3.2简单的三角恒等变换(二)

简单的三角恒等变换(二)（45分钟 100分）一、选择题(每题6分，共30分)15°+cos15°sin15°的值为 ( ) B.2 2.(2021·济宁高一检测)f(x)=cos 2x −sin 2x 2的一条对称轴为 ( )=π2=π4 =π3 =π6 3.已知tan α2=3，那么cos α= ( )A.45 45 35 D.35 4.(2021·湖北高考)将函数y=√3cosx+sinx(x ∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所取得的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值是 ( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 5.假设cos 2θ+cos θ=0，那么sin 2θ+sin θ的值等于 ( )B.±√3 或√3或√3或-√3 二、填空题(每题8分，共24分)6.设α为第四象限角，且sin3αsinα=135，那么tan 2α= .7.(2021·梅州高一检测)函数f(x)=sin 2x+√3sinxcosx 在区间[π4,π2]上的最大值是 .8.已知cos 2x=13，x ∈(π2,π)，那么sin 4x= . 三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.化简：(1+sinx +cosx )(sin x 2−cos x 2)√2+2cosx (180°<x<360°).10.如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称，邻边相互垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形面积表示为θ的函数.(2)当tanθ取何值时，十字形的面积S最大？最大面积是多少？11.(能力挑战题)已知函数f(x)=4cosxsin(x+π6)-1.(1)求f(x)的最小正周期.(2)求f(x)在区间[−π6,π4]上的最大值与最小值.答案解析1.【解析】选C.原式=sin15°cos15°+cos15°sin15° =sin 215°+cos 215°sin15°cos15° =1sin15°cos15°=22sin15°cos15°=2sin30°=4.2.【解析】选(x)=cos 2x −sin 2x 2=12cos 2x ，其对称轴为x=kπ2，k ∈Z ，当k=1时，即为x=π2. 3.【解析】选α2=3，故tan 2α2=sin 2α2cos 2α2=9，因此1−cosα1+cosα=9，cos α=-45. 4.【解析】选=2(√32cosx +12sinx )=2sin (x +π3)， 当m=π6时，y=2sin (x +π2)=2cosx ，符合题意.5.【解析】选D.由cos 2θ+cos θ=0得2cos 2θ-1+cos θ=0，因此cos θ=-1或12.当cos θ=-1时，有sin θ=0；当cos θ=12时，有sin θ=±√32.于是sin 2θ+sin θ=sin θ(2cos θ+1)=0或√3或-√3.【误区警示】此题要紧考查三角函数的大体运算、同角三角函数关系式和倍角公式.解题关键是熟练把握公式，并注意不能显现丢解错误.6.【解析】sin3αsinα=sin (2α+α)sinα=(1−2sin 2α)sinα+2cos 2αsinαsinα =2cos 2α+1=135，因此cos 2α=45，又α是第四象限角，因此sin 2α=-35，tan 2α=-34. 答案：-34 7.【解题指南】利用倍角公式降幂，转化成f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式，由x ∈[π4,π2]，确信出2x-π6的范围，进而求最值.【解析】f(x)=1−cos2x 2+√32sin 2x =12+sin (2x −π6)，当x ∈[π4,π2]时，2x-π6∈[π3,5π6]， sin (2x −π6)∈[12,1]，故f(x)的最大值为32. 答案：328.【解析】因为x ∈(π2,π)， 那么2x ∈(π，2π)，又cos 2x=13，因此sin 2x=-2√23，sin 4x=2sin 2xcos 2x=2×(−2√23)×13=-4√29. 答案：-4√299.【解析】原式=(1+2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2−1)(sin x 2−cos x 2)√2+2(2cos 2x 2−1) =(2sin x 2cos x 2+2cos 2x 2)(sin x 2−cos x 2)√4cos 2x 2=2cos x2(sin x 2+cos x 2)(sin x 2−cos x 2)2|cos x 2| =cos x 2(sin 2x 2−cos 2x 2)|cos x 2| =−cos x 2cosx |cos x 2|，因为180°<x<360°，cos x2<0， 因此原式=−cos x 2cosx−cos x2=cosx.10.【解析】(1)由题意，x=cos θ，y=sin θ，面积S=2xy-x 2=2sin θcos θ-cos 2θ，θ∈(π4,π2). (2)由(1)知，S=2sin θcos θ-cos 2θ=2sinθcosθ−cos 2θsin 2θ+cos 2θ =2tanθ−1tan 2θ+1，设2tan θ-1=t ，θ∈(π4,π2)，那么S=4t t 2+2t +5=4t +2+5t ≤42√5+2=√5−12，t=√5 即tan θ=√5+12时，面积S 取最大值√5−12.【变式备选】有一块扇形铁板，半径为R ，圆心角为60°，从那个扇形中切割下一个内接矩形，如图，求那个内接矩形的最大面积.【解析】设∠FOA=θ，那么FG=Rsin θ，OG=Rcos θ，在△EOH 中，tan 60°=EH OH ， 又EH=FG ，因此OH=√3，HG=Rcos θ-√3，又设矩形EFGH 的面积为S ，那么S=HG ·FG=(Rcosθ√3)·Rsin θ =2√3(√3sin θcos θ-sin 2θ) =2√3sin (2θ+30°)−12]， 又因为0°<θ<60°，故当θ=30°时，S 取得最大值√36R 2.11.【解析】(1)f(x)=4cosxsin (x +π6)-1 =4cosx ·(√32sinx +12cosx )-1=√3sin 2x+2cos 2x-1=√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6)，因此f(x)的最小正周期为π.(2)因为-π6≤x ≤π4，因此-π6≤2x+π6≤2π3， 因此当2x+π6=π2，即x=π6时，f(x)有最大值2， 当2x+π6=-π6，即x=-π6时，f(x)有最小值-1.【拓展提升】三角函数求值域的方式(1)利用单调性，结合函数图象求值域，如转化为y=Asin(ωx+φ)+b 型的值域问题.(2)将所给的三角函数转化为二次函数，通过配方式求值域，如转化为y=asin 2x+bsinx+c 型的值域问题.(3)利用sinx ，c osx 的有界性求值域，通常在概念域为R 的情形下应用.有时在隐含条件中产生一些限制条件，阻碍值域.(4)分离常数法，经常使用于分式形式的函数.(5)换元法，显现sinx+cosx ，sinx-cosx ，sinxcosx 时，常令t=sinx+cosx ，转化为二次函数值域的问题.换元前后要注意等价.(6)数形结合法，利用斜率公式等构造图形求最值.。

3． 2 简单的三角恒等变换重点：各种公式的正用、逆用、变形用.难点：各种公式的内在联系.一、三角函数式的化简问题对于三角函数式的化简有下面的要求：（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数尽量少.（3）使三角函数式中的项数尽量少.（4）尽量使分母不含有三角函数.（5）尽量使被开方数不含有三角函数.例1. 化简2cos2α－12tan(π4－α)sin2(π4＋α) 【分析】解答本题可先将tan(π4－α) 化为cos(π4＋α)sin(π4＋α)再化简. 【解】 由tan(π4－α)＝sin(π4－α)cos(π4－α) ＝sin[π2－(π4＋α)]cos[π2－(π4＋α)]＝cos(π4＋α)sin(π4＋α)，得 2cos2α－12tan(π4－α)sin2(π4＋α)＝cos2α2cos(π4＋α)sin(π4＋α)sin2(π4＋α) ＝cos2αsin(π2＋2α)＝cos2αcos2α＝1.【点评】化简的基本原则是“化异为同”：化异名为同名，化异角为同角，化异次为同次，本题是由切化弦入手的.二、 三角函数求值问题化简是求值的第一步工作，在求值过程中可以得到具体实数值为结果，包括：（1）已知角求值问题.（2）已知值求值问题.（3）已知值求角问题.例2. 已知cos α＝33，α为第四象限角，求tan α2的值． [解析] 解法一：(用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理)∵α为第四象限角；∴α2是第二或第四象限角．∴tan α2<0. ∴tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－331＋33＝－2－ 3 ＝－128－43＝－12(6－2)2＝2－62. 解法二：(用tan α2＝1－cos αsin α来处理) ∵α为第四象限的角，∴sin α<0.∴sin α＝－1－cos2α＝－1－13＝－63. ∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－33－63＝2－62. 解法三：(用tan α2＝sin α1＋cos α来处理) ∵α为第四象限的角，∴sin α<0.∴sin α＝－1－cos2α＝－1－13＝－63. ∴tan α2＝sin α1＋cos α＝－631＋33＝－63＋3＝2－62.【思维总结】解求值问题的一般步骤：（1）观察结论中的角与条件中的角或者与特殊角之间的联系，向条件中的角或者特殊角靠拢，将非特殊角消去；（2）根据已知条件判定所给角的范围，正确选择三角函数值的符号，注意三角函数表达式的形式，灵活地进行变形，以便于正用或逆用公式，其间还要注意拆角、凑角等技巧的应用.三、三角恒等式的证明问题恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种.（1）无条件的恒等式证明，常用综合法（执因索果）和分析法（执果索因），证明的形式有化繁为简,左右归一，变更论证等.（2）有条件的恒等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证.例2. 求证tan 3x 2－tan x 2＝2sinx cosx ＋cos2x. [分析] 可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x ＝3x 2－x 2，2x ＝3x 2＋x 2，从消除等式两边角的差异入手考虑． [证明] 证法一：tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sinx cos 3x 2cos x 2＝2sinx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＝2sinx cosx ＋cos2x . 证法二：2sinx cosx ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝tan 3x 2－tan x 2.规律总结：(1)在恒等式的证明中，“化繁为简”是化简一个三角函数式的一般原则，由复杂的一边化到简单的一边，按照目标确定化简思路．如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法．(2)化简与证明的常用方法：①“切”化“弦”；②积化和差，和差化积；③平方降次；④异角化同角，异次化同次，异名化同名．四、三角恒等变换的综合应用对于含有三角函数问题，利用公式进行恒等变换，进一步研究其它的性质或者将一般代数问题进行三角代换.命题方向3 化简三角函数解析式例3. (1)若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤x<π2，求函数f(x)的最大值． (2)设函数f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3，求ω的值． [分析] 在题目给出的函数表达式中，既有切函数，又有弦函数，函数表达式都不符合形如f(x)＝Asin(ωx ＋φ)＋B 或f(x)＝Acos(ωx ＋φ)＋B 的形式，因此需对给出的函数表达式进行化简转化，借助辅助角以及给出的条件来求最值或未知量．[解析] (1)因为f(x)＝(1＋3tanx)cosx ＝cosx ＋3sinx ＝2cos(x －π3)，又0≤x<π2， 所以当x ＝π3时，函数取得最大值2. (2)f(x)＝(sin ωx ＋cos ωx)2＋2cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋sin2ωx ＋1＋cos2ωx＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋2， 依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝32. 【思维总结】研究函数的性质，正确化简是关键问题精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

§3.2 简单的三角恒等变换（二）学习目标：⒈了解三角恒等变换在数学中的一些应用．⒉体会三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．教学重点：三角恒等变换在化简三角函数式中的应用．教学难点：形如sin cos y a x b x =+的函数的变换．教学方法：讲练结合．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）新课引入：师：上节课，我们通过两个具体的实例，了解了三角恒等变换的特点和变换方法．本节课我们通过两个具体的例子来了解三角恒等变换在数学中的应用． （Ⅱ）讲授例题：例3求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值以及它的单调递增区间．分析：这个函数我们并没有专门进行过研究，但是我们可以通过三角恒等变换先把函数式化简，然后再对它的性质进行研究．解：略．师：这个例子先通过三角恒等变换化简函数表达式，然后再讨论有关性质的问题．例4如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记COP α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．分析：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大，可分二步进行：⑴找出S 与α之间的函数关系；⑵有的处的函数关系，求出S 的最大值．解：略．师：由例3、例4可以看到，通过三角变换，我们把形如sin cos y a x b x=+转化为形如sin()y A x ωϕ=+的函数，从而使问题得到简化，这个过程蕴含了化归的思想．（Ⅲ）课后练习：课本155P 练习 ⒋（Ⅳ）课时小结:通过三角恒等变换将形如sin cos y a x b x =+的函数转换为形如sin()y A x ωϕ=+的函数，这是求三角函数式最值及周期的常用方法．（Ⅴ）课后作业：课本156P 习题3.2 A 组 ⒌ B 组 ⒍ 板书设计：教学后记:。