浙江师范大学2016-2017学年第一学期《实变函数》期末试卷——A 卷
考试类别:考试(必修)使用学生:数学14级考试时间:90分钟
考试日期:2017/01/11
⋆说明:考生应将全部答案都写在答题纸上,否则作无效处理.
（一）填空题（每空2分,共20分）.1.设A n =¦
(1+
1k
)k
1≤k ≤n ©,则lim n →∞
A n =
,lim n →∞
A n =
.2.设E =¦(x ,y ,z ) x 2
+y 2+z 2<1©⊂R 3,则m (E )=
,∂E =
,E ′=
.
3.设E ⊂R n .根据定义,E 的外测度m ∗(E )=;E 为可测集是指
;非负可测函数f (x )在E 上
的Lebesgue 积分为.
4.设有集合列
A k
,令B =
∞Y k =1
A k =A 1×A 2×···×A k ×···,若A k =2(∀k ≥1),则
B =
.
5.设m (E )<∞,且f k (x )依测度收敛于0,则lim
k →∞
Z
E
1
1+|f k (x )|
dx =
.
（二）辨析题（以下各论述若正确请证明,若不正确请说明原因.每小题6分,共18分）.
1.黎曼函数为R (x )=
(
1q
,x =
p
q
∈(0,1)∩Q ,其中p ,q ∈N 且(p ,q )=1,
0,x =0,1和x ∈(0,1)\Q ,
则R (x )在[0,1]上可测.
2.函数列f k (x )=χ(0,k )(x )在E =(0,+∞)上几乎处处收敛,“基本上”一致收敛(近一致收敛),且依测度收敛.
3.设E ⊂R n
,则m ∗
(E )=inf ¦
m (G ) G 为R n 中开集,且G ⊃E ©.
（三）简答与计算题（每小题7分,共14分）.
1.请叙述可测函数与连续函数的区别与联系,不必证明.
1
2.计算:lim
k →∞
Z
(0,+∞)
1
(1+x k )k
·x 1k
dx .（四）证明题（注:从以下六题中选四题作答,每题12分,共48分）.
1.若f (x )是可测集E 上的实值函数,证明:f (x )在E 上可测⇐⇒对于R 中的任一开集G ,f −1(G )是可测集.
2.若
f k (x )
在E 上同时依测度收敛于f (x )与g (x ),则f (x )与g (x )几乎处处相等.
3.设f (x )在E 上非负可测,若
Z
E
f (x )dx =0,则f (x )=0,a .e .x ∈E .
4.设
f k (x )
为E 上的可积函数列.若存在E 上可积函数F (x ),使得|f k (x )|≤F (x ),a .e .x ∈E ,则
Z
E lim k →∞
f k (x )dx ≥lim
k →∞
Z
E
f k (x )dx .
5.若 E k
是R n 中递增可测集合列,f (x )是E 上非负可测函数,E =
∞[k =1
E k ,则Z E
f (x )dx =lim
k →∞
Z
E k
f (x )dx .
6.设f (x )和f k (x )(k ≥1)都是R 上可积函数.若Z
R
|f k (x )−f (x )|dx ≤
1
k 2
(k ≥1),则 f k (x ) 在R 上几乎处处收敛于f (x ).
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