目录
第一章绪论 (2)
§1.1 断裂力学的概念 (2)
§1.2 断裂力学的基本组成 (2)
第二章线弹性断裂力学概述 (4)
§2.1 裂纹及其对强度的影响 (4)
§2.2 断裂理论 (6)
第三章裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子 (13)
§3.1 Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 (13)
§3.2 Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 (18)
§3.3 Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场 (20)
§3.4应力强度因子的确定 (22)
第一章 绪论
§1.1 断裂力学的概念
任何一门科学都是应一定的需要而产生的，断裂力学也是如此。
一提到断裂，人们自然而然地就会联想到各种工程断裂事故。在断裂力学产生之前，人们根据强度条件来设计构件，其基本思想就是保证构件的工作应力不超过材料的许用应力，即
σ≤[σ]～安全设计
安全设计对确保构件安全工作也确实起到了重大的作用，至今也仍然是必不可少的。但是人们在长期的生产实践中，逐步认识到，在某些情况下，根据强度条件设计出的构件并不安全，断裂事故仍然不断发生，特别是高强度材料构件，焊接结构，处在低温或腐蚀环境中的结构等，断裂事故就更加频繁。例如，1943～1947年二次世界大战期间，美国的5000余艘焊接船竟然连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘完全毁坏。1949年美国东俄亥俄州煤气公司的圆柱形液态天然气罐爆炸使周围很大一片街市变成了废墟。五十年代初，美国北极星导弹固体燃料发动机壳体在试验时发生爆炸。这些接连不断的工程断裂事故终于引起了人们的高度警觉。特别值得注意的是，有些断裂事故竟然发生在σ<<[σ]的条件下，用传统的安全设计观点是无法解释的。于是人们认识到了传统的设计思想是有缺欠的，并且开始寻求更合理的设计途径。人们从大量的断裂事故分析中发现，断裂都是起源于构件中有缺陷的地方。传统的设计思想把材料视为无缺陷的均匀连续体，而实际构件中总是存在着各种不同形式的缺陷。因此实际材料的强度大大低于理论模型的强度。断裂力学恰恰是为了弥补传统设计思想这一严重的缺陷而产生的。因此，给断裂力学下的定义就是
断裂力学是研究有裂纹（缺陷）构件断裂强度的一门学科。或者说是研究含裂纹构件裂纹的平衡、扩展和失稳规律，以保证构件安全工作的一门科学。
断裂力学在航空、机械、化工、造船、交通和军工等领域里都有广泛的应用前景。它能解决抗断设计、合理选材、制定适当的热处理制度和加工工艺、预测构件的疲劳寿命、制定合理的质量验收标准和检修制度以及防止断裂事故等多方面的问题，因此是一门具有高度实用价值的学科。希望大家努力把这门课学好。
§1.2 断裂力学的基本组成
由于研究的观点和出发点不同，断裂力学分为
断裂力学??
?
?????弹塑性断裂力学
线弹性断裂力学宏观断裂力学微观断裂力学
微观断裂力学
研究原子位错等等比晶粒尺寸还小的微观结构的断裂过程，根据对这些过程的了解，建立起支配裂纹扩展和断裂的判据。
宏观断裂力学
在不涉及材料内部的断裂机理的条件下，通过连续介质力学分析和试件的实验做出断裂强度的估算与控制。
其中，线弹性断裂力学研究的对象是线弹性裂纹固体，认为裂纹体内各点的应力和应变的关系都是线性的，遵守Hook 定律（σ∝ε）。适用于塑性区的尺寸远小于裂纹的尺寸的情况。
弹塑性断裂力学则采用弹塑性力学的分析方法来分析裂纹固体，适用于裂纹尖端塑性区的尺
寸接近或大于裂纹尺寸的情况。
人们对宏观断裂力学的研究已经取得了巨大的进展，而对于微观断裂力学的研究还处于起始阶段。限于学时，我们主要介绍宏观断裂力学的基本原理及其在工程中的应用。
事实上，在金属材料中，严格的线弹性断裂问题几乎不存在，因为裂纹的扩展总是伴随有裂纹尖端的塑性变形。但理论和实验都证明，只要塑性区的尺寸远小于裂纹的尺寸，则经过适当的修正，用线弹性理论分析不至于产生太大的误差。对于低韧性高强度钢，对于大断面尺寸的构件以及低温条件下工作的构件，往往在断裂前裂尖塑性区的尺寸是很小的，因此可用线弹性断裂理论进行分析。线弹性断裂力学采用弹性力学的方法进行分析，理论比较严谨，也比较成熟，是断裂力学的基础。
而对于一般情况下的中低强度钢构件，在裂纹扩展前或扩展过程中，裂纹尖端塑性区的尺寸往往接近甚至大于裂纹尺寸，这时再用线弹性断裂理论来分析裂纹的行为就会导致太大的误差，因此需采用弹塑性力学的分析方法，这就是弹塑性断裂力学。尽管弹塑性断裂力学在工程应用中具有更重大的意义，但是由于用弹塑性断裂力学分析方法处理具体问题时存在较大的数学上的困难，因此这一领域的研究远不如线弹性断裂力学那样充分。
第二章 线弹性断裂力学概述
§2.1 裂纹及其对强度的影响
一、裂纹的概念
实际构件中的缺陷是多种多样的，主要包括
缺陷 ???
??
??处焊接中的气泡、未焊透槽加工中产生的刀痕、刻
孔冶炼中产生的夹渣、气
裂纹～统称为裂纹。
二、裂纹的分类 1．基本型裂纹 按几何特征分为：
（a ）穿透裂纹：贯穿构件厚度（或深度延伸到构件厚度的一半以上）。常处理成理想尖裂纹（即裂尖曲率半径ρ→0）。
（b ）表面裂纹：位于构件表面，或其深度<<构件厚度，常简化为半椭圆形裂纹。 （c ）深埋裂纹：位于构件内部，常简化为椭圆片状裂纹或圆片裂纹。
（a ）穿透裂纹 （b ）表面裂纹 （c ）深埋裂纹
图1—1 裂纹的几何特征分类图
按力学特征分为： （a ）张开型（Ⅰ型）：在与裂纹面正交的拉应力作用下，裂纹面产生张开位移而形成的一种裂纹。
受力特征：受与裂纹面正交的拉应力作用；
位移特征：位移与裂纹面正交，裂纹上、下表面沿拉应力方向（y 方向）的位移v 不连续。 （b ）滑开型（Ⅱ型）：在裂纹面内且与裂纹尖端线垂直的剪应力作用下，裂纹面产生沿该剪应力方向的相对滑动而形成的一种裂纹。
受力特征：受在裂纹面内且与裂纹尖端线垂直的剪应力作用；
位移特征：裂纹上、下表面沿该剪应力方向相对滑动；裂纹上、下表面沿该剪应力方向（x 方向）的位移u 不连续。
（c ）撕开型（Ⅲ型）：在裂纹面内且与裂纹尖端线平行的剪应力作用下，裂纹面产生沿裂纹面外的相对滑动而形成的一种裂纹。
受力特征：受在裂纹面内且与裂纹尖端线平行的剪应力作用；
位移特征：裂纹上、下表面沿该剪应力方向相对滑动；裂纹上、下表面沿该剪应力方向（z 方向）的位移w 不连续。
（a ）张开型裂纹 （b ）滑开型裂纹 （c ）撕开型裂纹
图1—2 裂纹力学特征分类图
在三种基本型裂纹中，Ⅰ型裂纹最常见且最危险，是我们研究的重点。 2．复合型裂纹
由两种或两种以上的基本型裂纹组成的裂纹叫复合型裂纹。 下面估算一下裂纹对材料强度的影响有多大。 三、裂纹对材料强度的影响
以图1—3所示无限大薄平板为例，该板承受单向均匀拉应力的作用，板正中有一个贯穿的椭圆形切口，是一个Ⅰ型裂纹。在裂纹尖端处将产生局部应力集中现象，但在离裂尖稍远处，应力在横截面上的分布是均匀的。由线弹性力学理论可知，此时椭圆长轴端点处的拉应力最大，其值为
图1—3 含椭圆切口受拉伸无限大板
)2
1(max ρ
σσa
+= （2—1）
其中，σ：板两端承受的均匀拉应力；
a ：贯穿的椭圆形切口的半长轴； ρ：椭圆长轴端点的曲率半径。
根据固体物理学理论，固体材料受拉时，其理论断裂强度为
0b E t γ
σ= （2—2）
其中，E ：弹性模量；
γ：固体材料的表面能密度； 0b ：固体材料的原子间距。
按照传统的强度理论，当切口端点处的最大应力达到材料的理论断裂强度时，也就是σmax =σt
时，材料断裂。将（2—1）和（2—2）代入此式，并考虑到
ρ
a
>>1，可得 ρ
σ
γa
b E 20= 因为这个式子就是破坏时得到的，因此，由这个式子得到的σ就是裂尖处首先达到破坏时该板两端
对应的临界拉应力，记为c σ，就是说
4ab E c γρ
σ=
（2—3） σc 的物理意义是，当该板两端承受的均匀单向拉应力σ达到由（2—3）式表示的σc 时，裂纹尖端处首先发生破坏。
分析一下（2—3）式的合理性。 按照（2—3），当裂纹为理想尖裂纹时，0 0→?→c σρ，这就是说，固体材料一旦有了理想尖裂纹，其临界拉应力就等于零，此时板两端只要有拉应力作用，就一定有c σσ>，材料就一定会发生破坏，换句话说，就是固体材料一旦有了理想尖裂纹，它就不再具有强度了，一受力就会破坏，这个结论显然与事实不符。这种矛盾是由弹性理论的局限性造成的。弹性理论把材料看成是无间隔的连续介质（0min =ρ），而连续介质力学则把材料看成是由无数原子或分子组成的，各原子或分子之间都有一定的间隔，因此裂纹的曲率半径最小也就是等于原子间距0b ，不可能等于零（0min b =ρ）。因此当固体材料中的裂纹为尖裂纹时，（2—3）式中的ρ应取b 0，由此得
a
E c 4γ
σ=
（2—4） 也就是说，当ρ＞b 0时，板两端对应的临界拉应力由（2—3）式确定；当ρ＜b 0时，板两端对应的临界拉应力由（2—4）式确定。
比较一下有裂纹和无裂纹时临界应力相差多大。
无裂纹时，各点应力均匀分布，因此外界作用的拉应力增大时，各点的拉应力始终相等，当各点的拉应力同时都增大到t σ时，各点同时发生破坏。因此无裂纹时，临界应力σt 由（2—2）式得
到；而有裂纹时临界应力σc 由（2—4）式得到。如果取宏观裂纹的尺寸为050002b a =，则两者之比为
100
1
4400
=
=
=a b b E a
E t
c
γγσσ 0b 的量级为m 1010-，因此2a =m b 701055000-?≈。而2a 则表示裂纹的长度，这就是说，只要薄板
上有一个长为m 6710~10--的理想尖裂纹，其临界应力就会降低100倍。
由此可见：裂纹将会引起强烈的应力集中，从而使材料的临界应力远远低于其理论断裂强度。 由（2—4）式还可以看出，当σ达到c σ时，裂尖处发生破坏，从而使裂纹进一步扩展，裂纹长度随之增大，而a 的增大又使c σ进一步降低，从而使裂纹进一步扩展，最终导致整个构件断裂。因此（2—4）式是裂纹失稳扩展的条件，称为断裂判据。
各种不同的断裂判据构成了不同的断裂理论。
§2.2 断裂理论
各种不同的断裂理论都有不同的断裂判据，适用于不同的材料和工况。断裂理论主要有两大类，
一类是能量释放率断裂理论，另一类是应力强度因子断裂理论。
一、能量释放率断裂理论
这类理论都是从能量转换与守恒的角度出发，导出相应的断裂判据。最主要的有Griffith 理论，Orowan 理论和能量释放率断裂理论。下面分别加以简要介绍。
1．Griffith 理论
该理论是英国学者Griffith 在对玻璃、陶瓷等脆性材料进行断裂分析时提出的。他用这种理论成功地解释了为什么这类材料的实际断裂强度比预期的理论断裂强度低得多的问题。
（a ） （b ）
图1—4 Griffith 薄平板
以长为l ，宽为b ，厚度为t 的薄平板为研究对象，在其上、下端作用均布载荷，系统处于平衡状态后，把上、下端固定，形成能量封闭系统。设此时板内的总应变能为0U ，然后在板正中沿垂直于σ的方向开一个长为2a 的贯穿裂纹，并满足2a <
Et
A E t a U 42
222πσσπ==
其中，A =2at ，为裂纹的单侧自由表面的面积。上、下自由表面的面积之和为2A 。自由表面有表面能，设自由表面的表面能密度为γ，则总表面能为
T=2Aγ
为研究裂纹以后的发展趋势，需要利用势能极值原理，因此首先应算出开裂后系统的总势能P 。在此问题中，系统的总势能由板内应变能和自由表面的表面能两部分组成
系统的总势能=板内应变能+自由表面的表面能
开裂前系统无自由表面的表面能，因此其总势能就等于其板内的应变能0U ，开裂后板内的应变能减少了U ，因此其板内的应变能为U U -0，而其自由表面的表面能为T ，因此开裂后系统的总势能为U U -0+T ，以开裂前系统的初始状态为势能零点，则开裂后系统的总势能P 为
P =（U U -0+T ）－0U =－U+T =γπσA Et
A 242
2+-
根据势能驻值原理，当P 取极大值时，系统处于不稳定平衡状态，所谓不稳定平衡，是指系统稍稍偏离了这一平衡状态后，没有自动回复到这一平衡状态的趋势。只有当P 取极小值时，系统才
处于稳定平衡状态。所谓稳定平衡，是指系统稍稍偏离了这一平衡状态后，有自动回复到这一平衡状态的趋势。由高数知识可知，总势能P 取极大值的条件为
0 ,022
P A P 将P 代入上面的两个式子，可得
EA
A P 22
2
2πσ-=?? ∵π、E 、A 和2
σ都大于0，∴022<-EA πσ，∴0 22
P ??则有三种可能：大于零、等于零或小于零。，由势能驻值原理可知，当系统的势能取极小时，系统最稳定。因此，如果某种变化能使系统的势能变小，这种变化就能继续发展下去，直至势能取极小为止；反之，如果某种变化能使系统的势能增大，这种变化就不能继续发展下去，此时系统处于静止状态。据此可知，当A P ??<0时，随着裂纹面积的增大，系统的总势能变小，因此此时裂纹失稳扩展，直至断裂；当A
P ??>0时，随着裂纹面积的增大，系统的总势能增大，因此此时系统处于静止状态，裂纹不扩展；当A
P
??=0
时，总势能
～断裂判据（2—6） A
U
Et A ??=22πσ～裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能； A
A ??=
)
2(2γγ～形成单位面积的贯穿裂纹时所需的表面能； 因此上式的物理意义是：
当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能恰好等于形成单位自由表面时所需的表面能时，系统处于不稳定平衡状态；当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能大于形成单位自由表面时所需的表面能时，系统失稳，裂纹不断扩展，直至断裂；当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能小于形成单位自由表面时所需的表面能时，系统处于静止状态，裂纹不扩展。所以（2—6）式的第一式是从能量的角度得出的断裂判据。
给定裂纹长度a ，由（2—6）式的第一式可得，此时对应的临界应力为a E C πγ
σ2=，给定板两
端的应力σ，由（2—6）式的第一式可得，此时对应的裂纹临界尺寸为2
2πσ
γ
E a C =，将（2—6）式的第一式与这两个式子写在一起，就得到了Griffith 断裂判据
（2—7） 下面对Griffith （1）Griffith 断裂判据的物理意义 第一式表示：当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能恰好等于形成单位自由表面时所需的表面能时，裂纹处于不稳定平衡状态；当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能大于形成单位自由表面时所需的表面能时，裂纹失稳扩展而断裂；当裂纹扩展单位面积时系统释放的应变能小于形成单位自由表面时所需的表面能时，裂纹处于静止状态，不扩展。
第二式表示：当裂纹长度a 给定时，如果板两端的应力σ＞C σ，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果σ＜C σ，裂纹处于静止状态，不会扩展；如果σ=C σ，裂纹处于不稳定平衡状态。
第三式表示：当板两端的应力σ给定时，如果裂纹长度a ＜a c ，裂纹将处于静止状态，不会发展；如果a ＞a c ，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果a=a c ，裂纹处于不稳定平衡状态。
（2）这几个公式是由薄板导出的，对应平面应力状态，在公式中用2
1μ-E
代替E ，就得到平
面应变状态下的Griffith 断裂判据。
（3）该理论仅适用于完全脆性材料
Griffith 判据（2—7）式中的临界应力是在理想尖裂纹的前提下推导出来的，而（2—4）式表示的是0b ≥ρ时的临界应力，因此两者表示的是同一个量。在一定的范围内这两个公式算得的临界应力应该是相等的。此时应有
?=0
42ab E a E γρπγ08
b πρ=
因此，当裂纹尖端的曲率半径满足
（2—8）
时，（2—4）式和（2—7Griffith 理论算得的临界应力是比
较准确的；当裂纹尖端的曲率半径超出这个范围时，用（2—4）式算得的临界应力较准确，因为前面讲过，当0b ≥ρ时，用（2—4）算临界应力就是比较准确的，而此时用（2—7）式算得的临界应力与用（2—4）式算得的临界应力差得较大，此时Griffith 理论已失效。因此，把满足（2—8）式的裂纹称为Griffith 裂纹。
Griffith 理论仅适用于完全脆性材料，而实际上绝大多数金属材料断裂前和断裂过程中裂尖处存在塑性区域，裂尖也会因塑性变形而钝化，此时Griffith 理论失效，因此Griffith 理论的适用范围是很窄的。
为了克服Griffith 理论的局限性，Orowan 对Griffith 理论进行了修正，提出了Orowan 理论 2．Orowan 理论
Orowan 在研究金属材料裂纹扩展过程时，提出了“塑性区”的概念，认为裂纹扩展前在其尖端附近要产生下一个塑性区，因此裂纹扩展时，不仅需要为其提供形成新表面所需的表面能，而且需要为其提供塑性变形所需的能量，也就是塑性功。因此，塑性功有阻止裂纹扩展的作用。
还是以刚才那块开裂纹的薄板为研究对象，设裂纹扩展单位面积时，内力对塑性变形所做的塑性功为Г，叫塑性功率，于是裂纹面积为A 时的总塑性功为
Λ=2AΓ
仍以开裂前系统的势能为势能零点，则开裂后系统的势能为
P =－U +T +Λ
???
???
?Γ+=Γ+=?Γ+=?=??22)
(2)(2)(220πσγπγσγπσE a a E Et A A P c c 对于金属材料，通常Γ比γ大三个数量级，因此上面的三个式子变成了
???
?
?????Γ=Γ
=Γ=2
2224πσπσπσE a a E Et A
c c Orowan 断裂判据 （2—9）
第一式表明：当ΓEt
A
=42πσ,即裂纹扩展单位面积释放的应变能恰好等于内力对塑性变形所做的塑性功时，裂纹处于不稳定平衡状态；当ΓEt A >42πσ时，裂纹就会失稳扩展而断裂；当ΓEt
A
<42πσ时，裂纹就不会扩展（处于静止状态）。
第二式表明：当裂纹长度a 给定时，如果板两端的应力σ=C σ，则裂纹将处于不稳定平衡状态；如果 σ＞C σ，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果σ＜C σ，裂纹就不会扩展（处于静止状态）。
第三式表明，当板两端的应力σ给定时，如果裂纹长度a=C a ，则裂纹将处于不稳定平衡状态；如果 a ＞C a ，裂纹就会失稳扩展而断裂；如果a ＜C a ，裂纹就不会扩展（处于静止状态）。
以上三个断裂判据是等效的。 几点说明：
1．Orowan 理论是Griffith 理论的修正。可用于金属；
2．这几个公式是由薄板导出的，对应平面应力状态，在公式中用
2
1μ
-E
代替E ，就得到平面应变状态下的Orowan 断裂判据。
下面我们从更广义的功能转换关系出发，来研究裂纹扩展过程。由此可以得到 3．能量释放率断裂判据
设一个裂纹的面积为A ，在裂纹面积扩展了dA 的过程中，载荷所做的功为dW ，体系的弹性应变能增加了dU ，塑性功增加了dΛ，裂纹表面能增加了dT 。dU 、dΛ和dT 都属于系统的内能，第一项是弹性应变能，属于保守内能，后两项属于耗散内能。假定这个过程是准静态绝热过程，也就是说不考虑热功转换，则根据能量转换与守恒定律，体系内能的增加应等于外力功，因此有 dU+dΛ+dT = dW
其中，dU+dΛ是裂纹面积扩展dA 需要消耗的能量，也就是阻止裂纹扩展的能量。因此要使裂纹扩展，系统必须提供能量。设裂纹面积扩展dA 时弹性系统释放出的能量为－d Π，这部分能量转化为体系的耗散内能增量。因此，外力做功dW 可以转化为两部分；一部分是体系的弹性应变能增量dU ，另一部分是体系的耗散内能增量-d Π，因此有
耗散内能增量+弹性应变能增量=外力功
即
－d Π+dU = dW
由此得
－d Π= dW －dU （2—10）
定义裂纹扩展单位面积时弹性系统释放的能量叫裂纹扩展能量释放率，记为G ，由（2—10）式得
A
U
A W A
G ??-
??=?∏?-= （2—11） 定义裂纹扩展单位面积时需要消耗的能量为裂纹扩展阻力率，记为R 或e G ，裂纹扩展dA 时需要消耗的能量为其表面能增量dT 和塑性功增量dΛ之和，因此，裂纹扩展单位面积时需要消耗的能量为
A
T
A dA dT d G R e ??+
?Λ?=+Λ==)( 对于一定的材料而言，裂纹扩展单位面积需要消耗的塑性功A ?Λ?和表面能A
T
??都是材料常数，仅与
材料本身的性质有关，而与外载情况和裂纹几何形状无关。因此，R 或e G 也仅与材料本身的性质有关，而与外载情况和裂纹几何形状无关。是一个反映材料抵抗断裂破坏能力的常数，称为材料的断裂韧度，可以由材料实验来测定。
当裂纹扩展能量释放率增大到等于裂纹扩展阻力率时，裂纹将失去平衡，开始失稳扩展。由此得
e G G =～能量释放率断裂判据 （2—12） G 和e G 的国际单位为1-?m N ，其工程单位为1-?mm kg 。
二、应力强度因子断裂理论 构件的断裂起源于裂纹，而裂纹在外界因素作用下处于静止或平衡或发展，都与裂纹尖端附近的应力场有直接关系。Irwin 通过裂纹尖端附近应力场的研究，提出了一个新的参量~应力强度因子，并建立了相应的应力强度因子断裂判据，这一判据在工程上得到了广泛的应用。那么，应力强度因子断裂判据是怎样建立的呢？
我们研究局限于裂纹尖端附近区域的应力场和位移场。坐标原点取在裂纹尖端，r 、θ为极坐标。运用线弹性理论和复变函数理论可以求得裂纹尖端附近任意一点A （r ，θ）处的应力分量和位移分量为
图1—5 裂尖附近应力场
Ⅰ型裂纹： )(23cos
2sin 223sin 2sin 12cos 223sin 2sin 12cos 20Ⅰ
ⅠⅠr O r K r
K r
K xy y x +?????
?
???
??=??? ??+=
??? ??-=
θ
θπτθθθπσθθθπσ （2—13）
（2—14）
（2—15）
（2
—16）
Ⅲ型裂纹：
（2—17）
（2—18）
其中，K
Ⅰ
、K
Ⅱ
和K
Ⅲ
裂纹尖端应力场的强弱程度。是与外载性质、裂纹及裂纹弹性体几何形状等因素有关的一个量。写
成通式就是：
a
Kπ
ασ
=
Ⅰ
a
Kπ
βτ
=
Ⅱ
a
K
l
π
γτ
=
Ⅲ
式中的α、β和γ分别是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹的几何形状因子，σ为拉应力，τ和
l
τ分别为面内剪应力和面外剪应力。
相应的应力强度因子断裂判据为
ⅠC
Ⅰ
K
K=（2—19）
ⅡC
Ⅱ
K
K=（2—20）
ⅢC
Ⅲ
K
K=（2—21）
其中的
ⅢC
ⅡC
ⅠC
K
K
K和
、分别是KⅠ、KⅡ和KⅢ的临界值，它是材料常数，称为材料的断裂韧度，
通过实验测定。这就象材料力学中，应力σ是构件载荷和构件的形状尺寸的函数，而屈服极限
s
σ是由实验测定的材料常数一样。
第三章 裂纹尖端区域的应力场及应力强度因子
裂纹所处的状态可分为三种：静止状态、不稳定平衡状态和失稳扩展状态。裂纹究竟处于哪种状态，与裂纹尖端附近的应力场有直接关系。Irwin （爱尔文）通过对裂纹尖端附近应力场的研究，提出了一个新的参量～应力强度因子，并建立了相应的断裂判据，在工程上得到了广泛的应用。
下面用复变函数的方法推导裂纹尖端附近的应力场与位移场，由此导出应力强度因子的概念。
§3.1 Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场
1．Westergaard （韦斯特哥德）应力函数
Westergaard 应力函数是用来求解Ⅰ型裂纹尖端附近区域的应力场与位移场的。 根据弹性力学理论，对于平面应力问题，只需找出同时满足双调合方程和这个问题的边界条件的应力函数，就可以把应力函数代入下面的公式求解应力
?????
?
??
??????-
=??=??=y x x y xy y x ?τ?σ?σ22
22
2 （3—1） 满足调和方程02
=??的函数),(y x ?叫调和函数。其中，22
222
y
x ??+??=?，称为拉普拉斯算子。
满足双调和方程0224=??=???的函数),(y x ?叫双调和函数。 显然，调和函数必然是双调和函数。
应力函数确定后，先利用（2—1）求出各应力分量，然后将各应力分量代入广义虎克定律，可求得裂尖附近的应变分量
)
1(,)1(:,:)(1)(12''μμμμμμσμσεσμσε-='-='='='???
???
?'-='-=E E E E E E x y y y x x 平面应变状态时平面应力状态时 （3—2）
其中，E 为杨氏模量，μ为泊松比。
将应变分量代入下面的几何方程后积分，就可以得到裂尖附近的位移场
y
v
x u y v x u x xy y x ??+??==??=??=εγεε,, （3—3）
因此，问题的关键就是找出同时满足边界条件和双调和方程的应力函数),(y x ?。 复变解析函数的实部和虚部都是调和函数，而调和函数的线性组合必然也是调和函数，因此也必然是双调和函数。因此可以利用复变解析函数的实部和虚部（不一定非得是同一个复变解析函数的实部和虚部）线性组合得到双调和函数，并使这个双调和函数满足所研究的问题的边界条件。就是我们要找的应力函数。而复变解析函数的任意次积分也必然是复变解析函数，因此，Westergaard 选取了某一个复变解析函数)(Ⅰz Z 的一次积分和二次积分的线性组合，作为应力函数，用来求解Ⅰ
型裂纹尖端附近区域的应力场和位移场。
研究如图3—1所示的“无限大”板，板上有一个长为2a 的中心贯穿裂纹，这个板在无限远处受双向等值拉伸应力的作用。属于Ⅰ型裂纹问题，Westergaard 所选的应力函数为
图3—1
)(~
)(~~ I I I z Z yI z Z R m e +=Φ （3—4）
其中，dz z Z z Z )()(~
I I ?=～)(I z Z 的一次积分；
dz z Z z Z )(~
)(~~I I ?=～)(I z Z 的二次积分。 把（3—4）式代入（3—1）、（3—2）和（3—3）式。 ∵)()()(I I I z Z iI z Z R z Z m e +=，dz =dx+idy ，
∴ ]
)()([])()([ )
()]()([ )()(~
I I I I I I I I dy z Z R dx z Z I i dy z Z I dx z Z R idy dx z Z iI z Z R dz z Z z Z e m m e m e ++-=++==???? (3—5)
同理，将上式中的)(I z Z 换成)(~I z Z ，将)(~I z Z 换成)(~~
I z Z ，可得
])(~
)(~[])(~)(~[ )
()](~
)(~[)(~)(~~I I I I I I I I dy z Z R dx z Z I i dy z Z I dx z Z R idy dx z Z iI z Z R dz z Z z Z e m m e m e ++-=++==???? （3—6） 同理，将上式中的)(~
I z Z 换成)(I z Z ，将)(I z Z 换成)(Ⅰ
z Z '，可得 ])()([])()([ )()]()([)()(ⅠⅠⅠⅠ
ⅠⅠⅠ
I dy z Z R dx z Z I i dy z Z I dx z Z R idy dx z Z iI z Z R dz z Z z Z e m m e m e '+'+'-'=+'+'='=???? （3—7）
因此有
)()( )]
()(~
)(~[ )]}(~
[)](~~[{ )]}
(~
)(~~[{ )](~
)(~~[ Ⅰ
I I I I I I I I I I 2
22I 2z Z yI z Z R z Z yR z Z I z Z I y
z Z yI y z Z R y y z Z yI z Z R y
y z Z yI z Z R y
y m e e m m m e m e m e '-=++-??=??+????=+????=+??=?Φ?
类似可得
)()( )](~
)(~~[ Ⅰ
I I I 2
22I 2z Z yI z Z R z Z yI z Z R x x m e m e '+=+??=?Φ?
)( )]
(~
)(~~[ Ⅰ
I I 2I 2z Z yR z Z yI z Z R y
x y x e m e '=+???=??Φ? 将以上各式代入（3—1），可得
??????
?????'-=??Φ?-
='+=?Φ?='-=?Φ?=)()()()()(ⅠI
2ⅠI 2
I 2ⅠI 2
I
2z Z yR y x z Z yI z Z R x z Z yI z Z R y e xy m e y m e x τσσ （3—8） 将（3—8）代入（3—2）式，可得
???
???
?
''++'-'='-'=''+-'-'
='-'=)]()1()()1[(1)(1)]()1()()1[(1)(1ⅠI ⅠI z Z I y z Z R E E z Z I y z Z R E E m e x y y m e y x x μμσμσεμμσμσε （3—9） 将（3—9）代入（3—3）式，并积分，得
???
????
'+-'='+-'-'
=)]
()1()(~2[1)]()1()(~)1[(1I I I I z Z R y z Z I E v z Z I y z Z R E u e m m e μμμ （3—10）
因此，找到解析函数)(I z Z ，就可以得到Westergaard 应力函数，于是裂纹尖端处的应力场和位移场就可以由公式（3—8）和（3—10）求得。因此问题的关键是找一个具体的解析函数)(I z Z ，代入（3—8）式，所得到的应力分量应能满足图3—1所示问题的全部边界条件
2．解析函数)(I z Z 的确定
将x 坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则图3—1所示问题的边界条件为： （1）当y =0，x →∞时，σσσ==y x 。
（2）在y =0，a x <的裂纹自由面上，0,0==xy x τσ；而在a x >时，随a x →，∞→y σ。
我们就是要利用这两个边界条件确定）
（z Z Ⅰ。 由（3—8）式可知，当y =0时 0),(Ⅰ===xy e y x z Z R τσσ，且
z =x+iy =x 。
因为问题是关于y 轴对称的，所以)(Ⅰx Z 中的含x 项应该是平方项；又因为a x →时，∞→y σ，
所以)(Ⅰx Z 的分母中应有1－2
??
?
??x a 的因式。
又因为当x →∞时，1－2
??
?
??x a →1，而此时要求)(Ⅰz Z R e y x ==σσ=σ，因此分子应该取σ。
综上所述，试选
2
Ⅰ1)(??
? ??-=
x a x Z σ
但是这样的)(Ⅰx Z 在│x │＜a 时，011)(2
2
Ⅰ≠??
? ?
?-=
??? ??-==x a x a R x Z R e
e y σ
σ
σ，所以边界条件还不
能完全满足。而虚数的实部为0，所以应该使)(Ⅰx Z 在│x │＜a 时是虚数，自然想到选平方根函数就可以达到目的。因此把上面的)(Ⅰx Z 在改进为
2
22Ⅰ1)(a x x
x a x Z -=
??
?
??-=σσ 这里应注意，本来
2
2
2
2
2
2
1a
x x a
x x x a -±=
-=
??
? ??-σσσ
，但是本结构是对称的，所以只需要研究x
≥0的那一半就可以了，所以取2x =x 。
因此最终要找的解析函数为
2
2
Ⅰ)(a
z z
z Z -=
σ （3—11）
将)(Ⅰz Z 代入（3—8）、（3—9）和（3移场。
3．Ⅰ型裂纹尖端区域的应力场与位移场
图3—2
为计算方便，把坐标原点从裂纹中心O 点移至裂纹左端点O '处，设新坐标系中任意一点的复数坐标为ξ，则两坐标系的换算关系为
ξ =(x －a )+iy=(x +iy )－a=z －a
即 z =ξ+a （3—12） 代入（3—11）得
）（）
（）（）（a a a
a a Z 2)(2
2Ⅰ++=
-++=ξξξσξξσξ （3—13） 令 a
a f 2)(Ⅰ++=
ξξσξ）
（ （3—14）
则 ）（ξξ
ξⅠⅠ1
)(f Z = （3—15）
由（3—14）可知，当ξ→0时，2
)(Ⅰa
f σ
ξ→，而对于给定的受力状态和裂纹，σ和a 都是常数，因此，在裂尖附近)(Ⅰξf 为一个实常数。令这个实常数为π
2ⅠK
，即
π
ξξ2lim Ⅰ
Ⅰ0
K f =
→）（ 因此有
（3—16） （3—16
知道了裂纹对应的解析函数)(ⅠξZ ，就可以利用（3—16）式求出应力强度因子。 因此，在裂纹尖端处ξ→0的一个很小的范围内，解析函数)(ⅠξZ 可以写成
πξ
ξ
ξξξ21
lim Ⅰ
Ⅰ0
ⅠK f Z =
=→）（）
（ （3—17） 为研究方便，取极坐标系，令
ξ=r .e iθ=r (cos θ+i sin θ) （3—18）
（3—18）代入（3—17）得
??? ??-===-2sin 2cos 222Ⅰ2
ⅠⅠ
Ⅰθθπππξθθi r K e r K re
K Z i i ）（ （3—19） （3—17）对ξ求导后再把（3—18）代入得
??? ?
?--=??? ??-='--23sin 23cos 2221223Ⅰ23ⅠⅠ
θθπξπξi r K K Z ）（ （3—20） （3—17）对ξ积分后再把（3—18）代入得
??? ?
?+===?-2sin 2cos 22222~21Ⅰ21Ⅰ21ⅠⅠθθπξπξξπξi r K K d K Z ）（ （3—21） 将（3—19）、（3—20）和（3—21）中的实部和虚部分开，再将y=r sin θ=2r sin 2θcos 2
θ
与这些实
部和虚部一起代入（3—8）、（3—9）和（3—10）并整理得
?
???
?
??
??=??? ??+=??? ??-=23cos 2cos 2sin 223sin 2sin 12cos 223sin 2sin 12cos 2ⅠⅠⅠθ
θθπτθθθπσθθθπσr K r
K r
K xy y x （3—22）
??
?
??-+-=+=??
?
?
?
?
???? ??-+=??? ??+-=
（平面应变状态）（平面应力状态），）（其中， 43 13122cos 212sin 222sin 212cos 222Ⅰ2Ⅰμμ
μ
κμθκθπθκθπE G r G K v r G K u （3—23） 说明：
（1）推导过程中用了ξ→0的条件，所以（3—22）和（3—23）只适用于裂纹尖端附近区域，
即要求r ＜＜a ，叫做渐进解。而对于稍远处，应该用（3—13）给出的）
（）
（a a Z 2)(Ⅰ++=
ξξξσξ来确定
各应力分量和位移分量，叫做全解。这样求出的各应力分量与（3—22）的各应力分量的差值，就
是第二章（2—13）中的O (r 0)，它反映了裂纹尖端的渐进解与全解之间的差。
在裂尖区域，渐进解是全解的良好近似。 （2）（3—22）式可以缩写成张量形式
)(2Ⅰθ
πσij ij f r
K
= （3—24）
由（3—24）可以看出
①对于裂纹尖端附近区域内某一定点（r ，θ），其应力大小取决于K I 的大小，K I 越大，该点的应力也越大。因此，K I 是表征裂纹尖端区域应力场强弱程度的参量，而且是唯一的参量。
②因为r
ij 1∝σ，所以当r →0时，ij σ→∞，称为应力具有r 1
的奇异性。只要是Ⅰ型裂纹，
裂纹尖端的应力场都具有相同的奇异性。它远比其它附加项要大得多。因此，（3—22）式对所有Ⅰ型裂纹问题都适用。
综上所述，应力分量可由两部分描述：一部分是关于场分布的描述，它随点的坐标而变化，通过r 的奇异性及角分布)(θij f 来体现；另一部分是关于场强度的描述，通过应力强度因子K I 来表示，它与裂纹体的几何形状及外加载荷有关。
§3.2 Ⅱ型裂纹尖端区域的应力场与位移场
Ⅱ型裂纹问题与Ⅰ型裂纹问题的主要差别在于两者在无限远处的受力条件不同。Ⅰ型裂纹问题在无限远处受的是均匀拉应力的作用，而Ⅱ型裂纹问题在无限远处受的是均匀剪应力的作用。
图3—3
对于图3—3所示的Ⅱ型裂纹问题，Westergaard 选用的应力函数为：
)(~
ⅡⅡz Z yR e -=Φ （3—25）
于是有
)()()()()(2)()()()]()(~
[)]
(~[Ⅱ
ⅡⅡ
2Ⅱ
2Ⅱ
2Ⅱ
ⅡⅡ
ⅡⅡⅡⅡⅡ222Ⅱ2z Z yI z Z R y
x z Z yR x z Z yR z Z I z Z yR z Z I z Z I z Z yI z Z R y
z Z yR y y m e xy e y e m e m m m e e x '-=??Φ?-='-=?Φ?='+='++=+-??=-??=?Φ?=τσσ （3—26）
与解Ⅰ型裂纹问题类似，对图3—3所示的“无限大”板，也可以找出一个满足边界条件的解析函数)(Ⅱz Z ：
22Ⅱ)(a
z z
z Z -=τ （3—27）
为分析裂纹尖端附近区域的应力场，与解Ⅰ型裂纹问题类似也将座标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有
z=ζ+a 或ζ=z －a ，
代入（3—27）式，可得
)2()
()(Ⅱa a Z ++=ζζζτζ
令 a
a f 2)
()(Ⅱ++=ζζτζ （3—28）
则有 ζζζ1
)()(ⅡⅡf Z = （3—29）
由（3—28）式可知，当0→ζ时，也就是说在裂纹尖端附近处，)(ζf 为一个实常数（对于图3—3所示的纯剪切无限大裂纹板，该实常数为2
)(lim 0
a f τ
ζζ=→），一般情况下，设这个极限值为π2/ⅡK ，即设
πζζ2/)(lim ⅡⅡ0
K f =→
则有
（3—30）
常数ⅡK )(ⅡζZ 求解Ⅱ型裂纹尖端的应力强度因子的定义式。
于是，在ζ很小的范围内，)(ⅡζZ 和)(Ⅱ
ζZ '可以分别表示为 ???
?
???-
='??????='=?=---→23
Ⅱ
21ⅡⅡ2
1
Ⅱ
Ⅱ0Ⅱ)(22)(2)()(21
)(lim )(ζπζπζζπζζζζK K Z K f Z （3—31）
为研究方便，用极坐标来表示，将θζi re =代入上面两个式子，并利用公式???sin cos i e i +=，可得
???
?
???
--='-=-)23sin 23(cos 22)()2sin 2(cos 2)(23
ⅡⅡ
ⅡⅡθ
θπζθθπζi r K Z i r K Z 将)(ⅡζZ 和)(Ⅱ
ζZ '的实部和虚部以及2
cos 2sin 2θ
θ
r y =代入（3—26）式，就可以得到Ⅱ型裂纹尖端
附近各应力分量的表达式：
??
??
?
?
?????
??? ??-==??? ??
+-
=23sin 2sin 12cos 223cos 2cos 2sin 223cos 2cos 22sin
2ⅡⅡⅡ
θθθπτθθθπσθθθπσr K r K r
K xy y x （3—32） 将（3—32）式代入广义虎克定律，就可以得到Ⅱ型裂纹尖端附近区域位移场的表达式
??
?
?
?
????? ??++-+=??? ??+++=2sin 212cos 2)1(2cos 212sin 2)1(2Ⅱ2Ⅱθκθπμθκθπμr E K v r E K u （3—33）
§3.3 Ⅲ型裂纹尖端区域的应力场与位移场
Ⅲ型裂纹问题与Ⅰ、Ⅱ型裂纹问题不同，它是反平面问题。裂纹面沿图3—4中的z 轴方向错
开，因此裂纹面沿x 方向和y 方向的位移都为零，只有沿z 方向的位移不为零，即
u =0，v =0，w =w （x ，y ）
图3—4
根据弹性力学，在线弹性小变形情况下，联系应变与位移的几何方程为
??
???
???
??
???
???
?????+??=??+??=??+??=??=
??=
??=)(21)(21)(21y u x w y w z v x v y u z w y
v x
u zx yz xy z y x γγγεεε (3—34)
将u =0，v =0，),(y x w w =代入（3—34）得
0,0,0,0====xy z y x γεεε （3—35）
工程断裂力学76 (2009) 709–714 内容列表可以在ScienceDirect期刊获得 工程断裂力学 杂志主页: https://www.doczj.com/doc/905656391.html,/locate/engfracmech AA7075-T651在交变载荷下裂纹形核的显微结构形貌 H. Weiland a,*, J. Nardiello b, S. Zaefferer c, S. Cheong a, J. Papazian b, Dierk Raabe c a 美国铝业有限公司，100技术驱动,美国铝业中心，宾夕法尼亚15069，美国 b 诺斯罗普2格鲁曼公司AEW/EW系统，925 S，.牡蛎湾路，贝思佩奇，纽约11714，美国 c普朗克铁研究所，普朗克Stra?e 1,，杜塞尔多夫D 40237，德国 文章信息摘要 文章历史: 一系列由7075-T651铝合金制作的疲劳试验样品被打断成各种寿命的部分和2007年1月9日收到一定数量脱胶，破裂的粒子和在金属基体中的破裂决定了定量是加载周期的函数2008年11月24日收到修订后的形式根据发现，只有破裂的第二相粒子，在一个基体裂纹中形核。晶体学关于一个独2008年11月26日录入立的裂纹和它的三维形状是由在扫描显微镜下一系列的切片通过应用聚焦离子束2008年12月10日网上可获得粉末与取向成像显微技术结合决定。这些极限数据显示裂纹萌生方向，受金属基体 中扩展的裂纹的晶体取向影响。。 关键字： 裂纹萌生 AA7075 3D微观结构 疲劳 @2008爱思唯尔有限公司保留所有权利。 1.介绍 优化的铝合金对航天航空应用，需要定量的理解不同控制形核的显微结构特性和裂纹在金属基体中的扩展。此外，在整体部分，裂纹在连接处的停滞不是给定的，显微结构的作用变得越来越重要。需要定量的理解，在复杂微观结构下的损伤演化。 当前对于航空航天应用铝合金的发展，基于一个良好的理解，关于微观结构下破坏的相关性质影响，例如断裂韧性和疲劳[1-5]。然而，铝合金上个世纪上半年的发展，例如AA7075，主要使用Edisonian方法。尽管存在一些研究，关于老化条件对性能的影响，详细分析显微结构属性下控制裂纹形核和单调生长区间，或者在那时候开发的铝合金没有采用交变载荷。然而，在早期理论上可知，含铁第二相在5-50微米直径范围，一般被称为夹杂相，是裂纹的起始点位置[1]。因此，此后的铝合金发展包括减少铁和硅元素提高损伤的相关性质。另一方面，如果粒子密度减少，正如当前阶段铝合金，其他显微结构下的特征，例如晶界和晶粒取向，将有助于裂纹的形核和扩展。读者可以参考文献[1-5]，详细的讨论商业铝合金微观结构的损坏的影响。它必须指出，外推法得到的知识在Al-Cu系统（2xxx系列合金）不能容易的推测Al–Zn（7xxx系列合金），因为相和强化机制不同。 在目前的研究中，一部分数量脱粘和破裂的粒子，决定了一定数量是疲劳循环的函数，来自中断的疲劳试验。此外，破裂粒子在开裂基体中形核的尺寸和相关的裂纹长度是确定的。晶体学中关于裂纹和三维形状由来自一系列的切片通过聚焦离子束制粉和取向成像显微技术的结合决定。这些数据显示一开始裂纹的生长方向，同时由粒子周围的局部应力场和基体中正在生长的裂纹的晶向决定。 如今工作的目的，确定一定数量第二相粒子在交变载荷控制裂纹形核的作用，目的是确定以微观结构为基础，预测以这些合金制成的机身零件部分寿命。后者将另行公布。
第一章断裂力学概论 第1节绪论 1.断裂力学的起源与发展 最早的断裂力学思想 1921年英国科学家Griffith研究“为什么玻璃的实际强度比从它的分子结构所预期的强度低得多？”，推测“由于微小的裂纹所引起的应力集中而产生”，提出适合于判断脆性材料的与材料裂纹尺寸有关的断裂准则——能量准则。 断裂力学发展的背景 蓬勃发展的近代先进科学技术，对传统的强度理论提出了挑战。 1) 高强度材料和超高强度材料的使用 2) 构件的大型化 3) 全焊接结构的使用 灾难性事故 焊接铁桥断裂破坏 1938-1942年，世界上有40座焊接铁桥，按照传统观点未发现任何异常的情况下，突然断裂倒塌。 自由号轮船的断裂破坏 上世纪40年代，美国“自由号”轮船焊接部位的25%被发现有裂纹，在4694艘轮船的焊接结构中，有1289处有裂纹，其中有233处引发了灾难性事故。典型的T-2号油船上，由裂纹导致甲板在几秒钟内破坏成两半，调查发现，破断处的最大弯矩还不到许用设计弯矩的一半。 “彗星”号飞机破坏失事
1954年1月10日，一架“彗星”号飞机飞行在纽约30000英尺高空突然解体坠入地中海，飞机破坏的主要原因是疲劳引起的增压舱破坏，增压座舱观察窗一角应力太高而引起疲劳破坏。破坏时的应力只相当70%的材料的强度极限。 事故的规律 1)断裂时，工作应力都较低 2)尽管是典型的塑性材料，却表现出脆性断裂现象（低应力脆断） 3)对断口进行分析，发现“低应力脆断”是从构件内部存在的微小裂 纹源扩展引起的。 ——构件中不可避免的存在裂纹或类似裂纹的缺陷是引起“低应力脆断”的根源——以裂纹体为研究对象的一门学科——断裂力学应运而生。 断裂力学的形成 1957年，美国科学家G.R.Irwin提出应力强度因子的概念, 线弹性断裂理论的重大突破，应力强度因子理论作为断裂力学的最初分支——线弹性断裂力学建立起来。 断裂力学的发展 现代断裂理论大约是在1948—1957年间形成，它是在当时生产实践问题的强烈推动下，在经典Griffith理论的基础上发展起来的，上世纪60年代是其大发展时期。 我国断裂力学工作起步至少比国外晚了20年，直到上世纪70年代，断裂力学才广泛引入我国，一些单位和科技工作者逐步开展了断裂力学的研究和应用工作。 断裂力学是起源于20世纪初期，发展于20世纪后期，并且仍在不断发展和完善的一门科学。因此，它是具有前沿性和挑战性的研究成果。
第一章金属材料的力学性能 学习目的和要求： 学习目的在于了解工程材料力学性能的物理意义，熟悉金属主要的力学性能指标，以便在设计机械时，根据零件的技术要求选用材料，或在编制金属加工工艺时参考。 学完本章后，要求在掌握概念的基础上，熟悉有关术语、符号意义及应用场合，并了解测定方法。 学习重点： 1、掌握强度、塑性、韧性、硬度的概念、物理意义及应 用； 2、掌握布氏硬度和洛氏硬度的优缺点及应用场合。 学习难点： 1、疲劳强度和断裂韧性的概念及应用。 §1-1 材料的强度与塑性 材料的力学（机械）性能，是指材料受不同外力时所表现出来的特性，这种特性是机器安全运转的保证。所以机械性能是设计机械时强度计算和选用材料的基本依据，是评价材料质量和工艺强化水平的重要参数。常用的机械性能指标，都是在特定条件下用规定的测试方法获得的，因为与实用工作状况不尽相同，所以选用数据时应考虑安全系数。 一、弹性与刚度 1、弹性：材料在外力作用下产生变形，当外力去掉 后能恢复其原来形状的性能。
2、弹性极限（σe ）：材料承受最大弹性变形时的应力。 3、刚度：材料在外力作用下抵抗弹性变形的能力。指标 为弹性模量 4、弹性模量（E ）：应力与应变的比值，物理意义是产 生单位弹性变形时所需应力的大小，表征材料产生弹性变形的难易程度。弹性模量是材料最稳定的性能之一，其大小主要取决于材料的本性，随温度升高而逐渐降低，材料的强化手段（如热处理、冷热加工、合金化等）对弹性模量影响很小。提高金属制品的刚度，可以通过更换金属材料、改变截面形状、增加横截面面积。 为什么弹簧还要进行热处理？弹簧进行热 处理的目的是什么？ 二、强度 韧性材料拉伸曲线 脆性材料拉伸曲线
第一章 线弹性断裂力学 线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究裂纹扩展有两种观点：一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如Griffith 理论；一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin 理论。（李灏） §1.1 线弹性断裂力学的基本理论 线弹性断裂力学的基本理论包括：Griffith 理论，即能量释放率理论；Irwin 理论，即应力强度因子理论。 一、Griffith 理论 1913年，Inglis 研究了无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为Inglis 解。1920年，Griffith 研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis 解中的短半轴趋于0，得到Griffith 裂纹。 Griffith 研究了如图1-1所示厚度为B 的薄平板。上、下端受到均匀拉应力σ作用，将板拉长后，固定两端。由Inglis 解得到由于裂纹存在而释放的弹性应变能为 2 222211 U a B E U a B E νπσπσ-==平面应变 平面应力 图1-1 其中：ν为泊松比。 另一方面，Griffith 认为，裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为 4S a B γ= 其中：γ为单位面积上的表面能。
如果应变能释放率 d d U A ，等于形成新表面所需要吸收的能量率d d S A ，则裂纹达到临界状态；如果应变能释放率d d U A 小于吸收的能量率d d S A ，则裂纹稳定；如 果应变能释放率d d U A 大于吸收的能量率d d S A ，则裂纹不稳定。因此可以得到如下 表达式 d ()0d U S A -= 临界状态 d ()0d U S A -< 裂纹稳定 d ()0d U S A -> 裂纹不稳定 能量关系为()d d W U S dA dA -= (其中W 为外力功) 板中初始的应变能2 0122U V V E σσε== ,形成裂纹后系统的总能量012C U U U =-+. 以平面应力为例： 2 22 42a U V a E E σπσγ=- +?2240U a a E πσγ?=-+=? 可得2 2c E a γ πσ=，又22 220U a E πσ?=-时,a 增大,内能减少,无需补充能量,裂纹即扩展. 同理：当a 固定,1 22()c E a γσπ=,当c σσ>时裂纹失稳扩展. 对于平面应变 :222(1)c c E a γπνσσ? =?-? ??= ?? Griffith 判据: (1)当外加应力σ超过临界应力c σ时;(2)当裂纹尺寸a 超过临界裂纹尺寸c a
断裂力学及其工程应用 期 末 课 程 总 结 学院：材料科学与工程学院 班级：成型091405班（铸造） 姓名：鲁茂波 学号：200914030181
通过本学期对断裂力学及其工程应用的系统性学习，对断裂力学在生活中的应用有了深刻的认识，并且用断裂力学理论性的知识解释生活史上发生一系列大的事故的发生原因。例如1943—1947年美国5000余艘焊接船连续发生了一千多起断裂事故，其中238艘全毁。1949年东俄亥俄煤气公司的圆柱形型天然气罐发生爆炸，是周围街市变成废墟。还有等等很多重大性事故都可以用断裂力学的知识解释其发生的原因，并且可以得到怎样癖免它发生的措施。 通过本学期对断裂力学及其工程应用的系统性学习，及老师的精彩讲解。自己学到了很多东西。通过总结学到了以下几方面的知识： 1、断裂力学的许多理论性知识； 2、断裂力学在相关工程上的应用； 3、学到了一些相关问题建模的能力、思考问题的能了、解决问题的能力。 第一章：线弹性断裂力学 1.1裂纹的分类：1、按裂纹的几何特征可以分为穿透裂纹、表面裂纹和深理裂 纹。 2、 在实际构件中的裂纹，由于外加作用力的不同，可以分为 三种基本状态，即张开型裂纹、滑开型裂纹和撕开型裂纹。 张开型裂纹、滑开型裂纹和撕开型裂纹的受力图 1.2构件断裂的两种观点：1、应力强度因子理论（Irwin 应力强度因子理论） 2、能量释放率理论（Griffith 脆断理论） 1.3裂纹失稳扩展： 1.4能量释放率断裂理论：1、Griffith 理论 临界应力：a E c πγ σ2= x x x y y y z z z I II III 裂纹曲裂纹曲率非常小，近似为原子间距
2011工程断裂力学试题 一. 填空题 （每题3分，共18分） 1. 按裂纹受力情况可将裂纹分为： 型、 型和 型三种类型。 2．复合型断裂准则主要包括： 准则、 准则和 准则。 3．若材料弹性模量为E , 对于线弹性、平面应变问题。能量释放率I G 和应力强度因子I K 关系为 ; J 积分与能量释放率I G 关系为 。 4．写出常用的计算应力强度因子的三种方法： 法、 法和 法。 5．J 积分的回路定义，在满足 、 和 的条件下，具有守恒性。 6．D B ?模型非线型断裂分析的适用条件为： 、 、和 。 二．判断题 （每题2分，共12分，请用√或×在括号里表示） （1）在恒位移和恒载荷情况下，Irwin-Kise 关系均可以表达为：212I c G P B a ?=?。（ ） （2）标准三点弯曲试样，3 2 ( )Q Q P S a K f W BW = ，当有效性条件满足时，IC Q K K =。（ ） （3）I 、II 、III 型裂纹均属于平面问题。（ ） （4）深埋裂纹在短轴端点的应力强度因子I K 最大。（ ） （5）在小范围屈服下，平面应力问题比平面应变问题的裂纹塑性区要小。（） （6）对于弹塑性模型，按HRR 奇异场导出的J 积分和δ关系可表示为： n s J d δσ=。（ ） 三．分析计算题 （15分） 应变能密度因子:2 2 2 111222332I I II II III S a K a K K a K a K =+++，其中 113311 [(34cos )(1cos )],164a a G G μθθππ= ??+= 。（1）若0.3μ=，IC K 为已知，对于纯III 型裂纹，计算IIIC K 与IC K 关系。（10分） （2）若图示“无限大”平板的穿透裂纹，100l MPa τ=， 10mm a =， 当50IC K =（5分） l τl τ
工程断裂力学小结 工程断裂力学课程报告 工程断裂力学是一门广泛应用于宇航、航空、海洋、兵器、机械、化工和地质等领域方面的学科。主要致力于研究以下五个方面的问题:1 、多少的裂纹和缺陷是允许存在的,2 、用什么判据来判断断裂发生的时机,3 、机械结构的寿命如何估算, 如何进行裂纹扩展率的测试及研究影响裂纹扩展率的因素。4、如何在既安全又能 避免不必要的停产损失的情况下安排探伤检测周期。5、如检查时发现了裂纹又如 何处理, 这些问题的解决将可以从设计、制造、安装和使用等的角度建立评定带缺陷或裂纹运行的机械结构安全性的标准，从而有效防止断裂事故的发生，在为保障人民生命财产安全方面和经济建设方面发挥极大的作用。 工程断裂力学的发展迄今为止大致经历过以下阶段，首先1 920年--1 949 年间主要以能量方法求解，其中最有影响的是英国科学家Griffith 提出的能量断裂理论以及据此建立的断裂判据。而后从1957 年开始是线弹性断裂理论阶段，提出了应力强度因子概念及相应的判断依据。到1961 年--1968 年间是弹塑性理论阶段，其中以1961年的裂纹尖端位移断裂判据和1968年Rice提出的J积分最为著名。 而1978 年又出现了损伤力学。下面我们对本学期学科的基本概念和几种断裂判断依据加以总结。 在能量断裂理论当中以研究Griffith 裂纹问题和矩形平板的单边裂纹问题为代表。以G表示形成单位长度裂纹时平板每单位面积所释放出的能量，以表示每,s 形成单位裂纹面积所需的能量。Griffith 断裂判据即为G=2表明当G>2裂纹,,ss会扩大;G=2处于临界状态;G<2裂纹不扩大。其中G代表驱动力而2代表阻,,,sss力。这个判据中含有两个需要解决的问题。(1) G如何计算(2 )2如何 测定。而根,s 1,U据能量守恒定律与能量释放率的定义，可以测得单边裂纹时，对称中心 G,Ba, 1,U裂纹为，其中U代表的弹性体储存的总应变能。这一断裂判据仅适用于 G,2Ba, 脆性材料，因此发生断裂的应力水平远小于屈服应力。在Griffith 理论基础上,