2018 初三中考数学复习 二次函数的图象和性质 专题训练题 含答案

二次函数中考真题系列1．如图，矩形OABC 的两边在坐标轴上，点A 的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4 过点B，C 两点，且与x 轴的一个交点为D（﹣2，0），点P 是线段CB 上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C 两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P 作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t 为何值时，∠PBE 和Rt △OCD 中的一个角相等？？（3）点Q 是x 轴上的动点，过点P 作PM∥BQ，交CQ 于点M，作PN∥CQ，交BQ 于点N，当四边形PMQN 为正方形时，求t 的值为．2．如图①，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x 轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC 的面积与△OBC 的面积相等，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．抛物线y=﹣x+3 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，连接BC．（1）如图1，求直线BC 的表达式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB 面积最大时，一动点Q 从点P 从出发，沿适当路径运动到y 轴上的某个点G 再沿适当路径运动到x 轴上的某个点H 处，最后到达线段BC 的中点F 处停止．求当△PCB 面积最大时，点P 的坐标及点Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长；（3）如图2，在（2）的条件下，当△PCB 面积最大时，把抛物线y=﹣x+3 向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线y'，在新抛物线y'上是否存在点E，使△ECB 的面积等于△PCB 的面积．若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，直线l：y=﹣x+1 与x 轴、y 轴分别交于点B、C，经过B、C 两点的抛物线y=x2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 在直线l 下方的抛物线上，过点P 作PD∥x 轴交l 于点D，PE∥y 轴交l 于点E，求PD+PE 的最大值；（3）设F 为直线l 上的点，以A、B、P、F 为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．。

2018年九年级数学上册二次函数图像性质一、选择题:1.对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是( )A.当b=0时，二次函数是y=ax2+cB.当c=0时，二次函数是y=ax2+bxC.当a=0时，一次函数是y=bx+cD.以上说法都不对2.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A.图象关于直线x=1对称B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4C.－1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D.当x＜1时，y随x的增大而增大3.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示:若点A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上,且x1<x2<1,则y1与y2的大小关系是( )A.y1≤y2B.y1<y2C.y1≥y2D.y1>y24.若二次函数y=x2＋bx＋5配方后为y=(x-2)2＋k，则b，k的值分别为( )A.0，5B.0，1C.-4，5D.-4，15.抛物线y=﹣x2+4x﹣4的对称轴是（）A．x=﹣2 B．x=2 C．x=4 D．x=﹣46.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取何值,其图象的顶点都在( )A.直线y=x上B.直线y=-x上C.x轴上D.y轴上7.已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是( )A.y=-0.5x2+5xB.y=-x2+10xC.y=0.5x2+5xD.y=x2+10x8.抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A.（3，1）B.（3，﹣1）C.（﹣3，1）D.（﹣3，﹣1）9.二次函数y=ax2+bx+c上部分点的坐标满足下表:A.(-3,-3)B.(-2,-2)C.(-1, -3)D.(0,-6)10.二次函数y=x2+2x-7的函数值是8，那么对应的x的值是( )A.5B.3C.3或-5D.-3或511.二次函数y=x2+2x-3的开口方向、顶点坐标分别是（）A.开口向上,顶点坐标为（-1,-4）B.开口向下，顶点坐标为（1,4）C.开口向上,顶点坐标为（1,4）D.开口向下，顶点坐标为（-1,﹣4）12.点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y=－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A.y3＞y2＞y1B.y3＞y1=y2C.y1＞y2＞y3D.y1=y2＞y3二、填空题:13.二次函数y=x2-3x+2的图像与x轴的交点坐标是 ,与y轴的交点坐标为14.抛物线y=-4x2+8x-3的开口方向向，对称轴是，最高点的坐标是，函数值得最大值是。

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A. ①③B. ③④C. ②④D. ②③【答案】B2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B3.关于二次函数，下列说法正确的是（）A. 图像与轴的交点坐标为B. 图像的对称轴在轴的右侧C. 当时，的值随值的增大而减小D. 的最小值为-3【答案】D4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( )A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A. B. C. D.【答案】B6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。

已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A. （-3，-6）B. （-3，0）C. （-3，-5）D. （-3，-1）【答案】B7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（）A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同B. 点火后24s火箭落于地面C. 点火后10s的升空高度为139mD. 火箭升空的最大高度为145m【答案】D8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④（为实数）；⑤当时，，其中正确的是（）A. ①②④B. ①②⑤C. ②③④D. ③④⑤【答案】A10.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D11.四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B12.如图所示,△DEF中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B是斜边DF上一动点,过B作AB⊥DF于B,交边DE(或边EF)于点A,设BD=x,△ABD的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为（）A. （B.C. D. （【答案】B二、填空题13.已知二次函数，当x＞0时，y随x的增大而________（填“增大”或“减小”）【答案】增大14.右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m。

二次函数与图像解答题专项练习30题（有答案）1．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是_________（把正确的序号都填上）．2．若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为_________．3．二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是_________．4．已知下列函数①y=x2；②y=﹣x2；③y=（x﹣1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x﹣3的图象的有_________（填写所有正确选项的序号）．5．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．6．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．7．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣．8．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=8，求点B的坐标．9．（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；①y随x变化的部分数值规律如下表：x ﹣1 0 1 2 3y 0 3 4 3 0②有序数对（﹣1，0）、（1，4）、（3，0）满足y=ax2+bx+c；③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分（如图）．（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．10．已知A（1，0）、B（0，﹣1）、C（﹣1，2）、D（2，﹣1）、E（4，2）五个点，抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）经过其中的三个点．（1）求证：C、E两点不可能同时在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上；（2）点A在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上吗？为什么？（3）求a和k的值．11．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，﹣1）、B（0，2）、C（1，3）；（1）求二次函数的解析式；（2）画出二次函数的图象．12．如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y1=﹣x+m与二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y1＞y2时自变量x的取值范围．13．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣2，0）．（1）求此二次函数的解析式及点B的坐标；（2）在抛物线上有一点P，满足S△AOP=3，请直接写出点P的坐标．14．已知反比例函数y=的图象与二次函数y=ax2+x﹣1的图象相交于点（2，2）（1）求a和k的值；（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点，为什么？15．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是B（﹣2，0）．（1）求二次函数的关系式，并写出顶点坐标；（2）将二次函数图象沿x轴向左平移个单位长度，求所得图象对应的函数关系式．16．已知二次函数y=ax2+bx+c中的x，y满足下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 …求这个二次函数关系式．17．如图，曲线C是函数y=在第一象限内的图象，抛物线是函数y=﹣x2﹣2x+4的图象．点P n（x，y）（n=1，2，…）在曲线C上，且x，y都是整数．（1）求出所有的点P n（x，y）；（2）在P n中任取两点作直线，求所有不同直线的条数；（3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率．18．如图，直线y=﹣x﹣2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，且经过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点C（m，）在抛物线上，求m的值．19．推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_________个单位，使得该图象的顶点在原点．20．已知，在同一直角坐标系中，反比例函数y=与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．（1）求m、c的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．21．已知点A（﹣2，﹣c）向右平移8个单位得到点A′，A与A′两点均在抛物线y=ax2+bx+c上，且这条抛物线与y轴的交点的纵坐标为﹣6，求这条抛物线的顶点坐标．22．在平面直角坐标系中，有A（2，3）、B（3，2）两点．（1）请再添加一点C，求出图象经过A、B、C三点的函数关系式．（2）反思第（1）小问，考虑有没有更简捷的解题策略？请说出你的理由．23．已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点（2，0）、（﹣1，6）（1）求二次函数的解析式；（2）不用列表，在下图中画出函数图象，观察图象写出y＞0时，x的取值范围．24．已知开口向上的抛物线y=ax2﹣2x+|a|﹣4经过点（0，﹣3）．（1）确定此抛物线的解析式；（2）当x取何值时，y有最小值，并求出这个最小值．25．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．26．二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC．（1）求C的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．27．已知抛物线y=4x2﹣11x﹣3．（Ⅰ）求它的对称轴；（Ⅱ）求它与x轴、y轴的交点坐标．28．已知二次函数图象经过（2，﹣3），对称轴x=1，抛物线与x轴两交点距离为4，求这个二次函数的解析式．29．已知抛物线y=x2﹣2x﹣3，将y=x2﹣2x﹣3用配方法化为y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出对称轴、顶点坐标及图象与x轴、y轴的交点坐标．30．已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．二次函数与图像选择题30题参考答案：1．解：根据图象可得：a ＜0，c ＞0，对称轴：x=﹣=1，=﹣1，b=﹣2a ，∵a ＜0，∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；把x=﹣1代入函数关系式y=ax 2+bx+c 中得：y=a ﹣b+c ，由图象可以看出当x=﹣1时，y ＜0，∴a ﹣b+c ＜0，故②正确；∵b=﹣2a ，∴a ﹣（﹣2a ）+c ＜0，即：3a+c ＜0，故③正确； 由图形可以直接看出④错误．故答案为：①②③．2. 解：设抛物线的解析式为y=a （x ﹣2）2+1，将B （1，0）代入y=a （x ﹣2）2+1得，a=﹣1， 函数解析式为y=﹣（x ﹣2）2+1，展开得y=﹣x 2+4x ﹣3．故答案为y=﹣x 2+4x ﹣3． 3．解：原式=x 2﹣2x+1+5=（x ﹣1）2+5，可见，二次函数的最小值为5．故答案为5．4．解：原式可化为：y=（x+1）2﹣4，由函数图象平移的法则可知，将函数y=x 2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）2﹣4，的图象，故①正确；函数y=（x+1）2﹣4的图象开口向上，函数y=﹣x 2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；将y=（x ﹣1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2﹣4的图象，故③正确．故答案为：①③．5．解：（1）∵二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（4，3），（3，0）， ∴，解得；（2）∵该二次函数为y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1．∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2； （3）列表如下：6．解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x 2+bx+c 得，解得，…（1分）∴解析式为y=x 2﹣2x …（1分）（2）∵y=x 2﹣2x=（x ﹣1）2﹣1，∴顶点为（1，﹣1）对称轴为：直线x=1 （3）设点B 的坐标为（a ，b ），则×2|b|=3，解得b=3或b=﹣3，∵顶点纵坐标为﹣1，﹣3＜﹣1 （或x 2﹣2x=﹣3中，x 无解）∴b=3 ∴x 2﹣2x=3 解得x 1=3，x 2=﹣1∴点B 的坐标为（3，3）或（﹣1，3） 7．解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A （﹣2，0），C （0，3），∴c=3，将A （﹣2，0）代入y=﹣x 2+bx+3得， ﹣×（﹣2）2﹣2b+3=0，解得b=，可得函数解析式为y=﹣x 2+x+3；（2）如图：连接AD ，与对称轴相交于P ，由于点A 和点B 关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP ， 当A 、P 、D 共线时BP+DP=AP+DP 最小．设AD 的解析式为y=kx+b ， 将A （﹣2，0），D （2，2）分别代入解析式得，，x … 0 1 2 3 4 … y…3﹣13…解得，，故直线解析式为y=x+1，（﹣2＜x＜2），由于二次函数的对称轴为x=﹣=，则当x=时，y=×+1=，故P（，）．8．解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得b=2，c=0，所以解析式为y=﹣x2+2x；（2）∵a=﹣1，b=2，c=0，∴﹣=﹣=1，==1，∴顶点为（1，1），对称轴为直线x=1；（3）设点B的坐标为（a，b），则×2|b|=8，∴b=8或b=﹣8，∵顶点纵坐标为1，8＞1（或﹣x2+2x=8中，x无解），∴b=﹣8，∴﹣x2+2x=﹣8，解得x1=4，x2=﹣2，所以点B的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，﹣8 ）．9．解：（1）若选择①：根据表格可知，抛物线顶点坐标为（1，4），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，将点（0，3）代入，得a（0﹣1）2+4=3，解得a=﹣1，所以，抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；若选择②，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将（﹣1，0）、（1，4）、（3，0）代入得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；若选择③，由图象得到抛物线顶点坐标为（1，4），且过（0，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，将（0，3）代入得：a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）抛物线y=﹣x2+2x+3的性质：①对称轴为直线x=1，②当x=1时，函数有最大值为4，③当x＜1时，y随x的增大而增大．10．解：（1）∵抛物线y=a（x﹣1）2+k的对称轴为x=1，而C（﹣1，2），E（4，2）两点纵坐标相等，由抛物线的对称性可知，C、E关于直线x=1对称，又∵C（﹣1，2）与对称轴相距2，E（4，2）与对称轴相距3，∴C、E两点不可能同时在抛物线上；（2）假设点A（1，0）在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上，则a（1﹣1）2+k=0，解得k=0，因为抛物线经过5个点中的三个点，将B（0，﹣1）、C（﹣1，2）、D（2，﹣1）、E（4，2）代入，得出a的值分别为a=﹣1，a=，a=﹣1，a=，所以抛物线经过的点是B，D，又因为a＞0，与a=﹣1矛盾，所以假设不成立．所以A不在抛物线上；而k为任意数，这与抛物线是确定的矛盾，故点A不在抛物线y=a（x﹣1）2+k（a＞0）上．∴A点不在抛物线上；（3）将D（2，﹣1）、C（﹣1，2）两点坐标代入y=a（x﹣1）2+k中，得，解得，或将E、D两点坐标代入y=a（x﹣1）2+k中，得，解得，综上所述，或．11．解：（1）根据题意，得，解得，，∴所求的解析式是y=﹣x2+2x+2；（2）二次函数的图象如图所示：12．解：（1）由于A（﹣1，0）在一次函数y1=﹣x+m的图象上，得：﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1；已知A（﹣1，0）、B（2，﹣3）在二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上，则有：，解得；∴二次函数的解析式为y2=x2﹣2x﹣3；（2）由两个函数的图象知：当y1＞y2时，﹣1＜x＜2．13．解：（1）将A、O两点坐标代入解析式y=﹣x2+bx+c，有：，解得：，∴此二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣2x，变化形式得：y=﹣（x+1）2+1，顶点坐标B（﹣1，1）．（2）P1（﹣3，﹣3），P2（1，﹣3）．14．解：（1）因为二次函数y=ax2+x﹣1与反比例函数y=交于点（2，2）所以2=4a+2﹣1，解之得a=2=，所以k=4；（2）反比例函数的图象经过二次函数图象的顶点；由（1）知，二次函数和反比例函数的关系式分别是y=x2+x﹣1和y=；因为y=x2+x﹣1=y=（x2+4x﹣4）=（x2+4x+4﹣8）=y=[（x+2）2﹣8]=（x+2）2﹣2，所以二次函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣2）；因为x=﹣2时，y==﹣2，所以反比例函数图象经过二次函数图象的顶点．15．解：（1）依题意，有：，解得；∴y=x2﹣x﹣6=x2﹣x+﹣=（x﹣）2﹣；∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）．（2）由（1）知：抛物线的解析式为y=（x﹣）2﹣；将其沿x轴向左平移个单位长度，得：y=（x﹣+）2﹣=（x+2）2﹣．16．解：把点（0，﹣2）代入y=ax2+bx+c，得c=﹣2．再把点（﹣1，0），（2，0）分别代入y=ax2+bx﹣2中，得，解得，∴这个二次函数的关系式为：y=x2﹣x﹣2．17．解：（1）∵x，y都是正整数，且y=，∴x=1，2，3，6．∴P1（1，6），P2（2，3），P3（3，2），P4（6，1）；（2）从P1，P2，P3，P4中任取两点作直线为：P1P2，P1P3，P1P4，P2P3，P2P4，P3P4，∴不同的直线共有6条；（3）∵只有直线P2P4，P3P4与抛物线有公共点，而（2）中共有6条直线，∴从（2）的所有直线中任取一条直线与抛物线有公共点的概率是．18．解：（1）由直线y=﹣x﹣2，令x=0，则y=﹣2，∴点B坐标为（0，﹣2），令y=0，则x=﹣2，∴点A坐标为（﹣2，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣h）2+k，∵抛物线顶点为A，且经过点B，∴y=a（x+2）2，∴﹣2=4a，解得a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）2，即y=﹣x2﹣2x﹣2；（2）方法1：∵点C（m，）在抛物线y=﹣（x+2）2上，∴﹣（m+2）2=，（m+2）2=9，解得m1=1，m2=﹣5；方法2：∵点C（m，）在抛物线y=﹣x2﹣2x﹣2上，∴﹣m2﹣2m﹣2=，∴m2+4m﹣5=0，解得m1=1，m2=﹣5．19.解：（1）设y=ax2+bx﹣3，（1分）把点（2，﹣3），（﹣1，0）代入得，（2分）解方程组得∴y=x2﹣2x﹣3；（3分）（也可设y=a（x﹣1）2+k）（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，（4分）∴函数的顶点坐标为（1，﹣4）；（5分）（3）|1﹣0|+|﹣4﹣0|=5．20．解：（1）∵点A在函数y=的图象上，∴m==﹣5，∴点A坐标为（﹣1，﹣5），∵点A在二次函数图象上，∴﹣1﹣2+c=﹣5，c=﹣2．（2）∵二次函数的解析式为y=﹣x2+2x﹣2，∴y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣1）．21．解：由抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的纵坐标为﹣6，得c=﹣6．∴A（﹣2，6），点A向右平移8个单位得到点A′（6，6）．∵A与A′两点均在抛物线上，∴，解这个方程组，得，故抛物线的解析式是y=x2﹣4x﹣6=（x﹣2）2﹣10，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣10）．22．解：（1）不妨令C（0，3），设该二次函数的解析式是y=ax2+bx+3，则有，解得，即该二次函数的解析式是y=﹣x2﹣x+3．（2）观察A、B两个点的坐标，发现：两个点的坐标乘积相等，即在双曲线y=上，所以只需从该双曲线外任意取一点C即可．23．解：（1）∵y=ax2+bx的图象经过点（2，0）、（﹣1，6）；∴，解得；∴二次函数的解析式为y=2x2﹣4x．（2）如图；由图可知：当y＞0时，x＞2或x＜0．24. （1）由抛物线过（0，﹣3），得：﹣3=|a|﹣4，|a|=1，即a=±1．∵抛物线开口向上，∴a=1，故抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴当x=1时，y有最小值﹣4．25．解：（1）设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c；由已知，抛物线过A（﹣2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得；解这个方程组，得a=2，b=2，c=﹣4；∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x﹣4．（2）y=2x2+2x﹣4=2（x2+x﹣2）=2（x+）2﹣，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）．26．解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）∴AO=1，OB=4，AB=AO+OB=1+4=5，∴OC=5，即点C的坐标为（0，5）；（2）解法1：设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c由于这个函数图象过点（0，5），可以得到C=5，又由于该图象过点（﹣1，0），（4，0），则：，解方程组，得∴所求的函数解析式为y=﹣x2+x+5∵a=﹣＜0∴当x=﹣=时，y有最大值==；解法2：设图象经过A、C、B二点的二次函数的解析式为y=a（x﹣4）（x+1）∵点C（0，5）在图象上，∴把C坐标代入得：5=a（0﹣4）（0+1），解得：a=﹣，∴所求的二次函数解析式为y=﹣（x﹣4）（x+1）∵点A，B的坐标分别是点A（﹣1，0），B（4，0），∴线段AB的中点坐标为（，0），即抛物线的对称轴为直线x=∵a=﹣＜0∴当x=时，y有最大值y=﹣=．27. 解：（I）由已知，a=4，b=﹣11，得，∴该抛物线的对称轴是x=；1（II）令y=0，得4x2﹣11x﹣3=0，解得x1=3，x2=-428．解：∵抛物线与x轴两交点距离为4，且以x=1为对称轴∴抛物线与x轴两交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x﹣3）又∵抛物线过（2，﹣3）∴﹣3=a（2+1）（2﹣3）解得a=1∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．29．解：y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣1﹣3=（x﹣1）2﹣4，对称轴是x=1，顶点坐标是（1，﹣4），当x=0时，y=﹣3，所以y轴的交点坐标为（0，﹣3），当y=0时，x=3或x=﹣1即与x轴的交点坐标为（3，0），（﹣1，0）．30．解：（1）设这个二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，∵二次函数图象经过三点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8），∴．∴这个二次函数的解析式为：y=﹣x2﹣2x；（2）∵y=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，∴这个二次函数的对称轴为x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，1）．。

沪科版九年级数学上册二次函数的图象和性质中考题汇编二（含答案）一、 选择题1. (2018·岳阳)抛物线y ＝3(x －2)2＋5的顶点坐标是( ) A. (－2，5) B. (－2，－5) C. (2，5) D. (2，－5)2. (2018·山西)用配方法将二次函数y ＝x 2－8x －9化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式为( )A. y ＝(x －4)2＋7B. y ＝(x －4)2－25C. y ＝(x ＋4)2＋7D. y ＝(x ＋4)2－253. (2018·攀枝花)抛物线y ＝x 2－2x ＋2的顶点坐标为( ) A. (1，1) B. (－1，1) C. (1，3) D. (－1，3)4. (2018·陕西)对于抛物线y ＝ax 2＋(2a －1)x ＋a －3，当x ＝1时，y ＞0，则这条抛物线的顶点一定在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. (2018·上海)下列对二次函数y ＝x 2－x 的图象的描述，正确的是( ) A. 开口向下 B. 对称轴是y 轴C. 经过原点D. 对称轴右侧部分是下降的6. (2018·成都)关于二次函数y ＝2x 2＋4x －1，下列说法正确的是( ) A. 图象与y 轴的交点坐标为(0，1) B. 图象的对称轴在y 轴的右侧C. 当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小D. y 的最小值为－37. (2018·莱芜)函数y ＝ax 2＋2ax ＋m (a ＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y ＜0成立的x 的取值范围是( )A. x ＜－4或x ＞2B. －4＜x ＜2C. x ＜0或x ＞2D. 0＜x ＜28. (2018·襄阳)已知二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( )A. m ≤5B. m ≥2C. m ＜5D. m ＞2 9. (2018·河北)对于题目“一段抛物线L ：y ＝－x (x －3)＋c (0≤x ≤3)与直线l ：y ＝x ＋2有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c ＝3或4，则( ) A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确C. 甲、乙的结果合在一起才正确D. 甲、乙的结果合在一起也不正确10. (2018·黄冈)当a ≤x ≤a ＋1时，函数y ＝x 2－2x ＋1的最小值为1，则a 的值为( ) A. －1 B. 2 C. 0或2 D. －1或211. (2018·潍坊)已知二次函数y ＝－(x －h )2(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为( ) A. 3或6 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或612. (2018·泸州)已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3(其中x 是自变量)，当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且当－2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为( ) A. 1或－2 B. －2或 2 C. 2 D. 113. (2018·广安)抛物线y ＝(x －2)2－1可以由抛物线y ＝x 2平移而得到，下列平移正确的是( ) A. 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B. 先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度14. (2018·哈尔滨)将抛物线y ＝－5x 2＋1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为( )A. y ＝－5(x ＋1)2－1B. y ＝－5(x －1)2－1C. y ＝－5(x ＋1)2＋3D. y ＝－5(x －1)2＋315. (2018·南宁)将抛物线y ＝12x 2－6x ＋21向左平移2个单位长度后，得到新抛物线对应的函数解析式为( )A. y ＝12(x －8)2＋5B. y ＝12(x －4)2＋5C. y ＝12(x －8)2＋3D. y ＝12(x －4)2＋316. (2018·绍兴)若抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴的两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线的对称轴为直线x ＝1，将此抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线过点( )A. (－3，－6)B. (－3，0)C. (－3，－5)D. (－3，－1)17. (2018·永州)在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝bx(b ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx (a ≠0)的图象大致是( )A B C D18. (2018·青岛)一次函数y ＝bax ＋c 的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在平面直角坐标系中的图象可能是( )A B C D第18题第19题19. (2018·泰安)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则反比例函数y ＝a x与一次函数y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的大致图象是( )A B C D20. (2018·通辽)已知抛物线y ＝x 2＋2x ＋k ＋1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝kx在同一坐标系内的大致图象是( )A B CD21. (2018·德州)如图，函数y ＝ax 2－2x ＋1和y ＝ax －a (a 是常数，且a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A B C D22. (2018·宁波)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点P .若点P 的横坐标为－1，则一次函数y ＝(a －b )x ＋b 的图象大致是( )A B C D第22题第23题23. (2018·菏泽)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx ＋a 与反比例函数y ＝a ＋b ＋cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) A B CD24. (2018·枣庄)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，且过点A (3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x ＝1，下列结论正确的是( )A. b 2＜4ac B. ac ＞0 C. 2a －b ＝0 D. a －b ＋c ＝0第24题 第25题25. (2018·遂宁)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则以下结论同时成立的是( )A. ⎩⎪⎨⎪⎧abc >0，b 2－4ac <0B. ⎩⎪⎨⎪⎧abc <0，2a ＋b >0C. ⎩⎪⎨⎪⎧abc >0，a ＋b ＋c <0D. ⎩⎪⎨⎪⎧abc <0，b 2－4ac >0 26. (2018·抚顺)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (0＜2a ≤b )与x 轴最多有一个交点．以下四个结论：① abc＞0；② 该抛物线的对称轴在直线x ＝－1的右侧；③ 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋1＝0无实数根；④a ＋b ＋cb≥2.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个27. (2018·烟台)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)．下列结论：① 2a －b ＝0；② (a ＋c )2＜b 2；③ 当－1＜x ＜3时，y ＜0；④ 当a ＝1时，将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y ＝(x －2)2－2.其中正确的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ③④第27题 第28题28. (2018·衡阳)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0，2)，(0，3)之间(包含端点)．下列结论：① 3a ＋b ＜0；② －1≤a ≤－23；③ 对于任意实数m ，a ＋b ≥am 2＋bm 总成立；④ 关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个29. (2018·安顺)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，分析下列四个结论：① abc ＜0；② b2－4ac ＞0；③ 3a ＋c ＞0；④ (a ＋c )2＜b 2.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个第29题第30题30. (2018·资阳)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，OA ＝OC ，则由抛物线的特征写出如下含有a ，b ，c 三个字母的等式或不等式：① 4ac －b 24a ＝－1；② ac ＋b ＋1＝0；③ abc ＞0；④ a －b ＋c ＞0.其中正确的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 131. (2018·达州)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A (－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，2)与(0，3)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝2.下列结论：① abc ＜0；② 9a ＋3b ＋c ＞0；③ 若点M (12，y 1)，N (52，y 2)是函数图象上的两点，则y 1＜y 2；④ －35＜a ＜－25.其中正确的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第31题第32题32. (2018·荆门)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(－2，－9a)，下列结论：① 4a＋2b ＋c ＞0；② 5a－b ＋c ＝0；③ 若方程a(x ＋5)(x －1)＝－1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则－5＜x 1＜x 2＜1；④ 若方程|ax 2＋bx ＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为－4.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个33. (2018·乐山)二次函数y ＝x 2＋(a －2)x ＋3的图象与一次函数y ＝x (1≤x ≤2)的图象有且仅有一个交点，则实数a 的取值范围是( )A. a ＝3±2 3B. －1≤a ＜2C. a ＝3＋23或－12≤a ＜2D. a ＝3－23或－1≤a ＜－1234. (2018·呼和浩特)若满足12＜x ≤1的任意实数x ，都能使不等式2x 3－x 2－mx ＞2成立，则实数m 的取值范围是( )A. m ＜－1B. m ≥－5C. m ＜－4D. m ≤－435. (2018·湖州)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为(－1，2)，(2，1)．若抛物线y ＝ax 2－x ＋2(a≠0)与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是( ) A. a ≤－1或14≤a ＜13 B. 14≤a ＜13C. a ≤14或a ＞13D. a ≤－1或a ≥1436. (2018·桂林)如图，在平面直角坐标系中，M ，N ，C 三点的坐标分别为(12，1)，(3，1)，(3，0)，A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作AB⊥AC 交y 轴于点B.当点A 从点M 运动到点N 时，点B 随之运动．设点B 的坐标为(0，b)，则b 的取值范围是( )第36题A. －14≤b ≤1B. －54≤b ≤1C. －94≤b ≤12D. －94≤b ≤1二、 填空题37. (2018·哈尔滨)抛物线y ＝2(x ＋2)2＋4的顶点坐标为________．38. (1) (2018·淮安)将二次函数y ＝x 2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________；(2) (2018·乌鲁木齐)把拋物线y ＝2x 2－4x ＋3沿x 轴向左平移1个单位长度，得到的抛物线的对应的函数解析式为__________．39. (2018·黔南州)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是________.40. (2018·湖州)已知抛物线＝＋－3(≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，那么a 的值为______，b 的值为______．41. (2018·孝感)如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)，B (1，1)，则关于x 的方程ax 2＝bx ＋c 的解为______________．第41题 第44题42. (2018·自贡)若函数y ＝x 2＋2x －m 的图象与x 轴有且只有一个公共点，则m 的值为________．43. (2018·镇江)已知二次函数y ＝x 2－4x ＋k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是________．44. (2018·新疆)如图，已知抛物线y 1＝－x 2＋4x 和直线y 2＝2x .我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2.若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1＝y 2，记M ＝y 1＝y 2.下列结论：① 当x ＞2时，M ＝y 2；② 当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③ 使得M 大于4的x 的值不存在；④ 若M ＝2，则x ＝1.其中正确的结论是________．(填序号)45. (2018·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．第45题第46题46. (2018·长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋mx 交x 轴的负半轴于点A .B 是y 轴正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点A ′恰好落在抛物线上．过点A ′作x 轴的平行线交抛物线于另一点C .若点A ′的横坐标为1，则A ′C 的长为________．47. (2018·遵义)如图，抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，P 是抛物线对称轴上任意一点．若D ，E ，F 分别是BC ，BP ，PC 的中点，连接DE ，DF ，则DE ＋DF 的最小值为________．第47题 第49题48. (2018·淄博)已知抛物线y ＝x 2＋2x －3与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，将这条抛物线向右平移m (m ＞0)个单位长度，平移后的抛物线与x 轴交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)．若B ，C 是线段AD 的三等分点，则m 的值为________．49. (2018·遂宁)如图，抛物线y ＝ax 2－4x ＋c (a ≠0)与反比例函数y ＝9x的图象相交于点B ，且点B 的横坐标为3，抛物线与y 轴交于点C (0，6)，A 是抛物线y ＝ax 2－4x ＋c 的顶点，P 是x 轴上一动点．当PA ＋PB 最小时，点P 的坐标为________．50.(2018·恩施州)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝－1，部分图象如图所示，下列判断：① abc＞0；② b 2－4ac ＞0；③ 9a－3b ＋c ＝0；④ 若点(－0.5，y 1)，(－2，y 2)均在抛物线上，则y 1＞y 2；⑤ 5a －2b ＋c ＜0.其中正确的判断是________．(填序号)第50题 第51题51. (2018·大庆)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(4，y 1)．若D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论：① 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ；② 若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a；③ 若y 2＞y 1，则x 2＞4；④ 一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.其中正确的结论是________．(填序号) 三、 解答题52. (2018·绍兴)学校拓展小组研制了如图①所示的绘图智能机器人，顺次输入点P 1，P 2，P 3的坐标，机器人能根据图②，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数解析式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数解析式．（1）`P 1（4，0），P 2（0，0），P 3（6，6）；（2）`P 1（0，0），P 2（4，0），P 3（6，6）.53. (2018·云南)已知二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象经过A(0，3)，B(－4，－92)两点．(1) 求b ，c 的值．(2) 二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．54. (2018·南京)已知二次函数y ＝2(x －1)(x －m －3)(m 为常数)． (1) 求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点； (2) 当m 取什么值时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？55. (2018·杭州)设二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx －(a ＋b)(a ，b 是常数，a≠0)． (1) 判断该二次函数的图象与x 轴的交点的个数，并说明理由；(2) 若该二次函数的图象经过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的两个，求该二次函数的解析式； (3) 若a ＋b ＜0，点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数的图象上，求证：a ＞0.56. (2018·宁波)已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过点(1，0)，(0，32)．(1) 求该抛物线对应的函数解析式；(2) 将抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数解析式．57. (2018·苏州)如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于点A，B(点A位于点B的左侧)，C为顶点，直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D.(1) 求线段AD的长．(2) 平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′.若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数解析式．第57题58. (2018·陕西)已知抛物线l：y＝x2＋x－6与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，并与y轴相交于点C.(1) 求A，B，C三点的坐标及△ABC的面积；(2) 将抛物线l向左或向右平移，得到抛物线l′，且l′与x轴相交于A′，B′两点(点A′在点B′的左侧)，并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数解析式．59. (2018·温州)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx(a≠0)交x 轴正半轴于点A ，直线y ＝2x 经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x ＝2，交x 轴于点B. (1) 求a ，b 的值．(2) P 是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP ，BP.设点P 的横坐标为m ，△OBP 的面积为S ，记K ＝Sm，求K 关于m 的函数解析式及K 的取值范围．第59题60. (2018·北京)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝4x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C. (1) 求点C 的坐标； (2) 求抛物线的对称轴；(3) 若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．61. (2018·泰州)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的图象与x轴有两个交点．(1) 当m＝－2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；(2) 过点P(0，m－1)作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l 上)，求m的取值范围；(3) 在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．第61题62. (2018·金华)如图，抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)过点E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边)，点C，D在抛物线上．设点A的坐标为(t，0)，当t＝2时，AD＝4.(1) 求抛物线的函数解析式．(2) 当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？(3) 保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．第62题63. (2018·昆明)如图，抛物线y＝ax2＋bx过点B(1，－3)，对称轴是直线x＝2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A.(1) 求抛物线对应的函数解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；(2) 在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．第63题64. (2018·菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5，0)和点C(1，0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.(1) 求此抛物线的解析式；(2) E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；(3) 若P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP的最大面积．第64题65. (2018·贵港)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)．(1) 求这个二次函数的解析式．(2) 若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC.① 求线段PM的最大值；② 当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．第65题66. (2018·海南)如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于点A(－1，0)和点B(3，0)．(1) 求该抛物线所对应的函数解析式．(2) 如图②，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D(2，3)在该抛物线上．① 求四边形ACFD的面积；② P是线段AB上的动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．第66题67. (2018·郴州)如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t.(1) 求抛物线的解析式．(2) 设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3) 如图②，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S.① 求S关于t的函数解析式；② 求点P到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．第67题68. (2018·德州)如图①，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A(m，0)，B(4，n)两点，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.(1) 求m，n的值及该抛物线的解析式．(2) 如图②，若P为线段AD上的一动点(不与点A，D重合)，分别以AP，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角三角形APM和等腰直角三角形DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时点P的坐标．(3) 如图③，连接BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第68题69. (2018·达州)如图，抛物线经过原点O(0，0)，点A 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(72，0)．(1) 求抛物线的解析式．(2) 连接OA ，过点A 作AC⊥OA 交抛物线于点C ，连接OC ，求△AOC 的面积．(3) M 是y 轴右侧抛物线上一动点，连接OM ，过点M 作MN⊥OM 交x 轴于点N.问：是否存在点M ，使以O ，M ，N 为顶点的三角形与(2)中的△AOC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．第69题参考答案一、1.C 2.B 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.A 9.D点拨：c ＝1，3，4，5. 10.D 11.B 12.D 13.D 14.A 15.D 16.B 17.D 18.A 19.C 20.D 21.B 22.D 23.B 24.D 25.C 26.C 27.D 28.D 29.B 30.A 31.D32.B 33.D 34.D 点拨：∵12＜x ≤1，∴x ≠0.在2x 3－x 2－mx ＞2两边同时除以x ，得2x 2－x －m >2x .不妨令y 1＝2x 2－x －m ，y 2＝2x ，则y 1>y 2.易得抛物线y 1＝2x 2－x －m 的对称轴为直线x ＝14，且与y 轴交于点(0，－m )．在y 2＝2x 中，令x ＝12，则y ＝4.当抛物线过点(12，4)时，易得－m ＝4.要使y 1>y 2，必须有－m ≥4，即m ≤－4. 35.A 36.B二、37. (－2，4) 38. (1) y ＝x 2＋2 (2) y ＝2x 2＋1 39. (3，0) 40.1 －2 41.x 1＝－2，x 2＝142.－1 43.k ＜4 44.②③ 45.－2 点拨：根据抛物线y ＝ax 2＋bx 与正方形的性质，可设点B 的坐标为(－b 2a ，－b 2a )，代入抛物线y ＝ax 2，可得b 1＝0(舍去)，b 2＝－2. 46.3 47.322 48.2或8 49. (125，0) 50.②③⑤ 51.①④三、52. (1) ∵P 1(4，0)，4－0＝4＞0，∴绘制线段P 1P 2，此时P 1P 2＝4 (2) ∵P 1(0，0)，0－0＝0，∴绘制抛物线．由题意，可设抛物线的函数解析式为y ＝ax(x －4)，把(6，6)代入，得6＝12a ，解得a ＝12，∴y＝12x(x －4)，即y ＝12x 2－2x 53. (1) 把A(0，3)，B(－4，－92)分别代入y ＝－316x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－316×（－4）2－4b ＋c ＝－92，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝98，c ＝3(2) 由(1)，得该二次函数解析式为y ＝－316x 2＋98x ＋3.∵ (98)2－4×(－316)×3＝22564＞0，∴二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点．解－316x 2＋98x ＋3＝0，得x 1＝－2，x 2＝8，∴公共点的坐标是(－2，0)，(8，0)54. (1) 当y ＝0时，2(x －1)(x －m －3)＝0，解得x 1＝1，x 2＝m ＋3.当m ＋3＝1，即m ＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m ＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点 (2) 当x ＝0时，y ＝2m ＋6，即该函数的图象与y 轴交点的纵坐标为2m ＋6.因此当2m ＋6＞0，即m ＞－3时，该函数的图象与y 轴的交点在x 轴的上方55. (1) 交点个数为1或2 理由如下：在y ＝ax 2＋bx －(a ＋b)中，令y ＝0，得ax 2＋bx －(a ＋b)＝0.∵Δ＝b 2－4·a·[－(a ＋b)]＝b 2＋4ab ＋4a 2＝(2a ＋b)2，∴当2a ＋b ＝0，即Δ＝0时，二次函数的图象与x 轴有1个交点；当2a ＋b≠0，即Δ>0时，二次函数的图象与x 轴有2个交点． (2) 当x ＝1时，y ＝a ＋b －(a ＋b)＝0，∴函数图象不可能经过点C.∴函数图象经过A ，B 两点．把A(－1，4)，B(0，－1)分别代入y ＝ax 2＋bx －(a ＋b)，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝a －b －（a ＋b ），－1＝－（a ＋b ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.∴该二次函数的解析式为y ＝3x 2－2x －1 (3)∵点P(2，m)(m ＞0)在该二次函数的图象上，∴m＝4a ＋2b －(a ＋b)＝3a ＋b ＞0.∵a＋b ＜0，∴－(a ＋b)>0.∴3a＋b －(a ＋b)>0，即2a>0.∴a＞056. (1) 把(1，0)，(0，32)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋b ＋c ＝0，c ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝32.∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝－12x 2－x ＋32 (2) ∵y＝－12x 2－x ＋32＝－12(x ＋1)2＋2，∴原抛物线的顶点坐标为(－1，2)．∴将抛物线y ＝－12x 2－x ＋32平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法(答案不唯一)：先将抛物线y ＝－12x 2－x ＋32向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得顶点恰好落在原点的抛物线y ＝－12x 257. (1) 在y ＝x 2－4中，令y ＝0，得x 2－4＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2.∵点A 位于点B 的左侧，∴点A 的坐标为(－2，0)，OA ＝2.∵直线y ＝x ＋m 经过点A ，∴－2＋m ＝0，即m ＝2.∴y＝x ＋2.令x ＝0，得y ＝2.∴点D 的坐标为(0，2)，OD ＝2.∴AD＝OA 2＋OD 2＝2 2 (2) 由(1)，易得直线AD 的解析式为y ＝x ＋2.在y＝x 2－4中，令x ＝0，得y ＝－4.∴点C 的坐标为(0，－4)．根据平移的性质及新抛物线过点D(0，2)，可设新抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2＋bx ＋2.配方，得y ＝(x ＋b 2)2＋2－b 24，则顶点C′的坐标为(－b2，2－b24)．∵CC′平行于直线AD ，且经过点C(0，－4)，∴易得直线CC′的函数解析式为y ＝x －4.把点C′的坐标代入y ＝x －4，得2－b 24＝－b 2－4，整理，得b 2－2b －24＝0，解得b 1＝－4，b 2＝6，∴新抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x ＋2或y ＝x 2＋6x ＋258. (1) 在y ＝x 2＋x －6中，令y ＝0，得x 2＋x －6＝0，解得x 1＝－3，x 2＝2，∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(2，0)．此时AB ＝|－3－2|＝5.令x ＝0，得y ＝－6，∴点C 的坐标为(0，－6)．此时OC ＝6.∴△ABC 的面积为12·AB·OC＝12×5×6＝15 (2) y ＝x 2＋x －6＝(x ＋12)2－254.不妨设抛物线l 向右平移m 个单位长度，则抛物线l′的函数解析式为y ＝(x ＋12－m)2－254.由平移特征，得A′B′＝AB ＝5.∵△A′B′C′和△ABC 的面积相等，∴12×5·OC′＝15，即OC′＝6.∴点C′的坐标为(0，6)或(0，－6)．①把C′(0，6)代入y ＝(x ＋12－m)2－254，得(12－m)2－254＝6，解得m 1＝－3，m 2＝4，此时抛物线的函数解析式为y ＝x 2＋7x ＋6或y ＝x 2－7x ＋6；②把C′(0，－6)代入y ＝(x ＋12－m)2－254，得(12－m)2－254＝－6，解得m 1＝0(与抛物线l 重合，舍去)，m 2＝1，此时抛物线的函数解析式为y ＝x 2－x －6.综上所述，满足条件的抛物线的函数解析式为y ＝x 2＋7x ＋6或y ＝x 2－7x ＋6或y ＝x 2－x －659. (1) 由题意，得抛物线顶点M 的横坐标为2，代入直线y ＝2x 中，得y ＝4，即点M 的坐标为(2，4)．∵抛物线经过点O ，A ，且该抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴易得点A 的坐标为(4，0)．把A(4，0)，M(2，4)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＝0，4a ＋2b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4 (2) 由(1)，得抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋4x.过点P 作PH⊥x 轴，垂足为H.将x P ＝m 代入y ＝－x 2＋4x ，得y P ＝－m 2＋4m ，∴点P 的坐标为(m ，－m 2＋4m)．∴PH＝－m 2＋4m.∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴点B 的坐标为(2，0)，即OB ＝2.∴S＝12OB·PH＝12×2·(－m 2＋4m)＝－m 2＋4m.∴K＝S m ＝－m 2＋4m m ＝－m ＋4.由(1)，得点A 的坐标为(4，0)，点M 的坐标为(2，4)．∵P 是对称轴的右侧第一象限内的一点，∴2＜m ＜4.∵K＝－m ＋4，即m ＝4－K ，∴2＜4－K ＜4，解得0＜K ＜260. (1) 在y ＝4x ＋4中，令x ＝0，得y ＝4，∴点B 的坐标为(0，4)．∵点B 向右平移5个单位长度，得到点C ，∴点C 的坐标为(5，4) (2) 在y ＝4x ＋4中，令y ＝0，得x ＝－1，∴点A 的坐标为(－1，0)．将A(－1，0)代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3a 中，得0＝a －b －3a ，即b ＝－2a ，∴－b 2a ＝－－2a 2a ＝1.∴抛物线的对称轴为直线x ＝1 (3) 抛物线y ＝ax 2＋bx －3a ＝ax 2－2ax －3a.如图，情况1：当a>0时，将x ＝0代入y ＝ax 2－2ax －3a ，得y ＝－3a.将x ＝5代入y ＝ax 2－2ax －3a ，得y ＝12a.∵抛物线与线段BC 恰有一个公共点，对称轴为直线x ＝1，∴－3a<4，12a≥4.∴a>－43，a≥13.∴a≥13.情况2：当a<0时，类似情况1，得－3a>4.∴a<－43.情况3：当抛物线的顶点在线段BC 上时，易得顶点坐标为(1，4)．∴4＝a －2a －3a.∴a＝－1.综上所述，a 的取值范围是a≥13或a<－43或a ＝－1第60题 第61题61. (1) 当m ＝－2时，二次函数的解析式为y ＝x 2＋4x ＋2，令y ＝0，则x 2＋4x ＋2＝0，解得x 1＝－2＋2，x 2＝－2－2，∴抛物线与x 轴交点的坐标为(－2＋2，0)，(－2－2，0) (2) 如图，∵y＝x 2－2mx ＋m 2＋2m ＋2＝(x －m)2＋2m ＋2，∴顶点A 的坐标为(m ，2m ＋2)．∵抛物线与x 轴有两个交点，且开口向上，∴点A 在x 轴下方．又∵点A 在直线l 与x 轴之间(不包含点A 在直线l 上)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2<0，2m ＋2>m －1，解得－3＜m ＜－1 (3) 如图，由(2)，知抛物线的对称轴为直线x ＝m ，顶点为A(m ，2m ＋2)．∵－3＜m ＜－1，∴点A 在第三象限．∵点B 为抛物线对称轴与直线l 的交点，∴点B 的坐标为(m ，m －1)．易得点B 在点A 下方，∴AB＝2m ＋2－(m －1)＝m ＋3.∴S △ABO ＝12(m ＋3)(－m)＝－12(m ＋32)2＋98.∴当m ＝－32时，S △ABO 有最大值，为98.∴△ABO 的面积最大时m 的值为－3262. (1) ∵当t ＝2时，AD ＝4，∴点D 的坐标为(2，4)．将E(10，0)，D(2，4)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋10b ＝0，4a ＋2b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－14，b ＝52，∴抛物线的函数解析式为y ＝－14x 2＋52x (2) 由抛物线及矩形的对称性得BE ＝OA ＝t ，∵E(10，0)，∴O E ＝10.∴AB＝10－2t.当x ＝t 时，AD ＝－14t 2＋52t ，∴矩形ABCD 的周长C＝2·(AB＋AD)＝2·[(10－2t)＋(－14t 2＋52t)] ＝－12t 2＋t ＋20＝－12(t －1)2＋412.∵－12＜0，∴当t ＝1时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412 (3) 如图，当t ＝2时，易得点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(2，0)，(8，0)，(8，4)，(2，4)，∴矩形ABCD 对角线的交点P 的坐标为(5，2)，OB ＝8.当平移后的抛物线过点A(点A ，G 重合)时，点H 的坐标为(4，4)，此时GH 不能将矩形的面积平分；当平移后的抛物线过点C(点C ，H 重合)时，点G 的坐标为(6，0)，此时GH 也不能将矩形的面积平分；当G ，H 中有一点落在线段AD 或BC 上时，直线GH 不可能将矩形的面积平分；当点G ，H 分别落在线段AB ，DC 上时，直线GH 过点P 时必平分矩形ABCD 的面积．连接DO ，设其中点为Q.∵在矩形ABCD 中，AB∥CD ，∴线段OD 平移后得到线段GH.∴线段OD 的中点Q 平移后的对应点是P.∴在△OBD 中，PQ 是中位线．∴PQ＝12OB ＝4.∴抛物线向右平移的距离是4个单位长度第62题 第63题63. (1) ∵抛物线y ＝ax 2＋bx 过点B(1，－3)，对称轴是直线x ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3，－b 2a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.∴抛物线对应的函数解析式为y ＝x 2－4x.令y ＝0，得x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4.结合题中图象知，点A 的坐标为(4，0)，抛物线开口向上，∴当y≤0时，自变量x 的取值范围是0≤x≤4 (2) 设点P 的坐标为(t ，t 2－4t)．如图，先过点A 作x 轴的垂线CD ，再分别过点P ，B 作PC⊥CD，BD⊥CD.∵点B 的坐标为(1，－3)，点A 的坐标为(4，0)，∴AD＝BD ＝3，PC ＝4－t ，AC ＝t 2－4t.∴在Rt△ADB 中，∠BAD ＝45°.∵PA ⊥BA ，∴∠PAC ＝180°－90°－45°＝45°.又∵∠C ＝90°，∴∠APC ＝45°＝∠PAC .∴PC ＝AC ，即4－t ＝t 2－4t .解得t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝－1，此时点P 的坐标为(－1，5)，∴PC ＝5，CD ＝8，AC ＝5.∴S △PAB ＝12(PC ＋BD )·CD －12PC ·AC －12BD ·AD ＝12×(5＋3)×8－12×5×5－12×3×3＝15 64. (1) ∵抛物线y ＝ax 2＋bx －5经过点B(－5，0)和点C(1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧25a －5b －5＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋4x －5 (2) ∵抛物线y ＝x 2＋4x －5交y 轴于点A ，∴易得点A 的坐标为(0，－5)．∵AD∥x 轴，点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，∴点E 的纵坐标为5，点D 的纵坐标为－5.∴点E到直线AD 的距离为5＋|－5|＝10.设点D 的坐标为(t ，－5)，则－5＝t 2＋4t －5，解得t 1＝0，t 2＝－4，∴点D 的坐标为(－4，－5)．∴AD＝4.∴S △EAD ＝12×4×10＝20 (3) 设过点A(0，－5)，B(－5，0)的直线AB 的函数解析式为y ＝mx ＋n.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－5，－5m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－5.∴直线AB 的函数解析式为y ＝－x －5.如图，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为N ，交直线AB 于点M.设点P 的坐标为(p ，p 2＋4p －5)，则点M 的坐标为(p ，－p －5)．易得－5<p<0.∴S △ABP ＝S △AMP ＋S △BMP ＝12MP·(x A －x M )＋12MP·(x M －x B )＝12MP·(x A －x B )＝12[(－p －5)－(p 2＋4p －5)] ×5＝－52(p 2＋5p)＝－52(p ＋52)2＋1258.∴当p ＝－52时，S △ABP 最大，最大值为1258.∵当p ＝－52时，p 2＋4p －5＝－354，∴此时点P 的坐标为(－52，－354)第64题65. (1) ∵抛物线与x 轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴可设y ＝a(x ＋1)(x －3)．将C(0，－3)代入，得－3＝a·1×(－3)，解得a ＝1，∴这个二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)，即y ＝x 2－2x －3 (2)①设直线BC 的函数解析式为y BC ＝kx ＋m ，代入B(3，0)，C(0，－3)，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋m ＝0，m ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－3.∴y BC ＝x －3.设点M 的坐标为(n ，n －3)，则点P 的坐标为(n ，n 2－2n －3)，易得0<n<3.∴PM＝(n －3)－(n 2－2n －3)＝－n 2＋3n ＝－(n －32)2＋94.∴当n ＝32时，线段PM 取得最大值，为94 ②当PM ＝PC 时，∠PMC＝∠PCM.∵点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，－3)，∴OB＝OC.∴在Rt△BOC 中，∠OBC ＝∠OCB ＝45°.∴在Rt△BHM 中，∠HMB ＝45°＝∠HBM .∴∠PCM ＝∠PMC ＝∠HMB ＝45°.∴∠PCO ＝90°，即PC ⊥y 轴．由(2)①得PC ＝n ，此时n ＝－n 2＋3n ，解得n 1＝0(舍去)，n 2＝2，∴点P 的坐标为(2，－3)．当PM ＝CM 时，过点M 作MD ⊥y 轴交y 轴于点D ，由∠DCM ＝45°，易得△MDC 为等腰直角三角形，∴CM ＝2MD ＝2n .此时2n ＝－n 2＋3n ，解得n 1＝0(舍去)，n 2＝3－2，∴点P 的坐标为(3－2，2－42)．综上所述，点P 的坐标为(2，－3)或(3－2，2－42)66. (1) 把A(－1，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 (2) ①连接CD.在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，∴点C 的坐标为(0，3)．∵y＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴点F 的坐标为(1，4)．∵点C 的坐标为(0，3)，点D 的坐标为(2，3)，∴CD＝2，且CD∥x 轴．∵点A 的坐标为(－1，0)，∴S 四边形ACFD ＝S △ACD ＋S △FCD ＝12×2×3＋12×2×(4－3)＝4 ②∵点P 在线段AB 上，∴∠DAQ<∠CAO<90°.∴∠DAQ 不可能为直角．∴当△AQD 为直角三角形时，有∠ADQ ＝90°或∠AQD ＝90°.设点Q 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)．情况1：当∠ADQ ＝90°时，如图①(简图)，过点D 作DH ⊥x 轴，过点Q 作QE ⊥DH ，垂足分别为H ，E .∵点A 的坐标为(－1，0)，点D 的坐标为(2，3)，∴AH ＝DH ＝3.∴∠ADH ＝∠DAH ＝45°.∴∠QDE ＝180°－90°－45°＝45°.∴∠DQE＝45°＝∠QDE .∴QE ＝DE .∴2－t ＝－t 2＋2t ＋3－3，即t 2－3t ＋2＝0.解得t 1＝1，t 2＝2(此时点Q ，D 重合，舍去)．∴点Q 的坐标为(1，4)．情况2：当∠AQD ＝90°时，如图②(简图)，过点Q 作QH ⊥x 轴，过点D 作DE ⊥QH ，垂足分别为H ，E (此时点H 在点P 处)．易证△DEQ ∽△QHA ，∴DE QH ＝EQHA.∵点A 的坐标为(－1，0)，点D 的坐标为(2，3)，∴t －2－t 2＋2t ＋3＝3－（－t 2＋2t ＋3）t ＋1，即1－t ＋3＝t 1.∴t 2－3t ＋1＝0，解得t 1＝3＋52，t 2＝3－52.∴点Q 的坐标为(3＋52，5－52)或(3－52，5＋52)．综上，所有满足条件的点Q 的坐标为(1，4)，(3＋52，5－52)，(3－52，5＋52)第66题67. (1) 将A(－1，0)，B(3，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 (2) 在题图①中，连接PC.∵A(－1，0)，B(3，0)是抛物线与x 轴的两个交点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即点D ，M 的横坐标都是1.假设在直线l 上存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形，则CP ，DM 互相平分，设CP ，DM 交于点E.易得点C 的坐标为(0，3)，点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，∴CP 的中点E 的坐标为(t 2，－t 2＋2t ＋62)．由t2＝1，得t ＝2，此时点E 的坐标为(1，3)．∵点D的坐标为(1，0)，DM 的中点也为E ，∴易得点M 的坐标为(1，6)．∴假设成立，此时点M 的坐标为(1，6)(3) ①在题图②中，过点P 作PF∥y 轴，交BC 于点F.设直线BC 的函数解析式为y ＝mx ＋n ，将B(3，0)，C(0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋n ＝0，n ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝3.∴y＝－x ＋3.∵点P 的坐标为(t ，－t 2＋2t ＋3)，∴点F 的坐标为(t ，－t ＋3)．∴PF＝－t 2＋2t ＋3－(－t ＋3)＝－t 2＋3t.∴S＝S △CPF ＋S △BPF ＝12PF·(x P －x C )＋12PF·(x B－x P )＝12PF·(x B －x C )＝12·(－t 2＋3t)·3＝－32t 2＋92t ②∵点B 的坐标为(3，0)，点C 的坐标为(0，3)，∴线段BC ＝32＋32＝32，为一定值．根据三角形的面积公式可知，要使点P 到直线BC 的距离最大，只要△PBC 的面积最大即可．在S ＝－32t 2＋92t ＝－32(t －32)2＋278中，∵－32＜0，易得0<t<3，∴当t ＝32时，S取最大值，最大值为278.∴点P 到直线BC 的距离的最大值为278×232＝928，此时点P 的坐标为(32，154)68. (1) 把A(m ，0)，B(4，n)分别代入y ＝x －1中，得m ＝1，n ＝3，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(4，3)．∵抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A 与点B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋b ＋c ＝0，－16＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6，c ＝－5.∴该抛物线的解析式为y ＝－x 2＋6x －5 (2) ∵△APM 与△DPN 都为等腰直角三角形，∴∠APM＝∠DPN＝45°.∴∠MPN ＝90°.∴△MPN 为直角三角形．在y ＝－x 2＋6x －5中，令y ＝0，得x 1＝1，x 2＝5，∴点D 的坐标为(5，0)，即AD ＝5－1＝4.设AP ＝m ，则DP ＝4－m .易得0<m <4.∴易得PM ＝m 2，PN ＝4－m 2.∴S △MPN ＝12PM ·PN ＝12×m2×4－m 2＝－14m 2＋m ＝－14(m －2)2＋1.∴当m ＝2，即AP ＝2时，S △MPN 最大．此时OP ＝3，即点P 的坐标为(3，0) (3) 存在，点Q 的坐标为(73，－83)或(2，－3) 点拨：在y ＝－x 2＋6x－5中，令x ＝0，则y ＝－5.∴点C 的坐标为(0，－5)．又∵点D 的坐标为(5，0)，∴易得y CD ＝x －5.又∵点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(4，3)，∴直线AB ：y ＝x －1，AB ＝32，DA ＝4，BD ＝10.易得直线AB ∥CD .∴∠BAD ＝∠ADQ ，即点A 与点D 对应．设点Q 的坐标为(x ，x －5)，易得0<x <5.当△ABD ∽△DAQ 时，AB DA ＝BD AQ ，即324＝10AQ，解得AQ ＝453.过点Q 作QH ⊥x 轴，垂足为H ，在Rt△AHQ 中，(x －1)2＋(x －5)2＝(453)2，解得x 1＝73，x 2＝113.当x ＝113时，不满足△ABD ∽△DAQ ，舍去．∴x ＝73.此时点Q 的坐标为(73，－83)．当△ABD ∽△DQA 时，BD QA ＝AD DA ＝1，即AQ ＝10，同理可得(x －1)2＋(x －5)2＝(10)2，解得x 1＝2，x 2＝4.当x ＝4时，不满足△ABD ∽△DQA ，舍去．∴x ＝2.此时点Q 的坐标为(2，－3)．69. (1) 由题意，可设抛物线的解析式为y ＝ax(x －72)，把A(1，1)代入，得a·1×(1－72)＝1，解得a ＝－25，∴抛物线的解析式为y ＝－25x(x －72)，即y ＝－25x 2＋75x (2) 如图，过点C 作CD⊥x 轴于点D ，延长CA 交y 轴于点E ，设AC 与x 轴交于点H.∵点A 的坐标为(1，1)，∴易得OA ＝2，∠EOA＝90°－45°＝45°.∵AC ⊥OA ，∴易得△AOE 为等腰直角三角形．∴OE ＝2OA ＝2.∴点E 的坐标为(0，2)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝k ＋b ，2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2.∴y ＝－x ＋2.联立直线AC 与抛物线的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝－25x 2＋75x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．∴S △AOC ＝S △COE －S △AOE ＝12·OE ·x C －12·OE ·x A ＝12OE ·(x C －x A )＝12×2×(5－1)＝4(注：本小题也可以利用S △AOC ＝S △AOH ＋S △COH 求解) (3) 假设存在点M 满足条件．设点M 的坐标为(m ，－25m 2＋75m )．过点M 作MF ⊥x 轴于点F ，∴∠OMN ＝∠OFM ＝90°.又∵∠MON ＝∠FOM ，∴△MNO ∽△FMO .情况1：当点M 在x 轴上方时，由题意，易得∠MOB <∠AOC .∴△MNO ∽△AOC .∴△FMO ∽△AOC .∴FM AO ＝FO AC.∵点A 的坐标为(1，1)，点C 的坐标为(5，－3)，∴AO ＝2，AC ＝42.∴－25m 2＋75m 2＝m 42.易得m >0，∴－25m ＋75＝14，解得m ＝238.此时－25m 2＋75m ＝2332，∴点M 的坐标为(238，2332)．情况2：当点M 在x 轴下方时，①若△MNO ∽△AOC ，同上可得25m 2－75m 2＝m 42，易得m >0，∴25m －75＝14，解得m ＝338.此时－25m 2＋75m ＝－3332，∴点M 的坐标为(338，－3332)．②若△MNO ∽△ACO ，则△FMO ∽△ACO ，∴FM AC ＝FO AO .∴25m 2－75m 42＝m 2.易得m >0，∴25m －75＝4，解得m ＝272.此时－25m 2＋75m ＝－54，∴点M 的坐标为(272，－54)．综上所述，假设成立，满足条件的点M 的坐标为(238，2332)或(338，－3332)或(272，。

北京市西城区普通中学2018届初三中考数学复习二次函数 专题复习练习题1．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象的最高点是(－1，－3)，则b ，c 的值分别是( ) A ．b ＝2，c ＝4 B ．b ＝2，c ＝－4 C ．b ＝－2，c ＝4 D ．b ＝－2，c ＝－42．如图，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点B(0，－2)．它与反比例函数y ＝－8x的图象交于点A(m ，4)，则这个二次函数的表达式为( )A ．y ＝x 2－x －2B ．y ＝x 2－x ＋2C ．y ＝x 2＋x －2D ．y ＝x 2＋x ＋23．已知二次函数图象的对称轴为直线x ＝－1，函数的最大值为4，且图象经过点(2，－5)，则此函数的表达式为________________．4．已知二次函数的图象开口向上，且对称轴在y 轴的右侧，请你写出一个满足条件的二次函数的表达式____________________________________________． 5. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16 m ，跨度为40 m ，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的表达式为______________________．6. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的表达式为___________________________________．7．抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是________．(填序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是x＝0.5；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．8. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)．请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；(2)点E(2，m)在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE的中点，连结FH，求线段FH的长．9. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s和t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式； (2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； (3)求第8个月公司所获利润是多少万元？10．如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6(a≠0)相交于点A(12，52)和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C.(1) 求抛物线的表达式．(2) 是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．(3) 求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．11. 分别求出符合下列条件的抛物线y ＝ax 2的解析式： (1)经过点(－3，2)；(2)与y ＝13x 2开口大小相同，方向相反．12. 二次函数y ＝ax 2的图象与直线y ＝2x －1交于点P(1，m)． (1)求a ，m 的值；(2)写出二次函数的解析式，并指出x 取何值时，y 随x 的增大而增大？3. 已知二次函数y＝mxm2－2.(1)求m的值；(2)当m为何值时，二次函数有最小值？求出这个最小值，并指出x取何值时，y随x的增大而减小；(3)当m为何值时，二次函数的图象有最高点？求出这个最高点，并指出x取何值时，y随x的增大而增大．14. 如图，已知二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2的图象相交于A，B两点，其中A(－1，－1)，求△OAB的面积．答案： 1. D 2. A3. y ＝－x 2－2x ＋34. 答案不唯一，如y ＝x 2－x ，y ＝x 2－2x ＋85. y ＝－125x 2＋85x6. y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x7. ①③④8. (1) 抛物线的表达式为：y ＝x 2－2x －3.(2) ∵点E(2，m)在抛物线上，∴m ＝4－4－3＝－3，∴E(2，－3)，∴由勾股定理，得BE ＝（3－2）2＋32＝10，∵点F 是AE 的中点，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，即H 为AB 的中点，连结BE(图略)，则FH 是三角形ABE 的中位线，∴FH ＝12BE ＝12×10＝102.9. (1)由图象可知其顶点坐标为(2，－2)，故可设其函数关系式为：s ＝a(t －2)2－2.∵所求函数关系式的图象过点(0，0)，∴a(0－2)2－2＝0，解得a ＝12.∴s＝12(t－2)2－2，即s ＝12t 2－2t.(2)把s ＝30代入s ＝12(t －2)2－2，得12(t －2)2－2＝30.解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)．答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．(3)把t＝7代入关系式，得s ＝12×72－2×7＝10.5，把t ＝8代入关系式，得s ＝12×82－2×8＝16，16－10.5＝5.5.答：第8个月公司所获利润是5.5万元．10. (1)抛物线的表达式为y ＝2x 2－8x ＋6.(2)设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498，∵12<n<4，∴当n ＝94时，线段PC 最大且为498. (3)∵△PAC 为直角三角形，(ⅰ)若点P 为直角顶点，则∠APC＝90°，由题意易知，PC ∥y 轴，∠APC ＝45°，因此这种情形不存在．(ⅱ)若点A 为直角顶点，则∠PAC ＝90°，如图①，过点A(12，52)作AN⊥x 轴于点N ，则ON ＝12，AN ＝52.过点A 作AM⊥直线AB ，交x 轴于点M ，则由题意易知，△AMN 为等腰直角三角形，∴MN ＝AN ＝52，∴OM ＝ON ＋MN ＝12＋52＝3，∴M(3，0)．设直线AM 的表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧12k ＋b ＝52，3k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3，∴直线AM 的表达式为y ＝－x ＋3①，又抛物线的表达式为y ＝2x 2－8x ＋6②，联立①②式，解得x ＝3或x ＝12(与点A 重合，舍去)，∴C(3，0)，即点C ，点M 重合，当x ＝3时，y ＝x ＋2＝5，∴P 1(3，5)．(ⅲ)若点C 为直角顶点，则∠ACP＝90°，∴AC ∥x 轴．∵y＝2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2，如图②，作点A(12，52)关于对称轴x ＝2的对称点C ，则点C 在抛物线上，且C(72，52)．当x ＝72时，y ＝x ＋2＝112，∴P 2(72，112)．∵点P 1(3，5)，P 2(72，112)均在线段AB 上，∴综上所述，点P 的坐标为(3，5)或(72，112)．11. 解：(1)∵y ＝ax 2过点(－3，2)，∴2＝a ·(－3)2，则a ＝29，∴解析式为y ＝29x 2(2)∵y ＝ax 2与抛物线y ＝13x 2开口大小相同，方向相反，∴a ＝－13，∴解析式为y ＝－13x 212. 解：(1)把(1，m)代入y ＝2x －1 中，得m ＝1，所以P(1，1)，把(1，1)代入y ＝ax 2中，得a ＝1(2)y ＝x 2，当x>0时，y 随x 的增大而增大 13. 解：(1)m ＝±2(2)m ＝2，y 最小＝0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小(3)m ＝－2，最高点(0，0)，x ＜0时，y 随x 的增大而增大14. 解：∵点A(－1，－1)在抛物线y ＝ax 2(a ≠0)上，也在直线y ＝kx －2上， ∴－1＝a ·(－1)2，－1＝k ·(－1)－2， 解得a ＝－1，k ＝－1，∴两函数的解析式分别为y ＝－x 2，y ＝－x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－x －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－4，∴点B的坐标为(2，－4)．∵y＝－x－2与y轴交于点G，则G(0，－2)，∴S△OAB＝S△OAG＋S△OBG＝12×(1＋2)×2＝3。

2018年数学全国中考真题二次函数概念、性质和图象（试题一）解析版一、选择题1.（2018山东滨州，10，3分）如图，若二次函数（a ≠0）图象的对称轴为x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （－1，0）则①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a －b ＋c ＜0；③b ²－4ac ＜0；④当y ＞0时，－1＜x ＜3．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第10题图【答案】B【解析】由图像可知，当x ＝1时，函数值取到最大值，最大值为：a ＋b ＋c ,故①正确；因为抛物线经过点B （－1,0），所以当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0,故②错误；因为该函数图象与x 轴有两个交点A 、B ，所以b ²－4ac ＞0，故③错误；因为点A 与点B 关于直线x ＝1对称，所以A (3，0)，根据图像可知，当y ＞0时，－1＜x ＜3，故④正确；故选B ．【知识点】数形结合、二次函数的图像和性质2. （2018四川泸州，10题，3分）已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A.1或2- B.2-或2 C.2 D.1【答案】D【解析】原函数可化为y=a(x+1)2+3a 2-a+3，对称轴为x=-1，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，所以a>0，抛物线开口向上，因为21x -≤≤时，y 的最大值为9，结合对称轴及增减性可得，当x=1时，y=9，带入可得，a 1=1，a 2=-2，又因为a>0，所以a=1 【知识点】二次函数，增减性2y ax bx c =++xy -1BOCAx =13. （2018甘肃白银，10，3）如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0)a ≠图像的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x =1，对于下列说法：①0ab <，②20a b +=，③30a c +>，④()(a b m am b m +≥+为常数），⑤当13-<x <时，0y >，其中正确的是（ ）A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【答案】A【思路分析】由抛物线的图像结合对称轴、与x 轴的交点逐一判断即可。

课时训练(十三)二次函数的图象与性质(一)[限时:分钟]夯实基础1.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-33.[2018·河西区结课考]已知函数y=(x-1)2,下列结论正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x<0时,y随x的增大而增大C.当x<1时,y随x的增大而减小D.当x<-1时,y随x的增大而增大4.[2021·绍兴]关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值65.[2021·上海]将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位,以下说法错误的是()A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变6.[2021·泰安]将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)7.[2021·陕西]下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:x…-2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中,正确的是()A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于-6D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大8.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.9.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.10.[2018·河西区一模]请写出一个二次函数的解析式,满足其图象过点(1,0),且与x轴有两个不同的交点:.11.[2021·广东]把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为.12.(1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(1,3)和(3,-5),求a,b的值.(2)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为1和2.求这个二次函数的表达式.13.[2021·宁波]如图K13-1,二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)的图象的对称轴为直线x=2. (1)求a 的值;(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.图K13-1能力提升14.[2019·河西区二模]已知抛物线y=x 2+2mx-3m (m 是常数),且无论m 取何值,该抛物线都经过某定点H ,则点H 的坐标为 ( ) A .-32,1B .-32,-1C .32,94D .-32,9415.[2021·福建]二次函数y=ax 2-2ax+c (a>0)的图象过A (-3,y 1),B (-1,y 2),C (2,y 3),D (4,y 4)四个点,下列说法一定正确的是( ) A .若y 1y 2>0,则y 3y 4>0 B .若y 1y 4>0,则y 2y 3>0 C .若y 2y 4<0,则y 1y 3<0D .若y 3y 4<0,则y 1y 2<016.如图K13-2,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A ,B (m+2,0),与y 轴相交于点C ,点D 在该抛物线上,坐标为(m ,c ),则点A 的坐标是 .图K13-217.[2021·北京]在平面直角坐标系xOy 中,点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=ax 2+bx (a>0)上. (1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.(2)已知点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上.若mn<0,比较y 1,y 2,y 3的大小,并说明理由.【参考答案】1.C2.C3.C4.D5.D [解析] 将二次函数图象向下平移,不改变开口方向,故A 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变对称轴,故B 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变函数的增减性,故C 正确;抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与y 轴的交点坐标为(0,c ),将二次函数的图象向下平移两个单位,与y 轴的交点坐标为(0,c-2),改变,故D 错误.6.B [解析] y=-x 2-2x+3=-(x 2+2x )+3=-[(x+1)2-1]+3=-(x+1)2+4, ∵将抛物线y=-x 2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移2个单位, ∴得到的抛物线的解析式为y=-x 2+2.将选项中的四个坐标代入可知,只有B 选项中的坐标符合题意.7.C [解析] 设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,由题知{6=a ×(-2)2+b ×(-2)+c ,-4=c ,-6=a +b +c ,解得{a =1,b =-3,c =-4,∴二次函数的解析式为y=x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=x-322-254,∴函数图象开口向上,∴A 错误;∵图象与x 轴的交点为(4,0)和(-1,0),∴B 错误;∵当x=32时,函数有最小值为-254,∴C 正确;∵函数图象的对称轴为直线x=32,根据图象可知当x>32时,y 的值随x 值的增大而增大,∴D 错误. 8.直线x=2 9.(1,4)10.y=x 2-3x+2(答案不唯一) [解析] ∵抛物线过点(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a (x-1)(x-m ). ∵抛物线与x 轴有两个不同的交点,∴m ≠1,取a=1,m=2,则抛物线的解析式为y=(x-1)(x-2)=x 2-3x+2. 11.y=2x 2+4x12.解:(1)将(1,3)和(3,-5)分别代入y=ax 2+bx+1, 得:{a +b +1=3,9a +3b +1=-5,解得:{a =-2,b =4.∴a 的值为-2,b 的值为4.(2)由题意得,二次函数的图象经过点(1,0)和(2,0), 将(1,0)和(2,0)分别代入y=-x 2+bx+c , 得{-1+b +c =0,-4+2b +c =0,解得{b =3,c =-2, ∴这个二次函数的表达式为y=-x 2+3x-2.13.解:(1)由二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)知,该抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)和(a ,0). ∵对称轴为直线x=2,∴1+a 2=2.解得a=3.(2)由(1)知a=3,则该抛物线解析式是:y=x 2-4x+3,由抛物线向下平移3个单位后经过原点,得平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x 2-4x. 14.C [解析] 由y=x 2+2mx-3m=x 2+m (2x-3)可知当x=32时,无论m 取何值y 都等于94,∴点H 的坐标为32,94.15.C [解析] ∵y=ax 2-2ax+c=a (x-1)2-a+c ,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴四点中距离对称轴远近关系从远到近排列为:A ,D ,B ,C ,当y 2y 4<0时,一定是y 2<0,y 4>0,根据对称性判断y 3<0,y 1>0,∴y 1y 3<0,因此本题选C .16.(-2,0) [解析] 由C (0,c ),D (m ,c ),得函数图象的对称轴是直线x=m2,设A 点坐标为(x ,0),由A ,B 关于对称轴x=m2对称可得x+m+22=m 2,解得x=-2,即A 点坐标为(-2,0).17.解:(1)∵m=3,n=15, ∴点(1,3),(3,15)在抛物线上,将(1,3),(3,15)的坐标代入y=ax 2+bx 得: {3=a +b ,15=9a +3b ,解得{a =1,b =2,∴y=x 2+2x=(x+1)2-1, ∴抛物线对称轴为直线x=-1.(2)由题意得:抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0),则由mn<0可得:①当m>0,n<0时,由抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0)可得此时的抛物线开口向下,即a<0,与a>0矛盾; ②当m<0,n>0时,∵抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0), ∴此时抛物线的对称轴的范围为12<-b2a <32, ∵点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上,∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32<-b2a-(-1)<52,12<2--b2a<32,52<4--b2a<72,∵a>0,开口向上,∴由抛物线的性质可知离对称轴越近y 越小, ∴y 2<y 1<y 3.。

北京市大兴区普通中学2018届初三数学中考复习二次函数的图象及其性质专题训练一、选择题1．将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为( C )A ．y ＝－2(x ＋1)2B ．y ＝－2(x ＋1)2＋2C ．y ＝－2(x －1)2＋2D ．y ＝－2(x －1)2＋12．若抛物线y ＝(x －m )2＋(m ＋1)的顶点在第一象限，则m 的取值范围为( B )A ．m >1B ．m >0C ．m >－1D ．－1<m <03．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( D ) A ．0 B ．0或2 C ．2或－2 D ．0，2或－24．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列说法：①2a ＋b ＝0；②当－1≤x ≤3时，y ＜0；③若当(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2；④9a ＋3b ＋c ＝0.其中正确的是( B )A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④5．已知两点A (－5，y 1)，B (3，y 2)均在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)上，点C (x 0，y 0)是该抛物线的顶点，若y 1＞y 2≥y 0，则x 0的取值范围是( B )A ．x 0＞－5B ．x 0＞－1C ．－5＜x 0＜－1D ．－2＜x 0＜36．要将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3平移后得到抛物线y ＝x 2，下列平移方法正确的是( D )A ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位二、填空题6．抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的顶点坐标是__(－1，2)__．7．已知点A (4，y 1)，B (2，y 2)，C (－2，y 3)都在二次函数y ＝(x －2)2－1的图象上，则y 1, y 2 ，y 3的大小关系是．8．2的图象如图，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，则菱形OBAC 的面积为．9．已知抛物线p ：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为C ，与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，点C 关于x 轴的对称点为C ′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y ＝x 2＋2x ＋1和y ＝2x ＋2，则这条抛物线的解析式为__y ＝x 2－2x －3__． 三、解答题10. ．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (1，0)，C (0，－3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，求点P 的坐标．解：(1)二次函数的解析式为：y ＝x 2＋2x －3(2)点P 的坐标为(－4，5)或(2，5)11．已知关于x 的方程x 2－(2k －3)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值范围；(2)试说明x 1＜0，x 2＜0；(3)若抛物线y ＝x 2－(2k －3)x ＋k 2＋1与x 轴交于A ，B 两点，点A ，点B 到原点的距离分别为OA ，OB ，且OA ＋OB ＝2OA ·OB －3，求k 的值．解：(1)由题意可知：Δ＝[－(2k －3)]2－4(k 2＋1)＞0，即－12k ＋5＞0，∴k ＜512(2)∵⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k －3＜0，x 1x 2＝k 2＋1＞0，∴x 1＜0，x 2＜0 (3)依题意，不妨设A (x 1，0)，B (x 2，0)．∴OA ＋OB ＝|x 1|＋|x 2|＝－(x 1＋x 2)＝－(2k －3)，OA ·OB ＝|－x 1||x 2|＝x 1x 2＝k 2＋1，∵OA ＋OB ＝2OA ·OB －3，∴－(2k －3)＝2(k 2＋1)－3，解得k 1＝1，k 2＝－2.∵k ＜512，∴k ＝－211．若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于x 的二次函数y 1＝2x 2－4mx ＋2m 2＋1，和y 2＝ax 2＋bx ＋5，其中y 1的图象经过点A (1，1)，若y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”，求函数y 2的表达式，并求当0≤x ≤3时，y 2的最大值．解：(1)本题是开放题，答案不唯一，符合题意即可，如：y 1＝2x 2，y 2＝x 2(2)∵函数y 1的图象经过点A (1，1)，则2－4m ＋2m 2＋1＝1，解得m ＝1.∴y 1＝2x 2－4x ＋3＝2(x －1)2＋1.∵y 1＋y 2与y 1为“同簇二次函数”，∴可设y 1＋y 2＝k (x －1)2＋1(k ＞0)，则y 2＝k (x －1)2＋1－y 1＝(k －2)(x －1)2.由题可知函数y 2的图象经过点(0，5)，则(k －2)×12＝5.∴k －2＝5.∴y 2＝5(x －1)2＝5x 2－10x ＋5.当0≤x ≤3时，根据y 2的函数图象可知，y 2的最大值为5×(3－1)2＝2012．如图，已知点O (0，0)，A (－5，0)，B (2，1)，抛物线l ：y ＝－(x －h )2＋1(h 为常数)与y 轴的交点为C .(1)l 经过点B ，求它的解析式，并写出此时l 的对称轴及顶点坐标；(2)设点C 的纵坐标为y c ，求y c 的最大值，此时l 上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，其中x 1>x 2≥0，比较y 1与y2的大小；(3)当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．解：(1)把B点坐标代入解析式，得：h＝2，∴l的解析式：y＝－(x－2)2＋1或y＝－x2＋4x－3，对称轴为x＝2，顶点即为B(2，1)(2)点C的横坐标为0，则y c＝－h2＋1，即当h＝0时，y c有最大值为1.此时，l为：y＝－x2＋1，对称轴为y轴，即当x≥0时，y随着x的增大而减小，∴当x1>x2≥0时，y1<y2(3)把OA分成1：4两部分的点为(－1，0)或(－4，0)．把x＝－1，y＝0代入y＝－(x－h)2＋1，得h＝0或h＝－2.但h＝－2时，OA被分为三部分，不符合题意，舍去．同样，把x＝－4，y＝0代入y＝－(x－h)2＋1，得h＝－5或h＝－3(舍去)．∴h的值为0或－5.。

§3.3二次函数一、选择题1．(原创题)函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是() A．k<3 B．k<3且k≠0C．k≤3且k≠0 D．k≤3解析当k＝0时，y＝－6x＋3的图象与x轴有交点；当k≠0时，令y＝kx2－6x＋3＝0，∵y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，∴Δ＝36－12k≥0，∴k≤3.综上，k的取值范围为k≤3.答案 D2．(原创题)抛物线y＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)的对称轴是直线() A．x＝1 B．x＝－1C．x＝－3 D．x＝3解析∵－1，3是方程a(x＋1)(x－3)＝0的两根，∴抛物线y＝a(x＋1)(x－3)与x轴交点横坐标是－1，3.∵这两个点关于对称轴对称，∴对称轴是x＝－1＋32＝1.答案 A3．(原创题)已知抛物线y＝x2－x－2与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2 013的值为() A．2 013 B．2 014C．2 015 D．2 016解析把(m，0)代入y＝x2－x－2，得m2－m－2＝0，即m2－m＝2.∴m2－m ＋2 013＝2＋2 013＝2 015.故选C.答案 C4．(改编题)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是( ) A ．－1<x <5 B ．x >5 C ．x <－1且x >5D ．x <－1或x >5解析 由图象可知，抛物线与x 轴的一个交点为(5，0)，对称轴是x ＝2，根据抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(－1，0)．由图象看出当－1＜x ＜5时，函数图象在x 轴上方，所以不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是－1＜x ＜5.故选A. 答案 A5．(改编题)已知A (2，y 1)，B (3，y 2)，C (0，y 3)在二次函数y ＝ax 2＋c (a ＞0)的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( )A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＜y 1＜y 3D. y 3＜y 1＜y 2解析 由题意可知，当x ≥0时，y 随x 的增大而增大．∵0＜2＜3，∴y 3＜y 1＜y 2. 答案 D 二、填空题6．(原创题)若二次函数y ＝x 2－2x ＋c 有最小值6，则c 的值为________． 解析 ∵y ＝x 2－2x ＋c ＝(x －1)2－1＋c ，∴－1＋c ＝6，解得c ＝7. 答案 77．(原创题)已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴的两个交点的横坐标分别是m ，n ，则m 2n ＋mn 2＝________．解析 由题意，得m ，n 是－x 2－2x ＋3＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得m ＋n ＝－2，mn ＝－3.∴m 2n ＋mn 2＝mn (m ＋n )＝－3×(－2)＝6. 答案 68. (原创题)已知二次函数y ＝－23x 2－43x ＋2的图象与x 轴分别交于A ，B 两点(如图所示)，与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一动点，当PB ＋PC 取得最小值时，点P 的坐标为________．解析 连结AC 交对称轴于P ，则此时PB ＋PC 有最小值．把x ＝0代入y ＝ －23x 2－43x ＋2，得y ＝2，即OC ＝2.把y ＝0代入y ＝－23x 2－43x ＋2，得x 1＝1，x 2＝－3，即OA ＝3，OB ＝1.∵y ＝－23x 2－43x ＋2＝－23(x ＋1)2＋83，∴抛物线的对称轴是x ＝－1.设对称轴与x 轴的交点为D ，则OD ＝1.由△ADP ∽△AOC 可得23＝DP 2，解得DP ＝43.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，43三、解答题9．(原创题)如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 过点A (3，0)，B (1，0)，交y 轴于点C ，点P 是该抛物线上一动点，点P 从C 点沿抛物线向A 点运动(点P 不与A 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线AC 于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)求点P 在运动的过程中线段PD 长度的最大值；(3)△APD 能否构成直角三角形？若能请直接写出点P 坐标，若不能请说明理由；(4)在抛物线对称轴上是否存在点M 使|MA －MC |最大？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在请说明理由．解 (1)把点A (3，0)和点B (1，0)代入抛物线y ＝x 2＋bx ＋c ， 得：⎩⎨⎧9＋3b ＋c ＝0，1＋b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3.∴y ＝x 2－4x ＋3.(2)把x ＝0代入y ＝x 2－4x ＋3，得y ＝3.∴C (0，3)． 又∵A (3，0)，设直线AC 的解析式为：y ＝kx ＋m ，把点A ，C 的坐标代入得：⎩⎨⎧m ＝3，k ＝－1.∴直线AC 的解析式为：y ＝－x ＋3. PD ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3) ＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94.∵0<x <3，∴x ＝32时，PD 最大为94.即点P 在运动的过程中，线段PD 长度的最大值为94. (3)∵PD 与y 轴平行，且点A 在x 轴上，∴要使△APD 为直角三角形，只有当点P 运动到点B 时，此时点P 的坐标为：(1，0)．(4)∵点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，∴作直线CB ，交抛物线的对称轴于点M ，则此时点M 即为使得|MA －MC |最大的点，∴|MA －MC |＝|MC －MB |＝BC . ∵B (1，0)，C (0，3)，∴设BC 的解析式为y ＝k ′x ＋n ，则⎩⎨⎧k ′＋n ＝0，n ＝3.∴⎩⎨⎧k ′＝－3，n ＝3.即y ＝－3x ＋3.当x ＝2时，y ＝－3.∴M (2，－3)．。