高考数学试题汇编：第7章 直线和圆的方程 第3节 圆的方程

直线、圆的方程一．【课标要求】1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；2．圆与方程回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。

二．【命题走向】直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。

预测 对本讲的考察是：（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程三．【要点精讲】1．倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。

2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。

4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

确定直线方程的形直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。

5．圆的方程圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x 。

【最新整理，下载后即可编辑】第七章 直线和圆的方程1 直线方程和两条直线的位置关系 1、直线l 经过原点和点（1-,1-），则它的倾斜角是（ A ）。

A.4π B.54π C.4π或54π D.4π-2、两平行直线2y x =和25y x =+间的距离是（ B ）A.52C.32D.23、如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ D ）A.1B.13-C.23- D.2-4、两直线20x +=340y +-=的夹角是（）A.030B.060C.090D. 0120 答案：B 解析：2112tan 1k k k k θ-=+5、过点A(3，0)，且平行于直线230x y -=的直线方程是 。

答案：2360x y --=6、点（2，5）关于直线0x y +=的对称点的坐标是 。

答案：（－5，－2） 【典型例题】 【例1】 求满足下列条件的直线l 的方程。

（1） 在y 轴上的截距为3-，且它与两坐标轴围成的三角形面积为6。

（2）与直线240x y -+=的夹角为045，且焦点在x 轴上。

解：（1）设直线的方程为13x ya +=-，由题意得1362a -=，4a ∴=±。

当4a =时，直线l 的方程为143x y+=-即34120x y --=。

当4a =-时，直线l 的方程为143x y+=--即34120x y ++=。

（2）直线240x y -+=交x 轴于点（2,0-），可设l 的方程为(2)y k x =+。

由两直线夹角公式有02tan 4512kk-=+，13k ∴=或3k =-。

∴l 的方程为1(2)3y x =+或3(2)y x =-+，即320x y -+=或360x y ++=。

注意：求直线方程时，可根据题中已知条件适当地选择所求直线的形式，再根据题中其他条件确定方程中的待定系数。

变式1.将直线1y x =+绕它上面一点(沿逆时针方向旋转015，得到的直线方程是。

2012年高考数学分类汇编 直线方程与圆的方程一、选择题1 ．（2012年高考（陕西理））已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则 （ ）A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能2 ．（2012年高考（天津理））设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,则+m n 的取值范围是（ ）A ．[1B ．(,1[1+3,+)-∞-∞C ．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞3 ．（2012年高考（重庆文））设A,B 为直线y x =与圆221x y += 的两个交点,则||AB =（ ）A ．1BCD ．24 ．（2012年高考（陕西文））已知圆22:40C x y x +-=,l 过点(3,0)P 的直线,则 （ ）A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能5 ．（2012年高考（山东文））圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6 ．（2012年高考（辽宁文））将圆x 2+y 2-2x-4y+1=0平分的直线是 （ ）A ．x+y-1=0B ．x+y+3=0C ．x-y+1=0D ．x-y+3=07 ．（2012年高考（湖北文））过点(1,1)P 的直线,将圆形区域{}22(,)|4x y xy +≤分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 （ ）A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=8 ．（2012年高考（广东文））(解析几何)在平面直角坐标系xOy 中,直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点,则弦AB 的长等于（ ）A ．B ．CD ．19 ．（2012年高考（福建文））直线20x +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点,则弦AB的长度等于 （ ）A ．B ．CD ．110 ．（2012年高考（大纲文））正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC上,13AB BF ==动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 （ ）A ．8B ．6C ．4D ．311．（2012年高考（安徽文））若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点,则实数a 取值范围是 （ ）A ．[3,1]--B ．[1,3]-C ．[3,1]-D ．(,3][1,)-∞-+∞12 ．（2012年高考（重庆理））对任意的实数k,直线y=kx+1与圆222=+y x 的位置关系一定是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心二、填空题13．（2012年高考（浙江文））定义:曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l的距离,已知曲线C 1:y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2:x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离,则实数a=_______.14．（2012年高考（天津文））设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A ,与y 轴相交于B ,且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2,O 为坐标原点,则AOB ∆面积的最小值为_________.15．（2012年高考（上海文））若)1,2(=是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示). 16．（2012年高考（山东文））如图,在平面直角坐标系xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P 的位置在(0,0),圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP 的坐标为____.17．（2012年高考（江西文））过直线0x y +-=上点P 作圆221x y +=的两条切线，若两条切线的夹角是60︒,则点P 的坐标是__________。

高考数学最新真题专题解析—直线与圆（全国通用）考向一 求圆的方程【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科）【母题题文】过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；【试题解析】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭； 【命题意图】本题考查圆的一般方程的形式，通过解方程组求一般方程中的系数. 【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为低档题，是历年高考的热点． 常见的命题角度有：（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系. 【得分要点】（1）正确写出圆的一般方程的形式； （2）解方程组；（3）一般式转化为标准式. 考向二 直线与圆的位置关系【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）【母题题文】 若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．【答案】22(1)(1)5x y -++=【试题解析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上， ∴点M 到两点的距离相等且为半径R ， 2222(3)(12)(2)-+-=+-=a a a a R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空题出现，多为低档题，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系. 【得分要点】（1）正确写出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离；（3）由直线与圆的位置关系确定圆心到直线的距离与半径之间的关系. 真题汇总及解析一、单选题1．（湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二下学期期末数学试题）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直求出m 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直, 则()()2310m m ⨯++⨯-=，解得：2m =或3m =-，所以“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的充分不必要条件. 故选：B.2．（2022·四川乐山·高一期末）圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的方程是（ ） A ．22(3)16x y -+= B ．22(3)9x y +-= C ．22(3)16x y +-= D ．22(3)9x y -+= 【答案】D 【解析】【分析】先求得圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程. 【详解】圆222440x y x y +-+-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为3 设点(1,2)-关于直线10x y +-=的对称点为(,)m n ，则211121022n m m n +⎧=⎪⎪-⎨+-⎪+-=⎪⎩ ，解之得30m n =⎧⎨=⎩ 则圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的圆心坐标为(3,0) 则该圆的方程为22(3)9x y -+=， 故选：D ．3．（2022·四川成都·模拟预测（文））直线410mx y m 与圆2225x y +=相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条 A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】C 【解析】 【分析】求出过定点(4,1)32(5,6)，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案. 【详解】直线410mx y m 过定点(4,1)，圆半径为5， 最短弦长为2251732(5,6)，恰有一条，但不是整数；弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去； 最长的弦长为直径10，也恰有1条； 弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条， 故选：C ．4．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B 两点23AB =k ＝（ ） A ．15B ．43C ．12D ．512【答案】B 【解析】 【分析】圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则2211k d k-=+而224312AB d r ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22111k d k -=+，解方程即可求出答案. 【详解】圆()()22:214C x y -+-=的圆心()2,1C ，2r =所以圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则2211k d k -=+而224312AB d r ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22111k d k -=+，解得：43k =. 故选：B.5．（2022·全国·模拟预测）直线:3410l x y +-=被圆22:2440C x y x y +---=所截得的弦长为（ ） A ．25B ．4 C ．3D ．22【答案】A 【解析】 【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可. 【详解】由题意圆心()1,2C ，圆C 的半径为3， 故C 到:3410l x y +-=22381234+-=+，故所求弦长为2223225-=故选：A.6．（2022·全国·模拟预测）若圆()()()22140x a y a -+-=>与单位圆恰有三条公切线，则实数a 的值为（ ） A 3B ．2 C ．2D ．23【答案】C 【解析】 【分析】两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系，圆心距12d r r =+. 【详解】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切22121a +=+，结合0a >解得22a =故选：C.7．（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知点A （2，0），B （0，﹣1），点P 是圆x 2+（y ﹣1）2＝1上任意一点，则PAB △ 面积最大值为（ ） A ．2 B ．45C ．51D ．52【答案】D 【解析】 【分析】结合点到直线距离公式及图形求出圆上点P 到直线AB 距离的最大值，由此可求PAB △面积的最大值.【详解】 由已知=5AB要使PAB △的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大． 由于AB 的方程为21x y+=-1，即x ﹣2y ﹣2＝0， 圆心（0，1）到直线AB 的距离为d 022455--==， 故P 到直线AB 451， 所以PAB △面积的最大值为()114551=522AB d ⎫⨯⨯+⎪⎪⎝⎭故选：D ．8．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆22:(2)(6)4-+-=C x y ，点M 为直线:80l x y -+=上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形CAMB 周长取最小值时，四边形CAMB 的外接圆方程为（ ）A ．22(7)(1)4-+-=x yB ．22(1)(7)4-+-=x yC ．22(7)(1)2-+-=x yD ．22(1)(7)2-+-=x y【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形CAMB 周长最小时点M 的坐标即可求解作答. 【详解】圆22:(2)(6)4-+-=C x y 的圆心(2,6)C ，半径2r =，点C 到直线l 的距离22221(1)d ==+-依题意，CA AM ⊥，四边形CAMB 周长2222||2||42424CA AM CM CA d +=+-+-242(22)48=+-=，当且仅当CM l ⊥时取“=”，此时直线:80CM x y +-=，由8080x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得点(0,8)M ，四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 中点(1,7)222(1)(7)2-+-=x y .故选：D9．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C 过圆221:42100C x y x y ++--=与圆222:(3)(3)6C x y ++-=的公共点．若圆1C ，2C 的公共弦恰好是圆C 的直径，则圆C的面积为（ ） A ．115πB ．265πC 130πD ．1045π【答案】B【解析】 【分析】根据题意求解圆1C ，2C 的公共弦方程，再计算圆2C 中的公共弦长即可得圆C 的直径，进而求得面积即可 【详解】由题，圆1C ，2C 的公共弦为2242100x y x y ++--=和22(3)(3)6x y ++-=的两式相减，化简可得2110x y -+=，又()23,3C -到2110x y -+=的距离()2232311512d --⨯+==+-，故公共弦长为22262655⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故圆C 265C 的面积为265π故选：B10．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知圆:C 22(1)4x y -+=与抛物线2(0)y ax a =>的准线相切，则=a （ ） A ．18B ．14C ．4D ．8【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切可得124a-=，求解即可． 【详解】因为圆:C 22(1)4x y -+=的圆心为(1,0)，半径为2r =抛物线2(0)y ax a =>的准线为14y a=-，所以124a -=，即18a =， 故选：A.二、填空题11．（2022·江苏南京·模拟预测）已知ABC 中，()30A -,，()3,0B ，点C 在直线3yx 上，ABC 的外接圆圆心为()0,4E ，则直线EC 的方程为______． 【答案】344y x =+ 【解析】 【分析】圆心E 到点B 的距离即为半径，可得到外接圆的方程，联立圆的方程与直线的方程，得到C 点坐标，利用直线方程两点式即可求解. 【详解】因为ABC 的外接圆圆心为()0,4E ，所以ABC 22345+=， 即ABC 的外接圆方程为()22425x y +-=．联立()223425y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得47x y =⎧⎨=⎩，或30x y =-⎧⎨=⎩， 所以()4,7C 或()3,0C -（与A 点重合），舍， 所以直线EC 的方程为747440y x --=--，即344y x =+． 故答案为：344y x =+.12．（2022·天津二中模拟预测）已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切，此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长_________． 34【解析】 【分析】将圆2C 的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得m ，接着计算2C 到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果. 【详解】由题可知：221:4C x y +=222:860C x y x y m +-++=，即()()224325-++=-x y m且25025->⇒<m m()()224030225-+--=-m ，解得16m = 所以2:C ()()22439x y -++=2C 到直线的距离为2243211-=+d 2C 的半径为R 则直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为22129342-=-R d 故答案为： 3413．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））直线:10l x my m +--=被圆O ；223x y +=截得的弦长最短，则实数m =___________.【答案】1 【解析】 【分析】求出直线MN 过定点A （1,1），进而判断点A 在圆内，当OA MN ⊥时，|MN |取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可. 【详解】直线MN 的方程可化为10x my m +--=，由1110y x -=⎧⎨-=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线MN 过定点A （1，1）， 因为22113+<，即点A 在圆223x y +=内. 当OA MN ⊥时，|MN |取最小值，由1OA MN k k =-，得111m ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，∴1m =， 故答案为：1.14．（2022·上海静安·模拟预测）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆()22:34C x y -+=相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________．【答案】22154x y -=【解析】 【分析】根据已知条件得出双曲线的渐近线方程及圆的圆心和半径，进而得出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线与圆相切，得出圆心到渐近线的距离等于半径，结合双曲线中,,a b c 三者之间的关系即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=.由圆C 的方程为()2234x y -+=，得圆心为()3,0C ，半径为2r =.因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为3,0.3c =又因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆()22:34C x y -+=相切，22302b a a b ⨯±⨯=+22c=，解得2b =.所以222945a c b =-=-=,所以该双曲线的标准方程为22154x y -=.故答案为：22154x y -=.15．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数()22x xe ef x e -=（其中e是自然对数的底数），若在平面直角坐标系xOy 中，所有满足()()0f a f b +>的点(),a b 都不在圆C 上，则圆C 的方程可以是______（写出满足条件的一个圆的方程即可）．【答案】221x y +=（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，得到()(2)0f x f x +-=，且关于点(1,0)中心对称，得到2a b +>，进而化简得到2x y +≤，即可得到答案. 【详解】由题意，函数222e e ()e e ex x x xf x --==-在R 上单调递增，且()(2)0f x f x +-=， 所以曲线()y f x =关于点(1,0)中心对称，所以()()0f a f b +>，即2a b +>， 在平面直角坐标系xOy 中所有满足()()0f a f b +>，即2a b +>的点(,)a b 都不在圆C 上，所以圆C 上的点都满足2x y +≤，即圆C 在2x y +≤表示的半平面内， 故圆C 可以是以原点为圆心，半径为1的圆，圆C 的方程可以为221x y +=. 故答案为：221x y +=（答案不唯一）.三、解答题16．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知动点(),M x y 是曲线C 上任一点，动点M 到点10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭的距离和到直线14y =-的距离相等，圆M 的方程为()2221x y +-=．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)设1A 、2A 、3A 是C 上的三个点，直线12A A 、13A A 均与圆M 相切，判断直线23A A 与圆M 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析(2)若直线12A A 、13A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得出曲线C 是以10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线14y =-为准线的抛物线，进而可求得曲线C 的方程；（2）分析可知直线12A A 、13A A 、23A A 的斜率都存在，设()2111,A x x 、()2222,A x x 、()2333,A x x ，其中1x 、2x 、3x 两两互不相等，利用二次方程根与系数的关系以及点到直线的距离公式以及几何法判断可得出结论.(1)解：由题设知，曲线C 上任意到点10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭的距离和到直线14y =-的距离相等，因此，曲线C 是以10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线14y =-为准线的抛物线，故曲线C 的方程为2x y =.(2)解：若直线23A A 的斜率不存在，则直线23A A 与曲线C 只有一个交点，不合乎题意，所以，直线12A A 、13A A 、23A A 的斜率都存在，设()2111,A x x 、()2222,A x x 、()2333,A x x ，则1x 、2x 、3x 两两互不相等，则1222121212A Ax x k x x x x -==+-，同理1313A A k x x =+，2323A A k x x =+， 所以直线12A A 方程为()()21121y x x x x x -=+-，整理得()12120x x x y x x +--=，同理可知直线13A A 的方程为()13130x x x y x x +--=， 因为直线12A A 与圆M ()12212211x x x x +=++，整理可得()222121211230x x x x x -++-=，同理可得()222131311230x x x x x -++-=，所以2x 、3x 为方程()2221111230x x x x x -++-=的两根，则11x ≠±，所以，1232121x x x x +=--，21232131x x x x -=-，圆心M 到直线23A A ()2211221231222123122111321211112111x x x x x x x x x x x x +-+-+-===+++⎛⎫+- ⎪--⎝⎭，所以直线23A A 与圆M 相切. 综上，若直线12A A 、13A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.17．（2022·四川成都·模拟预测（理））点P 为曲线C 上任意一点，直线l ：x ＝－4，过点P 作PQ 与直线l 垂直，垂足为Q ，点()1,0F -，且2PQ PF =． (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上的点()()000,1M x y x ≥作圆()2211x y ++=的两条切线，切线与y 轴交于A ，B ，求△MAB 面积的取值范围．【答案】(1)22143x y +=(2)212S ⎡∈⎢⎣ 【解析】 【分析】（1）设点(),P x y ，通过2PQ PF =得到等式关系，化简求得曲线方程； （2）设切线方程()00y y k x x -=-，通过点到切线的距离，化简成k 的一元二次方程，再韦达定理得出12,k k 与00,x y 的等式关系，再求出||AB 弦长，消去12,k k ，再求面积即可．(1)设(),P x y ，由2PQ PF =，得()2241x x y +=++22143x y +=，所以曲线C 的方程为22143x y +=；(2)设点()00,M x y 的切线方程为()00y y k x x -=-（斜率必存在），圆心为()1,0F -，r ＝1所以()1,0F -到()00y y k x x -=-的距离为：00211k y kx d k-+-==+平方化为()()2220000022110x x k x y k y +-++-=，设P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k则()0012200212x y k k x x ++=+，201220012y k k x x -=+ 因为P A ：()010y y k x x -=-，令x ＝0有010A y y k x =-，同理020B y y k x =-所以()()()()222200000201212120414214A B x y x x y AB y y x k k x k k k k +-+-=-=-=+-=又因为22004123y x =-代入上式化简为0062x AB x +=+ 所以3200000006611122222MABx x x S x AB x x x ++=⋅⋅=⋅=++△[]01,2x ∈ 令()3262x x f x x +=+，[]1,2x ∈，求导知()f x 在[]1,2x ∈为增函数，所以2126S ∈⎢⎣．18．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线:24=-l y x ．设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 【答案】(1)3y =或34120x y +-=(2)120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）求出圆心的坐标，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求出相应的参数值，即可得出所求切线的方程； （2）设点(),M x y ，由已知可得()2214x y ++=，分析可知圆C 与圆()2214x y ++=有公共点，可得出关于a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.(1)解：联立241y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，即圆心()3,2C ，所以，圆C 的方程为()()22321x y -+-=.若切线的斜率不存在，则切线的方程为0x =，此时直线0x =与圆C 相离，不合乎题意；所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为3y kx =+，即30kx y -+=， 23111+=+k k ，整理可得2430k k +=，解得0k =或34-.故所求切线方程为3y =或334y x =-+，即3y =或34120x y +-=.(2)解：设圆心C 的坐标为(),24a a -，则圆C 的方程为()()22241x a y a -+--=⎡⎤⎣⎦，设点(),M x y ，由2=MA MO 可得()222232x y x y +-+整理可得()2214x y ++=，由题意可知，圆C 与圆()2214x y ++=有公共点，所以，()221233a a ≤+-，即22512805120a a a a ⎧-+≥⎨-≤⎩，解得1205a ≤≤.所以，圆心C 的横坐标a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。