二 控制系统的数学模型

二 控制系统的数学模型数学模型是用数学方法分析系统的基础，数学分析能够用准确的数学语言描述系统的工作过程和特性。

具有相同数学模型的实际系统，必然有相同的特性。

自动控制原理研究抽象化的实际系统，数学模型代表具有同样特性的所有系统。

研究某个实际系统的性能时，只需列写出它的数学模型，就可以应用《自动控制原理》的理论和方法，了解该系统。

数学模型的表现形式很多，适应各种分析方法。

建立数学模型的方法有两大类，理论分析建模和实验建模。

本章只研究理论方法建模。

系统的数学模型有多种表现形式：微分方程、传递函数、方框图、信号流图等。

本章重点是如何求取控制系统的传递函数。

2-1 控制系统的时域模型建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程；⑷ 将方程写成规范形式。

例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， t d i d L u L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d i d o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u t d u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，td d p =。

“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。

在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。

“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。

因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。

就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=；消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得 )()()1(221s U s U s T s T i o =++。

例2-2：系统输入)(t u a ，输出)(t m ω负载扰动输入)(t M c ；电枢回路电压平衡方程：)()()()(s E s I R s L s U a a a a a ++=，)()(s C s E m e a Ω=；电磁转矩方程：)()(s I C s M a m m =转矩平衡方程：)()()()(s M s M s f s J c m m m m -=Ω+消去中间变量：将前3个方程代入最后的方程，整理得)()()()()]()([2s M R L s U C s C C f R s J R f L s J L c a a a m m e m m a m a m a m a +-=Ω++++。

在工程应用中a L 相对很小，忽略不计，记 e m m a C C f R +=∆，∆=/m a m J R T ，∆=/1m C K ，∆=/2a R K ，方程简化为， )()()()1(21s M K s U K s s T c a m m +=Ω+。

测速发电机的负载)(t M c ，转动惯量m J 和粘性摩擦系数m f 均近似为零，则有e a m C s U s /)()(=Ω，即)()(t u t C a m e =ω例2-3：系统输入F ，输出x ；力平衡方程： )()()()(2s X K s f s F s X ms +-=； 整理得， )()()(2s F s X K s f ms =++。

例2-4：系统输入)(t M m ，输出)(1t ω；齿轮传动关系：线速度相等 2211r r ωω=，功率相等 2211ωωM M = 有2121Z Z r r =，即 1212ωωZ Z =，211M Z Z M =分别写出两个转动系的动态方程：)()()()(1111s M s M s f s J m -=Ω+，)()()()(2222s M s M s f s J c -=Ω+；利用传动关系消去中间变量，记21/Z Z n =，得到)()()()]()[(1221221s nM s M s f n f s J n J c m -=Ω+++可简记为，)()()()(1s M s M s f s J c m -=Ω+，式中的符号与上式相对应。

例2-5 略线性系统的特性线性性质：满足叠加和比例性质，即两个同时加在系统输入端的输入信号对系统输出的总作用，与各自作用的和相等。

在初始条件均为零时，输入信号是原输入信号的微分(积分)，则系统的输出信号是是原输出信号的微分(积分)。

线性微分方程)()()()(02211111t r b p b p b t c a p a p a p n n n n n n +++=++++----两边同时积分或微分，方程仍然成立。

非线性微分方程的线性化任何一个元件或系统都存在一定程度的非线性特性，处理非线性系统很困难。

在小偏差范围工作时，绝大多数系统都可以看作是线性系统。

使用近似的线性模型，便于分析和处理。

用线性模型近似实际的非线性模型的过程，称为线性化。

工作点：系统预定的平衡工作状态；平衡状态：系统的输入和输出变量不变化，即他们的各阶导数均为零。

线性化方法：用变量在平衡点邻域的一阶泰勒展开式替换原变量。

例：非线性函数 ),(y x F Z =，工作点),(00y x 。

)()()()(),(000000y y y F x x x F y x F Z -∂∂+-∂∂+=，)()()()(00000y y yF x x x F Z Z -∂∂+-∂∂=-； 2xy Z =，20=x ，10=y ；1)(1220==∂∂==y x y x Z ，42)(120==∂∂==y x xy y Z ， )1(4)2(2-+-+=y x Z ，y x Z ∆+∆=∆4对于)1.1,1.2(，541.22=xy ，5.2≈；)05.1,05.2(，260125.22=xy ，25.2≈。

例 航向稳定的船舶运动方程。

输出为航向角ψ，输入是舵角δ，在舵角变化较大时(Norrbin 模型)δψψψK a T =++ 33 式中 3a ,T 和K 是与船舶结构和水域情况有关的常数。

工作点：0ψ，00=ψ ，00=ψ，00=δ；记 0);,,(33=-++=δψψψδψψψK a T F 。

0=∂∂ψF ，1)13()(0230=+=∂∂ψψ a F ，T F =∂∂ψ ；K F -=∂∂δ。

则0)()()(000=---+-δδψψψψK T ，即 δψψK T =+ ， 这就是小舵角操纵时的船舶运动模型。

关于小偏差线性化：⑴ 必须有明确的平衡工作点，线性化模型只在该工作点邻域有效； ⑵ 线性化的精确度与工作范围和系统的非线性程度有关；⑶ 在工作点不能坐泰勒展开的系统，不可能作线性化处理。

系统的运动模态(model)系统输出的变化可看作是几种变化的叠加，即几种运动模态的总和，模态对应于系统输出信号的极点。

在初始条件不为零，输入恒为零时，系统输出的变化是几种(自由)运动模态的总和，对应于系统的特征值或系统的极点。

2-2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)解微分方程是件困难的工作，经过拉氏变换，变换成代数方程，便于分析和处理。

控制系统的复数域数学模型称为传递函数，是经典控制理论的最基本和最重要的概念。

传递函数定义：(P29,倒4行)在初始状态(条件)为零的情况下，输出量的拉氏变换)(s C 与输入量的拉氏变换)(s R 之比。

记为)()()()()]([)]([)(1111110s A s B a s a s a s b s b s b s b s R s C t r L t c L s G nn n n m m m m =++++++++===---- ，n m ≤；应用：已知系统)(s G 及其输入)(t r ，求系统的输出)(t c 。

)(t r)(s R；)()()(s R s G s C =；(s C )(t c 。

⑴ 只有线性定常系统具有传递函数；⑵ 传递函数反映系统的本质特性，与输入量的具体形式无关；⑶ 传递函数表达系统输出量对于系统输入量的响应关系，因此，在进行拉氏变换时，所有初始状态均为零；传递函数与微分方程一一对应；⑷ 传递函数是复变量s 的有理函数；见定义表达式；⑸ 传递函数)(s G 的拉氏反变换是脉冲响应函数)(t g 。

脉冲响应函数是指系统输出对单位脉冲输入)(tδ的响应，即1)]([=t L δ，)()]([)()(s G t L s G s C ==δ，)()]([)(1t g s G L t c ==-。

求取传递函数的基本步骤：列写系统的微分方程；初始状态为零，对方程两边作拉氏变换；写出标准的传递函数形式。

传递函数的零点和极点：在不同应用时，传递函数有相应的标准形式。

讨论系统零极点时的形式为∏∏==------=++++++++=n i i m j j n n n n m m m m p s z s k a s a s a s b s b s b s b s G 111111110)()()(式中 j z 是分子多项式的零点，称为系统的零点；i p 是分母多项式的零点，称为系统的极点；极点的个数n ，为系统的阶次。

传递函数的零点和极点对系统输出的影响：(P33)传递函数与系统的微分方程一一对应。

分母多项式(极点)表达：在输入为零时，系统输出变量是如何变化的，即有几种自由演变模态；分子多项式(零点)表达：系统输出变量以什么方式来响应输入信号的，即各自由模态和输入信号模态在总响应中各占多大比例。

2-3 控制系统的方框图和信号流图方框图和信号流图都能清晰地展现系统的基本组成部分及他们的相互关系。

1 方框图的组成和绘制：绘制步骤：列写基本元件的拉氏变换表达式；将拉氏表达整理成易于绘图的规范形式(输入变量是第一个已知变量，放在等号右边；未知变量放在等号左边，前面方程左边的变量都作为已知变量)； 用方框图的基本构件表达拉氏变换表达式；例2-12: )()()(1s U s U s U o i R -=；)(1)(111s U R s I R =；()(12sU C s I R =)()()(21s I s I s I +=；)()(2s I R s U o =。