河北省故城县高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题(含答案)

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 如图，在直三棱柱中，若，则下列向量中与相等的是（ ）A.B.C.D.2. 过点且在坐标轴上的截距相等的直线共有（ ）A.条B.条C.条D.条3. 已知向量，，且，则的值为（ ）A.B.C.D.4. 在平面直角坐标系中，点按向量平移，得点的坐标是（ ）A.ABC −A 1B 1C 1=，=，=CA −→−a →CB −→−b →CC 1−→−c →B A 1−→−+−a →b →c→−+a →b →c→−++a →b →c→−+−a →b →c→M(2,1)1234=(1,x,−2)a →=(2,1,x)b →⊥a →b →x −112A(4,−2)=(−1,3)a →A'(5,−5)(3,1)B.C.D.5. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 是直线 和直线 平行的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7. 直四棱柱中，底面四边形为菱形，＝，＝，＝，为中点，过且和平面垂直的平面为平面，平面，则直线和平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D.8. 在长方体中，设，，，且，则( )A.B.(3,1)(5,1)(3,−5)a =−1x −y +1=0a 2x −ay −2=0a =1ax −y −2=0(a −2)x +ay +1=0ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD AA 14AB 2∠ABC E BC E BDD 1αC //C 1αE C 1αABCD −A 1B 1C 1D 1=AB −→−a →=AD −→−b →=AA −→−1c →||=2a →(+)⋅(−)=a →b →a →c →12C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（ ）A.点的坐标为B.点关于点对称的点为C.点关于直线对称的点为D.点关于平面对称的点为10. 如图，直线，相交于点，点是平面内的任意一点，若，分别表示点到，的距离，则称为点的“距离坐标”．下列说法正确的是（ ）A.距离坐标为的点有个B.距离坐标为的点有个C.距离坐标为的点有个D.距离坐标为的点在一条直线上11. 下面说法中错误的 A.经过定点的直线都可以用方程表示B.经过定点的直线都可以用方程表示C.不经过原点的直线都可以用方程表示D.经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程34ABCD −A 1B 1C 1D 1AB=5AD=4AA 1=3DA DC DD 1x y z B 1(4,5,3)C 1B (5,8,−3)A BD 1(0,5,3)C ABB 1A 1(8,5,0)l 1l 2O P x y P l 1l 2(x,y)P (0,0)1(0,1)2(1,2)4(x,x)()P(,)x 0y 0x −x 0=m(y −)y 0A(0,b)y=kx +b +=1x a y b(,)P 1x 1y 1(,)P 2x 2y 2(y −)(−)(x −)(−)表示12. 已知正方体 的棱长为，点为的中点，若以为球心，为半径的球面与正方体 的棱有四个交点，，，，则下列结论正确的是（ ）A.平面平面B.平面平面C.四边形的面积为D.四棱锥 的体积为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，是空间两个单位向量，它们的夹角为，那么________.14. 已知向量，，，则实数的值为________．15. 已知中，，，点，分别在边，上，且，，若，则________；________．16. 已知圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆心为，点是母线的中点，为底面圆的直径．若点为底面圆周上的一点，且与母线所成的角等于，则与底面所成的角的正弦值为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 直线的方程为＝．直线的方程为＝，分别根据下列条件求实数的值：（1）；（2）．18. 在棱长为的正方体中，是底面的中心．(y −)(−)y 1x 2x 1=(x −)(−)x 1y 2y 1ABCD −A 1B 1C 1D 12O A 1D 1O 6–√ABCD −A 1B 1C 1D 1E F G H A D//B 1C 1EFGHAC ⊥C 1A 1EFGHEFGH 22–√B −EFGH 23m →n →60∘|−2|=m →n →=(2,1)a =(−3,k)b ⋅(2−)=0a a b k △ABC AB =AC =2–√2–√A =π4D E AB BC AD =DB BE =2EC =x +y (x,y ∈R)DE −→−AB −→−AC −→−x +y =DE =2r r O M PA AB C OC PB 60∘MC l 12x +3y −20l 2mx +(2m −1)y +10m //l 1l 2⊥l 1l 22ABCD −A 1B 1C 1D 1O ABCD (1)O//B DA C求证：平面；求点到平面的距离．19. 如图，在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上的一个点，其横坐标为，过点作抛物线的切线．求直线的斜率（用与表示）；若椭圆过点，与的另一个交点为，与的另一个交点为，求证： .20. 如图，是平行四边形，平面，，，，．，，分别为，，的中点．求证：；求平面与平面所成锐二面角的余弦值．21. 已知直线经过点，且直线在轴的截距等于在轴上的截距的倍，求直线的方程． 22. 如图，在平面四边形中，等边三角形，，以为折痕将折起，使得平面平面.设为的中点，证明：平面；若与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值.(1)O//B 1DA 1C 1(2)O DA 1C 1xOy P :=2py (p >0)C 1x 2x 0P C 1l (1)l x 0p (2):+=1C 2y 22x 2P l C 2A OP C 2B AB ⊥PB ABCD EA ⊥ABCD PD //EA BD =PD =2EA =4AD =3AB =5F G H PB EB PC (1)DB ⊥GH (2)FGH EBC l A(−5,2)l x y 2l ABCD △ABC AC ⊥DC AC △ABC ABC ⊥ACD (1)E BC AE ⊥BCD (2)BD ABC 32A −BD −C参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】相等向量与相反向量平行向量的性质【解析】利用向量的三角形法则即可得出．【解答】解：由向量的三角形法则可得：．故选．2.【答案】B【考点】直线的截距式方程【解析】当直线过原点时，当直线不过原点时，直线的斜率为，判断直线的条数即可．【解答】解：当直线过原点时，直线在坐标轴上的截距为，当直线不过原点时，直线的斜率为，可得过点且在坐标轴上的截距相等的直线共有条．故选：．3.【答案】D=+=+−=−−+B A 1−→−A A 1−→−A 1B 1−→−−C C 1−→−A 1C 1−→−−B 1C 1−→−−c →a →b→D −10−1M(2,1)2B向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】根据向量的数量积与垂直之间的关系建立方程，利用方程解即可．【解答】解：因为向量，，且，所以，即，解得．故选．4.【答案】B【考点】空间向量的加减法【解析】设的坐标为，则，由此能求出点的坐标．【解答】解：设的坐标为，则，∴．故选．5.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】由直线与直线互相垂直，可得，解出即可判断出．x =(1,x,−2)a →=(2,1,x)b →⊥a →b →⋅=0a →b →(1,x,−2)⋅(2,1,x)=2+x −2x =0x =2D A'(x',y'){=4−1=3x ′=−2+3=1y ′A'A'(x',y'){=4−1=3x ′=−2+3=1y ′A'(3,1)B x −y +1=0a 2x −ay −2=0×1+(−1)×(−a)=0a 2a解：由直线与直线互相垂直，∴，化为．解得或．∴“”是“直线与直线互相垂直”的充分但不必要条件．故选：．6.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断两条直线平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，两直线分别为 和，不满足两直线平行.∴ ，若两直线平行，则 ，解得 或.即 是直线 和直线 平行”充分不必要条件，故选.7.【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】x −y +1=0a 2x −ay −2=0×1+(−1)×(−a)=0a 2+a =0a 2a =0−1a =−1x −y +1=0a 2x −ay −2=0A a =0−y +2=0−2x +1=0a ≠0=≠a a −2−1a −21a =−2a =1a =1ax −y −2=0(a −2)x +ay +1=0AD【考点】空间向量的数量积运算【解析】无【解答】解：在长方体中，，所以．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,D【考点】空间向量运算的坐标表示【解析】利用空间点的对称性即可得出．【解答】解：由图形及其已知可得：点的坐标为，点关于点对称的点为，点关于直线对称的点为，点关于平面对称的点为．因此正确．故选.10.【答案】A,B,C【考点】点到直线的距离公式【解析】⋅=⋅=⋅=0a →b →b →c →c →a →(+)⋅(−)a →b →a →c →=+⋅−⋅−⋅a →2a →b →a →c →b →c →=+0−0−0=422D B 1(4,5,3)(0,5,3)C 1B (8,5,−3)A BD 1(0,5,3)C 1C(0,5,0)ABB 1A 1(8,5,0)ACD ACD根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．【解答】根据题意，依次分析选项：对于，若距离坐标为，即到两条直线的距离都为，即距离坐标为，正确，对于，若距离坐标为，即到直线的距离为，到直线的距离为，在直线上，到直线的距离为，符合条件的点有个，对于，若距离坐标为，即到直线的距离为，到直线的距离为，有个符合条件的点相距为的两条平行线和与直线相距为的两条平行线的交点，正确，对于，若距离坐标为，即到两条直线的距离相等，的点在条相互垂直的直线上，11.【答案】A,B,C【考点】直线的一般式方程与直线的性质直线的截距式方程【解析】由题意利用直线方程的几种形式，注意特殊情况，逐一判断各个命题是否正确，从而得出结论．【解答】解：当直线的斜率等于零时，经过定点的直线方程为 ，不能写成 的形式，故错误．当直线的斜率不存在时，经过定点的直线都方程为，不能用方程表示，故错误．不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为的形式，故错误．经过任意两个不同的点，的直线，当斜率等于零时，，，方程为，能用方程表示；当直线的斜率不存在时，，，方程为 ，能用方程表示，故正确.故选.12.【答案】A,C,D【考点】直线与平面平行的判定棱柱的结构特征柱体、锥体、台体的体积计算A (0P 0(5A B (0P l 15l 21P l 5l 215C (1P l 12l 22611l 41C D (x P x)2P(,)x 0y 0y=y 0x −x 0=m(y −)y 0A A(0,b)x=0y=kx +b B x=a(a ≠0)C (,)P 1x 1y 1(,)P 2x 2y 2y 1=y 2≠x 1x 2y=y 1(y −)(−)y 1x 2x 1=(x −)(−)x 1y 2y 1≠y 1y 2x 1=x 2x=x 1(y −)(−)y 1x 2x 1=(x −)(−)x 1y 2y 1D ABC平面与平面垂直的判定【解析】【解答】解：如图，易知，，，分别为，，，的中点，易知，平面，平面，∴平面，同理平面，且，∴平面平面，故正确；平面与平面显然不垂直，故错误；，，∴四边形的面积为，故正确；，故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】空间向量的数量积运算向量的模【解析】利用向量的数量积定义及其运算性质即可得出．【解答】解：∵，是空间两个单位向量，它们的夹角为，E F G H AB BB 1CC 1CD EF//AB 1EF ⊂A D B 1C 1A ⊂B 1A D B 1C 1EF//A D B 1C 1FG//A D B 1C 1EF ∩FG =F A D//B 1C 1EFGH A ACC 1A 1EFGH B EF =2–√FG =BC =2EFGH 22–√C =−S 四棱锥B−EFGH S 三棱柱BFE−CGH S 三棱锥B−CGH =23S 三棱柱BFE−CGH =××1×1×2=231223D ACD 3–√m →n →60∘=1×1×cos =1∴，则，∴故答案为：.14.【答案】【考点】平面向量的坐标运算【解析】根据平面向量的数量积运算，列出方程，即可求出的值．【解答】向量，，∴；又，∴，解得．15.【答案】,【考点】平面向量的基本定理及其意义向量在几何中的应用【解析】无【解答】解：因为，，所以，，所以．又，⋅=1×1×cos =m →n →60∘12|−2=−4⋅+4=5−4×=3m →n →|2m →2m →n →n →212|−2|=.m →n →3–√3–√16k =(2,1)a =(−3,k)b 2−=(7,2−k)a b ⋅(2−)=0a a b 2×7+1×(2−k)=0k =161210−−√6AD =DB BE =2EC=DB −→−12AB −→−==BE −→−23BC −→−(−)23AC −→−AB −→−=+=+DE −→−DB −→−BE −→−12AB −→−(−)=−+23AC −→−AB −→−16AB −→−23AC−→−=x +y DE −→−AB −→−AC −→−x +)+(y −)=1−→−2−→−→所以.又因为与不共线，所以，，所以，，所以．故答案为：；．16.【答案】或【考点】异面直线及其所成的角直线与平面所成的角余弦定理【解析】连结，则，过作，交与点D ，连结，则底面， 是直线与底面所成角，由，得是异面直线与所成角（或其补角），由此能求出与底面所成的角的正弦值．【解答】解：连结，则，过点作，交于点，连结，则底面，(x +)+(y −)=16AB −→−23AC −→−0→AB −→−AC −→−x =−16y =23x +y =12=DE −→−2(−+)16AB −→−23AC −→−2=−××1×+=236292–√2–√249518DE ==518−−−√10−−√61210−−√63–√212MO MO//PB M MD ⊥AO AO DC MD ⊥AOC ∠MCD MC MO//PB ∠MOC OC PB MC MO MO//PB M MD ⊥AO AO D DC MD ⊥AOC ∠MCD MC所以是直线与底面所成角，又，解得，因为，是异面直线与所成角（或其补角），所以或，已知，，所以，解得或，所以 或，故与底面所成的角的正弦值为或．故答案为：或.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】因为，所以＝，且，解得＝；因为，所以＝，解得．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】（1）由平行线的充要条件可得关于的方程，＝，且，进而求出值；（2）由直线垂直的充要条件可得＝求出的值．【解答】因为，所以＝，且，解得＝；因为，所以＝，解得．18.【答案】证明：连接，设，连接．∵且，∴ 是平行四边形，∴ ．又∵ 平面, 平面，∴ 平面．∠MCD MC PO ==r 4−r 2r 2−−−−−−−√3–√MD =r 3–√2MO//PB ∠MOC OC PB ∠MOC =60∘∠MOC =120∘OC =r OM =r MC =O +O −2⋅OM ⋅OC ⋅cos ∠MOC M 2C 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√MC =r MC =r 3–√sin ∠MCD ===MD MC r 3√2r 3–√2sin ∠MCD ===MD MC r 3√2r 3–√12MC 3–√2123–√212//l 1l 22×(2m −1)3×m 2×1≠−2×mm 2⊥l 1l 22×m +3×(2m −1)0m =38m A 1B 2A 2B 1≠A 1C 2A 2C 1m +A 1A 2B 1B 20m //l 1l 22×(2m −1)3×m 2×1≠−2×mm 2⊥l 1l 22×m +3×(2m −1)0m =38(1)B 1D 1∩=B 1D 1A 1C 1O 1DO 1//DO O 1B 1=DO O 1B 1DO B 1O 1O//D B 1O 1D ⊂O 1DA 1C 1O ⊂B 1DA 1C 1O//B 1DA 1C 1(2)⊥A C B D ⊥B A C B解：∵ ，，且，∴ 平面．∴平面平面，且交线为，在平面内，过点作于，则平面，即的长就是点到平面的距离．在矩形中，连接，，则，∴．即点到平面的距离为．【考点】直线与平面平行的判定点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：连接，设，连接．∵且，∴ 是平行四边形，∴ ．又∵ 平面, 平面，∴ 平面．解：∵ ，，且，∴ 平面．∴平面平面，且交线为，在平面内，过点作于，(2)⊥A 1C 1B 1D 1⊥B A 1C 1B 1B ∩=B 1B 1D 1B 1⊥A 1C 1DB B 1D 1D ⊥A 1C 1DB B 1D 1DO 1DB B 1D 1O OH ⊥DO 1H OH ⊥DA 1C 1OH O DA 1C 1DB B 1D 1OO 1△OD ∼△OHD O 1=D O 1O O 1OD OH OH ==2×2–√6–√23–√3O DA 1C 123–√3(1)B 1D 1∩=B 1D 1A 1C 1O 1DO 1//DO O 1B 1=DO O 1B 1DO B 1O 1O//D B 1O 1D ⊂O 1DA 1C 1O ⊂B 1DA 1C 1O//B 1DA 1C 1(2)⊥A 1C 1B 1D 1⊥B A 1C 1B 1B ∩=B 1B 1D 1B 1⊥A 1C 1DB B 1D 1D ⊥A 1C 1DB B 1D 1DO 1DB B 1D 1O OH ⊥DO 1H则平面，即的长就是点到平面的距离．在矩形中，连接，，则，∴．即点到平面的距离为．19.【答案】解：由，得，所以，所以直线的斜率为 .证明：设，则，，由知，设，所以，，作差得，即，则，所以，即，所以，则．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程直线与椭圆结合的最值问题抛物线的性质OH ⊥DA 1C 1OH O DA 1C 1DB B 1D 1OO 1△OD ∼△OHD O 1=DO 1O O 1OD OHOH ==2×2–√6–√23–√3O DA 1C 123–√3(1)=2py x 2y =12p x 2=x y ′1p l 1px 0(2)P (,)x 0y 0B(−,−)x 0y 0=k PB y 0x 0(1)==k PA 1p x 0y 02x 0A (,)x 1y 1+=1y 202x 20+=1y 212x 21+(+)(−)y 0y 1y 0y 12(+)(−)=x 0x 1x 0x 1⋅=−+y 0y 1+x 0x 1−y 0y 1−x 0x 112=−k PA k AB 12=−y 02x 0k AB 12=−k AB x 0y 0=−1k PB k AB AB ⊥PB直线的斜率【解析】【解答】解：由，得，所以，所以直线的斜率为 . 证明：设，则，，由知，设，所以，，作差得，即，则，所以，即，所以，则．20.【答案】证明：∵平面，∴，∵，，，∴，∵，∴平面，∴，∵，分别为，的中点，∴，∴，同理，而，∴面，∴.解：如图，设的中点为，连结，，．(1)=2py x 2y =12p x 2=x y ′1p l 1p x 0(2)P (,)x 0y 0B(−,−)x 0y 0=k PB y 0x 0(1)==k PA 1p x 0y 02x 0A (,)x 1y 1+=1y 202x 20+=1y 212x 21+(+)(−)y 0y 1y 0y 12(+)(−)=0x 0x 1x 0x 1⋅=−+y 0y 1+x 0x 1−y 0y 1−x 0x 112=−k PA k AB 12=−y 02x 0k AB 12=−k AB x 0y 0=−1k PB k AB AB ⊥PB (1)EA ⊥ABCD EA ⊥BD BD =4AD =3AB =5AD ⊥BD AD ∩AE =A BD ⊥ADPE BD ⊥PE F G PB EB PE //GF BD ⊥GF BD ⊥FH GF ∩FH =F BD ⊥GFH BD ⊥GH (2)PD Q BQ EQ CQ EQ //BC EQ =BC Q C易知，且，则，，，四点共面，∵，分别为，，的中点∴，平面，同理面，又，∴面面，二面角即为平面与平面所成的锐二面角 ，∵，，，∴面，∴，且，∴就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角，∴.【考点】二面角的平面角及求法两条直线垂直的判定【解析】（1）根据线面垂直的性质定理进行证明即可．（2）根据二面角的定义，作出二面角的平面角进行求解即可．【解答】证明：∵平面，∴，∵，，，∴，∵，∴平面，∴，∵，分别为，的中点，∴，∴，同理，而，∴面，∴.解：如图，设的中点为，连结，，．易知，且，则，，，四点共面，∵，分别为，，的中点∴，平面，同理面，又，∴面面，二面角即为平面与平面所成的锐二面角 ，∵，，，∴面，∴，且，EQ //BC EQ =BC E Q B C F G ，H PB EB PC FH //AD FH //PEAD FG //PEAD FG ∩FH =F PEAD //FGH D −EQ −B FGH EBC AD ⊥BD AD ⊥PD AD //EQ EQ ⊥PDB EQ ⊥QD EQ ⊥BQ ∠DQB FGH EBC cos ∠DQB ===DQ BQ 24+16−−−−−√5–√5(1)EA ⊥ABCD EA ⊥BD BD =4AD =3AB =5AD ⊥BD AD ∩AE =A BD ⊥ADPE BD ⊥PE F G PB EB PE //GF BD ⊥GF BD ⊥FH GF ∩FH =F BD ⊥GFH BD ⊥GH (2)PD Q BQ EQ CQ EQ //BC EQ =BC E Q B C F G ，H PB EB PC FH //AD FH //PEAD FG //PEAD FG ∩FH =F PEAD //FGH D −EQ −B FGH EBC AD ⊥BD AD ⊥PD AD //EQ EQ ⊥PDB EQ ⊥QD EQ ⊥BQ ∠DQB FGH EBC∴就是平面与平面所成锐二面角的一个平面角，∴.21.【答案】解：当直线过原点时，直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，解得，∴所求直线的方程为，即，∴直线的方程为：或【考点】直线的截距式方程【解析】当直线过原点时，易得直线方程，当直线不过原点时，设直线的方程为，待定系数可得．【解答】解：当直线过原点时，直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线的方程为，把点代入可得，解得，∴所求直线的方程为，即，∴直线的方程为：或22.【答案】证明：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以在等边中，因为为的中点，所以，因为，，，所以平面.由知平面，所以即为与平面所成角，于是在直角中，∠DQB FGH EBC cos ∠DQB ===DQ BQ 24+16−−−−−√5–√5y =−x 252x +5y =0+=1x 2a y a A(−5,2)+=1−52a 2a a =−12−x −2y =1x +2y +1=0l 2x +5y =0x +2y +1=0+=1x 2a y ay =−x 252x +5y =0+=1x 2a y a A(−5,2)+=1−52a 2a a =−12−x −2y =1x +2y +1=0l 2x +5y =0x +2y +1=0(1)ABC ⊥ACD ABC∩ACD =AC CD ⊂ACD CD ⊥AC CD ⊥ABC AE ⊂ABC CD ⊥AE△ABC E BC AE ⊥BC AE ⊥CD AE ⊥BC CD ∩BC =C AE ⊥BCD (2)(1)DC ⊥ABC ∠DBC BD ABC △DCB ∠DBC ==DC 3.以为坐标原点，分别以所在方向作为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设等边的边长为，则，，，，.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，于是.设平面的一个法向量为，则，即，解得，令，则，于是.tan ∠DBC ==DC BC 32C ,CD −→−CA −→−x y C −xyz △ABC a CD =a,C(0,0,0),A(0,a,0),B (0,,)32a 2a3–√2=(0,−,)AB −→−a 2a 3–√2=(,−a,0)AD −→−3a 2=(0,,)CB −→−a 2a3–√2=(,0,0)CD −→−3a 2ABD =(,,)m →x 1y 1z 1 ⋅=0AB −→−m →⋅=0AD −→−m → −+a =0a 2y 13–√2z 1a −a =032x 1y 1=1z 1=，=y 13–√x 123–√3=(,,1)m →23–√33–√BCD =(,,)n →x 2y 2z 2 ⋅=0CB −→−n →⋅=0CD −→−n → a +a =012y 23–√2z 2a =032x 2=0x 2=1z 2=−y 23–√=(0,−,1)n →3–√<,>===−→→所以，由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以在等边中，因为为的中点，所以，因为，，，所以平面.由知平面，所以即为与平面所成角，于是在直角中，.以为坐标原点，分别以所在方向作为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设等边的边长为，则，cos <,>===−m →n →⋅m →n →||⋅||m →n →−2×243–√3–√4A −BD −C A −BD −C 3–√4(1)ABC ⊥ACD ABC∩ACD =AC CD ⊂ACD CD ⊥AC CD ⊥ABC AE ⊂ABC CD ⊥AE△ABC E BC AE ⊥BC AE ⊥CD AE ⊥BC CD ∩BC =C AE ⊥BCD (2)(1)DC ⊥ABC ∠DBC BD ABC △DCB tan ∠DBC ==DC BC 32C ,CD −→−CA −→−x y C −xyz △ABC a CD =a,C(0,0,0),A(0,a,0),B (0,,)32a 2a 3–√2(0,−,)−→−a –√(,−a,0)−→−(0,,)−→−a –√，，，.设平面的一个法向量为，则，即，令，则，于是.设平面的一个法向量为，则，即，解得，令，则，于是.所以，由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.=(0,−,)AB −→−a 2a 3–√2=(,−a,0)AD −→−3a 2=(0,,)CB −→−a 2a 3–√2=(,0,0)CD −→−3a 2ABD =(,,)m →x 1y 1z 1 ⋅=0AB −→−m →⋅=0AD −→−m →−+a =0a 2y 13–√2z 1a −a =032x 1y 1=1z 1=，=y 13–√x 123–√3=(,,1)m →23–√33–√BCD =(,,)n →x 2y 2z 2 ⋅=0CB −→−n →⋅=0CD −→−n → a +a =012y 23–√2z 2a =032x 2=0x 2=1z 2=−y 23–√=(0,−,1)n →3–√cos <,>===−m →n →⋅m →n →||⋅||m →n →−2×243–√3–√4A −BD −C A −BD −C 3–√4。

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1. 已知集合，集合，则 A.B.C. D.2. 角的始边在轴正半轴、终边过点，且，则的值为（ ）A.B.C.D.3. 设函数的两个零点为，，若，则( )A.B.C.D.4. 已知关于的函数解析式是（是正数，为时间），则函数图象是下图中的（ ）A ={x |−3<x <1}B ={x |−2x <0}x 2A ∪B =(){x|0<x <2}{x|0<x <1}{x|−3<x <0}{x|−3<x <2}αx P(,y)3–√cos α=12y 31±3±1f(x)=+ax +b(a,b ∈R)x 2x 1x 2||+||≤2x 1x 2|a|≥1|b|≤1|a +2b|≥2|a +2b|≤2h t h =g 12t 2gA. B. C. D.5. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）A.B.C.D.6. 已知函数若，则（）A.f(x)=kx α(2,)2–√2k +α=−1212132{，x ≤0,2x a −x,x >0,log 2f (f (−1))=−1a =−2B.C.D.7. 已知 ，则 的值为( )A.B.C.D.8. 下列函数中，其图象与函数和图象关于直线对称的是（ ）A.B.C.D.9. 已知函数满足，且，当时，，则的值为( )A.B.C.D.10. 已知，，则( )A.B.C.−12cos(−α)=π623cos(+2α)5π35919−19−59y =e x x =2y =e 2−xy =e 4+xy =e 2+xy =e 4−xf (x)f (1+x)=f (1−x)f (−x)=f (x)1≤x ≤2f (x)=−12x f (2021)21−1tan α=12tan(α+β)=13tan β=16−17175D. 11. 已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为 A.B.C.D.12. 设函数，若方程（）＝恰有两个不相等的实根，，则的最大值为（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 已知曲线(为自然对数的底数)在处的切线斜率等于，则实数________. 14. 已知函数则________.15. 定义在上的奇函数满足，当时，，则________．16. 函数的单调递增区间是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17. 已知函数＝．56f(x)1y >>1x 2x 1[f()−f()](−)<0x 2x 1x 2x 1a =f(−)12b =f(2)c =f(3)a b c ()c >a >bc >b >aa >c >bb >a >cf(x)={ ,x ≥0e x ,x <0x 2f f(x)a(a >0)x 1x 2⋅e x 1e x 21e 22(ln 2−1)4e 2ln 2−1f (x)=e x x +ae x =1e 4a =f(x)= (−2x,x ≤013)x −4+x,x >0log 2f(f(8))=R f (x)f (x +2)=f (−x)x ∈[−1,0]f (x)=+2x x 2f (2021)=f (x)=2x −ln x f(x)(|x +2|+|x −1|−a)log 2f(x)（1）当＝时，求函数的定义域；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．18. 设角，求的值．19. 若函数在区间内有最值，则的取值范围为________.20. 已知函数 .求曲线在点处的切线方程；求函数的极值．21. 已知定义域为的函数为奇函数．（1）求的值；（2）证明函数在上是减函数；（3）若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围．22. 已知抛物线：的焦点为．过点且斜率为的动直线与抛物线交于，两点，直线过点，且点关于直线的对称点为．求抛物线的方程，并证明直线是抛物线的切线；过点且垂直于的直线交轴于点．，与抛物线的另一个交点分别为，，记的面积为，的面积为，求的取值范围．a 4f(x)x f(x)≥3R a α=−π3562sin(π+α)cos(π−α)−cos(π+α)1+α+sin(π−α)−(π+α)sin 2cos 2f(x)=sin(ωx +)(0<ω<1)π6(π，2π)ωf (x)=2+3−12x +1x 3x 2(1)y =f (x)(1,f (1))(2)f (x)R f(x)=+a 1+12x a f(x)R f(−2t)+f(2−k)<0t 2t 2t k E =2py (p >0)x 2F F k (k ≠0)l A B l ′A (,)x 1y 1F l ′R (,−1)x 1(1)E l ′E (2)A l ′y G AG BG E C D △AGB S 1△CGD S 2S 2S 1参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】求出集合，根据交集定义进行求解．【解答】解：，则.故选.2.【答案】C【考点】三角函数【解析】利用余弦函数的定义，建立方程，通过解方程，即可求得结论．【解答】解：∵角的始边在轴正半轴、终边过点，且，∴∴∴故选．3.B B ={x |−2x <0}={x |0<x <2}x 2A ∪B ={x |−3<x <2}D αx P(,y)3–√cos α=12=3–√3+y 2−−−−−√12=9y 2y =±3C【答案】B【考点】根与系数的关系基本不等式在最值问题中的应用函数的零点【解析】本题考查二次函数．【解答】解：当时，的两个零点，，此时，当时，选项和不正确；当，时，，，，满足，但，选项不正确；由根与系数的关系可得，∴，故选项正确.故选．4.【答案】A【考点】函数的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：函数关系式，（为正常数，为时间）是一个二次函数，图象应是抛物线；又因为的值只能为正，图象只是抛物线在第一象限的部分．b =0f(x)=+ax x 2=0x 1=−a x 2||+||=|−a|≤2x 1x 2a =12A C a =−95b =−19100f(x)=−x −=(x +)(x −)x 295191001101910=−x 1110=x 21910||+||≤2x 1x 2|a +2b|=−−=>2∣∣∣951950∣∣∣10950D b =⋅x 1x 2|b|=||||≤(≤1x 1x 2||+||x 1x 22)2BB h =g 12t 2g t t A故选．5.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】根据题意列方程组求得和的值，再计算．【解答】解：幂函数的图象经过点，则，且，解得，所以．故选.6.【答案】A【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】由题意得， ，∴∴．，故选．【解答】解：由题意得， ，∴．∴.故选．7.A k αk +αf(x)=kx α(2,)2–√2k=1=2α2–√2α=−12k +α=1−=1212B f (−1)==2−112f (f (−1))=f ()=a −=a +1=−112log 212a =−2A f (−1)==2−112f (f (−1))=f ()=a −=a +1=−112log 212a =−2AC【考点】二倍角的余弦公式诱导公式【解析】此题暂无解析【解答】解：已知,.故选.8.【答案】D【考点】函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】B【考点】函数的周期性函数的求值cos(−α)=π623cos(+2a)=cos(−2a)5π3π3=2(−a)−1cos 2π6=−19C由已知得．从而得到，再由当时，，能求出的值．【解答】解：∵，且，则，即.是以为周期的周期函数，当时，∴.故选．10.【答案】B【考点】两角和与差的正切公式【解析】直接利用三角函数关系式角的恒等变变换和和角公式的应用求出结果．【解答】解：由于，,则.故选11.【答案】D【考点】函数恒成立问题函数单调性的性质【解析】f (1+x)=−f (1−x)=−f (x −1)|f (x +4)=f (x)1≤x ≤2f (x)=−12x f (2021)f (1+x)=f (1−x)f (−x)=f (x)f[1+(1+x)]=f[1−(1+x)]f(2+x)=f(−x)=f(x)∵f (x)21≤x ≤2f (x)=−12x f (2021)=f (2×1010+1)=f (1)=−1=121B tan α=12tan(α+β)=13tan β=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tan α1+tan(α+β)tan α=−13121+⋅1213=−17B.f(x)f(x)根据函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，可得函数关于对称；由当时，（ ）恒成立，可得函数在上为单调减函数，利用单调性即可判定出、、的大小．【解答】解：∵函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，∴函数关于对称,∴，∵当时，恒成立，∴ ，即 ，∴函数在上为单调减函数,∵,∴，即.故选．12.【答案】C【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】求出（）的解析式，根据（）的函数图象判断，的范围和两根的关系，构造函数，求出的最大值即可．【解答】令＝（），∵＝在上单调递减，在上单调递增，∴＝（）在上单调递减，在上单调递增．做出＝（）的函数图象如图所示：∵方程（）＝恰有两个不相等的实根，，不妨设，则，，且＝，即．∴，令，则，∴当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴当＝时，取得最大值．故选：．f(x)1y f(x)x =1>>1x 2x 1[f()−f()]x 2x 1−x 2x 1<0f(x)(1,+∞)a b c f(x)1y f(x)x =1a =f(−)=f()1252>>1x 2x 1[f()−f()]x 2x 1(−)x 2x 1<0f()−f()<0x 2x 1f()<f()x 2x 1f(x)(1,+∞)1<2<<352f(2)>f()>f(3)52b >a >c D f f(x)f f(x)x 1x 2h()=⋅x 1e x 1e x 2h()x 1g(x)f f(x)={ ,x ≥0e e x,x <0e x 2y f(x)(−∞,0)[0,+∞)g(x)f f(x)(−∞,0)[0,+∞)g(x)f f(x)f f(x)a(a >0)x 1x 2<x 1x 2≤−1x 1≥0x 2f()x 1f()x 2=x 21e x 2⋅=⋅e x 1e x 2e x 1x 21h()=⋅x 1e x 1x 21h'()=(+2)=⋅⋅(+2)x 1e x 1x 21x 1e x 1x 1x 1<−2x 1h'()>0x 1−2<<−1x 1h'()<0x 1h()x 1(−∞,−2)(−2,−1)x 1−2h()x 1h(−2)=4e 2C二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：∵，∴，依题意：，∴，则.故答案为：.14.【答案】【考点】分段函数的应用1f(x)=e xx +a (x)=f ′(x +a −1)⋅ex(x +a)2(1)==f ′ae (a +1)2e 4=a (a +1)214a =115函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：因为 ,所以 .故答案为：.15.【答案】【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】无【解答】解：因为是奇函数，所以，所以，所以的周期为.所以，故是以为周期的周期函数，则．故答案为：．16.【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求导，令，解不等式即可.f(8)=−4+8=−4+3=−1log 2f(f(8))=f(−1)=(+2=513)−151f (x)f (x +2)=f (−x)=−f (x)f (x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f (x)f (x)4f (x +4)=f (x)f (x)4f (2021)=f (4×505+1)=f (1)=−f (−1)=−[−2]=1(−1)21[,+∞)12(x)=2−≥0f ′1x【解答】解：函数的定义域为，∴ ，令，解得，∴函数的单调递增区间为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】当＝时，由题设得，即，②当时，，解得；②当时，得，无解；③当时，得，解得，所以函数的定义域为．不等式等价于，所以问题转化为不等式的解集为，因为＝，所以，即，所以的取值范围是．【考点】函数的定义域及其求法绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）由题意可得，对分类讨论去绝对值，即可求得的定义域；（2）不等式的解集为，求出的最小值，即可求得的取值范围．【解答】当＝时，由题设得，即，②当时，，解得；②当时，得，无解；f (x)=2x −ln x(0,+∞)(x)=2−f ′1x (x)=2−≥0f ′1x x ≥12f (x)=2x −ln x [,+∞)12[,+∞)12a 4|x +2|+|x −1|−4>0|x +2|+|x −1|>4x ≥1x +2+x −1>4−2≤x <1x +2+1−x >4x <−2−x −2+1−x >4f(x)≥3|x +2|+|x −1|−a ≥8|x +2|+|x −1|≥a +8R |x −1|+|x +2|≥|(x −1)−(x +2)|3a +8≤3a ≤−5a (−∞,−5]|x +2|+|x −1|>4x f(x)|x −1|+|x +2|≥a +8R |x −1|+|x +2|a a 4|x +2|+|x −1|−4>0|x +2|+|x −1|>4x ≥1x +2+x −1>4−2≤x <1x +2+1−x >4③当时，得，解得，所以函数的定义域为．不等式等价于，所以问题转化为不等式的解集为，因为＝，所以，即，所以的取值范围是．18.【答案】解：∵，∴，，∴．【考点】运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，，∴x <−2−x −2+1−x >4f(x)≥3|x +2|+|x −1|−a ≥8|x +2|+|x −1|≥a +8R |x −1|+|x +2|≥|(x −1)−(x +2)|3a +8≤3a ≤−5a (−∞,−5]α=−π356sin α=sin(−)=−sin(6π−)=sin =35π6π6π612cos α=cos(−)=cos(6π−)=cos =35π6π6π63–√22sin(π+α)cos(π−α)−cos(π+α)1+α+sin(π−α)−(π+α)sin 2cos 2=2(−sin α)(−cos α)+cos α1+α+sin α−αsin 2cos 2=2sin αcos α+cos α2α+sin αsin 2=2××+123–√23–√22×(+12)212=3–√α=−π356sin α=sin(−)=−sin(6π−)=sin =35π6π6π612cos α=cos(−)=cos(6π−)=cos =35π6π6π63–√22sin(π+α)cos(π−α)−cos(π+α)1+α+sin(π−α)−(π+α)sin 2cos 2=2(−sin α)(−cos α)+cos α1+α+sin α−αsin 2cos 2=2sin αcos α+cos α2α+sin αsin 2××+√√．19.【答案】∪【考点】函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由于函数取最值时，，即，又因为在区间内有最值，所以时，有解，所以，即得，由得，当时，，当时，又，所以的范围为∪故答案为：∪.20.【答案】解：由已知可知，所以， . =2××+123–√23–√22×(+12)212=3–√(，)1613(，1)23f(x)=sin(ωx +)π6ωx +=kπ+,k ∈Zπ6π2x =(kπ+)1ωπ3(π，2π)(kπ+)∈(π,2π)1ωπ3k 1<(k +)<21ω13ω<k +，13+<ω，k 216+<ω<k +k 21613+<k +k 21613k >−13k =0<ω<1613k =10<ω<1，<ω<123ω(，)1613(，1)23(，)1613(，1)23(1)f (x)=2+3−12x +1x 3x 2(x)=6+6x −12=6(x −1)(x +2)f ′x 2k =(1)=0f ′f (1)=−6切线方程 .令，即，解得，，当时， ，故在区间内为增函数；当时， ，故在区间内为减函数；当时， ，故在区间内为增函数； 从而函数在处取得极大值，在处取得极小值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知可知，所以， .切线方程 .令，即，解得，，当时， ，故在区间内为增函数；当时， ，故在区间内为减函数；当时， ，故在区间内为增函数； 从而函数在处取得极大值，在处取得极小值．21.【答案】解：（1）因为是奇函数，函数的定义域为，所以，即 （2）证明：设，则 ∵在实数集上是增函数且函数值恒大于，故 ，，．即．∴在上是单调减函数（3）由（2）知在上为减函数．又因为是奇函数，所以等价于，因为为减函数，由上式可得：．即对一切有：，从而判别式．所以的取值范围是．【考点】函数恒成立问题y =−6(2)(x)=0f ′6(x −1)(x +2)=0=−2x 1=1x 2x ∈(−∞,−2)(x)>0f ′f (x)(−∞,−2)x ∈(−2,1)(x)<0f ′f (x)(−2,1)x ∈(1,+∞)(x)>0f ′f (x)(1,+∞)f (x)=−2x 1f (−2)=21=1x 2f (1)=−6(1)f (x)=2+3−12x +1x 3x 2(x)=6+6x −12=6(x −1)(x +2)f ′x 2k =(1)=0f ′f (1)=−6y =−6(2)(x)=0f ′6(x −1)(x +2)=0=−2x 1=1x 2x ∈(−∞,−2)(x)>0f ′f (x)(−∞,−2)x ∈(−2,1)(x)<0f ′f (x)(−2,1)x ∈(1,+∞)(x)>0f ′f (x)(1,+∞)f (x)=−2x 1f (−2)=21=1x 2f (1)=−6f(x)R f(x)=0+a =0⇒a =−1+12012<x 1x 2f()−f()=−=x 1x 21+12x 11+12x 2−2x 22x1(+1)(+1)2x 12x 2y =2x 02−2>0x 2x 12+1>0x 12+1>0x 2f()−f()>0x 1x 2f(x)R f(x)(−∞,+∞)f(x)f(−2t)+f(2−k)<0t 2t 2f(−2t)<−f(2−k)=f(k −2)t 2t 2t 2f(x)−2t >k −2t 2t 2t ∈R 3−2t −k >0t 2△=4+12k <0⇒k <−13k k <−13函数单调性的判断与证明奇函数【解析】（1）利用奇函数定义中的特殊值求的值；（2）按按取点，作差，变形，判断的过程来即可．（3）首先确定函数的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式转化为关于的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出的取值范围．【解答】解：（1）因为是奇函数，函数的定义域为，所以，即 （2）证明：设，则 ∵在实数集上是增函数且函数值恒大于，故 ，，．即．∴在上是单调减函数（3）由（2）知在上为减函数．又因为是奇函数，所以等价于，因为为减函数，由上式可得：．即对一切有：，从而判别式．所以的取值范围是．22.【答案】解：由点，坐标，知与直线垂直，，关于过点的直线对称，可得，所以直线为抛物线准线，所以，抛物线方程为，因此点，所以，从而直线的斜率为，又抛物线方程为，得，所以过点的切线斜率为，所以为抛物线切线得证.设，，，，由题意，，得，因为，所以，令直线方程为，f(x)=−f(x)a f(x)f(−2t)+f(2−k)<0t 2t 2t k f(x)R f(x)=0+a =0⇒a =−1+12012<x 1x 2f()−f()=−=x 1x 21+12x 11+12x 2−2x 22x1(+1)(+1)2x 12x 2y =2x 02−2>0x 2x 12+1>0x 12+1>0x 2f()−f()>0x 1x 2f(x)R f(x)(−∞,+∞)f(x)f(−2t)+f(2−k)<0t 2t 2f(−2t)<−f(2−k)=f(k −2)t 2t 2t 2f(x)−2t >k −2t 2t 2t ∈R 3−2t −k >0t 2△=4+12k <0⇒k <−13k k <−13(1)A(,)x 1y 1R(,−1)x 1AR y =−1F R A l ′|AF|=|AR|y =−1p =2=4y x 2F(0,1)=−k FR 2x 1l ′x 12y =x 24=y ′x 2A x 12l ′(2)B(,)x B y B C(,)x C y C D(,)x D y D G(0,t)=k RF k AG =−t −y 1−x 12x 1t =+2y 1>0y 1t >2AB y =kx +1(k ≠0)=4y,2联立并化简得，得到，即，设直线方程：，联立得，则，即，同理可得，因此，由，所以的取值范围是．【考点】抛物线的标准方程利用导数研究曲线上某点切线方程抛物线的性质直线与抛物线结合的最值问题【解析】无无【解答】解：由点，坐标，知与直线垂直，，关于过点的直线对称，可得，所以直线为抛物线准线，所以，抛物线方程为，因此点，所以，从而直线的斜率为，又抛物线方程为，得，所以过点的切线斜率为，所以为抛物线切线得证.设，，，，由题意，，得，因为，所以，令直线方程为，联立并化简得，得到，即，{=4y,x 2y =kx +1−4kx −4=0x 2=−4x 1x B =−x B 4x 1AC y =x +t k 1{=4y,x 2y =x +t k 1−4x −4t =0x 2k 1=−4t x 1x C =−x C 4t x 1=−4t x B x D ==t x D −4t x B x 1====>4S 2S 1|CG||DG|sin ∠CGD 12|AG||BG|sin ∠AGB 12||x C x D ||x A x B −|t |∣∣4t x 1∣∣x 1||−x 1∣∣4x 1∣∣t 2S 2S 1(4,+∞)(1)A(,)x 1y 1R(,−1)x 1AR y =−1F R A l ′|AF|=|AR|y =−1p =2=4y x 2F(0,1)=−k FR 2x 1l ′x 12y =x 24=y ′x 2A x 12l ′(2)B(,)x B y B C(,)x C y C D(,)x D y D G(0,t)=k RF k AG =−t −y 1−x 12x 1t =+2y 1>0y 1t >2AB y =kx +1(k ≠0){=4y,x 2y =kx +1−4kx −4=0x 2=4x 1x B =−x B 4x 1AC y =x +t k设直线方程：，联立得，则，即，同理可得，因此，由，所以的取值范围是．AC y =x +t k 1{=4y,x 2y =x +t k 1−4x −4t =0x 2k 1=−4t x 1x C =−x C 4t x 1=−4t x B x D ==t x D −4t x B x 1====>4S 2S 1|CG||DG|sin ∠CGD 12|AG||BG|sin ∠AGB 12||x C x D ||x A x B −|t |∣∣4t x 1∣∣x 1||−x 1∣∣4x 1∣∣t 2S 2S 1(4,+∞)。

2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若log2a3+log2a7＝2，则T9的值为（ ）A.±512B.512C.±1024D.10242. 巳知双曲线G的中心在坐标原点，实轴在x轴上，离心率为√52，且G上一点到G的两个焦点的距离之差为12，则双曲线G的方程为（ ）A.x 225−y29=1B.x 236−y29=1C.x 236−y29=−1D.x 236−y28=13. 已知(13)−m=x,13n=y，则92m−n的值为（）A.x2yB.x4y2C.x2yD.x4y24. 下列函数中，在区间(0,+∞)上为增函数的是（）A.y=ln(x+2)B.y=−√x+1C.y=(12)xD.y=x+1x5. 已知数列{a n}中，a3=2，a7=1，若数列{1a n+1}为等差数列，则a11等于( )A.0B.12C.23D.−16. 抛物线x2=2py(p>0)与椭圆x 212+y22=1交于A，B两点，若△AOB的面积为√6 （其中O为坐标原点），则p=( )A.2B.3C.4D.67. 已知数列{a n},{b n}，对任意的m，n∈N+，有a m+n=a m+a n,a1=2，b n=[log2a n]([x]表示不超过x的最大整数），S n为数列{b n}的前n项和，则S100=( )A.472B.480C.580D.7698. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C： (x−1)2+y2=4，若直线 l:x+y+m=0上有且只有一个点P 满足：过点P 作圆C 的两条切线 PM ，PN ，切点分别为 M ，N ，且使得四边形PMCN 为正方形，则正实数m 的值为（ ）A.1B.2√2C.3D.7二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）A.x +y =5B.x −y =5C.x −4y =0D.x +4y =010. 设数列{a n }为等差数列，下列数列为等差数列的有( )A.{a n +a n+1}B.{a 2n }C.{2a n}D.{2a n +n }11. 意大利画家列奥纳多⋅达⋅芬奇(1452.4−1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达⋅芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式:f(x)=acosh xa ，其中a 为悬链线系数，coshx 称为双曲余弦函数，其函数表达式为coshx =e x +e −x 2，相应地双曲正弦函数的表达式为sinhx =e x −e −x 2.若直线x =m 与双曲余弦函数C 1，与双曲正弦函数C 2的图象分别相交于点A ，B ，曲线C 1在点A 处的切线l 1与曲线C 2在点B 处的切线l 2相交于点P ，则下列结论正确的为( )A.cosh(x−y)=coshxcoshy−sinhxsinhyB.y=sinhxcoshx是偶函数C.(coshx)′=sinhxD.若△PAB是以A为直角顶点的直角三角形，则实数m=012. 已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是圆O:x2+y2=a2上且不在x轴上的一点，且△PF1F2的面积为√32b2．设C的离心率为e，∠F1PF2=θ，则（）A.|PF1|+|PF2|>2aB.→PF1⋅→FF2=abC.e∈[√33,1)D.tanθ=2√33卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 设F1，F2是双曲线x2−y2=4的两个焦点，P是双曲线上任意一点，过F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则点M到直线x+y−3√2=0的距离的最大值是________.14. 函数f(x)=2x−lnx的单调递增区间是________.15. 已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)和椭圆x216+y29=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．16. 已知数列{a n}满足log2a n+1=1+log2a n(n∈N∗)，且a1+a2+a3+⋯+a10=1，则log2(a101+a102+⋯+a110)=________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知直线l1:x+my+6=0，l2：(m−2)x+3y+2m=0，求实数m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；18. 已知等比数列{a n}的公比大于1，且满足a3+a5＝90，a4＝27．（1）求{a n}的通项公式；（2）记b n＝log3a n，求数列{a n(b n+1)}的前n项和T n．19. 已知曲线f(x)=13x3+ax2+bx+13在点(1,f(1))处的切线斜率为3，且x=2时y=f(x)有极值．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[0,3]上的极值和最小值．20. 已知圆C的圆心在直线y=−2x上，且与直线y=1−x相切于点(2,−1)，直线l:y=x+b与圆C交于A，B两点．(1)求圆C的方程；(2)是否存在直线l，使以AB为直径的圆过点P(2,−2)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21. 已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，四边形A1B1A2B2的面积为4√3，坐标原点O到直线A1B1的距离为27√21.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C上一点P作两条直线分别与椭圆C相交于点A，B（异于点P），试判断以OP和AB为对角线的四边形是否为菱形？若是，求出直线AB的方程；若不是，请说明理由．22. 已知函数f(x)=1−x−axlnx(a∈R)，g(x)=f(x)x+1．(1)当a=−12时，求f(x)的最小值；(2)当0<a≤1时，g(x)≤m恒成立，求整数m的最小值．参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】等比数列的性质【解析】利用已知条件求出a3a7的值，然后利用等比数列的性质求解T9的值．【解答】由log2a3+log2a7＝2可得：log2(a3a7)＝2，可得：a3a7＝4，则a5＝2或a5＝−2（舍去负值），等比数列{a n}的前9项积为T9＝a1a2...a8a9＝(a5)9＝5(12)2.【答案】B【考点】双曲线的标准方程【解析】设双曲线G的方程为x 2a2−y2b2=1，由已知得{e=ca=√522a=12c2=a2+b2，由此能求出双曲线方程．【解答】解：设双曲线G的方程为x 2a2−y2b2=1，∵离心率为√52，且G上一点到G的两个焦点的距离之差为12，∴{e=ca=√522a=12c2=a2+b2，解得a=6，b=3，∴所求双曲线方程为x 236−y29=1．故选：B．3.【答案】D【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】【解答】解：(13)−m=3m.92m−n=92m9n=34m32n=x4y2.故选D.4.【答案】A【考点】函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】等差数列的通项公式等差数列的性质【解析】{1a n+1}的公差为d，根据等差数列的性质1a7+1=1a3+1+4d，求出d，在根据等差数列设数列的性质1a11+1=1a7+1+4d，即可求解.【解答】{1a n+1}的公差为d，解：设数列∵数列{a n}中， a3=2， a7=1，数列{1a n+1}是等差数列，∴1a7+1=1a3+1+4d，将a3=2，a7=1代入得：d=124，∵1a11+1=1a7+1+4d=23，∴a11=12.故选B．6.【答案】B【考点】椭圆的定义和性质圆锥曲线的综合问题抛物线的求解【解析】根据题意，设A(−x0，x202p)，B(x0，x20p)，x0>0，再根据三角形S△AOB=12×|2x0|×x202p=√6，联立可得.【解答】解：设A(−x0，x202p)，B(x0，x202p)，x0>0，S△AOB=12×|2x0|×x202p=√6，∴x30=2√6p，∴p 2=124x60①，将B(x0，x202p)代入x212+y22=1，∴x2012+3x20=1②，∴①②得{p2=124x60,x2012+3x20=1,∴{p=3,x20=6.故选B.7.【答案】C【考点】数列的求和数列递推式数列的应用【解析】【解答】解：∵a m+n=a m+a n，∴当m=1 时， a n+1=a n+a1.∵a1=2，∴a n+1−a n=2，∴{a n}为等差数列，∴a n=a1+(n−1)d=2n，∴b n=[log2a n]=[log22n]，∴n<2时，b n=1，2≤n<4时，b n=2，4≤n<8时，b n=3，8≤n<16时，b n=4，16≤n<32时，b n=5，32≤n<64时，b n=6，64≤n≤100时，b n=7，∴S100=1+2×2+3×4+4×8+5×16+6×32+7×37 =580.故选C.8.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】1【解答】解：因为四边形PMCN为正方形，所以∠MCN=90∘，且△MCN为等腰直角三角形，即MN=√2CN=2√2.又MN=CP，所以CP=2√2.因为只有一点P满足条件，所以点C到直线的距离等于2√2，√2=2√2，即d=|1+m|解得m=3或−5（舍去）.故选C.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,C【考点】直线的截距式方程【解析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求 .【解答】解：当直线过坐标原点时，直线方程为x−4y=0；当直线不过坐标原点时，设直线方程为x+y=a，代入点A(4,1)可得a=5，即x+y=5 .故选AC．10.【答案】A,C,D【考点】等差数列【解析】设数列{a n}公差为d，由等差数列的定义得到a n−a n−1=a n+1−a n=d，分别利用定义验证选项即可.【解答】解：设数列{a n}的公差为d.A，数列{a n+a n+1}，则a n+a n+1−a n−1−a n=2d是常数，故数列{a n+a n+1}是等差数列；B，数列{a2n}，则a2n−a2n−1=(a n+a n+1)(a n−a n−1)=d(a n+a n+1)不一定是常数，故数列{a2n}不一定是等差数列；C，数列{2a n}，则2a n−2a n−1=2d是常数，故数列{2a n}是等差数列；D，数列{2a n+n}，则2a n+1+(n+1)−(2a n+n)=2(a n+1−a n)+1=2d+1是常数，故数列{2a n +n }是等差数列.故选ACD.11.【答案】A,C,D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程函数奇偶性的判断导数的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：对于选项A ，coshxcoshy −sinhxsinhy=e x +e −x 2⋅e y +e −y 2−e x −e −x 2⋅e y −e −y 2=e x+y +e −x−y +e x−y +e y−x 4−e x+y +e −x−y −e x−y −e y−x 4=e x−y +e y−x 2=cosh(x −y)，故选项A 正确；对于选项B ，易得y =sinhxcoshx =e 2x −e −2x 4是奇函数，故选项B 错误；对于选项C ，(coshx)′=(e x +e −x 2)′=e x −e −x 2=sinhx ，故选项C 正确；对于选项D ，因为AB ⊥x 轴，若△PAB 是以A 为直角顶点的直角三角形，则PA//x 轴.又因为PA 是双曲余弦函数C 1在点A 处的切线，故令(coshm)′=sinhm =e m −e −m 2=0，解得m =0，故选项D 正确.故选ACD ．12.【答案】A,C【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义和性质椭圆的离心率三角形的面积公式平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，由于点P 在C 的外部，所以|PF 1|+|PF 2|>2a ，则A 正确；设P (x 0,y 0) (y 0≠0)，则x 20+y 20=a 2，所以→PF 1⋅→PF 2=(−c −x 0,−y 0)⋅(c −x 0,−y 0)=x 20−c 2+y 20=a 2−c 2=b 2≠ab ，则B 错误；由x 20+y 20=a 2及y 0≠0，得0<|y 0|≤a ，由S =12×2c ×|y 0|=√32b 2，解得|y 0|=√3b 22c ，所以0<√3b 22c ≤a ，即0<√3(a 2−c 2)≤2ac ，即√3e 2+2e −√3≥0，解得√33≤e <1，则C 正确；由→PF 1⋅→PF 2=b 2及→PF 1⋅→PF 2=|→PF 1||→PF 2|cosθ，得|→PF 1||→PF 2|cosθ=b 2，从而△PF 1F 2的面积为S =12×b 2cosθ×sinθ=12b 2tanθ，结合S =√32b 2，解得tanθ=√3，则D 错误．故选AC ．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】5双曲线的应用点到直线的距离公式直线与双曲线结合的最值问题直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，延长PF 2与直线F 1M 交于N ，连接OM ，可得|PF 1|=|PN |，|MF 1|=|MN |.又|F 1O |=|OF 2|，所以OM//F 2N ，OM =12F 2N ，所以|OM |=12|F 2N |=12(|PN |−|PF 2|)=12(|PF 1|−|PF 2|)=12×2a =2，故点M 的轨迹为以O 为圆心，2为半径的圆，所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=4，则圆心O 到直线x +y −3√2=0的距离为：d =|−3√2|√1+1=3，所以圆上一点到直线x +y −3√2=0的距离的最大值为：3+2=5，即点M 到直线x +y −3√2=0的距离的最大值是5.故答案为：5.14.【答案】[12,+∞)【考点】利用导数研究函数的单调性求导，令f ′(x)=2−1x ≥0，解不等式即可.【解答】解：函数f(x)=2x −lnx 的定义域为(0,+∞)，∴ f ′(x)=2−1x ，令f ′(x)=2−1x ≥0，解得x ≥12，∴函数f(x)=2x −lnx 的单调递增区间为[12,+∞).故答案为：[12,+∞).15.【答案】x 24−y 23=1【考点】双曲线的离心率椭圆的离心率双曲线的标准方程【解析】先利用双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)和椭圆有相同的焦点求出c =√7，再利用双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，求出a =2，即可求双曲线的方程．【解答】解：由题得，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点坐标为(√7,0)，(−√7,0)，c =√7，且双曲线的离心率为2×√74=√72=ca ⇒a =2．⇒b 2=c 2−a 2=3，双曲线的方程为x 24−y 23=1．故答案为：x 24−y 23=1．16.【答案】100【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：由log2a n+1=1+log2a n可得log2a n+1=log22a n，所以a n+1=2a n，所以数列{a n}是以a1为首项，2为公比的等比数列．又因为a1+a2+a3+⋯+a10=1，所以a101+a102+⋯+a110=(a1+a2+a3+⋯+a10)×2100=2100，故log2(a101+a100+⋯+a10)=log22100=100．故答案为：100．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：（1）当l1和l2相交时，1×3−(m−2)m≠0，由1×3−(m−2)m=0，m 2−2m−3=0，∴m=−1，或m=3，∴当m≠−1且m≠3时，l1和l2相交．（2）l1⊥l2时，1×(m−2)+m×3=0，m=12．∴当m=12时，l1⊥l2．（3）∵m=0时，l1不平行l2，∴l1//l2⇔m−21=3m≠2m6，解得m=−1．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】（1）利用两条直线相交时，由方程组得到的一次方程有唯一解，一次项的系数不等于0．（2）当两条直线垂直时，斜率之积等于−1，解方程求出m的值．（3）利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出m的值．【解答】解：（1）当l1和l2相交时，1×3−(m−2)m≠0，由1×3−(m−2)m=0，m 2−2m−3=0，∴m=−1，或m=3，∴当m≠−1且m≠3时，l1和l2相交．（2）l1⊥l2时，1×(m−2)+m×3=0，m=12．∴当m=12时，l1⊥l2．（3）∵m=0时，l1不平行l2，∴l1//l2⇔m−21=3m≠2m6，解得m=−1．18.【答案】设等比数列{a n}的公比为q(q>1)，依题意，得，两式相除，得，整理得3q 2−10q+3＝0，结合q>1，解得q＝3，所以，所以；由（1）知，所以b n＝log3a n＝n−1，从而，所以，①两边同乘以3，得，②由①-②得：，所以．【考点】数列的求和等比数列的通项公式【解析】（1）由题设求得等比数列{a n}的公比q与首项a1，即可求得其通项公式；（2）先由（1）求得b n，进而求得a n(b n+1)，再利用错位相减法求得其前n项和即可．【解答】设等比数列{a n}的公比为q(q>1)，依题意，得，两式相除，得，整理得3q 2−10q+3＝0，结合q>1，解得q＝3，所以，所以；由（1）知，所以b n ＝log 3a n ＝n −1，从而，所以，①两边同乘以3，得，②由①-②得：，所以．19.【答案】解：(1)f ′(x)=x 2+2ax +b ，则{f ′(1)=3,f ′(2)=0,得{2a +b =2,4a +b =−4,解得{a =−3,b =8,∴f(x)=13x 3−3x 2+8x +13．(2)由(1)知，f ′(x)=x 2−6x +8，令f ′(x)<0得2<x <4，令f ′(x)>0得x <2或x >4，则函数f(x)在[0,3]上的极大值为f(2)=7，无极小值，∵f(0)=13<f(3)=613，∴函数f(x)在[0,3]上的最小值为13，∴f(x)在[0,3]上的极大值为7，无极小值，最小值为13．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值【解析】无无【解答】解：(1)f ′(x)=x 2+2ax +b ，则{f ′(1)=3,f ′(2)=0,得{2a +b =2,4a +b =−4,解得{a =−3,b =8,∴f(x)=13x 3−3x 2+8x +13．(2)由(1)知，f ′(x)=x 2−6x +8，令f ′(x)<0得2<x <4，令f ′(x)>0得x <2或x >4，则函数f(x)在[0,3]上的极大值为f(2)=7，无极小值，∵f(0)=13<f(3)=613，∴函数f(x)在[0,3]上的最小值为13，∴f(x)在[0,3]上的极大值为7，无极小值，最小值为13．20.【答案】解：(1)由题意设圆心的坐标为C(a,−2a)，∵圆C 经过点(2,−1)且与直线y =1−x 相切，∴√(a −2)2+(−2a +1)2=|a −2a −1|√2，化简得a 2−2a +1=0，解得a =1.∴圆心C(1,−2)，半径r =√(1−2)2+(−2+1)2=√2，∴圆C 的方程为(x −1)2+(y +2)2=2.(2)设过AB 的圆方程为(x −1)2+(y +2)2−2+λ(x −y +b)=0，化简为x 2+y 2+(λ−2)x +(4−λ)y +3+λb =0，又∵所求的圆以AB 为直径，所以圆心(1−λ2,λ2−2)在直线y =x +b 上，且圆过点P(2,−2)，∴{λ2−2=1−λ2+b,22+(−2)2+2(λ−2)−2(4−λ)+3+λb =0,解得{λ=−12−√52,b =−72−√52, 或{λ=−12+√52,b =−72+√52.故存在直线l 的方程为2x −2y −7−√5=0或2x −2y −7+√5=0满足题意．【考点】直线和圆的方程的应用圆的标准方程点到直线的距离公式两点间的距离公式【解析】（1）根据点与点的距离公式，直线与圆的距离公式，点与直线的距离确定圆的方程．（2）根据直线与圆的位置关系设圆的方程确定直线．【解答】解：(1)由题意设圆心的坐标为C(a,−2a)，∵圆C 经过点(2,−1)且与直线y =1−x 相切，∴√(a −2)2+(−2a +1)2=|a −2a −1|√2，化简得a 2−2a +1=0，解得a =1.∴圆心C(1,−2)，半径r =√(1−2)2+(−2+1)2=√2，∴圆C 的方程为(x −1)2+(y +2)2=2.(2)设过AB 的圆方程为(x −1)2+(y +2)2−2+λ(x −y +b)=0，化简为x 2+y 2+(λ−2)x +(4−λ)y +3+λb =0，又∵所求的圆以AB 为直径，所以圆心(1−λ2,λ2−2)在直线y =x +b 上，且圆过点P(2,−2)，∴{λ2−2=1−λ2+b,22+(−2)2+2(λ−2)−2(4−λ)+3+λb =0,解得{λ=−12−√52,b =−72−√52, 或{λ=−12+√52,b =−72+√52.故存在直线l 的方程为2x −2y −7−√5=0或2x −2y −7+√5=0满足题意．21.【答案】解：(1)由题意，得直线A 1B 1的方程为−xa +yb =1．则{2ab =4√3，1√1a 2+1b 2=27√21，解得{a =2，b =√3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)当直线AB 的斜率不存在时，若平行四边形OAPB 为菱形，则P 为左顶点或右顶点，此时直线AB 的方程为x =±1.当直线AB 的斜率为0时，若四边形OAPB 为菱形，则点P 为上顶点或下顶点，此时AB 的方程为y =±√32.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB ：y =kx +m(k ≠0)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)联立{x 24+y 23=1，y =kx +m ， 得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，则Δ=48(4k 2−m 2+3)>0，所以x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m =6m4k 2+3.若四边形OAPB 为菱形，所以→OA +→OB =→OP ，所以点P (−8km4k 2+3,6m4k 2+3)，所以直线OP 的斜率k OP =−34k ，所以k ⋅(−34k )=−34≠−1，这与k AB ⋅k OP =−1矛盾，所以四边形OAPB 不能是菱形，综上所述，四边形OAPB 能为菱形，此时直线AB 的方程为x =±1，或y =±√32．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的标准方程直线的截距式方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意，得直线A 1B 1的方程为−xa +yb =1．则{2ab =4√3，1√1a 2+1b 2=27√21，解得{a =2，b =√3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)当直线AB 的斜率不存在时，若平行四边形OAPB 为菱形，则P 为左顶点或右顶点，此时直线AB 的方程为x =±1.当直线AB 的斜率为0时，若四边形OAPB 为菱形，则点P 为上顶点或下顶点，此时AB 的方程为y =±√32.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB ：y =kx +m(k ≠0)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)联立{x 24+y 23=1，y =kx +m ，得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，则Δ=48(4k 2−m 2+3)>0，所以x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2m =6m4k 2+3.若四边形OAPB 为菱形，所以→OA +→OB =→OP ，所以点P (−8km4k 2+3,6m4k 2+3)，所以直线OP 的斜率k OP =−34k ，所以k ⋅(−34k )=−34≠−1，这与k AB ⋅k OP =−1矛盾，所以四边形OAPB 不能是菱形，综上所述，四边形OAPB 能为菱形，此时直线AB 的方程为x =±1，或y =±√32．22.【答案】解：(1)当a =−12时，f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=12(lnx −1).由f ′(x)<0，得0<x <e ；由f ′(x)>0，得x >e ，所以f(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(e)=1−e2．(2)①当x ≥1时，因为0<a ≤1，f ′(x)=−1−alnx −a <0，所以f(x)在[1,+∞)上单调递减，所以f(x)max =f(1)=0，则f(x)≤0.又x +1>0，所以g(x)≤0（当x =1时等号成立），所以m ≥0.②当0<x <1时，lnx <0.又当0<a ≤1时，ax ≤x ，所以axlnx ≥xlnx ，所以−axlnx ≤−xlnx ，所以1−x −axlnx ≤1−x −xlnx ，即f(x)≤1−x −xlnx.因为x +1>0，所以g(x)≤1−x −xlnxx +1.令h(x)=1−x −xlnxx +1(x ∈(0,1))，则问题化为h(x)≤m 在(0,1)上恒成立.因为h ′(x)=−x −3−lnx(x +1)2，令φ(x)=−x −3−lnx ，x ∈(0,1)，则φ′(x)=−1−1x <0，所以φ(x)在(0,1)上单调递减.又因为φ(1e 4)=1−1e 4>0，φ(1e 3)=−1e 3<0，所以存在唯一一个实数x 0∈(1e 4,1e3)，使得φ(x 0)=−x 0−3−lnx 0=0，所以lnx 0=−x 0−3，所以当0<x <x 0时，φ(x)>0，即h ′(x)>0，当x 0<x <1时，φ(x)<0，即h ′(x)<0，所以h(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,1)上单调递减，所以h(x)max =h(x 0)=1−x 0−x 0lnx 0x 0+1=1−x 0+x 0(x 0+3)x 0+1=x 20+2x 0+1x 0+1=x 0+1．因为x 0∈(1e 4,1e 3)，所以x 0+1∈(1+1e 4,1+1e 3)，所以h(x)max ∈(1+1e 4,1+1e 3)，即h(x)max <1+1e 3，所以m ≥1+1e 3.综上所述，m ≥1+1e 3.又m ∈Z ，所以m ≥2，所以m 的最小整数值为2.【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a =−12时，f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=12(lnx −1).由f ′(x)<0，得0<x <e ；由f ′(x)>0，得x >e ，所以f(x)在(0,e)上单调递减，在(e,+∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(e)=1−e2．(2)①当x ≥1时，因为0<a ≤1，f ′(x)=−1−alnx −a <0，所以f(x)在[1,+∞)上单调递减，所以f(x)max =f(1)=0，则f(x)≤0.又x +1>0，所以g(x)≤0（当x =1时等号成立），所以m ≥0.②当0<x <1时，lnx <0.又当0<a ≤1时，ax ≤x ，所以axlnx ≥xlnx ，所以−axlnx ≤−xlnx ，所以1−x −axlnx ≤1−x −xlnx ，即f(x)≤1−x −xlnx.因为x +1>0，所以g(x)≤1−x −xlnxx +1.令h(x)=1−x −xlnxx +1(x ∈(0,1))，则问题化为h(x)≤m 在(0,1)上恒成立.因为h ′(x)=−x −3−lnx(x +1)2，令φ(x)=−x −3−lnx ，x ∈(0,1)，则φ′(x)=−1−1x <0，所以φ(x)在(0,1)上单调递减.又因为φ(1e 4)=1−1e 4>0，φ(1e 3)=−1e 3<0，所以存在唯一一个实数x 0∈(1e 4,1e3)，使得φ(x 0)=−x 0−3−lnx 0=0，所以lnx 0=−x 0−3，所以当0<x <x 0时，φ(x)>0，即h ′(x)>0，当x 0<x <1时，φ(x)<0，即h ′(x)<0，所以h(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,1)上单调递减，所以h(x)max =h(x 0)=1−x 0−x 0lnx 0x 0+1=1−x 0+x 0(x 0+3)x 0+1=x 20+2x 0+1x 0+1=x 0+1．因为x 0∈(1e 4,1e 3)，所以x 0+1∈(1+1e 4,1+1e 3)，所以h(x)max ∈(1+1e 4,1+1e 3)，即h(x)max <1+1e 3，所以m≥1+1e 3 .综上所述，m≥1+1e 3 .又m∈Z，所以m≥2，所以m的最小整数值为2.。

2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：140 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 16 小题 ，每题 5 分 ，共计80分 ）1. 已知直线过， 两点且倾斜角为，则的值为（ ）A.B.C.D.2. 已知点在圆 上，则的最小值为( )A.B.C.D.3. 设点，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是A.B.C.D.4. 已知，，则下列命题为真命题的是( )A.若，则B.若，则A (3,m +1)B (4,2m +1)π56m −3–√3–√−3–√33–√3P (x,y)C :+=16x 2(y −1)2z =+−8x −8y +32x 2y 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√12–√3–√2A (1,2)B (2,1)ax +y +1=0AB a ( )[1,3](−∞,−3]∪[−1,+∞)[−3,−1](−∞,1]∪[3,+∞)a b ∈R a ≠0ab ≠0ab =0a =0ab ≠0a ≠0C.若，则D.若，则且5. 若圆：＝与圆：＝外切，则正数的值是（ ）A.B.C.D.6. 已知双曲线的一个焦点到渐近线的距离为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的渐近线为 A.B.C.D.7. 设向量，满足，，且，则向量在向量方向上的投影为( )A.B.C.D.8. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为( )ab ≠0a ≠0ab =0a =0b =0C 1(x −1+(y −1)2)21C 2(x +2+(y +3)2)2r 2r 2346−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 22+=1x 216y 27()y =±x 32y =±x 25–√5y =±x 5–√2y =±x 23a →b →||=2a →||=1b →⊥(+)b →a →b →b →+2a →b →−1−12121ABCD −A 1B 1C 1D 1E G AB AD EG C B 1A.B.C.D.9. 设，，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.10. 在正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.11. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ）A.B.C.D.30∘45∘60∘90∘A(−1,2)B(3,1)y =kx AB k (−∞,−2)∪(,+∞)13(−∞,−)∪(2,+∞)13(−,2)13(−2,)13ABCD −A 1B 1C 1D 1E A 1B 1B A 1E D 15–√1010−−√105–√510−−√5z z (1−2i)=3+i 3z −ii−1112. 设集合，从中随机抽取一个数，从中随机抽取一个数，记事件为“数，满足 ，则事件的概率为( )A.B.C.D.13. 已知为的重心，为边上的中线，令，，过点的直线分别交，于，两点，且，，则 A.B.C.D.14. 已知点在圆：上，直线与两坐标轴的交点分别为，，则的面积的最大值是( )A.B.C.D.15. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，直线与直线的交点为，若的面积是面积的倍(为坐标原点)，则该椭圆的离心率为( )A.B.M =N ={0,1,2,4}M a N b A a b a =2b A 183161312E △ABC AD BC =AB −→−a →=AC −→−b →E AB AC P Q =m AP −→−a →=n AQ −→−b →+=1m 1n()34513P C +=1(x −2)2(y +1)2l :3x +4y =12M N △PMN 15281729C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2A B y =x AB P △OBP △OAB 2O 1323–√C.D.16. 已知点为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为，其中，则的最小值为 A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）17. 若直线＝与曲线＝有公共点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.18. 在平面直角坐标系中，有两个圆：和：，其中，为正常数，满足或，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是( )A.两个椭圆B.两个双曲线C.一个双曲线和一条直线D.一个椭圆和一个双曲线19. 下列命题正确的是( )A.，，，是空间中的四个点，若，，不能构成空间基底，则，，，四点共面B.已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底5–√36–√3M +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 282–√e =2–√2,F 1F 2B(3,2)|M |+|MB|F 1()6−2–√2–√6−2–√3–√42–√8−2–√5–√y x +b y 3−b C 1(x +2+=)2y 2r 21C 2(x −2+=)2y 2r 22r 1r 2+<4r 1r 2|−|>4r 1r 2P A B M N BA −→−BM −→−BN −→−A B M N {,,}a →b →c →=+m →a →c →{,,}a →b →m →(−2,0,)2C.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线D.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为20. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ）A.曲线的渐近线为B.曲线与轴的交点为C.是曲线上任意两点，若，则D.若是曲线上任意一点，则21. 若是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，是的充分条件，则( )A.是的必要不充分条件B.是的充要条件C.是的充要条件D.是的充要条件22. 关于椭圆有以下结论，其中正确的有( )A.离心率为B.长轴长是C.焦点在轴上D.焦点坐标为，23. 已知抛物线的焦点为，过点倾斜角为的直线与抛物线交于，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于，则以下结论正确的是( )A.B.为的中点C.D. l =(1,0,3)e →α=(−2,0,)n →23l//αl =(1,0,3)e →α=(−2,0,2)n →l α5–√5C :x|x|−y|y|=1C y =xC x (1,0),(−1,0)A (,),B (,)x 1y 1x 2y 2C <x 1x 2<y 1y 2P (s,t)C |s −t|≤2–√p q q s t q t s t p t q p s q s 3+4=12x 2y 21223–√y (−1,0)(1,0)C ：=10x y 2F F 60∘l C A B AD |AF|=10F AD 2|BD|=|BF||BF|=83+=1(a >b >0)2224. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则正确的是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）25. 分解因式：________．26. 已知，是圆上的两动点，且，点在直线上，则的最小值为________ .27. 在平面直角坐标中，设圆的半径为，圆心在直线上，若圆上存在点，使，其中，则圆心横坐标的取值范围________．28. 已知 分别是椭圆 的左、右焦点，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且 ,则椭圆的离心率为________.:+=1(a >b >0)C 1x 2a 2y 2b 2F 1F 2e 1C 1M ⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−C 2C 1C 2e 2P C 1C 2∠P =F 1F 2π3=2e 2e 1⋅=e 1e 23–√2e +=21e 2252e −=122e 21−−−2yz =x 2y 2z 2A B O :+=4x 2y 2|AB|=23–√P l :x −y +4=0|+|PA −→−PB −→−xOy M 1x −y −1=0M N NO =NA 12A(0,3)M ,F 1F 2C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1C A B |A |=3|B |,|AB|=|B |F 1F 1F 2参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 16 小题 ，每题 5 分 ，共计80分 ）1.【答案】C【考点】直线的斜率直线的倾斜角【解析】根据题意，由直线的倾斜角可得直线的斜率，又由的坐标结合两点间连线的斜率公式可得的值，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线的倾斜角为，则其斜率，又因为， ，则的斜率，则有.故选．2.【答案】A【考点】与圆有关的最值问题两点间的距离公式【解析】直接利用的几何意义，即可得到答案.AB AB k AB π56k =tan π=−563–√3A (3,m +1)B (4,2m +1)AB k ==m (2m +1)−(m +1)4−3m =−3–√3C z【解答】解：∵ ，则几何意义为圆上点到定点的距离，又，∴最小值为.故选．3.【答案】C【考点】直线的斜率斜率的计算公式【解析】由题意利用直线的斜率公式，求得的范围．【解答】解：直线经过定点，斜率为，可得直线的斜率为，直线的斜率为.若直线与线段有交点，则，解得.故选．4.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据有理数的运算法则分析出各题设是否能推出结论，从而判断出正确答案．【解答】解：，若，，则，原命题是假命题，故不符合题意；，若，则或，原命题是假命题，故不符合题意；z =+−8x −8y +32x 2y 2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=+(x −4)2(y −4)2−−−−−−−−−−−−−−−√D (4,4)CD ==5+(4−0)2(4−1)2−−−−−−−−−−−−−−−√z 5−4=1A a ax +y +1=0M (0,−1)−a MB =11+12−0MA =32+11−0ax +y +1=0AB 1≤−a ≤3−3≤a ≤−1C A a ≠0b =0ab =0A B ab =0a =0b =0B C ab ≠0a ≠0C，若，则，原命题是真命题，故符合题意；，若，则或，原命题是假命题，故不符合题意．故选．5.【答案】C【考点】两圆的公切线条数及方程的确定【解析】两圆外切，则圆心距＝，求出圆心坐标，代入两点间距离公式，即可得到值．【解答】圆：＝，圆：＝，∴坐标为，半径为，坐标为，半径为，∴，6.【答案】B【考点】双曲线的渐近线椭圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：双曲线的焦点为，到双曲线渐近线的距离为，由椭圆方程可知， ，故，所以，所以双曲线渐近线方程为.故选．7.C ab ≠0a ≠0C D ab =0a =0b =0D C ||C 1C 21+r r C 1(x −1+(y −1)2)21C 2(x +2+(y +3)2)2r 2C 1(1,1)1C 2(−2,−3)r ||=+⇒=r +1⇒r =4C 1C 2r 1r 2+(1+2)2(1+3)2−−−−−−−−−−−−−−−√(c,0)bx −ay =0=b =2|bc|+a 2b 2−−−−−−√+=1x 216y 27=316−7−−−−−√c =3a ==−c 2b 2−−−−−−√5–√y =±x =±x b a 25–√5B【答案】C【考点】平面向量数量积的运算向量的投影【解析】根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系分析可得，进而由，计算可得，结合向量数量积的计算公式可得向量在向量方向上的投影为，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，若，则，又由，，则，则，则，则向量在向量方向上的投影为．故选．8.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角⋅(+)=⋅+=0b →a →b →a →b →b →2=+4⋅+4(+2)a →b →2a →2a →b →b →2|+2|=2a →b →b →+2a →b →=⋅(+2)b →a →b →|+2|a →b →⋅+2a →b →b →2|+2|a →b →⊥(+)b →a →b →⋅(+)=⋅+=0b →a →b →a →b →b →2||=2a →||=1b →⋅=−1a →b →=+4⋅+4(+2)a →b →2a →2a →b →b→2=4−4+4=4|+2|=2a →b →b →+2a →b →==⋅(+2)b →a →b →|+2|a →b →⋅+2a →b →b →2|+2|a →b →12C连接，，．得,,所以为异面直线与所成角．在等边中．得异面直线成角.【解答】解：如图：连接，，.因为，分别是，的中点，所以.又因为，所以，所以为异面直线与所成的角.在中，因为，所以.故选.9.【答案】D【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】直线过定点，再求它与两点，的斜率，即可取得的取值范围．【解答】解：直线过定点，则，，由图象可知：当直线在与的正向之间或在与的负向之间符合题意，所以的取值范围是：故选：10.BD B 1D 1CD 1EG ∥BD ∥BD B 1D 1∠CB 1D 1EG C B 1△CB 1D 1BD B 1D 1CD 1E G AB AD EG//BD //BD B 1D 1EG//B 1D 1∠CB 1D 1EG C B 1△CB 1D 1C ==C B 1B 1D 1D 1∠C =B 1D 160∘C y =kx (0,0)A(−1,2)B(3,1)k y =kx (0,0)==−2k AO 2−0−1−0==k OB 1−03−013OB x OA x k (−2,0)∪[0,)=(−2,)1313DB【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】在正方体、长方体中往往可以建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题．【解答】解：以为坐标系原点，为单位长，，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，则，，，，则，，所以.故选.11.【答案】D【考点】复数的基本概念复数代数形式的乘除运算D AB DA DC DD 1x y z 1(1,0,1)A 1B(1,1,0)(0,0,1)D 1E(1,,1)12=(0,1,−1)B A 1−→−=(1,,0)E D 1−→−−12cos <，>B A 1−→−E D 1−→−−=0×1+1×+(−1×0)12×++(−10212)2−−−−−−−−−−−−−√+(+1212)202−−−−−−−−−−−−√=12×2–√5√2=10−−√10B先把复数用分式表示，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简计算即可.【解答】解：由题得，则此复数的虚部为.故选.12.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】（1）先得到共有种总情况，进而得到满足条件的情况，求解即可.【解答】解：已知集合，每个集合有个元素，从中随机抽取一个数 ，从中随机抽取一个数 ，共有种情况，其中符合事件“数，满足”的情况共有，，三种情况，则事件的概率 .故选 .13.【答案】A【考点】向量在几何中的应用平面向量的基本定理及其意义【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，z =====1+i 3+i 31−2i 3−i 1−2i (3−i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)5+5i 51D 16M N 4M a N b 4×4=16A a b a =2b (1,0)(2,1)(4,2)A P =316B；∴.∵为的重心，∴，，∴，整理得，，∴消去得，，∴．故选.14.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】首先求出，再求点到直线距离的最大值即可得到答案.【解答】解：由题意得：不妨取为轴的交点，为轴的交点，则，，故，圆心到直线的距离：，所以点到直线距离的最大值为，所以的面积的最大值为.故选.15.=+=+x =+x(−)AP −→−AE −→−EP −→−AE −→−QP −→−AE −→−AP −→−AQ −→−(1−x)=−x AP −→−AE −→−AQ −→−E △ABC =(+)AE −→−13a →b →=m ，=n AP −→−a →AQ −→−b →m(1−x)=(+)−nx a →13a →b →b →(m −mx −)+(nx −)=13a →13b →0→m −mx −=0,13nx −=0,13x m −=m 3n 13+=31m 1nA |MN|P M x N y M (4,0)N (0,3)|MN|==516+9−−−−−√(2,−1)l :3x +4y =12d ==2|3×2+4×(−1)−12|9+16−−−−−√P l :3x +4y =12d +r =2+1=3△PMN ×5×3=12152AC【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：与直线的交点坐标为，由的面积是面积的倍知，，所以,.故选.16.【答案】D【考点】椭圆的离心率椭圆的定义椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得解得，所以椭圆方程为AB y =x P (,)ab a −b ab a −b △OBP △OAB 2=2a ab a −b2a =3b =−=c 2a 2b 25a 29e =5–√3C 2a =8,2–√e =,2–√2=+,a 2b 2c 2 a =4,2–√b =4,c =4.+=1.x 232y 216|M |+|MB|=2a −(|M |−|MB|)F 1F 2 2a −|B |=8−F 22–√5–√故选二、 多选题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）17.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】曲线即 ＝，表示以为圆心，以为半径的一个半圆，由圆心到直线＝的距离等于半径，解得 ＝，＝．结合图象可得的范围．【解答】如图所示：曲线＝，即＝-，平方可得＝，表示以为圆心，以为半径的一个半圆．由圆心到直线＝的距离等于半径，可得＝，∴＝，或＝．结合图象可得，故选：．18.【答案】B,C,D【考点】轨迹方程【解析】两圆圆心距＝，当，即两圆外离时，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个内切D.(x −2+(y −3)2)24(1≤y ≤3)A(2,3)2y x +b 2b 1+2b 1−2b y 3−y −3(x −2+(y −3)2)24(1≤y ≤3,0≤x ≤4)A(2,3)2y x +b 22b 1+2b 1−21−2≤b ≤3C当，两圆相交，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，分别讨论，得出结论．【解答】解：根据题意得，圆，半径，圆，半径，所以.设圆的半径为.当时，即，两圆外离时，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切.①均内切时，，此时，当时，点的轨迹是以，为焦点的双曲线，当时，点在，的垂直平分线上．②均外切时，，此时．此时点的轨迹是与①相同．③与一个内切与一个外切时，若与圆内切，与圆外切，则，，则.若与圆 内切，与圆外切，可得.所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样．当时，即，两圆相交时，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切，④均内切时轨迹和①相同，⑤均外切时轨迹和①相同，⑥与一个内切与另一个外切时，若与圆内切，与圆外切，则，，则.所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆．若与圆 内切，与圆外切时，可得，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆．故选．19.【答案】A,B,D【考点】空间向量运算的坐标表示空间中直线与平面之间的位置关系【解析】因为不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，故只需判断三个向量是否共面即可．+>4r 1r 2P (−2,0)C 1r 1(2,0)C 2r 2=4C 1C 2P r +<4r 1r 2C 1C 2P |P |=C 1r −r 1|P |C 2=r −r 2||P |−|P ||=C 1C 2|−|r 2r 1≠r 1r 2P C 1C 2r 1=r 2P C 1C 2|P |=C 1r +r 1|P |=C 2r +r 2||P |−|P ||=C 1C 2|−|r 1r 2P C 1C 2|P |C 1=r −r 1|P |=C 2r +r 2|P |−|P |=C 2C 1+r 1r 2C 2C 1|P |−|P |=C 1C 2+r 1r 2P C 1C 2+>4r 1r 2C 1C 2P C 1C 2|P |=C 1−r r 1|P |=C 2r +r 2|P |+|P |=C 1C 2+r 1r 2P C 1C 2C 2C 1|P |+|P |=C 1C 2+r 1r 2P C 1C 2BCD解：∵，，不能构成空间基底，∴，，共面，∴，，，四点共面，故正确；∵是空间的一个基底，∴，，不共面.∵，∴，，不共面，∴也是空间的基底，故正确；∵直线的方向向量为，平面的法向量为，∴，∴，∴或，故错误；∵直线的方向向量为，平面的法向量为，∴，即直线与平面所成角的正弦值为，故正确.故选.20.【答案】A,C,D【考点】圆锥曲线的综合问题直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：由，知曲线由，，三部分组成（两边为双曲线的一部分，中间为圆的一部分，如图所示），两边部分为双曲线，其渐近线为，故正确；曲线与轴的交点为，故错误；由图可知正确；BA −→−BM −→−BN −→−BA −→−BM −→−BN −→−A B M N A {,,}a →b →c →a →b →c →=+m →a →c →a →b →m →{,,}a →b →m →B l =(1,0,3)e →α=(−2,0,)n →23⋅=1×(−2)+0+3×=0e →n →23⊥e →n →l//αl ⊂αC l =(1,0,3)e →α=(−2,0,2)n →cos <,>===e →n →|⋅|e →n →||||e →n →|−2+6|×210−−√2–√5–√5l 5–√5D ABD x|x|−y|y|=1C −=1(x ≥0,y ≥0)x 2y 2+=1x 2y 2(x >0,y <0)−=1(x <0,y <0)y 2x 2y =x A C x (1,0)B C由图可知点到的距离，所以，所以，故正确．故选．21.【答案】A,B,D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：由题知，且，则，所以，正确；因为，且是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，所以正确，不正确．故选 .22.【答案】A,D【考点】椭圆的定义和性质椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】无【解答】解：将椭圆方程化为标准方程为，∵，，∴，∴离心率，故选项正确；∴长轴长，故选项错误；∵，P y =x d ≤1≤1|s −t|2–√|s −t|≤2–√D ACD q ⇒t ⇒s s ⇒q q t s B D q t s p q p s t p A C ABD 3+4=12x 2y 2+=1x 24y 23a =2b =3–√c =1e ==c a 12A 2a =4B焦点坐标为，，故选项正确.故选．23.【答案】A,B【考点】抛物线的性质直线的倾斜角解三角形抛物线的定义【解析】无【解答】解：如图，分别过点，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，，抛物线的准线与轴交于点，则，由于直线的倾斜角为，轴，由抛物线定义可知，，则为正三角形，所以，则，所以，，正确；因为，，所以点为的中点，正确；因为，所以，所以，错误；，错误．故选．24.【答案】(−1,0)(1,0)D AD A B C m E M m x P |PF|=5l 60∘AE//x |AE|=|AF|△AEF ∠EFP =∠AEF =60∘∠PEF =30∘|AF|=|EF|=2|PF|=10A |AE|=|EF|=2|PF|PF//AE F AD B ∠DAE =60∘∠ADE =30∘|BD|=2|BM|=2|BF|C |BF|=|DF|=|AF|=1313103D ABB,D【考点】椭圆的离心率双曲线的离心率余弦定理椭圆的定义双曲线的定义【解析】如图所示，设双曲线的标准方程为：，．半焦距为．根据椭圆的上顶点为，且．可得，＝，可得．设＝，＝．利用定义可得：＝，＝．可得．在中，由余弦定理可得：＝，代入化简利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：设双曲线的标准方程为：，半焦距为.∵椭圆的上顶点为，且，∴，∴，∴.∴.不妨设点在第一象限，设，.∴，.∴.在中，由余弦定理可得：.∴.两边同除以，得，解得：．∴，故错误；，故正确；，故错误；，故正确.−=1x 2a 21y 2b 21(,>0)a 1b 1c C 1M ⋅=0MF 1→MF 2→∠M =F 1F 2π2b c e 1|P |F 1m |P |F 2n m +n 2a m −n 2a 1mn =(m +n −(m −n )2)24△PF 1F 24c 2+−2mn cos =(m +n −3mn m 2n 2π3)2C 2−=1(,>0)x 2a 21y 2b 21a 1b 1c C 1M ⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−∠M =F 1F 2π2b=c a 2=2c 2==e 1c a 2–√2P |P |F 1=m |P |F 2=n m +n =2a m −n =2a 1mn =(m +n −(m −n )2)24=−a 2a 21△PF 1F 24c 2=+−2mn cos m 2n 2π3=(m +n −3mn )2=4−3(−)a 2a 2a 214c 2=+3a 2a 21c 24=+1e 213e 22=e 23–√2–√=e 2e 13–√A ⋅=⋅=e 1e 22–√23–√2–√3–√2B +=+=2e 21e 221232C −=−=1e 22e 213212D三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）25.【答案】【考点】复数的运算曲线与方程【解析】此题暂无解析【解答】解：原式．故答案为：．26.【答案】【考点】点到直线的距离公式直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：取的中点，因为，圆的半径为，则，即点在圆上，又，所以问题转化为直线上的点与圆上的点间的最小距离的倍，又直线的点与圆 上的点间的最小距离为，故所求最小值为．故答案为：.27.(x +y +z)(x −y −z)=−(++2yz)x 2y 2z 2=−(y +z x 2)2=(x +y +z)(x −y −z)=(x +y +z)(x −y −z)4−22–√AB D |AB|=23–√O 2|OD|=1D +=1x 2y 2|+|=2||PA −→−PB −→−PD −→−l +=1x 2y 22l +=1x 2y 2−1=2−142–√2–√4−22–√4−22–√【考点】圆的一般方程【解析】设，由化简可得．再设圆心横坐标为，由条件求得圆的方程．问题转化为两圆有共公点，可得，由此求得的范围．【解答】解：设，由，得，化简可得．再设圆心横坐标为，则圆心纵坐标为．圆的方程为，于是，问题转化为两圆有共公点，所以，从而解得，或，故答案为：．28.【答案】【考点】椭圆的离心率椭圆的定义余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：设，则 ，由得，，，在中，，在中，，[,]∪[−,−]2–√232–√232–√22–√2N(x,y)NO =NA 12+(y +1=4x 2)2M a M 1≤≤3+(−1−a +1a 2)2−−−−−−−−−−−−−−−√a N(x,y)NO =NA 124(+)=+(y −3x 2y 2x 2)2+(y +1=4x 2)2M a M a −1M (x −a +(y −a +1=1)2)21≤≤3+(−1−a +1a 2)2−−−−−−−−−−−−−−−√≤a ≤2–√232–√2−≤a ≤−32–√22–√2[,]∪[−,−]2–√232–√232–√22–√210−−√5|B |=k F 1|A |=3k ，|B |=|AB|=4kF 1F 2|B |+|B |=|A |+|A |=2a F 1F 2F 1F 22a =5k |A |=2k F 2△ABF 2cos ∠BA ==F 2|A |12F 2|AB|14△AF 1F 2cos ∠A ==F 1F 29+4−4k 2k 2c 22×3k ×2k 142c =k 10−−√，.故答案为：.2c =k 10−−√e ==2c 2a 10−−√510−−√5。

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：75 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 已知集合A ={x |x 2−x −2<0}，集合B ={x |x ∈Z}为整数集，则A ∩B =( )A.{−2,−1,0,1}B.{−1,0,1,2}C.{0,1}D.{−1,0}2. 设a =20.1，b =ln 52，c =log 3910，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a3. 已知集合 A ={−1,0,1}，B ={x ||x |<1}，则 A ∪B =（ ）A.{−1,1}B.{−1,0,1}C.{x |−1≤x ≤1}D.{x |x ≤1}4. 若曲线y =2x 2的一条切线l 与直线x +4y −8=0垂直，则切线l 的方程为（ ）A.x +4y +3=0B.x +4y −9=0C.4x −y +3=0D.4x −y −2=0A ={x|−x −2<0}x 2B ={x|x ∈Z}A ∩B ={−2,−1,0,1}{−1,0,1,2}{0,1}{−1,0}a =，=ln ，c =20.152log 3910a b c a >b >ca >c >bb >a >cb >c >a A ={−1,0,1}，B ={x||x|<1}A ∪B ={−1,1}{−1,0,1}{x|−1≤x ≤1}{x|x ≤1}y =2x 2l x +4y −8=0lx +4y +3=0x +4y −9=04x −y +3=04x −y −2=0{y≥x，x+3y≤4，x≥−2，则z=|3x+y|的最大值是( )5. 已知实数x，y满足A.2B.4C.6D.86. 如图在 ΔABC 中，点D是 ΔABC 内（不包含边界）任意一点，则 →AD 有可能是（）A.23→AB+12→ACB.13→AB+23→ACC.12→AB+12→ACD.13→AB+12→AC7. 函数 y=(x3−x)ln|x|的图象是（）A.B.C.D.8. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走了 378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地．”则此人第五天走的路程为( )A.6里B.12里C.24里D.48里9. 设f(x)是定义在R 上的函数，f ′(x)是函数f(x)的导函数，且xf ′(x)<(x −1)f(x)对任意x ∈R 恒成立，f(1)=2e （e 为自然对数的底数），则不等式f(2x)e 2x >1x 的解集是（ ）A.(1,+∞)B.(−1,0)∪(0,1)C.(−12,0)∪(0,12)D.(0,12)10. 已知f(x)是定义在(−2b,b +1)上的偶函数，且在(−2b,0]上为增函数，则f(x −1)≤f(2x)的解集为( )A.[−1,23]B.(−1,13]C.[−1,13]D.[13,1]11. 偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，且在x ∈[0,1]时，f(x)=1−x ，则方程f(x)=log 6x 在x ∈[0,3]上解的个数是（ ）A.1B.2C.4D.512. 已知点A，B，C是函数y=√2sin(ωx+π3)(ω>0)的图象和函数y=√2sin(ωx−π6)(ω>0)图象的连续三个交点，若△ABC是锐角三角形，则ω的取值范围是( )A.(π2,+∞)B.(π4,+∞)C.(0,π2)D.(0,π4)卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分）数列{a n}是等差数列，S n是它的前n项和，已知S3=15，S9=153，则S6=________．三、解答题（本题共计 2 小题，每题 5 分，共计10分）14. 已知函数f(x)=sin2x−4acosx，x∈[0,π2]（1）当a=1时，求函数的最小值；（2）若f(x)的最小值为−32时，求a的值．15. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n−n.(1)证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=1a n+1+1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为集合A={x|x2−x−2<0}，得集合A={x|−1<x<2},又集合B为整数集，则A∩B={0,1}.故选C.2.【答案】A【考点】对数值大小的比较不等式比较两数大小【解析】根据指数函数和对数函数的单调性判断出abc的范围即可得到答案．【解答】0.1>20=1解：∵a=20=ln1<b=ln52<lne=1c=log3910<log31=0∴a>b>c故选A．3.【答案】。

2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）A.x−y+1=0B.x−y+1=0或3x−2y=0C.x+y−5=0D.x+y−5=0或3x−2y=02. 已知直线l的一个方向向量→m=(2,−1,3)，且直线l过A(0,y,3)和B(−1,2,z)两点，则y−z=( )A.0B.1C.32D.33. 已知直线l:x−√3y+6=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．则|CD|=( )A.2B.3C.72D.44. 在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l:y+kx+2=0与曲线C:ρ=2cosθ相交，则k的取值范围是（ ）A.k<−34C.k∈RD.k∈R但k≠05. M(x0,y0)为圆x2+y2=a2(a>0)内异于圆心的一点，则直线x⋅x0+y⋅y0=a2与该圆的位置关系为（ ）A.相离B.相交C.相切D.相切或相离6. 已知F1，F2为椭圆x 225+y29=1的两个焦点，点P在椭圆上，且→PF1⊥→PF2，则△F1PF2的面积为( )A.6B.9C.12D.157. 某正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A.AB//CDB.AB与CD相交C.AB与CD所成的角为60∘D.AB⊥CD8. 已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，当|PF||PA|取最小值时，点P恰好在以A，F为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )B.√2+1C.√5+12D.√2+12二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 下列说法错误的是( )A.“a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件B.直线ax+2y+6=0与直线x+(a−1)y+a2−1=0互相平行，则a=−1C.过(x1,y1)，(x2,y2)两点的所有直线的方程为y−y1y2−y1=x−x1x2−x1D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=010. 双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQ⊥1，垂足为Q．当|PF2|+|PQ|的最小值为3时，F1Q的中点在双曲线C上，则（ ）A.C的方程为x 22−y22=1B.C的离心率为√2C.C的渐近线方程为y=±xD.C的方程为x2−y2=111. 已知点F1(−1,0),F2(1,0)，动点P到直线x=2的距离为d，|PF2|d=√22，则（）A.点P的轨迹是椭圆B.点P的轨迹曲线的离心率等于12C.点P的轨迹方程为x 22+y2=1D.△PF1F2的周长为定值4√212. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，A1D1上的动点．下面命题中正确的是( )A.若直线AF与直线CE共面，则直线AF与直线CE相交B.若直线AF与直线CE相交，则交点一定在直线DD1上C.若直线AF与直线CE相交，则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为√22D.直线AF与直线CE所成角的最大值是π3卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 已知a+bi(a,b∈R)是1−i1+i的共轭复数，则a+b=________.14. 如图，已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，∠BAA1＝∠DAA1＝∠BAD＝60∘．M为CC1的中点，则AM长度为________．15. 已知点A(0,1)，B(1,0)，C(t,0)，点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为________．16. 已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，上的点与的两个焦点构成的三角形面积的最大值为，直线交椭圆于于两点.设为线段的中点，若直线的斜率等于，则椭圆的方程为________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知点P是曲线x2−y−2ln√x=0上任意一点，求点P到直线y=x−2的最短距离．18. 为了贯彻落实中央、省、市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，确保师生生命安全和身体健康．某校开学前，组织高一年级600名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛（满分100分）.已知这600名学生的成绩均不低于50分，将这600名学生的成绩分组如下：第一组[50,60），第二组[60,70），第三组[70,80），第四组[80,90），第五组[90,100]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求a的值并估计这600名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)该校“群防群控”督查组为更好地督促高一学生的“个人防控”，准备从这600名学生中抽取2名学生参与督查工作，其取法是：先在第一组、第四组、第五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生．记这2名学生的竞赛成绩分别为x，y，求事件|x−y|≤20的概率．19. 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c.(1)若A∈[π2，2π3]，求sin2B+C2+cos2A的取值范围;(2)若sinC+sin(B−A)=2sin2A，C=π3，c=2,求△ABC的面积.20. 已知圆C经过点A(2,−1)，且与直线x+y=1相切，圆心C在直线y=−2x上．(1)求圆C的方程；(2)过原点的直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．21. 如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC，D是AC的中点．（1）求平面DBA1和平面BAA1夹角的余弦值；（2）在线段B1B（含端点）上是否存在点M，使点M到平面A1BD的距离为？请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圈C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，过左焦点F(−√3，0)的直线l与椭圆交于A，B两点.当直线l⊥x轴时，AB=1.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P在y轴上，且△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线AB的方程.参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】D【考点】直线的截距式方程【解析】利用截距相等，推出直线过原点，或者直线的斜率为−1，求解即可．【解答】解：过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线，则直线满足直线过原点，或者直线的斜率为−1，所求直线方程为：x+y−5=0或3x−2y=0．故选：D．2.【答案】A【考点】空间向量运算的坐标表示【解析】根据→AB=k→m，即可得出．【解答】解：→AB=(−1,2−y,z−3)，∴→AB=k→m，∴−1=2k，2−y=−k，z−3=3k．解得k=−12，y=32=z．∴y−z=0．故选A.3.【答案】D【考点】直线与圆相交的性质直线和圆的方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 3,0)，D (x 4,0)，由x −√3y +6=0得x =√3y −6，代入圆的方程并整理，得y 2−3√3y +6=0，解得y 1=2√3，y 2=√3，所以x 1=0，x 2=−3．所以直线AC 的方程为y −2√3=−√3x ，令y =0得x 3=2；直线BD 的方程为y −√3=−√3(x +3)，令y =0得x 4=−2．则|CD |=|x 3−x 4|=4．故选D.4.【答案】A【考点】直线与圆相交的性质【解析】一般先将原极坐标方程ρ=2cosθ两边同乘以ρ后，把极坐标系中的方程化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即可．【解答】解：将原极坐标方程ρ=2cosθ，化为：ρ2=2ρcosθ，化成直角坐标方程为：x 2+y 2−2x =0，即(x −1)2+y 2=1．则圆心到直线的距离d =|k +2|√k 2+1由题意得：d <1，即d =|k +2|√k 2+1<1，解之得：k <−34．故选A ．5.【答案】A【考点】点与圆的位置关系【解析】由题意可得：x20+y 20<a 2，解得圆心到直线的距离d =a 2√x 20+y 20>a ，即可得解．【解答】解：∵点M 在圆内，∴故x 20+y 20<a 2，∴圆心到直线的距离d =a 2√x 20+y 20>a ．故直线与圆相离．故选：A ．6.【答案】B【考点】椭圆的定义【解析】由椭圆C ：x 225+y 29=1可得：a ，b ，c ．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．由于→PF 1⊥→PF 2，可得∠F 1PF 2=90∘．利用勾股定理可得：m 2+n 2=(2c)2=64．利用椭圆的定义可得：m +n =2a =10，进而得到mn ．【解答】解：由椭圆C ：x 225+y 29=1可得：a 2=25，b 2=9．∴a =5，b =3，c =√a 2−b 2=4．设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ．∵→PF 1⊥→PF 2，∴∠F 1PF 2=90∘．∴m 2+n 2=(2c)2=64．又m +n =2a =10，联立{m +n =10,m 2+n 2=64,解得mn =18．∴△F 1PF 2的面积S =12mn =9．故选B.7.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】还原成正方体，能推导出在原来的正方体中AB 与CD 所成的角为60∘．【解答】解：一个正方体的展开图如下图所示，A 、B 、C 、D为原正方体的定点，还原成正方体如下图，∵{A B//D E}，{\therefore} {\angle C D E}是{AB}与{CD}所成角.{\because} {C D=D E=C E}，{\therefore} {\angle C D E=60^{\circ}}，{\therefore} 在原来的正方体中{AB}与{CD}所成的角为{60^{\circ}}．故选{\rm C}．8.【答案】B【考点】抛物线的性质双曲线的离心率抛物线的标准方程抛物线的定义直线的点斜式方程直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：过{P}作准线的垂线，垂足为{N}，如图：∵点{F}为抛物线焦点，点{A}是抛物线{x^{2}=4y}的对称轴与准线的交点，∴{F(0,1)}，{A(0,-1)}，则由抛物线的定义可得{|PF|=|PN|}，设{\dfrac{|PF|}{|PA|}=m}，∴{\dfrac{|PN|}{|PA|}=m}，设{PA}的倾斜角为{\alpha }，则{\sin \alpha =m}，当{m}取得最小值时，{\sin \alpha }最小，此时直线{PA}与抛物线相切，设直线{PA}的方程为{y= kx-1}，代入{x^{2}= 4y}，可得{x^{2}= 4(kx-1)}，即{x^{2}-4kx+ 4= 0}，∴{Δ= 16k^{2}-16= 0}，∴{k= \pm 1}，∴{P(2,\, 1)}，∴双曲线的实轴长为{|PA|-|PF|=2(\sqrt{2}-1)}，∴{a=\sqrt{2}-1}，{c=1}，∴双曲线的离心率为{\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1}．故选{\rm B}.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,C,D【考点】直线的截距式方程直线的两点式方程命题的真假判断与应用直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】利用充要条件判断{\rm A}，直线平行的充要条件判断{\rm B}；两点式方程判断{\rm C}；直线的截距式方程判断{\rm D}．【解答】解：{\rm A}，当{a=0}时，两直线方程分别为{y=1}，{x=2}，此时也满足直线垂直，故{\rm A}错误；{\rm B}，∵直线{ax+ 2y+ 6= 0}与直线{x+ (a-1)y+ a^{2}-1= 0}平行，∴{\dfrac{a}{1}= \dfrac{2}{a-1}\neq \dfrac{6}{a^{2}-1}}，解得{a= -1}，故{\rm B}正确；{\rm C}，过{\left( x_{1}, y_{1}\right)}，{\left( x_{2}, y_{2}\right)}两点的所有直线的方程为{\dfrac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\dfrac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}，或{x=x_{1}=x_{2}}，或{y=y_{1}=y_{2}}，故{\rm C}错误；{\rm D}，经过点{\left( 1, 1\right)} 且在{x}轴和{y}轴上截距都相等的直线方程为{x+y-2=0}，或{y=x}，故{\rm D}错误．故选{\rm ACD}．10.【答案】B,C,D【考点】双曲线的离心率【解析】由双曲线定义{\mathrel{|} PF_{2}\mathrel{|} -\mathrel{|} PF_{1}\mathrel{|} = 2a}，得到{\mathrel{|} PF_{2}\mathrel{|} + \mathrel{|} PQ\mathrel{|} = \mathrel{|} PF_{1}\mathrel{|} + \mathrel{|}PQ\mathrel{|} + 2a\geq \mathrel{|} F_{1}Q\mathrel{|} + 2a}，再利用焦点到渐近线的距离为{b}求得{b+ 2a= 3}，求出{PQ}所在直线方程，与渐近线方程联立求得{Q}的坐标，得到{F_{1}Q}的中点坐标，代入双曲线方程，化简可得{c= \sqrt{2}a}，再结合隐含条件求解{a}与{b}的值，逐一分析四个选项得答案．【解答】∵{\mathrel{|} PF_{2}\mathrel{|} -\mathrel{|} PF_{1}\mathrel{|} = 2a}，∴{\mathrel{|}PF_{2}\mathrel{|} + \mathrel{|} PQ\mathrel{|} = \mathrel{|} PF_{1}\mathrel{|} + \mathrel{|}PQ\mathrel{|} + 2a\geq \mathrel{|} F_{1}Q\mathrel{|} + 2a}，∵焦点到渐近线的距离为{b}，∴{\mathrel{|} F_{1}Q\mathrel{|} }的最小值为{b}，则{b+ 2a= 3}，不妨设直线{l: y= \dfrac{b}{a}x}，∵{PQ\perp 1}，∴{PQ: y= -\dfrac{a}{b}(x+ c)}，联立{\begin{cases}{\begin{matrix} {y＝\dfrac{b}{a}x} \\ {y＝-\dfrac{a}{b}(x+c)} \end{matrix}}\end{cases}}，解得{Q(-\dfrac{a^{2}}{c},\, -\dfrac{ab}{c})}，又{F_{1}(-c,\, 0)}，∴{F_{1}Q}的中点坐标为{(-\dfrac{a^{2}+ c^{2}}{2c},\, -\dfrac{ab}{2c})}，代入双曲线方程，可得{\dfrac{(a^{2}+ c^{2})^{2}}{4a^{2}c^{2}}-\dfrac{a^{2}}{4c^{2}}＝1}，化简得：{c=\sqrt{2}a}，又{b+ 2a= 3}，{a^{2}+ b^{2}= c^{2}}，解得{a= b= 1}．∴双曲线方程为{x^{2}-y^{2}= 1}，离心率为{\sqrt{2}}，渐近线方程为{y= \pm x}．11.【答案】A,C【考点】椭圆的定义椭圆的标准方程椭圆的离心率【解析】根据椭圆定义以及{p}点的轨迹即可求解.【解答】解：椭圆的第二定义：平面上到定点{F}的距离与到定直线的距离的比为常数{e}(离心率)的点的集合，{e\in(0,1)}.由题意可知点{P}的轨迹为椭圆，{e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt2}2}.∵{c=1}，∴{a=\sqrt2}，∴{b^2=a^2-c^2=1}，∴轨迹方程为{\dfrac{x^2}2+y^2=1}.{C_{\bigtriangleup PF_1F_2}=\left|PF_1\right|+\left|PF_2\right|+}{\left|F_1F_2\right|=2a+2c=2\sqrt2+2}.故选{\text{AC}}.12.【答案】B,C,D【考点】棱柱的结构特征空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系直线与平面所成的角【解析】利用平面的性质，以及直线与平面所成角，判断选项的正误即可。

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：146 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 两平行线与之间的距离是（ ）A.B.C.D.2. 梯形中，，＝，交于点，过点的直线交、分别于、点，，，则 A.B.C.D.3. 如图，圆锥的高 ，底面直径 ，是圆上一点，且， 则与所成角的余弦值为 x +2y −1=02x +4y −5=035–√1025–√535–√55–√5ABCD AB //CD CD 2AB AC BD O O AD BC E F =m DE →DA →=n CF →CB →+=(12−m 12−n)232143SO =3–√AB =2C O AC =1SB AC ()–√A.B.C.D.4. 已知一直线经过两点，，且倾斜角为，则的值为( )A.B.C.D.5. 如图，正方体的棱和的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为A.B.C.D.6. 如图：在平行六面体中，为，的交点．若＝，＝，＝，则向量＝（ ）3–√43–√31413A(2,4)B(a,5)135∘a−11−22ABCD−A1B1C1D1AB A1D1E F EFA DA1D1()5–√530−−√66–√625–√5ABCD−A1B1C1D1M A1C1B1D1A.-++ B.C.--+D.-+7. 若对圆＝上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.或D.8. 已知平面上的曲线及点，在上任取一点，定义线段长度的最小值为点到曲线的距离，记作．若曲线表示直线，曲线表示射线，则点集所表示的图形是 A.B.+x 2y 21P(x,y)|3x −4y +a |+|3x −4y −9|x y a a ≤−5−5≤a ≤5a ≤−5a ≥5a ≥5C P C Q PQ P C d(P,C)C 1x =−12C 2y =0(x ≥)12{P |d(P,)=d(P,)}C 1C 2()C. D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知曲线上任意一点到直线的距离比它到点的距离大，则下列结论正确的是（ ）A.曲线的方程为B.若曲线上的一点到点的距离为，则点的纵坐标是C.已知曲线上的两点，到点的距离之和为，则线段的中点横坐标是D.已知，是曲线上的动点，则的最小值为10. 正边长为，点是所在平面内一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. B.C. D.11. 若直线＝与曲线＝有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C.C x =−4F (2,0)2C =8xy 2C A F 4A ±4C M N F 10MN 5A (3,2)P C |PA|+|PF|5△ABC 2P △ABC λ+μ2y x +b y 3−bD.12. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体．如图，在堑堵中，，＝＝，则下列说法正确的是（ ）A.四棱锥为阳马B.三棱锥为鳖臑C.当三棱锥的体积最大时，＝D.四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则＝卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，是平面外两点，，到平面的距离分别为，，且在平面上的射影间的距离为，则线段的长为________．14. 直线＝被圆＝所截得的弦长为，则＝________．16. 如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，，，，是展开图上的四点，则在正方体盒子中，直线与的位置关系是________，的值为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17. 已知，，三点不共线，点是平面外的任意一点，若点分别满足下列关系：（1）；ABC −A 1B 1C 1AB ⊥AC C C 1BC 2B −AC A 1C 1−ABC C 1−ABC C 1AC B −AC A 1C 1V 1−ABC C 1V 2V 13V 2A B αA B α2cm 4cm AB α6cm AB ax +y −10(x −1+)2y 222a A B C D AB CD ∠ABC A B C O ABC P +2=6−3OA −→−OB −→−OP −→−OC −→−=4−−→−−→−−→−−→−（2）．试判断点是否与点，，共面．18. 已知圆，直线．（1）求证：直线恒过定点；（2）判断直线与圆的位置关系；（3）当时，求直线被圆截得的弦长．19. 已知空间三点（1）求以，为边的平行四行形面积．（2）已知，且，求． 20. 如图，已知以点为圆心的圆与直线＝相切．过点的动直线与圆相交于，两点．（1）求圆的方程；（2）当＝时，求直线的方程． 21. 如图，已知四边形是变成为的菱形，＝，平面平面，，＝，＝．（1）求证：平面平面；（2）若四边形为直角梯形，且，求二面角的余弦值． 22. 如图，已知四棱锥的底面为平行四边形， .+=4−OP −→−OC −→−OA −→−OB −→−P A B C C :(x −1+(y −2=25)2)2l :(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0(m ∈R)l l C m =0l C A(0,2,3)B(−2,1,6)C(1,−1,5)AB AC ⋅=0a →AB −→−⋅=0a →AC −→−||=a →3–√a →A(−1,2):x +2y +7l 10B(−2,0)l A M N A |MN |l ABCD 2∠ABC 60∘AEFC ⊥ABCD EF //AC AE AB AC 2EF BED ⊥AEFC AEFC EA ⊥AC B −FC −D P −ABCD ABCD PD =DC,AD ⊥PC求证：为等腰三角形；若平面平面，，求 .(1)△APC (2)APD ⊥ABCD ∠ADC =,AD =DC =4120∘V B−ACP参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】两条平行直线间的距离【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】B【考点】平面向量的基本定理【解析】根据题意，画出图形，得出，不妨设，则，由此求出、的值，从而计算的值．【解答】如图所示，梯形中，，＝，则，不妨设，则；所以，所以，同理；==AB DC AO OC 12EF //AB EF //DC m n +12−m 12−n ABCD AB //CD CD 2AB ==AB DC AO OC 12EF //AB EF //DC ==AE ED AO OC 12=DE →23DA →=CF →23CB →m →→n →→又，，所以＝，所以．3.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：过点作，交底面圆周于点.∵，，，∴，.在等腰三角形中作垂直于点，则即为与所成角，在直角三角形中，.故选.4.【答案】B【考点】直线的倾斜角【解析】利用斜率计算公式即可得出．【解答】=m DE →DA →=n CF →CB →m n =23+=+=12−m 12−n 12−2312−2332A AM//BC M SO =3–√AB =2AC =1SB =SM =2BM =1BSM SN BM N ∠SBM SB AC SBN cos ∠SBM ===BN BS12214C A (2,4)B (a,5)135∘解：∵过点，的直线的倾斜角为，∴，解得.故选．5.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连结，∵平面，∴为与平面所成的角，且，令，得，，，∴.故选.6.【答案】A【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】A (2,4)B (a,5)135∘tan ==−1135∘4−52−aa =1B AF AE ⊥A D A 1D 1∠AFE EF A D A 1D 1sin ∠AFE =|AE ||EF ||AB |=2a |AE |=|F |=a A 1|AF |=a 5–√|EF |=a 6–√sin ∠AFE ==a a6–√6–√6C向量＝＝，由此能求出结果．【解答】∵在平行六面体中，为，的交点．＝，＝，＝，∴向量＝＝＝-+．7.【答案】D【考点】直线和圆的方程的应用【解析】由题意可知直线＝，直线＝位于圆的两侧，且与圆均不相交，从而可列出不等式得出的范围．【解答】设直线＝，直线＝，则到直线的距离为，到直线的距离为，∵的取值与，无关，∴为常数．∴圆＝在平行线，之间，又直线在圆上方，∴直线在圆下方．∴圆心到直线的距离，∴或（舍）．8.【答案】A【考点】曲线与方程【解析】ABCD −A 1B 1C 1D 1M A 1C 1B 1D 1:3x −4y +a l 10:3x −4y −9l 20a :3x −4y +a l 10:3x −4y −9l 20P l 1=d 1|3x −4y +a |5P l 2=d 2|3x −4y −9|5|3x −4y +a |+|3x −4y −9|x y +d 1d 2+x 2y 21l 1l 2l 2l 1(0,0)l 1d =≥1|a |5a ≥5a ≤−5{P |d(P,)=|PC |}C当时，点集为，当或时，点集，确定表示的图形，即可得出结论．【解答】解：设，点，当时，点集为，表示的图形是抛物线上的一段，其中 ；当或时，点集，表示的图形分别是直线与轴正方向夹角的平分线上的一条射线，即和．对比选项知正确．故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,D【考点】点到直线的距离公式曲线与方程抛物线的定义抛物线的应用【解析】由抛物线的定义，结合抛物线的相关性质及最值，对四个选项逐一判断即可得到正确答案.【解答】解：由题可知，曲线上任意一点到直线的距离与到点的距离相等，所以曲线的轨迹是以为焦点的抛物线，方程为：,故正确；由抛物线的定义，到直线的距离为，则点的横坐标为,代入抛物线方程得纵坐标为，故正确；设的横坐标为,由抛物线的定义得：,则,所以线段的中点的横坐标为，故错误；设点到准线的距离为,由抛物线的定义,,故正确.故选.10.【答案】−1≤y ≤1{P |d(P,)=|PC |}C 1y ≤−1y ≥1{P |d(P,)=d(P,)}C 1C 2P(x,y)A(0,−1),B(0,1),C(，0)12−1≤y ≤1{P |d(P,)=|PC |}C 1=2x y 20≤x ≤12y ≤−1y ≥1{P |d(P,)=d(P,)}C 1C 2x =−12x y =x +(x ≥)1212y =−x −(x ≥)1212A A C x =−2F (2,0)C F =8x y 2A A x =−24A 2±4B M,N ,x 1x 2+2++2=10x 1x 2+=6x 1x 2M,N 3C P d |PA|+|PF|=|PA|+d ≥3−(−2)=5D ABDA【考点】平面向量的基本定理【解析】首先根据已知条件建立平面直角坐标系，进一步求出、、、的坐标，进一步求出，和，然后利用三角函数关系是的恒等变换，求出的关系式，最后求出三角函数的关系式的最值．【解答】正边长为，点是所在平面内一点，且满足，建立平面直角坐标系，如图所示：则：，），，，由于点在以为圆心，，为半径的圆上，则：点的坐标为，），所以：，，，由于，故：＝，则：，，当＝时，＝，即．故选：．11.【答案】A B C P λ+μ△ABC 2P △ABC A(0B(−1,0)C(1,0)P (−1,0)P (−1+θ270∘sin θ−1A【考点】直线与圆的位置关系【解析】曲线即 ＝，表示以为圆心，以为半径的一个半圆，由圆心到直线＝的距离等于半径，解得 ＝，＝．结合图象可得的范围．【解答】如图所示：曲线＝，即＝-，平方可得＝，表示以为圆心，以为半径的一个半圆．由圆心到直线＝的距离等于半径，可得＝，∴＝，或＝．结合图象可得，故选：．12.【答案】A,B,C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积命题的真假判断与应用【解析】根据阳马与鳖臑的定义，几何体的性质可以直接判断．【解答】堑堵为直三棱柱，其中侧棱平面，为矩形，，则四棱锥为阳马；三棱锥中，平面，平面，则三棱锥的四个面均为直角三角形，所以三棱锥为鳖臑；(x −2+(y −3)2)24(1≤y ≤3)A(2,3)2y x +b 2b 1+2b 1−2b y 3−y −3(x −2+(y −3)2)24(1≤y ≤3,0≤x ≤4)A(2,3)2y x +b 22b 1+2b 1−21−2≤b ≤3C ABC −A 1B 1C 1A ⊥A 1ABC AC A 1C 1AB ⊥AC B −AC A 1C 1−ABC C 1C ⊥C 1ABC BA ⊥ACC 1−ABC C 1−ABC C 1−ABC C C C △ABC BC三棱锥的体积最大时，由于高＝，则的面积最大，而＝，所以＝，所以，当且仅当＝＝时，取等号，即当＝时，面积取得最大值，三棱锥的体积最大：＝，＝，则＝，三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】或【考点】点、线、面间的距离计算【解析】过，两点分别作，，垂足分别为，，连接，因为，所以，分别讨论当点，在平面的同侧时以及当点，在平面的两侧时的情况进行求解．【解答】解：过，两点分别作，，垂足分别为，，连接，因为，所以，①当点，在平面的同侧时，过点作，则，在中，由勾股定理，得.②当点，在平面的两侧时，如图所示．−ABC C 1C C 12△ABC BC 2A +A B 2C 24AB ⋅AC ≤AB AC AC △ABC −ABC C 1V 1×AB V 2V 12V 22cm 10−−√6cm2–√A B A ⊥αA ′B ⊥αB ′A ′B ′A ′B ′A ⊥α,B ⊥αA ′B ′A //B A ′B ′A B αA B αA B A ⊥αA ′B ⊥αB ′A ′B ′A ′B ′A ⊥α,B ⊥αA ′B ′A //B A ′B ′A B αA AC ⊥BB ′AC ==6(cm)A ′B ′BC =B −A =2(cm)B ′A ′Rt △ABC AB ==2(cm)+6222−−−−−−√10−−√A B α过点作交的延长线于点，易知四边形是矩形，则，在中，由勾股定理，得.故线段的长为或故答案为：或14.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】求出圆的圆心与半径，利用半径，半弦长，弦心距，转化求解即可．【解答】因为圆＝的半径为，所以圆心，即，所以＝．15.【答案】；【考点】直线与圆的位置关系【解析】为等腰直角三角形，则边上的高为，即圆心到直线的距离为，用点到直线的距离公式可求；【解答】A AC ⊥BB ′BB ′C A C A ′B ′AC ==6(cm)A ′B ′BC =B +A =6(cm)B ′A ′Rt △ABC AB ==6(cm)+6262−−−−−−√2–√AB 2cm 10−−√6cm.2–√2cm 10−−√6cm.2–√0a (x −1+)2y 22(2a 0a =±5–√△AOB AB 1O 1a |OA |=|OB |=–√∵；又为等腰直角三角形；所以＝，则三角形斜边上的高为；即圆心到直线的距离为；∴，即；16.【答案】异面,【考点】棱柱的结构特征【解析】把正方体的展开图还原成正方体，由此能求出结果．【解答】解：还原正方体，由正方体得、是异面直线；连接三个点，可得，∵，∴．故答案为：异面，．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 11 分 ，共计66分 ）17.【答案】解：（1）∵，∴，∴，∵，∴与点，，共面；（2）∵．∴．∵，∴与点，，不共面．【考点】|OA |=|OB |=2–√△AOB AB 2AOB 1O 1d ==1|a |1+22−−−−−√|a |=5–√60∘AB CD ABC △ABC AB =AC =BC ∠ABC =60∘60∘+2=6−3OA −→−OB −→−OP −→−OC −→−6=+2+3OP −→−OA −→−OB −→−OC −→−=++OP −→−16OA −→−13OB −→−12OC −→−++=1161312P A B C +=4−OP−→−OC−→−OA −→−OB −→−=4−−OP −→−OA −→−OB −→−OC −→−4−1−1≠0P A B C共线向量与共面向量【解析】将已知化为：的形式，判断是否成立，可得与点，，是否共面．【解答】解：（1）∵，∴，∴，∵，∴与点，，共面；（2）∵．∴．∵，∴与点，，不共面．18.【答案】【考点】直线与圆相交的性质恒过定点的直线直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：（1）∵∴，；∴，，∴，．则以，为边的平行四行形面积为=x +y +z OP −→−OA −→−OB −→−OC −→−x +y +z =1P A B C +2=6−3OA −→−OB −→−OP −→−OC −→−6=+2+3OP −→−OA −→−OB −→−OC −→−=++OP −→−16OA −→−13OB −→−12OC −→−++=1161312P A BC +=4−OP −→−OC −→−OA −→−OB −→−=4−−OP −→−OA −→−OB −→−OC −→−4−1−1≠0P A B C A(0,2,3)B(−2,1,6)C(1,−1,5)=(−2,−1,3)AB −→−=(1,−3,2)AC −→−cos <AB −→−>===AC −→−||||AB −→−AC −→−˙−2+3+6×4+1+9−−−−−−−√1+9+4−−−−−−−√12sin <AB −→−>=AC −→−3–√2AB AC =||||×sin <−→−−→−−→−=××=7−→−–√，．（2）设；则由题意可得，解得，，或；故向量或．【考点】空间向量的数量积运算【解析】（1）由、、三点的坐标写出向量、，求其夹角，从而求以，为边的平行四行形面积．（2）设，由题意得方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）∵∴，；∴，，∴，．则以，为边的平行四行形面积为，．（2）设；则由题意可得，解得，，或；故向量或．20.【答案】设圆的半径为．由于圆与直线相切，∴，∴圆的方程为＝．①当直线与轴垂直时，易知＝不符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为＝．即＝．点到的距离．S =||||×sin <AB −→−AC −→−AB −→−>=××=7AC −→−14−−√14−−√3–√23–√=(x,y,z)a → −2x −y +3z =0x −3y +2z =0++=3x 2y 2z 2x =y =z =1x =y =z =−1=(1,1,1)a →=(−1,−1,−1)a →A B C AB −→−AC −→−AB AC =(x,y,z)a →A(0,2,3)B(−2,1,6)C(1,−1,5)=(−2,−1,3)AB −→−=(1,−3,2)AC −→−cos <AB −→−>===AC −→−||||AB −→−AC −→−˙−2+3+6×4+1+9−−−−−−−√1+9+4−−−−−−−√12sin <AB −→−>=AC −→−3–√2AB AC S =||||×sin <AB −→−AC −→−AB −→−>=××=7AC −→−14−−√14−−√3–√23–√=(x,y,z)a → −2x −y +3z =0x −3y +2z =0++=3x 2y 2z 2x =y =z =1x =y =z =−1=(1,1,1)a →=(−1,−1,−1)a →A r A A (x +5+(x −2)2)220l x x −2l l y k(x +2)kx −y +7k 0A l∵，∴，则由，得＝或＝，故直线的方程为＝或＝．【考点】直线与圆的位置关系【解析】（1）通过圆与直线相切，求出圆的半径，然后得到圆的方程．（2）①当直线与轴垂直时，验证即可，②当直线的斜率存在时，设直线的方程为＝．利用点到的距离．结合圆的半径，弦心距以及半弦长满足勾股定理，转化求解，得到直线方程．【解答】设圆的半径为．由于圆与直线相切，∴，∴圆的方程为＝．①当直线与轴垂直时，易知＝不符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为＝．即＝．点到的距离．∵，∴，则由，得＝或＝，故直线的方程为＝或＝．k 1k 7l x −y +205x −y +140A l x l l y k(x +2)A l k A r A A (x +5+(x −2)2)220l x x −2l l y k(x +2)kx −y +7k 0A l k 1k 7l x −y +205x −y +14021.【答案】证明：∵平面平面，平面平面＝，菱形中，，∴平面，又在平面内，∴平面平面；∵平面平面，平面平面＝，，∴平面，直角梯形中，＝，设交于，连接，则＝，，∴四边形为平行四边形，∴，∴平面，菱形中，＝，所以为等边三角形，设＝，则＝＝＝，，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令＝，则，同理可求得平面的法向量为，∴．故二面角的余弦值为．AEFC ⊥ABCD AEFC∩ABCD AC ABCD BD ⊥AC BD ⊥AEFC BD BED BED ⊥AEFC AEFC ⊥ABCD AEFC∩ABCD AC EA ⊥AC EA ⊥ABCD AC 2EF AC BD O FO AO EF AO //EF AOFE OF //EA OF ⊥ABCD ABCD ∠ABC 60∘△ABC OC 1OF AE AB 2OB =OD =3–√B(,0,0),C(0,1,0),F(0,0,2),D(−,0,0)3–√3–√=(−,1,0),=(−,0,2)BC →3–√BF →3–√BCF =(x,y,z)m⋅=−x +y =0m BC →3–√⋅=−x +2z =0m BF →3–√x 2=(2,2,)m 3–√3–√DCF =(2,−2,−)n 3–√3–√cos <,>===−m n ⋅m n ||||m n 4−12−34+12+31119B −FC −D −1119【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直【解析】（1）只需证平面，即可得证；（2）可证平面，且菱形的对角线互相垂直，由此建立空间直角坐标，求出两个平面的法向量，利用向量公式求解．【解答】证明：∵平面平面，平面平面＝，菱形中，，∴平面，又在平面内，∴平面平面；∵平面平面，平面平面＝，，∴平面，直角梯形中，＝，设交于，连接，则＝，，∴四边形为平行四边形，∴，∴平面，菱形中，＝，所以为等边三角形，设＝，则＝＝＝，，建立如图所示空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令＝，则，同理可求得平面的法向量为，BD ⊥AEFC OF ⊥ABCD AEFC ⊥ABCD AEFC∩ABCD AC ABCD BD ⊥AC BD ⊥AEFC BD BED BED ⊥AEFC AEFC ⊥ABCD AEFC∩ABCD AC EA ⊥AC EA ⊥ABCD AC 2EF AC BD O FO AO EF AO //EF AOFE OF //EA OF ⊥ABCD ABCD ∠ABC 60∘△ABC OC 1OF AE AB 2OB =OD =3–√B(,0,0),C(0,1,0),F(0,0,2),D(−,0,0)3–√3–√=(−,1,0),=(−,0,2)BC →3–√BF →3–√BCF =(x,y,z)m ⋅=−x +y =0m BC →3–√⋅=−x +2z =0m BF →3–√x 2=(2,2,)m 3–√3–√DCF =(2,−2,−)n 3–√3–√<,>===−⋅∴．故二面角的余弦值为．22.【答案】证明：取中点，连结，，，且为中点；，，，平面，平面，，为中点，，为等腰三角形．解：过点作垂直延长线于点，连结，平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，，，，，，，，，．，．【考点】直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的判定点、线、面间的距离计算棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】本题考查判断三角形的形状及求多面体的体积．左侧图片未给出解析【解答】证明：取中点，连结，，，且为中点；cos <,>===−m n ⋅m n||||m n 4−12−34+12+31119B −FC −D −1119(1)PC M AM DM ∵PD =DC M PC ∴DM ⊥PC ∵AD ⊥PC AD ∩DM =D ∴PC ⊥ADM ∵AM ⊂ADM ∴PC ⊥AM ∵M PC ∴AC =PA ∴△APC (2)P PH AD H CH ∵APD ⊥ABCD APD∩ABCD =AD PH ⊂APD PH ⊥AD ∴PH ⊥ABCD ∵CH ⊂ABCD ∴PH ⊥CH ∵PD =DC AD =CD AC =AP ∴△ADP ≅△ADC ∴∠ADC =∠ADP =120∘∴PD =CD =AD =4AC =AP =43–√PH =CH =23–√∵ABC =×4×4×=4S △123–√23–√∴==⋅PH =×4×2=8V B−ACP V P−ABC 13S △ABC 133–√3–√(1)PC M AM DM ∵PD =DC M PC ∴DM ⊥PC，，，平面，平面，，为中点，，为等腰三角形．解：过点作垂直延长线于点，连结，平面平面，平面平面，平面，，平面，平面，，，，，，，，，．，．∴DM ⊥PC ∵AD ⊥PC AD ∩DM =D ∴PC ⊥ADM ∵AM ⊂ADM ∴PC ⊥AM ∵M PC ∴AC =PA ∴△APC (2)P PH AD H CH ∵APD ⊥ABCD APD∩ABCD =AD PH ⊂APD PH ⊥AD ∴PH ⊥ABCD ∵CH ⊂ABCD ∴PH ⊥CH ∵PD =DC AD =CD AC =AP ∴△ADP ≅△ADC ∴∠ADC =∠ADP =120∘∴PD =CD =AD =4AC =AP =43–√PH =CH =23–√∵ABC =×4×4×=4S △123–√23–√∴==⋅PH =×4×2=8V B−ACP V P−ABC 13S △ABC 133–√3–√。

2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1. 已知集合，集合，则 A.B.C. D.2. 角的终边经过点，那么 A.B.C.D.3. 若方程＝的两根满足一根大于，一根小于，则的取值范围是（ ）A.，）B.（，C.（，D.，）A ={x |−3<x <1}B ={x |−2x <0}x 2A ∪B =(){x|0<x <2}{x|0<x <1}{x|−3<x <0}{x|−3<x <2}θP(−3,4)sin θ+2cos θ=()15−15−2525−2mx +4x 2021m (−∞+∞)3)(1=1=−214. 若函数的图象平移变换后为函数的图象，则平移方法可以是 （ ）A.先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度B.先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度C.先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度D.先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度5. 已知点在幂函数的图象上，则的表达式为( )A.B.C.D.6. 已知函数若，则（ ）A.B.C.D.7. 已知 ，则 的值为( )A.B.C.D.8. 已知每枝笔售元，则总售价元与售出数量枝的函数图象是( )A.一条直线y =12x 2y =−212(x +1)212211221(,)2–√22–√4y =f(x)f(x)f(x)=x3f(x)=x 3f(x)=x −2f(x)=(12)x{，x ≤0,2x a −x,x >0,log 2f (f (−1))=−1a =−2−12cos(−α)=π623cos(+2α)5π35919−19−592y xB.一条射线C.一条线段D.呈射线排列的无限个点9. 已知函数满足，且，当时，，求( )A.B.C.D.10. 化简等于 A.B.C.D.11. 已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为 A.B.C.D.12. 已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是 A.B.C.D.卷II （非选择题）f(x)f(1+x)+f(1−x)=0f(−x)=f(x)1≤x ≤2f(x)=−12x f(2017)=−1121+tan 15∘1−tan 15∘()33–√23–√1f(x)1y >>1x 2x 1[f()−f()](−)<0x 2x 1x 2x 1a =f(−)12b =f(2)c =f(3)a b c ()c >a >bc >b >aa >c >bb >a >cl :y =x +m y =1−x 2−−−−−√m ()(−2,2)(−1,1)[1,)2–√(−,)2–√2–√二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则的值为________.14. 已知函数，则________.15. 定义在上的奇函数满足，当时，，则________．16. 函数的单调递增区间是________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ） 17. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤求函数的定义域；若，求函数的解析式．18. 化简：；. 19. 若函数在区间内有最值，则的取值范围为________. 20. 设()，曲线在点（）处的切线垂直于轴．求的值； 求函数的极值．21. 已知定义域为的函数是奇函数．求的值；判断在上的单调性（不用证明）；若对于任意，不等式恒成立，求的范围．f (x)=ln x +2x (1,f(1))ax +by −1=0a b f(x)= 3x +1(x ≥0)(x <0)1+2x 2f[f(−1)]=R f (x)f (x +2)=f (−x)x ∈[−1,0]f (x)=+2x x 2f (2021)=f (x)=2x −ln x (1)f (x)=−−3x +4x 2−−−−−−−−−−−√lgx(2)f (2x −1)=+4x −1x 2f (x)(1)−sin(+α)+sin(−α)180∘1+cos(−α)+cos(−α)180∘(2)⋅sin(π−α)⋅cos(2π+α)cos(α−)π2sin(+α)5π2f(x)=sin(ωx +)(0<ω<1)π6(π，2π)ωf(x)=a ln x −x +4a ∈R y =f(x)1,f(1)y (1)a (2)f(x)R f(x)=a −2x +12x (1)a (2)f(x)(−∞,+∞)(3)t ∈R f(−2t)+f(2−k)<0t 2t 2k f(x)=−x 222. 已知函数．求曲线在处的切线方程；求证：当时，．f(x)=−e x x 2(1)f(x)x =1(2)x >0≥ln x +1+(2−e)x −1e x x参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法并集及其运算【解析】求出集合，根据交集定义进行求解．【解答】解：，则.故选.2.【答案】C【考点】三角函数【解析】根据任意角的三角函数的定义求得 和 的值，从而求得的值．【解答】解：∵角的终边经过点，∴，，，∴，，∴.故选.3.B B ={x |−2x <0}={x |0<x <2}x 2A ∪B ={x |−3<x <2}D sin θ=y r cos θ=x r sin θ+2cos θθP(−3,4)x =−3y =4r =|OP|=5sin θ==y r 45cos θ==−x r 35sin θ+2cos θ=−25C【答案】B【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】函数的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设幂函数为，把点代入函数解析式求得的值，可得函数的解析式．【解答】解：设幂函数的表达式为，根据幂函数的图象过点，y =x ααy =x α(,)2–√22–√4(–√–√可得，解得，故幂函数的表达式是.故选．6.【答案】A【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】由题意得， ，∴∴．，故选．【解答】解：由题意得， ，∴．∴.故选．7.【答案】C【考点】二倍角的余弦公式诱导公式【解析】此题暂无解析【解答】解：已知,=(2–√42–√2)αα=3f(x)=x 3B f (−1)==2−112f (f (−1))=f ()=a −=a +1=−112log 212a =−2A f (−1)==2−112f (f (−1))=f ()=a −=a +1=−112log 212a =−2A cos(−α)=π623cos(+2a)=cos(−2a)5π3π3=2(−a)−1cos 2π6−1.故选.8.【答案】D【考点】函数的图象【解析】根据题意，列出函数解析式即可画出函数图象．【解答】解：根据题意得，，为正比例函数，由于铅笔为非负整数枝，故函数为呈射线排列的无限个点.故选．9.【答案】C【考点】函数的周期性函数的求值【解析】由已知得＝＝，从而得到＝，再由当时，＝，能求出的值．【解答】解：∵，且，∴.令，得，∴，∴以为周期的周期函数.∵当时，，∴．故选．10.【答案】C=−19C y =2x D f(1+x)−f(1−x)−f(x −1)f(x +4)f(x)1≤x ≤2f(x)−12x f(2017)f(1+x)+f(1−x)=0f(−x)=f(x)f(1+x)=−f(1−x)=−f(x −1)x −1=t f(t +2)=−f(t)f(x +4)=−f(x +2)=f(x)f(x)41≤x ≤2f(x)=−12x f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=−1=211C【考点】两角和与差的正切公式【解析】先把代入原式，根据正切的两角和公式化简整理即可求得答案．【解答】解：.故选.11.【答案】D【考点】函数恒成立问题函数单调性的性质【解析】根据函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，可得函数关于对称；由当时，（ ）恒成立，可得函数在上为单调减函数，利用单调性即可判定出、、的大小．【解答】解：∵函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，∴函数关于对称,∴，∵当时，恒成立，∴ ，即 ，∴函数在上为单调减函数,∵,∴，即.故选．12.【答案】C【考点】tan =145∘=1+tan 15∘1−tan 15∘tan +tan 45∘15∘1−tan tan 45∘15∘=tan(+)=tan =45∘15∘60∘3–√C f(x)1y f(x)x =1>>1x 2x 1[f()−f()]x 2x 1−x 2x 1<0f(x)(1,+∞)a b c f(x)1y f(x)x =1a =f(−)=f()1252>>1x 2x 1[f()−f()]x 2x 1(−)x 2x 1<0f()−f()<0x 2x 1f()<f()x 2x 1f(x)(1,+∞)1<2<<352f(2)>f()>f(3)52b >a >c D函数的零点与方程根的关系【解析】画出图象，当直线经过点，时，求出的值；当直线与曲线相切时，求出．即可．【解答】解：画出图象，当直线经过点，时，，此时直线与曲线有两个公共点；当直线与曲线相切时，．因此当时，直线与曲线有两个公共点．故选．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，所以切线的斜率．又直线的斜率为，所以，解得．故答案为：．14.【答案】l A C m l m l A C m =1l y =1−x 2−−−−−√l m =2–√1≤m <2–√l :y =x +m y =1−x 2−−−−−√C −3f (x)=ln x +2x (x)=+2f ′1x k =(1)=3f ′ax +by −1=0−a b −=3a b =−3a b−32【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，则，∴.故答案为：. 15.【答案】【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性【解析】无【解答】解：因为是奇函数，所以，所以，所以的周期为.所以，故是以为周期的周期函数，则．故答案为：．16.【答案】【考点】x =−1<0f(−1)==1(−1+2)213f[f(−1)]=f()=3×+1=2131321f (x)f (x +2)=f (−x)=−f (x)f (x +4)=f(x +2+2)=−f(x +2)=f (x)f (x)4f (x +4)=f (x)f (x)4f (2021)=f (4×505+1)=f (1)=−f (−1)=−[−2]=1(−1)21[,+∞)12利用导数研究函数的单调性【解析】求导，令，解不等式即可.【解答】解：函数的定义域为，∴ ，令，解得，∴函数的单调递增区间为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】得，即________的定义域为（．）．（2）4，则………则故【考点】函数的定义域及其求法【解析】此题暂无解析【解答】略略18.【答案】(x)=2−≥0f ′1x f (x)=2x −ln x (0,+∞)(x)=2−f ′1x(x)=2−≥0f ′1xx ≥12f (x)=2x −ln x [,+∞)12[,+∞)12{(−−3x +4≥0x 2{lgx ≠0x >0x ∈(0,1)f (x)0.1≥2x −1=t x =t +12f (t)=+4×−1=+t +t +()t +122t +1214t 2525254f (x)=+x +14x 25254−sin(+α)+sin(−α)180∘解：..【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式化简，即可得出结论；利用诱导公式化简可得结论．【解答】解：..19.【答案】∪【考点】函数最值的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由于函数取最值时，，即，(1)−sin(+α)+sin(−α)180∘1+cos(−α)+cos(−α)180∘==0−(−sin α)−sin α1+cos α−cos α(2)⋅sin(π−α)⋅cos(2π+α)cos(α−)π2sin(+α)5π2=⋅sin α⋅cos αsin αcos α=αsin 2(1)(2)(1)−sin(+α)+sin(−α)180∘1+cos(−α)+cos(−α)180∘==0−(−sin α)−sin α1+cos α−cos α(2)⋅sin(π−α)⋅cos(2π+α)cos(α−)π2sin(+α)5π2=⋅sin α⋅cos αsin αcos α=αsin 2(，)1613(，1)23f(x)=sin(ωx +)π6ωx +=kπ+,k ∈Zπ6π2x =(kπ+)1ωπ3(π，2π)又因为在区间内有最值，所以时，有解，所以，即得，由得，当时，，当时，又，所以的范围为∪故答案为：∪. 20.【答案】解：∵，∴.由于曲线在点（）处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，∴.由知，，.令，解得，故在上为增函数；令，解得，故在上为减函数；故在处取得极大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值【解析】求导函数，利用曲线在点（）处的切线垂直于轴，可得，从而可求的值；由知，，，确定函数的单调性，即可求得函数的极值．【解答】(π，2π)(kπ+)∈(π,2π)1ωπ3k 1<(k +)<21ω13 ω<k +，13+<ω，k 216+<ω<k +k 21613+<k +k 21613k >−13k =0<ω<1613k =10<ω<1，<ω<123ω(，)1613(，1)23(，)1613(，1)23(1)f(x)=a ln x −x +4f'(x)=−1a x y =f(x)1,f(1)y 0f'(1)=a −1=0a =1(2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f'(x)>00<x <1f(x)(0,1)f'(x)<0x >1f(x)(1,+∞)f(x)x =1f(1)=3(1)y =f(x)1,f(1)y f'(1)=0a (2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f(x)(1)f(x)=a ln x −x +4解：∵，∴.由于曲线在点（）处的切线垂直于轴，故该切线斜率为，即，∴.由知，，.令，解得，故在上为增函数；令，解得，故在上为减函数；故在处取得极大值．21.【答案】解：因为为上的奇函数，所以，即，∴ .，在上单调递减.，又在上单调递减，∴，即恒成立，∴，∴．【考点】奇函数函数单调性的判断与证明函数恒成立问题【解析】（1）为上的奇函数，由即可求得的值；（2）分离出常数，即可判断在上的单调性（直接写出答案，不用证明）；（3）利用奇函数在上单调递减的性质，可将恒成立转化为恒成立，利用，即可求的取值范围．【解答】解：因为为上的奇函数，所以，即，∴ .，在上单调递减.(1)f(x)=a ln x −x +4f'(x)=−1a x y =f(x)1,f(1)y 0f'(1)=a −1=0a =1(2)(1)f(x)=ln x −x +4(x >0)f'(x)=−1=1x 1−x x f'(x)>00<x <1f(x)(0,1)f'(x)<0x >1f(x)(1,+∞)f(x)x =1f(1)=3(1)f(x)R f(0)=0=0a −12a =1(2)f(x)==−1+1−2x +12x 2+12x (−∞,+∞)(3)f(−2t)+f(2−k)<0⇔f(−2t)<−f(2−k)t 2t 2t 2t 2=f(−2+k)t 2f(x)=1−2x+12x (−∞,+∞)−2t >−2+k t 2t 23−2t −k >0t 2Δ=4+12k <0k <−13f(x)R f(0)=0a −1f(x)(−∞,+∞)f(x)R f(−2t)+f(2−k)<0t 2t 23−2t −k >0t 2△=4+12k <0k (1)f(x)R f(0)=0=0a −12a =1(2)f(x)==−1+1−2x +12x 2+12x (−∞,+∞)(3)f(−2t)+f(2−k)<0⇔f(−2t)<−f(2−k)2222，又在上单调递减，∴，即恒成立，∴，∴．22.【答案】解：，由题设得，，∴在处的切线方程为.证明：，，∴在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增，，，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当，时，的图象恒在切线的上方．下证：当时，.设，，则，，在上单调递减，在上单调递增.又，，，∴，存在，使得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，∴，当且仅当时取等号，故，．又，即，当时等号成立．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究不等式恒成立问题【解析】Ⅰ求出导数，可得可得切点坐标及切线的斜率，代入点斜式，可得曲线在处的切线方程；Ⅱ 猜测：当，时，的图象恒在切线的上方，只证：当时，，又，即，即可．【解答】(3)f(−2t)+f(2−k)<0⇔f(−2t)<−f(2−k)t 2t 2t 2t 2=f(−2+k)t 2f(x)=1−2x+12x (−∞,+∞)−2t >−2+k t 2t 23−2t −k >0t 2Δ=4+12k <0k <−13(1)f (x)=−2x ′e x f (1)=e −2′f(1)=e −1f(x)x =1y =(e −2)x +1(2)f (x)=−2x ′e x f (x)=−2′′e x f (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)∴f (x)≥f (ln 2)=2−2ln 2>0′′∴f(x)[0,1]∴f(x =f(1)=e −1)max x ∈[0,1]∴f(x)(1,e −1)y =f(x)x =1y =(e −2)x +1x >0x ≠1f(x)y =(e −2)x +1x >0f(x)≥(e −2)x +1g(x)=f(x)−(e −2)x −1x >0g (x)=−2x −(e −2)′e x g (x)=−2′′e x ∴g (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)g (0)=3−e >0′g (1)=0′0<ln 2<1g (ln 2)<0′∴∈(0,ln 2)x 0g ()=0′x 0∴x ∈(0,)∪(1,+∞)x 0g (x)>0′x ∈(,1)x 0g (x)<0′g(x)(0,)x 0(,1)x 0(1,+∞)g(0)=g(1)=0g(x)=−−(e −2)x −1≥0e x x 2x =1≥x +(2−e)x −1e x x x >0x ≥ln x +1≥ln x +1+(2−e)x −1e x xx =1()f(x)x =1()x >0x ≠1f(x)y =(e −2)x +1x >0f(x)≥(e −2)x +1x ≥ln x +1≥ln x +1+(2−e)x −1e x x (1)f (x)=−2x′x解：，由题设得，，∴在处的切线方程为.证明：，，∴在上单调递减，在上单调递增，，在上单调递增，，，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当，时，的图象恒在切线的上方．下证：当时，.设，，则，，在上单调递减，在上单调递增.又，，，∴，存在，使得，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，∴，当且仅当时取等号，故，．又，即，当时等号成立．(1)f (x)=−2x ′e x f (1)=e −2′f(1)=e −1f(x)x =1y =(e −2)x +1(2)f (x)=−2x ′e x f (x)=−2′′e x f (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)∴f (x)≥f (ln 2)=2−2ln 2>0′′∴f(x)[0,1]∴f(x =f(1)=e −1)max x ∈[0,1]∴f(x)(1,e −1)y =f(x)x =1y =(e −2)x +1x >0x ≠1f(x)y =(e −2)x +1x >0f(x)≥(e −2)x +1g(x)=f(x)−(e −2)x −1x >0g (x)=−2x −(e −2)′e x g (x)=−2′′e x ∴g (x)′(0,ln 2)(ln 2,+∞)g (0)=3−e >0′g (1)=0′0<ln 2<1g (ln 2)<0′∴∈(0,ln 2)x 0g ()=0′x 0∴x ∈(0,)∪(1,+∞)x 0g (x)>0′x ∈(,1)x 0g (x)<0′g(x)(0,)x 0(,1)x 0(1,+∞)g(0)=g(1)=0g(x)=−−(e −2)x −1≥0e x x 2x =1≥x +(2−e)x −1e x x x >0x ≥ln x +1≥ln x +1+(2−e)x −1e x x x =1。

2022-2023学年全国高二上数学月考试卷考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 过点，的直线的倾斜角是，则的值为 A.B.C.D.2. 已知 ， 向量在向量上的投影为 ,则与的夹角为 A.B.C.D.3. 对于任意实数，点与圆的位置关系的所有可能是（ ）A.都在圆内B.都在圆外C.在圆上、圆外D.在圆上、圆内、圆外4. 过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程是( )A.或A (4,y)B (2,−3)π4y ()−11−55||=2a →a →b →3–√a →b →()π3π62π3π2a P(a,2−a)C :+=2x 2y 2(1,2)2x −y =0x −y +3=0B.C.或D. 5. 图中的直线，，的斜率分别是，，，则有 A.B.C.D.6. 点在圆的内部，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.7. 已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为 A.B.C.D.8. 设点，分别为双曲线的左右焦点，点，分别在双曲线的左、右支上，若， ，且，则双曲线的离心率为（ ）x +y −3=02x −y =0x +y −3=0x −y +3=0l 1l 2l 3k 1k 2k 3()<<k 1k 2k 3<<k 3k 1k 2<<k 3k 2k 1<<k 2k 3k 1(2a,a −1)+−2y −4=0x 2y 2a −1<a <10<a <1−1<a <15−<a <115F C :−=1x 2y 28P C A(0,6)6–√△APF ()26–√46–√126–√86–√A B C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2M N C =5MN −→−AM −→−=MB −→−2MN −→−⋅MB −→−||<MB −→−||NB −→−C −−√A.B.C.D.9. 双曲线的渐近线方程为A.B.C.D.10. 已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，若点在上，为的中点，，且，则的离心率为 A.B.C.D.11. 直线的倾斜角是（ ）A.B.C.D.12. 曲线与曲线的（ ）65−−√585−−√5135177−=1x 25y 210( )y =±x 12y =±x 2–√2y =±x2–√y =±2xE +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2AF P E M AF PA ⊥PF |PM|=b E ()25352312x −y +3=030∘45∘60∘90∘+=1x 216y 29+=1(9<k <16)x 216−k y 29−kA.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是________．14. 椭圆的长轴长为________.15. 设、是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是_________.16. 已知，设函数的图象在点（）处的切线为，则在轴上的截距为________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知的顶点，求：（1）边上的中线所在的直线方程；（2）边上的高所在的直线方程． 18. 如图，已知以点为圆心的圆与直线＝相切．过点的动直线与圆相交于，两点．（1）求圆的方程；（2）当＝时，求直线的方程．C 14x −3y =0x +=1x 22y 2F 1F 2C :+=1x 2m y 22C M ∠M =F 1F 2120∘m a ∈R f(x)=ax −ln x 1,f(1)l l y △ABC A(3,1)B(−1,3)C(2,−1)AB AC BH A(−1,2):x +2y +7l 10B(−2,0)l A M N A |MN |l =12219. 焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上．求的值；依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率．20.点在以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线上，求抛物线方程；已知双曲线经过点，它渐近线方程为，求双曲线的标准方程．21. 已知圆和圆相交于，两点．求直线的方程，并求出；在直线上取点，过作圆的切线（为切点），使得,求点的坐标．22. 已知椭圆的右焦点为，且椭圆上的点到点的最大距离为，为坐标原点．求椭圆的标准方程；过右焦点倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，求的面积．x +=1x 24y 2mP (,1)2–√(1)m (2)(1)A(2,−4)(2)C (1,1)y =±x 3–√C :+−2x +10y −24=0C 1x 2y 2:++2x +2y −8=0C 2x 2y 2A B (1)AB |AB|(2)AB P P C 1PQ Q |PQ|=15−−√P C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F(1,0)F 3O (1)C (2)F 60∘C M N △OMN参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】A【考点】直线的倾斜角直线的斜率【解析】由题意可得直线的斜率，由此求得的值．【解答】解：过两点，的直线的倾斜角是，直线的斜率，解得．故选．2.【答案】B【考点】平面向量的夹角向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】解：记向量与向量的夹角为,∴在上的投影为.k =tan=1=π4y +34−2y ∵A (4,y)B (2,−3)π4∴k =tan=1=π4y +34−2y =−1A a →b →θa →b →||cos θ=2cos θa →→∵在上的投影为,∴.∵，∴.故选.3.【答案】C【考点】点与圆的位置关系【解析】求出点到圆心的距离，与圆的半径比较，我们可以得出结论【解答】解：将点代入圆的方程的左边，可得即点到圆心的距离大于等于半径∴点在圆上、圆外故选．4.【答案】C【考点】直线的截距式方程【解析】分直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，将点的坐标代入即可求解．【解答】解：当直线过原点时，方程为： ，即；当直线不过原点时，设直线的方程为：且，把点代入直线的方程可得 ，故直线方程是．综上可得所求的直线方程为：或．故选．5.【答案】a →b →3–√cos θ=3–√2θ∈[0,π]θ=π6B P(a,2−a)C P(a,2−a)+=+(2−a =2(a −1+2≥2x 2y 2a 2)2)2P(a,2−a)C P(a,2−a)C y =2x 2x −y =0+=1x a y b a =b A (1,2)a =b =3x +y −3=02x −y =0x +y −3=0CD【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系直线的斜率【解析】通过图象看出三条直线的倾斜角的范围和大小，再利用正切函数的象限符号和单调性得到三条直线的斜率的大小关系．【解答】解：因为直线的斜率是其倾斜角的正切值，当倾斜角大于小于时，斜率为负值，当倾斜角大于小于时斜率为正值，且正切函数在上为增函数，由图象三条直线的倾斜角可知，.故选.6.【答案】D【考点】点与圆的位置关系【解析】根据点在圆的内部，可得不等式，解之即可求得的取值范围【解答】解：由题意，，即，解之得：.故选．7.【答案】C【考点】双曲线的标准方程双曲线的定义90∘180∘0∘90∘(,)0∘90∘<<k 2k 3k1D (2a,a −1)+−2y −4=0x 2y 24+(a −1−2(a −1)−4<0a 2)2a 4+(a −2−5<0a 2)25−4a −1<0a 2−<a <115D【解析】利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出周长最小时，该三角形的面积【解答】解：双曲线，∴左焦点为，右焦点为，周长为，当且仅当，，三点共线时，三角形周长最小．此时直线的方程为，代入双曲线方程中，可求得的纵坐标为（负值舍去），∴周长最小时，该三角形的面积为．故选.8.【答案】B【考点】双曲线的标准方程双曲线的定义双曲线的离心率余弦定理【解析】根据双曲线的性质、余弦定理、平面向量数量积判断向量垂直，分类讨论，求解双曲线的离心率.【解答】解：设 ，则.，∴，.由双曲线的定义，得 △MNF N △MNF C :−=1x 2y 28(−3,0)F 1F(3,0)△APF |AF |+|AP |+|PF |=|AF |+|AP |+(|P |+2a)F 1=|AF |+|AP |+|P |+2a F 1≥|AF |+|A |+2a F 1A P F 1AF 1y =2x +66–√6–√26–√△APF ×6×(6−2)=12126–√6–√6–√C ||=m AM −→−||=5m MN −→−∵MB −→−2=⋅MN −→−MB −→−=(+)⋅MB −→−BN −→−MB −→−=+⋅MB −→−2BN −→−MB −→−⋅=0BN −→−MB −→−∴BN ⊥MB 2a =||−||，MB −→−MA −→−2a =||−||，NA −→−NB −→− |=2a +m ，−→−即∵ ，则 ，即 ，解得 或 .①若时，则 ，，不满足 ，故舍去； ②若时，则，，满足，. ，在中， ,即，整理得 ，∴， ，（，故舍去负值）.故选.9.【答案】C【考点】双曲线的渐近线【解析】【解答】解：双曲线的渐近线方程为，整理得．故选．10. ||=2a +m ，MB −→−||=6m −2a.NB −→−BN ⊥MB |+|=|MB −→−|2BN −→−|2MN −→−|2+=(2a +m)2(6m −2a)2(5m)2m =a 23m =a m =a 23||=a BM −→−83=2a ∣∣∣NB −→−∣∣∣||<||MB −→−NB −→−m =a ||=3a BM −→−=4a ∣∣∣NB −→−∣∣∣||<||BM −→−NB −→−∴m =a ∵cos ∠MNB ===BN MN 4a 5a 45△ANB |=|+|−AB −→−|2AN −→−|2BN −→−|22||⋅||cos ∠MNB AN −→−BN −→−4=36+16−2×6a ×4a ×c 2a 2a 2454=c 2685a 24=e 2685∴=e 2175∴e =85−−√5e >0B −=1x 25y 210−=0x 25y 210y =±x 2–√C【答案】B【考点】椭圆的离心率椭圆的定义【解析】【解答】解：设椭圆的焦距为，则．由，可得．又由，可得，则，即 ，即，解得（舍负），故椭圆的离心率为.故选．11.【答案】B【考点】直线的一般式方程【解析】将直线化成斜截式，得到．因此直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系和直线的倾斜角的取值范围，可得直线倾斜角为．【解答】解：化直线为斜截式，得设直线的斜率角为，得直线的斜率∵，∴，即直线的斜率角是故选：12.【答案】E 2c |AF|=a +c PA ⊥PF |PM|=(a +c)12|PM|=b (a +c)=b 12=4=4−4(a +c)2b 2a 2c 25+2ac −3=0c 2a 25+2()−3=0()c a 2c a =c a 35E 35B y =x +3k =145∘x −y +3=0y =x +3αk =tan α=1α∈(0,π)α=π445∘BC【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】圆的切线方程圆的标准方程【解析】依据条件确定圆心纵坐标为，又已知半径是，通过与直线相切，圆心到直线的距离等于半径求出圆心横坐标，写出圆的标准方程．【解答】解：∵圆的半径为，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，∴半径是，圆心的纵坐标也是，设圆心坐标，则，又 ，∴，∴该圆的标准方程是 .故答案为：．14.【答案】【考点】椭圆的定义和性质椭圆的标准方程(x −2+(y −1=1)2)2114x −3y =0C 14x −3y =0x 11(a,1)1=|4a −3|5a >0a =2(x −2+(y −1=1)2)2(x −2+(y −1=1)2)222–√【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，其中，则其长轴长为.故答案为：.15.【答案】【考点】椭圆的定义和性质椭圆的标准方程【解析】分类讨论，由要使椭圆上存在点满足，，当假设椭圆的焦点在轴上，，，，当即可求得椭圆的焦点在轴上时，，，通过，即可求得的取值范围．【解答】解：假设椭圆的焦点在轴上，则，位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则位于短轴端点时，，，，解得，；当椭圆的焦点在轴上时，，位于短轴的端点时，取最大值，+=1x 22y 2a =2–√2a =22–√22–√(0,]∪[8,+∞)12C M ∠M ≥F 1F 2120∘∠MO ≥F 160∘x ∠M ≥F 1F 2120∘∠MO ≥F 160∘tan ∠MO ≥tan F 160∘y ∠M ≥F 1F 2120∘∠MO ≥F 160∘tan ∠MO F 1m C :+=1x 2m y 22x 2<m M ∠M F 1F 2C M ∠M =F 1F 2120∘M ∠M ≥F 1F 2120∘∠MO ≥F 160∘tan ∠MO ==≥tan =F 1c b m −2−−−−−√2–√60∘3–√m ≥8y 0<m <2M ∠M F 1F 2要使椭圆上存在点满足，则位于短轴端点时，，，，解得，，∴的取值范围是.故答案为：.16.【答案】【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程直线的点斜式方程【解析】本题主要考查导数的几何意义及直线的截距．【解答】解：因为，所以，又，所以切线的方程为，令，得．故答案为：．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.C M ∠M =F 1F 2120∘M ∠M ≥F 1F 2120∘∠MO ≥F 160∘tan ∠MO =≥tan =F 12−m −−−−−√m −−√60∘3–√0<m ≤12m (0,]∪[8,+∞)12(0,]∪[8,+∞)121f'(x)=a −1x (1)=a −1f ′f(1)=a l y −a =(a −1)(x −1)x =0y =11【答案】解：（1）∵，，，∴的中点，∴直线的方程为∴边上的中线所在的直线方程为；（2）∵直线的斜率为，∴直线的斜率为：，∴边上的高所在的直线方程为，化为一般式可得【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的两点式方程【解析】（1）易得的中点，可得直线的两点式方程，化为一般式即可；（2）由斜率公式可得直线的斜率，由垂直关系可得直线的斜率，可得直线的点斜式方程，化为一般式可得．【解答】解：（1）∵，，，∴的中点，∴直线的方程为∴边上的中线所在的直线方程为；（2）∵直线的斜率为，∴直线的斜率为：，∴边上的高所在的直线方程为，化为一般式可得18.【答案】设圆的半径为．由于圆与直线相切，∴，∴圆的方程为＝．①当直线与轴垂直时，易知＝不符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为＝．即＝．点到的距离．A(3,1)B(−1,3)C(2,−1)AB M(1,2)CM =y +12+1x −21−2AB 3x +y −5=0AC =2−1−12−3BH −12AC BH y −3=−(x +1)12x +2y −5=0AB M CM AC BH A(3,1)B(−1,3)C(2,−1)AB M(1,2)CM =y +12+1x −21−2AB 3x +y −5=0AC =2−1−12−3BH −12AC BH y −3=−(x +1)12x +2y −5=0A r A A (x +5+(x −2)2)220l x x −2l l y k(x +2)kx −y +7k 0A l∵，∴，则由，得＝或＝，故直线的方程为＝或＝．【考点】直线与圆的位置关系【解析】（1）通过圆与直线相切，求出圆的半径，然后得到圆的方程．（2）①当直线与轴垂直时，验证即可，②当直线的斜率存在时，设直线的方程为＝．利用点到的距离．结合圆的半径，弦心距以及半弦长满足勾股定理，转化求解，得到直线方程．【解答】设圆的半径为．由于圆与直线相切，∴，∴圆的方程为＝．①当直线与轴垂直时，易知＝不符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线的方程为＝．即＝．点到的距离．∵，∴，则由，得＝或＝，故直线的方程为＝或＝．k 1k 7l x −y +205x −y +140A l x l l y k(x +2)A l k A r A A (x +5+(x −2)2)220l x x −2l l y k(x +2)kx −y +7k 0A l k 1k 7l x −y +205x −y +14019.【答案】解：由题意，点在椭圆上，代入得，解得.由知，椭圆方程为，则,椭圆的长轴长，短轴长，焦距，离心率.【考点】椭圆的标准方程椭圆的离心率【解析】解：由题意，点在椭圆上，代入得，解得.由知，椭圆方程为，则,椭圆的长轴长；短轴长；焦距；离心率.【解答】解：由题意，点在椭圆上，代入得，解得.由知，椭圆方程为，则,椭圆的长轴长，短轴长，(1)P (,1)2–√+=1(2–√)2412m m =2(2)(1)+=1x 24y 22a =2,b =,c =2–√2–√2a =42b =22–√2c =22–√e ==c a 2–√2(1)P (,1)2–√+=12–√412m m =2(2)(1)+=1x 24y 22a =2,b =,c =2–√2–√2a =42b =22–√2c =22–√e ==c a 2–√2(1)P (,1)2–√+=1(2–√)2412m m =2(2)(1)+=1x 24y 22a =2,b =,c =2–√2–√2a =42b =22–√2c =2–√焦距，离心率.20.【答案】解：点在第四象限，设抛物线方程为 ①，或 ②，将点代入①解得 ，将点代入②解得 ，故抛物线的方程为：，或 ．设双曲线的方程为 ，将点代入可得 .故双曲线的标准方程为：.【考点】双曲线的渐近线抛物线的标准方程双曲线的标准方程【解析】（1）点在第四象限，设抛物线方程为 ①，或 ②，把点的坐标代入求得值，即得到抛物线方程．（2）根据渐近线方程，设双曲线的方程为 ，将点代入可得 值，从而得到双曲线方程．【解答】解：点在第四象限，设抛物线方程为 ①，或 ②，将点代入①解得 ，将点代入②解得 ，故抛物线的方程为：，或 ．设双曲线的方程为 ，将点代入可得 .故双曲线的标准方程为：.21.【答案】解：两圆方程相减得,即，此即为直线的方程，由题意知：圆，2c =22–√e ==c a 2–√2(1)A(2,−4)=2px y 2=−2py x 2A(2,−4)p =4A(2,−4)p =12=8x y 2=−y x 2(2)−3=λy 2x 2(1,1)λ=−2C −=13x 22y 22A(2,−4)=2px y 2=−2py x 2p −3=λy 2x 2(1,1)λ(1)A(2,−4)=2px y 2=−2py x 2A(2,−4)p =4A(2,−4)p =12=8x y 2=−y x 2(2)−3=λy 2x 2(1,1)λ=−2C −=13x 22y 22(1)4x −8y +16=0x −2y +4=0AB :(x +1+(y +1=10C 2)2)2−1+2+4圆心到直线的距离是，则．由题意知：圆，圆心坐标为，半径为，设，，整理得，解得或，从而或．【考点】相交弦所在直线的方程直线与圆的位置关系圆的一般方程点到直线的距离公式两点间的距离公式【解析】（1）将两圆方程相减即可得直线的方程，利用点到弦的距离，半径即可求出弦长的长（2）点在直线上，设出点坐标，利用圆的切线长公式：切线长的平方等于点到圆心距离的平方与半径的平方的差，即可求得．【解答】解：两圆方程相减得,即，此即为直线的方程，由题意知：圆，圆心到直线的距离是，则．由题意知：圆，圆心坐标为，半径为，设，，整理得，解得或，从而或．22.【答案】解：由题意得所以，所以椭圆的标准方程是.=−1+2+41+4−−−−√5–√|AB|=2=210−(5–√)2−−−−−−−−−√5–√(2):(x −1+(y +5=50C 1)2)2(1,−5)52–√P(2y −4,y)=|PQ|=15−−√|P −C 1|2r 21−−−−−−−−−√=(2y −4−1+(y +5−50)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√−2y −3=0y 2y =−1y =3P(−6,−1)(2,3)AB |AB|.P AB P (1)4x −8y +16=0x −2y +4=0AB :(x +1+(y +1=10C 2)2)2=−1+2+41+4−−−−√5–√|AB|=2=210−(5–√)2−−−−−−−−−√5–√(2):(x −1+(y +5=50C 1)2)2(1,−5)52–√P(2y −4,y)=|PQ|=15−−√|P −C 1|2r 21−−−−−−−−−√=(2y −4−1+(y +5−50)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√−2y −3=0y 2y =−1y =3P(−6,−1)(2,3)(1) c =1,a +c =3,=+，a 2b 2c 2a =2,b =,c =13–√+=1x 24y 23(2)y =(x −1)–√由题意得，直线的方程为．联立得到，解得，，原点到直线的距离，.【考点】椭圆的标准方程与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】（1）由点是椭圆的焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为，列出方程组求出，，由此能求出椭圆的标准方程；（2）直线的方程为，联立方程，利用韦达定理表示面积即可．【解答】解：由题意得所以，所以椭圆的标准方程是.由题意得，直线的方程为．联立得到，解得，，原点到直线的距离，.(2)MN y =(x −1)3–√ y =(x −1),3–√+=1x 24y 235−8x =0x 2=0,=x 1x 285|MN|=|−|=1+k 2−−−−−√x 1x 2165MN d =3–√2=d ×|MN|=××=S △OMN 12123–√216543–√5F (1,0)C F 3a b C MN y =(x −1)3–√(1) c =1,a +c =3,=+，a 2b 2c 2a =2,b =,c =13–√+=1x 24y 23(2)MN y =(x −1)3–√ y =(x −1),3–√+=1x 24y 235−8x =0x 2=0,=x 1x 285|MN|=|−|=1+k 2−−−−−√x 1x 2165MN d =3–√2=d ×|MN|=××=S △OMN 12123–√216543–√5。