简单的三角恒等变换(共张)
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简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
5.5.2 简单的三角恒等变换(课件)
第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 降幂、半角公式的应用 设 π<θ<2π，cos2θ＝a，求：
(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin24θ的值．
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
解 (1)∵π<θ<2π，∴π2<2θ<π.又∵cos2θ＝a， ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝ 1－a2. ∴sin θ＝2sin2θcos2θ＝2a 1－a2. (2)cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1. (3)sin24θ＝1－2cos2θ＝1－2 a.
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
第五章 三角函数
课程标准
能用两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式进行简单 的恒等变换(包括推导出积化和 差、和差化积、半角公式，这三 组公式不要求记忆).
核心素养
通过对简单的三角恒等变换 的学习，提升“逻辑推 理”、“数学运算”的核心 素养.
2＋1 4.
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第五章 三角函数
2．若 cos α＝13，且 α∈(0，π)，则 sinα2＝________.
解析 ∵α∈(0，π)，∴α2∈0，π2.∴sinα2>0.
又 cos α＝1－2sin2α2＝13，∴sinα2＝
1－cos 2
α＝
3 3.
答案
3 3
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第五章 三角函数
(2)由 x∈－π4，π4得 2x－π3∈－56π， π6，
则 sin2x－π3∈－1，12，
即函数 f(x)＝12sin
简单的三角恒等变换课件
【例 3】
求证：sins2inα＋α β－2cos
(α＋β)＝ssiinn
β α.
[思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋
β 化为(α＋β)＋α，再进行证明．
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
题型四 三角函数的实际应用 【例 4】 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形 ABTP 面积最 大？ 审题指导 先画图 ――用―α―→ 表示出四边形 ABTP 的面积 ―三―利角―用公――式→ 求最值 ――得―出――→ α值
α2＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs α，
cos 2 cos 2ห้องสมุดไป่ตู้2sin 2
αα
α
sin α＝2sin
α 2cos
α2＝s2isni2nα2＋2ccooss22α2＝12＋tatnan22α2.
cos α＝cos2α2－sin2α2，
＝ccooss22αα22－ ＋ssiinn22αα22＝11－ ＋ttaann22αα22.
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以
sin
α，得sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α
规律方法 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征， 通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方 法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为 整式来证．
简单的三角恒等变换课件
解：如图所示，连接 AP，设∠PAB＝ θ0≤θ≤π2， 延长 RP 交 AB 于 M， 则 AM＝90cos θ，MP＝90sin θ. 所以 PQ＝MB＝100－90cos θ，
PR＝MR－MP＝100－90sin θ. 所以 S 矩形 PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝ 10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
类型 4 三角恒等变换的实际应用
[典例 4] 如图所示，ABCD 是一块边长为 100 m 的 正方形地皮，其中 AST 是半径为 90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开 发商想在平地上建一个矩形停车场，使 矩形的一个顶点 P 在 ST 上，相邻两边 CQ，CR 正好落在正方形的边 BC，CD 上，求矩形停车 场 PQCR 面积的最大值和最小值．
4．分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等 式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以 判定原等式成立．
类型 3 关于三角函数性质的综合问题(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) ＝4cos
ωx·sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期为 π.
(1)求 ω 的值； (2)讨论 f(x)在区间0，π2上的单调性．
从而原式＝－2cos 4－2sin 4＋2cos 4＝－2sin 4. 答案：(1)C (2)－2sin 4
归纳升华 对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于 三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于 二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切割 化弦、变量代替、角度归一等方法．
t2－1 令 t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤ 2)，则 sin θcos θ＝ 2 ，
简单的三角恒等变换课件
2. 积 cos αcos(2π 3 ＋α)cos(2π 3 －α)化成和差为
A．cos 3α
1 B.4cos
3α
1 C.8cos
3α
D．cos 3α－1
解析 原式＝cos α·12(cos 43π＋cos 2α)
＝－14cos α＋12cos 2αcos α
＝－14cos α＋14(cos 3α＋cos α)
(1)常值代换 将常数 1，12， 22， 23等用三角函数或三角函数式来代换， 使代换后的三角函数式能够运用相关的公式进行化简变形， 这是三角恒等变换中的一种变换技巧．
(2)切化弦
这是寻求函数名统一的重要手段．
(3)角的变换
这是寻求函数角统一的重要手段．常见的角的变换有：
α
＝
(α
＋
β)
－
β
＝
β
－
于是 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010
－ 55× 1100＝ 22.故选 C. 答案 C
纠错心得 在经过讨论得到0＜α＋β＜π后，仅仅求出 sin(α＋β)的值是不够的，应求cos(α＋β)的值，才能得出正 确答案．
课堂总结
1．积化和差公式的特点：同名函数之积化为两角和与差的余 弦的和(差)的一半；异名函数之积化为两角和与差正弦的 和(差)的一半．
(β
－
α)
＝
α＋β
2
＋
α－β
2
＝
α＋β
2
－
β－ 2 α， 2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(α＋β)－(β－α)， α－ 2 β＝α＋β2－α2 ＋β α＋2 β＝α－β2－α2 －β等．
(4)降幂与升幂
5．5.2简单的三角恒等变换(共44张PPT)
【(2解)求】f(x)f在(x)π6＝，(－23πc上os的x)·单(－调s递in 增x)－区间3．·1＋c2os
2x＋
3 2
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＝sin2x－π3.
(1)f(x)的最小正周期为 π，最大值为 1.
(2)令 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 即 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，所以 f(x)在π6，51π2上单调递增，即 f(x)在 π6，23π上的单调递增区间是π6，51π2.
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
D．±
3 3
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
()
A．－
10 10
B．
10 10
C．3103
D．－35
答案：B
4．已知 cos θ＝－35，且 180°＜θ＜270°，则 tan θ2＝________．
答案：－2
探究点 1 应用半角公式求值
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
1．若 sin(π－α)＝－ 35且 α∈π，32π，则 sinπ2＋α2等于
A．－
6 3
B．－
6 6
C．
6 6
D．
6 3
4．化简：
1＋cos（23π－θ）32π<θ<2π＝________．
解析：原式＝
1－cos 2
θ＝sinθ2，
因为32π<θ<2π，所以34π<θ2<π，
第四节 简单的三角恒等变换 课件(共106张PPT)
2．给值求值问题的解题策略 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值． 解题关键：把“所求角”用“已知角”表示． (1)当“已知角”有两个时， “所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差 的形式或者和或差的二倍形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或 倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
(2)cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.
[解析]
解法一：cos
20°cos
40°·cos
80°＝sin
20°cos
20°cos 40°cos sin 20°
80°
1
＝2sin
40°cos 40°cos sin 20°
80°
＝14sins8in0°2c0o°s 80°
θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos2θ>0，∴原式＝－cos θ.
2．证明：cos θ－cos φ＝－2sin
θ＋φ 2 sin
θ－φ 2.
[证明] 因为θ＝θ＋2 φ＋θ－2 φ，φ＝θ＋2 φ－θ－2 φ，
所以cos θ－cos φ
＝cosθ＋2 φ＋θ－2 φ－cosθ＋2 φ－θ－2 φ
第四章 三角函数 解三角形
第四节 简单的三角恒等变换
[复习要点] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但 对这三组公式不要求记忆)．
理清教材•巩固基础
知识点 半角公式(不要求记忆)
1－cos α 1．sin α2＝_±_______2____；
简单的三角恒等变换PPT教学课件
a
2时
f
(x)大
a2 4
1 2
a 4
当a 2
1即a
2时
当sin x 1时
f
(x)大
3 4
a
1 2
当
a 2
0即a
0时
sin
x
0时 f
(x)大
1 2
a 4
3 4
a
1 2
(a
2)
即M
(a)
a2 4
a 4
1 2
(0
a
2)
1 2
a 4
(a
0)
(2)当M
(a)
2时,
解得a
10 3
或a
6
小结:
对公式我们不仅要会直接的运用，还 要会逆用、还要会变形用，还要会与 其它的公式一起灵活的运用。
2
log 1 (sin x cosx) f (x)
2
T 2
练习2.f(x)=cos2x+asinx-
a 4
-
1 2
(0≤x≤2 )
①用a表示f(x)的最大值M(a)
②当M(a)=2时，求a的值
解：
(1)
f
(x)
(sin
x
a 2
)2
a2 4
1 2
a 4
0
x
2
0
x
1
当0
a 2
1即0
2
sin2 cos2 1
2
解法2：
原式 1 (1 cos2 )(1 cos2 ) 1 (1 cos2 )(1 cos2 )
4
4
1 cos2 cos2
2
1 (1 cos2 cos2 ) 1 cos2 cos2
简单的三角恒等变换课件
2x＋(sin
x－cos
x)(sin
x＋cos
x)
＝12cos
2x＋
3 2 sin
2x＋sin2x－cos2x
＝12cos
2x＋
3 2 sin
2x－cos
2x＝sin2x－π6，
∴最小正周期 T＝22π＝π.
∵2x－π6＝kπ＋π2，k∈Z， ∴x＝k2π＋π3，k∈Z. ∴图象的对称轴方程为 x＝k2π＋π3，k∈Z. (2)∵x∈－1π2，π2， ∴2x－π6∈－π3，56π.
由αα＋－ββ＝＝2－3ππ4，
得αβ＝＝15221π44π
故当 α＝52π4，β＝1214π时，ymax＝ 42－12.
【正确解答】y＝
1＋cos α
2α α
－1＋cos2π2－2β
cosα2－
sin2 α
sin2 cos2
＝sincαocsoαs2 α－12－12sin 2β＝12sin 2α－12sin 2β－12. 2 分
(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)求函数 f(x)在区间－1π2，π2上的值域．
• 【思路点拨】将已知函数通过三角函数恒等变换转化为y＝Asin(ωx＋φ) 的形式，再研究其性质．
解：(1)∵f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4
＝12cos
2x＋
3 2 sin
• 解：如图，连接PB.
• ∵AB为直径，∴∠APB＝90°. • ∵∠PAB＝α，AB＝1， • ∴PB＝sin α，PA＝cos α. • 又PT切圆于P点， • 则∠TPB＝∠PAB＝α. • ∴S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB
＝12PA·PB＋12PT·PB·sin α ＝12cos α·sin α＋12sin2 α ＝14sin 2α＋14(1－cos 2α) ＝ 42sin2α－π4＋14. ∵0＜α＜π2，－π4＜2α－π4＜34π， ∴当 2α－π4＝π2，即 α＝38π 时，四边形 ABTP 的面积最大．
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解析：原式＝2si2n2αscinosαα－－c2ocsoαs2α＝2 2cos α. 答案：2 2cos α
1＋sin 2．化简
θ＋2c＋os2θco·ssiθn2θ－cos2θ(0<θ<π)＝________.
解析：原式＝2sin2θcosθ2＋2cos22θ·sin2θ－cosθ2 4cos2θ2
[解析]
(1)原式＝212×4cscoionssπ4π44x－－－xx4·ccooss22x＋π4－1x
＝4sin2π4c－osx2xc－os1π42－x＝2sicnoπ2s2－2x2x
＝2ccooss222xx＝12 cos 2x.
(2)∵α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则(2sin α －3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，
＝cos
2θ·sin22θ－cθo s22θ＝－cos
θ 2·cos θ θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos 2θ>0，∴原式＝－cos θ.
答案：－cos θ
考向二 三角函数求值[互动讲练型] [例 2] 已知函数 f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且 f51π2＝32. (1)求 A 的值； (2)若 f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求 f34π－θ.
cosα cosα
表示) 表示)
2．半角公式
sinα2＝±
1－cosα 2
cosα2＝±
1＋cosα 2
tanα2＝± 11－＋ccoossαα＝1＋sicnoαsα＝1－sicnoαsα
其符号由α2所在的象限决定．
3．辅助角公式
asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)，
其中 sinφ＝
考向一 化简与求值问题[自主练透型]
[例 1]
(1)化简：22tacnosπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝_12_c_o_s _2_x__；
(2)(2017·河南商丘一模)已知 α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos
α－3cos2α＝0，则sin 2sαi＋nαc＋os4π2α＋1＝___82_6____.
又 sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝
213，sin α＝
3， 13
∴ sin
2sαi＋nαc＋os 4π2α＋1＝sin
α＋c22ossαin2α＋＋ccooss2αα－ sin2α＝
826.
—[悟·技法]— 三角式化简与求值的原则方法与要求
(1)三角函数式的化简遵循的三个原则 ①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与 联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． ②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使 用的公式，常见的有“切化弦”． ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变 形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
[解析] (1)∵f(x)＝Asinx＋π4，且 f51π2＝32，
∴Asin51π2＋π4＝32，∴A＝ 3.
(2)∵f(x)＝ 3sinx＋π4，且 f(θ)＋f(－θ)＝32，
∴f(θ)＋f(－θ)＝ 3sinθ＋π4＋ 3sin－θ＋π4 ＝ 3×2cos θsin π4＝ 6cos θ＝32.
解析：∵f(x)＝2tan x＋1－1 2sin22x 2sin x
＝2tan
x＋2scionsxx＝sin
2 xcos
x＝sin42x，
∴f1π2＝si4nπ6＝8.
答案：8
[知识重温]
一、必记 3●个知识点
1．降幂公式
sin2α2＝①__1_－__2c_o_s_α__(用 cosα 表示)
ctaons22α2α2＝＝③②____111__－ ＋＋____cc2c__ooo__sss_αα_α____((用用
a2b＋b2，cosφ＝
a a2＋b2.
二、必明 2●个易误点 1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公 式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的． 2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而 符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类 讨论，防止丢解．
故选 C.
答案：C
2．已知 cos α＝13，α∈(π，2π)，则 cos α2等于( )
6 A. 3
B．－
6 3
3 C. 3
D．－
3 3
解析：∵α2∈(π2，π)，
∴cos α2＝－
Байду номын сангаас
1＋cos 2
α＝－
23＝－ 36.
答案：B
3．若 tan θ＝ 3，则1＋sinco2sθ2θ＝(
)
A. 3 B．－ 3
3 C. 3
D．－
3 3
解析：1＋sinco2sθ2θ＝1＋2si2ncoθsc2oθs－θ1＝tan θ＝ 3. 答案：A
4．化简： cos
cos 40° 25° 1－sin
＝( 40°
)
A．1 B. 3
C. 2 D．2
解
析：原式＝
cos
2c5o°s2c2o0s°－20s°i－n22si0n°20°＝cos
(2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂． (3)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值． ②尽量使函数种数最少． ③尽量使项数最少． ④尽量使分母不含三角函数． ⑤尽量使被开方数不含三角函数．
—[通·一类]— 1．化简：sin s2inα－α－2cπ4os2α＝________.
20°＋sin cos 25°
20°＝
c2ocsos252°5°＝ 2，故选 C. 答案：C
5．(教材改编)sin 15°－ 3cos 15°＝________.
解析：sin 15°－ 3cos 15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin 45°＝－ 2. 答案：－ 2
6．若 f(x)＝2tan x－2sin2x2x－1x，则 f(1π2)的值为________． sin 2cos2
[小题热身]
1．已知 cosπ4－x＝35，则 sin 2x＝(
)
18 A.25
7 B.25
C．－275 D．－1265
解析：因为 cosπ4－x＝35，所以 cos
π 4cos
x＋sinπ4sin
x＝35，
则 sin x＋cos x＝35 2，所以 1＋2sin x·cos x＝1285，即 sin 2x＝－275.
1＋sin 2．化简
θ＋2c＋os2θco·ssiθn2θ－cos2θ(0<θ<π)＝________.
解析：原式＝2sin2θcosθ2＋2cos22θ·sin2θ－cosθ2 4cos2θ2
[解析]
(1)原式＝212×4cscoionssπ4π44x－－－xx4·ccooss22x＋π4－1x
＝4sin2π4c－osx2xc－os1π42－x＝2sicnoπ2s2－2x2x
＝2ccooss222xx＝12 cos 2x.
(2)∵α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则(2sin α －3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，
＝cos
2θ·sin22θ－cθo s22θ＝－cos
θ 2·cos θ θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos 2θ>0，∴原式＝－cos θ.
答案：－cos θ
考向二 三角函数求值[互动讲练型] [例 2] 已知函数 f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且 f51π2＝32. (1)求 A 的值； (2)若 f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求 f34π－θ.
cosα cosα
表示) 表示)
2．半角公式
sinα2＝±
1－cosα 2
cosα2＝±
1＋cosα 2
tanα2＝± 11－＋ccoossαα＝1＋sicnoαsα＝1－sicnoαsα
其符号由α2所在的象限决定．
3．辅助角公式
asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)，
其中 sinφ＝
考向一 化简与求值问题[自主练透型]
[例 1]
(1)化简：22tacnosπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝_12_c_o_s _2_x__；
(2)(2017·河南商丘一模)已知 α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos
α－3cos2α＝0，则sin 2sαi＋nαc＋os4π2α＋1＝___82_6____.
又 sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝
213，sin α＝
3， 13
∴ sin
2sαi＋nαc＋os 4π2α＋1＝sin
α＋c22ossαin2α＋＋ccooss2αα－ sin2α＝
826.
—[悟·技法]— 三角式化简与求值的原则方法与要求
(1)三角函数式的化简遵循的三个原则 ①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与 联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． ②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使 用的公式，常见的有“切化弦”． ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变 形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
[解析] (1)∵f(x)＝Asinx＋π4，且 f51π2＝32，
∴Asin51π2＋π4＝32，∴A＝ 3.
(2)∵f(x)＝ 3sinx＋π4，且 f(θ)＋f(－θ)＝32，
∴f(θ)＋f(－θ)＝ 3sinθ＋π4＋ 3sin－θ＋π4 ＝ 3×2cos θsin π4＝ 6cos θ＝32.
解析：∵f(x)＝2tan x＋1－1 2sin22x 2sin x
＝2tan
x＋2scionsxx＝sin
2 xcos
x＝sin42x，
∴f1π2＝si4nπ6＝8.
答案：8
[知识重温]
一、必记 3●个知识点
1．降幂公式
sin2α2＝①__1_－__2c_o_s_α__(用 cosα 表示)
ctaons22α2α2＝＝③②____111__－ ＋＋____cc2c__ooo__sss_αα_α____((用用
a2b＋b2，cosφ＝
a a2＋b2.
二、必明 2●个易误点 1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公 式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的． 2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而 符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类 讨论，防止丢解．
故选 C.
答案：C
2．已知 cos α＝13，α∈(π，2π)，则 cos α2等于( )
6 A. 3
B．－
6 3
3 C. 3
D．－
3 3
解析：∵α2∈(π2，π)，
∴cos α2＝－
Байду номын сангаас
1＋cos 2
α＝－
23＝－ 36.
答案：B
3．若 tan θ＝ 3，则1＋sinco2sθ2θ＝(
)
A. 3 B．－ 3
3 C. 3
D．－
3 3
解析：1＋sinco2sθ2θ＝1＋2si2ncoθsc2oθs－θ1＝tan θ＝ 3. 答案：A
4．化简： cos
cos 40° 25° 1－sin
＝( 40°
)
A．1 B. 3
C. 2 D．2
解
析：原式＝
cos
2c5o°s2c2o0s°－20s°i－n22si0n°20°＝cos
(2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂． (3)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值． ②尽量使函数种数最少． ③尽量使项数最少． ④尽量使分母不含三角函数． ⑤尽量使被开方数不含三角函数．
—[通·一类]— 1．化简：sin s2inα－α－2cπ4os2α＝________.
20°＋sin cos 25°
20°＝
c2ocsos252°5°＝ 2，故选 C. 答案：C
5．(教材改编)sin 15°－ 3cos 15°＝________.
解析：sin 15°－ 3cos 15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin 45°＝－ 2. 答案：－ 2
6．若 f(x)＝2tan x－2sin2x2x－1x，则 f(1π2)的值为________． sin 2cos2
[小题热身]
1．已知 cosπ4－x＝35，则 sin 2x＝(
)
18 A.25
7 B.25
C．－275 D．－1265
解析：因为 cosπ4－x＝35，所以 cos
π 4cos
x＋sinπ4sin
x＝35，
则 sin x＋cos x＝35 2，所以 1＋2sin x·cos x＝1285，即 sin 2x＝－275.