: x2 y2 z2 a2 解 ( x 2 y z)2 dv
( x 2 y z )dv
2 2 2 2
z a o
x
y
( 2 2 xy 2 2 yz 2zx )dv
( x 2 y z )dv 0
当被积函数形如 f ( x 2 y 2 z 2 )时, 由圆锥面等所围时, 选用球面坐标计算 三重积分较好。
有的三重积分可能有多种选择：不同的坐标 系、不同的顺序积等。总结经验，选取简单 的方法。
7
4、三重积分中的对称性的应用。
(1)设关于平面xoy对称。
若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 0, 2 f ( x, y, z)dV , 若f ( x, y, z) f ( x, y, z) 1
2 1
ln 2。
21
例5 把
f ( x, y, z)dxdydz化为三次积分, 其中
2
y2 (1) 是由z xy, z 0, x2 2 1所围成的在 a b 第一卦限内的闭区域;
(2)Ω由z =x2+y2，y =x2，y=1，z =0所围成的闭区 域
(3) 是由z x 2 y 2 , z x 2 y 2 所围成的 闭区域。
2
Dxy : x y 1
2
I ( x y z )2 dxdydz ( 2 x 2 z 2 )dxdydz ,
d dr 2
1 0 0 r
2 r 2
(90 2 89)。
60
r ( 2r 2 cos 2 z 2 )dz
