高一数学人教A版必修一《2.1.1 指数与指数幂的运算》课件

4
B． a－1 D． 1 4 a－1
[答案] B
[解析] 要使原式有意义，则 a－1＞0 . 4 1－a ·
2
①
3 1 － (a － 1) 4 ＝ (a － 1)· (a － 1) 3 ＝ |1 － a|· a－1
－
3 4
＝(a－1)
1 4
＝ a－1.
4
随堂测评
1． 若 a＞0， 且 m， n 为整数， 则下列各式中正确的是( A．a ÷ a ＝a
1 －22＝(－2)3 3 x3y3＝xy4
2 2
)
4 3
(x＞0，y＞0)
1 －b 3
C． a －b
1 ＝a3
3 x y 1 － D. y＝(x) 3
(x≠0，y≠0)
[答案] D
5．若10x＝3,10y＝4，则10x－y＝________.
[答案] 3 4
x 10 3 x－y [解析] 10 ＝10y＝4.
m n
m n
)
B．am· an＝am＋n D．1－an＝a0－n
C．(am)n＝am＋n
[答案] B
2. a－2可化为( A．a
－
5
)
5 B．a2 5 D．－a2
2 5
2 C．a5
[答案] A
4 3．a5
的根式为(
4 4
) B． a5
5
A． a C．
5
4
a5
D．
a4
[答案] A
4．下列各式中正确的是( A． B． 6
规律总结： 在将根式化分数指数幂的形式时，关键
是分清指数中分子、分母的位置．
1
将下列根式与分数指数幂进行互化．

1 3
);
x-
1 2
y
2 3
)(-4
x
1 4
y
2 3
);
(7)
(2
x
1 2
+
3
y-
1 6
)(2
x
1 2
-
3
y
- 16
);
(8)
4
x
1 4
(-3
x
1 4
y-
1 3
)
(-6
x
- 12
y-
2 3
).
解:
(1)
13 7
a 3a4a12
=
a
13+
3 4
+172
=
a
5 3
.
(2)
23
a3a4
5
a6
=
a
32+
43-
3. 分数指数幂
我们将下面根式变形:
10
a>0 时, 5 a10 = 5 ( a2 )5 = a2 = a 5 .
12
a>0 时, 4 a12 = 4 ( a3 )4 = a3 = a 4 .
m
规定: a n = n am (a 0, m, nN *. 且n1).
a-
m n
=
1
m
(a 0,
m,
解:
(1)
原式
=
x3
y2(-
27
1 x3
y31)
=
-
1 27 y
.
(2) 原式 = 4(- 32)a2-(-1)b-1-(-1)= -6a3.
(3)
原式

第二十三页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
课时作业
第二十四页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
解析：4 0.062 5＋
245－
3
27 8
＝4 0.54＋ 2 522－ 3 323＝12＋52－32＝32. 答案：32
第二十二页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
4．化简：( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3. 解析：由题得 a≥1， ∴( a－1)2＋ 1－a2＋3 1－a3 ＝a－1＋|1－a|＋1－a ＝a－1.
原式＝[a
2 3
·(a－3)
1 2
]
1 3
·(a
5 2
·a
13 2
)
1 2
＝a
2 9
·a
1 2
·a
5 4
·a
13 4
＝a
5 18
·a－2＝a
41 18
＝
1
.
a2·18 a5
第十九页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
[易错警示]
错误原因
纠错心得
避免错误的方法是先将根式化
错解中主要是在进行化简时，根 为分数指数幂，然后按分数指数
C．1 或 2a－1
D．0
(2)当 a、b∈R 时，下列各式总能成立的是( )
A．(6 a－6 b)6＝a－b
8 B.
a2＋b28＝a2＋b2
4 C.
a4－4
b4＝a－b
D．10 a＋b10＝a＋b
第十二页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
[解析] (1)a＋4 1－a4＝a＋|1－a|＝1 或 2a－1，故选 C. (2)取 a＝0，b＝1，A 不成立． 取 a＝0，b＝－1，C、D 不成立． ∵a2＋b2≥0，∴B 正确，故选 B. [答案] (1)C (2)B

amn ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)． (2)规定正数的负分数指数幂的意义是： a－mn ＝ 1m(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；
an (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数 幂无意义．
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2
2．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝(aar>＋0s ，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝(aa>rs0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝(>a0rb，r)b>0，r∈Q)． 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有 理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
解决此类问题的一般步骤是
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3.若将本例中条件改为x2＋x－2＝4，怎样求x＋x－1的值．
【解析】 ∵x2＋x－2＝4 ∴(x＋x－1)2－2＝4 ∴(x＋x－1)2＝6 ∴x＋x－1＝± 6.
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1．正确理解分数指数幂概念
对于分数指数幂概念的理解应注意以下问题：
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(1)此类问题应熟练应用 amn ＝n am(a>0，m， n∈N*，且 n>1)．当所求根式含有多重根号时， 要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出， 然后再用性质进行化简．
(2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．
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1.用分数指数幂表示下列各式． (1) a3 (a>0)；
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3
1．a48＝a12成立吗？ 【提示】 不一定．当 a≥0 时，a48＝a12，当 a<0， a12无意义，则 a48≠a12. 2．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系是什 么？

(3)
3
(
3a 3 27b3
)4
3
8 3
a
4b
4
(4)
9
a 2 4 b3
a b . 9 4
3 8
例2.化简下列各式(其中a >0).
(3)
3
(
3a 3 27b3
)4
3
(
a 3 9b3
)4
4
(32 a b 3 3 )3
8
33
a 4b 4
9
9 3 1
9 3
(4) a 2 4 b 3 (a 2 b 4 )2 a 4 b 8
(2) (ar )s ars (a 0, r, s Q);
(3) (ab)r arbr (a 0,b 0, r Q).
【1】求下列各式的值.
2
(1) 83 ,
(2)25
1 2
,
(3)
(
1 2
)5
,
(4)
(
16 81
)
3 4Biblioteka .解:(1)
8
2 3
(
23
)
2 3
23
2 3
22
4;
(
2)25
【题型4】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有理 指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
例4.求下列各式的值：
(1) 2 3 3 1.5 6 12
2
1
32
(
3
)
1 3
(22
1
3)6
2
1
1 1
2 1
1
2 32 332 3 2 6 36
2 3 1

n n
n
n
n
a，a≥0， ＝|a|＝ －a，a<0.
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数学 必修1
2．整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用 即对任意实数r，s，均有 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)(指数相加律)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)(指数相乘律)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)(指数分配律) 要注意上述运算性质中，底数大于0的要求．
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典例剖析
题型一 根式的性质 【例 1】 计算下列各式的值： (1) －4 ； (3) 3－π ； 3 6
6
3
3
(2) －92； (4) x－28；
3
4
8
(5) 3－2 2＋ 1－ 2 ＋ 1－ 24.
4
思路点拨：本题的求值实际上是求数的方根，可按方根的 运算性质来解．
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课堂总结
1 ．理解好方根的概念，是进行根式的计算和化简的关 键． 2．将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键．
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数学 必修1
3．关于分数指数幂的运算常采用的思路： ①指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的，无括
号先进行指数运算(即先乘方、开方)，再乘除后加减．负指数
幂化为正指数幂的倒数，底数是负数，先确定符号，底数是小 数，先要化成分数，底数是带分数的，先要化成假分数，若是 根式，应化为分数指数幂，然后要尽可能用幂的形式表示，便 于用指数运算性质． ②关于常量字母，先化成同底的再运算；对于变量字母， 有时需要对字母进行讨论． ③除式的运算，用分母的“－1”次幂化为乘法运算.
n

n
an
a
n
=a；
=|a|=
a(a a(a
0) 0)
3、分m 数指数幂的定义P51
annam (a0 ,m ,n N *且 ,n 1 )
am n1m(a0,m,nN*且 ,n1) 4、有理指a数n幂的运算性质:P51
am an amn (m, nQ)
(am )n amn(m, nQ)
(ab)n an bn (nQ)
1、n次方根的概念P49：
如果xn =a，则x为a的n次方根。
当n为奇数时，记： x n a 当n为偶数，a≥0时，记：x n a
负数没有偶次方根
2、根式的定义与运算性质:P49
a 式子 n
叫做根式 , 其中a为被开方数,n为根指数
①当n为任意正整数时，(n a)n a.
②当n为奇数时，n 当n为偶数时，
(3)(3 25 125) 4 25 6 5 5
(4) a2 (a 0) a 3 a2
6 a5
例2. 已知x+x-1=7,求下列各式的值：
1
1
3
3
(1)x2x2,(2)x2x2.
3
3
3
18
(3)
x2 x2
x 2 x2
2 3
2 5
例3． 写出使下列等式成立的x的取值范围：
3
(1)3
x13
则(1
2
xy)3
___
y
5、无理数指数幂的意义(见课本第52到53页)
一般地，无理数aα（α是无理数）是一个确定的实数； 有理指数幂的运算性质同样适用与无理指数幂。
以后不做特别说明, 认为式子中的字母取正值
三、讲解范例：

分式指数幂0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义分母不为0
回顾：运算性质
am an amn(m,n Z) (a m )n a mn (m, n Z ) (ab)n an bn(n Z )
推广：正数指数幂推广到有理数指数幂。原有整 数指数幂的运算性质对有理数指数幂仍然适用。
2 1 11 1 5
2 (6) (3)(a3 a2 a6 )(b2 b3 b6 )

2
(m
1 4
3
n8
)8

(m
1 4
)8
3
(n 8
)8
211 115
2 (6) (3) a3 2 6b2 3 6
4ab0 方法：将系数和同底
4a
(23)3 2 3

22 4
1
25 2

(52
1
)2Βιβλιοθήκη 2*(1 )5 2 51

1
5
( 1 )5 (21)5 25 32
2
3
3
4
(16) (2)
4( )
4 ( 2)3 ( 3)3 27
81 3
3
2
8
P82A1
例3、用分数指数幂的形式表示下列根式：
例： 当a 0, n N*, n 1时，n an a，
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
12
(1)3 a12 _3_(a_4_)3 __a_4 _ _a__3_
被开方数的 指数/ 根指数
2 3
a2

3
2
(a 3 )3

新课讲解
1、n次方根、根式的概念
若xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N* 思考 ：类比平方根、立方根，猜想：当n为奇数时，
一个数的n次方根有多少个？当n为偶数时呢？ n ①当n为奇数时, a的n次方根只有1个,用 a 表示 ②当n为偶数时, 若a>0,则a的n次方根有2个, 用 n a ( a 0 ) 表 示
3、根式和分数指数幂的互化
m
a
n

n
a (a 0, m , n N )
m *
m
a
n

n
a (a 0, m , n N )
m *
（1）正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意 m 1 义相同.即： n *
a
m
(a 0, m , n N )
a
n
（2）规定：0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂无意义. （3）运算性质仍然适用
例题分析
例3 根式与分数指数幂的互化
无
无
0 ±2 ±3
0 0
2
(2) 4
2
( 3) 9
2
－8 －1 0 8 27
－2
(2) 8
3
－1 0 2 3
( 1) 1
3
0 0
3
2 8
3
3 27
3
思考： ①已知(－2)5= －32，如何描述－2与－32的关系？
②已知(±2)4=16，如何描述±2与16的关系？
52
6 ?
尝试练习
1、 a 2 a 1 a 1, 求 a的 取 值 范 围
2
a 2a 1

a r ⋅ a s = a r + s (a > 0, r , s ∈ Q)
(a r ) S = a rs (a > 0, r , s ∈ Q) (a ⋅ b) = a b (a > 0, b > 0, r ∈ Q)
r r r
• 3 • 例3：用分数指数幂的形式表示下列 各 ： 3 4 2 3 5 3 式(b>0) b b b i b b i b 2 1 1 5 1 1 • 例4： a 3 b 2 )(−8a 2 b 3 ) ÷ (−6a 6 b 6 ) ： (3
n 0 0
a
−n
1 = n a
(a ≠ 0)
a m ⋅ a n = a m + n ; (a m ) n = a mn
(a ) = a , (ab) = a b
n m mn n
n n
• 2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0 ．观察以下式子，并总结出规律： ＞
5
a = (a ) = a = a
10 5 2 5 2
• 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
a = n a m (a > 0, m, n ∈ N * )
m n
正数的负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同
即：a
−
m n
=
1 a
m n
(a > 0, m, n ∈ N * )
规定： 的正分数指数幂等于 的正分数指数幂等于0， 的负分数指数幂无意义 规定：0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂无意义
一复习准备
• 练习①计算 练习① • ② 若 a 2 − 2a + 1 = a − 1, 求a的取值范围 • • •