简单三角恒等变换复习
一、公式体系
1、和差公式及其变形：
（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ⇔ )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ⇔ )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=
± ⇔ 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+
)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-
2、倍角公式的推导及其变形：
（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+=
⇔ααα2sin 2
1
cos sin =
⇔2)cos (sin 2sin 1ααα±=±
（2）ααααααααα2
2
sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+=
)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=⇔
1
cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=⇔αααα
αα⇔把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα
2cos 2
2cos 1=+ 【因为α是
2α
的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2
cos 2cos 12α
α=+
因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成
12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα
2cos 2
4cos 12=+】
α
ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=⇔ ⇔把1移项得αα2
sin 22cos 1=- 或
αα
2sin 2
2cos 1=- 【因为α是
2
α
的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2
sin 2cos 12α
α=-
因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成
αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα
2sin 2
4cos 12=-】
二、基本题型
1、已知某个三角函数，求其他的三角函数：
注意角的关系，如)4
()4(,)(,)(π
βαπ
βααβαβββαα-++=+-+=-+=等等 （1）已知βα,都是锐角，13
5
)cos(,54sin =+=βαα，求βsin 的值
（2）已知,4
0,1312)45sin(,434,53)4
cos(π
ββππαπαπ
<<-=+<<=
-求)sin(βα+的值 （提示：βαπαπ
βπ++=--+)4
()45(
，只要求出)sin(βαπ++即可）
2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数
（1）已知βα,都是锐角，10
103cos ,55sin ==βα，求角βα+的弧度
3、)(βα+T 公式的应用
（1）求)32tan 28tan 1(332tan 28tan 0
000+++的值
（2）△ABC 中，角A 、B 满足2)tan 1)(tan 1(=++B A ，求A+B 的弧度
4、弦化切，即已知tan ，求与sin ，cos 相关的式子的值：化为分式，分子分母同时除以αcos 或α2
cos 等 （1）已知2tan =α，求
ααα
αα
ααααα2cos 2sin 3,2cos 2sin 12cos 2sin 1,cos sin 3cos 5sin +-++++-的值
5、切化弦，再通分，再弦合一
（1）、化简：① )10tan 31(50sin 0
+ ② 0
35
sin 10cos )110(tan ⋅-
（2）、证明：
x x
x x x tan )2
tan tan 1(cos 22sin =+
6、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合 化简4cos 2sin 22+-
1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）
A .
14 B .2 C .1
2
D .4
2、若tan 3α=，4
tan 3
β=
，则tan()αβ-等于（ ） A .3- B .3 C .13- D .1
3
3、cos
5
π
cos
5
2π的值等于（ ）
A ．
41 B ．
2
1 C ．
2 D ．4
4、 已知02A π
<<
，且3
cos 5
A =
，那么sin 2A 等于（ ）
A .425
B .725
C .12
25
D .2425
5、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4
tan(π
α+的值等于 （ ）
A ．1813 B.223 C.2213 D.18
3
6、sin165º= （ ） A ．
21
B ．23
C ．426+
D ．
4
2
6- 7、sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ）
A ．
23 B ．21 C ．23 D ．2
1
- 8、已知(,0)2
x π
∈-，4
cos 5
x =
，则=x 2tan （ ） A ．
247 B ．247- C ．7
24 D ．724-
9、化简2sin （
4π－x ）·sin （4
π
+x ），其结果是（ ） Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x 10、sin
12π—3cos 12
π
的值是 （ ） A ．0 B ． —2 C ．
2 D ． 2 sin
12
5π
11、
)( 75tan 75tan 12的值为︒
︒
-
A ．32
B ．332
C ． 32-
D ．3
3
2-
