实变函数试题库及参考答案（3） 本科
一、填空题
1．设,A B 为集合，则()
\B A
B A A B
2．设A 为无理数集，则A c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数） 3．设n
E ⊂
，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是
4．任意个闭集的交是
5．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1
a ∀∈，()E x a f x
b ⎡⎤≤<⎣⎦是可测，
（a b ≤）则称()f x 在E 上 6．可测函数列的上确界也是
7．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()()n n f x g x ⇒
8．设()()n f x f x ⇒，那么由黎斯定理，(){}
n f x 有子列()k n f x ，使 ..a e 于E 二、选择题
1．下列集合关系成立的是（ ）
A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫=
⎪⎝⎭ B c
c
A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C c
c
A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D c
c c
A A αααα∈Λ∈Λ
⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2．设n R E ⊂，则( )
A E E ⊃
B E E '⊂
C E E '⊂
D
E E =
3．设P 为康托集，则（ ）
A P 是可数集
B 0mP =
C P 是不可数集
D P 是开集 4．下列集合关系成立的是（ ）
A 若A
B ⊂则c c B A ⊂ B 若A B ⊂则c c A B ⊂
C 若A B ⊂则A B B =
D 若A B ⊂则A B B =
三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）
1．设()D x 是狄利克莱函数，即()[][]10,100,1x D x x ⎧⎪=⎨⎪⎩
为中有理数
为中无理数，则（ ）
A ()D x 几乎处处等于1
B ()D x 几乎处处等于0
C ()
D x 是非负可测函数 D ()D x 是L 可积函数
2．设n
E ⊂
，*
0m E =，则（ ）
A E 是可测集
B E 的任何子集是可测集
C E 是可数集
D
E 不一定是可数集
3．设n
E ⊂
，()10E c
x E
x x E
χ∈⎧=⎨
∈⎩，则（ ） A 当E 是可测集时，()E x χ是可测函数 B 当()E x χ是可测函数时，E 是可测集 C 当E 是不可测集时，()E x χ可以是可测函数
D 当()
E x χ是不是可测函数时，E 不一定是可测集
4．设()f x 是(),a b 上的连续函数，则（ ）
A ()f x 在(),a b 上有界
B ()f x 在(),a b 上可测
C ()f x 在(),a b 上L 可积
D ()f x 在(),a b 上不一定L 可积
四、判断题
1. 对等的集合不一定相等. （ ）
2. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是零测集. （ ）
3. 可数个开集的交是开集 （ ）
4. 可测函数不一定是连续函数. （ ）
5. 对等的集合有相同的基数. （ ） 五、定义题
1. 简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.
2. 简述1
R 中开集的结构.
3. 可测集与闭集、
F σ
集有什么关系？
4. 为什么说绝对连续函数几乎处处可微？
六、计算题
1. 设()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪
=⎨
⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦
⎩
，E 为0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦中有理数集，求()0,2f x dx π⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
⎰.
2. 设()()
[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+，求()[]
0,1lim n n f x dx →∞⎰.
七、证明题
1．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有()[|()]a
f x E
mE x f x a e e dx -≥≤⎰
2．设()f x 是E 上的可积函数，{}n E 为E 的一列可测子集，mE <+∞，如果lim n n mE mE →∞
=
则lim ()()n
E E
n f x dx f x dx →∞=⎰⎰
3．证明集合等式：()\(\)(\)A B C A C B C =
4．设n E R ⊂是零测集，则E 的任何子集F 是可测集，且0mF =
5. 证明：1
R 上的实值连续函数()f x 必为1
R 上的可测函数
本科实变函数试题库及参考答案（3）
一、填空题
1.=
2.=
3.开集
4.闭集
5.可测
6.可测函数
7.()()f x g x
8.()()k n f x f x →
二、单选题
1.B
2.A
3.B
4.A
三、多选题
1.BCD
2.ABD
3.AB
4.BD 四、判断题 √√×√√ 五、定义题 1.答：若A
B B *⊂，又B A A *⊂，则A B
2.答: 设G 为1R 中开集，则G 可表示成1R 中至多可数个互不相交的开区间的并.
3.答：设E 是可测集，则0ε∀>，∃闭集F E ⊂，使()\m E F ε<或∃ F σ集F E
⊂，
使
()\0
m E F =.
4.答：因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微. 六、解答题
1.解：因为0mE =，所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是
()0,0,22cos f x dx xdx ππ
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
=⎰⎰
而cos x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式 []
()2200
0,1cos cos sin |1xdx R xdx x π
π
===⎰⎰
因此
()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
=⎰
2.解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =
又()()[]2222
cos 1
,0,1,1,2,1122
n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =
≤≤=
∈=++
