2.2.1椭圆及其标准方程(1)

2.2 椭圆2．2.1椭圆及其标准方程[提出问题]取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？提示：线段F1F2.问题2：若绳长大于两点F1，F2的距离，画出的轨迹还是线段吗？其图形又是什么？提示：不是线段，椭圆．[导入新知]椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，即|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)．[注意]椭圆的定义要特别注意：(1)若2a＞2c，则点P的轨迹是椭圆(点P是动点)；(2)若2a＝2c，则点P的轨迹是线段F1F2；(3)若2a＜2c，则点P的轨迹不表示任何图形．[提出问题]在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)．问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则点P的轨迹方程是什么？提示：轨迹方程为x225＋y29＝1.问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则点P的轨迹方程是什么？提示：y225＋x29＝1.[导入新知][注意]1．标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴．2．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x，y的平方和，并且分母不相等．＞b＞0)焦点在x轴上，椭圆x2b2轴上，分母下谁大焦点就在谁的坐标轴上，这叫“大小定焦点”．[例1]当3＜k＜9时，指出方程x9－k＋yk－3＝1表示的曲线．[解]∵3＜k＜9，∴9－k＞0，k－3＞0.(1)当9－k＞k－3，即3＜k＜6时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；(2)当9－k＝k－3，即k＝6时，方程表示圆x2＋y2＝3；(3)当9－k＜k－3，即6＜k＜9时，方程表示焦点在y轴上的椭圆．[类题通法]根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y 轴上．[活学活用]已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于________．解析：由题意得m－2＞10－m＞0，解得6＜m＜10.又a2＝m－2，b2＝10－m，则c2＝a2－b2＝2m－12＝4，解得m＝8.答案：8[例2](1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．[解](1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 将点(5,0)代入上式解得a ＝5，又c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1. (2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1. [类题通法]确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点． 解：(1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2＜b 2，与题设中a ＞b ＞0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. 法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎨⎧ 4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同， 所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.[例3] 已知P 为椭圆x 12＋y 3＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．[解] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即36＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.①由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝43，即48＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.②由①②得|PF 1|·|PF 2|＝4.∴S 12V F PF ＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝ 3. [类题通法](1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2，称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．[活学活用]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2是它的焦点．过F 1的直线AB 与椭圆交于A ，B 两点，求△ABF 2的周长．解：∵|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，则△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ，∴△ABF 2的周长为4a .2.定义法求解轨迹方程定义法是求轨迹方程的一种常用方法．求解时，若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．下面利用椭圆的定义求轨迹方程．1．求三角形顶点的轨迹方程[例] 已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．[解] 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4，0)，c ＝4.由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，|BC |＝8，得|AB |＋|AC |＝10.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，且y ≠0)，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)． [类题通法]利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程．这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，要注意检验．[活学活用]1．若本题中“且△ABC 周长等于18”变为“且△ABC 周长等于24”，试求此时顶点A 的轨迹方程．解：由题可知，此时2a ＝24－8＝16，则a ＝8，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝48，64482．求动圆圆心的轨迹方程[例] 已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8＞|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1. [类题通法]巧妙地应用几何知识(两圆内切时圆心距与半径之间的关系)，寻求到|MA |＋|MB |＝8，而且8＞|AB |＝6，从而判断动点M 的轨迹是椭圆．[活学活用]2．已知动圆M 和定圆C 1：x 2＋(y －3)2＝64相内切，并且外切于定圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝4，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ，圆心M (x ，y )，两定圆圆心C 1(0,3)，C 2(0，－3)，半径r 1＝8，r 2＝2.则|MC 1|＝8－r ，|MC 2|＝r ＋2.故|MC 1|＋|MC 2|＝(8－r )＋(r ＋2)＝10.又|C 1C 2|＝6，则动圆圆心M 的轨迹是椭圆，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 且焦点为C 1(0,3)，C 2(0，－3)，2a ＝10，即a ＝5，c ＝3，则b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.2516。

鹿邑三高导学案高二年级数学学科 编写人：毛新正审核人：刘雪纯备课组长签字：课题：§2.1.1椭圆及其标准方程(1) 课时：2 本期总课时：9I 、（1）课标考纲解读：理解并掌握椭圆的定义。

（2）状元学习方案：自学与小组讨论相结合。

II 、1.学习目标（1）理解椭圆的定义.（2）掌握求椭圆的方程的方法；2.学习重点：掌握椭圆的定义及其标准方程。

学习难点：椭圆的标准方程的推导与化简。

3.学法指导：通过自学讨论与课堂展示相结合。

4.知识链接：求曲线方程的方法。

III 、学习过程[教材助读]:问题1：根据课本上椭圆的定义，制作道具，自画椭圆问题2：写出椭圆上的点满足的关系式 ，若2a =21F F ，动点的轨迹是 ，若2a 〈21F F ，动点的轨迹是 ；问题3：这两个定点叫做椭圆的_______。

两个定点的距离用______表示。

问题4：指出图中的哪些线段的长度是a___________________。

问题5：建立坐标系后，利用问题2的关系式，阅读教材理解推导椭圆方程过程问题6：椭圆的标准方程是：___________________________问题7：上面的a,b,c 三个量满足的关系式__________________________[预习自测]1、设P 是椭圆1162522=+yx上的一点，21,F F 是椭圆的两个焦点，则=+21PF PF ( ) A 、10 B 、8 C 、5 D 、42、 椭圆的顶点为（-5，0），（5，0）和（0，-4），（0，4），则其方程为_________________________3、 椭圆221259xy+=的焦点坐标____________________________。

4椭圆22xy110036+=上一点P 到左焦点的距离是6.5，则到右焦点的距离是_____5、已知椭圆12222=+ya x 的一个焦点为（2,0），则椭圆的方程为( ) A 、12422=+yxB 、12322=+yxC 、1222=+yx D 、12622=+yx[合作探究 展示点评]探究一：椭圆的基本量根据下列方程，分别求出椭圆中 a,b,c 的值 1．椭圆2222146x y +=， 则a= ,b= ,c= 。

《2.2.1-椭圆及其标准方程》教学设计一、教学内容解析教学内容属概念性知识，是通过描述椭圆形成过程进行定义的作为椭圆本质属性的揭示和椭圆方程建立的基石，理应作为本堂课的教学重点同时，椭圆的标准方程作为今后研究椭圆性质的根本依据，自然成为本节课的另一教学重点学生对椭圆和方程即数形结合思想的理解，椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点圆锥曲线是平面解析几何研究的主要对象圆锥曲线的有关知识不仅在生产、日常生活和科学技术中有着广泛的应用，而且是今后进一步数学的基础教科书以椭圆为学习圆锥曲线的开始和重点，可见本节内容所处的重要地位通过本节学习，学生一方面认识到一般椭圆与圆的区别与联系，另一方面也为后面利用方程研究椭圆的几何性质以及为学生类比椭圆的研究过程和方法，学习双曲线、抛物线奠定了基础学习过程启发学生能够发现问题和提出问题，善于思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力二、教学目标设置：1．知识与技能目标(1)学生能掌握椭圆的定义焦点，焦距的概念．(2)学生能推导并掌握椭圆的标准方程．(3)学生在学习过程中进一步感受曲线方程的概念，体会建立曲线方程的基本方法，运用数形结合的数学思想方法解决问题．2．过程与方法目标：(1)学生通过经历椭圆形成的情境感知椭圆的定义并亲自参与归纳．培养学生发现规律、认识规律的能力．(2)学生类比圆的方程的推导过程尝试推导椭圆标准方程，培养学生利用已知方法解决实际问题的能力．(3)在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等价转化等数学思想方法．3．情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的获得让学生感知数学知识与实际生活的密切联系培养学生探索数学知识的兴趣并感受数学美的熏陶．（2）通过标准方程的推导培养学生观察,运算能力和求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”．（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识．三、学生学情分析1．能力分析①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，②对含有两个根式方程的化简能力薄弱．2．认知分析①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，②学生已经掌握直线和圆的方程,对曲线的方程的概念有一定的了解，3．情感分析学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究．四、教学策略分析教学中通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“创设情境——总结概括——启发引导——探究完善——实际应用”的过程，发现新的知识，又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质．课堂教学中创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：1．引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义．2．探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性．这两种方法是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性．在教学中适当利用多媒体课件辅助教学，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量．五、教学过程：（一）复习引入1．给学生放视频天宫一号与神八的运行轨迹，说一说你对生活中椭圆的认识．伴随图片展示使同学们感到椭圆就在我们身边．意图：（1）、从学生所关心的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．（2）、使学生更直观、形象地了解后面要学的内容；2．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上同一定点，套上笔拉紧绳子，移动笔尖画出的轨迹是圆．再将这一条定长的细绳的两端固定在画图板上的两定点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆随后动画呈现．同时演示在ppt上。

2.1.1 椭圆及其标准方程（1） （导学案）【学习目标】（1）从具体情境中抽象出椭圆的模型；（2）掌握椭圆的定义，能用坐标法求椭圆的标准方程； （3）掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程的形式。

【重点、难点】重点：椭圆的定义及其标准方程。

难点：椭圆标准方程的推导与化简。

【学习方法】探究、讨论、归纳、类比 一、【基础知识链接】1、曲线可以看作是适合某种条件的点的集合或轨迹。

求曲线方程的一般步骤是： → → → → 。

其中，建立坐标系一般应遵循 的原则。

2、平面内两点间的距离公式：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则︱AB ︱=二、【新知导学】 探究任务一：椭圆的定义 【教材导读】 预习课本P38的内容，动动手，做教材P38中的“探究”，并完成下列问题：（1）、设笔尖（动点）为M ，两个定点1F ，2F 的距离为2c ，绳长为2a ，当22a c >时，动点M 的轨迹是 ；当22a c =时，动点M 的轨迹是 ；当22a c <时，动点M 的轨迹是 。

（2）、椭圆的定义：把平面内动点M 与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（2a大于 ）的点的轨迹叫做 . 这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点的距离（2c ）叫做 .探究任务二：椭圆的标准方程【教材导读】 预习课本P38至P39的内容，并完成下列问题（1）、观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是 对称图形，又是 对称图形。

（2）、怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？①、建系；以 为x 轴， 为y 轴，建立平面直角坐标系，则1F ，2F 的坐标分别为：. ②、设点并写出点集：设M （ ， ）为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知：③、列方程：④、化简方程得：⑤、为使上述方程简单并具有对称美，引入字母 ，令 = a 2 - c 2，则方程可化为（3）、类似的，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 ： ，其中焦点1F ，2F 的坐标为： .（4）点的位置？试一试：根据下列椭圆方程，写出,,a b c 的值，并指出焦点的坐标： （1）221169y x +=； （2） 2212516y x +=； （1）a = ；b = ；c = （2）a = ；b = ；c = 焦点坐标为： 焦点坐标为： 待课堂上与老师和同学探究解决。

P F 2F 1课题：2.2.1椭圆及其标准方程（1） 第 课时 总序第 个教案课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日教学目标：◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．◆ 过程与方法目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量22b a c =-的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。

◆ 情感、态度与价值观目标会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．批 注教学重点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题。

教学难点：理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。

教学用具： 多媒体，三角板 教学方法： 推导，分析教学过程： 一、课前准备（预习教材P 38~ P 40）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学 ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b ac =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,15a c ==，焦点在y 轴上；⑶10,25a b c +==．变式：方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．彗星太阳A ．23B ．6C ．43D ．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升 ※ 学习小结 1. 椭圆的定义： 2. 椭圆的标准方程：※ 知识拓展1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）． A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）．A ．4B ．14C ．12D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是 ．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式2222(3)(3)10x y x y ++++-=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．课后作业1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点()3,26P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；⑶10,4a c a c+=-=．2. 椭圆2214x yn+=的焦距为2，求n的值．教学后记：。

2.2.1椭圆及其标准方程（第一课时）厦门双十中学梁莹莹教学目标：1．知识与技能（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程；（2）能根据已知条件求椭圆的标准方程；2．过程与方法（1）让学生经历椭圆概念的形成过程，培养学生动手能力和合作学习能力，锻炼学生观察分析和归纳概括能力；（2）通过椭圆标准方程的推导过程，使学生进一步理解曲线与方程的概念，体会用建立曲线方程的基本方法——坐标法，渗透数形结合思想，培养计算能力。

（3）在求解椭圆的标准方程的过程，使学生掌握待定系数法，并渗透分类讨论思想。

3．情感、态度和价值观（1）亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美（对称美、简洁美）的熏陶；（2）通过主动探索，合作交流，体会数学的理性和严谨；（3）通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质和锲而不舍的钻研精神，养成扎实严谨的科学态度。

教学重点：椭圆的定义及其标准方程教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简教学方法：引导探究法教学准备：PPT，几何画板，Flash，画椭圆工具（绘图板、图钉、绳子、笔）教学过程：一、创设情境，引入课题几何画板演示一些天体运行的轨迹图，并提出问题——这些天体运行的轨迹是什么？学生经过观察，很直观地看出是椭圆。

问：你能不能列举生活中椭圆的例子？从而引出课题[设计意图]激发学习兴趣，了解生活中有椭圆，说明研究椭圆的必要性。

二、实验探究，形成概念1、取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图版的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是什么？（回顾圆定义）2、如果把细绳的两端拉开一段距离，将圆心分开变成两个，绳子两端固定在这两个定点上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线。

学生活动：拿出事先准备的学具，动手合作操作，画出椭圆。

教师活动：用教具画椭圆。

3、在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？4、你能自己归纳椭圆的定义吗？活动：学生观察分析、归纳定义，老师补充概括，给出椭圆定义，并引导学生注意对关键条件。

2.2.1椭圆及其标准方程（1）教学目标:重点: 椭圆的定义及椭圆标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程.难点：椭圆标准方程的建立和推导．知识点：椭圆定义及标准方程.能力点：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,提高学生运用坐标法解决几何问题的能力懂得欣赏数学的“简洁美”，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法.教育点：通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力，培养学生探索数学的兴趣，激发学生的学习热情.自主探究点：1.通过教学情境中具体的学习活动（如动手实验、自主探究、合作交流等），引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成椭圆的定义；2.探讨椭圆标准方程的最简形式，并通过对解决问题过程的反思，获得求曲线方程的一般方法.考试点：椭圆定义及标准方程，利用其解决有关的椭圆问题易错易混点：在用椭圆标准方程时，学生一般在“焦点的位置”上容易出错.拓展点：如何利用坐标法探讨其它圆锥曲线的方程.教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课【创设情景】材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆.材料2：20XX 年6月16日下午18时，“神州九号”载人飞船顺利升空，实现多人多天飞行，标志着我国航天事业又上了一个新台阶，请问：“神州九号”飞船的运行轨道是什么？多媒体展示“神州九号”运行轨道图片．【设计意图】利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆.通过“神州九号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想. 思考1:自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?思考2:在圆的学习中我们知道,平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？【设计意图】对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆． 学生分组做试验,教师同时做好指导:按照课本上介绍的方法，学生用一块纸板；两个图钉，一根无弹性的细绳试画椭圆，让学生自己动手画，同桌相互切磋，探讨研究.（提醒学生：作图过程中注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件）思考:点M 运动时，12,F F 移动了吗？点M 按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？1.在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？3.当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程， 师生共同总结规律：当1212||||||MF MF F F +> 时,M 点的轨迹为椭圆；当1212||||||MF MF F F +=时,M 点的轨迹为线段1F 2F ； 当1212||||||MF MF F F +<时,M 点的轨迹不存在． 【设计意图】在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．二、探究新知 （一）归纳定义思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？设椭圆上任一点为M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+【设计意图】通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.（二）椭圆标准方程的推导复习提问求曲线方程的一般步骤：（教师提问，针对对于学生回答情况做一总结） （1）建系、设点;（2）写出点的集合;（3）列式;（4）化简;（5）证明. 思考：如何建系，才能使求出的方程最简呢？由学生自主提出建立坐标系的不同方法，教师根据学生提出的“建系”方式，把学生分成若干组，分别按不同的建系的方法推导方程，进行比较。

2.2.1椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计设计者：吴夏松一、内容及其解析圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用，在高考中也是一个考点。

本节是选修2-1中《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义及其标准方程。

它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。

第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。

前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。

第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。

而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。

第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。

二、目标及其解析1. 知识与技能目标：掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；理解椭圆标准方程的推导；能应用椭圆的定义及其相关知识解决一些简单问题。

2. 过程与方法目标：通过让学生积极参与、亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程；体验坐标法在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想。

[来通过主动探究、合作学习，相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，培养学生自主学习的能力。

三、学生情况分析1.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的相关知识，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。

2.在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生在探究学习过程中受阻，教师要适时加以点拨指导。

课题：2.2.1 椭圆及其标准方程（第一课时）【课标要求】1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．【考纲要求】（1）掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。

（2）了解圆锥曲线的初步应用。

编写者试图通过本节教材，使学生系统地掌握坐标法并进一步激活数形结合的数学思想。

【教学目标叙写】根据学生在日常生活中的经验积累，对椭圆形状有了初步的认识。

通过典故的课堂引入及从圆和相关的图片引入着手学生亲自体验画椭圆，激发学习的兴趣和研究椭圆定义的求知欲，去发现椭圆定义的本质，探索图形变化规律，掌握椭圆的概念。

从而推导出椭圆标准方程并会利用待定系数法求椭圆标准方程。

【使用说明与学法指导】1.阅读探究课本P38-P40的基础知识，自主高效预习；2.阅读导学案预习案部分的内容，自主自主完成各项要求；3.结合课本基础知识和例题及预习案，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。

4.本导学案中题号后凡标明A ，B ，C 的只要求相应层次的学生完成即可。

5.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。

【预习案】一. 温故夯基1．圆心为O ，半径为r 的圆上的点M 满足集合P ＝{M||MO|＝r}，其中r>0. 2．求曲线方程的基本方法有：_________，_________，__________ 二．知新益能1．课堂引入：这是一个发生在古希腊的故事：西西里岛的一个岩洞里，被关押的犯人不堪忍受这非人的待遇，他们偷偷聚集在岩洞的最里面，小声议论越狱和暴动的办法。

但是，他们商量好的计划很快就被看守人员掌握了，看守人员提前采取了措施，使商量好的计划无法实行，犯人们开始互相猜疑，认为一定是出了叛徒，但是不管怎么查找，也找不到告密者是谁，这究竟是怎么回事呢？原来，并没有人当叛徒去告密，当然找不到告密者了。

§2.2 椭 圆2．2.1 椭圆的标准方程(一)一、基础过关1． 设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________． 2． 设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为________． 3． “1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m＝1表示椭圆”的______________条件． 4． 已知F 1，F 2是椭圆x 224＋y 249＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1∶PF 2＝4∶3，则三角形PF 1F 2的面积等于________．5． 焦点在坐标轴上，且a 2＝13，c 2＝12的椭圆的标准方程为________________．6． 方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________． 7.已知如图椭圆两焦点为F 1、F 2，且方程为49x 2＋y 2＝1，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为______．8． 求经过两点P 1⎝⎛⎭⎫13，13，P 2⎝⎛⎭⎫0，－12的椭圆的标准方程． 二、能力提升9． 已知两椭圆ax 2＋y 2＝8与9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则a 的值为________．10．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．11．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且PF 1－PF 2＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．12．如图，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，P 点是椭圆上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．三、探究与拓展13．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝22，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持P A＋PB的值不变，求曲线E的方程．答案1． 线段 2． 18 3． 必要不充分 4．24 5． x 213＋y 2＝1或x 2＋y 213＝1 6．0<m <137． 68． 解 方法一 ①当椭圆的焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)， 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，⎝⎛⎭⎫－122b 2＝1， ⇒⎩⎨⎧ a 2＝15，b 2＝14.∵a 2＝15<14＝b 2，∴方程无解． ②当椭圆的焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)， 依题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，⎝⎛⎭⎫－122a 2＝1，⇒⎩⎨⎧ a 2＝14，b 2＝15. 故所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1. 方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0)．依题意，得⎩⎨⎧A ⎝⎛⎭⎫132＋B ⎝⎛⎭⎫132＝1，B ⎝⎛⎭⎫－122＝1， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝5，B ＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 214＝1. 9． 9或917解析 先将9x 2＋25y 2＝100化为标准方程x 21009＋y 24＝1，∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－83，0和⎝⎛⎭⎫83，0， ∴焦距为163，ax 2＋y 2＝8⇒x 28a＋y 28＝1， ①若焦点在x 轴上，则8a>8， ∴0<a <1,28a －8＝163， 解得a ＝917； ②若焦点在y 轴上，则0<8a<8， ∴a >1,28－8a ＝163，解得a ＝9. 综上，a ＝9或a ＝917. 10．411．解 (1)依题意知c ＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1. 所以a 2＝4.因此b 2＝3.从而椭圆方程为y 24＋x 23＝1. (2)由于点P 在椭圆上，所以PF 1＋PF 2＝2a ＝2×2＝4，又PF 1－PF 2＝1，所以PF 1＝52，PF 2＝32， 又F 1F 2＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222·PF 1·PF 2＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322－222×52×32＝35. 即∠F 1PF 2的余弦值等于35. 12．解 由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，∴F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos 60°， ∴4＝(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2－2PF 1·PF 2·cos 60°，∴4＝16－3PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2＝4，∴S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝12×4×32＝ 3. 13．解如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，在Rt △ABC 中， BC ＝AC 2＋AB 2＝322， ∵P A ＋PB ＝CA ＋CB ＝22＋322＝22， 且P A ＋PB >AB ，∴由椭圆定义知，动点P 的轨迹E 为椭圆，且a ＝2，c ＝1，b ＝1.∴所求曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.。