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课时提升练(十八) 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2014·陕西高考)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是 ( )A.π2B.π C ．2π D ．4π【解析】 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.故选B.【答案】 B2．(2013·浙江高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以cos φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ＝π2不成立；若φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2的必要不充分条件．【答案】 B3．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m 的值等于( )A ．－1B ．±5C ．－5或－1D ．5或1【解析】 由题意得函数的对称轴为x ＝π8，故当x ＝π8时，函数取得最大值或最小值，所以－2＋m ＝－3或2＋m ＝－3.∴m ＝－1或m ＝－5.【答案】 C4．函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋x 是( )A ．非奇非偶函数B ．仅有最小值的奇函数C ．仅有最大值的偶函数D ．有最大值又有最小值的偶函数 【解析】 f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋x ＝2cos 2x －1＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.显然有最大值又有最小值，而且在R 上有f (－x )＝f (x )，所以正确答案为D.【答案】 D5．已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1【解析】 由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，∴ω≥2.【答案】 A6．已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝f (0)，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数，∴f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，即c ＜a ＜b .【答案】 B 二、填空题7．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．【解析】 要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z. 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z8．(2014·江苏高考)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．【解析】 由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝cos π3，因为0≤φ<π，所以φ＝π6.【答案】π69．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R ，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－5π12对称．其中正确命题的序号是________．(填入所有正确命题的序号)【解析】 由f (x 1)＝f (x 2)＝0得，x 1－x 2必是半个最小正周期的整数倍，由于f (x )的最小正周期是π，故①错；f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故②正确；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，所以③正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝－4，所以④正确． 【答案】 ②③④ 三、解答题10．(2014·福建高考)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解】 法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .11．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )的值域． 【解】 (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ， 由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得 sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωπ－π6＝±1.所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，k ∈Z ，所以ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0， 即λ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×π2－π6＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．12．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg(g (x ))＞0，求g (x )的单调区间．【解】 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1 ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，∴a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. 又∵lg(g (x ))＞0，∴g (x )＞1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12. ∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z .其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z .当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6(k ∈Z )，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3(k ∈Z )．。
