6 多元函数微积分-空间解析几何1

第六章 多元函数微积分
I. 空间解析几何简介
一 空间直角坐标系
1. 坐标系 空间取定一点 过点 作三条 坐标系: 空间取定一点O, 过点O 互相垂直的轴 Ox,Oy,Oz. , , . 如图所示的数轴组成右手坐标系. 如图所示的数轴组成右手坐标系. . 空间的点 M 的笛卡尔坐标 (a, b, c) 是过点 M 垂直于坐标轴的平面与 O 该轴的交点在该轴上的坐标. 该轴的交点在该轴上的坐标. P(a, 0, 0) 笛卡尔坐标也称为直角坐标, 笛卡尔坐标也称为直角坐标 因为这种坐标的轴以直角相交. 因为这种坐标的轴以直角相交. x x = a 常数
2. 旋转曲面: 旋转曲面: 一条平面曲线绕所在平面上一条定直线旋转一周 一条平面曲线绕所在平面上一条定直线旋转一周 平面曲线绕所在平面上一条定直线 所形成的曲面叫做旋转曲面 这条定直线叫做旋转曲面的轴 旋转曲面, 所形成的曲面叫做旋转曲面,这条定直线叫做旋转曲面的轴.
如球面,圆柱面都是旋转曲面. 如球面,圆柱面都是旋转曲面.
的图形. 例11: 作 x2 + y2 = R2 的图形. 平面上表示以原点为圆心 表示以原点为圆心, 解: 方程 x2 + y2 = R2 在 xy 平面上表示以原点为圆心 半径为R的圆,此为准线. 半径为 的圆,此为准线. 的圆 由于方程不含z 意味着 可取任意值, 由于方程不含 ,意味着 z 可取任意值, 满足x 即可. 只要 x 与 y 满足 2 + y2 = R2 即可. 因此这个方程所表示的曲面, 因此这个方程所表示的曲面, 是由平行于 z 轴的直线沿 xy 平面上的 圆 x2 + y2 = R2 移动而形成的圆柱面. 移动而形成的圆柱面. 圆柱面
x2
z
z2
z1 M1
M2
y1
N
x1
S
y2
y
O
x
= |M1N|2 + |NS|2 + |M2S|2 = |x2 x1|2 + |y2 y1|2 + |z2 z1|2 = (x2 x1 )2 + (y2 y1 )2 + (z2 z1 )2 于是 M1M2 =
(x2 x1)2 + ( y2 y1)2 + (z2 z1)2
z z = c 常数
R( 0, 0, c)
M(a, b, c) Q( 0, b, 0) y y = b 常数
. x 轴上的点的 y 坐标和 z 坐标都是零 即它们的坐标是 0, 0); 坐标都是零, 即它们的坐标是(x, 轴上的点的坐标是(0, 轴上的点的坐标就是(0, 而 y 轴上的点的坐标是 y, 0); z 轴上的点的坐标就是 0, z). .
f ( y, z) = 0 C: x =0
准线
母线
o
y
x
下面只介绍母线平行于坐标轴,准线在坐标平面上的柱面. 下面只介绍母线平行于坐标轴,准线在坐标平面上的柱面. 一般地, 一般地 只含 x, y 而缺 z 的方程 f(x, y) = 0, , 轴的柱面, 表示母线平行于 z 轴的柱面,其准线是 xoy 面上的曲线 c. . 同理, 轴的柱面方程, 同理 缺少 y 的方程 g(x, z) = 0,表示母线平行于 y 轴的柱面方程, , 轴的柱面方程. 缺少 x 的方程 h(y, z) = 0,表示母线平行于 x 轴的柱面方程. ,
所表示的曲面. 例10: 研究方程 f ( y, z) = 0 所表示的曲面. 解: 该曲面是 yz 平面的曲线 C :f ( y, z) = 0 轴方向平行移动所得到的, 沿 x 轴方向平行移动所得到的, 这样的曲面称为柱面 柱面, 这样的曲面称为柱面 称为柱面的准线 准线, 曲线 C 称为柱面的准线 的平行于x 轴的直线称为它的母线 z 母线. 过C 的平行于 轴的直线称为它的母线.
一动点M(x, y, z)与两定点 1(1, 1, 0), M2(2, 0, 2)的距离相等 与两定点M 的距离相等, 例1: 一动点 与两定点 的距离相等 求此动点M的轨迹方程 的轨迹方程. 求此动点 的轨迹方程. 解: 依题意有 |MM1| = |MM2|,由两点间距离公式 ,
(x 1)2 + ( y +1)2 + (z 0)2 = (x 2)2 + ( y 0)2 + (z + 2)2
2. 坐标平面 每两条坐标轴可以确定一个平面 称为坐标平面. 坐标平面: 每两条坐标轴可以确定一个平面, 称为坐标平面. . 由 x 轴和 y 轴确定的平面称为 xy 平面 平面, 它的标准方程是 z = 0 ; 平面, 由 y 轴和 z 轴确定的平面称为 yz 平面 它的标准方程是 x = 0 ; z=0 平面, 由 x 轴和 z 轴确定的平面称为 xz 平面 它的标准方程是 y = 0 .
二 平面
1.平面的一般式方程 .
垂直于平面的非零向量n叫作这平面的法向量 垂直于平面的非零向量 叫作这平面的法向量
因此
Ax + By + Cz + D = 0 (其中 , B , C不全为零) 其中A 不全为零) 不全为零 这种形式的方程称为平面的一般式方程. 这种形式的方程称为平面的一般式方程.
y
平面的一般式方程的几种特殊形式: 平面的一般式方程的几种特殊形式:
几何地解释如下方程和不等式. 例4 几何地解释如下方程和不等式.
2.平面的截距式方程 . 的平面方程. 例5 求过点 P (a , 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c ) (abc ≠ 0) 的平面方程.
x . 它们的交点是原点 0, 0). 它们的交点是原点(0, . . 三个坐标平面把空间分成八个称为卦限的部分. 三个坐标平面把空间分成八个称为卦限的部分. 其点的所有坐标都是正数的卦限称为第一卦限. 其点的所有坐标都是正数的卦限称为第一卦限. (0, 0, 0) z y=0 x=0
y
3. 空间任意两点间的距离: 空间任意两点间的距离: 设空间中两点 M1(x1, y1, z1) 和 M2(x2, y2, z2), 过 M1 和 M2各作三个平面 分别垂直于三条坐标轴. 分别垂直于三条坐标轴. 这些平面围成一个以M 这些平面围成一个以 1M2 为对角线的长方体. 为对角线的长方体. 由图可知: 由图可知: |M1M2|2 = |M1S|2 + |M2S|2
2
在平面 z = c 2上的 椭圆 x
a 椭圆 b
xz 平面上的双曲线
(0,0, c)
0
顶点
yz 平面上的双曲线
z x 2 =1 c2 a
x
2
2
y (0,0,c)
顶点
z2 y2 2 =1 2 c b
椭圆
双叶双曲面
�
z
母线
y
x
准线 x + y2 = R2
2
x2 z2 的图形. 例12: 作 2 + 2 =1 的图形. a b
z
o
y
x
x2 y2 z2 例10: (1) 识别曲面 2 + 2 + 2 =1 a b c
z
平面 z = z0 上 的椭圆横截面 zxy 平面上的椭圆
解: yoz 面上直线方程为
z = y cot α
z
z = ± x 2 + y 2 cot α 圆锥面方程
或 z2 = a2 x2 + y2
(
)
α
o
x
y
椭圆锥面
3. 柱面: 柱面: 平行移动所形成的轨迹叫柱面 柱面, 一动直线沿定曲线 平行移动所形成的轨迹叫柱面, 叫柱面的准线 动直线叫柱面的母线 准线, 母线. 定曲线 叫柱面的准线,动直线叫柱面的母线.
化简后得点 M 的轨迹方程为 x + y 2z 3 = 0,见下图. ,见下图.
求三个坐标平面的方程 的方程. 例2: 求三个坐标平面的方程. 平面上任一点的坐标必有z 解: 容易看到 xy 平面上任一点的坐标必有 = 0,见图. ,见图. 平面上, 满足 z = 0 的点也必然在 xy 平面上 所以 xy 平面的方程为 z = 0. . 同理, 同理,yz 平面的方程为 x = 0 ; xz 平面的方程为 y = 0 . z 3:作 c(c为常数 的图形. 为常数) 例3:作 z = c(c为常数)的图形. 中不含x, , 解: 方程 z = c 中不含 ,y, 意味着x与y可取任意值而总有 = c , 意味着 与 可取任意值而总有z 可取任意值而总有 x 其图形是平行于xy 平面的平面. 其图形是平行于 平面的平面. 平面向上( 可以由 xy 平面向上(c > 0)或向下(c < 0) )或向下( ) 个单位得到. 平移 |c| 个单位得到.
例8
相交的直线旋转一周, 例9 直线 L绕另一条与 L 相交的直线旋转一周 所得旋转曲面叫圆锥面 圆锥面. 所得旋转曲面叫圆锥面. 两直线的交点叫圆锥面的顶点 顶点, 两直线的交点叫圆锥面的顶点 0 < α < π 叫圆锥面的半顶角. 半顶角. 两直线的夹角 α 叫圆锥面的半顶角 2 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为 z 轴, 试建立顶点在坐标原点 的圆锥面方程. 半顶角为α 的圆锥面方程.
x2 y2 + =1 a2 b2
a
椭圆
b
橄 榄 球
y
x
yz 平面上的椭圆
y2 z2 + =1 b2 c2
椭球面
x2 y2 z2 (2) 识别曲面 2 + 2 2 =1 a b c
yz 平面上的双曲线
(a, b, c > 0) .
y2 z2 2 =1的一支 2 b c
x2 z2 xz 平面上的双曲线 2 2 =1的一支 a c z z = c 平面上的椭圆
x y z + + = 1(其中 ,b,c分别称为平面在 轴,y轴,z轴上的截距) 其中a 分别称为平面在x轴 轴 轴上的截距 轴上的截距) 分别称为平面在 a b c