(完整版)简单的三角恒等变换(一)

三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+b cosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。

简单三角恒等变换复习、公式体系(1) sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin sin( ) (2) cos()cos cossin sincoscossin sincos()(3) tan(tan tan去分母得tan tan i tan()(1 tantan )1 tan tantantantan()(1 tantan 、倍角公式的推导及其变形：(1) sin 2sin( ) sin coscos sin2 sin cossin1 .cos— sin 2221 sin 2(sincos(2) cos 2cos() cos cos sin sin cos 2 sin 2cos 2cos 2 sin 2 (cossin )(cossin )cos 22• 2 cos 厶 sin2 2COS (1 cos )把1移项得 1 cos22 cos 2或 -4- GQS -2-c2 cos 212【因为 是-的两倍，所以公式也可以写成2cos2 cos 2一 1 或 1 cos 2 cos 2或 - 1 cos —cos 22222因为4 是2的两倍，所以公式也可以写成cos 42 cos 221 或 1 2Once 厶或nee? O12cos 2 22 cossin(1 sin 2) sin 2把1移项得1cos 22s in 2或 -4-1 2sin 22【因为是—的两倍，所以公式也可以写成2cos1 2 sin 2—或1 cos2 sin 2或 4 ---- eos-sin 22222因为4 是2 的两倍，所以公式也可以写成21、和差公式及其变形: 2) )2sin 2、基本题型1、已知某个三角函数，求其他的三角函数:注意角的关系，如(),(4 (1)已知，都是锐角，sin -，cos(5) ， (-4)_5 ，求sin的值13)(—)等等4 5(2)已知COS(—) 1,—，sin( )U,0 —,求sin( )的值4 5 4 4 4 13 4. 3(提不：(——)(—) ,只要求出sin( )即可)2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数(1)已知，都是锐角，sin —，cos5,求角的弧度103、T()公式的应用(2) A ABC 中，角A、B 满足(1 tan A)(l tan B) 2 ,求A+B 的弧度4、弦化切,即已知tan ,求与sin, cos相关的式子的值：化为分式,分子分母同时除以cos 或cos? 等(1)已知tansin2 ,求SmQ 1Q in 9 rnQ 7,3sin 2cos2 的值3sin cos 1 sin 2 cos 25、切化弦，再通分，再弦合一(1)、化简：① sin 50° (13 t#TiO°)sin 35°sin 2x x(2)、证明： ________ (1 tan x tan _) tan x2 cos x 26、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合②(tan 10 01) cos-100...化简(2 sin2 2 cos4cos 20° sin 40° 的值等于（）3cos cos2 的值等于（ )——5 511A .C. 2D ・ 4424、已知0AiL cos A 3 那么卡in 2A 等于（）2547-_ 12 24A.B .C ・D ・25252525215已知tan （)——,tan( )，则）的值等升（ : )544413313 3A •B.—c.-一D.182222186、sinl65o= ()——1A •B.3C. 62 D. 62 22，4J广 47sinl4ocos 16o+sin76ocos74o 的值是 ()1、sin 20°cos40°A. 1B. 3c.1 D. 342r 244 72、若 tan3 , tan,则 tan(）等于（)31 1 A. 3B. 3-c.D.33A・3 B . 18、已知2x ( ,0),£,COS X24 一,则tan 2x (A . 7 2B —579、化简242s in (JI—x) —• sin (24n:+x), 其结果是4 4A. sin2x cos2x —10 、sin —3 cos 的值是( )12 12A . 0 £-211 、1 tan 2 75 的值为（)ji V tan 753 1c. D.2 J 2)24 24C・ D .7 7( )C .—cos2x D. —sin2x5c. 2 D . 2 sin12A. 2 3。

， §3.2 简单的三角恒等变换（一）学习目标：⒈熟练掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用．⒉能灵活应用和（差）角公式、二倍角公式进行简单三角恒等变形．教学重点：以推导积化和差、和差化积、半角公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．教学方法：讲练结合． 教具准备：多媒体投影． 教学过程：（Ⅰ）复习引入：师：前面一段时间，我们学习了三角函数的和（差）角公式、二倍角公式等十一个公式，请同学们默写这些公式．生：（默写公式）．师：学习了上述公式以后，我们就有了研究三角函数问题的新工具，从而使三角函数的内容、思路和方法更加丰富，为我们提高推理、运算能力提供了新的平台本节课我们将利用已有的这十一个公式进行简单的三角恒等变换，了解三角恒等变换在数学中的应用．（Ⅱ）讲授例题：例 1 试以cos 表示sin 2 ， c os 2 tan 2 ． 2 2 2 分析：是的二倍角，因此在仅含的正弦、余弦的二倍角公式C 中， 2 以代替就可以得到sin 2 、cos 2 (2) 2 得tan 2 ．2解：略．，然后运用同角三角函数的基本关系可 2 2 师：例 1 的结果还可以表示为：sin = ± 1- c os， c os = ± 1+ c os ， t an = ± 1- cos ， 2 2 2 2 2 1+ cos 有些书上称之为半角公式，其符号由角终边的位置确定．2师：由例题 1 和以往的经验，你认为代数式变换与三角变换有什么不同？ 生：代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．三角恒等变换常常首先 寻找式子所包含的角之间的联系．师：由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此以式子所包含的角之间的关系为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点．例 2 求证：⑴sin cos = 1 [sin(+ ) + sin(- )]；2 ⑵sin + sin = 2 sin + - cos ． 2 2 分析：对于⑴我们可以从其中右式出发，利用和（差）的正弦公式展开、合并即可得出左式．我们也可以从两个式子结构形式的不同点考虑，发现sin cos 与和（差）的正弦公式之间的联系．记sin cos = x ， cos sin = y ， 则有 x + y = sin(+ ) ， x - y = sin(- ) ，由此解出 x ，即求出了sin cos ． ⑵的证明可以直接利用⑴的结果，令+ =，- =，解出、后 代如即可．证明：略师：在此例中，如果不利用⑴的结果，怎样证明⑵？大家可以从角与角之间的关系入手考虑． 生：将= + - + - + ，= - 2 2 2 2 代入左边，然后利用和（差）的 正弦公式展开、合并即可得出右式．师：在例2 的证明中，把sin cos 看成 x ， cos sin 看成 y 把等式看作 x ，y 的方程，通过解方程组求得 x ，是方程思想的体现；把+ 看作，-看作，从而把包含、的三角函数式变换成、的三角函数式，是换元思想的应用．（Ⅲ）课后练习：课本 P 155 练习（Ⅳ）课时小结:⑴对于例 1 和例 2，不应只看重它的结果，而要从得到结果的过程中体会三角恒等变换的途径和思想方法．⑵进行三角恒等变换的大致过程是：分析题意，明确思维起点；选择公式， 把握思维方向；实施变换，运用数学思想．（Ⅴ）课后作业：⒈课本 P 156 习题 3.2 A 组 ⒈⑵⑶⑸⑹⑻ B 组 ⒈⒉预习课本 P 154 ～ P 155 ，思考问题：形如 y = a sin x + b cos x 的函数怎样转化为 y = A sin(x +) 的形式？转化过程体现了怎样的思想？板书设计：教学后记: §3.2 简单的三角恒等变换（一） 例 1 例 2 小结预习提纲。

第2课时 简单的三角恒等变换1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.(2)公式C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)公式T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2．常用的部分三角公式(1)1－cos α＝2sin 2α2,1＋cos α＝2cos 2α2.(升幂公式) (2)1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22.(升幂公式) (3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan 2α＝1－cos 2α1＋cos 2α.(降幂公式) (4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.(辅助角公式) 微思考1．思考三角恒等变换的基本技巧．提示 (1)变换函数名称：使用诱导公式．(2)升幂、降幂：使用倍角公式．(3)常数代换：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4. (4)变换角：使用角的代数变换、各类三角函数公式．2．进行化简求值时一般要遵循什么原则？提示 异名化同名、异次化同次、异角化同角、弦切互化等．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)(2020·全国Ⅱ改编)若α为第四象限角，则sin 2α>0.( × )(2)∀α∈R,1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22.( √ ) (3)∀α∈R,2cos 2α＋cos 2α－1＝0.( × )(4)∃α∈R ，tan 2α＝2tan α.( √ )题组二 教材改编2．sin 15°cos 15°等于( )A ．－14 B.14 C ．－12 D.12答案 B解析 sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14. 3．已知sin α－cos α＝15，0≤α≤π，则cos 2α等于( ) A ．－2425 B.2425 C ．－725 D.725答案 C解析 ∵sin α－cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1,0≤α≤π， ∴sin α＝45，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2⎝⎛⎭⎫452＝－725. 4．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 16解析 方法一 cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16. 方法二 cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22cos α－22sin α， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2 ＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16. 题组三 易错自纠5．计算：4tan π123tan 2π12－3等于( ) A.233 B ．－233 C.239 D ．－239答案 D解析 原式＝－23·2tanπ121－tan 2π12＝－23tan π6＝－23×33＝－239.6．(2020·泸州模拟)若tan α＝12，则cos 2α等于( ) A ．－45 B ．－35 C.45 D.35答案 D解析 ∵tan α＝12， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－141＋14＝35.题型一 三角函数式的化简1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于( ) A.53 B.23 C.13 D.59答案 A解析 由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去)． 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53. 2．(2020·江苏改编)已知sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝23，则sin 2α的值是( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.23答案 B解析 ∵sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝23， ∴1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α2＝23， 即1＋sin 2α2＝23，∴sin 2α＝13. 3．(2019·全国Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于( ) A.15 B.55 C.33 D.255答案 B解析 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B. 4．21＋sin 4＋2＋2cos 4等于( )A ．2cos 2B ．2sin 2C ．4sin 2＋2cos 2D ．2sin 2＋4cos 2答案 B解析 21＋sin 4＋2＋2cos 4＝2sin 22＋2sin 2cos 2＋cos 22＋2＋2(2cos 22－1)＝2(sin 2＋cos 2)2＋4cos 22＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.∵π2<2<π， ∴cos 2<0， ∵sin 2＋cos 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2＋π4，0<2＋π4<π， ∴sin 2＋cos 2>0，∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．题型二 三角函数的求值命题点1 给角求值例1 (1)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ .答案 －18解析 cos 20°·cos 40°·cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝－18sin 20°sin 20°＝－18. (2)cos 40°cos 25°1－sin 40°的值为( ) A ．1 B. 3 C. 2 D ．2答案 C解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25° ＝2cos 25°cos 25°＝ 2. 命题点2 给值求值例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝ . 答案 4－3310解析 由题意可得cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝110，cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝－sin 2θ＝－45，即sin 2θ＝45. 因为cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1010>0，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以0<θ<π4，2θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝35， 由两角差的正弦公式，可得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin 2θcos π3－cos 2θsin π3＝45×12－35×32＝4－3310. (2)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos 2α的值为 ． 答案 0解析 ∵tan α＋1tan α＝103，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴tan α＝3或tan α＝13(舍)， 则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＋2cos 2α， ＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2·1＋cos 2α2＝22sin 2α＋2cos 2α＋22 ＝22(2sin αcos α)＋2(cos 2α－sin 2α)＋22 ＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2αtan 2α＋1＋22＝22×69＋1＋2×1－91＋9＋22＝0.命题点3 给值求角例3 已知α，β均为锐角，cos α＝277，sin β＝3314，则cos 2α＝ ，2α－β＝ . 答案 17 π3解析 因为cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17. 又因为α，β均为锐角，sin β＝3314， 所以sin α＝217，cos β＝1314， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝437， 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝437×1314－17×3314＝32.因为α为锐角，所以0<2α<π.又cos 2α>0，所以0<2α<π2， 又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2， 又sin(2α－β)＝32，所以2α－β＝π3. 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角．跟踪训练1 (1)cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62 B.32 C.54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15°＝1＋12sin 30°＝1＋14＝54. (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ . 答案 268 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0， 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋cos α>0， ∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝24cos α＝268. (3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为 ． 答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0， ∴0<α<π2. 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.题型三 三角恒等变换的综合应用例4 已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x . (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝⎛⎭⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 解 (1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x ＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝π2. 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z .(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α4－π8＝22，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝1. 又α∈(0，π)，所以－π4<α－π4<3π4， 所以α－π4＝π2， 故α＝3π4， 因此tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3. 思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64·cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . (1)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值． 解 (1)由题意得f (x )＝24·sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22×⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－22·sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π2，所以x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，11π12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－32，1， 所以－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12∈⎣⎡⎦⎤－22，64，即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，3π2上的最大值为64，最小值为－22. (2)因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 所以sin θ＝－35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425， 所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝1625－925＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－7π12 ＝－22·sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝－12(sin 2θ－cos 2θ) ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12·⎝⎛⎭⎫725＋2425＝3150.课时精练1．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α等于( ) A ．－79 B ．－29 C.29 D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α，∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 2．已知α，β为锐角，tan α＝43，则cos 2α等于( ) A.725 B ．－725 C.2425 D ．－2425答案 B解析 ∵tan α＝43，tan α＝sin αcos α， ∴sin α＝43cos α， ∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝925， ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. 3．计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°等于( ) A.22 B.12 C.32 D ．－22答案 A解析 1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝sin 210°sin 10°1－(1－2sin 210°)＝sin 210°2sin 210°＝22. 4．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α 等于( )A ．－78 B ．－14 C.14 D.78答案 A 解析 cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫142＝－78.5．(多选)已知函数f (x )＝sin x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14，则f (x )的值不可能是() A ．－12 B.12 C ．－2 D ．2答案 CD解析 方法一 f (x )＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14 ＝sin x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －14＝12sin 2x ＋32sin x cos x －14＝12·1－cos 2x 2＋34sin 2x －14 ＝34sin 2x －14cos 2x＝12⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12.方法二 f (x )＝sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－14＝－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋x ＋π3－cos ⎝⎛⎭⎫x －x －π3－14＝－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－cos ⎝⎛⎭⎫－π3－14＝－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋14－14＝－12cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 6．(多选)下列说法不正确的是( )A ．存在x ∈R ，使得1－cos 3x ＝log 2110B ．函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小正周期为πC ．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3，0 D ．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角答案 ABC解析 在A 中，因为cos x ∈[－1,1]，所以1－cos 3x ≥0，因为log 2110<log 21＝0， 所以不存在x ∈R ，使得1－cos 3x ＝log 2110，故A 错误； 在B 中，函数y ＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x 的最小正周期为π2，故B 错误； 在C 中，令2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ， 得x ＝－π12＋k π2，k ∈Z ， 所以函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，0，k ∈Z ，故C 错误； 在D 中，因为cos(－3)＝cos 3<0，sin(－3)＝－sin 3<0，所以角α是第三象限角，故D 正确．7．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝31010，则tan 2α＝ . 答案 34解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝31010， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1010， ∴tan α＝sin αcos α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－2×31－(－3)2＝34.8．已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝ .答案 －33解析 ∵sin α＝cos 2α＝1－2sin 2α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝12或sin α＝－1(舍去)， ∴α＝5π6，则tan α＝tan 5π6＝－tan π6＝－33. 9．(2021·淄博模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ＝ .答案 －45解析 ∵tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3， ∴tan θ＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4tan π4＝3－11＋3＝12， ∴sin 2θ－2cos 2θ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝1－214＋1＝－45. 10.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝ . 答案 －43解析 原式＝3sin 12°cos 12°－32(2cos 212°－1)sin 12° ＝23⎝⎛⎭⎫12sin 12°－32cos 12°cos 12°2cos 24°sin 12°＝23sin (－48°)2cos 24°sin 12°cos 12°＝－23sin 48°sin 24°cos 24° ＝－23sin 48°12sin 48°＝－4 3. 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.求： (1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4的值．解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210， 即sin αcos π4＋cos αsin π4＝210， 化简得sin α＋cos α＝15，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②解得cos α＝－35或cos α＝45， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.所以cos α＝－35. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－35， 所以sin α＝45， 则cos 2α＝1－2sin 2α＝－725，sin 2α＝2sin αcos α＝－2425， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝－17250. 12．已知α，β为锐角，tan α2＝12，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解 (1)∵tan α2＝12， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－14＝43. 又α为锐角，且sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α， ∴sin α＝45，cos α＝35， ∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725. (2)由(1)得，sin 2α＝2sin αcos α＝2425， 则tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－247. ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝－55， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255， 则tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝－2， ∴tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.13．设θ∈R ，则“0<θ<π3”是“3sin θ＋cos 2θ>1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 3sin θ＋cos 2θ>1⇔3sin θ>1－cos 2θ＝2sin 2θ⇔(2sin θ－3)sin θ<0⇔0<sin θ<32.当0<θ<π3时，0<sin θ<32；当0<sin θ<32时，2k π<θ<π3＋2k π，k ∈Z 或2π3＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z .所以0<θ<π3是3sin θ＋cos 2θ>1的充分不必要条件．故选A. 14．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点P (a ，b )，且a ＋b ＝75，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2的值是 ． 答案 －2425解析 由任意角的三角函数的定义得，sin α＝b ，cos α＝a .又a ＋b ＝75，∴sin α＋cos α＝75， 两边平方可得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝4925， 即1＋sin 2α＝4925，∴sin 2α＝2425. ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2425.。

1.公式的常见变形(1)1＋cos α＝2cos 2α2； 1－cos α＝2sin 2α2. (2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2； 1－sin α＝(sin α2－cos α2)2. (3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 2.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 3.arcsin y 、arccos y 、arctan y 的意义arcsin y (|y |≤1)表示⎣⎡⎦⎤－π2，π2上正弦值等于y 的角；arccos y (|y |≤1)表示[0，π]上余弦值等于y 的角；arctan y 表示⎝⎛⎭⎫－π2，π2内正切值等于y 的角. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × )(2)设α∈(π，2π)，则 1－cos (π＋α)2＝sin α2.( × ) (3)在非直角三角形中有：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .( √ )(4)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为155.( × )(5)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关.( × ) (6)arcsin 13表示正弦值等于13的角.( × )1.已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( ) A.63 B.－63 C.33 D.－33答案 B解析 ∵α2∈(π2，π)， ∴cos α2＝－ 1＋cos α2＝－23＝－63. 2.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( ) A.1B.－1C.12D.－12答案 D解析 原式＝2sin 235°－12⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10° ＝－cos 70°2sin 20°＝－12. 3.arccos ⎝⎛⎭⎫－32＝ ； arcsin ⎝⎛⎭⎫－22＝ . 答案 56π －π44.若f (x )＝2tan x －2sin 2 x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为 . 答案 8解析 ∵f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2 x 212sin x＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝4sin π6＝8. 5.若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝ .答案 π3解析 由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.题型一 三角函数式的化简与求值例1 (1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝ . (2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1＝ .答案 (1)12cos 2x (2)268解析 (1)原式＝12(4cos 4x －4cos 2x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1 ＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(cos 2α－sin 2α)＝268. 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9等于( ) A.－18B.－116C.116D.18 (2)若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( ) A.54 B.－54C.43D.－43 答案 (1)A (2)D 解析 (1)原式＝cos π9·cos 29π·cos(－3π＋49π) ＝－cos π9·cos 29π·cos 49π·sin π9sin π9＝－12sin 29π·cos 29π·cos 49πsin π9＝－18sin 89πsin π9＝－18. (2)1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 题型二 三角函数的求角问题例2 (1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4 B.π4或3π4 C.π4 D.2k π＋π4(k ∈Z ) (2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β等于( ) A.π8B.－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4答案 (1)C (2)B解析 (1)由sin α＝55，cos β＝31010且α，β为锐角， 可知cos α＝255，sin β＝1010， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22， 又0<α＋β<π，故α＋β＝π4. (2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－3a 1－(3a ＋1)＝1. 又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0， ∴tan α＜0且tan β＜0.∴－π2＜α＜0且－π2＜β＜0， 即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4. 思维升华 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正切函数值，则选正切函数.(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数.若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则选正弦较好. (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4 答案 (1)C (2)A解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4. (2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－3， 又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3. 题型三 三角恒等变换的应用例3 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值.解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝22(sin x ＋cos x )－2sin x＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4， 故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f (π)＝1. 得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1－2a sin θ)＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1， 由θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，θ＝－π6. 思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征.(1)(2014·课标全国Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为 .(2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是 . 答案 (1)1 (2)π 解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1.(2)f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.8.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例 (12分)(2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性.思维点拨 (1)讨论形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型函数的性质，一律化成y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)型的函数. (2)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx ＋φ视为一个整体，换元后结合y ＝sin x 的图象解决.规范解答解 (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，[4分] 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.[6分] (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，[7分] 从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，[9分] 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减.[11分] 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减.[12分] 温馨提醒 (1)讨论三角函数的性质，要先利用三角变换化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，φ的确定一定要准确.(2)将ωx ＋φ视为一个整体，设ωx ＋φ＝t ，可以借助y ＝sin t 的图象讨论函数的单调性、最值等.[方法与技巧]1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换.2.利用三角函数值求角要考虑角的范围.3.与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后借助三角函数图象解决.[失误与防范]1.利用辅助角公式，a sin x ＋b cos x 转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角.2.计算形如y ＝sin(ωx ＋φ), x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的范围和x 的范围混淆.A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1.(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0； cos 2α＝0⇔cos α＝±sin αsin α＝cos α，故选A.2.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.16B.13C.12D.23答案 A解析 因为cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，所以cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A.3.若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118B.－118C.1718D.－1718答案 D解析 cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α，代入原式，得6sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝－1718.4.若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是() A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4答案 A解析 ∵α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π.∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，∴α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，cos 2α＝－255.∵β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝⎝⎛⎭⎫－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22.又∵α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4.5.函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为() A.⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z答案 C解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3，由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )， ∴θ＝k π－23π(k ∈Z ).∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z ).故选C.6.已知tan(π4＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为 . 答案 －45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12. ∵sin 2θ－2cos 2θ＝sin 2θ－cos 2θ－1＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7.若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为 . 答案 －210解析 由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103， ∴1sin αcos α＝103，∴sin 2α＝35. ∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)， ∴cos 2α＝－45. ∴sin(2α＋π4)＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×(35－45)＝－210. 8.若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝ . 答案 －73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12， 两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12， 即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34. ∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－74. ∴tan(α－β)＝sin (α－β)cos (α－β)＝－73. 9.已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x ).(1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.解 (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2. (2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10.已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－2cos 2 ωx 2，x ∈R (其中ω＞0). (1)求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数f (x )的单调递增区间. 解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋32sin ωx －12cos ωx －(cos ωx ＋1) ＝2⎝⎛⎭⎫32sin ωx －12cos ωx －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1. 由－1≤sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6≤1， 得－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－1≤1， 所以函数f (x )的值域为[－3,1].(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，f (x )的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，再由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z ).所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).B 组 专项能力提升(时间：25分钟)11.设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A.3α－β＝π2B.2α－β＝π2C.3α＋β＝π2D.2α＋β＝π2答案 B解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α).∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.12.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于() A.π12 B.π6C.π4 D.π3答案 D解析 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32， 故β＝π3，故选D. 13.若f (x )＝3sin x －4cos x 的一条对称轴方程是x ＝a ，则a 的取值范围可以是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4，π答案 D解析 因为f (x )＝3sin x －4cos x ＝5sin(x －φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝43且0＜φ＜π2，则sin(a －φ)＝±1， 所以a －φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π2＋φ，k ∈Z ，而tan φ＝43且0＜φ＜π2，所以π4＜φ＜π2，所以k π＋3π4＜a ＜k π＋π，k ∈Z ，取k ＝0，此时a ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，故选D.14.设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为 . 答案 3 解析 方法一 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2x sin 2x， 所以令k ＝2－cos 2x sin 2x.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0,2)所成直线的斜率.又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为 3. 方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x 2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x. 因为x ∈(0，π2)，所以tan x >0.所以32tan x ＋12tan x≥232tan x ·12tan x ＝ 3. (当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号) 即函数的最小值为 3.15.已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴. (1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值. 解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. (1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z ). 又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6， 即g (x )＝2cos 12x . ∵g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6 ＝45×32－35×12＝43－310.。

【最新整理，下载后即可编辑】三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asin x+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot （C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1 cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=c AD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。

简单的三角恒等变换三角恒等变换是数学中非常重要的基础知识，它能够帮助我们解决很多与三角函数相关的问题。

在学习三角恒等变换的过程中，我们需要掌握一些基本的变换公式，这样才能灵活地运用它们来解决实际问题。

首先，我们来看正弦函数的恒等变换。

对于任意实数x，有如下公式：sin(x) = sin(x + 2πk) = sin(-x + 2πk)其中k为任意整数。

这意味着，在正弦函数中，每隔2π，函数的值会重复出现。

此外，我们还可以通过对称性质，得到以下两个恒等式：sin(π + x) = -sin(x)sin(π - x) = sin(x)这两个恒等式告诉我们当x逐渐增大或减小，正弦函数的值也会相应地发生变化。

接下来，我们来看余弦函数的恒等变换。

对于任意实数x，有如下公式：cos(x) = cos(x + 2πk) = cos(-x + 2πk)其中k为任意整数。

这表明在余弦函数中也存在着每隔2π重复的特征。

此外，我们还可以得到以下两个恒等式：cos(π + x) = -cos(x)cos(π - x) = -cos(x)这两个恒等式告诉我们，当x逐渐增大或减小，余弦函数的值也会相应地发生变化，并与正弦函数产生相反的变化。

最后，我们来看正切函数的恒等变换。

对于任意实数x，有如下公式：tan(x) = tan(x + πk)其中k为任意整数且x不为(π/2 + πk)。

这意味着正切函数也存在2π周期性。

此外，我们还可以得到以下两个恒等式：tan(π + x) = tan(x)tan(π/2 - x) = 1/tan(x)这两个恒等式告诉我们，正切函数在π/2和π处会出现无穷大和无穷小的特征，并且在这两个点附近的图像非常陡峭。

总之，三角恒等变换是非常重要的数学基础知识，它能够帮助我们解决非常多与三角函数相关的问题。

在学习的过程中，我们需要认真掌握各种基本变换公式，并能够正确地运用它们来解决实际问题。

希望读者能够通过学习，更好地掌握这一知识点。

三角恒等变换所有公式三角恒等变换是指三角函数之间相互转化的一系列公式，利用这些公式可以简化三角函数的计算与证明。

下面是一些常用的三角恒等变换公式（完整版）：1.倍角公式：- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta =2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$2.半角公式：- $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$- $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$- $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$3.和差公式：- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm\tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4.二倍角公式：- $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$- $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$- $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$5.和差化积公式：- $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$- $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$- $\sin\alpha\cos\beta =\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$6.积化和差公式：- $\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\sin\alpha-\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$7.和差化积与积化和差的关系：- $\sin\alpha\pm\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha\pm\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha \mp\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$8.和差化积的平方形式：- $\sin^2\alpha+\sin^2\beta = 1 -\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$- $\cos^2\alpha+\cos^2\beta = 1 +\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$这些公式在解三角方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等方面有重要应用。