 以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上，记作

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式 001002001000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a aa a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质T A A =，12131122321323312300n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)00n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

a + −a −a x
a
Ek = Fk k = 1,2, , n
由（4）式， Fn 的每一行都能提出一个因子 a ，故 Fn 等于 a n 乘一个 n 阶行列式，这一个行 列式就是例 1 的 Dn 。前面算出 Dn = n + 1，故 Ek = Fk = (n + 1)a n
例 2 计算 n 阶范德蒙行列式行列式
111
1
a
n 2
−
3
(
a2
−
a1 )
a2n−2 (a2 − a1 )
1
a2
(an − a1 )
a
2 2
1 an − a1 an (an − a1 )
ann−3 (an − a1 ) ann−2 (an − a1 )
1
1
a3
an
a32
a
2 n
a a n−2
n−2
2
3
an−2 n
= (a2 − a1 )(a3 − a1 ) (an − a1 ) Dn−1
（2）
Dn−1 − αDn−2 = β (Dn−2 − αDn−3 )
直接计算
D3 − αD2 = β (D2 − αD1)
（递推计算）
∴ Dn − αDn−1 = β 2 (Dn−2 − αDn−3 )
= = β n−2 (D2 − αD1)
D1 = α + β α+β
D2 = 1
αβ = (α + β )2 − αβ α +β
a1 a2 a3
an
Dn = a12 a22 a332
an2
a a a n−1
n−1
n−1