实变函数期末考试卷A 卷 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
实变 函数 一、 判断题(每题2分,共20分) 1.若A 是B 的真子集,则必有B A <。 (×) 2.必有比a 小的基数。 (√) 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 (√) 4.无限个开集的交必是开集。 (×) 5.若φ≠E ,则0*>E m 。 (×) 6.任何集n R E ?都有外测度。 (√) 7.两集合的基数相等,则它们的外测度相等。 (×) 8.可测集的所有子集都可测。 (×) 9.若)(x f 在可测集E 上可测,则)(x f 在E 的任意子集上也可测。(×) 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 (×) 1.设E 为点集,E P ?,则P 是E 的外点.( × ) 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. ( × ) 3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +?=则 1( )lim ().n n n n m E m E ∞ →∞ ==(× ) 4.单调集列一定收敛. (√ ) 5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.( × ) 二、填空题(每空2分,共20分) 1.设B 是1R 中无理数集,则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ,则=0A φ ,='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ,则=?∞=n n A 0 )1,1(- ,=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
实变函数试题库及参考答案(5) 本科 一、填空题 1.设,A B 为集合,则___(\)A B B A A 2.设n E R ?,如果E 满足0 E E =(其中0 E 表示E 的内部),则E 是 3.设G 为直线上的开集,若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??,则(,)a b 必为G 的 4.设{|2,}A x x n n ==为自然数,则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设,A B 为可测集,B A ?且mB <+∞,则__(\)mA mB m A B - 6.设()f x 是可测集E 上的可测函数,则对任意实数,()a b a b <,都有[()]E x a f x b <<是 7.若()E R ?是可数集,则__0mE 8.设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,()f x 为E 上的可测函数,如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈,则()()n f x f x ?x E ∈(是否成立) 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集,()x ?是E 上的简单函数,则 ( ) (A )()x ?是E 上的连续函数 (B )()x ?是E 上的单调函数 (C )()x ?在E 上一定不L 可积 (D )()x ?是E 上的可测函数 2.下列集合关系成立的是( ) (A )()()()A B C A B A C = (B )(\)A B A =? (C )(\)B A A =? (D )A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集,则 ( ) (A )0 E E = (B )E E = (C )E E '? (D )E E '= 三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案) 1.设{[0,1]}E =中的有理点 ,则( ) (A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )0mE = (D )E 中的每一点均为E 的内点
实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明:若E 有界,则m E *<∞. 证明:若n E R ?有界,则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . (0M >充分大)使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证:设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零, 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ,只要 0m E μ*≤≤,就有1E E ?,使1m E μ*=. 证明:因为E 有界,设[],E a b ?(,a b 有限), 令()(),f x m E a x b *=?<< , 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与,不妨设a x x x b ≤≤+?≤, 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.
2011—2012学年第1学期 数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷(A)
试卷共8 页第 1 页
实变函数期末考试卷(A) 2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日 一 填空题(每小题3分,满分24分) 1 我们将定义在可测集q E ??上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈,都可以确定两个非负可测函数: 试卷 共 8 页 第 2 页
()()()(),0, 0,0.f x x E f f x x E f + ∈>?=? ∈≤? 当时当时 和()()()()0, 0, ,0. x E f f x f x x E f - ∈>?=?-∈≤? 当时当时 分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f x f x + -和()f x 之间的关系: ()f x = , ()f x = 。 2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数,指的是: 12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集,在i E 上()i x c ?≡ (非负常数)(1,2,,i k =L ).?在E 上的L 积分定义为: ()E x dx ?= ?, 这个积分值可能落在区间 中,但只有当 时才能说?是 L 可积的。 3 若()f M E ∈是非负函数,则它的L 积分定义为: ()E f x dx = ?, 这个积分值可能落在区间 中,但只有当 时才能说f 是 L 可积的。 4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的,如果f +和f - , 即()E f x dx + ?和()E f x dx -?的值 ;但只有当 时 才能说f 是L 可积的,这时将它的积分定义为: ()E f x dx = ?。 5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ,则法图引理的结论是不等式: ; 如果再添上条件和 就 得到列维定理的结论: 。 6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数,满足 ()()lim n n f x f x a e →∞ =g g 于E 或n f f ?两个条件之一。 或 的结论:
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题(判断正误,正确的请简要说明理由,错误的请举出反例) 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。(×) 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。(√) 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 (×) 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ,使得, [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ? 。 (×,比如{}()n f x 为单调递增时,由Levi 定理,这样的子列一定不存在。) 5、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ,使得, [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 (×,比如课本上法都引理取严格不等号的例子。) 6、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ ≤?? 。 (√) 7、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数,则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ ≥? ? 。 (×) 8、设()f x 是[0,1]上的黎曼可积函数,则()f x 必为[0,1]上的可测函数。 (√,Lebesgue 积分与正常黎曼积分的关系) 9、设()f x 是[0,)+∞的上黎曼反常积分存在,则()f x 必为[0,)+∞上的可测函数。 (√,注意到黎曼反常积分的定义的前提条件,对任意自然数0n >,()f x 在[0,]n 上 黎曼可积,从而()f x 是[0,]n 上的可测函数,进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数) 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数,()[0,1],n G f 表示()n f x 在
实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明:设lim n n x A →∞ ∈,则N ?,使一切n N >,n x A ∈,所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ,则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ,所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此,n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ,0 2E ,2E 。 解:(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤, (){}222,1E x y x y =+< , (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?,对0>?ε,存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<, 证明E 是可测集。 证明:对任何正整数n , 由条件存在开集E G n ?,使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集,又因()()1**n m G E m G E n -≤-< , 对一切正整数n 成立,因而)(E G m -*=0,即E G M -=是一零测度集,故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?,12 m E =。 解:在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ,接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间,以此类推,一般进行到第n 次时, 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间,剩下的n 2个闭区间,如此重复 下去,这样就可以得到一个闭的疏朗集,去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。
《实变函数》 一、单项选择题 1、下列各式正确的是( C D ) (A )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =?? (C )1lim n n n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (D )1lim n n n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( D ) (A )=P c (B) 0m P = (C) P P =' (D) P P = 3、下列说法不正确的是( B ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( A ) (A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 (C ){}inf ()n n f x 是可测函数;(D )若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5. 下列说法不正确的是( C ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点,则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点,则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ,使0n P P →,则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点 6.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( C ) (A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积 7. 设}{n E 是一列可测集,12n E E E ???? ,则有(B )。 (A )1lim n n n n m E m E ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E m E ∞ =→∞ ???= ???
本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明:()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ,集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集,则一定存在可测集 δ G 型集 G ,使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?,A B ?可测,且()m A B ?<+∞,若()**m A B m A m B ?=+, 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数,G 为开集,F 为闭集,试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集,为什么? 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0,而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n (1,2,3,=L n ),试证()f x 可积分,并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列,若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数,+∞
试卷一: 一、单项选择题(3分×5=15分) 1、1、下列各式正确的是( ) (A )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (B )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; (C )1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; (D )1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的是( ) (A )=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B )可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D )波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) (A )若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 (C ){}inf ()n n f x 是可测函数;(D )若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的是( ) (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 (C ))(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体,则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集,如果对任一点集T 都有
实变函数试题库及参考答案(4) 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) )(b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.(填“一定”“不一定”) 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1.设(){},001E x x =≤≤,则( ) A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2.设()f x ,()g x 是E 上的可测函数,则( ) A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3.下列集合关系成立的是() A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集,则 ( ) A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
书籍目录: 第一篇实变函数 第一章集合 1 集合的表示 2 集合的运算 3 对等与基数 4 可数集合 5 不可数集合 第一章习题 第二章点集 1 度量空间,n维欧氏空间 2 聚点,内点,界点 3 开集,闭集,完备集 4 直线上的开集、闭集及完备集的构造 5 康托尔三分集 第二章习题 第三章测度论 1 外测度 2 可测集 3 可测集类 4 不可测集 .第三章习题 第四章可测函数 1 可测函数及其性质 2 叶果洛夫(EropoB)定理 3 可测函数的构造 4 依测度收敛 第四章习题 第五章积分论 1 黎曼积分的局限性,勒贝格积分简介 2 非负简单函数的勒贝格积分 3 非负可测函数的勒贝格积分 4 一般可测函数的勒贝格积分 5 黎曼积分和勒贝格积分 6 勒贝格积分的几何意义·富比尼(Fubini)定理第五章习题 第六章微分与不定积分 1 维它利(Vitali)定理 2 单调函数的可微性 3 有界变差函数 4 不定积分 5 勒贝格积分的分部积分和变量替换 6 斯蒂尔切斯(Stieltjes)积分 7 L-S测度与积分
第六章习题 第二篇泛函分析 第七章度量空间和赋范线性空间 1 度量空间的进一步例子 2 度量空间中的极限,稠密集,可分空间 3 连续映射” 4 柯西(CaHcLy)点列和完备度量空间 5 度量空间的完备化 6 压缩映射原理及其应用 7 线性空间 8 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间第七章习题 第八章有界线性算子和连续线性泛函 1 有界线性算子和连续线性泛函 2 有界线性算子空间和共轭空间 3 广义函数 第八章习题 第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间 1 内积空间的基本概念 2 投影定理 3 希尔伯特空间中的规范正交系 4 希尔伯特空间上的连续线性泛函 5 自伴算子、酉算子和正常算子 第九章习题 第十章巴拿赫空间中的基本定理 l 泛函延拓定理 2 C[a,b)的共轭空间 3 共轭算子 4 纲定理和一致有界性定理 5 强收敛、弱收敛和一致收敛 6 逆算子定理 7 闭图像定理 第十章习题 第十一章线性算子的谱 1 谱的概念 2 有界线性算子谱的基本性质 3 紧集和全连续算子 4 自伴全连续算子的谱论 5 具对称核的积分方程 第十一章习题 附录一内测度,L测度的另一定义 附录二半序集和佐恩引理 附录三实变函数增补例题
实变函数试题库及参考答案(1) 本科 一、填空题 1.设,A B 为集合,则()\A B B U A B U (用描述集合间关系的符号填写) 2.设A 是B 的子集,则A B (用描述集合间关系的符号填写) 3.如果E 中聚点都属于E ,则称E 是 4.有限个开集的交是 5.设1E 、2E 是可测集,则()12m E E U 12mE mE +(用描述集合间关系的符号填写) 6.设n E ??是可数集,则*m E 0 7.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,如果1a ?∈?,()E x f x a ??≥??是 ,则称()f x 在E 上可测 8.可测函数列的上极限也是 函数 9.设()()n f x f x ?,()()n g x g x ?,则()()n n f x g x +? 10.设()f x 在E 上L 可积,则()f x 在E 上 二、选择题 1.下列集合关系成立的是( ) 2.若n R E ?是开集,则( ) 3.设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数,则( ) 三、多项选择题(每题至少有两个以上的正确答案) 1.设[]{}0,1E =中无理数,则( ) A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2.设n E ??是无限集,则( ) A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥(a 为自然数集的基数) 3.设()f x 是E 上的可测函数,则( ) A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限
4.设()f x 是[],a b 上的有界函数,且黎曼可积,则( ) A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. ( ) 2. 可数个可测集的并是可测集. ( ) 3. 相等的集合是对等的. ( ) 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. ( ) 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合,但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点,聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系? 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系? 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??,其中E 为[]0,1中有理数集,求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数,(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ,求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1.证明集合等式:(\)A B B A B =U U 2.设E 是[0,1]中的无理数集,则E 是可测集,且1mE = 3.设(),()f x g x 是E 上的可测函数,则[|()()]E x f x g x >是可测集 4.设()f x 是E 上的可测函数,则对任何常数0a >,有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5.设()f x 是E 上的L -可积函数,{}n E 是E 的一列可测子集,且lim 0n n mE →∞ =,则 实变函数试题库及参考答案(1) 本科 一、填空题
实变函数期末复习指导(文本) 实变函数题型比例 单选题:5题,每题4分,共20分。 填空题:5题,每题4分,共20分。 计算与证明题:4题,每题15分,共60分。 第1章主要内容 本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础,包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有: 一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念,以及集合的运算律. 关于概念的学习,应该注意概念中的条件是充分必要的,比如,B A ?当且仅当A x ∈时必有B x ∈.有时也利用它的等价形式:B A ?当且仅当B x ∈时必有A x ∈.在证明两个集合包含关系时,这两种证明方式可视具体问题而选择其一. 还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握.n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集 合中的“某一个”(即存在某个n A ,使n A x ∈),而n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集合中 的“每一个”(即对每个n A ,都有n A x ∈).要熟练地进行集合间的各种运算,这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习. 二、映射是数学中一个基本概念,要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系. 对集合基数部分的学习,应注意论证两个集合对等技能的训练,其方法主要有下面三种:一是依对等的定义直接构造两集间的双射;二是利用对等的传递性,如欲证C A ~,已知B A ~,此时只须证C B ~;三是应用有关定理,特别是伯恩斯坦定理,它是判断两个集合对等的常用的有效方法. 三、可列集是无限集中最重要的一类集合,它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质,有理数集是可列的并且在直线上处处稠密,这是有理数集在应用中的两条重要性质. 四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子,知道基数无最大者. 第2章主要内容 本章讨论的点集理论,不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础,也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.
1. 证明:()B A A B -=U 的充要条件就是A B ?、 证明:若()B A A B -=U ,则()A B A A B ?-?U ,故A B ?成立、 反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?U U ,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-U ,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-U 、总有()x B A A ∈-U 、故 ()B B A A ?-U ,从而有()B A A B -=U 。 证毕 2. 证明c A B A B -=I 、 证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?I 、 另一方面,c x A B ?∈I ,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-I 、 综合上两个包含式得c A B A B -=I 、 证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、 证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I 、 证:若x A λλ∈∧ ∈I ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(? λ∈∧)成立 知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈I ,这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I 、 定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 证:若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ,则有' λ∈∧,使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U 、 反过来,若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U 、 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ,则有' λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U 、 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U 、 综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧ =I U 、 证:() c x A λλ∈∧ ?∈I ,则x A λλ∈∧ ?I ,故存在' λ∈∧ ,'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ??U 从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧ ?I U 、 反过来,若c x A λλ∈∧ ∈U ,则' λ?∈∧使'c x A λ?,故'x A λ?, x A λλ∈∧ ∴?I ,从而()c x A λλ∈∧ ∈I ()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ∴?I U 、 证毕 定理9:若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升,即1n n A A +?(相应地1n n A A +?)对一切n 都成立,则 1 lim n n n A ∞ →∞ ==U (相应地)1 lim n n n A ∞ →∞ ==I 、 证明:若1n n A A +?对n N ?∈成立,则i m i m A A ∞ ==I 、故从定理8知
实变函数论课后答案第三版
1. 证明:()B A A B -=U 的充要条件是A B ?. 证明:若()B A A B -=U ,则()A B A A B ?-?U ,故A B ?成立. 反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?U U ,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-U ,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-U .总有()x B A A ∈-U .故 ()B B A A ?-U ,从而有()B A A B -=U 。 证毕 2. 证明c A B A B -=I . 证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?I . 另一方面,c x A B ?∈I ,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-I . 综合上两个包含式得c A B A B -=I . 证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式和定理9. 证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I . 证:若x A λλ∈∧ ∈I ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(?λ∈∧) 成立 知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈I ,这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I . 定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U . 证:若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ,则有'λ∈∧,使 ' ' ()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U . 反过来,若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U . 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ,则有'λ∈∧使' ' ' ()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U . 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U .
α α q α 2005 级 实 变 函数期末试题 B 卷 答案 一. 判断题(对的在括号内打√,错的打×)(每小题 3 分,共 18 分。) 1. 如果 R n 中可测集 E 的基数为 c ,则 mE > 0 。( × ) 2.任意个开集的并集还是开集。( √ ) 3. E ? R n ,则一定存在可测集G ,使 E ? G 并且 m * E = mG 。( √ ) 4.狄利克雷函数 D ( x ) 在[0,1]上是几乎处处连续的。( × ) 5. R n 上的非负函数总是积分确定的。( × ) 6.每个可测函数都可以表示成一列简单函数的极限。( √ ) 二.填空题(每题 3 分,共 15 分。) 1.如果 M = μ ,则 M 的幂集的基数是( 2μ )。 2.若集合 E 可以表示为可数个闭集的并集,则 E 称为( F σ 型 )集。 3.若 A , B 是 R n 中的可测集,且 A ∩ B = ? ,T 是 R n 中任一集合,则 m * (T ∩ A ) + m * (T ∩ B ) = ( m *T )。 4.如果 mE < +∞ ,f ( x ) 在 E 上有界,则 f ( x ) 在 E 上可积的充分必要条件是( f ( x ) 在 E 上可测 )。 ? + ? n ? 5.设 A 1 1 ( 1) = ?1 + , 3 + ? , (n = 1, 2, ) ,则 lim A = ( (1, 3) )。 n ? n 2 ? n n →∞ 三.(10 分)证明: E ? ∩ A α = ∪ (E ? A α ) 。 α∈I α∈I 证明:若 x ∈ E ? ∩ A α ,则 x ∈ E ,且存在α0 ∈ I ,使 x ∈/ α∈I 以 x ∈ ∪ (E ? A α ) 。 α∈I A ,故 x ∈ E ? A ,所 0 0 反之,若 x ∈ ∪ (E ? A α ) ,则存在α0 ∈ I ,使 x ∈ E ? A α0 ,从而 x ∈ E ,且 α∈I x ∈/ A 0 ,于是 x ∈ E 但 x ∈/ ∩ A α ,所以 x ∈ E ? ∩ A α 。 α∈I 综上可知 E ? ∩ A α = ∪ (E ? A α ) 。 α∈I α∈I α∈I 四.(第一小题 5 分,第二小题 8 分,共 13 分。) 设{E n } 是 R 中的可测集列,证明:
《实变函数》期末考试试题汇编 目录 《实变函数》期末考试模拟试题(一) (2) 《实变函数》期末考试模拟试题(二) (7) 《实变函数》期末考试模拟试题(三) (13) 《实变函数》期末考试模拟试题(四) (18) 《实变函数》期末考试模拟试题(五) (27) 《实变函数》期末考试模拟试题(六) (30) 《实变函数》期末考试模拟试题(七) (32) 《实变函数》期末考试模拟试题(八) (36) 《实变函数》期末考试模拟试题(九) (41) 《实变函数》期末考试模拟试题(十) (47) 《实变函数》期末考试题(一) (57) 《实变函数》期末考试题(二) (63)
《实变函数》期末考试模拟试题(一) (含解答) 一、选择题(单选题) 1、下列集合关系成立的是( A ) (A )(\)A B B A B ?=? (B )(\)A B B A ?= (C )(\)B A A A ?? (D )(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集,则( B ) (A )E E '? (B )E 的内部E = (C )E E = (D )E E '= 3、设P 是康托集,则( C ) (A )P 是可数集 (B )P 是开集 (C )0mP = (D )1mP = 4、设E 是1R 中的可测集,()x ?是E 上的简单函数,则( D ) (A )()x ?是E 上的连续函数 (B )()x ?是E 上的单调函数 (C )()x ?在E 上一定不L 可积 (D )()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集,()f x 为E 上的可测函数,若()d 0E f x x =?,则( A ) (A )在E 上,()f z 不一定恒为零 (B )在E 上,()0f z ≥ (C )在E 上,()0f z ≡ (D )在E 上,()0f z ≠ 二、多项选择题(每题至少有两个或两个以上的正确答案) 1、设E 是[0,1]中的无理点全体,则(C 、D ) (A )E 是可数集 (B )E 是闭集 (C )E 中的每一点都是聚点 (D )0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点,则( B 、D ) (A )* m E 可以等于零 (B )*0m E > (C )E 可能是可数集 (D )E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集,则E 的特征函数()E X x 是 (A 、B 、C ) (A )[,]a b 上的简单函数 (B )[,]a b 上的可测函数 (C )E 上的连续函数 (D )[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积,则( B 、D )
第一章习题 2、(ii) ()1 1 1n n n n n n n A B A B ∞∞∞ ===-?- 证明:对于1 1 ,n n n n x A B ∞∞ ==?∈- 11 n n n n x A x B ∞∞ ==?∈? 且 001,1,n n n x A n x B ??≥∈?≥?且对于 0001,n n n x A B ??≥∈- ()1n n n x A B ∞ =?∈- 22、具体构造[]0,1与()0,1之间的一个完全的一一映射. 解:记()0,1中的有理数点集为Q ;()0,1中的无理数点集为M ()0,1Q M = ;[]{}0,10,1Q M = ,作映射 12132,,0,1,..........n n x M x x r r r r r r +?∈→→→→→ 所以[]()0,10,1与等价 29、求证:n R 中任一集合的导集是闭集. 证明:若()E ''=Φ,则E '为闭集,否则 要证明E '为闭集()E E '''?? ()x E x ''?∈?为E '的聚点(){}{}0,,V x x E εε'??>-≠Φ (){}{}1,x V x x E ε'??∈- ()(){}11,x V x x ε?∈- ()() ()110,,,2V x V x x E δδε??>?' ?∈使得 (){}{}11110,,V x x E δδ??>-≠Φ 10,δ??>()11,V x δ中含有E 的无穷多个点 ()1,V x δ?也中含有E 的无穷多个点 ()()1,,E V x E V x δε?
()x E E E '?∈''' ?? 从而E '为闭集 30、(i)设,A B 是任意的两个集合,若A B ?,则A B ''?. 证明:x A x '?∈?为A 的聚点 (){}{}0,,V x x A εε??>-≠Φ A B ? (){}{}0,,V x x B εε??>-≠Φ ?x 为B 的聚点 ?x B '∈ (ii)若A B A '??,求证:B 是闭集. 根据(i)式可知B A B ''??,则B 是闭集 32、n R 中任一集合的孤立点是至多可数的 证明:先来证明1 R 中的孤立点是至多可数的 记B 为1 R 中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,(){},,m n n m B r r r r Q =∈ 则B 为可数集. 设A 为1R 中的孤立点全体,则对于任意的x A ∈,则存在x 的一个以有理数为端点的邻域 (),x x αβ,使得 (){},x x A x αβ= ` 对于每一个x A ∈,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个A 中的点,故对于A 中不同的两个点对应的邻域(),x x αβ,() ,y y αβ也不同. 令(){},x x D x A α β= ∈ 则A 与D 等价,而D B ?,则D 是至多可数集,从而A 是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集. 33、若A 不可数,则A '也不可数. 证明:假设A '是至多可数集,则设B 为A 的孤立点全体,则B 为至多可数集 因为()A B A A '= ,A A A ''? ,则A A ' 为至多可数集 则A 为至多可数集与已知矛盾. 第二章习题 2、求证:()(){}*inf :,m E m Q E Q Q =?是开集
1. 证明:()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明:若() B A A B -=,则()A B A A B ?-?,故A B ?成立. 反之,若A B ?,则() ()B A A B A B B -?-?,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-.总有() x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-,从而有()B A A B -=。 证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?. 另一方面,c x A B ?∈,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式和定理9. 证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证:若x A λλ∈∧ ∈ ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(?λ∈∧)成立 知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈,这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的(4): ()( )( )A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证:若()x A B λ λλ∈∧ ∈ ,则有'λ∈∧,使 ''()( )( )x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来,若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈ 或者x B λλ∈∧ ∈. 不妨设x A λλ∈∧ ∈,则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = .