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2.2.2椭圆的简单几何性质第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用（1）【教学目标】知识目标：进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系； 能力目标：能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题；思想目标：通过弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养． 【教学过程】一、自主学习知识检测1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系；点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1．2．直线与椭圆的位置关系（1）直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得一个关于x 的一元二次方程．(2)直线与椭圆相交1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，其中x 1，x 2(y 1，y 2)是上述一元二次方程的两根． (3)弦的中点P 0(x 0，y 0)与弦所在直线的斜率k 的关系．(点差法)设弦AB 的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1x 22a 2＋y22b 2＝1⇒x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即2x 0(x 1－x 2)a 2＋2y 0k (x 1－x 2)b 2＝0，即x 0a 2＋y 0k b 2＝0.3.自主检测1．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上 答案：C2．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法确定答案：C3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫23，53B.⎝⎛⎭⎫43，73C.⎝⎛⎭⎫－23，13D.⎝⎛⎭⎫－132，－172 答案：C 二、名师引路已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1．试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点．【解】 直线l 的方程与椭圆C 的方程联立， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y ， 得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0．①方程①的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144． (1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程①有两个不同的实数解，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不同的公共点． (2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解． 这时直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． 变式1：直线l ：y ＝66x ＋2与椭圆2x 2＋3y 2＝6的位置关系为________(填相交、相切或相离)． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝66x ＋2，2x 2＋3y 2＝6，得2x 2＋3⎝⎛⎭⎫66x ＋22＝6， 即52x 2＋26x ＋6＝0． Δ＝(26)2－4×52×6＝24－60＝－36<0．因此直线与椭圆没有公共点． 答案：相离已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 【解】 (1)由已知可得直线l 的方程为 y －2＝12(x －4)，即y ＝12x ．由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18．于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（x 1－x 2）2＋14（x 1－x 2）2＝52×62＝310． 所以线段AB 的长度为310．(2)法一：易知直线l 的斜率存在，不妨设为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4），消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0． 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)， 所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0．这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4．法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1）36（y 2＋y 1）， 由于P (4，2)是AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4．变式2： 已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝____________．解析：因为直线l 经过椭圆的右焦点F 1(1，0)，且斜率为2，则直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0x 25＋y 24＝1，得3x 2－5x ＝0．解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝－2，⎩⎨⎧x 2＝53y 2＝43．|AB |＝259＋⎝⎛⎭⎫43＋22＝553． 答案：553已知椭圆4x 2＋y 2＝1，直线y ＝x ＋m ，设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程．【解】 可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2，将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1， 消y 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0． 又|AB |＝2510－8m 2，Δ＝20－16m 2＞0，－52＜m ＜52， 所以S △AOB ＝12|AB |·d＝12×25 10－8m 2·|m |2＝25⎝⎛⎭⎫54－m 2m 2 ≤25·⎝⎛⎭⎫54－m 2＋m 22＝14． 当且仅当“54－m 2＝m 2”时，上式取“＝”．此时m ＝±104∈⎝⎛⎭⎫－52，52． 所以△AOB 面积的最大值为14，面积最大时直线方程为x －y ±104＝0． 变式3：如图所示，点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，P A ⊥PF ．(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解：(1)由已知可得点A (－6，0)，F (4，0)，B (6，0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )． 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，（x ＋6）（x －4）＋y 2＝0.则2x 2＋9x －18＝0, 解得x ＝32或x ＝－6．由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝523．所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫32，523． (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0． 设点M 的坐标是(m ，0)， 则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2， 所以点M (2，0)．设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有 d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49(x －92)2＋15， 由于－6≤x ≤6．所以当x ＝92时，d 取最小值15．三、课后练习1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B ．直线y ＝kx －k ＋1恒过定点(1，1)． 又因为129＋124＜1，所以点(1，1)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆相交．故选B ．2．过椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( )A ．5B ．6C ．9017D ．7 解析：选C ．椭圆的右焦点为(4，0)，直线的斜率为k ＝1， 所以直线AB 的方程为y ＝x －4， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4，x 225＋y 29＝1，得9x 2＋25(x －4)2＝225，由弦长公式易求|AB |＝9017． 3．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2，1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．解析：设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得，y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0． 答案：x ＋2y －4＝04．已知直线l ：y ＝x －12，椭圆C ：x 2＋4y 2＝4．(1)求证：直线l 与椭圆C 有两个交点； (2)求连接这两个公共点所成线段的长． 解：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝4消去y 得5x 2－4x －3＝0．所以Δ＝(－4)2－4×5×(－3)＝76＞0， 所以直线l 与椭圆C 有两个交点． (2)设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知x 1＋x 2＝45，x 1·x 2＝－35．所以|AB |＝（y 2－y 1）2＋（x 2－x 1）2 ＝2·（x 2－x 1）2＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2·⎝⎛⎭⎫452－4×⎝⎛⎭⎫－35＝2538． 2．已知椭圆x 216＋y 24＝1，求过点Q (8，2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．解：设椭圆中弦的两端点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，弦AB 的中点为R (x ，y )，则2x ＝x 1＋x 2，2y ＝y 1＋y 2．因为A 、B 两点均在椭圆上，故有x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16．两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)． 因为x 1≠x 2，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2）＝－x 4y ．由k AB ＝k RQ 得，－x 4y ＝y －2x －8，得所求轨迹方程为(x －4)2＋4(y －1)2＝20⎝⎛⎭⎫0<x ≤165．四、课堂小结知识结构深化拓展1．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y 得一个一元二次方程．位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ＞0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ＜02．设而不求思想解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求的方法，解题步骤为 (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，进而求解．。
§2.2.1椭圆的标准方程（第一课时）一、教学目标1.知识目标：(1)通过建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程.(2)能用标准方程判定曲线是否是椭圆.(3)在已有经验的基础上，进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想.2.能力目标:让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，通过自我探究、操作提高学生实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力。
3.情感目标:在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流合作和评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。
实现教学相长的教学情境，在问题解决过程中，培养学生团结协作和锲而不舍的钻研精神，感悟数学的图形美和对称美。
二、教学重点、难点1.教学重点:(1)感受建立曲线方程的基本步骤；(2)掌握椭圆的标准方程及其应用.2.教学难点：椭圆标准方程的建立和推导三、教具多媒体课件、实物投影仪四、内容分析本节课的内容主要包括：椭圆标准方程的推导以及两个例题。
其中例1是已知了基本量a、c，求椭圆的标准方程问题，难度很小；例2实质上是利用相关点法求曲线方程，然后再根据方程判断曲线的类型问题。
这种编排办法与老教材相比有很大变化，但再看看课后的练习题与习题，基本与老教材相似，并没多大改变。
考虑到这是学习椭圆乃至整个圆锥曲线问题的第一节课和学生课后练习完成的实际困难，参照教参的课时安排（教参要求：椭圆约4课时，这样两节内容各安排2课时），把例2移至下一课时，同时将例1作了必要的扩充，且在例1之前加入了由标准方程方程求基本量等相关问题，使学生把圆锥曲线这块内容所学的第一个标准方程掌握牢靠，从而为后面进一步学习打下坚实的基础。
新教材将几类圆锥曲线的定义在前面一节课一起研究了，这种编排使学生对几类定义容易混淆，且对每种定义的理解都不容易做到深刻。
故在本节课的开始，带领学生详细复习椭圆的定义，对定义理解时的一些要点和注意点再作进一步强调是非常有必要的。
