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第二章控制系统的数学模型为了确定控制系统内部各物理量之间定量关系，必须建立数学模型。
这一章中心问题是如何从控制系统实体中抽象出数学模型。
第一节机械系统的数学模型1.机械平移系统（应用牛顿定律）∑F=0, F=m aF(t)-c x -kx=m x或F(t)-F c(t)-F k(t)=m xF c(t)=阻尼器产生的阻尼力，为c x (t)F k(t)=弹性恢复力，为kx(t) 整理：m x +c x +kx=F(t)2．机械旋转系统Jθ (t)+cθ (t)+kθ(t)=M(t)J—转动惯量c—阻尼系数K—刚度系数CX(t)图14图15 3．机械传动系统参数的归算 机械系统的运动形式：旋转运动、直线运动。
机械系统的组成元件：齿轮、轴、轴承、丝杠、螺母、滑块等。
对一个复杂的大系统，必须把各部件参数归算到同一部件上。
在这个部件的惯性力、阻尼力、弹性恢复力称为当量参数。
如何归算？采用单因素法。
3—1 惯性参数的归算 1．转动惯量的归算 将图示系统中的J 1、J 2和J 3归算到a 轴上。
a bCJ J J 123321ωωω,,,图16列各轴力矩平衡方程式：a 轴： M=J 1dt d ω+ M b-a b 轴： M a-b =J 2dt d ω+ M c-b c 轴： M b-c =J 3dt d ωM b-a ——负载力矩；M a-b ——是b 轴的主动（驱动）力矩。
列关系式：ba ab M M --=2.2.'11mzF mz F ='11zz ，同理'22z z M Mcb bc =-- 力相等关系由线速度相等关系： ω121mz =ω22'1mz得'1112z z =ωω，同理，'2223z z =ωω代入各关系式，得 M(t)=M=[J 1+J 2('11Z Z )2+J3('22'11z z z z ⨯)2]dtd 1ω= J a ∑dt d 1ωJ a ∑—称为归算到a 轴上的归算转动惯量。
机械控制⼯程基础第⼆章系统的数学模型基本要求、重点和难点⼀、基本要求（1）了解数学模型的基本概念。
能够运⽤动⼒学、电学及专业知识，列写机械系统、电⼦⽹络的微分⽅程。
（2）掌握传递函数的概念、特点，会求传递函数的零点、极点及放⼤系数。
（3）能够⽤分析法求系统的传递函数。
（4）掌握各个典型环节的特点，传递函数的基本形式及相关参数的物理意义。
（5）了解传递函数⽅框图的组成及意义；能够根据系统微分⽅程，绘制系统传递函数⽅框图，并实现简化，从⽽求出系统传递函数。
（6）掌握闭环系统中前向通道传递函数、开环传递函数、闭环传递函数的定义及求法。
掌握⼲扰作⽤下，系统的输出及传递函数的求法和特点。
（7）了解相似原理的概念。
（8）了解系统的状态空间表⽰法，了解MATLAB中，数学模型的⼏种表⽰法。
⼆、本章重点（1）系统微分⽅程的列写。
（2）传递函数的概念、特点及求法；典型环节的传递函数。
（3）传递函数⽅框图的绘制及简化。
三、本章难点（1）系统微分⽅程的列写。
（2）传递函数⽅框图的绘制及简化。
概述系统按其微分⽅程是否线性这⼀特性，可以分为线性系统和⾮线性系统。
如果系统的运动状态能⽤线性微分⽅程表⽰，则此系统为线性系统。
线性系统的⼀个最重要的特性就是满⾜叠加原理。
线性系统⼜可分为线性定常系统和线性时变系统。
系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
对于同⼀系统，数学模型可以有多种形式，如微分⽅程、传递函数、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
但系统是否线性这⼀特性，不会随模型形式的不同⽽改变。
线性与⾮线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。
建⽴系统数学模型的⽅法有分析法和实验辨识法两种。
前者主要⽤于对系统结构及参数的认识都⽐较清楚的简单系统，⽽后者通常⽤于对系统结构和参数有所了解，⽽需进⼀步精化系统模型的情况。
对于复杂系统的建模往往是⼀个分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。
机械工程控制基础系统数学模型chapter2系统数学模型数学模型：描述系统特性，揭示变量之间的关系数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
机械工程控制中数学模型有多种形式: 时域中有：微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有：传递函数、结构图；频域中有：频率特性等。
本章主要内容：列写微分方程的一般方法；非线性微分方程的性线化；传递函数的概念、方框图及其简化系统的数学模型第二章系统数学模型第一节系统微分方程数学模型：描述系统特性，揭示变量之间的关系建立数学模型的方法分析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。
实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。
这种方法也称为系统辨识。
系统的数学模型第二章系统数学模型第一节系统微分方程线性系统满足叠加原理，非线性系统不满足叠加原理线性系统与非线性系统：能用性线微分方程描述的系统是线性系统否则是非线性系统。
线性定常系统：线性时变系统：.. 非线性定常系统：o (t ) 3 x x . o 2 (t ) 7 xo (t ) 4 xi (t ) 5 xi (t )线性系统的叠加原理：线性系统在多个输入的作用下，其总输出等于各个输入单独作用下所产生的输出之和。
系统的数学模型第二章系统数学模型第一节系统微分方程微分方程：时域中描述系统动态特性的数学方程列写微分方程式的一般方法：1、确定系统的输入量、输出量。
(注意：输入量包括给定输入量和扰动量)2、按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，根据各变量所遵循的物理定理写出各个环节的微分方程；(负载效应，非线性系统的线性化)3、消去中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程；4、变换成标准形式。
将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导数项按降幂排列；系统的数学模型第二章系统数学模型第一节系统微分方程典型所遵循的物理定律机械系统：质量元件：弹性元件：阻尼元件：系统的数学模型第二章系统数学模型第一节系统微分方程典型所遵循的物理定律电网络：1 容性元件：u (t ) i (t ) dt Cdi (t ) 感性元件：u (t ) L dt阻性元件：u (t ) Ri(t )系统的数学模型第二章系统数学模型微分方程举例第一节系统微分方程例2-1:试列出如图所示机械系统的微分方程。
第二章自动控制系统的数学模型基本要求2-1 控制系统微分方程的建立2-2 非线性微分方程的线性化2-3传递函数(transfer function)2-4 动态结构图2-5 系统的脉冲响应函数2-6 典型反馈系统传递函数基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。
2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。
3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。
4.掌握传递函数的概念及性质。
5.掌握典型环节的传递函数形式。
6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。
7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。
8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。
⏹分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。
⏹系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。
⏹建立数学模型的方法分为解析法和实验法◆解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并实验验证。
◆实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。
总结：解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。
实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。
2-1控制系统微分方程的建立❑基本步骤：❑分析各元件的工作原理，明确输入、输出量❑建立输入、输出量的动态联系❑消去中间变量❑标准化微分方程列写微分方程的一般方法例1. 列写如图所示RC 网络的微分方程。
R C u r u ci解：由基尔霍夫定律得:式中:i 为流经电阻R 和电容C 的电流,消去中间变量i,可得:T RC =令（时间常数），则微分方程为：⎰+⋅=idt i R u Cr 1⎰=idt u C c 1(21)-(23)-c c r du T u u dt +=(22)-c c r du RC u u dt+=•例2. 设有一弹簧∙质量∙阻尼动力系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动，试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的动态方程。
其中弹簧的弹性系数为k，阻尼器的阻尼系数为f，质量块的质量为m。
MF(t)kfy(t)i F =∑解：分析质量块m 受力，有外力F ,弹簧恢复力Ky （t ）阻尼力惯性力由于m 受力平衡，所以()/fdy t dt22/md y dt 式中：F i 是作用于质量块上的主动力，约束力以及惯性力。
M F(t)k f y(t)22()()()()d y t dy t m f Ky t F t dt dt ++=(24)-式中：y ——m 的位移（m ）；f ——阻尼系数（N·s/m);K ——弹簧刚度（N/m)。
将式(2-4)的微分方程标准化22()()1()()m d y t f dy ty t F t K dt K dt K ++=222()()2()()d y t dy t T T y t kF t dt dtζ++=(25)-T 称为时间常数，为阻尼比。
显然，上式描述了m －K －f 系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。
ζ令，即/T m K =2/T f K ζ=/2f mKζ=，则式可写成(24)-1/k K=2－2 非线性微分方程的线性化在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。
对弱非线性的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。
对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。
平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
在平衡点A （x 0，y 0）处，当系统受到干扰，y 只在A 附近变化，则可对A 处的输出—输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当很小时，可用A 处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。
x可得，简记为y =kx 。
若非线性函数由两个自变量，如z ＝f （x ,y ），则在平衡点处可展成（忽略高次项）0|x df y x k x dx== 0000(,)(,)||x y x y v f f z x y x y∂∂=+∂∂经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。
但对于如图（d ）所示为强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。
对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。
叠加原理叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或叫齐次性）。
例：设线性微分方程式为2()()()()d c t dc t c t r t dt dt ++=若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然有，当＋时，必存在解为，即为可叠加性。
1()()r t r t =1()c t 2()()r t r t =2()c t 1()()r t r t =2()r t 12()()()c t c t c t =+上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增强若干倍，这就是叠加原理。
若时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。
1()()r t ar t =1()()c t ac t =a2－3 传递函数(transfer function)传递函数的概念与定义线性定常系统在输入、输出初始条件均为零的条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。
这里，“初始条件为零”有两方面含义：0-◆一指输入作用是t ＝0后才加于系统的，因此输入量及其各阶导数，在t=时的值为零。
0-◆二指输入信号作用于系统之前系统是静止的，即t= 时，系统的输出量及各阶导数为零。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动态性能的。
一、传递函数的概念与定义G(s)U r (s)U c (s))s (U )s (U )s (G r c⏹传递函数是关于复变量s 的有理真分式，它的分子，分母的阶次是：。
n m 二、关于传递函数的几点说明⏹传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用拉氏变换导出；⏹传递函数完全取决于系统内部的结构、参数，而与输入、输出无关；⏹传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）⏹传递函数的拉氏反变换为该系统的脉冲响应函数，因为()()()G s C s R s =／当时，，所以，()()r t t δ=()1R s =[][][]111()()()()()c t L C s L G s R s L G s ---===⏹一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应。
这将在第四章根轨迹中详述。
⏹传递函数是在零初始条件下建立的，因此，它只是系统的零状态模型，有一定的局限性，但它有现实意义，而且容易实现。
三、传递函数举例说明例1.如图所示的RLC 无源网络，图中电感为L（亨利），电阻为R（欧姆），电容为C（法），试求输入电压u i (t)与输出电压u o (t)之间的传递函数。
u i R C u cL i解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络作为校正元件。
无源网络通常由电阻、电容、电感组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对其进行拉氏变换即可求出传递函数。
这里用直接求的方法。
因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R 、1∕Cs 、Ls ，它们的串并联运算关系类同电阻。
则传递函数为2()1/1()1/1o i U s sC U s Ls R sC LCs RCs ==++++()()1/()i U s Ls R sC I s =++⎡⎤⎣⎦[]()1/()o U s sC I s =四、典型环节一个传递函数可以分解为若干个基本因子的乘积，每个基本因子就称为典型环节。
常见的几种形式有：①比例环节，传递函数为：()G s K②积分环节，传递函数为1()G s s=③微分环节，传递函数为()G s s=④惯性环节，传递函数为1()1G s Ts =+⑤一阶微分环节，传递函数为()1G s s τ=+τ式中：，T 为时间常数。
⑥二阶振荡环节，传递函数为221()21G s T s Ts ζ=++式中：T 为时间常数，为阻尼系数。
ζ⑦二阶微分环节，传递函数为22()21G s s s τζτ=++式中：为时间常数，为阻尼系数τζ此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间为，该环节的传递函数为：τ()sG s e τ-=2－4 动态结构图动态结构图是一种数学模型，采用它将更便于求传递函数，同时能形象直观地表明输入信号在系统或元件中的传递过程。
一、动态结构图的概念系统的动态结构图由若干基本符号构成。
构成动态结构图的基本符号有四种，即信号线、传递方框、综合点和引出点。
1.信号线表示信号输入、输出的通道。
箭头代表信号传递的方向。
2. 传递方框G(s)方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该输入、输出之间的传递函数G(s)。
3. 综合点综合点亦称加减点，表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。
＋省略时也表示＋4. 引出点表示同一信号传输到几个地方。
()U s ()U s二、动态结构图的基本连接形式1. 串联连接X(s)Y (s)G1(s)G2(s)方框与方框通过信号线相连，前一个方框的输出作为后一个方框的输入，这种形式的连接称为串联连接。
2. 并联连接G 1(s)G 2(s)X (s)－＋Y (s)两个或两个以上的方框，具有同一个输入信号，并以各方框输出信号的代数和作为输出信号，这种形式的连接称为并联连接。
3. 反馈连接一个方框的输出信号输入到另一个方框后，得到的输出再返回到这个方框的输入端，构成输入信号的一部分。
这种连接形式称为反馈连接。
G (s)R (s)－C (s)H (s)三、系统动态结构图的构成构成原则：按照动态结构图的基本连接形式，构成系统的各个环节，连接成系统的动态结构图。
以机电随动系统为例，如下图所示举例说明系统动态结构图的构成其象方程组如下：()()() ()a a a a ab U s R I s L sIs E s =++()()()e r c s s s θθθ=-()()s s e U s K s θ=()()a a s U s K U s =()()m m a M s C I s =2()()m m m Js s M fs s θθ=-1()()c m s s iθθ=()()b b m E s K s s θ=系统各元部件的动态结构图(1))(s r θ)(s c θ)(s e θ()()() ()a a a a ab U s R I s L sI s E s =++()()()e r c s s s θθθ=-()()s s e U s K s θ=()()a a s U s K U s =()()m m a M s C I s =2()()m m m Js s M fs s θθ=-1()()c m s s iθθ=()()b b m E s K s s θ=)(s rθ)(s c θ)(s eθ)(s r θ)(s c θ)(s e θsK )(s U s ()()() ()a a a a a b U s R I s L sI s E s =++()()()e r c s s s θθθ=-()()s s e U s K s θ=()()a a s U s K U s =()()m m a M s C I s =2()()m m m Js s M fs s θθ=-1()()c m s s iθθ=()()bb mE s K s s θ=)(s e θsK )(s U saK )(s U s )(s U a )(s r θ)(s c θ)(s e θsK )(s U s aK )(s U a ()()() ()a a a a ab U s R I s L sI s E s =++()()()e r c s s s θθθ=-()()s s e U s K s θ=()()a a s U s K U s =()()m m a M s C I s =2()()m m m Js s M fs s θθ=-1()()c m s s iθθ=()()b b m E s K s s θ=系统各元部件的动态结构图(4)()()() ()a a a a ab U s R I s L sI s E s =++()()()e r c s s s θθθ=-()()s s e U s K s θ=()()a a s U s K U s =)(s r θ)(s c θ)(s e θsK )(s U s aK )(s U a 1a aL s R +()b s E ()a s I ()()m m a M s C I s =2()()m m m Js s M fs s θθ=-1()()c m s s iθθ=()()b b m E s K s s θ=()()m m a M s C I s =2()()m m m Js s M fs s θθ=-1()()c m s s iθθ=()()b b m E s K s s θ=系统各元部件的动态结构图(5)()()() ()a a a a ab U s R I s L sI s E s =++()()()e rc s s s θθθ=-()()s s e U s K s θ=()()a a s U s K U s =)(s I a mC )(s M m mC )(s M m )(s r θ)(s c θ)(s e θsK )(s U s aK )(s U a 1a aL s R +()b s E ()a s I()()m m a M s C I s =2()()m m m Js s M fs s θθ=-1()()c m s s iθθ=()()b b m E s K s s θ=)(s r θ)(s c θ)(s e θsK )(s U s aK )(s U a 1a aL s R +()b s E ()a s I )(s m θsf Js +21mC )(s M m ()()() ()a a a a ab U s R I s L sI s E s =++()()()e r c s s s θθθ=-()()s s e U s K s θ=()()a a s U s K U s =)(s M m )(s m θsf Js +21s f Js +1()()m m a M s C I s =2()()m m m Js s M fs s θθ=-1()()c m s s iθθ=()()b b m E s K s s θ=()()() ()a a a a ab U s R I s L sI s E s =++()()()e r c s s s θθθ=-()()sse U s K s θ=()()a a s U s K U s =)(s m θsK b)(s E b )(s r θ)(s c θ)(s e θsK )(s U s aK )(s U a 1a aL s R +()b s E ()a s I )(s m θsf Js +21mC )(s M m b sK系统各元部件的动态结构图(8)()()()()a a a a ab U s R I s L sI s E s =++()()()e r c s s s θθθ=-()()s s e U s K s θ=()()a a s U s K U s =()()m m a M s C I s =2()()m m m Js s M fs s θθ=-1()()c m s s iθθ=()()b b m E s K s s θ=)(s m θi 1)(s c θi 1)(s c θ)(s r θ)(s c θ)(s e θsK )(s U s aK )(s U a 1a aL s R +()b s E ()a s I )(s m θsf Js +21mC )(s M m b sK四结构图的等效变换思路：在保证总体动态关系不变的条件下，设法将原结构逐步地进行归并和简化，最终变换为输入量对输出量的一个方框。
